Proposta de minicurso para a seção temática de Geometria e Física Matemática
Verão em matemática da UFBA 2018
Proponente: Diego Catalano Ferraioli
Titulo: Uma introdução à noção de simetria de uma equação diferencial e suas aplicações Período: de 26 de Fevereiro a 02 de Março, 2018
Nível do curso e publico alvo: O nível do curso pode variar, de elementar a mais avançado, e será definido a partir dos perfis dos participantes cadastrados até o dia 15 de Dezembro 2017.
Síntese dos objetivos: O curso têm como objetivo aquele de apresentar as idéias principais do estudo geométrico das equações diferenciais. Em particular o curso evidenciará o papel central desempenhado em vários aspectos pela noção de simetria, incluindo suas aplicações práticas.
Sobre o tema da proposta
As equações diferenciais, em derivadas ordinárias ou parciais, são ingredientes fundamentais dos modelos matemáticos usados nas ciências exatas.
O ponto de vista elementar, segundo o qual uma equação diferencial é um sistema de relações funcionais entre as derivadas de um dado conjunto de funções, apresenta inúmeras limitações, dentre as quais a impossibilidade de estudar de uma forma invariante as obstruções que podem levar uma equação a ser integrável ou não. Essas limitações são superadas por uma abordagem geométrica realizada aplicando a geometria dos espaços de jatos. De fato, sob um ponto de vista geométrico, as equações diferenciais são sub-variedades de espaços de jatos e portanto podem ser estudadas em termos daquelas propriedades que são invariantes sob a ação de transformações de contato, i.e., os auto-morfismos naturais de um espaço de jatos. Este ponto de vista nós leva à uma profunda teoria geométrica das equações diferenciais, que foi iniciada pelos trabalhos pioneiros de Monge [50] e Darboux [27], bem como a contribuição decisiva de Sophus Lie [45, 46, 47, 48] e Elie Cartan [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]. Em particular, o trabalho de Lie foi uma contribuição revolucionária ao estudo das equações diferenciais não-lineares.
Em virtude das propriedades geométricas dos espaços de jatos [7, 43, 44], um sistema de equações diferenciais (EDs) pode ser tratado como uma variedade diferencial equipada de forma natural com uma distribuição tangente, chamada “distribuição de Cartan induzida”. Esta distribuição, induzida no sistema de EDs pelo espaço de jatos ambiente, desempenha um papel fundamental. De fato, as principais propriedades geométricas de um sistema de EDs são codificadas pelas propriedades da sua distribuição de Cartan induzida. Por exemplo, as soluções de um sistema de EDs são geometricamente descritas pelas variedades integrais da distribuição de Cartan induzida. Portanto, a relativa simplicidade das equações ordinárias (EDOs), em comparação com as equações a derivadas parciais (EDPs), é essencialmente devida ao fato que a distribuição de Cartan induzida é completamente integrável no caso de EDOs, e não-integrável no caso das EDPs. Isso justifica a ausência de teoremas gerais de existência e unicidade para soluções de EDPs, contrariamente ao caso de EDOs.
Essa abordagem geométrica nos ajuda a construir uma teoria geral das EDs em que a integrabilidade, em um sentido bastante amplo, pode ser investigada com métodos geométricos e analíticos novos. Assim, os problemas de existência de soluções e aqueles de cálculo de soluções exatas, podem ser tratados com métodos gerais de natureza ou inspiração geométrica. No âmbito dessa teoria geométrica, existem analogias importantes entre o problema de integração das EDs e aquele de solução explícita, no âmbito da teoria de Galois, das equações algébricas. Estas analogias foram a motivação profunda do trabalho revolucionário de Sophus Lie, que no objetivo de desenvolver o formalismo necessário a descrever o grupo de simetrias de um sistema de EDs criou algumas das teorias mais profundas de toda a matemática moderna.
