Simulação numérica de fluido incompressível ao redor de um cilindro com oscilação angular: Método da Fronteira Imersa e Método da Fronteira Virtual

(1)

Simula¸

c˜

ao num´

erica de fluido incompress´ıvel ao redor de um

cilindro com oscila¸

c˜

ao angular: M´

etodo da Fronteira Imersa e

M´

etodo da Fronteira Virtual

Jos´e La´ercio Doricio∗

Antˆonio Carlos Henriques Marques Paulo Celso Greco J´unior

Depto de Engenharia de Materiais, Aeron´autica e Automobil´ıstica, EESC, USP,

13560-970, S˜ao Carlos, SP

E-mail: josedoricio@yahoo.com.br, achm@sc.usp.br, pgreco@sc.usp.br,

Evelise Roman Corbalan G´ois Leandro Franco de Souza

Departamento de Matem´atica Aplicada e Estat´ıstica, ICMC, USP

13560-970, S˜ao Carlos, SP

E-mail: evelisecorbalan@yahoo.com.br, lefraso@icmc.usp.br.

O estudo de desprendimento de vórtices de cilindros oscilantes, procura descobrir uma ma-neira de se estabelecer certo controle sobre a freqüência com que os vórtices são des-prendidos. Diversas simula¸cões para variadas combina¸cões da freqüência e da amplitude de oscila¸cão apresentam zonas com uma carac-ter´ıstica: a sincroniza¸cão da freqüência de des-prendimento com a freqüência de oscila¸cão do cilindro [1], fenômeno conhecido como lock-on. Quando o escoamento se encontra em sin-croniza¸cão, sua freqüência de oscila¸cão faz com que o desprendimento de vórtices (dado pelo número de Strouhal St para o escoamento

em torno do cilindro estacionário) adote o mesmo per´ıodo de tal oscila¸cão. Dessa forma, pode-se induzir determinadas freqüências Sf

para o desprendimento de vórtices, variando a freqüência de oscila¸cão do cilindro, desde que sua combina¸cão com a amplitude o localizem dentro da região de lock-on. Para as simula¸cões com o cilindro, a freqüência de Strouhal foi utilizada como parâmetro de referência para a análise de freqüência de desprendimento de vórtices além do coeficiente de sustenta¸cão. Nas simula¸cões de Baek e Sung [1] pode-se ob-servar os valores de CL máximo nas regiões

de lock-on para os ˆangulos de rota¸c˜ao for¸cada de 15o_{, 30}o _{e 60}o_. _{Williamson [10], Barnes}

[2], Mittal e Kumar [5], e Padrino e Joseph [6] mostram que para uma determinada faixa

∗bolsista de doutorado CNPq: 141051/2006-0

de freqüência e amplitude de oscila¸cão do ci-lindro, é poss´ıvel garantir certo controle sobre os mecanismos de instabilidade que induzem a ocorrência do fenômeno de gera¸cão e despren-dimento de vórtices.

No presente trabalho, busca-se examinar es-tes efeitos aplicando ao cilindro uma oscila¸cão for¸cada conhecida, de forma que se possa veri-ficar a rela¸cão entre as freqüências induzidas e as freqüências de desprendimento, analisando as varia¸cões na vorticidade e nos coeficientes de arrasto e sustenta¸cão através de simula¸cão numérica pelos métodos de Fronteira Imersa e de Fronteira Virtual. Resolve-se o escoa-mento incompress´ıvel bidimensional de fluido Newtoniano ao redor de um cilindro circular com oscila¸cão angular for¸cada utilizando-se as equa¸cões de Navier-Stokes.

O número de Reynolds foi fixado em Re = 110 e a amplitude angular máxima de rota¸cão é de θmax= 30o para o método da Fronteira

Vir-tual e θmax = 60o para o m´etodo da Fronteira

Imersa. Para ambos os métodos, as freqüências de oscila¸cão da rota¸cão são f = 0.14, f = 0.17 e f = 0.2. Essas freqüências foram utilizadas para comparar os resultados obtidos com os de Baek e Sung [1].

O cilindro é rotacionado de forma senoidal no tempo com uma freqüência rotacional Sf.

