Capítulo – II
MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS
GENERALIZADOS SEM IRREGULARIDADES
SUMÁRIO
MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS GENERALIZADOS SEM
IRREGULARIDADES ... 1
MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS GENERALIZADOS SEM IRREGULARIDADES ... 3
2. 1 – Objetivos do Capítulo ... 3
2. 2 – Introdução... 4
2. 3 – As Leis de Newton para o Meio Discreto (Partículas e Sistema de Partículas)... 5
2.3.1 - 1ª Lei de Newton ... 5
2.3.2 - 2ª Lei de Newton ... 5
2.3.3 - 3ª Lei de Newton ... 6
2. 4 – A Hipótese do Contínuo... 7
2. 5 – Transformação do Discreto para o Contínuo ... 10
i) Massa (Lei de Conservação da Massa) ... 12
ii) Momento Linear (1ª Lei de Newton para o Meio Contínuo)... 12
iii) Força (2ª Lei de Newton para o Meio Contínuo)... 12
iv) Forças de Ação e Reação (3ª Lei de Newton para o Meio Contínuo)... 12
2. 6 – Grandezas, Densidades ou Potenciais Generalizados ... 13
2.6.1 - Densidades ou Potenciais Generalizados (em termos da Geometria Euclidiana) 15 2.6.2 – Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Escalar: O Calor... 16
2.6.3 – Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Vetorial: A Deformação Elástica... 17
2.6.4 – Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Vetorial: A Massa Fluida ... 18
2. 7 – Taxas Generalizadas (em termos da Geometria Euclidiana)... 19
2.8.1 – Fluxo Generalizado de Massa... 23
2. 9 – Equações Diferenciais e Integrais Básicas da Mecânica dos Meios Contínuos ... 26
2.9.1 – Teorema de Gauss e Teorema do Transporte de Reynolds para o Fluxo de uma Grandeza GX... 26
2.9.2 – Teorema da Divergência... 29
2.9.2 – O Teorema da Divergência a partir da Derivada Material de uma Grandeza ... 30
2.9.3 - O Teorema da Divergência Generalizado ... 31
2.9.4 - O Divergente e os Teoremas Correlatos ... 32
2. 10 – Leis Fundamentais Básicas da Mecânica dos Meios Contínuos... 35
2.10.1 – Equação da Continuidade para o Potencial Generalizado... 35
2.10.2 - Equação da Continuidade e Conservação da Massa... 37
2. 11 – Equação do Movimento Generalizada para a Mecânica dos Meios Contínuos ... 39
2.11.1 – Equações da Quantidade de Movimento... 39
2. 12 –Equação Constitutivas dos Potenciais Generalizados em termos da Geometria Euclidiana ... 47
2.12.1 – Fenomenologias da Mecânica do Contínuo descritas no Espaço Euclidiano ... 47
2.12.2 – O Fluxo de Generalizado, JX, através de uma Superfície... 48
2. 13 – A Equação de Distribuição do Potencial Escalar Generalizado e a Densidade Volumétrica Associada... 52
2.13.1 – Equação do Potencial Generalizado em termos da Geometria Euclidiana ... 52
2.13.2 - Equação Constitutiva para o Fluxo do Potencial Escalar (Fluxo de Calor nos Sólidos – Lei de Fourier)... 54
2.13.3 - Equação de Distribuição do Potencial Escalar Generalizado para a Teoria do Calor ... 55
2. 14 – Exercicicos e Problemas... 58
Capítulo – II
MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS
GENERALIZADOS SEM IRREGULARIDADES
RESUMO
Neste capítulo será visto a fundamentação matemática básica da teoria do campo escalar, vetorial e tensorial em um meio material regular, onde desenvolvemos o cálculo analítico das equações dos fluxos em termos dos volumes, das superfícies e dos contornos sem a presença da irregularidades no contorno e da porosidade no domínio geométrico do problema.
2. 1 – Objetivos do Capítulo
i) Apresentar a transição da Mecânica de Newton do Discreto para a Mecânica do Contínuo. ii) Estabelecer a conexão entre o Meio Discreto e o Contínuo.
iii) Estabelecer as transformações das equações do meio discreto para o contínuo
iv) Descrever a Mecânica do Continuo Clássica apresentando os conceitos e os teoremas fundamentais, as principais equações diferenciais e integrais básicas de potencial, fluxo e continuidade.
v) Obter a partir das leis de Newton da Mecânica a Equação de Movimento de um Meio
Contínuo sem irregularidades.
vi) Fundamentar os resultados desta teoria para se fazer uma ampliação dos conceitos utilizados neste capítulo com a presença de porosidade do volume e rugosidade das
2. 2 – Introdução
Embora os primórdios de um estudo da mecânica dos corpos e das partículas datam desde a Grécia antiga com os trabalhos de Aristóteles, uma descrição consistente de uma equação de movimento para partículas e corpos sólidos iniciou-se com os trabalhos de Galileu, seguido por Newton, seguido por Leibnitz e Lê Chatelier. Após inúmeros desenvolvimentos matemáticos que levaram em conta o sistema de coordenadas utilizados na descrição de um movimento, D’Alambert, Euler e Lagrange também obtiveram as mesma equações de Newton, na sua forma generalizada, utilizando princípios variacionais. Estas
equações passaram a se chamar de equações de Euler-Lagrange. O desenvolvimento matemático realizado até então, demonstrou que determinados princípios gerais estão subtendidos no movimento de corpos e partículas, entre eles o princípio da mínima ação. Gibbs e Onsager estenderam as generalizações da mecânica de Euler-Lagrange para leis de fluxos na termodinâmica de processo irreversíveis incluindo a formulação do contínuo.
