faffok BRSo^4l«4 iwis-br--aa*-5 BB SF-USP/ f-bc UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FtSICA

^ UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE FtSICA

BB SF-USP/ f-BC

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PEDIDO N2.

" Um estudo da relação entre o método semi-clássico e o método das coordenadas geradoras"

faffok

- * v < t _<**^

Frederico Firmo de Souza Cruz

Dissertação apresentada ao Instituto de Física da USP para obtenção do grau de mestre.

Neste trabalho fazemos uma comparação en tre duas teorias microscópicas do movimento coletivo: a teo ria semi-clãssica e a teoria quântica do método das coordena das geradoras. Em ambos os casos usamos como instrumento bási^ co pacotes de onda |p,q> que dependem de dois parâmetros cano nicamente conjugados. Esses pacotes de onda são construídos pe Ia ação de operadores unitários de deslocamento que tem como geradores.operadores canônicos Q e P, era um estado de referên cia.

A teoria semi-clãssica ê construída a par tir de um princípio de mínima ação análogo ao princípio de Hamilton da Mecânica Clássica e a teoria quântica a partir do método das coordenadas geradoras com os pacotes de onda \p,q> .interpretados como estados geradores.

Estabelecemos as condições para a equiva lência entre as duas teorias analisando os efeitos da energia de ponto zero do pacote de onda |p,q> .

Finalmente aplicamos as duas teorias na 4 análise do modo dipolar de GoldHaber-Teller para o núcleo He .

This paper investigates the relationship between two microscopic theories of nuclear collective mo-tion: the semi-classical theory and the quantum theory of the generator coordinate method. In the both cases we use as basic tool, dynamical wave packets |p,q> which are ob-tained by letting unitary displacement, operators P and Q in the many-body Hubert space, act on a reference state. In the semi-clc ssical theory we make use of a variational prin ciple wich is analogous to the Hamilton principle of clas-sical mechanics. On the other hand, the quantum theory is based on the Generator Coordinate Method where the dynami -cal wave packets are considered as generators states.

We establish the conditions under which the two theories are equivalent analysing the effects of the. zero point energy of the wave packets |p, q>.

An application is made to the case of the 4

CAPITULO II - O MÉTODO SEMI-CLÃSSICO 9 II-A. As equações de movimento ... 9

II-B. O método de requantização ... 19

CAPITULO III - MÉTODO DAS COORDENADAS GERADORAS 27 III-A. Representação para o subespaço

coletivo-Una coordenada geradora e duas coordenadas

canõnicamente conjugadas ... 30 III-A.l. Famílias com uma coordenada

geradora 31 III-A.2. Famílias com duas coordenadas

geradoras canõnicamente conju

gadas 33 III-B. Igualdade dos subespaços coletivos S, e S-. 36

III-C. Separação das coordenadas intrínsecas

e coletivas 39 III-D. Operadores coletivos 41

III-E. Hamiltoniana coletiva quântica do método

das coordenadas geradoras 43 CAPITULO IV - COMPARAÇÃO ENTRE O MÉTODO DAS COORDENADAS

GERADORAS E O MÉTODO SEMI-CLÃSSICO 47 IV-A. Aproximação quadratica nas coordenadas gera

doras 49 IV-B. Aproximação adiabãtica 55

IV-C. Diferença de quantização entre o M.C.G. e o método de quantização de Pauli na

aproxima-ção adiabãtica ...««. 59 CAPITULO V - RESSONÂNCIA GIGANTE DE DIPOLO - MODELO DE

V-B. Modo dipolar de GoldHaber-Teller segundo

o *etodo das coordenadas geradoras 67

V-C. Resultados e comparação 71

CAPITULO VI - CONCLUSÕES 74

GRÁFICOS 77 REFERÊNCIAS 81

O objetivo de uma teoria microscópica de movimen tos coletivos ê descrever os estados coletivos pela redução do problema de muitos corpos a um problema que envolva apenas

o grau de liberdade coletivo. Se conhecemos, a priori, o grau de liberdade coletivo e consideramos o caso de um grau de liberdade canônico, isto i, um grau de liberdade associado

a um par de operadores canõnicos definidos no espaço de Hilbert de muitas partículas j \ ,

podemos isolar os aspectos coletivos do problema, introduzin do explicitamente, uma transformação canônicadas coordenadas e momentos das partículas para coordenada e momento coletivos Q e P e coordenadas e momentos intrínsecos \ i « *Ti •

Os operadores coletivos Q e P definem um espaço de Hilbert de um grau de liberdade, o espaço coletivo j\c , e os operadores intrínsecos um espaço de Hilbert de N-l graus de liberdade, o espaço intrínseco jvz .

Uma idealização que ilustra o significado da existência de um modo coletivo é a de considerarmos que exis

tem estados do sistema onde o grau de liberdade coletivo está desacoplado dos graus de liberdade intrínsecos.

Formalizando o que acabamos de dizer, temos que: a existência de um modo coletivo ideal implica que existe um subespaço do espaço de Hilbert de muitas partículas, o subes

paço coletivo ideal S . dado pelo produto direto do espaço co letivo jtc e um subespaço unidimensional do espaço intrínseco

t a l que

[Sc.MrO

1-1

ScHSc^ ScH

tRQJ^

A hamiltoniana coletiva é dada por

H

CP,G)= t ^ filIXII 1-3

onde*tf> significa o traço nas variáveis intrínsecas, e S é o operador de projeção no subespaço coletivo ideal

*c éo operador identidade no espaço de Hilbext coletivo j \ e Sõj o operador de projeção no subespaço unidimensional do espa

ço intrínseco

A equação (1-1) mostra que a projeção da hamilto niana no subespaço coletivo ideal, dã parte do espectro exato da hamiltoniana de muitos corpos flea equação (1-2) mostra que esse espectro i descrito apenas pela hamiltoniana coletiva

vos e intrínsecos no subespaçp coletivo ideal S .

No entanto, a transformação canônica Mencionada acima não é, na prática,, factível, por isso, neste trabalho não introduzimos explicitamente esta transformação. Nos meto dos considerados neste trabalho procura-se construir a hamilto niana coletiva VlcA W usando pacotes de onda \^>j<^> . Os parâmetros *Ç> e <^ são iguais a valores médios das varia veis dinâmicas coletivas P e Q tomados nos pacotes, e a depen dência do pacote de onda nos parâmetros iÇ> e ^. ê construct da de tal modo que ela reflita a distorção do sistema durante o movimento coletivo.

No método semi-clássico determinamos a evolução temporal âe *Ç> e Q usando um principio variacional análogo ao princípio de Hamilton da mecânica clássica.

com a condição de que a variação dos pacotes de onda nos extre mos se anula.

Se os pacotes de onda llp,<^> satisfazem a re lação

o princípio variacional 1-4 se reduz ao princípio de Hamilton da mecânica clássica, com os parâmetros y> e ^ interpretados

òow> o espaço de fase Clássico e cuja h&miltonlana ê

-%>(W= < ^ i H W .

