1 EQUAC» ~OESDOPRIMEIROGRAU

UNIVERSIDADE FEDERAL DE S ~

AO CARLOS

CENTRO DE CI^

ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEM ¶

ATICA

O ENSINO DA ¶

ALGEBRA ELEMENTAR

ATRAV¶

ES DE SUA HIST ¶

ORIA

Prof. Jo~

ao C.V. Sampaio. [email protected]

1

EQUAC

» ~

OES DO PRIMEIRO GRAU

As equa»c~

oes do 1

grau n~

ao tem uma hist¶

oria propriamente dita. A

simbologia moderna com que s~

ao escritas s¶

o come»cou a surgir no s¶

eculo

18. Do ponto de vista elementar, equa»c~

oes s~

ao problemas do seguinte

tipo: Determine certos valores desconhecidos, sabendo que quando

ess-es valoress-es s~

ao manipulados algebricamente, de uma certa maneira, s~

ao

obtidos certos valores dados. As primeiras equa»c~

oes na forma escrita

surgiram no antigo Egito 3000 anos a.C.

EQUAC

» ~

OES DO 1

GRAU NO EGITO ANTIGO

A maior parte da matem¶

atica eg¶³pcia antiga, ou seja, do 3

mil^

enio

antes do in¶³cio da era crist~

a, encontrada em alguns poucos papiros

fa-mosos, consiste de um comp^

endio de t¶

abelas e algoritmos aritm¶

eticos,

visando a resolu»c~

ao de problemas ¶

uteis tais como problemas de medi»c~

ao

de ¯guras geom¶

etricas.

Num desses papiros, o Papiro de Rhind, encontramos as primeiras

equa»c~

oes do primeiro grau, na forma de problemas "aha". Aha

signi¯-cava quantidade. Tais problemas referem-se µ

a determina»c~

ao de

quanti-dades desconhecidas.

PROBLEMAS aha DO PAPIRO RHIND

1. (Problema 24) Uma quantidade e seu s¶etimo, somadas juntas, d~ao 19. Qual ¶e a quantidade?

2. (Problema 25) Uma quantidade e sua metade, somadas juntas, resultam 16. Qual ¶e a quantidade?

3. (Problema 26) Uma quantidade e 2=3 dela s~ao somadas. Subtraindo-se, desta soma, 1=3 dela, restam 10. Qual ¶e a quantidade?

Note que as equa»c~oes do 1o grau correspondentes aos tr^es problemas acima s~ao, respectivamente (con¯ra), x +x 7 = 19; x + x 2 = 16; (x + 2 3 ¢ x) ¡ 1 3(x + 2 3 ¢ x) = 10 O m¶etodo da falsa posi»c~ao

Para problemas desse tipo, isto ¶e, para problemas que se reduzem, ap¶os simpli¯-ca»c~oes, a uma equa»c~_{ao da forma a ¢ x = b, os eg¶³pcios empregavam o m¶etodo da falsa} posi»c~ao, exempli¯cado como segue, na resolu»c~ao do problema 1.

Resolu»c~ao do problema 1 Escolhemos, ao acaso, uma quantidade inteira divis¶³vel por 7, digamos 7. Um s¶etimo de 7 ¶e 1. Somando 7 a 1₇ de 7 obtemos 8. Agora empregamos uma regra de tr^es simples:

quantidade resultado 7 8 x 19 Portanto, 7 x = 8 19 ) 8x = 7 ¢ 19 ) 8x = 133 ) x = 133 8 : . : x = 165 6 Observa»c~ao: 165₆ signi¯ca 16 inteiros e cinco sextos, isto ¶e, 165₆ = 16 + 5₆ Quest~oes complementares

1. Resolva os problemas 2 e 3 acima, utilizando o m¶etodo da falsa posi»c~ao. Resolva-os tamb¶em pelos m¶etodos alg¶ebricos usuais.

2. Porque o m¶etodo da falsa posi»c~ao funciona na resolu»c~ao dos problemas acima? Ele funciona para quaisquer equa»c~oes do 1o grau?

3. Quest~ao para discuss~ao: Voc^e acha que tais problemas, juntamente com o m¶etodo da falsa posi»c~ao, constituem material adequado numa introdu»c~ao µas equa»c~oes do primeiro grau?

O BANHO DE ARQUIMEDES

Arquimedes de Siracusa foi um grande f¶³sico e matem¶

atico grego do

s¶

eculo 3 a.C., pesquisador da \Universidade" de Alexandria, em

Alexan-dria, cidade do antigo Egito fundada por Alexandre o Grande µ

as margens

do Rio Nilo. Nesse mesmo lugar, nessa mesma Universidade, meio s¶

eculo

antes, Euclides escrevera o primeiro livro de matem¶

atica

sistematica-mente organizado da hist¶

oria, Os Elementos, constitu¶³do de 13 Livros,

os quais hoje s~

ao chamados os 13 Cap¶³tulos dos Elementos.

Conta uma lenda que o rei Hier~

ao de Alexandria suspeitava que sua

coroa n~

ao teria sido feita de ouro puro, mas sim de uma mistura (liga) de

ouro e prata, e incumbiu Arquimedes de calcular as quantidades desses

metais empregadas na confec»c~

ao da coroa. Arquimedes descobriu um

meio de fazer isso enquanto se banhava. Celebrando a descoberta, saiu

µ

as ruas gritando Eureka! (Descobri!), tendo no entanto se esquecido de

vestir-se ao sair.

Arquimedes deduziu v¶arias rela»c~oes m¶etricas de c¶³rculos e esferas. Arquimedes foi o primeiro matem¶atico a deduzir que a ¶_{area do c¶³rculo de raio r ¶e dada por A = ¼r}2. Deduziu tamb¶em a seguinte aproxima»c~ao para o n¶_{umero ¼: 3}10_{71 < ¼ < 3}1₇. Deduziu ainde que a ¶_{area da superf¶³cie da esfera de raio r ¶e dada por S = 4¼r}2, enquanto que o volume da esfera ¶_{e dado por V =} 4_3¼r3.

PROBLEMAS ELEMENTARES DE BALANCEAMENTO DE MISTURAS

Veremos agora que, al¶em de algumas considera»c~oes f¶³sicas elementares, as ferramen-tas necess¶arias para a resolu»c~ao do problema da coroa do rei Hier~ao s~ao equa»c~oes do 1o grau!

