matemática MATEMÁTICA - MÓDULO 10

MATEMÁTICA - MÓDULO 10

POLÍGONOS

Documento realizado por discentes do IFSul Campus

Camaquã. Revisado por Diana Schein Bartz, mestre

em Engenharia Oceânica pela FURG e por Tiago

Ventura Martins, Mestre em Ensino de Matemática

pela UFRGS.

QUALIFICA

MATEMÁTICA - Módulo 10 

POLÍGONOS 

Um polígono deve possuir toda a sua parte interna, tendo a mesma       

quantidade de _​lados_​, _​vértices _​e _​ângulos_​. 

1.1 Classificação 

N° de lados  Nomenclatura  N° de lados  Nomenclatura 

3  triângulo  13  tridecágono  4  quadrilátero  20  icoságono  5  pentágono  30  triacontágono  6  hexágono  40  tetracontágono  7  heptágono  50  pentacontágono  8  octógono  60  hexacontágono  9  eneágono  70  heptacontágono  10  decágono  80  octacontágono  11  undecágono  90  eneacontágono 

12  dodecágono  100  hectágono 

1.2 Polígonos Regulares x Irregulares 

Polígonos regulares possuem todos seus lados e ângulos (tanto       

internos, quanto externos) com a mesma medida, ou seja, congruentes.       

Enquanto os polígonos irregulares, possuem ao menos um lado de       

medida diferente.        2. _​NÚMERO DE DIAGONAIS   

Uma diagonal de um polígono se forma a partir de dois vértices não       

consecutivos.  

Chamando o número de lados de       _{​n e o numero de diagonais de ​d​,}         

verificamos quantas a diagonais saíram de cada vértice:   

Como podemos notar, há uma diferença de 3 diagonais se       

compararmos com o número de lados, ou seja, se quisermos calcular a       

quantidade de diagonais que partem de um vértice, temos que:   

Já, se quisermos calcular a quantidade total de diagonais (D) de um       

polígono, basta aplicar na fórmula:   

D =_​ n (n − 3)₂

Exemplificando: 

Dê o número de diagonais de um polígono de 13 lados.    D =_​ n (n − 3)₂

3. _​ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO   

Aplicando a propriedade dos triângulos que fala da soma dos ângulos       

internos de suas medidas, consegue-se calcular a medida dos ângulos       

internos de um polígono. Para isso, basta traçar uma reta em uma de       

suas diagonais:        Ou seja, temos:    a + b + c = 180°  x + y + z = 180° 

  a + b + c + x + y + z = 180° + 180° = _​360°         

Em um segundo exemplo podemos usar um pentágono:   

Nesse polígono, traçando as diagonais a partir de um vértice, obtemos  3 triângulos, então: 

180° + 180° + 180° = _​540° 

A partir dessas definições temos a fórmula:   

= (n - 2) . 180

Sn  

Onde   _{​n representa o número de lados de um polígono e}          Sna medida   

dos ângulos internos.   

Exemplificando:  

● Exemplo 1: Considere um polígono de 6 lados.    S = (n - 2) . 180  S = (6 - 2) . 180  S = (4) . 180  S = 520°   

Observação:  _​traçando uma diagonal a partir de um vértice do        polígono, obtivemos 4 triângulos, ou seja, teríamos 4 . 180 = 520°. 

● Exemplo 2: Calcule  os valores de x e y na 

figura, sabendo que x - y = 30°. 

Para encontrar o valor dos ângulos: 

- sabendo que o polígono possui 6 lados, aplicamos a fórmula da  medida dos ângulos internos: 

  S = (n - 2) . 180  S = (6 - 2) . 180  S = 4 . 180  S = 720°   

- então temos que:   

x + x + x + x + y + y = 720°  4x + 2y = 720 

- podemos reescrever a equação               _{​x - y = 30 como ​x = 30 + y e}               

substituir na equação que encontramos:   

4x + 2y = 720  4 (30 + y) + 2y = 720 

120 + 4y + 2y = 720  6y = 600 

y = 100° 

  - aplicando o valor de y em x = 30 + y:   

x = 30 + y  x = 30 + 100 

x = 130° 

-Obtendo, assim, os valores de x e y no polígono (x = 130° e y = 100°).   

4. _​ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO 

É o prolongamento da de algum dos lados de um polígono e o lado       

adjacente, do mesmo. 

Na figura abaixo, foram marcados os ângulos externos. Note que o       

prolongamento de um lado do polígono gera no outro lado, um ângulo       

externo.   

DIzendo que o ângulo interno é i e o externo é e                       _{​, podemos afirmar que i}       

+ e = 180°_​. 

Para calcular ângulo externo, indicamos os ângulos internos como _{​i​ e ​e​.} 

i1 + i2 + i3 + … + in + e1 + e2 + e3 + … + en = n . 180°   

Aplicando a propriedade distributiva e reduzindo (n . 180) de ambos os       

membros:   

(n - 2) . 180 + Se = n . 180  n . 180 - 360 + Se = n . 180 

-360 + Se = 0 

Se = 360°  

Observação:  em qualquer polígono a soma dos ângulos externos        sempre será 360°.                                                               

Exercícios   

1) _​Um polígono convexo que possua exatamente 170 diagonais é 

formado por quantos lados?   

2)_​ Qual é a medida de um ângulo interno de um eneágono regular? 

3) _​Qual o número de diagonais de um polígono com 15 lados.  

4) _​A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é igual a 

2340°. Quantos lados esse polígono possui?   

5) _​Calcule o valor dos ângulos do seguinte quadrilátero: 

6)_​ (UNIFESP - 2003) Pentágonos regulares congruentes podem ser 

conectados lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas,  conforme destacado na figura a seguir 

  Nessas condições, o ângulo θ mede: 

  a) 108°.  b) 72°.  c) 54°.  d) 36°.  e) 18°. 

7)_​ (FAAP-97) A medida mais próxima de cada ângulo externo do  heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é: 

Gabarito:    1) _​20 _​2) _​140° _​3) _​90 _​4) 15 _{​ ​}5) _​120° e 60° _​6)_​ θ = 36 _​7) _​51,43°                                                                      

REFERÊNCIAS 

Todo o embasamento da Apostila foi retirado dos seguintes livros:   

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José.         _{​Praticando Matemática}   

8° ano_{​. São Paulo: Editora do Brasil, 2015.} 

BIANCHINI, Edwaldo.    _{​Matemática Bianchini 8° ano​. 8° Edição. São}             

Paulo: Editora Moderna, 2015.