Análise Complexa — Derivação e Analiticidade
Turma EIA2+4 — 2010/2011
No que segue, consideramos f uma função complexa de variável complexa definida num conjunto aberto D ⊆ C e z0 ∈ D um número complexo.
• Se f tem derivada em z0, isto é, se existe o limite
f(z0) = lim z→z0 f(z) − f (z0) z − z0 = lim∆z→0f(z0+ ∆z) − f(z0) ∆z ,
então f diz-se diferenciável em z0.
• Se f é diferenciável em z0 e numa certa vizinhança de z0, então f
diz-se analítica em z0. Portanto, a analiticidade num ponto z0 requer a
existência de derivada em todos os pontos de um conjunto aberto que contenha z0.
• f analítica em z0 ⇒ f diferenciável em z0 (i.e, ∃f(z0)) ⇒ f contínua
em z0
f contínua em z0 f diferenciável em z0 f analítica em z0
• Validade de regras de derivação: se f e g são funções analíticas num conjunto aberto D então também são analíticas em D as funções a · f (z) + b · g(z) (onde a e b são números complexos), f(z) · g(z), f(z) g(z) (se g(z) = 0) e fn(z) (com n ∈ N) e temos as regras de derivação
[a · f(z) + b · g(z)] = a · f(z) + b · g(z) [f (z) · g(z)] = f(z) · g(z) + f(z) · g(z) f(z) g(z) = f(z) · g(z) − f(z) · g(z) g2(z) [fn(z)] = n · fn−1(z) · f(z)
• Validade da regra da derivação da função composta: se f é analítica num conjunto aberto A e g é analítica num conjunto aberto B e ainda f (A) ⊆ B, então a função composta (g ◦ f) (z) = g(f (z)) também é analítica em A e temos a regra de derivação
(g ◦ f )(z) = g(f(z)) · f(z) .
• Exemplos de funções analíticas em todo o seu domínio:
— funções polinomiais
f (z) = cn· zn+ cn−1· zn−1+ ... + c2· z2+ c1· z + c0
(Df = C). Tem por função derivada
f(z) = n · c
n· zn−1+ (n − 1) · cn−1· zn−2+ ... + 2c2· z + c1.
— funções racionais (quociente de funções polinomiais) f(z) = an· z n+ ... + a 2· z2+ a1· z + a0 bm· zm+ ... + b2· z2+ b1· z + b0 (Df = z ∈ C : bm· zm+ ... + b2· z2+ b1· z + b0 = 0, que é um conjunto aberto).
• Equações (ou condições) de Cauchy-Riemann: para f e z0
es-critos na forma cartesiana como f(z) = u(x, y)+v(x, y)i e z0= x0+y0i,
são as igualdades ∂u ∂x(x0, y0) = ∂v ∂y(x0, y0) ∂u ∂y(x0, y0) = − ∂v ∂x(x0, y0) .
• f diferenciável em z0 (i.e, ∃f(z0)) ⇒ são válidas as equações de
Cauchy-Riemann (obviamente no ponto (x0, y0)).
Por maioria de razão, também
f analítica em z0 ⇒ são válidas as equações de Cauchy-Riemann
(ob-viamente no ponto (x0, y0)).
serem válidas as equações de Cauchy-Riemann no ponto (x0, y0) f
Por maioria de razão, também
serem válidas as equações de Cauchy-Riemann no ponto (x0, y0) f
analítica em z0 = x0+ y0i.
• Teorema de Cauchy-Riemann:
u e v são contínuas numa vizinh. de (x0, y0)
∂u ∂x, ∂v ∂y, ∂u ∂y e ∂v
∂x são contínuas numa vizinh. de (x0, y0)
u e v verificam as eq. de Cauchy-Riemann em (x0, y0)
⇒ ∃f(z 0) e f(z0) = ∂u ∂x(x0, y0) + i ∂v ∂x(x0, y0) ⇔ f(z0) = ∂v ∂y(x0, y0) − i ∂u ∂y(x0, y0) . Ainda, D é um conjunto aberto ∂u ∂x, ∂v ∂y, ∂u ∂y e ∂v ∂x são contínuas em D
u e v verificam as eq. de Cauchy-Riemann em D ⇒ f é analítica em D
• A função u : D ⊆ R2 −→ R (D um conj. aberto) diz-se harmónica
se satisfaz a equação de Laplace ∂2u ∂x2(x, y) + ∂2u ∂y2(x, y) = 0, ∀ (x, y) ∈ D. • Resultado: D é um conjunto aberto f = u + iv analítica em D
⇒ u e v são funções harmónicas em D.