Al¶em disso, veremos que o procedimento matem¶atico utilizado na resolu»c~ao desse problema aplica-se a outros problemas an¶alogos, aos quais chamare-mos problemas de balanceamento de misturas.

Como exemplos de problemas de balanceamento de misturas, apresentamos os dois seguintes:

1. Um t¶ecnico de laborat¶orio tem duas solu»c~oes de ¶acido sulf¶urico (solu»c~ao ¶acida = ¶agua destilada + ¶acido). A primeira ¶e 30% ¶acida e a segunda ¶e 70% ¶acida. Quantos mililitros de cada ele dever¶_{a usar para obter 200 m` de uma solu»c~ao 60%} ¶

acida?

2. Que volume de ¶alcool deve ser adicionado a 600 litros de uma solu»c~ao 15% al-co¶olica (solu»c~ao alco¶olica = ¶alcool + ¶agua) de modo que a solu»c~ao resultante seja 25% alco¶olica?

Veremos agora como equa»c~oes do 1o grau podem ser empregadas na resolu»c~ao dos dois problemas acima.

Resolu»c~ao do problema 1 Ser~_{ao utilizados x m` da solu»c~ao 30% ¶acida e y m` da} solu»c~ao 70% ¶acida. A solu»c~ao resultante ser¶_{a de 200 m` e 60% ¶acida.}

Sendo assim, x m`+y m` = 200 m`. Comparando-se por¶em as quantidades de ¶acido sulf¶urico, temos agora:

30% de x m` + 70% de y m` = 60% de 200 m` Temos ent~ao o sistema linear de duas equa»c~oes em duas inc¶ognitas

½

x + _y = 200

30

100x + 10070y = 10060 ¢ 200

Tudo se reduz a uma equa»c~ao do 1o _{grau quando substitu¶³mos y = 200 ¡ x na} segunda equa»c~ao, obtendo ent~ao:

3 10x + 7 10(200¡ x) = 6 10¢ 200 Da¶³ pra frente, as coisas se simpli¯cam:

3x + 7(200 ¡ x) = 6 ¢ 200 ) ¡4x + 1400 = 1200 ) 4x = 200 ) x = 50 Como y = 200 ¡ x, obtemos tamb¶em y = 200 ¡ 50 = 150.

Assim, s~ao necess¶_{arios 50 m` da solu»c~ao 30% ¶acida e 150m` da solu»c~ao 70% ¶acida} para se obter 200 m` de uma solu»c~ao 60% ¶acida.

Resolu»c~ao do problema 2 A adi»c~ao de mais ¶alcool aumenta, na solu»c~ao, a quan-tidade de ¶alcool, mas deixa inalterada a quantidade de ¶agua, de onde deduzimos uma equa»c~ao do 1o grau que nos dar¶a solu»c~ao do problema:

A quantidade de ¶agua presente na solu»c~ao alco¶olica ¶e, conforme o enunciado do problema, 85% de 600 litros, ou seja, ₁₀₀85 ¢ 600 = 85 ¢ 6 = 510 litros.

Ap¶os a adi»c~_{ao de x litros de ¶alcool, a solu»c~ao alco¶olica ter¶a volume de 600 + x} litros e concentra»c~ao de ¶alcool da ordem de 25%. A ¶agua permanecer¶a a mesma em quantidade, tendo agora por¶em concentra»c~ao da ordem de 75%, de onde deduzimos:

75 100(600 + x) = 510 ou seja 3 4(600 + x) = 510 ) 600 + x = 4¢ 510 3 ) 600 + x = 680 ) x = 680 ¡ 600 :.: x = 80 Portanto, ser¶a necess¶ario adicionar 80 litros de ¶_{alcool aos 600 ` da solu»c~ao 15%} alco¶olica para que ela se torne 25% alco¶olica.

SOLUC» ~AO DO PROBLEMA DE ARQUIMEDES

A densidade de um corpo material n~ao oco (um prato de porcelana, uma bola de metal, uma placa de isopor, etc.) ¶e a raz~ao entre sua massa e seu volume. Por exemplo, a densidade do mel ¶_{e de 1300 g por litro, ou seja, 1300 g=1000 cm}3 _{= 1; 3 g=cm}3.

Assim a densidade de um corpo met¶alico ¶e ent~ao calculada pela f¶ormula densidade = massa

volume

Desta rela»c~ao, deduzimos que, uma vez conhecida a densidade do corpo, seu volume ¶e dado pela raz~ao

volume = massa densidade Por exemplo, o volume de 1 kg de mel ¶e dado por

volume = massa densidade =

1 kg

1; 3 kg=` ¼ 769 m`

A massa de um corpo ¶e uma quantidade calcul¶avel por compara»c~ao com outra massa. Para calcul¶a-la, basta que tenhamos µa m~ao uma balan»ca de dois pratos e v¶arios pesos de metal. Este procedimento do c¶alculo da massa j¶a foi muito utilizado nas mercearias.

J¶a o volume do corpo, desde que n~ao seja esponjoso, pode ser determinado por imers~ao deste corpo num tanque de ¶agua. Imergindo um corpo met¶alico num tanque de ¶agua, a varia»c~ao da altura do n¶³vel da ¶agua nos d¶a o volume do corpo mergulhado. Suponha ent~ao que voc^_{e tem um coroa de m gramas de uma liga de ouro e prata.} Suponha que voc^_{e deseja determinar a quantidade x de gramas de ouro e a quantidade} y de gramas de prata presentes nessa liga de metal. Ent~ao x + y = m. Por outro lado, o volume de ouro presente na coroa ¶e dado pela raz~ao

volume do ouro = massa do ouro densidade do ouro

Nesse caso, sendo a densidade do ouro previamente conhecida (sabe-se que ela ¶e 19; 3 g=cm3 = 19 300 kg=`) teremos que

volume do ouro = x 19; 3cm

3

Analogamente, como a densidade da prata ¶_{e 10; 5 g=cm}3 _{= 10 500 kg=`, teremos} volume da prata = y

10; 5cm

3

A soma dos volumes do ouro e da prata presentes na coroa ¶e o volume da coroa, ou seja x 19; 3cm 3₊ y 10; 5cm 3 _{= volume da coroa}

Chegamos ent~ao a um sistema linear de duas equa»c~oes em duas inc¶ognitas ½

x + _{y = m}

x

onde m ¶e a massa da coroa (em gramas) e v ¶e o seu volume (em cent¶³metros c¶ubicos). Um problema de ilustra»c~ao

A densidade do ouro ¶_{e 19; 3 g=cm}3 e a da prata ¶_{e 10; 5 g=cm}3. Suponha que a coroa do Rei Hier~ao, feita de uma liga de ouro e prata, tenha massa de 4 200 g (ser¶a que a cabe»ca do rei agÄuenta?) e volume de 268 cm3. Quais s~ao as quantidades de ouro e prata presentes na coroa?

