Introdução aos grafos quânticos

(1)

Introdu¸

c˜

ao aos grafos quˆ

anticos

Semin´ario A5

Nataliia Goloshchapova

(2)

Plano

1. Introdu¸cão: defini¸cão dos conceitos básicos.

2. NLS no grafo estrela.

3. Ondas solitárias: uma breve introdu¸cão histórica.

(3)

Grafos discretos

GrafoΓé um conjunto devértices V e arestas E (de quantidade finita ou contável) que ligam vértices.

Aplica¸cões: redes complexas e topologia da Internet, visão computacional e reconhecimento de padrões, prote¸cão antiv´ırus, bancos de dados estat´ısticos e redes sociais, computa¸cão quântica, bioinformática, etc.

(4)

I v ∈ e significa que v ´e a v´ertice da aresta e.

I v´ertices u e v ser˜ao chamados deadjacentes (ouu ∼ v) se houver uma aresta conectando-os.

I Γ´e totalmente especificado por seu matriz de adjacˆencia

AΓ∈ M|V |×|V |(R).Quando não há la¸cos ou arestas múltiplas, os elementos da matriz de adjacência são dados por

Au,v =

1 se u ∼ v 0 sen˜ao.

No caso geral

(5)

Au,v =

No caso geral

(6)

Au,v =

No caso geral

(7)

I O graudv de um vérticev é o número de arestas que emanam dele: dv =

P

v ∈V

Au,v.

I Denotamos porDΓ a matriz de grau, ou seja, a matriz diagonal

Du,v = dvδu,v, whereδu,v ´e a delta de Kroneckerδu,v =

1 se u = v 0 sen˜ao.

I Laplaciano combinat´orio: ´e a matriz hermitiana LΓ= (Lu,v)

Lu,v =    du se u = v −1 se u ∼ v 0 outro caso. Logo LΓ = DΓ− AΓ.

(8)

I O graudv de um vérticev é o número de arestas que emanam dele: dv =

P

v ∈V

Au,v.

I Denotamos porDΓ a matriz de grau, ou seja, a matriz diagonal

Du,v = dvδu,v, whereδu,v ´e a delta de Kroneckerδu,v =

1 se u = v 0 sen˜ao.

I Laplaciano combinat´orio: ´e a matriz hermitiana LΓ = (Lu,v)

Lu,v =    du se u = v −1 se u ∼ v 0 outro caso. Logo LΓ = DΓ− AΓ.

(9)

Grafos m´

etricos

I Grafo métrico Γ é um conjunto de arestas E e vértices V com estrutura métrica na cada aresta.

I Identificamos cada arestae ∈ E do comprimentoLe ou∞ com um intervalo [0, Le] ou[0, ∞).

I ψ = (ψe)e∈E ´e uma fun¸c˜ao no grafo,ψe(x ) : [0, Le] → C.

I Existem grafos finitos e infinitos, compactos e n˜ao compactos, conexos e n˜ao conexos.

I Grafo quˆantico

(10)

Grafos m´

etricos

I Grafo quˆantico

(11)

Grafos m´

etricos

I Grafo quˆantico

(12)

Grafos m´

etricos

I Grafo quˆantico

(13)

Grafos m´

etricos

I Grafo quˆantico

(14)

Espa¸cos de Banach e de Hilbert no grafo m´

etrico

I Seja ψ = (ψe)e∈E uma fun¸c˜ao no grafo Γ = (V , E ).

Lr(Γ) =M e∈E Lr(0, Le), kψkr_Lr_(Γ)= X e∈E kψekr_Lr_(0,L e). I Similarmente para k ∈ {1, 2} Hk(Γ) =M e∈E Hk(0, Le), (ψ, φ)Hk_(Γ)= X e∈E (ψe, φe)Hk_(0,L e).

(15)

Espa¸cos de Banach e de Hilbert no grafo m´

etrico

I Seja ψ = (ψe)e∈E uma fun¸c˜ao no grafo Γ = (V , E ).

Lr(Γ) =M e∈E Lr(0, Le), kψkr_Lr_(Γ)= X e∈E kψekr_Lr_(0,L e). I Similarmente para k ∈ {1, 2} Hk(Γ) =M e∈E Hk(0, Le), (ψ, φ)Hk_(Γ)= X e∈E (ψe, φe)Hk_(0,L e).