A transição da Mecânica Clássica para a Mecânica do Contínuo se deu graças ao estudo dos corpos deformáveis onde se aplicou os princípios utilizados na Mecânica das Partículas Discretas extendo-as para o Campo Contínuo. Uma generalização análoga as equações de Euler-Lagrange foi feita por Elsheby na qual o tensor de Elsheby-Rice foi pela
primeira vez obtido.
Para se iniciar uma descrição matemática do problema do movimento de uma partícula, pode-se optar pela linha histórica ou cronológica dos desenvolvimentos que se seguiram desde Aristóteles até a idade moderna com Laplace, Poincaré, Lorenz, etc, ou optar pela linha de descrição conceitual que se inicia com o conceito de momento linear, energia, ação, etc. Contudo, o surgimento desses conceitos mais fundamentais como o de ação, momento linear, energia, e de lagrangeano só apareceram muito tempo depois do
desenvolvimento inicial dado por Newton. Desta forma, tanto a linha histórica e cronológica do desenvolvimento da mecânica parecem ter suas vantagens e desvantagens. Portanto, vamos
procurar mesclar as duas linhas de descrição de forma a se obter uma ascendência linear no desenvolvimento do raciocínio lógico que deu origem a mecânica.
2. 3 – As Leis de Newton para o Meio Discreto (Partículas e
Sistema de Partículas)
Vamos iniciar esta secção apresentando a descrição do movimento de uma
partícula a partir da postulação das três Leis de Newton, mas sem fazer quaisquer considerações sobre a sua origem matemática ou histórica.
Em resumo as três leis de Newton se baseiam na conservação das grandezas: massa, momento e energia e podem ser formalizadas nas seguintes expressões matemáticas para o caso do movimento discreto de um sistema de partículas ou do centro de massa de um corpo rígido, conforme mostra a Figura - 2. 1.
2.3.1 - 1ª Lei de Newton
A primeira lei está relacionada com o estado de movimento (massa e velocidade) e estabelece um princípio de inércia a partir do qual “nenhum corpo inicia ou cessa seu estado
de movimento sem que sobre ele atue uma força”. Observe que para enunciar este principio
recorreu-se ao conceito de estado de movimento, o qual pode ser representado pela seguinte expressão:
pmv (2. 1)
Nesta equação (2. 1) a letra p representa o momento linear da partícula, e m a massa e v a sua velocidade. Também devemos observar que o princípio da inércia admite também a existência de um outro conceito, o de força, cuja relação com o momento linear é dado pela chamada 2ª lei de Newton:
2.3.2 - 2ª Lei de Newton
A segunda lei proposta por Newton está relacionada a conservação do momento linear e essa proposição feita por Newton estabelece-se que a força resultante que atua sobre um determinado corpo ou partícula possui um valor dado pela derivada temporal do momento linear resultante do sistema, de acordo com a seguinte expressão:
dp F dt (2. 2)
conceitos anteriormente estabelecidos.
2.3.3 - 3ª Lei de Newton
A terceira está relacionada a conservação da quantidade de movimento e esta última proposição considera-se que as forças atuantes sobre os corpos possuem sua origem nos campos (como o campo gravitacional, elétrico, magnético, etc) e nos contatos entre superfícies (forças de pressão, choques ou colisões, etc). Neste sentido a complementaridade das forças que atuam a partir de um mesma linha de ação, segue o seguinte postulado:
Quando corpos são submetidos a forças, estas possuem ação e reação iguais e opostas e de mesma intensidade que não se anulam entre-si, porque atuam em corpos diferentes, ou seja:
ação reação
F F (2. 3)
Esta proposição também está relacionada com a interação entre corpos que pode se dar por
campo ou por contatos. Esta distinção ficará mais clara e útil no contexto da mecânica do contínuo quando se utilizar o Princípio de Pascal.
Neste ponto é preciso ressaltar a diferença da natureza desses dois tipos de interação que dão origem as forças de campo e de superfície (geradas pelo contato, pressão, colisão, etc). Portanto, para uma descrição mais acurada do movimento de um corpo ou partícula, deve-se distinguir na equação (2. 2) a natureza das força de campo e de superfícies da seguinte forma:
dt
p
d
F
F
c s
(2. 4)Esta distinção ficará mais clara e útil no contexto da mecânica do contínuo quando se utilizar o Princípio de Pascal.
A aplicação das leis de Newton ganhou grande abrangência na física e na
engenharia pela sua capacidade de explicar uma variedade enorme de fenômenos mecânicos que vão desde o movimento de partículas, corpos celestes até sólidos e fluidos. Neste último contexto essas leis obtiveram uma nova roupagem matemática que se iniciou com a hipótese do contínuo.
Figura - 2. 1. Movimento descrito pelas Leis de Newton para o caso discreto a) um sistema de partículas; b) o centro de massa de um corpo rígido .
A hipótese do contínuo assume que os materiais, sólidos e fluidos (que podem ser líquidos ou gases), são distribuídos continuamente pela região de interesse do espaço, isto é, tanto um quanto o outro, no caso sólido ou fluido, por exemplo, são tratados como um meio
contínuo sem recorrer a uma descrição atomística discreta.
Consideremos um material sólido formado por átomos como um metal, por exemplo. O espaço percorrido por um elétron entre duas colisões consecutivas com o núcleo dos átomos é chamado de caminho livre médio, l, (Figura - 2. 2).
Figura - 2. 2. Caminho livre médio, l, entre duas colisões consecutivas de um elétron com os núcleos de um sólido atômico.
Consideremos o caso onde o caminho livre médio, l, é da mesma ordem de
grandeza do volume de controle, L, isto é, L l. Neste caso, os fenômenos físicos existentes
não fazem parte do âmbito da Mecânica do Contínuo (1) e sim da Mecânica Estatística.
Contudo, se o caminho livre médio(2), l, entre duas colisões consecutivas for muito menor do que a extensão física do volume de controle considerado, L, ou seja, quando L >>
l, a ciência capaz de tratar os fenômenos envolvidos neste volume de observação é a Mecânica
do Contínuo. Por exemplo, para os gases, o caminho livre médio é aproximadamente 10-7mm.