Solu»c~ao Segundo as equa»c~_{oes que deduzimos acima, sendo x e y as respectivas} quan-tidades (em gramas) de ouro e prata presentes na coroa, teremos

½

x + _y = 4 200

x

19;3 + 10;5y = 268

Teremos ent~_{ao que, como y = 4 200 ¡ x,} x 19; 3 +

4 200¡ x

10; 5 = 268

A ¶ultima equa»c~ao nos d¶a a equa»c~ao do 1o grau simpli¯cada _202;65¡8;8 _{x + 400 = 268 e} ent~_{ao x = 3 039; 75 g e y = 1 160; 25 g. Veri¯que os c¶alculos. Uma calculadora ajudar¶a} muito, mas ¶e dispens¶avel neste exemplo escolhido.

Problemas complementares

1. Duas toneladas de uma liga met¶alica contem 15% de estanho. Que quantidade de estanho deve ser adicionada a essa liga de modo a aumentar a concentra»c~ao de estanho a 20%? Resposta: 125 kg.

2. (Este problema requer o uso de uma calculadora eletr^onica). A densidade do ouro ¶_{e de 19; 3 g=cm}3 e a do cobre ¶_{e de 8; 9 g=cm}3. Uma liga de ouro e cobre tem 6 cm3 e 95 g. Quais s~ao as quantidades de ouro e cobre presentes na liga? Resposta: 77_{; 2 g de ouro e 17; 8 g de cobre.}

2

EQUAC

» ~

OES DO SEGUNDO GRAU

DA ANTIGA BABIL ^

ONIA AT¶

E DIOFANTO

Os antigos babil^

onios (ou babil^

onicos) (c. 1800 a.C.), habitantes do sul

da antiga Mesopot^

amia (parte do atual Iraque), j¶

a resolviam o problema

de encontrar dois n¶

_{umeros x e y cuja soma ¶e p e cujo produto ¶e q.}

O m¶

etodo empregado pelos babil^

onios, traduzido para nossas nota»c~

oes

modernas, ¶

e basicamente o seguinte:

A priori, x e y s~ao representados na forma

x =

p

2

+ a e y =

p

2

¡ a

dado que x + y = p.

Tem-se ent~

ao

xy = (

p

2

+ a)(

p

2

¡ a) =

p

4

¡ a

_{= q}

de onde

a

=

p

4

¡ q =

p

¡ 4q

4

Daqui, se deduz

a =

r

p

¡ 4q

4

(os n¶

umeros negativos ainda n~

ao haviam sido inventados).

Assim, x e y acabam sendo expressos como

x =

p

2

+

r

p

¡ 4q

4

e

y =

p

2

¡

r

p

¡ 4q

4

Cerca de dois mil^

enios depois (em torno do ano 250 da era crist~

a),

este mesmo m¶

etodo aparece no tratado Arithmetica do grego Diofanto,

um conjunto de 13 livros sobre solu»c~

oes racionais de equa»c~

oes alg¶

ebricas.

Diofanto ¶

e considerado o pai da ¶

algebra no sentido de ter sido o

primeiro a empregar nota»c~

oes simb¶

olicas para express~

oes alg¶

ebricas.

Su-as nota»c~

oes por¶

em eram bem diferentes das empregadas hoje. Os

trata-dos de matem¶

atica dos precursores de Diofanto eram escritos no estilo

ret¶

orico, isto ¶

e, sem nenhum emprego de s¶³mbolos.

EQUAC» ~OES DO SEGUNDO GRAU DOS BABIL ^ONIOS A DIOFANTO Como exemplos dos primeiros problemas de equa»c~oes do segundo grau, encontrados nas t¶abuas de argila dos antigos babil^onios, bem como no livro Arithmetica de Diofanto, resolvidos pelo m¶etodo acima descrito, temos os seguintes:

1. (Babil^onios, 1800 a.C.) Encontre dois n¶umeros cuja soma ¶e 14 e cujo produto ¶e 45.

2. (Diofanto, em Arithmetica) Encontre dois n¶umeros cuja soma ¶e 20 e cuja soma de seus quadrados ¶e 208.

Resolu»c~ao do problema 1 S~ao procurados dois n¶_{umeros x e y satisfazendo} x + y = 14 e x ¢ y = 45

Segundo o m¶etodo acima descrito, fazemos

x = 7 ¡ a e y = 7 + a

Teremos ent~ao que a equa»c~_{ao xy = 45 torna-se (7 ¡ a)(7 + a) = 45, ou seja,} 72¡ a2 _{= 45, de onde a}2 _{= 4, e portanto a = §2.}

Os babil^onios, bem como Diofanto, consideravam apenas a solu»c~_{ao positiva a = 2.} Historicamente, o conceito de n¶umero negativo parece ter surgido no s¶eculo 7, num tratado do astr^onomo hindu Bramagupta.

Assim sendo, tomando a = 2, teremos x = 5 e y = 9. Se tomarmos a = ¡2, teremos x = 9 e y = 5. Portanto os n¶umeros procurados s~ao 5 e 9.