Assim como na teoria de Galois, também na teoria de Lie a estrutura do grupo de simetrias codifica informações fundamentais sobre o espaço de soluções, e diz muito a respeito da possibilidade de encontrar uma descrição explícita desse espaço. No caso das EDs, porém, além do grupo de simetrias existe também um outro tipo de estrutura algébrica que desempenha um papel fundamental: a álgebra de Lie das simetrias infinitesimais. As simetrias finitas de
um sistema de EDs são difeomorfismos, que preservam a variedade que descreve o sistema e são também simetrias da distribuição de Cartan induzida. Analogamente, as simetrias infinitesimais são campos vetoriais tangentes à variedade que descreve o sistema e também simetrias infinitesimais da distribuição de Cartan induzida. Em particular, o fluxo de uma simetria infinitesimal é formado por simetrias finitas. As simetrias finitas de um sistema de EDs formam o grupo de simetrias do sistema (em geral podem ser grupos de Lie infinito-dimensionais, ou pseudo-grupos). Por sua vez, o conjunto das simetrias infinitesimais de um sistema de EDs forma a álgebra de Lie das simetrias do sistema. As propriedades dos grupo de simetrias, assim como da álgebra de simetrias, codificam importantes propriedades do sistema de EDs considerado. No caso das EDOs, por exemplo, vale um resultado análogo àquele de Galois para equações algébricas: uma EDO de ordem n pode ser completamente integrada, por quadraturas, quando admite uma álgebra solúvel de simetrias n-dimensional. Porém, em geral as coisas podem ser mais complicadas, como por exemplo no caso das EDPs, e a teoria geral inclui campos ainda desconhecidos e inexplorados.
Em uma primeira fase, entre o final do século XIX e o início do século XX, como a influência de Lie ainda era muito forte, a literatura matemática era muito rica em contribuições nesta área da geometria. Mas, ao longo dos anos, começando dos anos 20 do século passado, seguiu um certo esquecimento e só nos últimos 30-40 anos voltou um considerável interesse nesta área. Esse renascimento é certamente devido aos esforços de muitos importantes matemáticos contemporâneos [4, 5, 6, 39, 49, 68, 69, 70], mas também à oportunidade recente de superar, com computadores modernos, muitos limites impostos de algumas aplicações práticas dessa teoria. Assim, por exemplo, entre os anos 60-70 foi revisada e ampliada a teoria de Lie das simetrias de uma equação diferencial [66]. A teoria clássica recebeu um notável impulso depois a descoberta dos sistemas integráveis [37], que também levou a descobrir a noção de simetria superior (ou generalizada) [76]. Na teoria formal das equações diferenciais foram desenvolvidos as primeiras ferramentas coomológicas (como as coomologias de Spencer) [39, 70]. Em seguida, avanços importantes foram feitos no contexto dos espaços da jatos infinitos, que generalizam os análogos espaços finitos introduzidos formalmente por Ehresmann em uma série de trabalhos começados em 1955. No final da década de 70, de fato, A. M. Vinogradov iniciou o estudo das equações diferenciais usando prolongamentos infinitos e ferramentas coomológicas [43, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82]. De acordo com este novo ponto de vista, se tornou mais conveniente tratar as equações como subvariedades de espaços de jatos infinitos. Assim foram introduzidas a noção de diffiety, o método da sequência C-espectral e a idéia do calculo secundário [77, 78, 79, 80]. Outros importantes avanços foram feitos no contexto dos sistemas diferenciais exteriores, dos sistemas integráveis, da teoria dos invariantes diferenciais e dos métodos de redução por simetrias. Assim, o interesse hoje existente na teoria geométrica das equações diferenciais não é só devido aos sucessos teóricos mas também àqueles de caráter prático em algumas áreas como a relatividade geral, teoria clássica e quântica dos campos, teoria das partículas elementares, teoria de controle, etc. Por uma descrição mais completa dos resultados teóricos modernos nesta área de pesquisa, veja as seguintes referências [7, 30, 31, 42, 44, 63, 64, 65, 71, 72, 82, 83].
Possíveis exemplos de aplicação das simetrias
O estudo das soluções de uma equação que admite uma álgebra de simetrias, em alguns casos, pode ser simplificado considerando o quociente (ou equação reduzida) com respeito a essa álgebra. Por exemplo, no caso das equações diferenciais ordinárias (EDOs), a equação reduzida é uma equação de ordem mais baixa. Em particular, se a álgebra é solúvel e com dimensão igual àquela da equação dada, o espaço das soluções pode ser completamente determinado por meio de quadraturas. O caso das equações diferenciais parciais (EDPs), ao contrário, é muito mais complicado e ainda tem muitos aspectos desconhecidos. Recentemente, porém, no caso das EDOs bem como naquele das EDPs, foram obtidos novos resultados muito interessantes por diversos grupos de pesquisa.