Logo, qualquer volume de controle da ordem de milímetros está dentro do intervalo de conceituação dada pela Mecânica do Contínuo. Portanto, a propriedade usada para determinar
se a idéia de contínuo é apropriada, ou não, é a massa específica, ou densidade, , definida por:
1
Teoria do Calor, Mecânica dos Sólidos ou Fluidos
2
alguns livros trazem os termos “livre caminho médio”, “caminho médio livre de colisões”, que são todo equivalentes
V
m
V
lim
0
(2. 5)Onde, m, é a massa incremental contida no volume, incremental, V . Isto significa que a densidade do sólido contido neste volume sofre flutuações desprezíveis para a descrição matemática da Mecânica do Contínuo de tal forma que esta pode ser calculada pela equação (2. 5).
Figura - 2. 3. Hipótese do contínuo para o limite infinitesimal do volume de controle de um fluido. a) Medida da densidade em um ponto. b) Variação desta medida com o volume considerado.
Fisicamente não se pode fazer V , já que, quando 0 fica extremamente V
pequeno a massa contida nele varia descontinuamente de pendendo do número de átomos em
V
. Na prática, existe um volume pequeno abaixo do qual a idéia de contínuo falha, como pode-se ver na Figura - 2. 3, pois abaixo desse volume, , tem-se um valor no qual as distâncias lineares são da ordem do livre caminho percorrido pelas moléculas. Sendo assim, a hipótese do contínuo é válida quando tem-se, Ll, ou seja, a distância linear (L) é maior que o livre caminho médio ( l ) como já foi dito anteriormente, e não é válida para L . l
Conforme o gráfico da Figura - 2. 3, a partir do ponto A entramos na região de
domínio da Mecânica do Contínuo, onde não depende mais da escala de observação do volume de controle, ou seja, esta é a condição de continuidade da matéria. Nesta figura
mostra-se como uma medida é aceitável dentro da hipótese do contínuo. Termodinamicamente falando este volume equivale àquele que contém um mínimo de 1015 partículas, pois coincide com o limite termodinâmico, veja por exemplo, a representação mostrada na Figura - 2. 3a.
tamanho do próprio sistema que está sendo analisado, pois se analisarmos uma grandeza com dimensões maiores que o tamanho do sistema este se torna insignificante. Por exemplo, assumindo-se um rio como um sistema fluido, se for tomado um volume suficientemente
pequeno, abaixo de , teremos L l e assim, a hipótese do contínuo não é válida. Porém, se
tomarmos um volume muito grande para analisar o sistema fluido rio, como o planeta terra, por exemplo, como se estivéssemos sobrevoando-o em um avião a grande altitude, observando a terra, o rio será considerado e visto como uma linha e não como um fluido em movimento.
A transformação da descrição matemática da Mecânica das Partículas para a Mecânica do Contínuo, se dá quase que naturalmente com o surgimento do conceito de “densidade generalizada” ou grandeza específica. Esse conceito é dado pela quantidade de
uma determinada grandeza contida em um volume infinitesimal do contínuo, ou seja, para o caso de um meio onde vale a hipótese do contínuo, precisamos transformar as grandezas de partículas discretas em densidades que serão, nada mais nada menos, que suas respectivas grandezas por unidade de volume.
A transição da forma matemática das leis de Newton do caso discreto para o contínuo é feito por meio das seguintes transformações matemáticas, de massa, momento linear, força, etc:
: p F X m dm dV p dp dV F dF dV X dX dV . (2. 6)
onde utiliza-se as respectivas densidades generalizadas.
: : : : : p F dm m massa dV dp p J momento dV dF F f força dV d outras dV X X X . (2. 7)
De forma análoga a transformação matemática da massa em densidade de massa, a
transformação do momento linear segue o mesmo raciocínio dessa transformação, ou seja, a densidade de momento corresponde a quantidade de momento contida em um volume infinitesimal do contínuo. Por último, a equação de movimento segue das transformações anteriores em que a densidade de forças é dada pela variação temporal da densidade dos momentos lineares.
A escala necessária para que essa transição seja válida é mostrada esquematicamente na Figura - 2. 4.
i) Massa (Lei de Conservação da Massa)
Logo a transformação matemática destas grandezas fica estabelecida como:
dV
dm
m
. (2. 8)onde,
ii) Momento Linear (1ª Lei de Newton para o Meio Contínuo)
De forma análoga a transformação do momento linear segue o mesmo raciocínio da transformação da massa, ou seja, a densidade de momento corresponde a quantidade de momento contida em um volume infinitesimal do contínuo, ou seja:
v
dV
p
d
J
p
m m
. (2. 9)iii) Força (2ª Lei de Newton para o Meio Contínuo)
Por último a equação de movimento segue das transformações anteriores em que a densidade de forças é dada pela variação temporal da densidade dos momentos lineares.
R R dp dF F f dt dV . (2. 10) onde d dp d dp dV dt dt dV . (2. 11) Logo
R d v f dt . (2. 12)iv) Forças de Ação e Reação (3ª Lei de Newton para o Meio Contínuo)
intensidade e sinal oposto a força de reação ( fji), da seguinte forma: ji ij ji ij
F
f
f
F
. (2. 13) ou ação reação f f . (2. 14)Figura - 2. 4. Relação entre tamanho de um corpo continuo com 1023 átomos e uma partícula do continuo no interior do corpo com1015 átomos resultando em uma escala de 1:108 do corpo.
