Simula¸
c˜
ao num´
erica de fluido incompress´ıvel ao redor de um
cilindro com oscila¸
c˜
ao angular: M´
etodo da Fronteira Imersa e
M´
etodo da Fronteira Virtual
Jos´e La´ercio Doricio∗
Antˆonio Carlos Henriques Marques Paulo Celso Greco J´unior
Depto de Engenharia de Materiais, Aeron´autica e Automobil´ıstica, EESC, USP,
13560-970, S˜ao Carlos, SP
E-mail: josedoricio@yahoo.com.br, achm@sc.usp.br, pgreco@sc.usp.br,
Evelise Roman Corbalan G´ois Leandro Franco de Souza
Departamento de Matem´atica Aplicada e Estat´ıstica, ICMC, USP
13560-970, S˜ao Carlos, SP
E-mail: evelisecorbalan@yahoo.com.br, lefraso@icmc.usp.br.
O estudo de desprendimento de v´ortices de cilindros oscilantes, procura descobrir uma ma-neira de se estabelecer certo controle sobre a freq¨uˆencia com que os v´ortices s˜ao des-prendidos. Diversas simula¸c˜oes para variadas combina¸c˜oes da freq¨uˆencia e da amplitude de oscila¸c˜ao apresentam zonas com uma carac-ter´ıstica: a sincroniza¸c˜ao da freq¨uˆencia de des-prendimento com a freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao do cilindro [1], fenˆomeno conhecido como lock-on. Quando o escoamento se encontra em sin-croniza¸c˜ao, sua freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao faz com que o desprendimento de v´ortices (dado pelo n´umero de Strouhal St para o escoamento
em torno do cilindro estacion´ario) adote o mesmo per´ıodo de tal oscila¸c˜ao. Dessa forma, pode-se induzir determinadas freq¨uˆencias Sf
para o desprendimento de v´ortices, variando a freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao do cilindro, desde que sua combina¸c˜ao com a amplitude o localizem dentro da regi˜ao de lock-on. Para as simula¸c˜oes com o cilindro, a freq¨uˆencia de Strouhal foi utilizada como parˆametro de referˆencia para a an´alise de freq¨uˆencia de desprendimento de v´ortices al´em do coeficiente de sustenta¸c˜ao. Nas simula¸c˜oes de Baek e Sung [1] pode-se ob-servar os valores de CL m´aximo nas regi˜oes
de lock-on para os ˆangulos de rota¸c˜ao for¸cada de 15o, 30o e 60o. Williamson [10], Barnes
[2], Mittal e Kumar [5], e Padrino e Joseph [6] mostram que para uma determinada faixa
∗bolsista de doutorado CNPq: 141051/2006-0
de freq¨uˆencia e amplitude de oscila¸c˜ao do ci-lindro, ´e poss´ıvel garantir certo controle sobre os mecanismos de instabilidade que induzem a ocorrˆencia do fenˆomeno de gera¸c˜ao e despren-dimento de v´ortices.
No presente trabalho, busca-se examinar es-tes efeitos aplicando ao cilindro uma oscila¸c˜ao for¸cada conhecida, de forma que se possa veri-ficar a rela¸c˜ao entre as freq¨uˆencias induzidas e as freq¨uˆencias de desprendimento, analisando as varia¸c˜oes na vorticidade e nos coeficientes de arrasto e sustenta¸c˜ao atrav´es de simula¸c˜ao num´erica pelos m´etodos de Fronteira Imersa e de Fronteira Virtual. Resolve-se o escoa-mento incompress´ıvel bidimensional de fluido Newtoniano ao redor de um cilindro circular com oscila¸c˜ao angular for¸cada utilizando-se as equa¸c˜oes de Navier-Stokes.
O n´umero de Reynolds foi fixado em Re = 110 e a amplitude angular m´axima de rota¸c˜ao ´e de θmax= 30o para o m´etodo da Fronteira
Vir-tual e θmax = 60o para o m´etodo da Fronteira
Imersa. Para ambos os m´etodos, as freq¨uˆencias de oscila¸c˜ao da rota¸c˜ao s˜ao f = 0.14, f = 0.17 e f = 0.2. Essas freq¨uˆencias foram utilizadas para comparar os resultados obtidos com os de Baek e Sung [1].
O cilindro ´e rotacionado de forma senoidal no tempo com uma freq¨uˆencia rotacional Sf.
