Filipe António Farrajota Ferreira
Licenciado em Ciências da Engenharia MecânicaSimulação numérica da propagação de ondas
regulares
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Mecânica
Orientador: Professor Doutor José Manuel Paixão Conde, Professor Auxiliar, DEMI FCT/UNL
Júri
Presidente: Prof. Doutor Luís Miguel Chagas Costa Gil Arguente: Doutor Eric Lionel Didier
Simulação numérica da propagação de ondas regulares
Copyright © Filipe António Farrajota Ferreira, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Uni-versidade NOVA de Lisboa.
A Faculdade de Ciências e Tecnologia e a Universidade NOVA de Lisboa têm o direito, perpétuo e sem limites geográficos, de arquivar e publicar esta dissertação através de exemplares impressos reproduzidos em papel ou de forma digital, ou por qualquer outro meio conhecido ou que venha a ser inventado, e de a divulgar através de repositórios científicos e de admitir a sua cópia e distribuição com objetivos educacionais ou de inves-tigação, não comerciais, desde que seja dado crédito ao autor e editor.
"With great power comes great responsibility!" Stan Lee
Ag r a d e c i m e n t o s
A elaboração desta dissertação, que resulta no culminar do meu percurso académico, não seria possível sem o suporte de diversas pessoas que me apoiaram, as quais eu dou os meus sinceros agradecimentos.
Em primeiro lugar gostaria de agradecer à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Uni-versidade Nova de Lisboa, mais propriamente ao Departamento de Engenharia Mecânica e Industrial e ao meu orientador Prof. José Conde por toda a orientação, disponibilidade e colaboração que me foi dada ao longo da realização desta dissertação.
Agradecer também à minha família, aos meus pais, avós e irmão que me deram todo o apoio necessário para a conclusão de mais uma etapa na minha vida, sendo fulcrais na minha educação e orientação, permitindo-me ser a pessoa que sou hoje. Em especial ao meu Avô José, que sempre teve uma palavra amiga para dar, tinha como sonho final ver o seu neto mais velho erguer o canudo, algo que infelizmente não foi possível pois veio a falecer alguns anos antes.
Um agradecimento também à minha namorada Catarina, pelo apoio e por todas as palavras de conforto.
Por fim, mas não menos importante, agradecer aos meus amigos, David S, David H, José, Filipe, Sónia, Hugo, Rodrigo, Tiago e outros por serem uma segunda família para mim, pelos momentos de descontracção e companheirismo, por aquela palavra amiga e momentos de lazer, que me permitiram manter o equilíbrio ao longo destes anos.
R e s u m o
Na seguinte dissertação são apresentados estudos de formação e propagação de ondas, realizados com a simulação de ondas numéricas recorrendo ao programa OpenFOAM utilizando osolver olaflow, ao longo de um canal de ondas de fundo variável.
Inicialmente é feita uma descrição de algumas teorias de onda e dos seus conceitos matemáticos, necessários para a compreensão do comportamento de uma onda. Posteri-ormente é descrito osoftware OpenFOAM e algumas das suas funcionalidades, como a
geração de malha e a constituição dos seussolvers.
Os estudos realizados na seguinte dissertação estão relacionados com a variação da superfície livre ao longo de várias secções de um canal de ondas, estando estes essencial-mente divididos em duas partes. Na primeira parte é feito um estudo de independência de solução com malhas bidimensionais, onde recorrendo ao mesmo número de elementos por comprimento de onda e altura, pretende-se avaliar qual a influência da variação do fundo na propagação da onda. A segunda parte consiste em duas simulações numéricas, bidimensional e tridimensional, de um caso de estudo realizado experimentalmente no Laboratório Nacional de Engenharia Civil (LNEC), relacionado com a propagação de on-das num canal de fundo variável com redução de secção transversal, sendo que as onon-das nele estudadas se encontram em condições de pré-rebentação.
Os resultados numéricos obtidos são comparados tanto a valores experimentais como a outros valores numéricos obtidos para casos semelhantes, por forma a dar fundamento aos estudos realizados. Para além dos gráficos da variação de superfície livre, é realizada uma análise espetral recorrendo às transformadas discretas deFourier, que permitem de uma
maneira mais coesa observar a evolução das ordens de uma onda para diferentes secções ao longo do canal. Algumas das diferenças notadas nas variações da superfície livre podem estar associadas a fenómenos de reflexão, à utilização de malhas bidimensionais e tridimensionais ou a uma possível dissipação numérica.
Palavras-chave: OpenFOAM,interFoam/olaFlow, utilities, Navier-Stokes, superfície livre,
A b s t r a c t
In the following dissertation there are presented some studies related with the for-mation and propagnation of waves, performed with the simulation of numerical waves using the software Openfoam allied to the solverolaflow, through a variable depth wave
channel.
Initialy there is a description of some wave theories and their mathematical concepts, which are needed in order to understand the behavior of a wave. Afterwards, some details related to the software OpenFOAM and its utilities are explained, such as the generation of the mesh and a description of its solvers.
The studies performed in this dissertation are related to the free surface elevation along different sections of a wave flume, and it can be separated in two main sections. The first section describes a mesh independency study, using bidimentional meshes with the same elements per wave length and height, in order to study the variable depth efffect on the wave propagnation. The second section consists of two numerical simulations, bidi-mensional and tridibidi-mensional, of an experimental case study carried out in a wave flume at Laboratório Nacional de Engenharia Civil (LNEC). This wave flume has a variable depth and a reduction of width, with some waves near breaking wave conditions.
Numerical data his compared either with experimental or other numerical data ob-taind in simimilar cases, in order to validate the studies carried out in this dissertaion. The free surface elevation charts are complemented with a spectral analysis using discrete
Fourier transformations, in order to evaluate more precisely the evolution of a wave’s
or-der for different sections along the wave flume. Some of the discrepancies between free suface evelation charts might be related with reflection phenomena or a possible numeri-cal dissipation.