(16)

Laplaciano em L

2

(Γ)

−∆_Γψ(x ) = (−ψ00_e(x ))e∈E,

D(−∆Γ) = H2(Γ) + condi¸coesauto-adjuntasno cada vertice v :

A    ψ1(v ) .. . ψdv(v )   = B    ψ₁0(v ) .. . ψ_d0_v(v )   .

A derivada ψ_j0(v ) é tomada na dire¸cão longe do vértice v , e I A e B são matrizes dv× dv

I (A|B) possui o posto maximal dv

(17)

Laplaciano em L

2

(Γ)

−∆_Γψ(x ) = (−ψ00_e(x ))e∈E,

D(−∆Γ) = H2(Γ) + condi¸coesauto-adjuntasno cada vertice v :

A    ψ1(v ) .. . ψdv(v )   = B    ψ₁0(v ) .. . ψ_d0_v(v )   .

A derivada ψ_j0(v ) é tomada na dire¸cão longe do vértice v , e I A e B são matrizes dv× dv

I (A|B) possui o posto maximal dv

(18)

Condi¸c˜

oes populares

I Condi¸c˜ao de Kirchhoff (free flow):

ψ1(v ) = ... = ψdv(v ), dv X j =1 ψ0_j(v ) = 0. I δ-intera¸c˜ao: ψ1(v ) = ... = ψdv(v ), dv X j =1 ψ0_j(v ) = αψ1(v ), α 6= 0. I δ0-intera¸c˜ao: ψ0₁(v ) = ... = ψ0_d_v(v ), dv X j =1 ψj(v ) = λψ10(v ), λ 6= 0.

(19)

Origem das condi¸c˜

oes populares

x1 x2 x3 v = 0 ε ε ε vizinhan¸ca Γε grafo Γ

(20)

I Um considera o operador −∆Γε na vizinhan¸ca 3-dimensional

Γε do grafo estrela uni-dimensional Γ. Logo λn(−∆Γε) −→ ε→0λn(−∆Γ), D(−∆Γ) = ψ(x ) ∈ H2(Γ) : ψ1(0) = ψ2(0) = ψ3(0), ψ₁0(0) + ψ₂0(0) + ψ0₃(0) = 0 .

I Assumindo que a vizinhan¸ca do v´ertice 0 comprime-se com a taxa diferente, podemos obter δ-condi¸c˜ao

ψ1(0) = ψ2(0) = ψ3(0),

(21)

Aplica¸c˜

oes dos grafos m´

etricos

I Modelagem de ondas em estruturas finas “semelhantes aos grafos”: guias de ondas estreitas, fios quˆanticos, cristais fotˆonicos, vasos de sangue.

R3

I Os grafos aparecem quando o sistema ´e quase unidimensional, ou seja, o tamanho transversal dos tubos tende a zero.

I Part´ıculas quˆanticas num grafo foram inicialmente

consideradas porRuedenberg e Scherr em 1953 no modelo de

Hidrocarbonetos arom´aticos.

I Eles analisaram o modelo de el´etron livre para o sistema conjugado da mol´ecula debenzeno.

(22)

Aplica¸c˜

oes dos grafos m´

etricos

I Modelagem de ondas em estruturas finas “semelhantes aos grafos”: guias de ondas estreitas, fios quˆanticos, cristais fotˆonicos, vasos de sangue.

R3

I Os grafos aparecem quando o sistema ´e quase unidimensional, ou seja, o tamanho transversal dos tubos tende a zero.

I Part´ıculas quˆanticas num grafo foram inicialmente

consideradas porRuedenberg e Scherr em 1953 no modelo de

Hidrocarbonetos arom´aticos.

I Eles analisaram o modelo de el´etron livre para o sistema conjugado da mol´ecula debenzeno.

(23)

I Cada átomo no sistema conjugado está associado com dois elétrons σ “fixos” e um elétron π “livre”.

I Sob o efeito da carga potencial, elétrons π “livres” movem-se perto da rede Γ constru´ıda pela conexão de elétrons σ “fixos”. I Uma vez que os elétrons podem transportar-se ao longo da

rede inteira, o interesse natural era descrever o movimento eletrónico em torno dos vértices onde três arestas se encontram. P Rede Γ P x1 x2 x3

(24)

I Foi considerada uma ε-vizinhan¸ca tridimensional fina (tubo) ao redor do vértice. O movimento eletrónico na vizinhan¸ca foi aproximado por uma fun¸cão

Φ(xj, yj, zj) ≈ 2_εφ(xj) sin(πyj/ε) sin(2πzj/ε),

0 ≤ yj ≤ ε, −₂ε ≤ zj ≤ ε₂.