No Método da Fronteira Imersa, a equa¸cão da posi¸cão da fronteira é dada por:

ϕ= θ

(2)

onde θ é o deslocamento angular máximo e t é o tempo, adimensionais. No Método da Fronteira Virtual, a equa¸cão da velocidade da fronteira é dada por:

∂ϕ

∂t = θπSfcos(2πSft) . (2) Para o Método da Fronteira Imersa [7], as equa¸cões governantes na forma não-conservativa são dadas por:

ρ„ ∂u ∂t + u · ∇u « + ∇p = µ∆u + f , (3) ∇ · u= 0 , (4) f(x, t) = Z Lb 0 F(s, t)δ2(x − X(s, t))ds , (5) ∂X(s, t) ∂t = Z Ω u_{(x, t)δ}2_{(x − X(s, t))dx ,} (6) F(s, t) = S(X(s, t), t) . (7)

Nas Equa¸cões (3) a (7), x = (x, y) é o vetor posi¸cão, u(x, t) = (u(x, t), v(x, t)) é o campo de velocidade do fluido, p(x, t) é o campo de pressão e ρ(x, t) é a densidade. A for¸ca atu-ando no fluido (com rela¸cão a dx = dxdy) é f_{(x, t) = (f}₁_{(x, t), f}₂_{(x, t)), enquanto a for¸ca} exercida na fronteira imersa (com rela¸cão a ds) é F(s, t) = (F1(s, t), F2(s, t)). As Equa¸cões (5)

e (6) representam a intera¸cão entre o fluido e a fronteira imersa. A fun¸cão Delta de Dirac em ambas as equa¸cões é um funcional com-posto por duas outras fun¸cões delta, δ2_{(x) =}

δ(x)δ(y). A Equa¸cão (7) estabelece que a for¸ca em um particular segmento de fronteira imersa no tempo t é determinada pela configura¸cão da fronteira no instante de tempo t, onde a fun¸cão S _{satisfaz a lei de Hook generalizada.}

O Método da Fronteira Imersa usa diferen¸cas finitas nas malhas Euleriana-Lagrangeana para a intera¸cão fluido-estrutura. Duas malhas dis-cretizadas distintas são necessárias: uma malha regular bidimensional para representar o fluido e uma “malha” de pontos para representar a fronteira imersa. Seja Ω = [0, L] × [0, L] o dom´ınio do escoamento. As variáveis do fluido são definidas na malha Euleriana N × N com x_{= (x}_i_{, y}_j_{) = (ih, jh) para i, j = 0, 1, ..., N −1,} onde h = ∆x = ∆y = L

N ´e o comprimento de

cada intervalo da malha. Na fronteira imersa usa-se um conjunto de M pontos Lagrangeanos X _{= (X}_k_{, Y}_k_{) com k = 0, 1, ..., M − 1 para} dis-cretizar a fronteira imersa, com espa¸camento inicial entre os pontos ∆s = Lb

M, onde Lb ´e a

curva de comprimento Γ. A for¸ca exercida na fronteira é definida nestes pontos. É impor-tante notar que os pontos na malha Euleriana, que representam o fluido, são fixos, enquanto os pontos na malha Lagrangeana, que repre-sentam a fronteira imersa, são móveis. Um esquema expl´ıcito pode ser usado no Método da Fronteira Imersa, onde a for¸ca exercida pela fronteira é calculada no in´ıcio de cada passo no tempo, com n + 1 = tn+ ∆t [4], e a solu¸cão

numérica é processada da seguinte forma: 1. O campo de for¸ca é calculado nos pontos

Lagrangeanos com as condi¸cões iniciais. A for¸ca Fn(s) é calculada usando Xn(s) na fronteira imersa. Na seqüência, a for¸ca Fn_{(s) é usada no campo de for¸ca do fluido} para determinar fn_{(x), usando as}

seguin-tes equa¸c˜oes:

Fn_{(s) = S}n_(Xn_{) ,} (8) fn(x) =X s Fn(s)δh2(x − X n (s))∆s , (9)

onde a fun¸c˜ao delta discretizada ´e dada por: δ2h(x) = δh(x)δh(y) , (10) com δh(r) = 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : 1 8h 0 @3− 2|r| h + s 1 +4|r| h − 4r2 h2 1 A, |r| ≤ h , 1 8h 0 @5− 2|r| h − s −7 +12|r| h − 4r2 h2 1 A, h≤ |r| ≤ 2h , 0, 2h≤ |r| . (11)

2. As equa¸cões de Navier-Stokes, definidas por (3) e (4) com o termo de for¸ca fn(x) para atualizar o campo de velocidade un+1_{(x), são resolvidas por um método de} Runge-Kutta de quarta ordem:

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : V1 n+ 1 2= Vn +1 2∆t ∂Vn ∂t , V2 n+ 1 2= Vn +1 2∆t ∂V1 n+ 1 2 ∂t , V3 n+1 = Vn + ∆t∂V2 n+ 1 2 ∂t , Vn+1= Vn +1 6∆t 2 4 ∂Vn ∂t + 2 0 @ ∂V1 n+ 1 2 ∂t + ∂V2 n+ 1 2 ∂t 1 A + ∂V3n+1 ∂t 3 5 , (12)

onde V ´e um vetor gen´erico.