Keywords: OpenFOAM, interFoam/olaFlow, utilities, Navier-Stokes, free surface, wave
Í n d i c e
Índice de Figuras xv
Índice de Tabelas xix
Nomenclaturas e Símbolos xxi
Abreviaturas e Acrónimos xxiii
1 Introdução 1 1.1 Motivação . . . 1 1.2 Objetivos . . . 2 1.3 Estrutura da Dissertação . . . 3 2 Contextualização Teórica 5 2.1 Agitação Marítima . . . 5
2.1.1 Tipos de ondas e mecanismos de formação . . . 5
2.2 Teoria das ondas . . . 8
2.2.1 Parâmetros que definem a onda . . . 9
2.2.2 Teoria de ondas linear . . . 10
2.2.3 Teoria de ondas não linear . . . 14
3 Ferramentas Computacionais 17 3.1 Ferramentas eSoftware . . . . 17
3.1.1 OpenFOAM . . . 17
3.2 Modelação matemática e numérica . . . 20
3.2.1 Equações RANS . . . 20
3.2.2 Modelos de Turbulência . . . 23
3.2.3 Método VOF . . . 25
3.2.4 Equações que governam o escoamento . . . 26
3.2.5 Algoritmos de resolução . . . 27
3.2.6 Esquemas numéricos e de interpolação . . . 31
4 Caracterização Numérica e Discussão de Resultados 35 4.1 Casos de Estudo . . . 35
4.1.1 Caracterização Experimental . . . 36
4.1.2 Estudos numéricos . . . 38
4.2 Modelo Numérico . . . 39
4.2.1 Estudo do Efeito da Variação do Fundo . . . 39
4.2.2 Canal de Fundo Constante . . . 40
4.2.3 Canal de Fundo Variável . . . 53
4.2.4 Canal de Fundo Variável Semelhante ao Caso de Estudo . . . 61
4.3 Efeito da Redução de Sécção Lateral na Propagação da Onda . . . 68
4.3.1 Caracterização Experimental . . . 68
4.3.2 Modelo Numérico . . . 69
4.3.3 Comparação de Resultados . . . 72
4.4 Caso de Estudo . . . 73
4.4.1 Geometria do domínio computacional . . . 73
4.4.2 Condições de simulação . . . 75
4.4.3 Geração de malha . . . 76
4.4.4 Comparação de resultados . . . 80
5 Conclusões e Trabalhos Futuros 89
Bibliografia 93
Í n d i c e d e F i g u r a s
1.1 Exemplo da colocação de paredões da Praia da Galé, Albufeira. (Ramos et al., 2016). . . 2 2.1 Deslocamento das massas de água em função da Lua e do Sol. Adaptado de
Foreman (1977) . . . 7 2.2 Distribuição esquemática da energia da onda por frequência. Adaptado de
Massel (1996). . . 7 2.3 Representação de uma onda simples progressiva. Adaptada de Demirbilek e
Vincent (2008). . . 10 2.4 Condições de fronteira para ondas regulares (Dean e Dalrymple, 1984). . . . 13 2.5 Teoria de Ondas por Le Méhauté, Le Méhauté (1976). . . 15 3.1 Medição da velocidade característica de um escoamento turbulento (Versteeg
e Malalasekera, 2007) . . . 22 3.2 Fluxograma representativo do algoritmo PIMPLE aplicado ao solver
inter-Foam. "TFSL"representa o nível teórico de superfície livre (Higuera et al., 2013) 28 4.1 Vista lateral do canal (esquerda), gerador de ondas (centro) e vista de cima do
canal (direita). Adaptado de Conde et al. (2013). . . 36 4.2 Estrutura móvel de 8 sondas de nível (esquerda) e sonda ADV e de nível
(direita). Adaptado de Conde et al. (2012). . . 37 4.3 Plano longitudinal (cima) e planta (baixo) do canal de ondas do modelo
expe-rimental. Adaptado de Conde et al. (2012). . . 37 4.4 Definição da teoria de geração de onda, utilizando as características da onda
da tabela 4.3. Adaptado de Le Méhauté (1976) . . . 41 4.5 Esquema do canal simplificado indicando o número vertical de elementos de
cada bloco. Adaptado de Cardoso, 2017. . . 42 4.6 Malha utilizada para o estudo de independência da solução para um canal de
ondas de fundo constante. . . 43 4.7 Últimos 20 períodos de onda, para um canal bidimensional de fundo constante
(a). . . 44 4.8 Últimos 20 períodos de onda, para um canal bidimensional de fundo constante
4.9 Periodogramas referentes das sondas 2L, 4L, 6L ,8L e 10L. . . 46 4.10 Periodogramas referentes das sondas 2L, 4L, 6L ,8L e 10L, (continuação). . . 47 4.11 Últimos 20 períodos de onda e respetiva transformada discreta de Fourier,
para um canal bidimensional de fundo constante (b). . . 48 4.12 Primeiros 100 períodos de onda e evolução da elevação de superfície livre para
diferentes secções ao longo de canal bidimensional de fundo constante (a). . 49 4.13 Primeiros 100 períodos de onda e evolução da elevação de superfície livre para
diferentes secções ao longo de canal bidimensional de fundo constante (b). . 50 4.14 Esquema do canal de fundo variável simplificado indicando o número de
ele-mentos de cada bloco. Adaptado de Cardoso, 2017. . . 54 4.15 Malha utilizada para o estudo de um canal de ondas de fundo variável. . . . 54 4.16 Últimos 20 períodos de onda e respetiva transformada discreta de Fourier,
para um canal bidimensional de fundo variável (a). . . 57 4.17 Últimos 20 períodos de onda e respetiva transformada discreta de Fourier,
para um canal bidimensional de fundo variável (b). . . 58 4.18 Primeiros 100 períodos de onda e evolução da elevação de superfície livre para
diferentes secções ao longo de canal bidimensional de fundo variável (a). . . 59 4.19 Primeiros 100 períodos de onda e evolução da elevação de superfície livre para
diferentes secções ao longo de canal bidimensional de fundo variável (b). . . 60 4.20 Últimos 20 período de onda e respetiva transformada discreta deFourier, para
um canal bidimensional de fundo semelhante ao caso de estudo (a). . . 64 4.21 Últimos 20 períodos de onda e respetiva transformada discreta de Fourier,
para um canal bidimensional de fundo semelhante ao caso de estudo (b). . . 65 4.22 Primeiros 100 períodos de onda e evolução da elevação de superfície livre para
diferentes secções ao longo de canal bidimensional de fundo semelhante ao caso de estudo (a). . . 66 4.23 Primeiros 100 períodos de onda e evolução da elevação de superfície livre para
diferentes secções ao longo de canal bidimensional de fundo semelhante ao caso de estudo (b). . . 67 4.24 Planta (cima) e plano longitudinal (baixo) do canal de ondas do modelo
expe-rimental. Adaptado de Neves (2018) . . . 69 4.25 Definição da teoria de geração de onda, aplicando os parâmetros de onda da
tabela A.1. Adaptado de Le Méhauté (1976) . . . 70 4.26 Superfície livre captada pelas sondas (x = -9.2; 2.2; 0 m), contendo os
resul-tados obtidos experimentalmente e numericamente em Neves (2018), assim como os resultados obtidos numericamente recorrendo aosolver olaFlow. Os
resultados apresentados contabilizam a superfície numérica existente desde a 6ª até à 10ª onda. . . 72 4.27 Representação do domínio computacional utilizado na simulação numérica
com os nomes das fronteiras do domínio e a representação de algumas das sondas. Adaptado de Cardoso (2017). . . 75
Í n d i c e d e F i g u r a s
4.28 Definição da teoria de geração de onda, utilizando os parâmetro de onda da
tabela 4.16. Adaptado de Le Méhauté (1976) . . . 76
4.29 Esquema para a criação do fundo variável, recorrendo à ferramenta " snappyyHex-Mesh"aliada ao ficheiro STL "rampa.STL". . . . 77
4.30 Região de geração da onda. . . 77
4.31 Início da rampa de declive 1:11. . . 78
4.32 Início da rampa de declive 1:22. . . 78
4.33 Final da rampa de declive 1:22. . . 78
4.34 Região final do canal. . . 78
4.35 Esquema para a criação da redução de área lateral, recorrendo à ferramenta "snappyyHexMesh"aliada ao ficheiro STL "red_let_area.STL". . . . 78
4.36 Região inicial do canal. . . 79
4.37 Região onde se dá o início da redução lateral de área. . . 79
4.38 Região onde se dá o final da redução lateral de área. . . 79
4.39 Região final do canal. . . 79
4.40 10 períodos do sinal da onda, para o caso de estudo. . . 83
4.41 10 períodos do sinal da onda, para o caso de estudo, (continuação). . . 84
4.42 Periodogramas referentes aos sinais de onda da figura 4.37. . . 85
4.43 Periodogramas referentes aos sinais de onda da figura 4.38. . . 86
4.44 Primeiros 40 períodos de onda e evolução da elevação de superfície livre para diferentes secções ao longo de canal de ondas representado no caso de estudo, recorrendo a uma malha bidimensional. . . 87
4.45 Primeiros 40 períodos de onda e evolução da elevação de superfície livre para diferentes secções ao longo de canal de ondas representado no caso de estudo, recorrendo a uma malha tridimensional. . . 88
I.1 Diagrama de diretorias em árvore que representa o conjunto de ficheiros e pastas para realizar uma das simulações realizadas nesta dissertação. . . 96
Í n d i c e d e Ta b e l a s