I Quando ε-tubo comprime-se, o dom´ınio perto do v´ertice P aproxima-se de um grafo com trˆes arestas, e φ(xj) satisfaz a

equa¸c˜ao de Schr¨odinger uni-dimensional na aresta xj.

Denotando φj(x ) = φ(xj), obtemos φ1(P) = φ2(P) = φ3(P), φ01(P) + φ 0 2(P) + φ 0 3(P) = 0.

(25)

I Foi considerada uma ε-vizinhan¸ca tridimensional fina (tubo) ao redor do vértice. O movimento eletrónico na vizinhan¸ca foi aproximado por uma fun¸cão

Φ(xj, yj, zj) ≈ 2_εφ(xj) sin(πyj/ε) sin(2πzj/ε),

0 ≤ yj ≤ ε, −₂ε ≤ zj ≤ ε₂.

I Quando ε-tubo comprime-se, o dom´ınio perto do v´ertice P aproxima-se de um grafo com trˆes arestas, e φ(xj) satisfaz a

equa¸c˜ao de Schr¨odinger uni-dimensional na aresta xj.

Denotando φj(x ) = φ(xj), obtemos φ1(P) = φ2(P) = φ3(P), φ01(P) + φ 0 2(P) + φ 0 3(P) = 0.

(26)

Grafos populares

Os grafos mais encontrados na literatura s˜ao: star graph, tadpole graph, dumbell graph

star graph

tadpole graph

(27)

Problemas nos grafos

I A maioria dos problemas são lineares: estudo de espectro dos modelos nos grafos discretos e quânticos, aproxima¸cão das estruturas 3- e 2-dimensionais ramificadas pelos grafos uni-dimensionais.

I A análise dos modelos não lineares não é muito desenvolvida, e está sendo crescendo nos últimos 15 anos. Problemas considerados: boa-coloca¸cão, minimiza¸cão dos funcionais da energia e a¸cão, existência das solu¸cões especiais, propriedades da estabilidade das ondas solitárias.

(28)

Problemas nos grafos

I A maioria dos problemas são lineares: estudo de espectro dos modelos nos grafos discretos e quânticos, aproxima¸cão das estruturas 3- e 2-dimensionais ramificadas pelos grafos uni-dimensionais.

I A análise dos modelos não lineares não é muito desenvolvida, e está sendo crescendo nos últimos 15 anos. Problemas considerados: boa-coloca¸cão, minimiza¸cão dos funcionais da energia e a¸cão, existência das solu¸cões especiais, propriedades da estabilidade das ondas solitárias.

(29)

Equa¸c˜

ao NLS-δ no grafo

estrela

(30)

Seja Γ um grafo estrela construido por N semirretas R+ ligadas no

v´ertice v = 0. Consideramos

i ∂tu(t, x ) = −∆αu(t, x ) − |u(t, x )|p−1u(t, x ),

onde −∆α ´e o Laplaciano com δ-intera¸c˜ao no v = 0.

Na cada semirreta:

i ∂tuj = −∂x2uj − |uj|p−1uj, x > 0, +δ − intera¸c˜ao no v = 0.

Aplica¸cões da NLS:propaga¸cão da luz em fibras óticas não lineares e guias de ondas planas, ondas de gravidade de pequena

(31)

Seja Γ um grafo estrela construido por N semirretas R+ ligadas no

v´ertice v = 0. Consideramos

i ∂tu(t, x ) = −∆αu(t, x ) − |u(t, x )|p−1u(t, x ),

onde −∆α ´e o Laplaciano com δ-intera¸c˜ao no v = 0.

Na cada semirreta:

i ∂tuj = −∂x2uj − |uj|p−1uj, x > 0, +δ − intera¸cão no v = 0. Aplica¸cões da NLS:propaga¸cão da luz em fibras óticas não lineares e guias de ondas planas, ondas de gravidade de pequena

(32)

Problema de Cauchy(R. Adami, C. Cacciapuoti et al. (2014)): Boa coloca¸c˜ao local no espa¸co da energia

E(Γ) = {ψ ∈ H1_{(Γ) : ψ}

1(0) = ... = ψN(0)}para todo p > 1, e global para p < 5.