Resolu»c~ao do problema 2 S~ao procurados dois n¶umeros satisfazendo x + y = 20 e x2+ y2 = 208

Novamente, assumimos, com base na soma dada dos n¶umeros procurados, x = 10 ¡ a e y = 10 + a

A equa»c~_{ao x}2_{+ y}2 torma-se ent~ao

(10¡ a)2_{+ (10 + a)}2 = 208 ou seja

de onde

200 + 2a2 = 208) 2a2 = 8) a2 _{= 4 :}._{: a = §2} Voltamos a lembrar que somente a solu»c~_{ao positiva a = 2 era admitida.}

Assim sendo, os n¶umeros procurados s~ao 10¡ 2 = 8 e 10 + 2 = 12. Problemas Complementares

1. (Outro problema do Arithmetica de Diofanto) Encontre dois n¶umeros cuja soma ¶e 10 e cuja soma de seus cubos ¶e 370. Resposta: 3 e 7.

2. Encontre dois n¶umeros cujo produto ¶e 24 e cuja soma dos cubos ¶e 280. Resposta: 4 e 6.

3. Explique porqu^_{e, se x + y = p, existir¶a sempre um n¶umero a tal que} x = p

2 + a e y = p 2 ¡ a:

4. Considere o problema dos babil^onios de encontrar dois n¶umeros cuja soma ¶e 14 e cujo produto ¶e 45. Que outros m¶etodos podem ser empregados em sua resolu»c~ao? Que vantagens e desvantagens apresentam estes m¶etodos em rela»c~ao ao m¶etodo exposto nos exemplos acima?

5. (Diofanto) Encontre dois n¶_{umeros x e y satisfazendo} x ¡ y = 10 e x3¡ y3 = 2170

[M¶_{etodo de Diofanto: se a diferen»ca x ¡ y = p ¶e dada, escrevemos} x = a +p

2 e y = a ¡ p 2

Compare-o com o caso em que a soma x + y ¶e dada.] Resposta: x = 13, y = 3 6. (Diofanto) Encontre dois n¶_{umeros x y y satisfazendo}

x ¡ y = 4 e x3+ y3 = 28(x + y)

Resposta: _{x = 6 e y = 2; ou x = 2 e y = ¡2; ou x = ¡2 e y = ¡6. Diofanto} buscava somente solu»c~oes n~ao negativas.

7. Resolva a equa»c~_{ao x}2¡6x = 27. [M¶etodo babil^onico: Escreva a equa»c~ao na forma x ¢ (x ¡ 6) = 27. Fa»ca x ¡ 6 = y. O problema ent~ao consiste em determinar x (e y, embora s¶o estejamos buscando valores de x) satisfazendo

x ¡ y = 6 e xy = 27:] Resposta: _{x1 = 9, x2} =¡3

8. Resolva a equa»c~_{ao x}2 _{+ 6x = 16 pelo m¶etodo babil^onico descrito no exerc¶³cio} anterior. Resposta: x1 = 2, x2 =¡8

AL-KHWARIZMI

O primeiro tratado a abordar sistematicamente as equa»c~

oes do 2

grau e suas solu»c~

oes foi Os Elementos de Euclides (s¶

ec. 3 a.C.). Em Os

Elementos, Euclides nos d¶

a solu»c~

oes geom¶

etricas da equa»c~

ao do segundo

grau. Os m¶

etodos geom¶

etricos ali encontrados, embora interessantes,

n~

ao s~

ao pr¶

aticos.

No in¶³cio do s¶

eculo 9, o Califa Al Mamum, recebeu atrav¶

es de um

sonho, no qual teria sido visitado pelo imortal Arist¶

oteles, a instru»c~

ao

de fundar um centro de pesquisa e divulga»c~

ao cient¶³¯ca. Tal institui»c~

ao,

a Casa de Sabedoria, foi fundada em Bagd¶

a, hoje capital do Iraque,

µ

as margens do Rio Tigre. L¶

a, a convite do Califa, estabeleceu-se

Al-Khwarizmi, juntamente com outros ¯l¶

osofos e matem¶

aticos do mundo

¶

arabe.

A pedido do Califa, Al-Khwarizmi escreveu um tratado popular sobre

a ci^

encia das equa»c~

oes, chamado Hisab al-jabr wa'l muqabalah, ou seja,

o Livro da Restaura»c~

ao e Balanceamento.

Al-Khwarizmi introduziu simpli¯ca»c~

oes que popularizaram, ou

me-lhor, simpli¯caram a ¶

algebra das equa»c~

oes do 2

grau. Seu m¶

etodo de

resolu»c~

ao da equa»c~

ao do 2

grau ¶

e inspirado na interpreta»c~

ao de n¶

umeros

por segmentos, introduzida por Euclides. Al-Khwarizmi tamb¶

em

popula-rizou o sistema de representa»c~

ao decimal posicional dos n¶

umeros inteiros,

criado pelos hindus, hoje de uso corrente.

De Al-Khwarizmi derivse as palavras algarismo e algoritmo,

am-bas latiniza»c~

oes de Al-Khwarizmi. Do termo al-jabr, que signi¯ca

restau-ra»c~

ao, deriva-se a palavra ¶

algebra ! O termo al-muqabalah, que signi¯ca

oposi»c~

ao ou balanceamento, ¶

e o que hoje entendemos como

cancelamen-to.

Por exemplo, dada a equa»c~

ao

x

+ 3x ¡ 2 = 3x + 4

a al-jabr nos d¶

a

x

+ 3x = 3x + 4 + 2

enquanto que a muqabalah cancela o termo 3x, nos dando

x

= 6

No seu trabalho, Al-Khwarizmi apresenta dois m¶

etodos geom¶

etricos

de solu»c~

ao da equa»c~

ao do 2

grau. Al-Khwarizmi n~

ao fazia uso de

no-ta»c~

oes simb¶

olicas em seu tratado. Suas equa»c~

oes s~

ao escritas no estilo

ret¶

orico, isto ¶

e, sem o emprego de s¶³mbolos.

RESOLUC» ~AO DA EQUAC» ~AO DO 2o GRAU PELOS M¶ETODOS DE AL-KHWARIZMI

Para exempli¯car seus dois m¶etodos, buscaremos a solu»c~ao da equa»c~ao do 2o grau x2+ 10x = 39

Esta equa»c~ao ¶e realmente encontrada no trabalho de Al-Khwarizmi.