Na secção anterior vimos a definição de várias densidades as quais serão chamadas de densidades generalizadas : : : : densidade de massa J densidade de momento f densidade de força outras densidades X ρ (2. 15)
e podem ser generalizadas da seguinte forma:
Como conseqüência da hipótese do contínuo, nós devemos transformar as grandezas da Mecânica Clássica e da Mecânica dos Sólidos, etc. em densidades generalizadas, fazendo as grandezas originais se tornarem em grandezas por unidade de volume. Desta forma,
uma grandeza Xm p F U etc, , , , qualquer tipo de grandeza (3) que deverá ser transformada na sua respectiva densidade da seguinte forma:
V
X
V X
lim
0
. (2. 16)esta densidade pode ser utilizada para definir uma densidade generalizada. Logo podemos escrever:
d d dm d
dV dm dV dm
X X X X X. (2. 17)
Observe que de forma geral a densidade generalizada depende da densidade de massa do meio e da relação da grandeza X com a massa do elemento de infinitesimal de volume que a contém.
3
Essa grandeza X possui uma natureza geral que podem ser número de partículas, N, massa, m, momento linear,
p
, carga elétrica, q, Força, F , Energia, U, calor, Q, U entropia S, Potencia, P, etc) respectivamente, que podem ser grandezas escalares, vetoriais, tensoriais, como os tensores de tensão , Polarização P , etc. ou seja qualquer outro tipo de grandeza matematizável.2.6.1 - Densidades ou Potenciais Generalizados (em termos da Geometria
Euclidiana)
Para a descrição das grandezas físicas as quais foram historicamente generalizadas no contexto da Mecânica do Continuo e da Termodinâmica, vamos utilizar como base a geometria euclidiana. Dentro desta geometria o sistema de coordenadas adotado será o sistema cartesiano, podendo ser utilizado o sistema de coordenadas curvilíneo que se fizer necessário e adequado à descrições que se seguirem.
Dentro da Mecânica do Contínuo define-se uma densidade generalizada de uma
grandeza
X
, em termos da geometria euclidiana, associada ao meio e a essa grandezaX
, como sendo: o XodV
dX
ρ
. (2. 18)Onde
X
é a densidade generalizada pode ser rescrita como:o o Xo
dV
dM
dM
d
dV
d
X
X
ρ
. (2. 19) logodM
d
Mo XoX
ρ
. (2. 20)onde M é a densidade de massa ou a massa especifica.
O uso de densidades generalizadas ficará claro quando invocarmos a equação da continuidade. Para título de ilustração exemplificaremos o cálculo da densidade generalizada para o fluxo de calor, para o fluxo de deformações elásticas e para o fluxo de massa fluida.
2.6.2 – Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Escalar: O Calor
Definindo a densidade volumétrica de calor em termos da geometria euclidiana
temos: o Qo
dV
dQ
. (2. 21)onde esta densidade generalizada para o calor é dada por:
o o Qo
dV
dm
dm
dQ
dV
dQ
. (2. 22) oudm
dQ
mo Qo
. (2. 23)onde é a densidade de massa ou a massa especifica.
Para calcular o termo que falta, podemos determiná-lo pela definição do calor específico, de onde sabemos que:
T
mc
Q
(2. 24)e m é a massa do corpo c é o calor específico a pressão constante. Logo
T
c
dm
dQ
. (2. 25) Retornando (2. 25) em (2. 23) temos:T
c
mo Q
. (2. 26)Observe que a densidade generalizada do fluxo de calor é uma grandeza escalar e possui dimensão de unidade de energia por unidade de volume.
2.6.3 – Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Vetorial: A
Deformação Elástica
A densidade volumétrica generalizada de energia sob a forma de deformação é dada pela transferência de momento na deformação elástica cuja densidade generalizada termos da geometria euclidiana é pode ser expressa como:
o uo
dV
U
d
. (2. 27) ou o o uodV
dm
dm
U
d
dV
U
d
. (2. 28) oudm
U
d
mo uo
. (2. 29)onde é a densidade de massa ou a massa especifica. Sendo a quantidade de momento linear transmitido pelas deformações dadas por:
dt
u
d
mc
U
(2. 30)e m é a massa da deformação do corpo c é uma constante de acoplamento elástico. Mas a taxa de deformação pode ser escrita como:
dt
u
d
c
dm
U
d
(2. 31)logo, substituindo (2. 31) em (2. 29) temos:
dt
u
d
c
mo uo
. (2. 32)considerando a constante c temos: 1
uo mou
. (2. 33)
sua dimensão é dada em momento linear por unidade de volume.
2.6.4 – Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Vetorial: A Massa
Fluida
Definindo a densidade volumétrica de momento em termos da geometria euclidiana temos: o po
dV
p
d
. (2. 34)onde esta densidade generalizada para fluido.
A densidade de energia sob a forma de taxa de deformação é dada pela transferência de momento na deformação do fluido cuja densidade generalizada é dada por:
po m o o dp dp dm J dV dm dV . (2. 35) ou
dm
p
d
mo po
. (2. 36)onde mo é a densidade de massa ou a massa especifica do fluido.
Para calcular o termo que falta podemos determiná-lo pela definição do momento de uma partícula.
v
m
p
(2. 37)e m é a massa do corpo. Logo
v
dm
p
d
. (2. 38) Retornando (2. 38) em (2. 36) temos:v
m po
. (2. 39)Esta densidade generalizada de momento linear possui caráter vetorial de forma semelhante a densidade volumétrica de força que é uma grandeza de força bem conhecida da Mecânica do Contínuo.
2. 7 – Taxas Generalizadas (em termos da Geometria Euclidiana)
Na natureza algumas grandezas dinâmicas podem ser representadas por meio de taxas e fluxos generalizados. Entre eles está a taxa e o fluxo de massa, o fluxo de calor, o fluxo de momento linear, etc., que atravessa um corpo, por exemplo.