No M´etodo da Fronteira Imersa, a equa¸c˜ao da posi¸c˜ao da fronteira ´e dada por:
ϕ= θ
onde θ ´e o deslocamento angular m´aximo e t ´e o tempo, adimensionais. No M´etodo da Fronteira Virtual, a equa¸c˜ao da velocidade da fronteira ´e dada por:
∂ϕ
∂t = θπSfcos(2πSft) . (2) Para o M´etodo da Fronteira Imersa [7], as equa¸c˜oes governantes na forma n˜ao-conservativa s˜ao dadas por:
ρ„ ∂u ∂t + u · ∇u « + ∇p = µ∆u + f , (3) ∇ · u= 0 , (4) f(x, t) = Z Lb 0 F(s, t)δ2(x − X(s, t))ds , (5) ∂X(s, t) ∂t = Z Ω u(x, t)δ2(x − X(s, t))dx , (6) F(s, t) = S(X(s, t), t) . (7)
Nas Equa¸c˜oes (3) a (7), x = (x, y) ´e o vetor posi¸c˜ao, u(x, t) = (u(x, t), v(x, t)) ´e o campo de velocidade do fluido, p(x, t) ´e o campo de press˜ao e ρ(x, t) ´e a densidade. A for¸ca atu-ando no fluido (com rela¸c˜ao a dx = dxdy) ´e f(x, t) = (f1(x, t), f2(x, t)), enquanto a for¸ca exercida na fronteira imersa (com rela¸c˜ao a ds) ´e F(s, t) = (F1(s, t), F2(s, t)). As Equa¸c˜oes (5)
e (6) representam a intera¸c˜ao entre o fluido e a fronteira imersa. A fun¸c˜ao Delta de Dirac em ambas as equa¸c˜oes ´e um funcional com-posto por duas outras fun¸c˜oes delta, δ2(x) =
δ(x)δ(y). A Equa¸c˜ao (7) estabelece que a for¸ca em um particular segmento de fronteira imersa no tempo t ´e determinada pela configura¸c˜ao da fronteira no instante de tempo t, onde a fun¸c˜ao S satisfaz a lei de Hook generalizada.
O M´etodo da Fronteira Imersa usa diferen¸cas finitas nas malhas Euleriana-Lagrangeana para a intera¸c˜ao fluido-estrutura. Duas malhas dis-cretizadas distintas s˜ao necess´arias: uma malha regular bidimensional para representar o fluido e uma “malha” de pontos para representar a fronteira imersa. Seja Ω = [0, L] × [0, L] o dom´ınio do escoamento. As vari´aveis do fluido s˜ao definidas na malha Euleriana N × N com x= (xi, yj) = (ih, jh) para i, j = 0, 1, ..., N −1, onde h = ∆x = ∆y = L
N ´e o comprimento de
cada intervalo da malha. Na fronteira imersa usa-se um conjunto de M pontos Lagrangeanos X = (Xk, Yk) com k = 0, 1, ..., M − 1 para dis-cretizar a fronteira imersa, com espa¸camento inicial entre os pontos ∆s = Lb
M, onde Lb ´e a
curva de comprimento Γ. A for¸ca exercida na fronteira ´e definida nestes pontos. ´E impor-tante notar que os pontos na malha Euleriana, que representam o fluido, s˜ao fixos, enquanto os pontos na malha Lagrangeana, que repre-sentam a fronteira imersa, s˜ao m´oveis. Um esquema expl´ıcito pode ser usado no M´etodo da Fronteira Imersa, onde a for¸ca exercida pela fronteira ´e calculada no in´ıcio de cada passo no tempo, com n + 1 = tn+ ∆t [4], e a solu¸c˜ao
num´erica ´e processada da seguinte forma: 1. O campo de for¸ca ´e calculado nos pontos
Lagrangeanos com as condi¸c˜oes iniciais. A for¸ca Fn(s) ´e calculada usando Xn(s) na fronteira imersa. Na seq¨uˆencia, a for¸ca Fn(s) ´e usada no campo de for¸ca do fluido para determinar fn(x), usando as
seguin-tes equa¸c˜oes:
Fn(s) = Sn(Xn) , (8) fn(x) =X s Fn(s)δh2(x − X n (s))∆s , (9)
onde a fun¸c˜ao delta discretizada ´e dada por: δ2h(x) = δh(x)δh(y) , (10) com δh(r) = 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : 1 8h 0 @3− 2|r| h + s 1 +4|r| h − 4r2 h2 1 A, |r| ≤ h , 1 8h 0 @5− 2|r| h − s −7 +12|r| h − 4r2 h2 1 A, h≤ |r| ≤ 2h , 0, 2h≤ |r| . (11)
2. As equa¸c˜oes de Navier-Stokes, definidas por (3) e (4) com o termo de for¸ca fn(x) para atualizar o campo de velocidade un+1(x), s˜ao resolvidas por um m´etodo de Runge-Kutta de quarta ordem:
8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : V1 n+ 1 2= Vn +1 2∆t ∂Vn ∂t , V2 n+ 1 2= Vn +1 2∆t ∂V1 n+ 1 2 ∂t , V3 n+1 = Vn + ∆t∂V2 n+ 1 2 ∂t , Vn+1= Vn +1 6∆t 2 4 ∂Vn ∂t + 2 0 @ ∂V1 n+ 1 2 ∂t + ∂V2 n+ 1 2 ∂t 1 A + ∂V3n+1 ∂t 3 5 , (12)
onde V ´e um vetor gen´erico.