No caso das EDOs, por exemplo, foram introduzidas novas técnicas de redução e integração baseadas em tipos de simetrias mais gerais: simetrias não locais e estruturas solúveis. Estes resultados são particularmente importantes quando, por razões diferentes, a teoria usual não pode ser aplicada.
No caso das EDPs, em [1] foi introduzido um novo ponto de vista sobre a redução e integração dos EDSs que descrevem EDPs. Dentre os argumentos a favor desse novo ponto de vista, se tem a seguinte observação: a redução por simetria leva a uma redução na dimensão de um dado problema, porém, isso nem sempre resulta em uma simplificação do problema inicial. Ao contrário, especialmente no caso das EDPs, após a redução o problema do cálculo das soluções é geralmente mais complexo. Este ponto foi bem ilustrado em uma série de trabalhos de I. Anderson e M. Fels. Em particular, em [1], este problema sugeriu a utilidade de uma abordagem que é, em certo sentido, dual. De fato, em alguns casos, é muito útil interpretar um dado problema como resultado de uma redução de um outro problema mais fácil. No trabalho [1] foi provado que, em alguns casos, existe um procedimento canônico que permite resolver este problema inverso. Um exemplo é dado pelos sistemas clássicos integráveis no sentido de Darboux (veja [4, 5, 6, 27, 28, 29, 38, 40, 41, 42, 67, 72, 73, 74, 75]) ou por aqueles mais gerais descritos em [1].
Relativamente ao estudo de métodos de redução com simetrias, alguns exemplos são discutidos também nos tra-balhos [15, 16, 17, 18, 19, 20] relacionados com os tratra-balhos [21, 22, 23, 24, 25, 26, 32, 33, 34, 35, 36, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62] brevemente discutidos a seguir.
Em 2001 Concepción Muriel Patino, em colaboração com J. L. Romero, identificou um método conhecido como “método das lambda-simetrias” [51]. Este método foi ulteriormente investigado por Giuseppe Gaeta, Paola Morando
e Giampaolo Cicogna, em uma série de artigos no período 2001-2006. Em 2007, no paper [19], se provou que, usando a noção de covering diferencial de uma equação diferencial, podemos interpretar o método de Muriel e Romero como um caso particular de um método mais geral, que usa simetrias locais e não locais. Um resultado semelhante foi obtido no preprint [16], analisando a noção de lambda-simetria variacional introduzida por Muriel, Romero e Olver em [54]. Estes exemplos, mostram que a abordagem não-local é particularmente útil no tratamento de equações que não admitem simetrias (locais) calculáveis. No artigo [17] foi proposto um novo método de redução baseado em uma generalização não-local da noção de estruturas solúvel (veja [2, 3]). Estruturas solúveis, assim como álgebras solúveis de simetrias, podem ser usadas para integrar equações diferenciais ordinárias por quadraturas. As estruturas solúveis, porém, são particularmente apropriadas quando uma EDO não admite um número de simetrias suficiente a ser integrada por quadraturas. De fato, localmente e sob hipóteses de regularidade, cada EDO admite sempre estruturas solúveis, embora nem sempre seja possível determiná-las explicitamente. Na pratica, uma simplificação notável no calculo das estruturas solúveis, é obtida restringindo o cálculo só a estruturas adaptadas àlguma álgebra de simetrias. Esta foi o ponto de partida para os trabalhos [17, 18], onde, considerando estruturas solúveis adaptadas a simetrias locais e não-locais de ordem qualquer (i.e., clássicas ou de ordem maior), foi introduzida a noção de estruturas solúveis não-locais e aplicada a novos esquemas de redução por simetrias. De caráter diferente, em relação aos trabalhos já descritos, é o artigo [15] que fornece uma generalização de alguns resultados sobre a correspondência entre simetrias (locais) e integrais primeiros (de tipo não-Noether) para EDOs.
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