As funções u e v dizem-se harmónicas conjugadas em D. • Resultado: D é um conjunto aberto u (x, y) função harmónica em D ⇒ ∃ v (x, y) definida em D tal que f(z) = u(x, y) + v(x, y)i
Análise Complexa — Funções elementares
Turma EIA2+4 — 2010/2011
FUNÇÃO EXPONENCIAL: Define-se como
ez = ex+yi:= ex(cos y + i sin y) , ∀z ∈ C.
Verifica: (a) ez+w= ez· ew
(b) ez nunca se anula
(c) ex+iy = ex
(d) ez é uma função periódica, com período 2πi
(e) ez= 1 ⇔ z = 2nπi, para algum n ∈ Z
(f) (ez)n
= enz, com n ∈ Z
(g) é analítica em C (portanto, inteira) e (ez) = ez .
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: Definem-se como sin z = e zi− e−zi 2i e cos z = ezi+ e−zi 2 , ∀z ∈ C. Verificam:
(a) sin(−z) = − sin z (b) cos(−z) = cos z (c) sin2
z + cos2z = 1
(d) sin(z ± w) = sin (z) cos (w) ± cos (z) sin (w) (e) cos(z ± w) = cos (z) cos (w) ∓ sin (z) sin (w)
(f) sin z e cos z são funções periódicas, com período 2π
Definem-se ainda as funções
tan z = sin z
cos z, para cos z = 0 (i.e, D = C\ (2n + 1)π 2 : n ∈ Z ) cot z = cos z
sin z, para sin z = 0 (i.e, D = C\ {nπ : n ∈ Z})
sec z = 1
cos z, para cos z = 0 (i.e, D = C\ (2n + 1)π 2 : n ∈ Z ) csc z = 1
sin z, para sin z = 0 (i.e, D = C\ {nπ : n ∈ Z})
que são analíticas em todo o seu domínio e têm como funções derivadas
(tan z) = 1 cos2z = sec 2 z, para cos z = 0 (cot z) = − 1 sin2z = − csc 2 z, para sin z = 0
(sec z) = sec (z) tan z, , para cos z = 0
(csc z) = − csc (z) cot z, para sin z = 0
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS: Definem-se como sinh z = e z− e−z 2 e cosh z = ez+ e−z 2 , ∀z ∈ C. Verificam:
(a) sinh (iz) = i sin z e cosh(iz) = cos z (b) sin(iz) = i sinh z e cos (iz) = cosh z (c) cosh2
z − sinh2z = 1
(d) sinh z = sinh (x + iy) = sinh (x) cos (y) + i cosh (x) sin (y) (e) cosh z = cosh (x + iy) = cosh (x) cos (y) + i sinh (x) sin (y) (f) sinh z = 0 ⇔ z = −nπi, n ∈ N
(g) cosh z = 0 ⇔ z = − (2n + 1)π
2i, n ∈ N
(h) sinh z e cosh z são funções periódicas, com período 2πi
(i) são analíticas em C (i.e, inteiras) e as suas funções derivadas são (sinh z) = cosh z , (cosh z) = sinh z .
Definem-se ainda as funções
tanh z = sinh z
cosh z, para cosh z = 0
coth z = cosh z sinh z =
1
tanh z, para sinh z = 0 assim como a função secante hiperbólica
1
cosh z, para cosh z = 0, e a função cosecante hiperbólica
1
sinh z, para sinh z = 0.
FUNÇÃO LOGARITMO PRINCIPAL: Define-se como
log z = ln |z| + i arg z com arg z ∈ [−π, π[ , ∀z ∈ C\ {0} ,
de modo que seja válida a equivalência
log z = w ⇔ z = ew.
Verifica:
(a) log(zw) = log z + log w (mod 2πi) (b) log(z/w) = log z − log w (mod 2πi).
(c) é analítica no conjunto C \ {x + yi : x ≤ 0 e y = 0} e tem como função derivada
(log z) = 1 z .