As variáveis espaciais são resolvidas usando o método da proje¸cão descrito por [3]. As derivadas convectivas são resolvidas usando um esquema de alta ordem -método VONOS, descrito por [9].

(3)

3. A velocidade un+1 _{´e interpolada nos}

pon-tos da fronteira imersa e a nova posi¸c˜ao ´e atualizada usando Xn+1_(s): Un+1(s) =X x un+1(x)δ2h(x − X n (s))h2 , (13) Xn+1(s) = Xn(s) + ∆tUn+1(s) , (14)

onde δ_h2 é a fun¸cão delta discreta, definida em (10) e (11). Na Equa¸cão (14), Xn+1_(s)

foi calculada usando um m´etodo de Euler expl´ıcito, no entanto pode-se usar m´etodos de alta ordem.

No esquema numérico descrito acima, para os pontos da fronteira elástica permanecerem sobre a configura¸cão original, é necessário esco-lher um termo de for¸ca ajustado F(s, t). Este termo de for¸ca é escolhido usando a lei de Ho-oke generalizada. No caso de uma fronteira r´ıgida, o termo for¸cante é dado por:

F_{(s, t) = S(X(s, t), t) = κ (X}e_{(s, t) − X(s, t)) ,} ₍₁₅₎

onde κ ≫ 1 é uma constante positiva. A Equa¸cão (15) conecta os pontos X da fronteira imersa aos pontos de equil´ıbrio Xe _{através de}

molas r´ıgidas. No entanto, se os pontos da fron-teira imersa se movem com rela¸cão à posi¸cão de equil´ıbrio, as molas puxam os pontos para a posi¸cão de equil´ıbrio. A constante de rigidez κ é escolhida tal que o máximo deslocamento de qualquer ponto da fronteira seja de no máximo 5% do raio do cilindro, de acordo com o traba-lho de [4].

O Método da Fronteira Virtual [8] designa uma classe de métodos de contorno onde os cálculos são efetuados numa malha cartesiana que não se adapta à forma do “corpo vir-tual”que serve como obstáculo ao escoamento. As condi¸cões de contorno na superf´ıcie do corpo não são impostas diretamente. Ao invés disso, um termo extra chamado de termo for¸cante é adicionado às equa¸cões governantes.

Para obter a formula¸cão alternativa de Vorticidade-Velocidade definidas, as equa¸cões governantes são escritas da forma:

∂ωz ∂t = −u ∂ωz ∂x −v ∂ωz ∂y + ∇ 2_ω_z₊∂f1 ∂y + ∂f2 ∂x . (16)

Tomando a defini¸cão de vorticidade ω e as equa¸cões de conserva¸cão de massa, pode-se ob-ter a equa¸cão de Poisson para a componente de velocidade v: ∂v2 ∂x2+ ∂v2 ∂y2 = − ∂ωz ∂x . (17)

As equa¸cões governantes são complementa-das pelas especifica¸cão das condi¸cões de con-torno. Na sa´ıda do escoamento, todas as segun-das derivasegun-das de tosegun-das a variáveis dependentes são nulas. O cálculo é feito em uma malha or-togonal uniforme, paralela ao sentido do esco-amento. A entrada do fluido no dom´ınio com-putacional ocorre em x = x0 e existe uma

fron-teira de sa´ıda em x = xmax. Na fronteira de

en-trada (x = x0), os componentes de velocidade

e vorticidade s˜ao especificados, e em x = xmax,

as segundas derivadas s˜ao nulas. No contorno superior (y = ymax) e inferior (y = y0), as

deri-vadas de v na dire¸cão y também são nulas. Três regiões de amortecimento serão utilizadas na simula¸cão, regiões estas que impedem o rebati-mento de perturba¸cões do escoamento na fron-teira, o que afetaria o desprendimento natural de vórtices. Para evitar que isso aconte¸ca, a ex-pressão de vorticidade é multiplicada em cada passo de integra¸cão por uma “fun¸cão rampa”, que varia suavemente entre 0 e 1. Assim, as componentes de vorticidade serão tomadas da seguinte maneira:

ωz(x, y) = g(x)ω(x, y, t) , (18)

onde ω(x, y, t) é a componente de vorticidade perturbada e g(x) representa a fun¸cão rampa. A implementa¸cão da fun¸cão rampa na dire¸cão xé dada da seguinte forma:

g(x) = f (∈) = 1 − 6 ∈5+15 ∈4−10 ∈3 , (19)

onde ∈= (i−i3)

i4−i3 para i ≤ i ≤ i4. Os pontos i3

e i4 correspondem `as posi¸c˜oes x3 e x4 do

es-coamento, respectivamente. A zona de amor-tecimento na dire¸cão x tem uma malha de 30 pontos na dire¸cão x e 20 pontos na dire¸cão y. Entre a zona de seguran¸ca e a fronteira, tem-se um espa¸camento de 10 pontos na malha. Para a discretiza¸cão das derivadas espaciais são uti-lizadas diferen¸cas finitas de alta ordem.

Para a resolu¸cão da equa¸cão de Poisson, foi utilizado um método Multigrid, cuja principal vantagem é a rápida convergência. O algoritmo aqui adotado é o esquema de aproxima¸cão total FAS (Full Approximation Scheme), e foi uti-lizado um ciclo V, com quatro malhas. Em cada malha, a equa¸cão é resolvida utilizando-se um método de sobre-relaxa¸cão sucessiva por linha (LSOR-Line Sucessive Over-Relaxation). Quando se efetua a mudan¸ca da malha mais fina para a malha mais grossa, o fator de re-laxa¸cão utilizado deve ser igual a 1. Se este va-lor não for aplicado, não haverá a suaviza¸cão

(4)

das altas freqüências, que é a caracter´ıstica principal desse método

As equa¸c˜oes para o c´alculo das for¸cas de con-torno foram tomadas da seguinte forma:

f1(i, j) = [f1(i, j) + αu(i, j)]δ(i, j) , (20) f2(i, j) = [f2(i, j) + αv(i, j)]δ(i, j) , (21)

com δ(i, j) = 0 fora da regi˜ao de fronteira imersa e δ(i, j) = 1 no contorno e internamente `

a fronteira imersa. A constante α usada para calcular as for¸cas ´e tomada como negativa, e neste trabalho ter´a o valor de α = −200.

Após o cálculo dos valores de f1 e f2, são

calculadas as suas derivadas nas dire¸cões y e x. A velocidade v é encontrada através da re-solu¸cão da equa¸cão de Poisson e a velocidade u é encontrada solucionando-se a equa¸cão da continuidade. Após isso, os valores das com-ponentes de velocidade são verificados no inte-rior da fronteira imersa. Se estes valores estão abaixo de um valor pré-determinado, um novo passo de integra¸cão pode ser utilizado.

Assim, o algoritmo a cada passo do método de Runge-Kutta para a solu¸cão das Equa¸cões de Navier-Stokes com o Método de Fronteira Virtual pode ser escrito da seguinte forma:

1. Calcular as derivadas espaciais da equa¸c˜ao de transporte da vorticidade;

2. Calcular os termos for¸cantes f1 e f2;

3. Calcular o rotacional do termo for¸cante; 4. Integrar a equa¸c˜ao de transporte e

vorti-cidade em cada passo do esquema usando os valores obtidos nos passos 1 e 3; 5. Calcular a velocidade v atrav´es da equa¸c˜ao

de Poisson;

6. Calcular a velocidade u atrav´es da equa¸c˜ao da continuidade;

7. Verificar os valores das componentes de ve-locidades na fronteira imersa, se estiverem acima de um valor pr´e-determinado, con-tinua e volta para o passo 2.

O esquema acima continua até que uma solu¸cão estável ou periódica seja encontrada.

Tabela 1: Resultados para CL m´aximo.

Sf 0.14 0.17 0.2

Baek e Sung [1] θmax = 30o 0.75 1.1 0.49

Fronteira Virtual θmax = 30o 0.87 1.17 0.8

Baek e Sung [1] θmax = 60o 1.4 1.6 0.81

Fronteira Imersa θmax= 60o 1.4 1.58 0.91

Tabela 2: Resultados para CD.

