Ligando a função zeta ao conjunto de números vazios, temos:
( ) ∑
Conjugada por números vazios em n:
( ) ∑ Para s = 2, temos: ( ) ∑
Como podemos ver; todos os divisores da série acima maiores do que 1 são pares e são múltiplos de 2. Portanto, a função zeta com n
= e s = 2, produz uma série infinita de números pares maiores do que 1 múltiplos de 2. Isso nos dá uma pista para descobrirmos como os números vazios se distribuem entre o conjunto de números inteiros. Os números vazios são todos par, com exceção do 1, e múltiplos de 2, mas nem todo número par e múltiplo de 2 é vazio, logo fica estabelecido que os múltiplos de 2 tendem ao infinito na função zeta para números vazios.
Na função zeta para primos, temos:
( ) ∑
( ) ∑
A função zeta para primos com s = 2 gera uma série com números compostos
tendendo ao infinito, isto é, múltiplos de 2 tendendo ao infinito; de modo que qualquer número primo elevado ao quadrado gera sempre um número composto, e todo número composto é um múltiplo de 2. Portanto, a função zeta para primos gera uma série infinita de números compostos.
Agora, se multiplicamos uma série de números primos por , em seguida
subtrairmos por uma série de números inteiros e anularmos o restante, temos:
( ) ( ) (
) ( ) (
) ( )
Gera-se uma série de números primos com o próximo primo faltando na série original infinitamente. De modo que se
repetirmos o processo com esta série gerada e a multiplicarmos novamente por , obteremos o próximo primo da série, que é 11, e assim sucessivamente ao infinito. Portanto, uma série de primos subtraída de uma série de inteiros com seus restos anulados gera o próximo primo da série original tendendo ao infinito. Este é um corolário da prova de que existem infinitos números primos:
( ) ∏ ∑ ( ) ∑ ( )
A função zeta para números de
Fibonacci com s = 2 gera o seguinte resultado:
( ) ∑
( ) ∑
Do mesmo modo que na função zeta para primos, na função zeta para Fibonacci o resultado é sempre um número composto, e, portanto, múltiplo de 2; de modo que qualquer número de Fibonacci elevado ao quadrado gera sempre um número composto múltiplo de 2. Há, portanto, uma relação entre os números primos e os números de Fibonacci na função zeta.
Se multiplicarmos uma série de
Fibonacci por , subtrairmos de uma série de inteiros e anularmos o restante, seguindo o mesmo processo anterior:
( ) ( ) (
) (
) ( )
Do mesmo modo que na série de primos subtraída de uma série de números inteiros anulando o resto, produz-se uma série de números primos com o próximo primo faltando na série original infinitamente.
Se subtrairmos os primeiros cinco termos da série de Fibonacci pelos primeiros três termos da série de primos na função zeta, temos o número de termos que não se igualam dentre os dois conjuntos:
( ) ( )
( )
Isso quer dizer que dentre os cinco primeiros termos da série de Fibonacci e os
três primeiros termos da série de primos a diferença entre eles é igual à , ou seja, nem todos os números primos da série (2, 3, 5), do primeiro ao terceiro termo, estão presentes nos número de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5) do primeiro ao quinto termo. Esse é um método para se designar quantos números de um conjunto existem em outro conjunto a partir de um dado número de termos de cada série.
Já para a função zeta com s = e n = 2, temos:
( ) ∑
Que por sua vez, também só gera
números pares e múltiplos de 2 infinitamente. E para s = Φ e n = , temos:
( ) ∑
Que gera uma sequência infinita de números pares maiores do que 1, todos
múltiplos de 2. De modo que qualquer número vazio elevado a phi é igual a um número par e múltiplo de 2; logo fica estabelecida a relação existente entre os conjuntos dos números vazios, primos e Fibonacci. O que há em comum entre os dois conjuntos é que os dois possuem números pares e múltiplos de 2. Os dois conjuntos de números formam o mesmo padrão de números pares, exceto o 1, que são múltiplos de 2 dentro da função zeta para s = Φ e n = . Os primeiros números de Fibonacci múltiplos de 2 são (2, 8, 144), enquanto que todo numero vazio é um múltiplo de 2.