Solu»c~ao da equa»c~_{ao x}2_{+ 10x = 39 pelo 1}o m¶etodo de Al-Khwarizmi Primeiramente, a equa»c~ao ¶e escrita na forma

x2+ 4¢10

4 ¢ x = 39; ou seja, x

2 _{+ 4¢} 5

2¢ x = 39

Figura 1. Na parte superior, a equa»c~ao_x2_{+ 5x = 39 ¶e interpretada geometricamente. Na} parte inferior, o completamento do quadrado ¶e realizado, resultando na equa»c~ao equiva-lente _x2+ 4¢ 5_{2x + 4 ¢ (2}5)2 = 39 + 4¢ (5₂)2

Interpretando geometricamente o lado esquerdo desta equa»c~ao, como na ¯gura 1, temos a soma das ¶_{areas de um quadrado de lado x e de quatro ret^angulos de lados 5=2} e x totalizando 39 unidades de ¶area.

Completando ent~ao essa soma de ¶areas com a ¶area de quatro quadrados de lados 5=2, cada um de ¶area 25=4, obt¶em-se a ¶area de um quadrado de lado x + 2 ¢ (5₂) = x + 5, medindo ent~ao 39 + 4¢ (25₄) = 39 + 25 = 64 unidades de ¶area. Algebricamente,

x2+ 4¢ µ 5 2 ¶ x + 4 ¢ µ 5 2 ¶₂ = 39 + 4¢ µ 5 2 ¶₂

ou seja,

(x + 5)2 = 39 + 25 = 64 de onde, ent~ao, Al-Khwarizmi deduz que

x + 5 =p64 = 8

Chega-se ent~ao µa solu»c~_{ao x = 8 ¡ 5 = 3. Para Al-Khwarizmi por¶em, quantidades} negativas careciam de sentido. No seu m¶etodo, a solu»c~_{ao x = ¡8 ¡ 5 = ¡13 n~ao vem} µ

a tona. Ao resolvermos equa»c~oes do 2o grau n¶os podemos, no entanto, usar o m¶etodo geom¶etrico de Al-Khwarizmi como um guia no completamento de quadrados e, ao ¯nal, \esquec^e-lo", deduzindo tamb¶em eventuais solu»c~oes negativas da equa»c~ao.

Solu»c~ao da equa»c~_{ao x}2_{+ 10x = 39 pelo 2}o m¶etodo de Al-Khwarizmi Neste m¶etodo mais simples, a equa»c~ao ¶e escrita na forma

x2+ 5x + 5x = 39

Figura 2. Na parte superior, a equa»c~ao_x2_{+ 5x = 39 ¶e interpretada geometricamente. Na} parte inferior, o completamento do quadrado ¶e realizado, resultando na equa»c~ao equiva-lente _x2_{+ 5x + 5x + 5}2 = 39 + 52

Interpretando geometricamente o lado esquerdo desta equa»c~ao, como na ¯gura 2, temos agora a soma das ¶_{areas de um quadrado de lado x e de dois ret^angulos de lados} 5 e x totalizando 39 unidades de ¶area. Completando ent~ao essa soma de ¶areas com a ¶

area de um quadrado de lado 5, portanto de ¶area 25, obt¶em-se a ¶area de um quadrado de lado x + 5, medindo ent~ao 39 + 25 = 64 unidades de ¶area. Algebricamente,

x2+ 5x + 5x + 52 = 39 + 52 de onde, ent~ao,

Mas e se tivermos que tratar da equa»c~_{ao x}2¡ 5x = 39? Como interpretar geometri-camente o completamento de quadrados, se agora estamos subtraindo dois ret^angulos de lados 5 e x?

O melhor, neste caso, ¶e fazer uma substitui»c~_{ao x = ¡u, de onde x}2 _{= u}2. A equa»c~ao ent~_{ao se torna u}2_{+ 8u = 33. Aplicando ent~ao o m¶etodo geom¶etrico de Al-Khwarizmi,} chegaremos µas solu»c~_{oes u1 = 3 e u2} =¡11, de onde obtemos x₁ =¡3 e x₂ = 11. Problemas complementares

1. (Al-Khwarizmi) Encontre o lado de um quadrado inscrito num tri^angulo de lados 10, 10 e 12. Resposta: O quadrado tem lado de comprimento 4;8.

2. (Al-Khwarizmi) Resolva as seguintes equa»c~oes : (a) 50 + x2 = 29 + 10x. Resposta: x1 = 7; x2 = 3.

(b) x2 = 40x ¡ 4x2. Resposta: x1 = 8; x2 = 0

3. Resolva as seguintes equa»c~oes

(a) x2¡ 16x + 80 = 0. Resposta: A equa»c~ao n~ao tem solu»c~ao (real). (b) x2¡ 12x = 28. Resposta: x1 = 14; x2 =¡2

3

EQUAC

» ~

OES DO TERCEIRO GRAU

ARQUIMEDES, NOVAMENTE

Num tratado sobre esferas e cilindros, Arquimedes estudou o seguinte

problema:

Cortar uma esfera por um plano de modo que uma das partes

resul-tantes tenha o dobro do volume da outra parte.

Isto deu origem a uma das primeiras equa»c~

oes do 3

grau da hist¶

oria:

Se o plano que corta a esfera de raio r ¶e visto de per¯l, como na

¯gura, ent~

ao o volume do segmento esf¶

_{erico de altura h ¶e dado por}

V =

¼h

(3r ¡ h). Sendo

= y, se o segmento inferior da esfera tem o

dobro do volume do superior, ent~

ao

y

¡ 3y

=

¡

4

3

Fazendo-se y = x + 1, obtemos a c¶

ubica na forma reduzida

x

¡ 3x ¡

2

₃

= 0

A BUSCA DA F ¶

ORMULA GERAL DA C ¶

UBICA

Por muitos s¶

eculos, desde o per¶³odo ¶

aureo da Gr¶

ecia antiga, matem¶

a-ticos tentaram em v~

ao deduzir um m¶

etodo geral de solu»c~

ao da equa»c~

ao

do 3

grau ou equa»c~

ao c¶

ubica

Procurava-se uma f¶

ormula geral da solu»c~

ao da c¶

ubica, isto ¶

e, uma

f¶

ormula que desse suas solu»c~

oes como express~

oes alg¶

ebricas envolvendo

os coe¯cientes a; b; c e d.