Definimos a taxa de uma determinada grandeza
X
como sendo:d dt
X
X . (2. 40)
a derivada temporal de uma grandeza
X
define uma grandeza chamada de derivada material no contínuo a qual é descrita a seguir:2.7.1 - Conservação de uma Grandeza Generalizada e a sua Derivada Material
A quantificação de uma grandeza, GX, de um meio contínuo deve levar em conta o volume na qual esta grandeza se encontra sob controle. Normalmente ao se deslocar de um
ponto a outro um meio contínuo pode-se sofrer variação de volume, mas a grandeza GX como
um todo pode permanecer constante, se o sistema não for dissipativo. Contudo, em relação a
uma região delimitada do espaço, denominada volume de controle, esta grandeza G pode X
está variando e por isso torna-se necessário equacioná-la de forma a saber quanta dessa
grandeza atravessa (chega e sai) por unidade de tempo, conforme mostra a Figura - 2. 5. Logo,
de uma forma geral, se GX GX
x y z t, , ,
temos: ( , , ) X X X X X dG x y z G x G y G z G dt x t y t z t t (2. 41) ou X X X X X x y z dG G G G G v v v dt x y z t (2. 42) Simplificando temos: . X X X Transpote Local dG G v G dt t (2. 43)denominada, GX. Esta expressão é absolutamente geral para as grandezas GX = Q (calor), q
(carga elétrica), C (concentração), p (momento), etc. e suas respectivas densidades, X, de, calor, carga elétrica, concentração, momento, etc.
Figura - 2. 5. Volume e superfície de controle na qual atravessa uma massa fluida, dm = dV, em um intervalo infinitesimal de tempo, dt, com velocidade, v.
De forma análoga, vamos considerar a derivada material de qualquer grandeza generalizada, denominada, GX, como sendo dada por:
. X X X dG G v G dt t (2. 44)
Definido-se a grandeza GX como sendo da por meio de uma densidade generalizada, X, temos:
X X X V G
ρ dV (2. 45) A equação (2. 43) torna-se: . X X X X X V V d dV v G dV dt t
ρ
ρ (2. 46)Esta expressão é absolutamente geral para as grandezas GX = Q (calor), q (carga
elétrica), C (concentração), p (momento), etc. e suas respectivas densidades, X, de, calor, carga elétrica, concentração, momento, etc.
2. 8 – Fluxos Generalizados (em termos da Geometria Euclidiana)
De forma geral o fluxo de uma grandeza generalizada
X
que atravessa uma área infinitesimal, dAo, em um intervalo infinitesimal de tempo, dt, é definido como:Xo o o d d d dt dA dA X X J . (2. 47)
O sobrescrito “ o ” indica que a geometria considerada é a geometria euclidiana regular.
Esta grandeza,
X
, é de natureza geral e pode ser um escalar (massa M, carga elétrica q, calorQ, energia U entropia S, etc ) ou um vetor (momento p , velocidade
v
, etc.) ou um tensor (tensão
, PolarizaçãoP
, etc.). O sobrescrito “o” indica que a geometria considerada é a geometria euclidiana regular.Seja
J
Xo o fluxo generalizado da grandezaX
que atravessa uma superfície euclidiana sem rugosidade, ondeA
o é a área de projeção euclidiana que o fluxoJ
Xoatravessa. Mantendo-se a relação entre as taxas temporais da grandeza
X
inalterada, a equação (2. 47) pode ser reescrita como:
Xod
A
odt
d
J
X
. (6. 1)Tomando a derivada volumétrica dos dois lados da equação (2. 92) temos:
o Xod
A
dV
d
dt
d
dV
d
J
X
. (6. 2)dependendo da natureza da grandeza
X
temos a seguinte consideração geral a fazer. Pode-se definir de forma absolutamente geral que, o lado direito da equação (2. 93) corresponde a umaoperação sobre o fluxo
J
Xo. Como este fluxo é de natureza tensorial generalizada e ele pode ser também uma grandeza escalar, ou um vetor, vale ressaltar que:
o Xo Xo iA
d
dV
d
x
J
J
(6. 3) ou
S i ijk i ijkdA
n
J
dV
d
x
J
... ... (6. 4)observe que a operação do lado esquerdo de (2. 94) envolve uma somatória (índices repetidos – notação de Einstein) que pode ser representado de forma mais direta pelo operador nabla.
Xo Xod
A
odV
d
J
J
.
(6. 5)A natureza da operação de nabla sobre o campo
J
Xo dependerá da sua natureza tensorial. Pois se este pode ser um escalar (tensor de ordem zero), um vetor (tensor de ordem um) ou um tensor como usualmente conhecemos. Logo, teremos:
(
:
)
)
:
(
Vetor
Tensor
A
d
dV
d
div
Escalar
Vetor
J
A
d
J
dV
d
J
div
o Xo o Xo Xo
Xo Xo XoJ
J
J
. (6. 6)Aqui é importante observar como o Teorema de Gauss pode ser escrito a partir de (2. 92) em termos de volumes, como:
S i ijk V i ijkdA
n
J
dV
x
J
... ... (6. 7) onde i,j,k,...= 1,2,3..Definindo-se o divergente como sendo a seguinte operação matemática aplicada a
grandeza escalar,
X
:
dt
dX
dV
d
J
o Xo
.
. (6. 8)Aqui é importante observar como o teorema da divergência pode ser escrito a partir de (2. 92) em termos de volumes, como:
Xo o
o XoJ
d
A
dV
d
J
.
. (6. 9)
J
Xod
A
o
.
J
XodV
o. (6. 10) Substituindo (6. 10) em (2. 92) temos: o XodV
J
dt
dX
.
. (6. 11)Trocando a ordem das derivadas (6. 8) podemos escrever:
o XodV
dX
dt
d
J
.
. (6. 12)Retornando a equação (6. 12) temos a equação da continuidade definida para várias fenomenologias nas geometrias euclidiana regular:
Xo Xo
dt
d
J
.