Duas leis de conserva¸c˜ao:

- massa (carga): Q(ψ) = 1₂kψk2 2, - energia: E (ψ) = 1₂kψ0k2 2−p+11 kψk p+1 p+1+α2|ψ1(0)| 2_.

Procuramos ondas solit´arias: u(t, x ) = ei ωtϕ(x ) = ei ωt(ϕj(x ))Nj =1.

As ondas solit´arias se comportam como part´ıculas: interagindo elas n˜ao colapsam, mas continuam a se mover, mantendo sua estrutura inalterada.

(33)

E(Γ) = {ψ ∈ H1_{(Γ) : ψ}

(34)

E(Γ) = {ψ ∈ H1_{(Γ) : ψ}

(35)

O in´ıcio da história dos sólitons come¸cou na hidrodinâmica. Em 1834, o engenheiro John Scott Russell inspecionava o Canal Union, nos arredores de Edimburgo, quando observou “um fenómeno dos mais belos e extraordinários”.

(36)

(37)

As investiga¸cões teóricas das onda solitárias foram realizadas por Boussinesq (1871), Rayleigh (1876), Venant (1885). Korteweg e de Vries (1895), trabalhando em Amesterdão, conseguiram deduzir a seguinte equa¸cão não linear (modelo matemático de ondas em superf´ıcies de águas rasas):

(38)

(39)

Se vocˆe procurar a solu¸c˜ao da forma

ξ(x , t) = ξ(x − ct),

se encontra uma onda solit´aria:

ξ(x , t) = 1 2c sech 2 √c 2 (x − ct) .

(40)

Zakharov e Shabat (1972) mostraram que a NLS i ∂t(x , t) + ∂x2u(x , t) + |u(x , t)|2u(x , t) = 0

possui as solu¸c˜oes solit´arias:

u(x , t) = exp{irx − ist}φ(x − ct),

onde r = c₂ s = c₄2 − α e φ =√2α sech[√α(x − ct)].

Esses “bright solitons”podem ser usados para transmitir dados em fibras ´oticas com alta velocidade.

(41)

Equa¸c˜ao de Kadomtsev-Petviashvili:

∂x −4∂tu + 6u∂xu + ∂x3u + 3∂2yu = 0.

A solu¸cão u(x , y , t) representa ondas longas unidirecionais que se propagam em águas rasas. Se u(x , y , t) não depende de y , então equa¸cão KP tem forma

−4∂_tu + 6u∂xu + ∂3xu = 0.

(42)

(43)

Voltando `

a NLS: u(x , t) = e

i ωt

ϕ(x )

Perfis ϕ(x ) podem ser encontrados resolvendo −ϕ00_j + ωϕj − |ϕj|p−1ϕj = 0,

e pondo as condi¸c˜oes

ϕ1(0) = ... = ϕN(0), N X j =1 ϕ0_j(0) = αϕ1(0). Obtemos ϕj(x ) = (p + 1)ω 2 sech 2 (p − 1) √ ω 2 (x − xj) _p−11 .

(44)

R. Adami, C. Cacciapuoti et al. (2014):

Seja α 6= 0, existem_N−1

2 + 1 solu¸c˜oes estacion´arias ϕ_k = (ϕk,j)Nj =1, k = 0, ..., _N−1 2 , onde ϕk,j(x ) =      h_(p+1)ω 2 sech 2(p−1)√ω 2 (x − ak) i_p−11 , j = 1, ..., k; h (p+1)ω 2 sech 2(p−1)√ω 2 (x + ak) i_p−11 , j = k + 1, ..., N, com ak = _(p−1)2√_ωtanh−1 α (2k−N)√ω e ω > _(N−2k)α2 2.

(45)

Seα < 0, o vetor ϕk = (ϕk,j)Nj =1 possui k picos eN − k caudas,

ek < N − k.

N = 5: perfil de 5-caudas, de 4-caudas/1-pico, de 3-caudas/2-picos.

Seα > 0, o vetor ϕ_k = (ϕk,j)N_{j =1} possui k caudas eN − k picos. N = 5: perfil de 5-picos, de 4-picos/1-cauda, de 3-picos/2-caudas.