A conhecida f¶

ormula de Bhaskara, creditada assim ao matem¶

atico

hindu Bhaskara, do s¶

eculo 12, nos d¶

a as soluc~

oes da equa»c~

ao quadr¶

atica

ax

+ bx + c = 0, como express~oes alg¶ebricas dos coe¯cientes a; b e c, a

saber

x =

¡b §

p

b

¡ 4ac

2a

DEL FERRO, TARTAGLIA E CARDANO. UMA

TRAGI-COM¶

EDIA DE DISPUTAS, CONQUISTAS E DECEPC

» ~

OES

O primeiro matem¶

atico a desenvolver um m¶

etodo para resolver

e-qua»c~

oes c¶

ubicas da forma

x

+ ax + b = 0

foi Scipione del Ferro, professor da Universidade de Bolonha, It¶

alia,

na passagem do s¶

eculo 15 ao s¶

eculo 16. Antes de morrer, revelou seu

m¶

etodo, que mantivera em segredo, a Antonio Fiore.

Nicollo Tartaglia nasceu em Brescia, It¶

alia, em 1499. Conta-se que

era t~

ao pobre quando crian»ca que estudava matem¶

atica escrevendo nas

l¶

apides de um cemit¶

erio. Em 1535 foi desa¯ado por Antonio Fiore a

uma competi»c~

ao matem¶

atica. Na ¶

epoca, disputas acad^

emicas eram

co-muns, muitas vezes premiando o ganhador com o emprego do perdedor.

Tartaglia sabia resolver as equa»c~

oes c¶

ubicas de del Ferro, mas tinha

des-coberto tamb¶

em um m¶

etodo para resolver c¶

ubicas da forma

x

+ ax

+ b = 0

De posse deste conhecimento, foi o vencedor na competi»c~

ao.

Os ¶

ultimos anos de Tartaglia foram amargurados por uma briga com

Girolamo Cardano (1501{1576), um matem¶

atico italiano que, al¶

em de

m¶

edico famoso em Mil~

ao, foi tamb¶

em astr^

onomo. Cardano ¶

e tido como

o fundador da teoria das probabilidades, a qual estudou por interesses

pessoais (jogatina). Em 1570, Cardano foi preso por heresia, por ter

escrito um hor¶

oscopo de Jesus Cristo.

Em 1539, em sua casa em Mil~

ao, Cardano persuadiu Tartaglia a

contar-lhe seu m¶

etodo secreto de solu»c~

ao das c¶

ubicas, sob o

juramen-to de jamais divulg¶

a-lo. Alguns anos mais tarde, por¶

em, Cardano soube

que parte do m¶

etodo constava de uma publica»c~

ao p¶

ostuma de del Ferro.

Resolveu ent~

ao publicar um estudo completo das equa»c~

oes c¶

ubicas em

seu tratado Ars Magna (1545), um trabalho que superou todos os livros

de ¶

algebra publicados at¶

e ent~

ao.

Em Ars Magna, Cardano exp~

oe um m¶

etodo para resolver a equa»c~

ao

c¶

ubica baseado em argumentos geom¶

etricos. L¶

a tamb¶

em exp~

oe a solu»c~

ao

geral da equa»c~

ao qu¶

artica ou equa»c~

ao do quarto grau

ax

+ bx

+ cx

+ dx + e = 0

descoberta por Ludovico Ferrari (1522{1565), discipulo de Cardano, que

parece ter superado o mestre na ¶

algebra das equa»c~

oes polinomiais.

Em 1548, Tartaglia desa¯ou Cardano para uma competi»c~

ao matem¶

a-tica, a ser realizada em Mil~

ao. Cardano n~

ao compareceu, tendo enviado

Ferrari para represent¶

a-lo. Parece que Ferrari venceu a disputa, o que

causou a Tartaglia desemprego e morte na pobreza nove anos mais tarde.

A F ¶ORMULA DE CARDANO PARA A EQUAC» ~AO C ¶UBICA

O m¶etodo de Cardano para resolver equa»c~oes c¶ubicas, ligeiramente modi¯cado em rela»c~ao ao m¶etodo historicamente original, ¶e essencialmente o seguinte:

Consideremos a equa»c~ao c¶ubica

z3+ az2+ bz + c = 0 A substitui»c~ao

z = x ¡ a 3

transforma a equa»c~ao dada numa equa»c~ao c¶ubica na forma reduzida, isto ¶e, uma equa»c~ao c¶ubica sem o termo de 2o grau:

x3+ px + q = 0 Cardano ent~ao \tenta" obter uma soluc~ao na forma

x = u + v Ele nota que

(u + v)3 = u3+ 3u2v + 3uv2+ v3 ou seja,

(u + v)3 ¡ 3uv(u + v) ¡ (u3+ v3) = 0

Tendo em conta esta ¶_{ultima identidade, Cardano observa que para que x = u + v} seja solu»c~ao da c¶_{ubica x}3_{+ px + q = 0, ¶e su¯ciente encontrar u e v satisfazendo}

ou seja,

u3v3 =¡p

3

27 e u

3 _{+ v}3 _=¡q

Ao estilo de Diofanto, fazendo ent~ao u3 =¡q 2+ ® e v 3 _=¡q 2¡ ® teremos u3v3 = ³_q 2 ´₂ ¡ ®2 ₌ q2 4 ¡ ® 2 _=¡p3 27 ) ® 2 ₌ q2 4 + p3 27 Se q₄2 + p₂₇3 ¸ 0, deduzimos ent~ao ® = § r q2 4 + p3 27 =§ p D

onde D = q₄2+p₂₇3 ¶e o assim chamado discriminante da c¶_{ubica reduzida x}3_{+ px + q = 0.} Finalmente, assumindo que D ¸ 0, teremos, para ® =pD,

u3 =¡q 2+ p D e v3 =¡q 2¡ p D e entao x = u + v = 3 r ¡q 2 + p D + 3 r ¡q 2 ¡ p D ou seja x = 3 s ¡q 2 + r q2 4 + p3 27 + 3 s ¡q 2 ¡ r q2 4 + p3 27

O mesmo resultado ¶_{e obtido quando consideramos ® = ¡}p_{D (veri¯que), assumindo} que a ra¶³zes c¶ubicas calculadas s~ao as ra¶³zes c¶ubicas reais de n¶umeros reais.

