Universidade Federal de Minas Gerais. Física Computacional

FIS045

Métodos Computacionais em física

Cap 6: Equações diferenciais

Prof. Gustavo Guerrero (sala 4120)

e-mail para enviar as listas de exercicios:

s045.ufmg@gmail.com

Universidade Federal de Minas Gerais

2017

Introdução

Equações diferenciais são ubicuas na ciência e são as ferramentas pelas quais tentamos expresar as leis de movimento da natureza.

Nesse capitulo vamos revisar os métodos mais usados na resolução de equações e sistemas de equações diferenciais ordinarias ODE. Vamos estudar varias aplicações físicas desses métodos: o lançamento do projetil, de uma particula carregada, o pendulo clásico e a estrutura de estrelas (incluindo estrelas de neutrons.

EDO

A ordem de uma EDO se refer a ordem da derivda no lado esquerdo da equação, e.g.,

dy

dt = f (t, y )

é uma equação de primeira ordem com f sendo uma função arbitraria. Uma equação de segunda ordem é:

d2y dt2 = f (t,

dy dt, y ), cujo exemplo clásico é a segunda lei de Newton:

md

2_x

dt2 = −kx .

Em muitos casos é possível escrever uma equação de segunda ordem como duas EDO de primeira ordem, e.x., para a equação acima:

mdv

dt = −kx , dx dt = v .

Já que varias equações podem ser resolvidas simulataneamente, é comum utilizar criar um vetor y para denir tais variáveis. Por exemplo

x (t) = y(1)(t) , v (t) = y(2)(t) y(1)_(t) dt = y (_{2)(t) ,} y(2)(t) dt = − k my (_{1)(t) .}

Para que o sistema de equações seja bem determinado, precisamos, para o exemplo anterior, conhecer as condiçoes iniciais y(1)_{(0) e y}(2)_(0).

Quando as equaçoes não evoluem no tempo mas queremos determinar a distribuição no espaço de uma determinada quantidade, precisamos condiçoes de contorno.

Métodos de diferenças nitas

y₀= y (t = t₀)

Estamos interessados em resolver uma EDO no intervalo [a, b], usando N pasos temporais. Denimos nosso intervalo: h = b−a

Podemos evaluar o valor seguinte da função y em: y₁= y (t₁= t₀+ h) ,

e assim sucesivamente. Se a função é suave podemos usar um valor de h constante. Caso contrario podemos adaptar h em diferentes regioes do dominio [a, b]. Para o caso de h xo:

yi +1= y (t = ti+ h) = y (ti) + h∆(ti, yi(ti)) + O(hp+1) ,

onde O(hp+1_{)representa o erro de truncamento. Para determinar ∆,}

expandimos a função y em serie de Taylor:

∆(ti, yi(ti)) = (y0(ti) + ... + y(p)(ti)

hp+1

p! ) . Denindo: y0_(t

i) = f (ti, yi), e truncando ∆ na primeira derivada, temos:

yi +1= yi+ h f (ti, yi) + O(h2) ,

Que com ti +₁= ti+ h, forma o algoritmo conhecido como método de

Euler. A cada paso temos um erro de truncamento de ordem O(h2_),

levando a um erro global de NO(h2_{) ' O(h). Aumentar N}

arbitrariamente pode ajudar más podemos entrar em problemas de roundo.

Se incluimos a segunda derivada no calculo de ∆ temos: ∆(ti, yi(ti)) = f (ti) + h 2 df (ti, yi) dt + O(h 3₎

a segunda derivada pode se escrever como: y00= f0= df dt = ∂f ∂t + ∂f ∂y ∂y ∂y = ∂f ∂t + ∂f ∂yf o que leva a yi +₁= yi+ hf (ti) + h2 2  ∂f ∂t + ∂f ∂yf  + O(h3) , com um erro local de O(h3_{)e um erro global de O(h}2_{). Podemos}

aprimorar o método tomando a derivada até uma ordem arbitraria, mas calcular numericamente derivadas de alta ordem não é recomendável.

Métodos Runge-Kutta

Os métodos Runge-Kutta também são baseados em expansões de Taylor, não entanto levam a melhores algoritmos para a solução de EDOs. A losofía básica desses métodos é o calculo de um paso intermediario no cálculo de yi +₁. Consideremos as denições seguintes:

,

Consideremos inicialmente o método de segunda ordem: RK2.

Expandimos f (t, y) arredor do centro do intervalo de integração [ti, ti +1],

ou seja, em ti +1/2= ti +h/2. Usando a formula da integral no ponto

médio, y(ti+ h/2) temos:

portanto,

No entanto, o valor de yi +1/2ainda é desconhecido. Usamos o método

de Euler para aproximar yi +1/2, o que leva a:

O método mais usado é o método deRunge-Kutta de 4a ordem, RK4. Começamos novamente com a equação:

Mas nao calculamos a integral calculando o ponto médio mas a formula de Simpson:

Substituindo temos:

De onde yi +_1/2e yi +1são ainda desconhecidos. Podemos dividir a seguir

a avaliação do ponto médio em dois passos:

Algoritmo RK4:

I Computamos primeiro: k₁= hf (ti, yi)(parando aqui teriamos o

metodo de Euler)

I calculamos a inclinação no ponto médio usando o método de Euler:

k₂= hf (ti+ h/2, yi+ k1/2).

I A inclinação corrigida é usada para calcular a inclinação de y_{i +1/2}

calculando

k₃= hf (ti+ h/2, yi+ k2/2).

I Com a última inclinação podemos preveer o valar de yi +₁ usando

k₄= hf (ti+ h, yi+ k₃).