2.1 Mecanismos de formação dos vários tipos de onda e gamas de períodos. Adap-tado de Cardoso (2017). . . 6 2.2 Parâmetros que descrevem uma onda simples progressiva. Adaptado de
Car-doso (2017). . . 9 3.1 Coeficientes e termos fonte e as respetivas expressões intermédias. Adaptado
de Higuera (2015) . . . 24 3.2 Coeficientes do modelo de turbulência k. . . 25 3.3 Parâmetros de controlo do algoritmo PIMPLE. . . 29 3.4 Linear-solvers utilizados pelo OpenFOAM ao longo da presente dissertação. . 31 3.5 Esquemas numéricos e respetivos esquemas de interpolação utilizados no
OpenFOAM . . . 32 4.1 Ondas regulares sem rebentação . . . 38 4.2 Algoritmos e esquemas numéricos utilizados. Adaptado de Conde et al. (2015). 39 4.3 Parâmetros da onda incidente no estudo de independência da solução. . . 40 4.4 Condições de simulação para o estudo de independência da solução para um
canal de ondas de fundo constante. . . 43 4.5 Amplitudes das harmónicas da onda teórica para algumas posições ao longo
de um canal de fundo constante (Exp.)(a). . . 51 4.6 Amplitudes das harmónicas da onda numérica para algumas posições ao longo
de um canal de fundo constante (Num1.)(a). . . 51 4.7 Amplitudes das harmónicas da onda numérica para algumas posições ao longo
de um canal de fundo constante (Num2.)(a). . . 52 4.8 Amplitudes das harmónicas da onda teórica para algumas posições ao longo
de um canal de fundo constante (Exp.)(b). . . 52 4.9 Amplitudes das harmónicas da onda numérica para algumas posições ao longo
de um canal de fundo constante (Num.)(b). . . 52 4.10 Condições de simulação para o estudo de independência da solução para um
canal de ondas de fundo variável. . . 54 4.11 Amplitudes das harmónicas da onda numérica para algumas posições ao longo
4.12 Amplitudes das harmónicas da onda numérica para algumas posições ao longo de um canal de fundo variável (b). . . 56 4.13 Condições de simulação para o estudo de independência da solução para um
canal de ondas de fundo variável semelhante ao caso de estudo. . . 61 4.14 Amplitudes das harmónicas da onda numérica para algumas posições ao longo
de um canal de fundo variável semelhante ao caso de estudo (a). . . 62 4.15 Amplitudes das harmónicas da onda numérica para algumas posições ao longo
de um canal de fundo variável semelhante ao caso de estudo (b). . . 63 4.16 Parâmetros da onda utilizados para o estudo do efeito da redução secção lateral
do canal. . . 69 4.17 Condições de simulação para o estudo da malha bidimensional, para o canal
de ondas. . . 70 4.18 Condições de simulação para o estudo da malha tridimensional, para o canal
de ondas. . . 71 4.19 Parâmetros da onda incidente no caso de estudo . . . 75 4.20 Condições de simulação para o caso de estudo da recolhendo a uma malha
bidimensional. . . 79 4.21 Condições de simulação para o caso de estudo da recolhendo a uma malha
tridimensional. . . 79 4.22 Amplitudes das harmónicas da onda numérica para algumas posições ao longo
do canal descrito no caso de estudo recorrendo a uma malha bidimensional, (Exp). . . 82 4.23 Amplitudes das harmónicas da onda numérica para algumas posições ao longo
do canal descrito no caso de estudo recorrendo a uma malha bidimensional, (Num2D). . . 82 4.24 Amplitudes das harmónicas da onda numérica para algumas posições ao longo
do canal descrito no caso de estudo recorrendo a uma malha bidimensional, (Num3D1). . . 82 4.25 Amplitudes das harmónicas da onda numérica para algumas posições ao longo
do canal descrito no caso de estudo recorrendo a uma malha tridimensional, (Num3D2). . . 82
N o m e n c l a t u r a s e S í m b o l o s
θ Fase [rad].
ω Frequência Angular [rad · s−1].
ν Viscosidade cinemática [m2·s−1].
ρ Massa volúmica [Kg · m−3]. Φ Potencial de velocidade [m2·s−1]. Ψ Função corrente [m2·s−1].
η Deslocamento da superfície livre [m].
ψ Ângulo de fase inicial [rad].
δ Delta de Kronecker [-].
µ Viscosidade dinâmica [Kg · (m · s)−1].
α Fração de volume de fluido [-].
σ Tensão superficial [N · m−1].
κ Curvatura da interface [-].
Dissipação de energia cinética [m2·s−3].
νef f Viscosidade cinemática efetiva [m2·s−1].
µef f Viscosidade dinâmica efetiva [Kg · (m · s)−1].
βk, β Coeficientes de dissipação [-].
νt Viscosidade cinemática turbulenta [m2·s−1].
µt Viscosidade dinâmica turbulenta [Kg · (m · s)−1].
∂t Passo de tempo [s].
C Celeridade [m · s−1].
Dk, D Coeficientes de difusão [-].
Fi Forças de fontes externas [N].
H Altura de onda [m].
K Número de onda [rad · s−1].
L Comprimento de onda [m].
Re Número de Reynolds [-].
S Tensor da taxa de deformações [s−1].
U Modulo da velocidade [m · s−1]. Uc Velocidade de compressão [m · s−1]. X Vetor posição [m]. a Amplitude [m]. d Profundidade [m]. g Aceleração da gravidade [m · s−2].
k Energia cinética turbulenta [m2·s−3].
n Número de elementos ao longo de uma aresta de malha [-].
p Pressão [Pa].
p∗ Pressão pseudo-dinâmica [Pa].
pη Pressão na superfície livre [Pa].
t Tempo [s].
u, v, w Componentes da velocidade na direção longitudinal, transversal e ver-tical [m · s−1].
ui0 Flutuação da velocidade [m · s−1].
x, y, z Coordenadas longitudinal, transversal e vertical do referencial cartesi-ano [m].
A b r e v i a t u r a s e Ac r ó n i m o s
CFD Computational Fluid Dinamics. DES Detached Eddy Simulation. DNS Direct Numerical Simulation.
EDP Equações Diferenciais às Derivadas Parciais. FFT Fast Fourier Transform.
GPL General Public License. LES Large Eddy Simulation.
LNEC Laboratório Nacional de Engenharia Mecânica. MDF Método das Diferenças Finitas.
MEF Método dos Elementos Finitos.
MULES Multidimensional Universal Limiter of Explicit Solution. MVF Método dos Volumes Finitos.
N-S Navier-Stokes.
PIMPLE Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations. PISO Pressure Implicit with Splitting of Operators.
RAM Random Access Memory.
RANS Reynolds Averaged Navier-Stokes.
SIMPLE Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations. STL Stereolithography.
VARANS Volume Averaged Reynolds Averaged Navier-Stokes. VOF Volume of Fluid.
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I n t r o d u ç ã o
1.1
Motivação
É incontestável o interesse que o ser humano sempre demonstrou pelo modo como a natureza se comporta. Dentro dos vários comportamentos irregulares que esta demonstra podemos destacar a formação de ondas marítimas. Sendo este fenómeno de importantís-simo estudo principalmente em países com uma considerável linha costeira, como o caso de Portugal. A exploração de recursos marinhos para aproveitamento energético, (e.g. energia maremotriz, ...), tem uma grande importância na economia destes países, assim sendo, existe a necessidade da criação de mecanismos para que tal aproveitamento possa ser feito. Outro factor importante, que justifica este estudo são os fenómenos de erosão existentes ao longo de toda a linha de costa, que apesar de processos naturais, põem em causa algumas estruturas e o próprio meio ecológico existente à sua volta. Tomando assim um papel importantíssimo no que toca ao ordenamento do território.
Deste modo, os fenómenos de propagação e rebentação das ondas têm sido estudados com o objetivo de melhorar a compreensão dos parâmetros físicos existentes em todo este processo. Sabe-se que as estruturas criadas juntos ás zonas de costa na sua maioria são afectadas por ondas que têm formação devido à ação do vento na superfície da água, sendo estas movidas por conta da gravidade. A forma como estas ondas são formadas tem influência em todo o tipo de problemas relacionados com a engenharia costeira (e.g. hidrovias, marinas, ...) e também na maneira como as praias são formadas, sendo que, por vezes, estas mesmo necessitam de paredões de modo a ficar a areia nas praias.
Figura 1.1: Exemplo da colocação de paredões da Praia da Galé, Albufeira. (Ramos et al., 2016).
Houve, portanto a necessidade de criar ferramentas que auxiliassem no estudo e na compreensão da dinâmica existente na formação e rebentação das ondas. Podemos distin-guir os mais variados tipos de casos de estudo, desde ferramentas matemáticas que são baseadas em fórmulas obtidas por diversos métodos experimentais, até ao caso específico que será utilizado, denominado de simulação numérica.