(46)

Seα < 0, o vetor ϕk = (ϕk,j)Nj =1 possui k picos eN − k caudas,

ek < N − k.

N = 5: perfil de 5-caudas, de 4-caudas/1-pico, de 3-caudas/2-picos.

Seα > 0, o vetor ϕ_k = (ϕk,j)N_{j =1} possui k caudas eN − k picos. N = 5: perfil de 5-picos, de 4-picos/1-cauda, de 3-picos/2-caudas.

(47)

Defini¸c˜

ao da estabilidade

Objetivo principal: estudar estabilidade orbital das ondas solit´arias ei ωtϕ_k(x ) no espa¸co da energia E (Γ).

O papel das ondas solitárias é parecido ao um dos pontos de equil´ıbrio. É importante estudar a dinâmica da equa¸cão perto delas.

Defini¸c˜ao 1

A onda solitária ei ωtϕ(x ) é ditaorbitalmente estável se:

ku0− ϕk é pequena =⇒ ku(t, x ) − ei θϕk é pequena ∀t, θ ∈ R, onde u(t, x ) é a solu¸cão correspondente ao dado inicial u0.

Resultados da estabilidade: R. Adami, C. Cacciapuoti et al.

(48)

Defini¸c˜

ao da estabilidade

Objetivo principal: estudar estabilidade orbital das ondas solit´arias ei ωtϕ_k(x ) no espa¸co da energia E (Γ).

O papel das ondas solitárias é parecido ao um dos pontos de equil´ıbrio. É importante estudar a dinâmica da equa¸cão perto delas.

Defini¸c˜ao 1

A onda solitária ei ωtϕ(x ) é ditaorbitalmente estável se:

ku0− ϕk é pequena =⇒ ku(t, x ) − ei θϕk é pequena ∀t, θ ∈ R, onde u(t, x ) é a solu¸cão correspondente ao dado inicial u0.

Resultados da estabilidade: R. Adami, C. Cacciapuoti et al.

(49)

M´

etodo

I Dar `a equa¸c˜ao NLS-δ uma estrutura hamiltoniana:

– considerar u = u1+ i u2∈ L2_C(Γ) como um elemento de

L2 R(Γ) ⊕ L 2 R(Γ); – NLS-δ tem forma _dtd u1 u2 = J E 0_[u 1, u2], J = 0 I −I 0 , onde lim khk→0

kE (u+h)−E (u)−E0_(u)hk

khk = 0.

I Linearizar NLS-δ em ϕ_k: u(t) = (ϕ_k+ v1(t) + i v2(t))ei ωt, d dt v1 v2 = J S00(ϕ_k)v1 v2 , S = E + ωQ, Lk = S00(ϕk), Lk v1 v2 =L1,kv1 L2,kv2 .

(50)

M´

etodo

I Dar `a equa¸c˜ao NLS-δ uma estrutura hamiltoniana:

– considerar u = u1+ i u2∈ L2_C(Γ) como um elemento de

L2 R(Γ) ⊕ L 2 R(Γ); – NLS-δ tem forma _dtd u1 u2 = J E 0_[u 1, u2], J = 0 I −I 0 , onde lim khk→0

kE (u+h)−E (u)−E0_(u)hk

khk = 0.

I Linearizar NLS-δ em ϕ_k: u(t) = (ϕ_k+ v1(t) + i v2(t))ei ωt, d dt v1 v2 = J S00(ϕ_k)v1 v2 , S = E + ωQ, Lk = S00(ϕk), Lk v1 v2 =L1,kv1 L2,kv2 .

(51)

M´

etodo

I L1,k = −d 2 dx2 + ω − pϕ p−1 k , L2,k = −d 2 dx2 + ω − ϕ p−1 k , D(L1,k) = D(L2,k) = D(−∆α). I Grillakis-Shatah-Strauss: p(ω) = 1, ∂ωkϕkk22> 0, 0, ∂ωkϕkk22< 0. O perfil ϕ_k ´e:

a) orbitalmente est´avel se n(Lk) = p(ω),

b) orbitalmente inst´avel se n(Lk) − p(ω) for ´ımpar.