Se o discriminante D ¶e negativo, o uso da f¶ormula de Cardano requer um c¶alculo cuidadoso de ra¶³zes c¶ubicas complexas de n¶umeros complexos. Cardano simplesmente a¯rmava que, no caso em que D < 0, sua f¶ormula n~ao se aplicava. µA ¶epoca de Cardano, os n¶umeros complexos n~ao haviam sido inventados. A f¶ormula de Cardano por¶em, foi a g^enese dos n¶umeros complexos, conforme explicaremos a seguir.

Problemas complementares

1. Deduza as equa»c~oes c¶ubicas correspondentes ao problema geom¶etrico de Ar-quimedes, dadas µa p¶agina 14.

2. Veri¯que que a c¶ubica reduzida, correspondente ao problema de Arquimedes, tem discriminante D negativo.

3. Aplique a f¶ormula de Cardano para encontrar uma solu»c~ao de cada uma das c¶ubicas dadas abaixo.

(b) x3+ 6x + 2 = 0. Resposta: x = p3 2¡p3 4 (c) x3¡ 3x + 2 = 0. Resposta: x = ¡2 4. Encontre as solu»c~oes das c¶ubicas

(a) (Cardano) x3+ 10x = 6x2+ 4. Resposta: 2 e 2§p2 (b) x3¡ 12x2+ 26x ¡ 12 = 0. Resposta: 2 e 5 §p19

BOMBELLI, CRIADOR DOS N ¶

UMEROS COMPLEXOS

O primeiro algebrista a formular regras elementares das opera»c~

oes dos

n¶

umeros complexos foi o engenheiro hidr¶

aulico italiano Rafael Bombelli,

em seu tratado L'Algebra (1572), quase trinta anos depois da publica»c~

ao

de Ars Magna por Cardano.

Bombelli notou que a equa»c~

_{ao x}

¡ 15x ¡ 4 = 0 tem uma solu»c~ao real

positiva, a saber x = 4. Notou tamb¶em que as demais solu»c~oes dessa

equa»c~

ao,

¡2 §

p

3, s~

ao tamb¶

em reais, sendo elas as ra¶³zes do polin^

omio

do 2

_{grau x}

_{+ 4x + 1, obtido como quociente da divis~ao de x}

¡ 15x ¡ 4

por x ¡ 4.

No entanto, notou Bombelli, a f¶

ormula de Cardano n~

ao se aplica µ

a

c¶

ubica em quest~

_{ao, pois nesse caso D =}

+

=

¡121 < 0. Um

not¶

avel paradoxo surgiu ent~

ao: a c¶

_{ubica x}

¡ 15x ¡ 4 = 0 tem suas tr^es

ra¶³zes reais e, no entanto, a formula de Cardano, quando a ela aplicada,

produzia uma express~

ao num¶

erica que carecia de sentido:

x =

q

2 +

p

¡121 +

q

2

¡

p

¡121

Por conta disso, Bombelli p^

os-se a estudar essa nova esp¶

ecie de n¶

u-meros, mais tarde denominados n¶

umeros complexos.

Com a f¶ormula de Cardano, todo cuidado ¶e pouco!

Mesmo quando D > 0, a f¶ormula de Cardano mostra-se pouco pr¶atica, pois pode ocultar solu»c~oes racionais de uma c¶ubica sob a apar^encia de express~oes que parecem irracionais.

Por exemplo, a c¶_{ubica x}3 _{+ 3x ¡ 4 = 0 tem x = 1 como solu»c~ao. Dividindo-se} x3+ 3x ¡ 4 por x ¡ 1, obtemos x2+ x + 4, que tem como ra¶³zes os n¶umeros complexos (¡1 §p_{15i)=2, as outras duas soluc~oes da c¶ubica dada.}

No entanto, a aplica»c~ao da f¶ormula de Cardano a essa c¶ubica nos d¶a a solu»c~ao real x = 3

q

2 +p5 + 3 q

que ¶_{e, na verdade x = 1.}

FRANC

» OIS VIµ

ETE CRIA UM M¶

ETODO ALTERNATIVO

PARA O CASO INDESEJ ¶

AVEL DA F ¶

ORMULA DE

CAR-DANO

Fran»cois Viµ

ete (1540{1603) foi um advogado franc^

es, membro do

par-lamento, com grande voca»c~

ao matem¶

atica. Em seu tratado In artem

analyticem Isagoge, Viµ

ete aplica ¶

algebra ao estudo de geometria, quando

at¶

e ent~

ao, a pr¶

atica tinha sido sempre a de aplicar geometria µ

a ¶

algebra.

Durante uma guerra contra a Espanha, Viµ

ete serviu ao rei franc^

es

Henri IV, decifrando o c¶

odigo usado pelos espanh¶

ois em suas

correspon-d^

encias militares.

Usando trigonometria, ¶

area da matem¶

atica elementar onde descobriu

muitas de suas conhecidas rela»c~

oes, Viµ

ete desenvolveu um m¶

etodo para

calcular as tr^

es ra¶³zes reais da c¶

_{ubica x}

_{+ px + q = 0 no caso em que}

a f¶

ormula de Cardano \falha," isto ¶

e, no caso em que o discriminante

D =

+

¶

e negativo.

O m¶etodo de Viµete

Consideremos a equa»c~ao c¶ubica

x3+ px + q = 0

onde suporemos que os coe¯cientes p e q s~ao n¶umeros reais n~ao nulos.

No seu m¶etodo, Viµete tenta buscar uma solu»c~ao real para essa c¶ubica, escrevendo-a na forma

x = k cos µ; com k > 0

Note que o caso k = 0 ocorre quando x = 0 ¶e uma solu»c~ao da c¶ubica. Nesse caso, q = 0 e as outras duas ra¶³zes s~ao as solu»c~oes complexas da equa»c~_{ao x}2 =¡p.