A simulação numérica consiste na reprodução virtual de um experimento , onde são aplicados os mais diversos algoritmos matemáticos, estes ajudam na formulação e reso-lução dos mais diversos problemas, tendo por base todo um processamento que a com-putação é capaz de gerar. Logo, por dependência lógica, podemos afirmar que uma das limitações da simulação numérica é a capacidade computacional da máquina que ren-deriza o processo, assim como o tempo, que deve ser balanceado com a qualidade dos resultados obtidos. Para este caso em concreto podemos distinguir a Dinâmica de Fluidos Computacional (Computational Fluid Dynamics, (CFD)).
A maioria dos casos tratados pela CFD são descritos por meio de uma aproximação
Euleriana baseada nas equaçõs de Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS) , sendo que
estas assentam nas equações deNavier-Stokes (N-S), (Versteeg e Malalasekera, 2007).
Tor-nando assim possível o estudo dos mais diversos casos de turbulência nos mais variados tipos de escoamento, dentro desses o estudo da formação, propagação e rebentação das ondas.
De entre os váriossoftwares utilizados para simulação numérica em dinâmica de
flui-dos, nos estudos relazados na seguinte dissertação recorreu-se a um programaopensource
designado de OpenFOAM na sua versão 17.12, instalado no sistema operativo Ubuntu 16.04 LTS.
1.2
Objetivos
O objetivo principal do estudo realizado é a simulação numérica da propagação de ondas regulares.
1 . 3 . E S T R U T U R A DA D I S S E R TAÇ ÃO
Para tal, inicialmente irão ser realizadas algumas simulações em malhas simplifica-das, de modo a ter um maior contacto com o programa OpenFOAM v17.12. Por norma, o tempo de simulação aumenta de uma maneira proporcional com à complexidade da malha. Assim sendo, é necessário ajustar o tipo de malha que, tendo em conta a sua complexidade, permite a obtenção de resultados coerentes num tempo adequado. Inici-almente as malhas bidimensionais utilizadas visam estudar o efeito que a variação do fundo tem no comportamento da onda.
As simulações do caso de estudo serão realizadas numa malha tridimensional, que toma a forma de um canal que é utilizado para o estudo da propagação e formação de ondas. De tal forma para que assim seja possível comparar os resultados obtidos por via computacional, com resultados obtidos por via experimental e outros resultados numéricos resultantes do estudo de casos semelhantes.
1.3
Estrutura da Dissertação
Inicialmente haverá uma pesquisa e um desenvolvimento da malha que se adeqúe melhor às simulações a realizar, para tal serão realizados diversos casos de estudo, por forma a assegurar uma boa propagação da onda ao longo de todo o domínio existente.
Esta dissertação encontra-se dividida em cinco capítulos: Introdução, Contextualiza-ção Teórica, Metodologias, Análise de Resultados e Conclusões e Trabalhos Futuros.
O primeiro capítulo inicia o leitor ao tema, onde dado a conhecer ao leitor as motiva-ções existentes e mostrando os objetivos a atingir.
O segundo capítulo aborda os mecanismos físicos que descrevem a formação, propaga-ção e rebentapropaga-ção de ondas. Descrevendo as várias teorias que descrevem este fenómenos e os parâmetros que condicionam os diferentes tipos de ondas.
No terceiro capítulo é dado a conhecer ao leitor a mecânica dos fluidos computacional e quais as ferramentas utilizadas no decorrer das simulações. Estão descritos os códigos existentes no programa OpenFOAM assim como descritos ossolvers utilizados, entre eles
ointerFoam e o olaFlow.
O capítulo quatro demonstra uma análise pormenorizada dos resultados das simu-lações efectuadas, assim como uma descrição do caso em estudo. É feito um estudo de independência da malha utilizada. Posteriormente são comparados os resultados obti-dos nas simulações numéricas com resultaobti-dos experimentais e com resultaobti-dos numéricos obtidos para casos semelhantes.
Por fim, no capítulo cinco, são feitas algumas conclusões a cerca do trabalho realizado e são discutidas algumas sugestões de possíveis trabalhos futuros a realizar.
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C o n t e x t ua l i z a ç ã o Te ó r i c a
No seguinte capítulo, é dado a conhecer ao leitor conceitos teóricos que descrevem os fenómenos de formação, propagação e rebentação de ondas. Estes conceitos são impor-tantes de modo a que seja possível uma boa descrição do caso em estudo, assim como dos resultados obtidos.
Apresentam-se vários tipos de onda existentes na natureza e a maneira como estas são geradas. São também descritos os parâmetros físicos de uma onda, assim como a influência de alguns factores externos como a variação da configuração do fundo.
Por fim, são demonstradas de forma resumida, algumas das teorias desenvolvidas ao longo dos últimos séculos. De entre as teorias descritas, é dada uma maior relevância à teoria linear e à teoria deStokes de segunda ordem.
2.1
Agitação Marítima
As ondas marítimas são manifestações de trocas de energias provocadas por diferentes fontes. De entre essas fontes é possível destacar o aquecimento não uniforme de massas de ar adjacentes à interface ar-água. Devido aos gradientes de pressão gerados, existe um deslocamento das massas de ar, que em contacto com a interface referida anteriormente, geram as ondas marítimas e os fenómenos a si associados.
A dinâmica oceânica é também afectada por outros fatores externos, como a gravidade e a configuração do fundo. Sendo assim, as ondas estão constantemente a serem induzidas e transformadas devido às ações externas da natureza.
2.1.1 Tipos de ondas e mecanismos de formação
Existem três tipos básicos de ondas oceânicas. Primeiramente podemos distinguir as ondas capilares, formadas na interface ar-água, geradas pela turbulência do vento quando
este entra em contacto com a tensão superficial da água dando origem a ondas curtas de elevada frequência. Em seguida, as ondas de gravidade, formadas pelo deslocamento da posição de equilíbrio das partículas existentes ao longo da superfície oceânica, provocada por forças gravíticas. Por fim, as ondas planetárias, provocadas essencialmente pelo efeito de Coriolis, ao longo da latitude e profundidade causando alterações de equilíbrio no
potencial de vorticidade. Estes tipos de onda anteriormente referidos podem ocorrer tanto singularmente como em conjunto, nos mais variados tipos de padrões e frequências.
A gama de frequências das várias ondas existentes é bastante vasta, assim como os seus respetivos comprimentos de onda e períodos. Desde as ondas capilares, com períodos na ordem dos décimos de segundo, passando pelas ondas swell, cuja ação de condições meteorológicas induzem períodos de alguns segundos, até ás marés, onde a força de atração da Lua em relação às gigantes massas oceânicas gera ondas cujos períodos podem se encontrar na ordem das horas, ou até mesmo de dias. Na tabela 2.1, são indicadas os diferentes tipos de onda, assim como qual o mecanismo físico de responsável pela sua geração e o seu período respectivamente.
Tabela 2.1: Mecanismos de formação dos vários tipos de onda e gamas de períodos. Adap-tado de Cardoso (2017).
Tipo de onda Fenómeno Físico Períodos Ondas capilares Tensão superficial < 10−1s Ondas geradas pela
ação do vento Variação da intensi-dade da direção do vento < 15 s Swell
Séries de ondas gera-das por condições me-teorológicas
< 30 s
Surf beat
Combinação de ondas com alturas de rebenta-ção diferentes
1 até 5 min
Seicha
Variação do vento e res-sonância em espaços confinados 2 até 40 min Tsunamis Tremores de terra ou movimentos de placas tectónicas 10 min até 2h Sobreelevação do nível do mar de índole mete-orológica
Variação da pressão at-mosférica e forças do vento
2 . 1 . AG I TAÇ ÃO M A R Í T I M A
Como referido anteriormente, é possível constatar a influência que certos corpos as-trais têm nos mares e oceanos, pelo efeito das marés. Onde a Lua, satélite natural terrestre, que através da sua grande massa é capaz de criar uma força gravítica que atrai as gigan-tes massas oceânicas existengigan-tes no planeta Terra. Na figura 2.1, é possível observar as diferentes fases das marés.
Figura 2.1: Deslocamento das massas de água em função da Lua e do Sol. Adaptado de Foreman (1977)
• A) Situação isopotencial, havendo uma inexistência de maré;
• B) Maré lunar, onde as massas oceânicas são atraídas pela Lua por meio de uma força gravitacional;
• C) Maré lunissolar, onde as massas oceânicas são atraídas tanto pela Lua como pelo Sol por meio de uma força gravitacional, provocando marés de maior dimensão.