. (6. 13)Note que para esse caso particular de X ser uma grandeza escalar chegamos ao resultado (6. 13). Contudo, se quisermos generalizar o resultado podemos escrever:
dt
d
Xo Xoρ
J
.
(6. 14)A conclusão que podemos tirar deste resultado é que para cada fluxo existe um
potencial ou densidade generalizada associado por uma operação diferencial no sistema de coordenadas no qual as grandezas são descritas.
2.8.1 – Fluxo Generalizado de Massa
O primeiro fluxo a ser considerado é o fluxo de massa a partir de (2. 47)
m o o dm d dm J dt dA dA . (2. 48)
usando a regra da cadeia podemos escrever:
0 0 0 m dV d dm J dV dt dA . (2. 49) ou
0 0 m o dV d J dt dA . (2. 50)
onde dV dt é uma espécie de vazão. Logo, /
0 0 0 m o o d dV d dV J dt dt dA dA . (2. 51)
como a densidade não depende da área temos:
0 o d dA . (2. 52) então 0 m o dV d J dt dA . (2. 53) mas dV0 dA dxo.
Figura - 2. 6. Fluxo de massa atravessando uma região infinitesimal do espaço com volume dV e área superficial dA. Logo, . o m o dA dx d J dt dA . (2. 54)
m dx J dt . (2. 55) ou finalmente m m J v . (2. 56)
observe que o fluxo de massa é igual ao escoamento ou a densidade de momento definidos anteriormente.
.
Fluxo GeneralizadoDensidade Associada Velocidade Associada . (2. 57) Concluímos que para alguns casos o fluxo de massa equivale a densidade de momento ou a taxa de escoamento. Observe que sempre haverá uma relação entre fluxos de uma grandeza com a densidade associada.
2. 9 – Equações Diferenciais e Integrais Básicas da Mecânica dos
Meios Contínuos
2.9.1 – Teorema de Gauss e Teorema do Transporte de Reynolds para o Fluxo de
uma Grandeza G
XPara derivar as equações que governam o escoamento de um meio contínuo compressível, nós precisamos considerar integrais de qualquer função de posição e tempo
)
,
( t
r
X
sobre um volume de meio contínuo. Este volume se moverá com o meio contínuo mas consiste das mesmas partículas. Tal volume é chamado de um volume material e será denotado por VX(t). Logo, considerando-se a grandeza GX como sendo da por meio de umadensidade generalizada, X, temos:
( ) ( ) , X X X V t G t
ρ r t dV (2. 58)A qual define a função de t. O teorema de transporte de Reynolds’s nos diz como calcular a
derivada de GX( )t em relação ao tempo.
( ) , X X X V t dG t d r t dV dt dt
(2. 59)Note que por causa do volume V(t) variar com o tempo e mover-se com o meio contínuo, não é possível tomar a derivada sob o sinal de integração, Contudo, é necessário usar a derivada
material de GX( )t . Portanto o teorema pode ser escrito como:
. X X X X X X V V V d dV v dV dV dt t
ρ
ρ
ρ (2. 60) A equação (2. 43) torna-se:
( ) ( ) , X X X X V t V t d r t dV v dV dt t
ρ
ρ ρ (2. 61)Onde v é a velocidade da partícula fluida.
Retornando a derivada material dada em (2. 43) podemos escrever a versão integral desta equação. Para realizarmos este cálculo devemos considerar o fato que sendo
X X
dG dV
ρ , onde ρX é a densidade associada a grandeza X , logo:
Tomando o primeiro termo do lado direito de (2. 60) temos:
. .
X
X X
V
vG
ρ dV v (2. 62)Passando o operador gradiente para dentro da integral, temos:
. . X X X X X X V V vG
ρ v dV
ρ v v ρ dV (2. 63)Mas dV = dxdydz, logo:
. X X X X X V v G v v v dV x x x
ρ ρ ρ (2. 64) Então
. X X X X X V vG
ρ v dydz ρ v dxdz ρ v dxdz (2. 65) Logo
ˆ
ˆ
ˆ . . . . X X X x X y X z S vG
ρ v n dydz ρ v n dxdz ρ v n dxdy (2. 66) Ou ˆ ˆ ˆ . .. .. . X X X x x X y y X z z S vG
ρ v n dA ρ v n dA ρ v n dA (2. 67) Portanto . . X X X S vG
ρ v dA (2. 68)Por outro lado, tomando o segundo termo do lado direito de (2. 43) ou (2. 60) temos que a taxa de variação temporal de G é:
X X X X X V V G dV dV t t t
ρ ρ (2. 69). X X X X X S V dG v dA dV dt t
ρ
ρ (2. 70)Aplicando o teorema (2. 68) a equação (2. 61) ou substituindo de volta (2. 58), (2. 68) e (2. 69) em (2. 43) nós obtemos a seguinte forma equivalente do teorema de transporte:
( ) ( ) ( ) , . X X X X X X V t S t V t d r t dV v ndA dV dt t
ρ
ρ
ρ (2. 71)Onde SX(t) é a superfície de VX(t) e
nˆ
é o vetor unitário normal dirigido para fóra de SX(t).Fisicamente, a equação (2. 71) estabelece que a taxa de variação da integral de
,
X r t
ρ é igual a integral da taxa de variação de ρX
r t,
sobre uma região fixada mais a resultante do fluxo de através da superfície SX(t). O resultado permanece para qualquer funçãoescalar, vetorial ou tensorial.
Chamando de JX ρXv ao fluxo de massa que atravessa a superfície do volume de controle temos o seguinte resultado geral:
. X X X X X S V dG dA dV dt t
J
ρ (2. 72)Figura - 2. 7. Volume e superfície de controle nos quais atravessam um fluxo, J, de uma grandeza G, compressível, em um intervalo infinitesimal de tempo, dt, com velocidade, v.