Usando a rela»c~ao trigonom¶etrica

cos 3µ = 4 cos3µ ¡ 3 cos µ temos entao

4 cos3_{µ ¡ 3 cos µ ¡ cos 3µ = 0}

A substitui»c~_{ao de x = k cos µ na c¶ubica x}3_{+ px + q = 0 nos d¶a} k3cos3_{µ + pk cos µ + q = 0}

express~_{ao que, multiplicada por 4=k}3 em ambos os lados, passa a ser 4 cos3_{µ +} 4p

k2 cos µ + 4q k3 = 0

Comparando esta ¶ultima equa»c~ao com a identidade trigonom¶etrica 4 cos3_{µ ¡ 3 cos µ ¡ cos 3µ = 0}

Viµete ent~_{ao observa que x = k cos µ ser¶a solu»c~ao da c¶ubica dada desde que se tenha} 4p k2 =¡3 e ¡ cos 3µ = 4q k3 ou, equivalentemente, k2 =¡4p 3 e cos 3µ = ¡ 4q k3

Estas duas ¶ultimas equa»c~_{oes (em k e µ) ter~ao solu»c~ao se, e somente se, tivermos} p < 0 e ¯¯¯4q k3 ¯¯ ¯ · 1 ou, equivalentemente p < 0 e 16q 2 k6 · 1 Como k2 =¡4p₃ , esta ¶ultima condi»c~ao equivale a

D = q

2

4 + p3 27 · 0 (note que, sendo q 6= 0, ent~_{ao D · 0 ) p < 0)}

Sendo ent~_{ao D · 0, o m¶etodo de Viµete nos d¶a tr^es solu»c~oes reais da c¶ubica:} Primeiramente calculamos k =

q

¡4p₃ e ent~ao procuramos os tr^_{es valores de µ,} compreendidos entre 0 e 360± _{satisfazendo cos 3µ = ¡}4q_k3. Sendo ^_{eles µ1; µ2 e µ3}, teremos as tr^es solu»c~oes da c¶_{ubicas dadas por x1 = k cos µ1, x2 = k cos µ2 e x3 = k cos µ3}.

No c¶alculo dos tr^_{es valores de µ, podemos tomar} µ1 = 1 3arc cos µ ¡4q k3 ¶ e ent~ao µ2 = µ1+ 120± e µ3 = µ1+ 240±

Problema Utilizando uma calculadora (computando ^angulos em graus), calcule as ra¶³zes de x3¡ 15x ¡ 4 = 0 (a equa»c~ao estudada por Bombelli) pelo m¶etodo de Viµete. Voc^e obter¶a _{r = 2}p_{5 e cos 3µ =} 2

5p5, de onde um dos valores de µ ¶e dado por µ1 = 1 3arccos ³ 2 5p5 ´

. Tome ent~ao _{µ2 = µ1} + 120±, _{µ3 = µ1} + 240±. Correspondentemente, teremos x1 = 4, e as aproxima»c~oes x2 =¡0; 268 e x3 =¡3; 732

EQUAC

» ~

OES DO 4

GRAU E AL¶

EM. ALGUMAS POUCAS

PALAVRAS.

Por ora n~

ao trataremos das equa»c~

oes do 4

grau. A f¶

ormula de

Lu-dovico Ferrari, publicada por Cardano em Ars Magna, exprime

algebri-camente as solu»c~

oes da equa»c~

ao qu¶

artica

x

+ ax

+ bx

+ cx + d = 0

em termos dos coe¯cientes a; b; c e d, utilizando somente as quatro

ope-ra»c~

oes aritm¶

eticas elementares e extra»c~

ao de ra¶³zes. Uma solu»c~

ao desse

tipo ¶

e chamada solu»c~

ao por radicais.

Nos 250 anos que se seguiram, todos os esfor»cos para resolver a

equa»c~

ao geral de 5

grau falharam. Em 1786, E.S. Bring mostrou que a

equa»c~

ao geral do 5

grau pode ser reduzida, por transforma»c~

oes alg¶

ebri-cas, µ

a equa»c~

_{ao x}

¡ x ¡ A = 0. Embora uma tal redu»c~ao parecesse um

grande passo em dire»c~

ao µ

a solu»c~

ao geral da equa»c~

ao qu¶³ntica por

radi-cais, Paolo Ru±ni mostrou, em 1799, que uma solu»c~

ao geral da equa»c~

ao

qu¶³ntica por radicais era imposs¶³vel. A demonstra»c~

ao desse fato, feita

por Ru±ni, foi considerada insatisfat¶

oria µ

a ¶

epoca. Entretanto, em 1826,

Niels Abel publicou uma prova satisfat¶

oria desse fato, fato repetido com

a teoria mais geral ulteriormente desenvolvida por Evariste Galois, em

1831.

O Teorema Fundamental da ¶

Algebra

Os n¶

umeros complexos foram criados para suprir solu»c~

oes de equa»c~

oes

polinomiais. Mas h¶

a alguma equa»c~

ao polinomial de coe¯cientes reais ou

complexos que n~

ao possui nenhuma solu»c~

ao complexa? A resposta ¶

e n~

ao,

sendo enunciada pelo Teorema Fundamental da ¶

Algebra:

Toda equa»c~

ao polinomial de grau

¸ 1, com coe¯cientes reais ou

com-plexos, possui uma solu»c~

ao complexa.

Esse teorema foi enunciado, sem demonstra»c~

ao, por Albert Girard

em 1629. Os matem¶

aticos Jean D'Alembert, em 1746, e Carl Friedrich

Gauss, em 1799, publicaram demonstra»c~

oes desse teorema.

As refer^encias utilizadas para a confec»c~ao do presente texto s~ao as seguintes: 1. Anglin, W.S.

Mathematics: A Concise History and Philosophy Springer, New York, 1994.

2. Boyer, C.B.

Hist¶oria da Matem¶atica

Editora Edgard BlÄucher, S~ao Paulo, 1968. 3. Bunt, L.N.H. et alii

The Historical Roots of Elementary Mathematics Dover, New York, 1988.

4. Kleiner, I.

Thinking the Unthinkable: The Story of Complex Numbers (with a Moral) Mathematics Teacher 81, Oct., 1988, 583-592.

5. Pi¶orichkine, A.V. e R¶odina, N.A. F¶³sica 1

Editora Mir, Moscou, 1986 6. Smith, D.E.

History of Mathematics, vol. II Dover, New York, 1953.

7. Stillwell, J.

Mathematics and Its History Springer-Verlag, New York, 1989. 8. van der Waerden, B.L.

Geometry and Algebra in Ancient Civilizations Springer-Verlag, New York, 1983

9. van der Waerden, B.L. A History of Algebra