Coordenadas Polares. Exemplos: Representar em um sistema de coordenadas polares, os seguintes pontos: d) P 4,

Coordenadas Polares

Existem vários sistemas de coordenadas que mostram a posição de um ponto em um plano. O sistema de coordenadas polares é um deles.

No sistema cartesiano, as coordenadas são números chamados de abscissa e ordenada, que são medidas das distâncias orientadas a dois eixos fixos. No sistema polar, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semirreta fixa.

O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r, ), em que |r| representa a distância entre a origem e o ponto P e  representa a medida, em radianos, do ângulo orientado AÔP. Quando AÔP for descrito no sentido anti-horário,  > 0, caso contrário,  < 0.

Exemplos:

Representar em um sistema de coordenadas polares, os seguintes pontos:

a) 2, 4 P_  _   b) 2, 4 P_  _   c) 4, 3 P_  _   d) 4, 3 P_ _  

O ponto P pode ter um número ilimitado de pares de coordenadas polares, pois podemos representar esse ponto da forma:

(P, +2k), kZ

Relação entre o sistema de coordenadas cartesianas retangulares e o sistema de coordenadas polares

Para nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual  = /2 com o eixo positivo dos y.

Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, ), distinguimos dois casos:

r > 0 r < 0 Portanto:  r > 0: cos x r  e sen y r   r < 0: cos x r   e y sen r   

Desta forma, temos:

Utilizando estas equações, podemos deduzir uma relação muito usada:

x2 = r2cos2

y2 = r2cos2

 x2 + y2 = r2(cos2 + sen2)  r2 = x2 + y2  r  x2 y2 Portanto,

Exemplos:

a) Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são

7 4, 6  _     

b) Encontrar (r, ) supondo r < 0 e 0    2 para o ponto P, cujas coordenadas cartesianas são





x = r cos  y = r sen 

Representação gráfica

O gráfico de F(r,) = 0 é formado por todos os pontos cujas coordenadas polares satisfazem a equação. Geralmente, a equação em sua forma explícita é dada por r = f ().

Os seguintes procedimentos podem auxiliar no esboço do gráfico:  Calcular os pontos de máximo ou de mínimo;

 Encontrar os valores de  para os quais a curva passa pelo pólo;  Verificar simetrias:

 Se a equação não se altera quando substituímos r por –r, existe simetria em relação à origem;

 Se equação não se altera quando substituímos  por –, existe simetria em relação ao eixo polar (ou eixo dos x);

 Se equação não se altera quando substituímos  por ( – ), existe simetria em relação ao eixo  = /2 (eixo dos y).

Exemplo:

A curva r = 2(1 – cos ) é dada por:

Equações de reta

a)  = 0 ou  = 0 + n, n  Z: reta que passa pelo polo e faz um ângulo de 0 ou 0 + n

radianos com o eixo polar.

Circunferências

a) r = c, c : circunferência centrada no polo e raio |c|

b) r = 2a cos: circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo  = /2:  se a > 0, o gráfico está a direita do polo;

 se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo.

[r = 2a cos  a>0] [r = 2a cos  a<0]

c) r = 2b sen: circunferência de centro no eixo /2 e que tangencia o eixo polar.  se b > 0, o gráfico está acima do polo;

 se b < 0, o gráfico está abaixo do polo.

Exemplo:

Limaçons: São equações do tipo: r = a  b cos ou r = a  b sen , a, b   Se b > a , o gráfico tem um laço.

 Se a = b, então o gráfico é conhecido como cardeoide.

 Se b < a, o gráfico não tem um laço

Exemplo:

Lemniscata: São equações do tipo: r2 = ± a2 cos 2 ou r2 = ± a2 sen 2, a 

Rosáceas: São equações do tipo: r = a cos n ou r = a sen n, a e nN  Se n é par, temos uma rosácea de 2n pétalas

 Se n é ímpar, temos uma rosácea de n pétalas

Exemplo:

Espirais  Espirais hiperbólicas (a > 0) r = a (>0) r = a (<0)  Espirais parabólicas  Espiral de Arquimedes (a > 0)  Espiral de logarítmica

Comprimento de arco de uma curva dada em coordenadas polares Seja C uma curva dada pela equação polar r = f (). Utilizando as equações

x = r cos  y = r sen 

temos que

x = f() cos 

y = f() sen 

que podem ser consideradas equações paramétricas da curva C, para [0,1]. Derivando

essas equações, temos:

`( ) cos ( ) sen dx f f d      `( ) sen ( ) cos dy f f d     

Elevando ambos os lados das equações ao quadrado e somando, temos:

2 2

2 2

( `( ) cos ( ) sen ) ( `( ) sen ( ) cos )

dx dy f f f f d





















`( ) cos 2 `( ) ( ) cos sen ( ) sen `( ) sen 2 `( ) ( ) sen cos ( ) cos

f f f f f f f f                        2 2 2 2 2 2

`( ) cos sen ( ) cos sen

f     f      _  _ _  _ 2 2 `( ) ( ) f  f   

Substituindo este resultado na fórmula do comprimento de arco de uma curva dado por suas equações paramétricas, temos que o comprimento de arco de uma curva dado em coordenadas polares é dado por:

𝒔 = 𝒇′(𝜽)𝟐_{+ 𝒇(𝜽)}𝟐 _𝒅𝜽 𝜽𝟏

Exemplos

a) Calcular o comprimento de arco da cardioide r = 1 + cos.

b) Determine o comprimento da espiral r = e,  [0, 2].

Área de figuras planas em coordenadas polares

Seja f uma função contínua e não negativa no intervalo fechado [α,β]. Seja R a região limitada pela curva cuja equação é r = f () e pelas retas  = α e  = β

Considere uma partição P de [α,β] definida por:

α = 0 < 1 < 2 < ... < i-1 < i < ... < n = β

Para cada [i-1, i], i = 1, ..., n, consideramos um setor circular de raio f(ρi), e um

ângulo central i, em que i-1 < ρi < i e i = i - i-1

Desta forma, a área do i-ésimo setor circular é dada por:





1

( ) 2 f i i

Como há um desses setores circulares para cada um dos n subintervalos, temos uma área aproximada igual a An, sendo:













A medida em que n cresce, cada i, i = 1, ..., n, torna-se pequeno e An aproxima-se

da área da região delimitada por  = α,  = β e r = f (). Portanto







Pela definição de integral temos que:

Exemplos:

a) Encontre a área da região delimitada pela cardioide r = 2+2 cos.

b) Encontre a área da região R interior à cardioide r = 2+2 cos() e exterior ao círculo r = 3.