Grafos
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Conceitos elementares
1. Considere os grafos G1 e G2 e o multigrafo G3 seguintes:
G1 G
2
G3
(a) Para cada um deles indique i. a ordem e o tamanho;
ii. exemplos de v´ertices adjacentes e de v´ertices n˜ao adjacentes; iii. o grau de cada v´ertice;
iv. um caminho aberto que n˜ao seja um atalho, um atalho fechado, uma trajet´oria e um ciclo;
v. um subgrafo de ordem 3 e um subgrafo de tamanho 4. (b) Apresente G1− XZ, G1− Y e G2− W .
(c) G1 ´e conexo? Indique, se existir, uma ponte. E relativamente a G2 e a G3?
(d) G1 ´e regular? E completo? E relativamente a G2?
2. Qual ´e o n´umero de arestas de um grafo completo de n v´ertices?
3. Mostre que n˜ao existe nenhum grafo com 6 v´ertices tal que 2 dos v´ertices tˆem grau 3, 2 dos v´ertices tˆem grau 4, um dos v´ertices tem grau 2 e um dos v´ertices tem grau 5.
4. Um grafo tem 14 v´ertices e 27 arestas. Cada v´ertice ou tem grau 3, ou tem grau 4 ou tem grau 5. H´a 6 v´ertices de grau 4. Quantos v´ertices tˆem grau 3? Quantos v´ertices tˆem grau 5?
5. Um certa comiss˜ao parlamentar da Assembleia da Rep´ublica ´e composta por 15 deputados. Conclua que n˜ao ´e poss´ıvel que cada um deles j´a tenha estado em comiss˜oes parlamentares anteriores com exatamente 5 dos outros deputados que fazem parte desta comiss˜ao.
6. Mostre que, se h´a mais livros numa biblioteca do que p´aginas em qualquer dos livros, ent˜ao pelo menos dois livros tˆem igual n´umero de p´aginas.
7. Mostre que, numa sala cheia de gente (duas ou mais pessoas), est˜ao pelo menos duas pessoas que tˆem o mesmo n´umero de amigos presentes nessa mesma sala. (Note que, se A ´e amigo de B, ent˜ao B ´e amigo de A.)
8. Seis famosos numismatas encontram-se para trocar moedas. Cada troca ´e realizada apenas entre duas pessoas. Depois do encontro, perguntaram a cada um dos numismatas com quantos parceiros tinham efetuado trocas. Responderam: 5, 4, 2, 1, 3 e 2. Mostre que pelo menos um dos numismatas se enganou.
9. Pretende-se colocar 8 marcas em oito das 9 pontas da seguinte estrela:
Por´em, o procedimento para cada uma das marcas deve ser o seguinte. A marca entra por um dos 9 v´ertices que esteja livre (i.e., n˜ao ocupado por marca) e move-se para o v´ertice destino que poder´a ser apenas um dos v´ertices adjacentes ao v´ertice de entrada. Como procederia para colocar as 8 marcas?
10. Um ca¸cador, H, pretende atravessar um rio com um lobo, L, uma ovelha, O, e uma couve, C. Cada ac¸c˜ao do ca¸cador representa uma travessia do rio de uma margem para a outra. No in´ıcio, o ca¸cador est´a com o lobo, a ovelha e a couve numa das margens. No fim dever´a estar na outra margem com o lobo, a ovelha e a couve. H´a restri¸c˜oes: (a) o barco leva o ca¸cador que o conduz e n˜ao mais de um dos “passageiros”, (b) o lobo n˜ao pode ser deixado na companhia da ovelha, nem a ovelha com a couve, sem a vigilˆancia do ca¸cador. As ac¸c˜oes poss´ıveis s˜ao as seguintes: hH −i, o homem atravessa sozinho o rio, hHLi, o homem atravessa o rio com o lobo, (c) hHOi, o homem atravessa o rio com a ovelha e (d) hHCi, o homem atravessa o rio com a couve. Descreva um procedimento poss´ıvel do ca¸cador (Note que h´a percursos bem sucedidos t˜ao longos quanto quiser.)
11. Resolva o Problema da Garrafa de Vinho: Trˆes garrafas de vinho tˆem capacidades de 8, 5 e 3 litros, respetivamente. A maior das garrafas est´a cheia de vinho e as outras est˜ao vazias; pretende dividir-se o vinho em duas por¸c˜oes iguais usando estas duas garrafas como auxiliares, despejando sucessivamente o conte´udo de uma garrafa para as outra duas. O problema ´e, pois, o de obter 4 litros de vinho na garrafa maior e 4 litros de vinho na garrafa de tamanho m´edio, realizando o menor n´umero de opera¸c˜oes.
12. Mova os cavalos no diagrama apresentado de modo a que os cavalos brancos troquem de posi¸c˜ao com os cavalos pretos.
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Grafos eulerianos e grafos hamiltonianos
1. Dˆe um exemplo de um grafo de ordem 10 que seja
(a) euleriano; (b) atravess´avel; (c) n˜ao euleriano e n˜ao atravess´avel. 2. Considere os grafos seguintes:
G1 G2
G3
G4
(a) Identifique os grafos eulerianos, os atravess´aveis e os que n˜ao s˜ao nem uma coisa nem outra. (b) Construa um atalho euleriano fechado nos grafos eulerianos.