A condi¸c˜ao b) significa que ∃ autovalor λ de J S00(ϕ_k) t.q. Re λ > 0 ⇒ ∃ growing mode solution v1(t,x )

v2(t,x ) = e λt f(x ) g(x ) de d dt v1 v2 = J S 00_(ϕ k) vv12.

(52)

M´

etodo

(53)

M´

etodo

(54)

I Considere dy_dt = ay , Re(a) > 0 ⇒ y = Ceat ⇒ |y − 0| = |C |eRe(a)t _→

t→∞∞ ⇒ 0 ´e inst´avel.

I O problema principal: calcular

n(Lk) = n(L1,k) + n(L2,k) = n(L1,k) (´ındice de Morse)

I Ferramentas:

– teoria das extensões dos operadores simétricos; – teoria das perturba¸cões anal´ıticas (aplica-se a fam´ılia L1,k = L1,k(α) anal´ıtica respeito α).

(55)

I Considere dy_dt = ay , Re(a) > 0 ⇒ y = Ceat ⇒ |y − 0| = |C |eRe(a)t _→

t→∞∞ ⇒ 0 ´e inst´avel.

I O problema principal: calcular

n(Lk) = n(L1,k) + n(L2,k) = n(L1,k) (´ındice de Morse)

I Ferramentas:

– teoria das extensões dos operadores simétricos; – teoria das perturba¸cões anal´ıticas (aplica-se a fam´ılia L1,k = L1,k(α) anal´ıtica respeito α).

(56)

Outros problemas: equa¸c˜

ao NLS-δ

0

e NLS-log-δ

Consideramos I

i ∂tu(t, x ) = −∆λu(t, x ) − |u(t, x )|p−1u(t, x ),

onde −∆λ ´e o Laplaciano com δ0-intera¸c˜ao no v = 0, onde

D(−∆λ) =    v ∈ H2_{(Γ) : v}0 1(0) = ... = vN0 (0), N P j =1 vj(0) = λv10(0)    . I

(57)

Outros problemas: equa¸c˜

ao NLS-δ

0

e NLS-log-δ

Consideramos I

i ∂tu(t, x ) = −∆λu(t, x ) − |u(t, x )|p−1u(t, x ),

onde −∆λ ´e o Laplaciano com δ0-intera¸c˜ao no v = 0, onde

D(−∆λ) =    v ∈ H2_{(Γ) : v}0 1(0) = ... = vN0 (0), N P j =1 vj(0) = λv10(0)    . I

(58)

Instabilidade forte para NLS-δ

(59)

Defini¸c˜ao 2

ei ωtϕ(x )´e fortemente inst´avel se existir u0 t.q. ku₀− ϕk seja pequeno,

e a solu¸c˜ao u(t, x ) com u(0) = u0 explode em tempo finito, ou

seja lim

t→Tku(t, x)k = ∞ para T < ∞.

Nosso objetivo´e estudar instabilidade forte de ei ωtϕ₀:

α < 0 α > 0

N.G., M. Ohta (2020):

• α > 0, p ≥ 5 =⇒ ei ωtϕ₀(x ) é fortemente instável. • α < 0, p > 5, ω ∈ [ω2, ∞) =⇒ ei ωtϕ0(x ) é fortemente

(60)

Defini¸c˜ao 2

ei ωtϕ(x )´e fortemente inst´avel se existir u0 t.q. ku₀− ϕk seja pequeno,

e a solu¸c˜ao u(t, x ) com u(0) = u0 explode em tempo finito, ou

seja lim

t→Tku(t, x)k = ∞ para T < ∞.

Nosso objetivo´e estudar instabilidade forte de ei ωtϕ₀:

α < 0 α > 0

N.G., M. Ohta (2020):

• α > 0, p ≥ 5 =⇒ ei ωtϕ₀(x ) é fortemente instável. • α < 0, p > 5, ω ∈ [ω2, ∞) =⇒ ei ωtϕ0(x ) é fortemente

(61)

M´

etodo

I ϕ₀ ´e minimizador de S (ψ) = 1₂kψ0k2₂+ω₂kψk2₂− 1 p + 1kψk p+1 p+1+ α 2|ψ1(0)| 2 em Eeq(Γ) = {ψ ∈ H1(Γ) : ψ1(x ) = ... = ψN(x )}sob uma “restri¸c˜ao”.