Figura 2.2: Distribuição esquemática da energia da onda por frequência. Adaptado de Massel (1996).
Uma outra propriedade que tem algum interesse é a energia gerada e libertada na formação das ondas. Na figura 2.2, é possível ter uma relação entre a frequência e a
energia existente nos vários tipos de onda, contudo não revela o seu verdadeiro conteúdo energético.
Por observação do gráfico da figura 2.2, é possível constatar que as ondas de gravidade são as de maior conteúdo energético, sendo as que existem em maior quantidade nos oceanos. Assim sendo, o seu estudo torna-se importante para os vários problemas de engenharia costeira, tanto nos projetos de infraestruturas junto á linha de costa, assim como para a criação de um equipamento que seja implementado de modo a aproveitar esta fonte de energia renovável.
2.2
Teoria das ondas
Várias foram as teorias desenvolvidas para caracterizar os parâmetros relacionados com a formação, propagação e rebentação das ondas marítimas. Porém, estas teorias descre-vem meras aproximações da realidade, podendo ser bem descritos alguns fenómenos sob determinadas condições de modo a satisfazer as hipóteses que são apresentadas. No entanto, podem existir falhas na sua descrição, havendo assim uma violação dessas mes-mas hipóteses. Uma vez adoptada uma teoria, deve-se assegurar que esta traduz com alguma coerência os fenómenos das ondas em estudo, havendo assim, vários projetos de engenharia costeira que estão imensamente dependentes da capacidade de previsão do movimento da água e da formação das ondas, junto à linha da costa.
O inicial interesse pela teoria das ondas começou no séc. XVIII, pelos matemáticos Euler (1707-1783) e Laplace (1749-1827), que após um estudo analítico, chegaram a diversas equações diferenciais (e.g. equação das ondas, ...), porém estas não descreviam de maneira concisa os fenómenos envolventes. Somente no séc. XIX, o britânico George Airy (1801-1892), desenvolveu uma segunda teoria designada por teoria linear das ondas, onde são descritas equações que modelam ondas de baixas amplitudes. Porém mais tarde, após se verificar algumas insuficiências na sua teoria, esta deu origem àTeoria não linear. Anos
mais tarde, o físico e matemático Gabriel Stokes (1819-1903), aplicando os conhecimentos desenvolvidos na função potencial e corrente, chega à Teoria de Stokes das ondas curtas,
que permitiram uma melhor compreensão das ondas de baixa amplitude, para um fundo finito constante (Condeço, 2018).
Na teoria das ondas, como já referido em capítulos anteriores, são descritas aproxima-ções matemáticas da realidade. Na escolha de uma teoria, deve-se ter em conta se esta é uma boa aproximação do caso de estudo, pois a previsão do tipo de ondas (Demirbilek e Vincent, 2008) está inteiramente ligada com o desenvolvimento de projectos de engenha-ria costeira. Incorre-se então o risco da teoengenha-ria adoptada entrar em falha em determinados aspectos quando comparada com o caso real, o que trará carência nos resultados obtidos, ou até mesmo descrever fenómenos inexistentes.
Com o avança do conhecimento cientifico, deu-se umboom na evolução tecnológica
2 . 2 . T E O R I A DA S O N DA S
diversos modelos que descrevem os fenómenos associados à formação, propagação e re-bentação das ondas de maneira cada vez mais precisa. Aplicando estes modelos ao cálculo computacional, com base nas equações diferenciais idealizadas por Stokes e Euler, é possí-vel criar modelos numéricos, válidos para qualquer tipo de onda, (e. g. marítima, eléctrica, sonora, ...).
Podem ser distinguidas dois tipos de ondas, as ondas regulares e irregulares. As ondas regulares são caracterizadas por serem bidimensionais, tendo a sua altura e período cons-tantes, podendo ser representadas por equações lineares (e.g. sinusoidal, ...) ou equações não lineares. Por outro lado temos as ondas irregulares, que são sistemas constituídos por sucessivas ondas que podem ter diferentes alturas e períodos. Estas ondas de carácter tridimensional e não estacionário são analisadas através de métodos estatísticos, sendo que, para chegar a uma estimativa é necessário aplicar algumas simplificações. É possível afirmar que a teoria escolhida e o seu grau de simplificação indicam que os resultados a obter terão uma determinada fiabilidade. Ondas irregulares são o tipo de ondas mais representativo do que se passa na superfície oceânica.
No seguinte sub-capítulo estão descritas de maneira mais pormenorizada os parâme-tros constituintes de uma onda, assim como aTeoria Linear de Ondas e a Teoria não Linear de Ondas.
2.2.1 Parâmetros que definem a onda
Como referido anteriormente, as ondas regulares são bidimensionais, podendo ser repre-sentadas por variáveis espaciais (x) e variáveis temporais (t), ou pela sua fase (θ), sendo
esta última descrita pela combinação das duas anteriores variando entre 0 e 2π. A fase de uma onda pode ser representada pelas funções trigonométricas seno e cosseno que combi-nando a altura, comprimento de onda e profundidade da zona de propagação. Torcombi-nando assim possível descrever uma onda por completo (Demirbilek e Vincent, 2008; Cardoso, 2017). Existem outros parâmetros que também definem uma onda, estes serão ilustrados na tabela 2.2.
Tabela 2.2: Parâmetros que descrevem uma onda simples progressiva. Adaptado de Car-doso (2017). Parâmetro Descrição H(m) Altura de onda T(s) Período L(m) Comprimento de onda d(m) Profundidade a(m) Amplitude θ(rad/s) Fase
k(rad/s) Número de onda
ω(rad/s) Frequência angular
Ao observar a figura 2.3, vemos que a onda tem um ponto mais alto e um outro mais baixo, sendo estes denominados de crista e cava respetivamente. A distância vertical entre os pontos anteriormente mencionados é defenida como a altura de onda (H). A
amplitude de onda (a), em ondas lineares, é definida como a distância vertical entre a
superfície da água e a crista. Em ondas regulares, a distância entre a linha de água e a crista é semelhante para a distância existente entre a linha de água e a cava. Podemos assim afirmar que o valor da amplitude é metade da altura de onda, a = H/2. O intervalo de tempo entre duas cristas ou cavas sucessivas num denominado ponto é designado de período da onda (T). A distância horizontal entre esses pontos é denominada por
comprimento de onda (L).
De entre outros parâmetros que definem uma onda temos a frequência angular dada por ω = 2π/T , o número de onda designado por k = 2π/L, o declive da onda dado por
= H/L e a celeridade definida por C = L/T = ω/k. Por fim temos a fase da onda, sendo
esta matematicamente descrita por, θ = kx − ωt.
A superfície livre, η, representada na figura 2.3, é definida em função do tempo e da coordenada espacial horizontal por, η(x, t) ou por η(θ).
Figura 2.3: Representação de uma onda simples progressiva. Adaptada de Demirbilek e Vincent (2008).
2.2.2 Teoria de ondas linear
Após definidos os parâmetros de uma onda, é possível descrever a teoria mais elementar que descreve a agitação marítima, a teoria linear.
2 . 2 . T E O R I A DA S O N DA S
A teoria linear de ondas, proposta por Airy (1845), consiste numa teoria de fácil apli-cabilidade, apresentado resultados bastante exequíveis em termos da aproximação dos parâmetros de uma vasta gama de ondas. No entanto, esta possui algumas limitações, logo, de modo a que esta teoria possa ser aplicada, é necessário considerar os pressupos-tos envolvidos na mesma. Sendo estás condições (Demirbilek e Vincent, 2008):
• O fluido deve ser homogéneo, incompressível, de massa volúmica (ρ) constante. • A tensão superficial pode ser desprezada.
• O efeito de Coriolis é desprezável.
• A pressão na superfície livre é constante e uniforme. • O fluido é ideal ou invíscido.
• O escoamento é irrotacional.
• O fundo é horizontal, fixo e impermeável.
• A amplitude da onda é pequena e a sua forma não varia. • As ondas são bidimensionais.
A teoria linear tem por base as equações de Laplace, da continuidade e de Bernoulli. Deste modo e aplicando algumas simplificações, definem-se modelos matemáticos que descrevem as características das ondas.