As vari´aveis espaciais s˜ao resolvidas usando o m´etodo da proje¸c˜ao descrito por [3]. As derivadas convectivas s˜ao resolvidas usando um esquema de alta ordem -m´etodo VONOS, descrito por [9].
3. A velocidade un+1 ´e interpolada nos
pon-tos da fronteira imersa e a nova posi¸c˜ao ´e atualizada usando Xn+1(s): Un+1(s) =X x un+1(x)δ2h(x − X n (s))h2 , (13) Xn+1(s) = Xn(s) + ∆tUn+1(s) , (14)
onde δh2 ´e a fun¸c˜ao delta discreta, definida em (10) e (11). Na Equa¸c˜ao (14), Xn+1(s)
foi calculada usando um m´etodo de Euler expl´ıcito, no entanto pode-se usar m´etodos de alta ordem.
No esquema num´erico descrito acima, para os pontos da fronteira el´astica permanecerem sobre a configura¸c˜ao original, ´e necess´ario esco-lher um termo de for¸ca ajustado F(s, t). Este termo de for¸ca ´e escolhido usando a lei de Ho-oke generalizada. No caso de uma fronteira r´ıgida, o termo for¸cante ´e dado por:
F(s, t) = S(X(s, t), t) = κ (Xe(s, t) − X(s, t)) , (15)
onde κ ≫ 1 ´e uma constante positiva. A Equa¸c˜ao (15) conecta os pontos X da fronteira imersa aos pontos de equil´ıbrio Xe atrav´es de
molas r´ıgidas. No entanto, se os pontos da fron-teira imersa se movem com rela¸c˜ao `a posi¸c˜ao de equil´ıbrio, as molas puxam os pontos para a posi¸c˜ao de equil´ıbrio. A constante de rigidez κ ´e escolhida tal que o m´aximo deslocamento de qualquer ponto da fronteira seja de no m´aximo 5% do raio do cilindro, de acordo com o traba-lho de [4].
O M´etodo da Fronteira Virtual [8] designa uma classe de m´etodos de contorno onde os c´alculos s˜ao efetuados numa malha cartesiana que n˜ao se adapta `a forma do “corpo vir-tual”que serve como obst´aculo ao escoamento. As condi¸c˜oes de contorno na superf´ıcie do corpo n˜ao s˜ao impostas diretamente. Ao inv´es disso, um termo extra chamado de termo for¸cante ´e adicionado `as equa¸c˜oes governantes.