I O ingrediente principal ´eidentidade de Virial para solu¸c˜ao u(t, x ) da NLS-δ: d2 dt2kxu(t, x)k 2 2 = 8P(u(t, x )), t ∈ [0, T ), onde P(u(t, x )) = ku0(t)k2₂+α 2|u1(t, 0)| 2₋ p − 1 2(p + 1)ku(t, x)k p+1 p+1.

(62)

M´

etodo

I ϕ₀ ´e minimizador de S (ψ) = 1₂kψ0k2₂+ω₂kψk2₂− 1 p + 1kψk p+1 p+1+ α 2|ψ1(0)| 2 em Eeq(Γ) = {ψ ∈ H1(Γ) : ψ1(x ) = ... = ψN(x )}sob uma “restri¸c˜ao”.

I O ingrediente principal ´eidentidade de Virial para solu¸c˜ao u(t, x ) da NLS-δ: d2 dt2kxu(t, x)k 2 2 = 8P(u(t, x )), t ∈ [0, T ), onde P(u(t, x )) = ku0(t)k2₂+α 2|u1(t, 0)| 2₋ p − 1 2(p + 1)ku(t, x)k p+1 p+1.

(63)

Equa¸c˜

ao NLS-δ

0

na reta

R 0

(64)

R. Adami, D. Noja (2012):

i ∂tu(t, x ) =−∆βu(t, x )− |u(t, x)|p−1u(t, x ),

onde x , t, β ∈ R.

Interpreta¸c˜ao de δ0-intera¸c˜ao:

∂xu(t, 0+) = ∂xu(t, 0−), u(t, 0+) − u(t, 0−) = −β∂xu(t, 0).

(65)

Ondas solit´

arias

u(t, x ) = ei ωtφodd_ω,β, φodd_ω,β = sign(x ) (p + 1)ω 2 sech 2 (p − 1) √ ω 2 (|x | + y0) _p−11 . odd odd

(66)

Ondas solit´

arias

u(t, x ) = ei ωtφas_ω,β, φas_ω,β =      h_(p+1)ω 2 sech 2(p−1)√ω 2 (x + y1) i_p−11 , x > 0; −h(p+1)ω₂ sech2 (p−1)√ω 2 (x − y2) i_p−11 , x < 0 φas_ω,β para β > 0 φas_ω,β para β < 0

(67)

Propriedades variacionais de φ

odd_ω,β

e φ

as_ω,β

I Os perfis φodd_ω,β e φas_ω,β para β > 0 s˜ao minimizadores de S (ψ) = E (ψ) + ωQ(ψ)

= 1₂kψ0k2₂+ω₂kψk2₂−_p+11 kψkp+1_p+1−_2β1 |ψ(0+) − ψ(0−)|2 em H1(R \ {0})sob “uma restri¸c˜ao”.

I N.G., M. Ohta:

– β > 0, p > 5, ω ∈ [ω3, ∞) =⇒ ei ωtϕas_ω,β(x ) ´e

fortemente inst´avel.

– β > 0, p > 5, ω ∈ [ω4, ∞) =⇒ ei ωtϕodd_ω,β(x ) ´e

(68)

Propriedades variacionais de φ

odd_ω,β

e φ

as_ω,β

I Os perfis φodd_ω,β e φas_ω,β para β > 0 s˜ao minimizadores de S (ψ) = E (ψ) + ωQ(ψ)

= 1₂kψ0k2₂+ω₂kψk2₂−_p+11 kψkp+1_p+1−_2β1 |ψ(0+) − ψ(0−)|2 em H1(R \ {0})sob “uma restri¸c˜ao”.

I N.G., M. Ohta:

– β > 0, p > 5, ω ∈ [ω3, ∞) =⇒ ei ωtϕas_ω,β(x ) ´e

fortemente inst´avel.

– β > 0, p > 5, ω ∈ [ω4, ∞) =⇒ ei ωtϕodd_ω,β(x ) ´e

(69)

Resultados da estabilidade orbital

I R. Adami, D. Noja (2012): resultados para β > 0 e φodd_ω,β, φas_ω,β.

I J. Angulo, N.G.: β < 0, φodd_ω,β.

´

E muito mais dif´ıcil estudar o caso do φas_ω,β devido a perda da simetria.