Para o caso em que a grandeza total se conserva, ou quando o volume de controle não envolve
a fonte de massa, temos que dGX /dt 0, logo
. 0 X X X X S V dA dV t
J
ρ (2. 73)Esta equação diz que quando a massa é constante, o que o fluxo de uma grandeza,
G que atravessa a superfície é igual a variação de massa no seu volume de controle.
2.9.2 – Teorema da Divergência
Vamos agora definir, assim como o gradiente, um novo operador diferencial que ajudará muito na solução de problemas de fluxo de massa e energia. Na verdade, a interpretação física deste operador é que ele determina qual é a fonte do campo, isto, se o volume de controle inclui essa fonte nos cálculos. Portanto, a partir de (2. 68) vamos tomar a derivada em relação ao volume desta grandeza de tal forma que:
( . ) . (grandeza intensiva) X X X S d v G d v dA dV dV
ρ (2. 74)A qual chamaremos de divergente da grandeza escalar (x,y,z,t) definida por:
. . (vazão) X X X S v G v dA
ρ (2. 75) Como (fluxo) X Xv J ρ (2. 76)Logo (x,y,z,t) pode ser escrito como:
. X X S dA
J (2. 77)Podemos chamar de divergente de JX a equação:
0 . X lim V d V dV J (2. 78) logo . . X X X S d dA dV J
J (2. 79)Do qual podemos escolher o volume do cálculo do divergente coincidente com o volume de controle da área utilizada no cálculo da vazão, e escrever:
. . X X X S dV d dA
J J (2. 80) ou integrando no volume: . . X X X X X V V S dV d dA
J
J (2. 81) Finalmente temos: . . X X X X V S dV dA
J
J (2. 82)Desde que a superfície de controle, S, contenha o volume de controle, V.
Este teorema da divergência, de uma forma geral, relaciona integral de volume com a integral de superfície.
2.9.2 – O Teorema da Divergência a partir da Derivada Material de uma Grandeza
Ainda podemos desenvolver a equação (6. 14) utilizando o conceito de derivada material visto na secção - 2.7.1 o qual veremos a seguir:
.
Xo Xo Xod
v
dt
t
ρ
ρ
ρ
(2. 83) substituindo (2. 83) em (6. 14) temos:
.
.
Xo Xov
Xot
ρ
J
ρ
(2. 84)integrando em relação ao volume temos:
.
.
Xo Xo Xo V V VdV
v
dV
dV
t
J
ρ
ρ
(2. 85)a partir de (2. 68) temos que:
ˆ
.
Xo Xo.
V Sv
dV
v ndA
ρ
ρ
(2. 86) logo
ˆ
.
.
Xo Xo Xo V S VdV
v ndA
dV
t
J
ρ
ρ
(2. 87) sendo Xo
Xov
J
ρ
(2. 88) temos:
ˆ
.
.
Xo Xo Xo V S VdV
ndA
dV
t
J
J
ρ
(2. 89)para a situação estacionária temos:
0
Xot
ρ
(2. 90) Portanto,
ˆ
.
Xo Xo.
V SdV
ndA
J
J
(2. 91)Esta é a expressão do teorema da divergência da forma como é comumente conhecido
2.9.3 - O Teorema da Divergência Generalizado
Seja
J
Xo o fluxo generalizado da grandezaX
que atravessa uma superfície euclidiana sem rugosidade, ondeA
o é a área de projeção euclidiana que o fluxoJ
Xoatravessa. Mantendo-se a relação entre as taxas temporais da grandeza
X
inalterada, a equação (2. 47) pode ser reescrita como:
Xod
A
odt
d
J
X
. (2. 92)Tomando a derivada volumétrica dos dois lados da equação (2. 92) temos:
o Xod
A
dV
d
dt
d
dV
d
J
X
. (2. 93)operação sobre o fluxo
J
Xo. Como este fluxo é de natureza tensorial generalizada e ele pode ser também uma grandeza escalar, ou um vetor, vale ressaltar que:
o Xo Xo iA
d
dV
d
x
J
J
(2. 94) ou
S i ijk i ijkdA
n
J
dV
d
x
J
... ... (2. 95)observe que a operação do lado esquerdo de (2. 94) envolve uma somatória (índices repetidos – notação de Einstein) que pode ser representado de forma mais direta pelo operador nabla.
Xo Xod
A
odV
d
J
J
.
(2. 96)A natureza da operação de nabla sobre o campo
J
Xo dependerá da sua natureza tensorial. Pois se este pode ser um escalar (tensor de ordem zero), um vetor (tensor de ordem um) ou um tensor como usualmente conhecemos. Logo, teremos:
( : ) ( : ) Xo Xo o Xo o ddiv J J dA J Vetor Escalar dV
d
div dA Tensor Vetor
dV
Xo Xo Xo J J J . (2. 97)Aqui é importante observar como o Teorema de Gauss pode ser escrito a partir de
(2. 92) em termos de volumes, como:
... ... ( ...: n n 1) ijk ijk i ijk i V S J
dV J n dA Tensor ordem ordem x
J (2. 98) onde i j k, , ,... 1, 2,3,...2.9.4 - O Divergente e os Teoremas Correlatos
Se acontecer que: ( ) ˆ ( ) X X X S t d
J é Escalar J J ndA gradiente de um escalar dV
(2. 99)e ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) X X S t X X X S t X X S t d
J J ndA gradiente de um vetor dV
d
J é um vetor J J ndA divergente de um vetor dV
d
J J ndA rotacional de um vetor dV
(2. 100) e
( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ . . ( ) ˆ ( ) X X S t X X X S t X X S t dJ J ndA gradiente de um tensor dV
d
J é um tensor J J ndA divergente de um tensor dV
d
J J ndA rotacional de um tensor dV
(2. 101)Observe que estas definições dão origem aos principais teoremas integrais do
contínuo:
( )
ˆ ( )
X X X
V S t
J é Escalar J dV J ndA Teorema do gradiente de um escalar
(2. 102) e ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) X X V S t X X V S t X X X V S tJ dV J ndA Teorema do gradiente de um vetor
J dV J ndA Teorema do divergente de um vetor J é um vetor
J dV J ndA Teorema do rotacional de um vetor
Teorema de Stokes
(2. 103) e
( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ . . ( ) ˆ ( ) X X V S t X X X V S t X X V S tJ dV J ndA gradiente de um tensor
J é um tensor J dV J ndA divergente de um tensor
J dV J ndA rotacional de um tensor
(2. 104)2. 10 – Leis Fundamentais Básicas da Mecânica dos Meios
Contínuos
A equação que agora vamos deduzir é chamada de equação da continuidade e na
sua forma generalizada, pode servir como equação de massa, energia, entropia, momento, etc.