No método semi-clãssico nós identificamos

com o limite clássico da hamiltoniana coletiva *3(p(l*tQ) a qual i obtida por um processo de quantização.

Por outro lado o método de coordenadas geradoras ê uma teoria puramente quântica. Nesse método consideramos e£ tados de muitas partículas que podem ser construídos como uma combinação linear dos estados geradores,

»T>=

\{

onde \cC> são os estados geradores e í{ci) a função peso. Os .e£ tados geradores são escolhidos, â priori, com base em crite rios fenomenológicos sobre a natureza do movimento coletivo considerado e o parâmetro °<, a coordenada geradora, é em ge ral igual ao valor médio de uma variável dinâmica no espaço de Hubert. A função peso é determinada por um método variacional

(ver Capitulo III).

Nas referências ( 9'1 0 ) mostra-se que podemos as sociar ao espaço variacional de G.H.W. (eq. 1-6) um subespaço do espaço de Hilbert de muitas partículas, o qual vamos chamar de subespaço coletivo do método das coordenadas geradoras, S. 0 operador de projeção nesse subespaço, &, é construído em termos dos estados geradores adotados como relevantes na des

eriçâo do movimento coletivo. Desse ando a descrição de dinâmi ce segundo o método das coordenadas geradoras ê dada pela dl^ nimica restrita ao subespaço coletivo S. Assim, no Método das coordenadas geradoras, identificasos a hamiltoniana coletiva coat a projeção da hamiltoniana de muitos corpos no subespaço coletivo S,

^ uri. * A A

De posse do operador de projeção S, pode-se obter a pos teriori as variáveis dinâmica coletivas em S. Essas variáveis

dinâmicas coletivas nospexcdtan descrever a dinâmica restrita em termos de poucos graus de liberdade coletivos.

Quando se discute na literatura as vantagens e (20)

desvantagens de cada um dos métodos, a posição geralmente adota da é que o método semi-clássico é vantajoso no que diz respei^ to â descrição dinâmica,visto que neste método se usa pacotes onda que dependem de dois parâmetros canônicamente conjugados, ou famílias de pacotes de onda dinâmicas (ver Capítulo II) en quanto que no método de coordenadas geradoras as famílias de estados geradores usualmente adotadas são as de um parâmetro , ou famílias estáticas. Nas famílias dinâmicas do tipo \lP/*^^ o parâmetro *p descreve a dependência do pacote de onda com a

"velocidade" enquanto que as famílias estáticas de estados ge radores que dependem apenas de um parâmetro 1^>= l-pro,<|> , não possuem esta dependência. Um exemplo sempre invocado em apoio a esse ponto de vista é o caso de translação do núcleo onde o parâmetro de massa calculado pelo método semi - clássico tem o valor correto o que não acontece , em geral, se usamos es,

tados geradores dependentes de uai parâmetro. 1 8»1 9 )

A desvantangem do método seai-clãssico é que» co •o inevitavelmente, ele passa por uai estágio clássico se fax necessário um processo de quantização. Este processo de quanti seção alem de não ser único, incorpora de U M forma incorreta efeitos quãnticos da energia de ponto zero do pacote de onde. Estes efeitos quãnticos são no entanto considerados corretamen te e de f o n a natural nua método puramente quántico coso o mé todo das coordenadas geradoras. Con a finalidade de sanar a desvantagem do método de coordenadas geradoras introduzimos

neste trabalho estados geradores com dois parâmetros canônica mente conjugados do tipo:

lf>,<*> = e * e

io> 1-8

onde | 0 ^ é um estado de referência satisfazendo as relações

< 0 1 P | 0 > - < 0 l Q i q > = O

Os estados dados em 1-8 são também utilizados no método semi-clássico que é desenvolvido no Capitulo II.

A introdução do segundo parâmetro, ^p(i), no meto do das coordenadas geradoras visa corrigir a descrição dinãmi, ce deste método. Notamos no entanto que, no caso de um grau de liberdade canõnico, a introdução do segundo parâmetro pode ser redundante, isto é: a teoria construída a partir do método das coordenadas geradoras (N.C.6.) com estados geradores de um pa râmetro,

é equivalente â teoria construída a partir de (1-8). Isto por que sob determinadas condições impostas a W,4"V o subespaço co

letivo do M.C.G. gerado por lp,q/> e | ^ ) são idênticos. Isto nos levou a introduzir, o conceito de redundância (ver Capítulo III).

Com isto, neste nosso trabalho, vamos investigar a relação entre os dois métodos, o semi-clássico e o das coor denadas geradoras. No Capítulo II desenvolvemos o método semi-clássico e discutimos a condição de validade do método, que está relacionada com a energia de ponto zero do pacote e os problemas relacionados com a não unicidade do método de requan tização. No Capítulo III mostramos como se pode usar o pacote de onda dependendo de dois parâmetros canônicamente conjugados

(eq. 1-8) no M.C.G., e estabelecemos a condição de redundân cia, isto é, a igualdade dos subespaços coletivos gerados por

\K),<±) e |Q*> . Ainda neste capítulo construímos a hamiltoniana coletiva Wc , estabelecemos a relação entre as variáveis co

letivas definidas no subespaço coletivo e as variáveis coleti^ vas definidas no espaço de Hilbert de muicas partículas.

No Capítulo IV comparamos os dois métodos anally sando as relações entre a hamiltoniana coletiva quântica do M.C.G., Mc e a hamiltoniana clássica "%>(%>,%)'

de Goldhaber- Teller l • de estados de dipolo em núcleos leves.

Neste modelo os pacotes de onda podem ser parametrizados de tal forma que os requerimentos mencionados nesta introdução são satisfeitos.

Ho Capítulo VI apresentamos um rápido sumário de nossas conclusões.

II-A. As equações de movimento

Como jã foi apontado por vários au«„.res a evo lução dinâmica de sistemas quânticos, pode ser obtido através de um princípio de mínima ação, análogo ao principio de Hamil^ ton da mecânica clássica.

• #

Neste capítulo, construiremos a partir deste prin cípio uma teoria semi-clãssica para movimentos coletivos.

Definindo a lagrangeana quântica como

£ [Y* Y] - <VÍ\)\ JÍ*Í - 6 IYÍÍ)> n-i

onde. consideramos \ - * e

Temos que a ação quântica é dada por

I LV* V =

Í K t ] dt

A condição de mínimo para a ação,

S l W * Y ] = o , "-3

fornece a equação de movimento para \1JU))>.

Quando a variação ê efetuada em todo o espaço de H u b e r t ,j \ , ou seja

a condição (3) nos dâ a equação de SchrOdinger, como se pode ver abaixo

S I LV>] = l U 5 Vci) U^i - U WAi> * < VtW A ' " » * VIU» dt r O

Utilizando a condição (II-4) e fazendo uma inte gração por partes obtem-se

onde a flecha sobre os operadores diferenciais, apontando para a direita e para a esquerda indica que os mesmos atuam sobre os termos â direita e ã esquerda respectivamente.