(c) Construa um atalho euleriano aberto nos grafos atravess´aveis.
3. Aplique o algoritmo de Fleury para encontrar atalhos eulerianos nos seguintes grafos:
4. Dˆe um exemplo de um grafo de ordem 10 que seja (a) hamiltoniano; (b) n˜ao hamiltoniano.
5. Aplique o algoritmo que estudou para encontrar, caso existam, ciclos hamiltonianos nos seguintes grafos:
G1 G2 G3
G4
6. Aplique o algoritmo que estudou para encontrar, caso existam, ciclos hamiltonianos nos seguintes grafos:
7. Aplique o algoritmo que estudou para encontrar, caso existam, ciclos hamiltonianos otimais para o caixeiro-viajante nos seguintes grafos:
8. Ser´a que todo o grafo euleriano ´e hamiltoniano? 9. Ser´a que todo o grafo hamiltoniano ´e euleriano?
10. Responda `as seguintes perguntas para cada um dos dois grafos apresentados. ´E poss´ıvel colocar uma caneta em algum dos v´ertices e, depois de percorrer cada uma das arestas uma e uma s´o vez sem retirar a caneta do papel, voltar a esse v´ertice? E se o v´ertice inicial for diferente do final? Em caso afirmativo, explique como.
11. Considere a seguinte planta de uma casa:
Ser´a poss´ıvel, partindo de alguma das divis˜oes da casa, passar por todas as portas, e uma ´unica vez por cada uma, e terminar na mesma divis˜ao? E se se puder terminar numa divis˜ao diferente, ou fora da casa? Em caso afirmativo, explique como fazˆe-lo.
12. (Bonnie Averbach e Orin Chein) E. Sterner de Filad´elfia, Pensilvˆania, pensa em realizar um p´eriplo pela parte dos Estados Unidos indicada no mapa apresentado. Pretende voar para Omaha, no Nebrasca, para a´ı iniciar a viagem. A viagem ser´a feita de carro, ao longo de um percurso que atravessa a fronteira entre cada dois estados uma e uma s´o vez, e visita todos os estados. Fa¸ca um plano de viagem.
13. Considere de novo o mapa apresentado no Exerc´ıcio 12. Fa¸ca um novo plano de viagem, as-sumindo agora que se pretende que a partida e a chegada sejam num mesmo estado, e se quer visitar cada estado uma e uma s´o vez.
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Conectividade
1. Usando o algoritmo de Kruskal obtenha uma ´arvore de cobertura de custo m´ınimo para cada uma das redes seguintes.
R1
R2
R3 R4
2. Relativamente `a rede seguinte responda `as seguintes quest˜oes:
(a) tomando I como v´ertice inicial obtenha a ´arvore de Dijkstra correspondente; (b) repita o procedimento, agora tomando V como v´ertice inicial;
(d) recorra ao algoritmo de Dijkstra para encontrar o ciclo de menor custo que inclui a aresta T U;
(e) repita o exerc´ıcio anteror relativamente `a aresta V X; (f) repita o exerc´ıcio anteror relativamente `a aresta U X. 3. Para cada uma das redes seguintes
R1 R2
use o algoritmo de Dijsktra para calcular uma trajet´oria m´ınima
(a) fIA; (b) gY W; (c) gT R.
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Fluxos em redes
1. Considere a rede-s-t capacitada seguinte:
Sejam V o conjunto dos v´ertices da rede e f : V × V → N e g : V × V → N dadas por • f (D, t) = 8, f (s, C) = 6, f (C, B) = 5, f (s, A) = f (A, B) = 4, f (C, D) = 2
e f (B, t) = f (C, t) = f (B, D) = 1
• g(s, C) = 4, g(D, t) = 3, g(C, t) = g(C, D) = 2, g(s, A) = g(A, B) = g(B, D) = 1 e g(C, B) = g(B, t) = 0.
(a) As fun¸c˜oes f e g s˜ao fluxos nesta rede? Em caso afirmativo indique o respetivo valor. (b) ´E poss´ıvel definir um fluxo nesta rede com valor 8? E com valor 10?
2. Considere a rede-s-t capacitada seguinte:
(a) Sendo V o conjunto dos v´ertices da rede e f : V × V → N o fluxo dado por
f(s, A) = f (s, C) = f (C, A) = f (B, C) = f (C, D) = f (B, t) = f (D, t) = 4, f (A, B) = 8 e f(D, B) = 0
i. indique uma trajet´oria ou quasi-trajet´oria de incremento de f e respetiva frouxid˜ao; ii. calcule o fluxo que resulta de incrementar f com a frouxid˜ao da trajet´oria ou
quasi-trajet´oria indicada na al´ınea anterior;
iii. sem calcular o valor do fluxo m´aximo, diga se o fluxo obtido na al´ınea anterior ´e um fluxo m´aximo.
(b) ´E poss´ıvel definir um fluxo nesta rede com valor 20? E com valor 24? 3. Considere a rede-s-t capacitada seguinte:
Defina um fluxo f de valor 12. Repita a al´ınea (a) do exerc´ıcio anterior para esta rede e o fluxo f definido.
4. Construa um fluxo m´aximo para cada uma das redes-s-t capacitadas seguintes:
R1 R2
R3 R4
R5 R6