Primeiramente a propriedade da irrotacionalidade do escoamento, que possibilita a aplicação da função potencial, Φ, função matemática escalar, cujo gradiente é o vetor de velocidade em capa ponto, tornando assim possível a obtenção do campo de velocidades. Assim sendo, a componente da velocidade do fluido na direção longitudinal é dada por:
u =∂Φ
∂x (2.1)
Do mesmo modo, a componente da velocidade na direção vertical é obtida por:
w =∂Φ
∂z (2.2)
Somente existem duas componentes da velocidade, pois o escomento é bidimensional. Como se trata de um escoamento incompressível, ortogonal à função potencial ,Φ , temos a função corrente ,Ψ . A função corrente é obtida através da função potencial e vice-versa pelas equações deCauchy-Riemann:
u =∂Φ ∂x = ∂Ψ ∂z (2.3) w =∂Φ ∂z = − ∂Ψ ∂x (2.4)
Derivando uma segunda vez, obtém-se a equação deLaplace. A equação de Laplace
descreve o comportamento do escoamento de fluidos ideais, ou seja, fluidos invíscidos e incompressíveis, pressupostos esses incluídos na teoria linear. A equação de Laplace
bidimensional em termos do potencial de velocidade é dada por:
∂2Φ
∂x2 +
∂2Φ
∂z2 = 0 (2.5)
A equação da continuidade para um escoamento incompressível bidimensional (Dean e Dalrymple, 1984):
∂u ∂x+
∂w
∂z = 0 (2.6)
De modo a obter uma solução para a equação deLaplace é necessário a implementação
de condições fronteiras cinemáticas e dinâmicas ao longo da superfície livre e do fundo impermeável. As condições de fronteira que formam a base da teoria linear estão descritas na figura 2.4. Como não é conhecida a forma da superfície livre, de modo a fechar o sistema de equações, é necessário recorrer à equação de Bernoulli para um escoamento
potencial não estacionário, ou seja, variável no tempo. A equação deBernoulli aplicada
em escoamentos não estacionários é dada por:
−∂Φ
∂t + Pη
ρ + gz = 0, para z = η(x, t) (2.7)
Após simplificar a equação 2.7, é fulcral analisar a condição de fronteira dinâmica existente ao longo da superfície livre. A superfície livre descreve a interface ar-água, tendo esta a particularidade de não suportar variações de pressão, característica esta representada na figura 2.4 como DFSBC. Tendo em conta a simplificação descrita, é possível assumir que a pressão acima da interface ar-água Pη, é constante, podendo o seu termo ser cancelado, logo:
−∂Φ
∂t + gz = 0, para z = η(x, t) (2.8)
Em seguida, é necessário recorrer à condição de fronteira cinemática da superfície livre. Depois de simplificada a equação 2.7, chega-se a relação entre o deslocamento da superfície livre, η, com a variação do potencial de velocidade, Φ, em ordem ao tempo. Condição esta descrita na figura 2.4 por KFSBC. Tendo em conta que a interface água-ar está constantemente a sofrer deformações devido às variações de pressão, pela conserva-ção de energia imposta pela equaconserva-ção de Bernoulli, estas têm de ser compensadas pelas
variações de velocidade do fluido. Assim sendo, (considerando g como a aceleração da gravidade):
∂η ∂t =
∂Φ
2 . 2 . T E O R I A DA S O N DA S
Observando a equação 2.4, vemos que condição de fronteira aplicada dita que ve-locidade de um partícula ao longo da superfície livre é igual à veve-locidade da própria superfície.
Figura 2.4: Condições de fronteira para ondas regulares (Dean e Dalrymple, 1984). Assim sendo, para uma onda monocromática progressiva, a teoria linear descreve a mesma como um sinusóide simples. A elevação da superfície livre é dada pela equação:
η(x, t) = Acos(θ) (2.10)
Como enunciado anteriormente, a = H/2 e θ =kx−ωt-ψ, onde ψ é o ângulo de fase inicial. Separando as variáveis, o potencial de velocidade que satisfaz a equação deLaplace,
tendo em conta as condições de fronteira:
Φ=H 2 g ω cosh(k)(d + z) cosh(kd) sin(θ) (2.11)
Sendo a função cosh e senh o cosseno e o seno hiperbólico, respectivamente. Atra-vés do potencial de velocidades, equação 2.11, derivando obtém-se as componentes da velocidade, u e w: u =∂Φ ∂x = H 2 gT L cosh(k)(d + z) cosh(kd) cos(θ) (2.12) w =∂Φ ∂z = H 2 gT L sinh(k)(d + z) cosh(kd) sin(θ) (2.13)
Após todas as demonstrações realizadas anteriormente, chegamos aos parâmetros das ondas pretendidos inicialmente. Através das condições de fronteira cinemáticas que satisfazem a relação de dispersão:
Onde tanh representa a função tangente hiperbólica, por meio de manipulação algé-brica chega-se à velocidade de propagação da onda:
C = L
T =
r g
ktanh(kd) (2.15)
Por fim. resultante de uma segunda manipulação algébrica, obtém-se a expressão que define o comprimento de onda:
L =gT
ω tanh(kd) (2.16)
Para melhor compreensão das deduções matemáticas aplicadas anteriormente, pode-se consultar Dean e Dalrymple (1984).
Esta teoria permite inclusive, classificar as ondas consoante a profundidade a que estas se propagam. Quando nos deparamos com o argumento de tanhh, (kd), podemos afirmar que à medida que este aumenta, o valor de tanhh(kd) tende para a unidade. Em contrapartida, para os casos de baixas oscilações, temos que tanh(kd) ≈ kd. Assim sendo as ondas podem ser agrupadas em três tipos de profundidade (Demirbilek e Vincent, 2008; Cardoso, 2017):
• No caso de um escoamento em águas profundas, para uma profundidade superior a meio comprimento de onda d > L/2, onde o fundo praticamente não tem influencia nas características das ondas, tanh(kd) ≈ 1;
• No caso de um escoamento de profundidades intermédias, onde L/20 < d < L/2, existe uma influência da profundidade, período e comprimento de onda nos restan-tes parâmetros da onda, tornando tanh(kd) impossível de simplificar;
• No caso de um escoamento de baixas profundidades, onde a profundidade é menor que o comprimento de onda, sendo este divido por 20, d < L/20, a velocidade de propagação somente depende da profundidade, logo, tanh(kd) ≈ 0.
Esta teoria representa uma óptima aproximação para ondas de pequena amplitude. Porém, quando falamos em projectos de engenharia costeira, este tipos de ondas não são as de maior interesse. As ondas presentes no oceano são ondas de grandes dimensões, com comportamentos irregulares, dos mais variados tipos de períodos e sobreposições dos mesmos, assim sendo, é necessário recorrer a outras teorias não lineares de modo a descrever esses fenómenos (Demirbilek e Vincent, 2008).
2.2.3 Teoria de ondas não linear
Sendo a teoria linear de ondas limitada a ondas de pequena amplitude, onde necessaria-mente devem ser tidas em conta todas as condições de fronteira dinâmicas e cinemáticas, esta torna-se insuficiente para descrever os fenómenos recorrentes nas realidades dos
2 . 2 . T E O R I A DA S O N DA S
nossos mares e oceanos. Factores como a aproximação à costa, ou um desnível entre a crista e a cava de determinada onda não são tidos em conta pela teoria linear.
Houve então a necessidade de criar novas teorias, que dessem resposta às limitações existentes na teoria linear, foram assim criadas as teorias de ordem superior. Entre es-sas teorias, destacam-se a deStokes, Cnoidal e ondas solitárias. As teorias mencionadas
anteriormente estão descritas em Dean e Dalrymple (1984) e Demirbilek e Vincent (2008). A escolha da teoria a utilizar está relacionada com alguns parâmetros, como a profun-didade do local, altura de onda e período. A variação destes fatores, foi estudada por Le Méhauté (1976) , resultando no gráfico da figura 2.5, onde este comparou os parâmetros anteriormente enunciados e a forma como estes variam consoante as diversas teorias de ordem superior.
Figura 2.5: Teoria de Ondas por Le Méhauté, Le Méhauté (1976).