A última conta é

yi +1= yi+

1

Lançamento do projetil

Vamos estudar numericamente o movimento parabólico de um

projetil. Inicialmente sem os efeitos das forças inerciais (de Coriolis,

especialmente). Asumimos que a escala do movimento é menor que

a curvatura da terra, assim, podemos considerar um sistema plano.

Vamos considerar que z aponta na direção vertical (perpendicular à

terra), y aponta para o este e x aponta para o sul. Em esse

sistema, teriamos

ω = (−ω

cos λ, 0, ωsinλ)

v = (v

, v

, v

)

Onde, v

=

5000 km/h, λ é a latitude de lançamento e o projetil e

lançado com um angulo α. E nossas equaçoes de movimento

seriam:

d

x

dt

=

0 ,

d

y

dt

=

0 ,

d

z

dt

= −g

Movimento de uma particula carregada

Vamos estudar numericamente o movimento helicoidal de uma

particula carregada. A equação de movimento é

m

a = qE + qv × B

Consideramos inicialmente E = 0, e um campo na direção vertical

B

=

3. Similarmente consideramos um vetor velocidade inicial

v = (0, 1, 1)

Método de Runge-Kutta adaptativo

Métodos adaptativos são usados quando a função varia suavemente em algumas regiões, mas rápidamente em outras. Normalmente esses métodos combinan algoritmos Runge-Kutta de ordens diferentes. Por exemplo, assuma que a solução exata é ˜y, usamos um RK de ordem M. Fazemos uma simulação com h (com solução y1) e outra com h/2 (com

solução y2).

A solução do caso (1) é ˜

y = y₁+ ChM+1+ O(hM+2), onde C é uma constante, e para o caso (2)

˜

y = y₂+2C(h/2)M+1+ O(hM+2), A diferença entre as duas soluções é:

|y₁− y₂| = ChM+₁  1 − 1 2M  , logo C = |y1− y2| (1 − 2M_)hM+₁.

Reescrevendo a solução exata em termos de uma quantidade E: ˜

y = y₂+ E + O(hM+2), onde, E = |y1− y2| 2M₋₁ .

Se usarmos um RK de quarta ordem temos: ˜

y = y₂+ E + O(h6), com, E =|y1− y2| 15 .

O método com h/2 resulta sendo uma ordem de grandeça mais preciso que o RK4, porem é ineciente e requer muitos cálculos. Podemos comparar E alguma precisão desejada, e.x., ζ = 10−8 _{e nos perguntar:}

Para um dado yi e ti qual é maior ˜h que leva a um erro menor que ζ?, i.e.,

C ˜h ≤ ζ

O que leva a: ˜_h h !M+1 |y₁− y₂| 1 − 2−M ≤ ζ, ou˜h = h  ζ E 1/M+1

Usando essa equação podemos criar um algoritmo da seguinte forma:

I Se as duas soluções y₁e y₂são proximas, mantenha o valor de h. I Se E > ζ, precisamos diminuir o valor de h no passo seguinte. I Se E < ζ, precisamos aumentar o valor de h no passo seguinte.

Implementar tal algoritmo requer um grande numero de calculos. Não entanto é possível diminur os calculos combinando RK de diferentes ordens.

O métodoRunge-Kutta-Fehlberg (RKF45) combina RK de 4a e 5a ordem. Evalua a função f (a inclinação) de tal forma que as funções k0_s

O método requer avaliar 6 valores:

As aproximações de 4a e 5a ordem são dadas por:

E o passo ótimo, αh é determinado por: α =

 _ζh

2|zk+1− yk+1|

1/4 .

Onde ζ a precisão desejada. Mais detalhes dobre o método podem ser encontrados em: J. Butcher, Numerical Methods for Ordinary Dierential equations (Wiley, 2008).

Método preditor-corretor (PC)

É um método apropriado para problemas que requerem alta precisão de funções suaves e com equações complicadas no lado direito da equação. Contrario aos métodos de RK que usam unicamente o passo anterior, yn,

para calcular o passo seguinte, yn+₁, os métodos PC, usam passos

anteriores: yn−₂, yn−₁, junto com yn, para calcular yn+₁.

O PC mais polular é o esquema deAdams-Bashforth-Moulton, que possui boas propriedades de estabilidade. A parte Adams-Bashforth, em um esquema de ordem 3, é o predictor:

Que faz uma previsão de yn+₁, baseado em inclinações em yn−₁, yn−₂e

yn. A parte Adams-Moulton é o corretor:

Utiliza a y0

n+1 para corrigir o valor de yn+₁.

QBO's, um oscilador forçado

As QBO's são um fenômeno atmosférico caracterizado pela aparição de ventos na região tropical. O interessante é que esses ventos mudam de direção de este para leste a cada dois anos. O padrão é tão preciso que as QBO's são chamadas o heartbeat of earth. Até que em 2016 ...

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Exercícios

1. Considere novamente o problema do tiro parabólico. Inclua no modelo duas novas forças: (a) a força de Coriolis FC =2m(v × ω),

e (b) uma força de atrito da forma Ff == −km|v |n_{|v |}v , (c) as duas

forças operando conjuntamente. Note que a força de atrito não é uma força básica da natureza, mas um modelo simples de um fenômeno complexo. A equação acima é uma possível forma de estudar esse fenômeno que considera que o atrito depende da velocidade a uma potencia n. O fator −v/|v| corresponde ao fato do atrito ser sempre oposto ao movimento. Experimentos mostram que n = n(v), o qual deveria ser considerado em um modelo mais preciso. No seu modelo experimente com n = 1 e n = 2. Note que no seu sistema agora terá que resolver 6 equações.

2. Faça uma animação 3D de seus resultados, usando Python o Gnuplot, tanto para os casos que consideram unicamente a força de Coriolis quanto para os que consideram Coriolis e atrito. Considere que o foguete sai em direção sul, a uma latitude de 30o _{e com uma}