Como a variação do "bra" é independente da variação do "kef \<TVlt)> , temos

que são, respectivamente, a equação de SchrOdinger e sua ad junta.

Em geral, não ê possível resolver o problema exa

tamente, pode-se no entanto, procurar soluções aproximadas im

pondo restrições aos estados Itytfc)). Estas restrições dependem

de considerações de ordem física sobre o sistema particular a

ser tratado. Como exemplo disto, as equações de Hartree-Fock

dependente do tempo podem ser obtidas a partir do princípio de

mínima ação, acima, quando impomos que W d i ^ é um determinan

te de Slater (ou, em outras palavras, a variação ê efetuada no

espaço de determinantes de Slater). As equações de R.P.A.

(Randon Phase Approximation) são obtidas numa aproximação para

pequenas oscilações das equações de movimento .

O método que denominamos semi-clássico vai ser de

duzido, a partir da aplicação do princípio de mínima ação a fa

mília de estados, rotulados por parâmetros l>lt)e ^l*> definidos

por

' II-5

onde N(t) e 4^) , são funções reais dependentes do tempo in

troduzidas para garantir a conservação da norma e a fase corre

ta respectivamente. Os parâmetros ptt) e qtfc) , que caracterizam

a família são interpretados fisicamente como valores médios,

de variáveis dinâmicas canônicamente conjugadas, tomadas nos

estados l p ^ $ ^ • Como provaremos abaixo o princípio de mini

ma ação pode fornecer neste caso, equações clássicas de movi.

mento para os parâmetros pft) e ^ ) .

A condição de mínimo para a ação (eq. II-3) impli.

Visto que as variações de Net), '(Jx.-fc,), ptt) e <^l"U são independentes a equação acima pode ser separada em quatro equações

<v,% Z*L

* â (&a t 0%) +

V

^P*»

P^ *P,*> so u-6.b

N

N

onde 9q e op operadores diferenciais definidos da mesma forma que ^i e as flechas seguem a mesma convenção adotada anterio£ mente. Deixamos implícita a dependência temporal de N, p,<t> e q e os pontos significam derivada com relação ao tempo.

4=

I

1

-'***>-71 \

N = <W^TV*>

-Vfe

\

< ^ ' " ' ^ >

- > T [ ^ H L

(3,5,-5£) n o l

De uma forma análoga a equação ( I I - 6 . d ) nos fornece

I I - 9 11-10 Definindo ^Sil9 = * - - > e

as equações ( I I - 9 ) e (11-10) podem ser r e e s c r i t a s como

^ TOC^) r -y> 1%-p I I - 9 . a

fi. #CM> = Sl*/P

"

''

ftp

No caso em quel^,p é i g u a l a 1 as equações (II-9.a e 10.a) se reduzem âs equações de Hamilton, onde a função ha miltoniana c l á s s i c a é "flvOfc^) •

Por outro lado s e l ^ p é d i f e r e n t e de 1 pode - s e procurar uma transformação

ip'rr 'P'C-R-S) 11-11 *. t a l que '09/ 11-12 ô p ' 11-13 onde

VUp',9;.)- ^ T P ^ ' M W v )

Qualquer transformação t a l que

J%V= 7?.

Ç)g» 9p' . § £ 3?' II-14

satisfaz as eqs. (12) e (13).

Comol^-p é o Jacobiano dessa transformação vemos que a condição para que essa transformação exista e que l%,v

seja diferente de zero.

As equações (11-11) e (11.14) não definem p' e q' unicamente porém qualquer outra solução, pn e q", esta ligada à primeira por uma transformação canônica.

fo» <d£" - ^ T <i£" _ 1 11-14.a

O mesmo procedimento pode s e r estendido para faml l i a s de estados rotulados por um número qualquer de parâmetros canônicamente conjugados, 6 ainda i n t e r e s s a n t e e n f a t i z a r que no caso de um parâmetro real a solução encontrada e estática cato se pode ver facilmente fazendo p = 0 e substituindo nas ecuações

acima.

Temos

I'tyd» - utt) e ^

\°JW>

\Z- - * - * • 1 v TT-15

onde

Por razões que ficarão c l a r a s adiante i d e n t i f i c a remos

coin o potencial do sistema. Temos, portanto, como solução da equação de movimento que o sistema se encontra na posição de equilíbrio de pontencial . Assim, quando usamos um para metro a equação de movimento tem apenas uma solução estática. Por essa razão as famílias de um parâmetro real são também cha madas de famílias estáticas e a de dois parâmetros canônicamen te conjugadas, famílias dinâmicas.

Assim, mostramos que o princípio variacionai (II-3) é compatível com a conservação da norma que a fase não in fluencia a equação de movimento e que quando ±%-p ê igual a um a evolução temporal dos pacotes de onda \vll>*^^ ê dada pelas equações clássicas de movimento para os parâmetros rç e

^-0 desenvolvimento acima segue os trabalhos apre sentados nas referências ' . Este formalismo podo ser utiljL zado numa larga classe de problemas e em particular no estudo de movimentos coletivos. No que segue vamos analisar uma para metrização particular dada por

Wii)>=

\VJ

0-

>

"

<VA\?\VA>~ V n-19

Se a teoria que vamos construir com o pacote de onda (11-16) e obedecendo as condições acima, i ou não uma teo ria para movimentos coletivos, depende apenas do caráter físi^ co dos operadores P, Q e do estado de referência \0"> . Co mo estamos interessados na análise de movimentos coletivos vçi mos impor que P e Q são variáveis dinâmicas coletivas e 10> é um determinante de Slater especificando um estado nuclear , por exemplo, o estado fundamental de Hartree-Fock.

Para o pacote de onda dado em (11-16) temos que

NtU

- 1

ou seja \ \ 3 j ^ i normalizado e tomamos H W - 0 O que nos forn£

ce

ou

As equações de movimento (II-9.a) podem então ser

escritas como

á - 2 . tí&W n-20

ou

* A

Í>- -i < f W 1 > , U ] \ ^ > II-21.a

Na maioria dos casos de aplicação pratica admite-se a validade do limite adiabático, o que nos permite expandir

4yO(-V*%) em uma série de potências de p. Como a hamiltoniana ê invariants por inversão temporal, o estado de referência \&) par por inversão temporal e os operadores 0 e P, par e Impar por inversão temporal respectivamente, temos

<TW W ^ V > -

<"Vj^\V\\-vA>

n-22

A ultima equação indica que fj) é uma função par do parâmetro 'p

Utilizando este fato e considerando termos até se gunda ordem na expansão de'ÔvolftÇt) em potências de p temos

MXVJV

= <^&^> •» já^t4ií.ft,8jj\^> n-23

onde

Ê

^ > - e , 0> 11-24

4

/c%CV = < H i ^ L W ] ] m " -

a hamiltoniana clássica (11-24) pode ser escrita como

-MOÍVJV- -2- -* fàv . " ~

Concluindo:o principio de mínima ação (II-3) nos deu uma teoria clássica de valores médios de operadores coleti vos com uma hamiltoniana clássica dada por (11-27) onde a mass sa e o potencial são calculados microscõpicamente.