Uma das principais características das teorias de ordem superior, é a particularidade destas descreverem o fenómeno do transporte de massa, também conhecido como deriva deStokes, onde o movimento da água é dado na direção de propagação da onda. Nesta
dissertação, será dado ênfase à teoria deStokes, mais concretamente a de segunda ordem,
(StokesII), como será demonstrado posteriormente.
Na sua forma mais simples, a teoria de primeira ordem assemelha-se à teoria linear deAiry, podendo ser desenvolvida até à quinta ordem. A teoria de Stokes tem por base
a teoria linear, sendo esta levada a ordens superiores por meio de uma expansão de potências, aplicando o método de perturbações. Para tal, é necessário tornar as condições de fronteira adimensionais, surgindo a variável = ka, denominada de parâmetro de
perturbação. A expressão referente à expansão de potências da teoria linear:
Φ= Φ0+ Φ1+ 2Φ2+ ... (2.17) Analisando a equação 2.17, podemos ver que existem termos dependentes e inde-pendentes de . A solução linear, (primeira ordem), corresponde somente ao termo Φ0, independente de , os restantes termos correspondem às teorias de ordem superior. No caso da teoria de segunda ordem, o termo dependente é 2. Assim sendo, recorrendo ao raciocínio utilizado na equação 2.10, a equação que descreve a elevação da superfície livre para a teoria deStokes de segunda ordem é dada por:
η(x, t) =H 2cos(θ) + k H2 4 3 − σ2 4σ3 cos(2θ) (2.18)
Onde H representa a altura da onda (H = 2a), θ a fase (θ =kx−ωt-ψ) e σ = (tanh(kd)). Separando os termos da equação 2.18, vemos que o primeiro termo corresponde ao exis-tente na teoria linear, enquanto que o segundo termo representa as harmónicas que são adicionadas pelas teorias de ordens superiores.
Analogamente, as componentes da velocidade para a teoria de segunda ordem:
u =H 2ω cosh(kz) sinh(kd)cos(θ) + 3 4 H2ωk cosh(2kz) 4 sinh4(kd) cos(2θ) (2.19) w =H 2ω sinh(kz) sinh(kd)sin(θ) + 3 2 H2ωk sinh(2kz) 4 sinh4(kd) sin(2θ) (2.20) À medida que são adicionadas componentes harmónicas, estas destacam-se do termo relativo à teoria linear, havendo uma alteração no comportamento das ondas. A amplitude relativa às cristas e cavas torna-se desigual, a crista da onda fica mais longa e a cava mais curta. A teoria deStokes para ordens superiores descreve também o fenómeno do
transporte de massa, pois as órbitas de uma partícula de água deixam deixam de ser fechadas (Demirbilek e Vincent, 2008).
C
a
p
í
t
u
l
o
3
F e r r a m e n ta s C o m p u ta c i o n a i s
No presente capítulo estão descritas as ferramentas utilizadas para solucionar os obje-tivos apresentados, os processos de geração de malha que são necessários para o desen-volvimento da geometria desejada, os modelos matemáticos que são base das simulações numéricas e as características do programa OpenFOAM.
Estesoftware recorre ao método de volumes finitos e é constituído de solvers, como
ointerFoam e o olaFlow, que auxiliam na resolução dos mais diversos casos na área da
dinâmica dos fluidos. Possui tambémutilities de pré e pós processamento.
De modo facilitar o tratamento de dados, são utilizados alguns scripts e softwares
externos.
3.1
Ferramentas e Software
As simulações realizadas nesta dissertação têm como base o código gratuito OpenFOAM. Para tal foi utilizada a versão OpenFOAM v17.12 instalada no sistema operativo Ubuntu 16.04 LTS. O computador utilizado para o decorrer das simulações é equipado com um processador Intel®CoreTMi7-7700K @ 4.20GHz x 8 com 32GB RAM.
3.1.1 OpenFOAM
O OpenFOAM, (Open Field Operation and Manipulation), é um programa open-source, ou
seja, dedownload e utilização gratuitos por parte do utilizador, que tem como principal
propósito a resolução de problemas da área da dinâmica de fluidos computacional, (CFD). Foi umsoftware desenvolvido pela OpenFOAM Foundation, sendo este distribuído pela Ge-neral Public License, (GPL), que possibilita aos utilizadores do software realizar alterações
Uma das principais características do programa, é o facto de este ser formado por um conjunto de bibliotecas escritas em linguagem de programação C++, permitindo a criação de executáveis, denominados de aplicações. As aplicações podem ser divididas em duas classes, os solvers e as utilities. Os solvers são ferramentas de código utilizadas
para solucionar um problema em específico dos vários casos possíveis abordados pelo OpenFOAM. As utilities são responsáveis pelo tratamento e processamento de dados,
entre eles temos a geração de malha, as condições de fronteira e ferramentas de pré e pós processamento utilizadas na compilação de dados. A grande variedade desolvers e utilites
permite resolver uma gama vasta de casos nas mais diversas áreas da dinâmica de fluidos computacional (Cardoso, 2017).
O OpenFOAM não contém uma interface gráfica, todos os comandos e cálculos são realizados no próprio terminal do sistema operativo Ubuntu. Assim sendo é necessário recorrer asoftwares externos que permitam observar o comportamento do escoamento,
como o caso do Paraview. De modo a observar os resultados obtidos através das sondas de pressão, recorre-se ao programa GnuPlot, que é instalado em conjunto com o próprio OpenFOAM.
Para iniciar o estudo de um caso, é necessário criar uma directoria constituída por sub-directorias, cada uma delas contendo informação necessária à realização da simulação numérica de determinado escoamento. Entre essas informações destacam-se as condições de fronteira, a geração da malha, quais os fluidos envolvidos e parâmetros de simulação. A directoria principal de um caso de estudo divide-se em três sub-directorias, sendo estas a directoria "0", "constant"e "system". Cada uma das directorias mencionadas
ante-riormente é dividida em outras sub-directorias, cada uma contendo uma especificação do caso de estudo. A directoria "0"contém ficheiros com informação acerca das condições
iniciais e de fronteira dos parâmetros da simulação numérica. A directoria "constant"diz
respeito aos ficheiros responsáveis pelas propriedades do fluido e modelos de turbulência, na sua sub-directoria "polymesh"estão contidas informações relativas à malha. Por fim, a
directoria "system"possui o ficheiro "controlDict"onde são controlados os parâmetros de
si-mulação e um conjunto de ficheiros responsáveis pelos esquemas numéricos e algoritmos de resolução.
3.1.1.1 Geração de malha
A criação das malhas nesta dissertação incorreu na utilização dasutilites do prórpio
Open-FOAM, sendo estas oblockMesh e o snappyHexMesh. De modo a complementar a utilização
dosnappyHexMesh foi necessário recorrer à utilização de um software externo designado
de SketchUp (Trimble, 2019). Estesoftware não possui problemas de compactibilidade
entre diferentes sistemas operativos pois o modelo de CAD (Computer Aided Design) é
gerado viabrowser.
Como referido anteriormente, o blockMesh é um utility existente no próprio
3 . 1 . F E R R A M E N TA S ESOFTWARE
tridimensionais hexaédricos. A execução desses mesmos comandos é realizada no ficheiro "blockMeshDict, localizado na directoria "system", onde para além desta decomposição da
malha é possível também designar quantas células são desejadas e qual taxa de extensão ao longo das direções existentes, (x,y e z).
Autility snappyHexMesh gera malhas tridimensionais através de hexaedros
reparti-dos, "cortando"as geometrias iniciais triangularmente. Para tal recorre-se a um ficheiro STL, (Stereolithography), onde o volume deste é "subtraído"à malha fornecida no ficheiro
"blockMeshDict". O ficheiro que gere a refinação da malha na zona triangular é designado
de "snappyHexMeshDict", localizado na directoria system, é possível definir diferentes
ní-veis de refinamento. Como referido anteriormente, é necessário recorrer a umsoftware
externo de desenho de modo a completar o funcionamento desta ferramenta, para tal é gerado um ficheiro do tipo STL que fica guardado na sub-directoriatriSurface localizado
na directoriaconstant.