Sf 0.14 0.17 0.2

Fronteira Virtual θmax = 30o 1.36 1.65 1.72

Fronteira Imersa θmax= 60o 1.5 1.72 1.85

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 CL e C D t (segundos) CL CD

Figura 1: CD e CL para Sf = 0.14 usando o

M´etodo da Fronteira Imersa.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 30 40 50 60 70 80 90 100 CL e C D t (segundos) CL CD

(5)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30 40 50 60 70 80 CL e C D t (segundos) CL CD

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30 40 50 60 70 80 90 100 CL e C D t (segundos) CL CD

M´etodo da Fronteira Virtual.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 40 60 80 100 120 140 CL e C D t (segundos) CL CD

A Tabela 1 mostra os resultados para os valo-res de CLm´aximo para os m´etodos da Fronteira

Virtual e da Fronteira Imersa comparados aos resultados de Baek e Sung [1] para as ampli-tudes de θmax = 30o e θmax = 60o,

respectiva-mente. Conforme pode ser observado, ambos os métodos apresentaram ótima aproxima¸cão para Sf = 0.17. Em compara¸cão aos

resul-tados de Baek e Sung [1], para as freqüências Sf = 0.14 e Sf = 0.2, o método da

Fron-teira Imersa apresenta melhores resultados que o método da Fronteira Virtual. Isso se justifica pelo fato dessas freqüências não serem pontos

cr´ıticos (região de interface entre lock-on e não lock-on) para a simula¸cão do método de Fron-teira Imersa com θmax= 60o.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30 40 50 60 70 80 90 100 CL e C D t (segundos) CL CD

M´etodo da Fronteira Virtual.

Essas freqüências são pontos cr´ıticos para θmax = 30o, o que justifica um maior erro

en-contrado nos resultados fornecidos pelo m´etodo da Fronteira Virtual. A Figura 2 mostra que o m´etodo da Fronteira Virtual para Sf = 0.14

en-trou na região de não lock-on, conforme pode ser observado pela varia¸cão na amplitude do coeficiente de sustenta¸cão. As Figuras 1, 3-6, mostram o efeito de lock-on em concordância com os resultados de Baek e Sung [1]. É in-teressante notar, através da Figura 6, que o efeito de não lock-on não foi capturado pelo método da Fronteira Virtual para Sf = 0.2 com

θmax= 30o.

A Tabela 2 mostra os resultados para o va-lor médio do coeficiente de arrasto para os Métodos da Fronteira Virtual e da Fronteira Imersa. Pode-se observar que o coeficiente de arrasto aumenta com o aumento da freqüência. Os métodos de Fronteira Imersa e de Fronteira Virtual apresentam bons resultados quando comparados à Baek e Sung [1], apesar de não utilizar uma malha que se adapte ao contorno do cilindro. Para complementar os resultados descritos neste trabalho, estão em andamento simula¸cões para θmax = 30o para o

m´etodo da Fronteira Imersa e θmax= 60o para

o m´etodo da Fronteira Virtual, com o objetivo de comparar esses m´etodos entre si.

Referˆ

encias

[1] S.-J Baek and H. J. Sung. Numerical si-mulation of the flow behind a rotary

(6)

oscil-lating circular cilinder. Physics of Fluids, (1998), 10(4):869–876.

[2] F. H. Barnes. Vortex shedding in the wake of a rotating circular cylinder at low Rey-nolds numbers. Journal of Applied Phy-sics, (2000), 33:L141–L144.

[3] F. Harlow and J. E. Welch. Numerical cal-culation of time-dependent viscous incom-pressible flow of fluid with a free surface. Phys. Fluids, (1965), 8:2182–2189.

[4] Ming-Chih Lai and Charles S. Peskin. An immersed boundary method with formal second-order accuracy and reduced nume-rical viscosity. Journal of Computational Physics, (2000), 160:705–719.

[5] S. Mittal and B. Kumar. Flow past a rota-ting cylinder. Journal of Fluid Mechanics, (2003), 476:303–334.

[6] J. C. Padrino and D. D. Joseph. Numeri-cal study of the steady-state uniform flow past a rotating cylinder. Journal of Fluid Mechanics, (2006), 557:191–223.

[7] Charles S. Peskin. The immersed boun-dary method. Acta Numerica, (2002), 11:479–517.

[8] E. M. Saiki and S. Biringen. Numerical simulation of a cylinder in uniform flow: Application of a virtual boundary method. Journal of Computational Physics, (1996), 123:450–465.

[9] A. Varonos and G. Bergeles. Development and assessment of a variable order non-oscilatory scheme for convection term dis-cretization. International Journal for Nu-merical Methods in Fluids, (1998), 26:1– 16.

[10] C. H. K. Williamson. Vortex dynamics in the cylinder wake. Annual Review Fluid Mechanics, (1996), 28:477–539.