II-B. 0 Método de requantização

>

A hipótese fundamental do método semi-clãssico é que a hamiltoniana clássica o limite clássico de uma hamiltoniana coletiva quântica que é obtida por um processo de requantização onde os parâmetros coletivos clássicos /p(-t) e

QfCi) são substituídos pelos operadores coletivos P e 0 dos quais são valores médios nos pacotes de onda lfó,°»^> • A vali, dade deste procedimento não ê inteiramente justificada pois a substituição de valores médios por operadores desconsidera efei, tos da dispersão dos estados quânticos, no caso os pacotes de onda \*^ q ^ , onde são tomadas estas médias.

do principio da incerteza. Visto que o pacote de onda \ft*l^ não é um auto-estado dos operadores P e Q existe una dispersão na medida dada por &P e A Q . Como a um & P corresponde um

&Q. e vice-versa,os pacotes de onda possuem uma energia in trlnseca ligada ã dispersão. Esta energia intrínseca do pacote

o

de onda é também denominada, energia potencial de ponto zero,e afeta o processo de quantização,visto que esta embutida na ha

miltoniana clássica -TcXVj^), definida como valor médio da ha miltoniana de muitos corpos, ft, nos pacotes de onda l^Rr*^ .

Assim, para tornar plausível o processo de quanti_ zação devemos supor que a energia de ponto zero ê a menos de uma constante, desprezível. £ interessante observar, que pode mos testar esta suposição extraindo a energia de ponto zero ao tomarmos o valor médio nos pacotes de onda do operador hairil^ toniano coletivo obtido pelo processo de requantização mencio nado acima, isto 5: seja %\oc o operador haníltoniano obtido

pelo processo de quantizaçao, a energia de ponto zero e definjL da como a diferença entre o limite clássico de e&c » ou se ja, -fí^M) e o valor médio de tomado nos pacotes de onda l"p,o^>

í

-

%OÍV,<\\- <V^\^OaS^\^A>

"

Uma analise da eouaçãb acima nos permite testar a suposição de que Erz c desprezível. No caso onde os efeitos de E forem consideráveis podemos retornar ao início escolher»

pz

Supondo que a energia de ponto zero seja desprezl^

vel temos ainda problemas devido â forma da hamiltoniana clássica ifai'CA) (ver eq. 11-27), visto que, existem várias possibilidades de cr

denamento de Q e P no termo de energia cinética, dando origem a diferentes hamiltonianas quânticas . todas

elas tendo o mesmo limite clássico w f t ^ ) • Uma prescrição

para o processo de requantização ,usualmente adotada na litera^ - ~ (4)

tura, e o método de requantização de Pauli

Neste método,consideramos que para um sistema eu

ja energia ê

t= £ f^^V-iJ^^+V^^...^),

XI

_

29

existe um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal,

\*i,^£/-"-./*N^ onde a massa independe da posição. A energia neste sis te

ma de coordenadas é dada por

C _ £ . 1 "Io <t t VoW\far..j*H) II-30 1 " íra 2

A equação de Schrfldinger correspondente a esta

função de energia 5 obtida através do processo canônico ou se

ja

X -o X

*« ~* **'-'% 11-31)

L

-ÍC v,Yu) +

N4(^..,X-)VUJ=

tVui

zru '" " *"

J

™

2

com a condição de normalização

[ •¥*«, V«) * = 3

No outro sistema de coordenadas "l^i^i••• > S N 7 a energia é dada pela equação (11-29).

Como a equação de Schrôdinger (11-32) e a condi^ ção de normalização (11-33) envolvem apenas escalares, são in variantes por uma transformação de coordenadas. O processo de quantizaçio da hamiltoniana clássica ligada S equação (II- 29) se resume portanto na transformação da equação (1132) e (II -33) para o sistema de coordenadas 1 ^ J ^ J " " ^ N | .

Os dois sistemas de coordenadas estão caracteriza dos por

4 = 1 M s 1

onde d s é o elemento de comprimento ao quadrado e ^,« é a métrica do sistema \%\} ^a'- " >^N\

De (11-34) temos

A igualdade de e n e r g i a c i n e t i c a nos d o i s s i s t e m a s de coordena das nos dá

que com ajuda de (11-35) nos fornece

fyt= ! M(* « * « , - * « ? 11-36

Efetuando a transformação de coordenadas tentos

11-37

onde

Temos ainda que o l a p l a c i a n o de um escalar é da do por

M:l f i j l 99j\ 3^,

2= det«j

j

2-

tf'V

= 5*

de coordenadas ê dada por

e a condição de normalização

1 1 - 4 0

onde J ê o jacobiano da transformação e é igual a

Como

pode ser colocado como o determinante de um produto de duas matrizes

onde o símbolo T significa a matriz transposta,temos

Com isso a equação (11-40) pode ser reescrita como

temos

§ &V $H) <*q

dV"

** = *

11-43

a função de onda no novo sistema. Substituindo

por $(<$) na equação (II-39) a multiplicando ambos os termos por <yH obtem-se

[àfr^K^t^***^*'***

ou

t M." * '

% %

* *

+

^ V - « > » • E *W

lt

.

is

Este método é aplicado diretamente a

que é o caso unidimensional. Neste caso temos

E para a equação de Schrôdinger

[ A dG<%)

^dtíj) ÊcKw t t?C4)]$ctjs £ $<*)

Portanto a hamil*otniana coletiva quântica do método semi - clSs sico é dada por

j f c

^ O ) r i, ctftQ) PcK(Qj Pc^taj -* U(Q)

11-46

Em resumo, utilizamos uma versão restrita do princípio variacional de mínima ação (II-3) para obter equa^ ções de movimento clássicas para valores médios de variáveisdi nâmicas coletivas, com uma hamiltoniana clássica "WX-VJ^) de finida como valor medio da hamiltoniana de muitos corpos ft nos pacotes de onda I'ft'O * E s t a hamiltoniana clássica foi identi

ficada com o limite clássico da hamiltoniana coletiva quãntica, , que foi construída por um processo de requantiza ção.

CAPITULO III - MÉTODO DAS COORDENADAS GERADORAS

No capítulo anterior mostramos que as teorias de movimento coletivo construídas a partir do funcional de ação quântico (II-2), com vetores do espaço de Hubert dados pelos pacotes de onda I'to.CL*^ # passam inevitavelmente por um está çjio clássico, sendo necessário um processo de quantização que não é inteiramente justificável.