I M´etodo:

Linearizamos NLS-δ0 por volta de φodd ω,β: d dt v1 v2 = J S00(φodd_ω,β)v1 v2 , Lω= S00(φoddω,β), Lω v1 v2 =L1,ωv1 L2,ωv2 . L1,ω = − d2 dx2 + ω − p|φ odd ω,β|p−1, L2,ω= − d2 dx2 + ω − |φ odd ω,β|p−1, D(L1,ω) = D(L2,ω) = H2(R \ {0}) +δ0-condi¸c˜ao.

(70)

Resultados da estabilidade orbital

´

I M´etodo:

Linearizamos NLS-δ0 por volta de φodd ω,β: d dt v1 v2 = J S00(φodd_ω,β)v1 v2 , Lω= S00(φoddω,β), Lω v1 v2 =L1,ωv1 L2,ωv2 . L1,ω = − d2 dx2 + ω − p|φ odd ω,β|p−1, L2,ω= − d2 dx2 + ω − |φ odd ω,β|p−1, D(L1,ω) = D(L2,ω) = H2(R \ {0}) +δ0-condi¸c˜ao.

(71)

Resultados da estabilidade orbital

´

I M´etodo:

Linearizamos NLS-δ0 por volta de φodd ω,β: d dt v1 v2 = J S00(φodd_ω,β)v1 v2 , Lω= S00(φoddω,β), Lω v1 v2 =L1,ωv1 L2,ωv2 . L1,ω = − d2 dx2 + ω − p|φ odd ω,β|p−1, L2,ω= − d2 dx2 + ω − |φ odd ω,β|p−1,

(72)

Equa¸c˜

ao NKG-δ no grafo

estrela

(73)

Equa¸c˜ao de Klein-Gordon:

−∂_t2u(t, x ) = −∆αu(t, x ) + M2u(t, x ) − |u(t, x )|p−1u(t, x ).

NKG ´e equivalente ao

∂tU(t, x ) = AU(t, x ) + F (U(t, x )), U(t, x ) = (u(t, x ), v(t, x )),

v(t, x ) = ∂tu(t, x ), F (U(t, x )) = (0, |u(t, x )|p−1u(t, x )),

onde A = 0 IL2_(Γ) −∆α− M2 0 , D(A) = D(−∆α) × E (Γ).

(74)

Equa¸c˜ao de Klein-Gordon:

−∂_t2u(t, x ) = −∆αu(t, x ) + M2u(t, x ) − |u(t, x )|p−1u(t, x ). NKG ´e equivalente ao

∂tU(t, x ) = AU(t, x ) + F (U(t, x )), U(t, x ) = (u(t, x ), v(t, x )),

v(t, x ) = ∂tu(t, x ), F (U(t, x )) = (0, |u(t, x )|p−1u(t, x )),

onde A = 0 IL2_(Γ) −∆α− M2 0 , D(A) = D(−∆α) × E (Γ).

(75)

Ondas solit´

arias

Ondas solit´arias: u(t, x ) = ei ωtϕ(x ) = ei ωt(ϕj(x ))N_{j =1}.

Perfis ϕ(x ) podem ser encontrados resolvendo

−ϕ00_j + (M2− ω2)ϕj − |ϕj|p−1ϕj = 0, e pondo ϕ1(0) = ... = ϕN(0), N P j =1 ϕ0_j(0) = αϕ1(0). Obtemos _N−1 2 + 1 solu¸c˜oes ϕk = (ϕk,j)Nj =1: ϕk,j(x ) =      h_(p+1)C 2 sech 2(p−1)√C 2 x − ck i_p−11 , j = 1, . . . , k h_(p+1)C 2 sech 2(p−1)√C 2 x + ck i_p−11 , j = k + 1, . . . , N, onde ck = tanh−1 α (2k−N)√C , e C = M2− ω2 _> α2 (N−2k)2.

(76)

Resultado: Foram obtidos condi¸c˜oes suficientes para instabilidade quandoω ∈−M √ p−1 2 , 0 ∪0,M √ p−1 2 e ω ∈−M,−M √ p−1 2 ∪M √ p−1 2 , M .

Outro estudo recente: A. Ardila, L. Cely, N.G. (2020) para

V (x ) ∈ L1(Γ) + L∞(Γ), V (x ) ≤ 0

(77)

Trabalho em andamento

Estudamos estabilidade das ondas solit´arias com perfis constantes para NLS

(78)