2.10.1 – Equação da Continuidade para o Potencial Generalizado
Equações de potencias e fluxos que atravessam superfícies euclidianas lisas ou não-rugosas podem ser escritas em termos da geometria euclidiana.
Vejamos agora a utilidade do teorema da divergência para transformar a equação integral dada em (2. 72) em uma equação diferencial. Portanto substituindo (2. 82) em (2. 72) temos que: . X X X X X V V dG dV dV dt t
J
ρ (2. 105)Tomando-se os mesmo volume de controle tanto para o divergente como para o
fluxo temos que:
( X) . X X dG d dV dt t ρ J (2. 106)
Ou trocando a ordem das derivadas totais temos:
( X) . X X dG d dt dV t ρ J (2. 107) Substituindo (2. 58) em (2. 107) temos: . X X X d t dt ρ ρ J (2. 108)
Essa é a forma da equação da continuidade. Ela retrata um balanço espaço-temporal da
grandezagenralizada em ρX onde essa é a densidade volumétrica associada a grandeza X .
Neste conjunto de fenomenologias que seguem a equação da continuidade estão os fenômenos, da difusão, transferência de calor, escoamento viscoso, deformação de sólidos, mecânica da fratura, eletromagnetismo, etc. A título de laboratório teórico e para os propósitos deste trabalho vamos formular os fenômenos de potencial escalar como a temperatura, e nos
fenômenos de potencial vetorial como a teoria da elasticidade e a mecânica da fratura.
Sendo X uma grandeza que se conserva absolutamente no tempo, ela estará o
sujeito a uma lei de conservação do tipo:
.JX X 0 t . (2. 109)
Esta é a forma da equação da continuidade, para a maioria dos sistemas.
Para a situação de fluxo generalizado,
J
X, temos:0
)
(
.
t
J
X X
(2. 110) Explicitando, JX, temos:0
)
(
)
.(
t
v
X X
(2. 111)Usando a identidade diferencial temos:
X X X
v
v
v
.(
)
(
.
)
.
(2. 112) Logo0
)
(
.
)
.
(
t
v
v
X X X
(2. 113)Esta equação explicita a equação da continuidade em termos da densidade
generalizada, X, e da velocidade,
v
.Considerando o caso em que a massa total se conserva (d/dt = 0) temos:
0 (escoamento "incompressível" e permanente)
. 0
0 (escoamento "compressível" não permanente) t X X X X t t ρ ρ J ρ (2. 114)
Esta equação diz a mesma coisa que a equação (2. 105), porém em uma linguagem diferencial, ou seja, quando a massa é constante, o que variação volumétrica do fluxo de massa que atravessa a superfície é igual a variação temporal da massa no seu volume de controle. Esta equação decide se o escoamento é incompressível ou não.
2.10.2 - Equação da Continuidade e Conservação da Massa
A densidade é definida como:
dM dV
(2. 115)
Como o volume V em geometria cartesianas é dado por:
d d d
i
V L dV dr dx (2. 116)
onde d é a dimensão topológica do espaço euclidiano. Logo,
d d d d i d M d M dr dx (2. 117)
Considerando a massa total do sistema constante temos:
0
dM
dt (2. 118)
donde, derivada material temos:
dM M v M dt t (2. 119) sendo M
dV (2. 120) nos leva a:
d v dt t (2. 121)Como não há criação de massa
0 d dt (2. 122) logo
v
0 t (2. 123) Comom J v (2. 124) fica . mi m i J J x (2. 125) Então .Jm 0 t (2. 126)
2. 11 – Equação do Movimento Generalizada para a Mecânica
dos Meios Contínuos
A partir das transformações matemáticas feitas anteriormente podemos iniciar a
descrição da Mecânica do Contínuo, a qual pode ser aplicada aos fenômenos de calor, elasticidade, viscosidade, fratura, etc., em sólidos e fluidos.
2.11.1 – Equações da Quantidade de Movimento
A 2ª Lei de Newton estabelece que:
R dp F dt (2. 127)
Neste ponto, a fim de se obter uma descrição mais acurada do movimento de um corpo deformável, deve-se obter uma versão da equação (2. 2), para o caso do contínuo.
E a força resultante é dada pela somatória das forças externas aplicadas ao corpo contínuo. A força externa total é dada pelo Princípio de Pascal por:
R ext C S
F
F F F (2. 128) Na mecânica do contínuo precisamos observar o Principio de Pascal (4) para separar somatória das forças sobre o corpo em dois tipos principais. Logo, neste ponto, é preciso ressaltar a diferença da natureza desses dois tipos de força de interação que dão origemas forças de campo. Estas são de campo (gravitacional, campo elétrico, etc,) e de superfície (geradas pelo contato, pressão, colisão, etc) as quais compõem a força resultante sobre um corpo contínuo da seguinte forma:
R C S dp F F F dt
(2. 129)As forças externas que atuam sobre VX incluem ambas as forças de massa (devido
a gravidade) e as de superfície (devido as tensões). A força de massa total, f, é dada por:
4