Nosso objetivo neç£e capítulo i estabelecer- uma teoria puramente quântica tendo como ponto de partida os méis mos pacotes de onda llpj^.*> do capítulo anterior. Para tanto re

corremos ao Método das Coordenadas Geradoras (M.C.G.).

0 M.C.G., como foi introduzido por Griffin-Kill / (5)

Wheeler , baseia-se na hipótese de que os estados coletivos, de um dado sistema, são combinações lineares de estados de mui^ tos corpos, [oi} , denominados estados geradores, rotulados por parâmetros oi chamados de coordenadas geradoras, isto é

onde ||) é o estado coletivo e Uot) a função peso.

A escolha dos estados geradores e das coordenadas geradoras ê feita, a priori, com base em informações fenômeno lógicas. Em geral a coordenada geradora é o valor médio de uma variável dinâmica relacionada com propriedades geométricas do sistema (forma do campo médio, raio etc...).

O único termo desconhecido da equação (III-l) ê a função peso, jC«0 r que ê selecionada pela dinâmica do siste ma, por meio de um princípio variacional que minimiza a ener tia

onde ft é a hamiltoniana de muitos corpos do sistema.

A condição de mínimo (extremo) para a energia

(II1-2) nos dá uma equação para J(«l) , conhecida como equa ção de Griffin-Hill-Wheeler (G.H.W.).

U<*l w w > - H

«wtyu*)d*

zo

O M.C.G., na sua forma original, apresenta no en tanto dificuldades matemáticas ligadas ao comportamento sineu lar das soluções de (III-3), mesmo quando o vetor I T ^ per tence ao espaço de Hilbert

Em uma série de trabalhos l ' ' ' se estabeleceu a relação "formal" entre a equação de G.H.W. e a equação de Schrfldinger num subespaço do espaço de Hilbert.

Recentemente, Toledo-Piza e de Passos ' cons truíraro um método onde as dificuldades matemáticas podem ser evitadas e mostraram também a equivalência entre a equação de G.H.V7. e a diaaonalização da hamiltoniana de muitos corpos num subespaço, R, do espaço de Hilbert, que é identificado com o

pode associar ao "ansat2" de G.H.W., equação III-l, um opera dor de projeção no espaço de Hubert. O subespaço coletivo, S, ê definido por este operador de projeção que ê determinado pe los estados geradores.

Assim sendo, no método das coordenadas geradoras a hamiltoniana coletiva auântica ê definida como a projeção da hamiltoniana de muitos corpos em S.

Pode-se obter uma base do subespaço coletivo S a partir da diagonalização da função de superposição ("overlap dos estados geradores"), £°i\ol*y . Esta base permite introdu

zir as variáveis fundamentais em S. que são, por sua vez, iden tifiçadas com as variáveis dinâmicas coletivas.

Vamos, neste capítulo, aplicar o método acima pa ra os pacotes de onda If?,^ e |^> , do capítulo anterior, agora interpretados como estados geradores. Imporemos algumas condições sobre os estados l ^ ^ > e l^> que implicam na igualdade dos subespaços coletivos gerados por 1*$°^ e l^) •

Em outras palavras, mostraremos que sob determinadas condições o uso de estados com uma coordenadas geradora, \%>} e c o m duas coordenadas geradoras canônicamente conjugadas, \^j%*^ é redundante e a teoria de movimento coletivo construída a par tir de \^y contem toda a informação de sua teoria, equivalen-te, baseada nos pacotes de onda \'ÇJ%>> •

Este capitulo está organizado do seguinte modo: primeiramente vamos construir, usando técnicas desenvolvidas

, ~ (9,10)

nas referencias ' , as representações para os subespaços coletivos S^ e S-, associados respectivamente aos estados gera dores \(V} e \fCAy • Em seguida mostraremos a igualdade dos dois subespaços 3 as propriedades dos pacotes de onda \ Q > e \TPy^^c o m r elação à separação das coordenadas intrínsecas e

coletivas. Finalmente, determinamos os operadores coletivos em S, e exprimimos a hamiltoniana coletiva quântica em termos des; ses operadores.

IIIA. Representação para o subespaço coletivo -üma coordenada geradora i

canônlcamente conjugadas

üma coordenada geradora e duas coordenadas (11)

Antes de obtermos a representação para o subespa ço coletivo vamos supor que o estado de referência | 0 ^ e o vã_ cuo do boson definido como

Br l (

L

tiPbo)

Mostraremos que esta condição é suficiente para a igualdade dos subespaços coletivos S^ e S2«

A

III-7

\

PA>- e e

io>

III-8

itP-r>)\ipj%> + (

Aciiip^>ro

tf

Estas relações indicam que a ação do operador P sobre os estados If^fi^ e [çft podem também ser expressadas pe Ia atuação de Q sobre estes mesmos estados. Quando isto ocorre

- (2 20) os er.tados sao ditos localmente redundantes. '

III-A.l. Famílias com uma coordenada geradora

Os estados geradores são dados neste caso por (III-7) . A função de superposição pode ser obtida facilmente, expressando o operador P em termos dos operadores de boson B e fi , dando

. (±six

*%\<f> = G

* U i - 1 1

Para obter a representação para o subespaço cole tivo temos que diagonalizar a função de superposição acima

(9.10)

. Como esta depende apenas da diferença das coordenadas geradoras, a diagonalização pode ser feita por meio de uma transformada de Fourier

[<%\y>

^(*7y)d<y:: *TT A(vç)

^ ^ % )

111-12

Onde a auto função 5

e o auto valor Hx) ê

ou seja

111-13

«%i

Segundo a referência ' a representação para o subespaço coletivo S, é dada em termos dos estados

1 2TT 3 ./TTT.

111-15

2TTJ

'fiSíj

com

<KIK-> = SlK-vC)

Como s e sabe * ' o operador de projeção de Peierls

* 2TTJ

Pode-se portanto reescrever

KiK)z <0\ 9

* lO>

f<roi 9?\o

Assim temos que o estado \ * \ ê a projeção • de Peierls-Yoccoz, normalizada, do estado de referência para esta dos de bom momento.

O operador de projeção S, que determina o subespa ço coletivo S. é dado por

- IdK W0> .<*»

111-17 l.

G , = J<** »*>»?*'

O índice, 1, indica que o projetor e os estados estão associados â família com uma coordenada geradora.