Para obter a formula¸c˜ao alternativa de Vorticidade-Velocidade definidas, as equa¸c˜oes governantes s˜ao escritas da forma:
∂ωz ∂t = −u ∂ωz ∂x −v ∂ωz ∂y + ∇ 2ωz+∂f1 ∂y + ∂f2 ∂x . (16)
Tomando a defini¸c˜ao de vorticidade ω e as equa¸c˜oes de conserva¸c˜ao de massa, pode-se ob-ter a equa¸c˜ao de Poisson para a componente de velocidade v: ∂v2 ∂x2+ ∂v2 ∂y2 = − ∂ωz ∂x . (17)
As equa¸c˜oes governantes s˜ao complementa-das pelas especifica¸c˜ao das condi¸c˜oes de con-torno. Na sa´ıda do escoamento, todas as segun-das derivasegun-das de tosegun-das a vari´aveis dependentes s˜ao nulas. O c´alculo ´e feito em uma malha or-togonal uniforme, paralela ao sentido do esco-amento. A entrada do fluido no dom´ınio com-putacional ocorre em x = x0 e existe uma
fron-teira de sa´ıda em x = xmax. Na fronteira de
en-trada (x = x0), os componentes de velocidade
e vorticidade s˜ao especificados, e em x = xmax,
as segundas derivadas s˜ao nulas. No contorno superior (y = ymax) e inferior (y = y0), as
deri-vadas de v na dire¸c˜ao y tamb´em s˜ao nulas. Trˆes regi˜oes de amortecimento ser˜ao utilizadas na simula¸c˜ao, regi˜oes estas que impedem o rebati-mento de perturba¸c˜oes do escoamento na fron-teira, o que afetaria o desprendimento natural de v´ortices. Para evitar que isso aconte¸ca, a ex-press˜ao de vorticidade ´e multiplicada em cada passo de integra¸c˜ao por uma “fun¸c˜ao rampa”, que varia suavemente entre 0 e 1. Assim, as componentes de vorticidade ser˜ao tomadas da seguinte maneira:
ωz(x, y) = g(x)ω(x, y, t) , (18)
onde ω(x, y, t) ´e a componente de vorticidade perturbada e g(x) representa a fun¸c˜ao rampa. A implementa¸c˜ao da fun¸c˜ao rampa na dire¸c˜ao x´e dada da seguinte forma:
g(x) = f (∈) = 1 − 6 ∈5+15 ∈4−10 ∈3 , (19)
onde ∈= (i−i3)
i4−i3 para i ≤ i ≤ i4. Os pontos i3
e i4 correspondem `as posi¸c˜oes x3 e x4 do
es-coamento, respectivamente. A zona de amor-tecimento na dire¸c˜ao x tem uma malha de 30 pontos na dire¸c˜ao x e 20 pontos na dire¸c˜ao y. Entre a zona de seguran¸ca e a fronteira, tem-se um espa¸camento de 10 pontos na malha. Para a discretiza¸c˜ao das derivadas espaciais s˜ao uti-lizadas diferen¸cas finitas de alta ordem.
Para a resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Poisson, foi utilizado um m´etodo Multigrid, cuja principal vantagem ´e a r´apida convergˆencia. O algoritmo aqui adotado ´e o esquema de aproxima¸c˜ao total FAS (Full Approximation Scheme), e foi uti-lizado um ciclo V, com quatro malhas. Em cada malha, a equa¸c˜ao ´e resolvida utilizando-se um m´etodo de sobre-relaxa¸c˜ao sucessiva por linha (LSOR-Line Sucessive Over-Relaxation). Quando se efetua a mudan¸ca da malha mais fina para a malha mais grossa, o fator de re-laxa¸c˜ao utilizado deve ser igual a 1. Se este va-lor n˜ao for aplicado, n˜ao haver´a a suaviza¸c˜ao
das altas freq¨uˆencias, que ´e a caracter´ıstica principal desse m´etodo
As equa¸c˜oes para o c´alculo das for¸cas de con-torno foram tomadas da seguinte forma:
f1(i, j) = [f1(i, j) + αu(i, j)]δ(i, j) , (20) f2(i, j) = [f2(i, j) + αv(i, j)]δ(i, j) , (21)
com δ(i, j) = 0 fora da regi˜ao de fronteira imersa e δ(i, j) = 1 no contorno e internamente `
a fronteira imersa. A constante α usada para calcular as for¸cas ´e tomada como negativa, e neste trabalho ter´a o valor de α = −200.
Ap´os o c´alculo dos valores de f1 e f2, s˜ao
calculadas as suas derivadas nas dire¸c˜oes y e x. A velocidade v ´e encontrada atrav´es da re-solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Poisson e a velocidade u ´e encontrada solucionando-se a equa¸c˜ao da continuidade. Ap´os isso, os valores das com-ponentes de velocidade s˜ao verificados no inte-rior da fronteira imersa. Se estes valores est˜ao abaixo de um valor pr´e-determinado, um novo passo de integra¸c˜ao pode ser utilizado.
Assim, o algoritmo a cada passo do m´etodo de Runge-Kutta para a solu¸c˜ao das Equa¸c˜oes de Navier-Stokes com o M´etodo de Fronteira Virtual pode ser escrito da seguinte forma:
1. Calcular as derivadas espaciais da equa¸c˜ao de transporte da vorticidade;
2. Calcular os termos for¸cantes f1 e f2;
3. Calcular o rotacional do termo for¸cante; 4. Integrar a equa¸c˜ao de transporte e
vorti-cidade em cada passo do esquema usando os valores obtidos nos passos 1 e 3; 5. Calcular a velocidade v atrav´es da equa¸c˜ao
de Poisson;
6. Calcular a velocidade u atrav´es da equa¸c˜ao da continuidade;
7. Verificar os valores das componentes de ve-locidades na fronteira imersa, se estiverem acima de um valor pr´e-determinado, con-tinua e volta para o passo 2.