3.1.1.2 Objetos função
Osoftware é também munido de objetos função, (function Objects), sendo estes um
comple-mento dossolvers já existentes no próprio OpenFOAM. A directoria "system"contém um
ficheiro designado de "controlDict"onde podem ser configurados alguns dos parâmetros
de simulação, como o compasso de tempo de registo dos resultados. Os objetos função permitem auxiliar o utilizador com algumas tarefas durante a simulação e com alguns cálculos de pós-processamento.
Nesta dissertação foi utilizado como objeto função a função "sampleSet", onde são
colocadas sondas em pontos específicos da geometria a ser estudada. Estas sondas possi-bilitam a obtenção de dados com base em linhas, superfícies ou conjuntos de pontos.
3.1.1.3 Pós-processamento
As tarefas de compilação e tratamento de dados de pós-processamento podem ser realiza-das por algumas funções embutirealiza-das no próprio OpenFOAM, ou fazendo o uso de alguns
softwares externos.
O sistema operativo utilizado,para o desenvolvimento desta dissertação recorre à linguagem de programação C++, sendo esta uma das bases da linguagemPython. A
lin-guagem de programação Python tem como características o facto de ser orientada por
objetos, interativa e simples. O código éopen-source, sendo possível fazer alterações no
mesmo, possuindo um interpretador capaz de compilar os objetos função existentes num caso de estudo. Nesta dissertação, aplicando a lógica da programação, oPython foi
utili-zado para manipulação e estatística dos resultados obtidos pelas sondas, fazendo recurso dos seus módulos matemáticos, científicos e gráficos.
De modo a compilar os resultados obtidos, foi utilizado script de Python (ficheiro
"postSensVOF.py"do Anexo A), onde é realizado um integral de Riemann da fração de
sonda existente ao logo do domínio computacional, descrevendo assim a oscilação da superfície livre (Cardoso, 2017). Com o intuito de realizar uma análise espetral, o cálculo das transformadas discretas de Fourier (DFT), para cada uma das sondas foi realizado
através de umscript em Pyhton, (ficheiro "FFT.py"do Anexo A), tendo o registo dos últimos
vinte períodos de cada sonda, aplicando o algoritmo da transformada rápida deFourier
do próprioPython.
De modo a analisar os resultados obtidos pelas sondas colocadas ao longo do domínio computacional, é utilizado o programa GnuPlot. Estesoftware tem a particularidade de
gerar gráficos com base numa linha de comandos. O programa Paraview é utilizado para uma análise pormenorizada da refinação da malha e do comportamento do escoamento num determinado ponto do domínio para um certo instante de tempo. Ambos ossoftwares
designados anteriormente saõ instalados juntamente com o próprio OpenFOAM.
3.2
Modelação matemática e numérica
A matemática utilizada para descrever os fenómenos relacionados com a mecânica de fluidos podem ser descritos desde equações diferenciais até derivadas parciais (EDP). A resolução deste tipo de problemas passa pela utilização de três tipos de métodos particu-lares, o Método das Diferenças Finitas (MDF), o Método dos Volumes Finitos (MVF) e o Método dos Elementos Finitos (MEF). Osoftware OpenFOAM utilizado para o
desenvol-vimento desta dissertação recorre somente ao MVF.
De modo a aplicar o MVF é necessário decompor o domínio em várias células, designa-das de volumes de controlo. Estas células possuem um centróide, onde são armazenados os valores das variáveis e constantes. As equações que regem o escoamento são integradas ao longo de todas as células para que sejam obtidos os valores das diferentes variáveis no centroíde das mesmas, enquanto que os valores referentes às fases são obtidos por meio de uma interpolação das células anteriores.
3.2.1 Equações RANS
Nesta dissertação as simulações realizadas têm por base um modelo bidimensional e tridi-mensional de um escoamento newtoniano e incompressível. Para tal descrição matemática são aplicadas as equações deNavier-Stokes, considerando inclusive as leis da conservação
da massa, da quantidade de movimento e da energia (Versteeg e Malalasekera, 2007). Estas considerações são suficientes para descrever um escoamento laminar, porém em casos mais complexos somente estas ponderações não permitem o estudo de escoamentos em regime turbulento. Assim sendo, esta insuficiência levou à criação das equações de
Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS), que podem ser obtidas via análise diferencial do
escoamento.
A equação que descreve a lei da conservação da massa para um volume de controlo é dada por:
3 . 2 . M O D E L AÇ ÃO M AT E M ÁT I C A E N U M É R I C A ∂ρ ∂t + ∂ρu ∂x + ∂ρv ∂y + ∂ρw ∂z = 0 (3.1)
Considerando um escoamento tridimensional e incompressível, U representa o vetor velocidade, sendo este formado pelas suas coordenadas vetoriais U = (x, y, z).
∇.U = 0, onde ∇ representa o divergente (3.2)
Após feitas as seguintes simplificações obtém-se a equação em notação normal e de
Einstein por: ∂ui ∂xi =∂u ∂x + ∂v ∂y+ ∂w ∂z = 0 (3.3)
Aplicando o mesmo raciocínio, a lei da conservação do momento ou da quantidade de movimento é dada na notação deEisntein por:
∂ρui ∂t + ∂ρuiuj ∂xj = − ∂pδij ∂xi + ρgi+ ∂ ∂xjµ ∂ui ∂xj (3.4)
Na equação 3.4, g representa a aceleração da gravidade, δ é definido como o Delta de Kronecker ou matriz identidade (δij = 1 se i = j e δij = 0 se i , j) e µ a viscosidade dinâmica do fluido.
O comportamento de escoamentos em regime laminar é completamente descrito pelas equações deNavier-Stokes. Porém estas tornam-se insuficientes para descrever a maioria
de problemas de engenharia, onde os escoamentos possuem um regime turbulento. O regime de um escoamento é definido pelo número deReynolds. A equação que permite o
seu cálculo é dada por:
Re = ρU L
µ (3.5)
Onde U é o módulo da velocidade e L o comprimento caracteristíco. O número de
Reynolds é adimensional e possui como característica o facto de ser a razão existente entre
as forças de inércia e viscosas. Considerando um escoamento ao longo do interior de um tubo, cujo comprimento característico L é o seu diâmetro interno, para valores de Reynolds (Re < 2100) o escoamento encontra-se num regime laminar, enquanto que para números de Reynolds (Re > 4000) o escoamento é considerado em regime turbulento (Cardoso,
2017).
Os escoamentos em regime turbulento possuem estados de movimento caóticos, ir-regulares e imprevisíveis, havendo a criação de vórtices de tamanho variável com uma alta taxa de libertação de energia. Algumas das propriedades do escoamento como a velocidade e a pressão variam significativamente com o passar do tempo. A figura 3.1 de-monstra como estas irregularidades provocam oscilações bruscas em torno de um ponto médio, neste caso a velocidade pontual.
Figura 3.1: Medição da velocidade característica de um escoamento turbulento (Versteeg e Malalasekera, 2007)
As irregularidades existentes na natureza do escoamento levam à criação de uma forma alternativa de descrever as suas propriedades. A representação desta metodolo-gia passa pela sua decomposição em duas componentes, pelo que qualquer propriedade instantânea do escoamento por ser dada por:
a(t) = a + a0(t) (3.6)
A componente a define qualquer uma das propriedades instantâneas do fluido. Sendo esta decomposta na sua componente ¯a que representa a média temporal e a0 que descreve a componente da flutuação.
Esta abordagem é designada de decomposição deReynolds, onde são obtidas as
ex-pressões matemáticas que permitem descrever a natureza de um escoamento em regime turbulento. A sua substituição nas equações deNavier-Stokes, realizando a média
tempo-ral, levam à obtenção das equações RANS.
Aplicando esta nova analogia à equação da conservação da massa, averigua-se que esta não sofre nenhuma alteração, pelo que a média da flutuação para a componente da velocidade é zero, logo:
∂ui
xi
= 0 (3.7)
Analogamente, na equação da conservação do momento, proveniente das flutuações surge um novo termo:
uiuj = (ui+ u 0 i)(uj+ u 0 j) = (uiuj) + (uiuj0) + (u 0 iuj) + (u0iu 0 j) = uiuj+ u0iu 0 j (3.8)