III-A.2. Famílias com duas coordenadas geradoras canônicanente conjugadas

Neste caso os estados geradores são dados por (III-8)

/* A

111-18

Coso a função de superposição e ea teraos de q e q' una função que depende de diferença, (q-q*)» podeaos diago nalixá-la com una autofunçãb que ê o produto de una transforma da de Fourier ea q por una função que dependa apenas de p, i£ to é

111-19

A equação de auto valor fica dada então por

1

«p 67

Substituindo (111-18) na equação (111-20) e efetuando a inte gração em q' temos

^ i*»- v r. r - -v - -n:-# t-/ I x M 1

VfiP

onde %tvc>*1P) ê a função de onda de oscilador harmônico do estado fundamental, na representação de momento, pode-se fa cilmente ver que o "kernel" reduzido ê diágonalizado fazendo -se

onde é o conjunto, ortonormal completo de fun çôes de onda de oscilador harmônico.

auto valor

Substituindo (111-23) em (111-21) obtemos para o

A^VC)r

Ò^O

111-24

tanto

As autofunções da função de superposição são por

67

- As autofunções ^^ÍVJ%) associadas a auto va lores nulos definem um espaço Lo, denominado espaço nulo. As componentes da função peso j(fr<^) no espaço nulo geram atra -vês do "ansatz de G.H.W." vetores de norma nula no espaço de Hilbert í 9'1 0 ). Assim sendo, podemos remover as auto funções da função de superposição pertencentes a Lo sem nenhuma perda

Segundo a referência <10> a representação para o subespaço coletivo S2 ê dada em termos dos vetores de

estado

^ i ' i v i > ClipOlq 111-27

com

O projetor que determina o subespaço coletivo S, associado aos pacotes de onda com duas coordenadas geradoras ê dado por

S

2 r

j »*>«£*>

d

*

111-29

Visto que o operador de projeção de Peierls-Thouless é dado por

J

\CTT HI-30

A equação (II1-27) pode ser escrita como

Ar.-r

III-B. Igualdade dos subespaços coletivos S^ e S^

Nesta secção vamos analisar as conseqüências das condições de redundância local que impusemos no início deste

Tomando as equações (111-13, 15, 25 e 26) temos

fhÍK)

\*\- J^ id'pdi^ i

* §>°"*-p) i ^ >

1 1 1 - 3 2

Como os estados 1^7 e Ift^} estão definidos nos subespaços S, e S2 respectivamente podemos usando as rela ções

4 111-33)

111-34

expressar 1^} e I ^ S ^ em termos dos estados de base em S,

e S2

l^> - fa (hM d * ivc>^

i?4> = J

d

* «"^V?^) i*>.

1^> - \ ^ r O ^ >

111-37

Usando a expressão acima na equação (111-31) te

mos OH * r - 1 Z 111-38

.VÃívc)

\ K >

IK%

Com isso podemos concluir que

o que prova a igualdade dos subespaços coletivos gerados por uma e duas coordenadas geradoras canônicamente conjugadas. O fato de \çfi e I'ft^.') gerarem o mesmo subespaco coletivo i deno minado redundância global e é decorrência da redundância local mencionada no inicio do capítulo o que pode ser visto quando notamos que os estados l^^.*> são combinações lineares dos e£

tados

\ %y ,

<nV*\- <VA\*\**-

K

$?I*-V)

%ifVT> = »TW>• (<**

*\í*

G*>

- « °

J -2TT

,*wJÍ

A equação (111-41) implica que o "ansatz de G.H.W." pode ser igualmente expresso pelos estados geradores

com uma ou duas coordenadas geradoras

•í > = j Í

(

W*> 'P4> rfprf?- = j í W l?> *%

onde

^ ? ) = JJ-ÍPi^JC e

2

e ctycfp 111-42

Visto que mostramos a igualdade entre os dois sub espaços coletivos, vamos no que segue trabalhar com a represei) tação do subespaço coletivo S. associado ao estado com uma co ordenada geradora.

III-C. Separação das coordenadas intrínsecas e co letivas

Introduzindo uma transformação canônica das coor denadas e momentos das partículas para os graus de liberdade

una representação produto do espaço de Hilbert de muitas partly

cuias

podemos calcular a função de onda dos estados |K"X nesta re

presentação.

Usando a equação (111-37) temos

fÕT

111-43

00,0

%(%)

dado por

A equação (111-43) mostra que o subespaço S. ê

um subespaço produto dado pelo produto do espaço coletivo J l ç

por um subespaço unidimensional do espaço intrínseco, cujo ve

tor de base

ê %<$)

Os pacotes de onda l^> e l$<p na representação

' \IV|

f

*ao dados por

ffirbo

fíf bo

Isto mostra que os pacotes de onda são dados pelo

produto de um pacote de onda no espaço coletivo pela função de

III-D. Operadores coletivos

A base do subespaço coletivo S, é dada numa repre

sentação de momento visto que é resultante da projeção de Peierls-Yoccoz associada ao operador P. Com isso podemos defi^ nir as variáveis fundamentais do subespaço coletivo como

&«>*='-'V<

h~ Uvç lK>

a

K <*l

Qs= ydvc \*\ ià<K-w) <«

l

i

temos que o operador P definido em todo o espaço de Hubert

atua em \ ^ \ âa seguinte maneira

A A A A A

111-47

Podemos ainda analisar a relação do operador Q, canõnico conjugado a P, com o operador Q

« « • H l W ^ . i U

I

^^w^*

*i~ft<l trz^fr ^

e podemos concluir que existe uma representação do subespaço coletivo onde Q i diagonal.

Esta representação pode ser obtida fazendo-se a transformada de Fourier dos vetores de base na representação de momento.

, -XKX

S

1 =

JcU U>

ai

<xl

<XIX»> - OCX-*

)

Q

U >

r X IX>

P

IX\r -i|LU>. in-54

III-E. Hamlltonlana coletiva quântica do método das coordenadas geradoras

Como já foi dito anteriormente a hamiltoniana co letiva quântica do M.C.G. é definida pela projeção da hamilto niana de muitos corpos no subespaço coletivo, isto ê:

^ M C (3 A ^ A

111-55

ou

Hc'"= JdX<*<

JO^lHIO,^'! XXX-M

Afim de obter uma expressão para a hamiltoniana coletiva em termos dos operadores, Pa e Qg, vamos seguindo o procedimento de A.Klein í l 2 ), expandir £ X l H l * * ^ na não localidade, isto i, em termos da função ÒCX-X*) e »«a» derivadas.

• * *

1

onde

X : Y + Ç /2

A expansão na não localidade é dada por

onde

I H - 5 7

111-58

Substituindo(HI-57) em (111-56) temos

Fazendo integrações por partes podemos reescrever a equação acima como !>• ^ . - f t- . . W***!

H*l^[i«»"^(W*^H%

f

^,j

«r= s i ^ M ^ ^ )

H

"'UV

Y

^i

!0

« r ^ ^ i ^ ^ t f ^ ' W ^

= *2*ra *"»*-*

Pode-se ainda escrever a expressão acima como uma série de anticomutadores

Assumindo que Q e P_ são, respectivamente, opera dores par e ímpar com relação a inversão temporal, e que fl é

invariante por inversão temporal, observando-se ainda que " (Y) é uma função real pode-se mostrar que

cyj

o

Supondo que a aproximação adiabãtica seja valida pode-se trancar a série em (111-59) no termo de segunda ordem em P . Nesta aproximação temos

D

AM C ü i,(0) A „ i A i A iií^/

s

V(Qs). wHôs)

podemos reescrever (111-60) como A

111-62

He

~- *-{%{%,-*-.