O esquema acima continua at´e que uma solu¸c˜ao est´avel ou peri´odica seja encontrada.
Tabela 1: Resultados para CL m´aximo.
Sf 0.14 0.17 0.2
Baek e Sung [1] θmax = 30o 0.75 1.1 0.49
Fronteira Virtual θmax = 30o 0.87 1.17 0.8
Baek e Sung [1] θmax = 60o 1.4 1.6 0.81
Fronteira Imersa θmax= 60o 1.4 1.58 0.91
Tabela 2: Resultados para CD.
Sf 0.14 0.17 0.2
Fronteira Virtual θmax = 30o 1.36 1.65 1.72
Fronteira Imersa θmax= 60o 1.5 1.72 1.85
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 CL e C D t (segundos) CL CD
Figura 1: CD e CL para Sf = 0.14 usando o
M´etodo da Fronteira Imersa.
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 30 40 50 60 70 80 90 100 CL e C D t (segundos) CL CD
Figura 2: CD e CL para Sf = 0.14 usando o
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30 40 50 60 70 80 CL e C D t (segundos) CL CD
Figura 3: CD e CL para Sf = 0.17 usando o
M´etodo da Fronteira Imersa.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30 40 50 60 70 80 90 100 CL e C D t (segundos) CL CD
Figura 4: CD e CL para Sf = 0.17 usando o
M´etodo da Fronteira Virtual.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 40 60 80 100 120 140 CL e C D t (segundos) CL CD
Figura 5: CD e CL para Sf = 0.2 usando o
M´etodo da Fronteira Imersa.
A Tabela 1 mostra os resultados para os valo-res de CLm´aximo para os m´etodos da Fronteira
Virtual e da Fronteira Imersa comparados aos resultados de Baek e Sung [1] para as ampli-tudes de θmax = 30o e θmax = 60o,
respectiva-mente. Conforme pode ser observado, ambos os m´etodos apresentaram ´otima aproxima¸c˜ao para Sf = 0.17. Em compara¸c˜ao aos
resul-tados de Baek e Sung [1], para as freq¨uˆencias Sf = 0.14 e Sf = 0.2, o m´etodo da
Fron-teira Imersa apresenta melhores resultados que o m´etodo da Fronteira Virtual. Isso se justifica pelo fato dessas freq¨uˆencias n˜ao serem pontos
cr´ıticos (regi˜ao de interface entre lock-on e n˜ao lock-on) para a simula¸c˜ao do m´etodo de Fron-teira Imersa com θmax= 60o.
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30 40 50 60 70 80 90 100 CL e C D t (segundos) CL CD
Figura 6: CD e CL para Sf = 0.2 usando o
M´etodo da Fronteira Virtual.
Essas freq¨uˆencias s˜ao pontos cr´ıticos para θmax = 30o, o que justifica um maior erro
en-contrado nos resultados fornecidos pelo m´etodo da Fronteira Virtual. A Figura 2 mostra que o m´etodo da Fronteira Virtual para Sf = 0.14
en-trou na regi˜ao de n˜ao lock-on, conforme pode ser observado pela varia¸c˜ao na amplitude do coeficiente de sustenta¸c˜ao. As Figuras 1, 3-6, mostram o efeito de lock-on em concordˆancia com os resultados de Baek e Sung [1]. ´E in-teressante notar, atrav´es da Figura 6, que o efeito de n˜ao lock-on n˜ao foi capturado pelo m´etodo da Fronteira Virtual para Sf = 0.2 com
θmax= 30o.
A Tabela 2 mostra os resultados para o va-lor m´edio do coeficiente de arrasto para os M´etodos da Fronteira Virtual e da Fronteira Imersa. Pode-se observar que o coeficiente de arrasto aumenta com o aumento da freq¨uˆencia. Os m´etodos de Fronteira Imersa e de Fronteira Virtual apresentam bons resultados quando comparados `a Baek e Sung [1], apesar de n˜ao utilizar uma malha que se adapte ao contorno do cilindro. Para complementar os resultados descritos neste trabalho, est˜ao em andamento simula¸c˜oes para θmax = 30o para o
m´etodo da Fronteira Imersa e θmax= 60o para
o m´etodo da Fronteira Virtual, com o objetivo de comparar esses m´etodos entre si.
Referˆ
encias
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