C U V(Qs)

4 l ' 2M(Qs)í/

Utilizando as relações (111-47) e (111-49) pode

mos reescrever a hamiltoniana coletiva do M.C.G., no limite

adiabatico como

CAPÍTULO IV - COMPARAÇÃO ENTRE O MÉTODO DAS COORDENADAS GERADO RAS E O MÉTODO SEM.-CLÁSSICO

Nos dois capítulos anteriores construímos una t«o ria semi-clássica e uma teoria puramente quSntlca ,pare o trata

mento de movimento coletivo. As caracterlsitcas comuns 2s duas teorias sao: o pacote de onda \^>,^>>e • hamiltoniana de muitos corpos, fi. Dentre estas características» o pacote de on da l«,q> é de importância fundamental nas duas teorias.

A construção destes pacotes de onda é feita, a priori, levando em conta informações fenoraenolôgicas sobre o movimento coletivo em questão.

A analise fenomenolôgica serve para a delimitação dos graus de liberdade coletivos relevantes e, no caso de um grau de liberdade canonico, serve para definir um par canônico de operadores coletivos ligados a estes graus de liberdade.

No método semi-clássico obtivemos equações dinâroi cas clássicas para os valores médios dos operadores coletivos no pacote de onda lfc,%> - A « « * • * « clássica é governada pela hamiltoniana clássica, & ( « * > . definida como o valor médio da hamiltoniana de muitos corpos, fi, nesse pacote.

A hipótese principal do método semi-clâssico é que a teoria de valores médios resultante seja, em boa aproxi nação, idêntica â dinâmica descrita pelo limite clássico da hamiltoniam quantica'coletiva que neste método é obtida por meio de

peço de Hilbert. identificado ceai o subespaço coletivo, n»« nos permitiu obter as variáveis dinâmicas coletivas fuiklampn-tais e construir uma teoria puramente quântica com uma hamil toniana coletiva, V\c , definida como a projeção de ft no

subespaço coletivo.

Nosso objetivo neste capitulo é o de comparar as duas teorias, ^sto ê, estabelecer a condição para a qual a descrição da dinâmica das duas teorias é equivalente. Para i£ to vamos analisar a relação entre a hamiltoniana coletiva quân tica, H c • a hamiltoniana clássica

Considerando a expressão de

e sabendo-se que os pacotes de onda \<ft<|'> são estados defini^ dos no subespaço coletivo S, do M.C.G., a equação acima pode

ser escrita como

Isto ê, como conseqüência do fato de que os pacotes de onda \/|pJQ'> pertencem a S1 # a hamiltoniana clássica, - W ( í > ^ ) r é dada pelo valor médio da hamiltoniana coletiva do M.C.G. no pacote de onda \'pj<|> •

A condição ê: A hamiltoniana clássica WólVrf) A» ve ser em excelente anroximacão o limite clássico de flffifift a menos de uma constante

W-lfi,^)- H ^ & Ê > , < Ô » + C + termos desprezíveis lv-2 liMCG A A f.MCü» A A .

onde Hc <<P>,<Q>) e a função obtida de "C (P,Q) subs tituindo-se P e Q pelos seus valores médios, isto é, Hc«?>,<ft>) é o limite clássico de Hc(p,Q) .

Nas secçoes subsequentes, vamos, partindo de (IV-1), comparar as duas teorias na aproximação quadrãtica e na aproximação adiabatica e finalmente vamos analisar o proble ma de ordenamento comparando a hamiltoniana coletiva do M.C.G. e a obtida pelo método de requantização de Pauli.

IV-A. Aproximação quadrãtica nas coordenadas gera doras

Como foi exposto no capítulo III os estados gera dores utilizados na construção da hamiltoniana coletiva do M.C.G. são dados por I ^*> , o que nos fornece uma função de superposição gaussiana, ou "overlap gaussiano".

Assim sendo o que vamos analisar corresponde â bem conhecida aproximação quadratica com overlap gaussiano. A comparação entre o M.C.G. e o método semi-clâssico, nesta apro ximação, já foi discutido por outros autores ' utilizando no entanto técnicas diferentes das aqui expostas.

A aproximação quadratica consiste em expandir o núcleo reduzido de energia

A i W J * <&È122 .iv-3

*

em série de Taylor até segunda ordem em q e q', isto é,

IV-4

onde usamos .

Temos ainda que

Pode-se também o b t e r o s c o e f i c i e n t e s h -n, h e

20 o2 hx l em termos do operador Q u t i l i z a n d o a condição de

redundân-c i a l o redundân-c a l (111-10), o que nos dâ

J ? tZ o = J L . < O \ 0 . * f i | O > - £ o < O l Pal o >

bH

W - l i <olMQ

io> - Eo

„

boM

ftia - JL. < o \ Q v i & i o > - E o < o l ê * i ó >

Considerando a expressão para M (X)

H^oo» Jd«i e t a - . < x , ^ l f i u - ^

que pode ser escrita como V.

e substituindo *=o

<^IHI^> = (EO+

^U*tot«u»)V4iÍ22i4ii)^l)e'Hfe

na expressão de " U ) , pode-se mostrar facilmente que os un:L cos termos diferentes de zero são os com "*lá2 . Lembrando ain da que m deve ser par (ver capítulo III), os únicos termos não nulos são H(°u) e Htt,«) que são identificados com

U

U)_- _!_

ÍMC«J

Os cálculos nos fornecem

Mtt) ^

Usando as relações (IV-5) e (IV-6) para Vex) e — respectiva mente obtém-se

Vui = i

íoM^LU^oy

x'- hf [*,«!*,«» -

<o.&*

] +

_

Jl_ - <OlCQLH,QJ]|0>

^ IV-8

Portanto a hamiltoniana coletiva do M.C.G. S dada por

U M

2 J

onde

E s fcfe* [<£Ol ê& P|0> - £o < o | $

l o > i

IV-9

IV-10

É.

E., = A f + J L C AQ*

*

2 * a

AP

^ A .

que podem ainda s e r r e e s c r i t a s como

AQ

- < ^ | Q

- tf , ^ > - < o i ^ i o >

Para obter a hamiltoniana clássica ^vrtftQ) podemos a partir de (IV-1) escrever

IV-13

Usando (IV-13) temos

O que nos dá finalmente

Da equação (IV-9) teroos que

o que nos dá

*»2

IV-16

A equação (IV-16) mostra que $) é o limite

Ano» A r

clássico de nc visto que q energia de ponto zero» tp_ ,e

neste caso uma constante imaterial.

Vamos agora mostrar que a equação (IV-15) pode ser obtida diretamente do método semi-clãssico fornecendo a

#

mesma massa e a mesma constante de força.

Do capítulo II temos que

com

$(%)

r

_<%\U\V>

£ ~ * *,

Expandindo JwLfA) até segunda ordem em q temos

Assim a expressão (IV-14) foi reconstruída, g fa cil ainda notar que a quantização de (IV-14), como deve

feito no método semi-clãssico nos leva a

o que nos fornece uma descrição quântica equivalente & obtida pelo M.C.G. Portanto nesta aproximação a teoria seml-clãssica e a teoria puramente quântica do M.C.G. são completamente aqui, valentes.

IV-B. Aproximação adiabatica

Nesta aproximação o M.C.G. nos da

dr= ^UIM^^+VAIÍ,

Da mesma maneira como foi feito na secção ante rior partiremos da equação (IV-1)

(III-Definindo

M(qj J MU)

V « * ) - j V(X) K^lo/dlK

temos

2M($)

2 M Í ^ |

Comparando com a expressão de W>(ft4) â o método semi-clássico podemos identificar

" IV-21

cKty fíly

£ Mty

Podemos notar pelas equações (IV-18) e (IV-19)que se o estado \9Çy for tal que l ^ U > »«ía um pacote estreito

/v ^

centrado em X=^ temos que V(^)/v VC<^) e MCç,) ~ M ^ J o que nos daria pelas equações (IV-21) e (IV-22)

Definindo a energia de ponto zero como

IV-23

obtém-se

CP 3 — JS

2 MO*)

Vemos portanto que para que as duas teorias se jam equivalentes t p2 deve ser desprezível. No entanto,

quando o pacote e estreito, isto é, A Q2 próximo de zero, o principio de incerteza nos dá um AP* muito grande visto que

4AQ?

Assim temos que neste caso impor condições sobre

a massa do sistema para que Cp, seja desprezível e <rOCpjQ) seja o limite clássico de H c

De qualquer maneira podemos notar a importância da dispersão dos pacotes de onda \*£,^> • Para uma maior cia reza dos efeitos do pacote de onda vamos analisar o caso de um sistema onde a massa independe da posição. Neste caso as equações (IV-21) e (IV-22) se transformam em

/v

Estreitando o pacote de onda suficientemente po de-se fazer em excelente aproximação

e

C p ,

-Visto que neste caso a energia de ponto zero, £ ? ? , ê uma constante o principio da incerteza não interfere pois esta constante não afeta a dinâmica podendo ser despreza, da independentemente de ser grande ou não.

Assim sendo, para sistemas onde a massa independe da posição sempre podemos escolher pacotes de onda tais que a hamiltoniana WOLpjQ) seja o limite clássico de Wc , isto e

WC#<J)

r H^«0^<a>; + C

No caso onde a massa depende da posição não é ga rantido a priori que existem pacotes l ^ , ^ tais que w ^ )

seja o limite clássico de Mc pois existe «na compensação en tre o efeito de estreitamento do pacote que faz com que em ex celente aproximação M(^) e V($) sejam iguais, respectivamen te a Mty) e V(oj e o efeito da energia cinética de ponto ze ro, APyg £f(q% , que introduz uma correção que aumenta com o estreitamento do pacote.

condições para a extração de limite clássico sejam satisfeitas, podemos fazendo uma expansão até segunda ordem do potencial

VÍX) (e em primeira ordem na massa ftx) , „a vizinhança de Xr % obter

que nos permite estimar as correções ao limite clássico de »ic . D a expressão acima e da equação (IV-23) temos que nes ta ordem a energia de*iponto zero fi dada por

í

sy z £L* * x da

v"

Concluindo podemos dizer que na aproximação adia batica, a condição para estabelecer a equivalência entre as duas teorias é que tpj(/p^) seja desprezível a menos de uma constante.

IV-C. Diferença de guantização entre o M.C.G» e o método de quantização de Pauli na aproxima

ção adiabática

Na secção anterior discutimos em que condições a hamiltoniana TwftÇ) é em excelente aproximação o limite clãs.

sico de Hc ($,&) • N o método semi-clássico apresentado no capitulo II, a hamiltoniana coletiva quãntica

obtida por um processo de requantização.

ção de Pauli, discutido no capitulo II ê uma prescrição para um possível ordenamento, o qual difere do ordenamento do mito do das coordenadas geradoras (ver equações 11-46 e 111-63).

Nesta secção vamos supor que a energia de ponto zero seja desprezível e analisar a diferença de ordenamento en tre o M.C.G. e o método semi-clássico.

Segundo o método semi-clássico

A expressão de pode ser escrita após algumas comutações como

í&Wz -HÊ,fíU ii+ MA) - A (üiah

Assim podemos notar que a diferença de ordenamen to deu origem a um termo adicional que podemos considerar co mo uma correção ao potencial

Esta correção é da mesma ordem de grandeza das correções vindas da energia de ponto zero. Como estamos supon do que a energia de ponto zero é desprezível o termo a d i d o nal pode ser desconsiderado o que torna irrelevante a questão de ordenamento.

ponto zero é desprezível a descrição dinâmica das duas teorias ê completamente equivalente.

Vamos neste capítulo fazer o tratamento de «eta dos coletivos de dipolo aplicando os dois métodos discutidos no capítulo II e III.

Ma construção dos pacotes de onda usaremos as In formações fenomenolôgicas do «odeio de Goldhaber-Tellar (G-T)

í l 5 ). Segundo tfste «odeio os protons e neutrons se comportam coso dois fluidos incompresslveis que se interpenetram. Quan do o núcleo é excitado nu-a vibração dipolar os dois fluidos

se separa» coso na figura

Quando isto ocorre aparece uma força de restaura ção devido à interação atrativa proton-neutron.

Estas características fenoraenológicas do modelo permitem a construção do pacote de onda que simula o movimento

coletivo na forma

A

e l°> v-i

onde \°> e um vetor de estado representando o núcleo no e s t a

do fundamental e o . operadores c o l e t i v o r * e í, . ã o t a i s q«e

(para núcleos auto-conjugados)

onde P(4[) e XU) sSo operadores de um corpo de momento e po sição respectivamente e »^*> i a terceira componente do opera dor de isospin. Os parâmetros vetoriais q e p s e referem ao deslocamento dõ fluido de protons com relação aos neutrons e o momento associado a esse deslocamento. Para simplificar, vamos assumir que o deslocamento se dã ao longo do eixo Z, isto i,

onde 2 ê o versor na direção do eixo Z. Vamos ainda denotar a A A A. *.

terceira componente de Ir e vEt como P e Q e deixaremos implícita a dependência temporal dos parâmetros.

Pode-se verificar facilmente que

V-4

<oi£»o> =

Onde assumimos que \&> é par por inversão temporal e f e O são, respectivamente, ímpar e par por inversão temporal.

Para o estado fundamental vamos supor que |0> é um determinante de Slater formado por funções de onda de partí^ cuia ünica de oscilador harmônico com o parâmetro do oscilador dado por, &o .