UTILIZAÇÃO DE FUNÇÕES DE BASE RADIAL EM PROBLEMAS
UNIDIMENSIONAIS DE ANÁLISE ESTRUTURAL
Carlos M. Tiago*, Vitor M. A. Leitão* *Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura/ICIST,
Instituto Superior Técnico,
Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa, Portugal
e-mail: ctf@civil.ist.utl.pt, web: http://www.civil.ist.utl.pt/icist
Palavras chave: Funções de base radial, colocação, cargas críticas, frequências próprias,
fundação elástica.
Resumo.
A técnica sem malha utilizada neste trabalho passa pela definição de uma aproximação global para a variável de base (genericamente, componentes do campo de deslocamentos) a partir da sobreposição de um conjunto de funções de base radial convenientemente localizadas em pontos (ou centros) no interior e na fronteira.
Neste trabalho utilizam-se funções de base radial de suporte global de três tipos: multiquá-dricas, multiquádricas recíprocas e gaussianas.
As técnicas propostas são ilustradas com aplicações a flexão de vigas em fundação elástica submetidas a acções estáticas, determinação da cargas críticas de instabilidade e frequências naturais de vibração.
1. INTRODUÇÃO
Nos últimos anos o interesse da comunidade científica nos chamados métodos sem malha tem sido significativo. Na realidade, a possibilidade de se poder obter soluções aproximadas para vários problemas da mecânica (e da engenharia em geral) sem recurso à definição de malhas constitui um importante aliciante em particular pela redução de custos (essencialmente, tempo) quer na preparação dos modelos quer na análise dos resultados.
Têm sido muitos os autores que, desde o trabalho inicial de Lucy [1] sobre o método das partículas (smoothed particle hydrodynamics), efectuaram estudos na área dos métodos sem malha. Apenas para dar uma ideia das várias propostas que entretanto surgiram podem referir-se os trabalhos de Liszka [2] sobre diferenças finitas generalizadas (generalized finite-differences), Nayroles et al. [3] sobre o Método dos Elementos Difusos (diffuse element method), o de Belytschko e co-autores sobre o Método Livre de Elementos de Galerkin [4] (element-free Galerkin); o de Duarte e Oden [5] sobre o Método das Nuvens (h-p clouds), o de Babuska e Melenk [6] sobre o Método da Partição da Unidade (partition of unity), o de Liu e co-autores sobre o Método do Kernel Reprodutivo (reproducing kernel method) [7] e o de De e Bathe [9]. Outras abordagens incluem os trabalhos de Mukherjee e Mukherjee [10] sobre o Método dos Nós de Fronteira (boundary node method) e o de Atluri and Zhu [8] sobre formas locais de equações de fronteira.
Outra abordagem aos métodos sem malha (e a utilizada neste trabalho) tem a sua génese nos trabalhos de Hardy [11] no uso de funções de base radial (ou RBF no acrónimo em inglês) para problemas de interpolação posteriormente desenvolvido por Kansa [12] para a determinação de soluções aproximadas para sistemas de equações diferenciais às derivadas parciais.
Os fundamentos da técnica usada neste trabalho bem como a sua aplicação à análise de lajes finas foram apresentados com algum detalhe por Leitão [14].
Em particular no trabalho agora apresentado será feita a aplicação da variante não simétrica do método das funções de base radial com colocação ao estudo de problemas unidimensionais da análise estrutural nomeadamente o estudo da flexão de vigas de Euler/Bernoulli submetidas a acções estáticas, determinação da carga de bifurcação elástica e determinação de frequências próprias de elementos estruturais unidimensionais.
2. FUNÇÕES DE BASE RADIAL
Funções de base radial (RBFs) são aquelas que apresentam simetria radial , ou seja, depen-dem apenas (para além de alguns parâmetros conhecidos) da distância r = x − xj entre o
centro da função e o ponto genérico x, podendo escrever-se genericamente na forma φ(r). Com uma definição tão geral existirão, por conseguinte, infinitas funções deste tipo.
Estas funções podem ser classificadas como globais (diz-se que têm suporte global) ou locais (suporte compacto ou local) consoante estão definidas em todo o domínio ou apenas em parte
Multiquádricas (MQ) (x − xj)2+ c2j, cj > 0 Multiquádricas recíprocas (RMQ) (x − xj)2+ c2j −1 2 c j > 0 Gaussianas (G) exp(−cr2) cj > 0 Splines de placas finas (TPS) r2βln r, β ∈ N RBFs de suporte compacto são, por exemplo, as de:
Wu e Wendland,(1 − r)n+p(r) onde p(r) é um polinómio e (1 − r)n+é 0 para r maior que o suporte;
Buhmann, 13 + r2− 43r3+ 2r2ln r.
Nas Figuras 1 a 4 podem ver-se funções globais para diversos valores dos parâmetros c e β. Na Figura 5 podem ver-se funções locais.
3. APLICAÇÃO DO MÉTODO DA COLOCAÇÃO À RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DE VALORES NA FRONTEIRA UTILIZANDO FUNÇÕES DE BASE RADIAL
De uma forma muito breve pode dizer-se que a interpolação (admitindo que se conhece o valor da função f(xi) para o conjunto de pontos xi) com RBFs toma a forma:
s(x) =
N
j=1
αjφ(x − xj) (1)
Esta aproximação é resolvida para as incógnitas αj a partir do sistema de N equações lineares do tipo: s(xi) = f (xi) = N j=1 αjφ(xi− xj) (2)
Utilizando o mesmo raciocínio é possível extender o problema da interpolação para o da determinação da solução aproximada de sistemas de equações diferenciais às derivadas parciais (PDE no acrónimo em inglês) o que corresponde a aplicar os respectivos operadores diferen-ciais às próprias funções radiais e a colocar, ou seja, a aplicar as expressões resultantes num determinado conjunto de pontos no interior e na fronteira.
A colocação pode ser, basicamente, de dois tipos: colocação assimétrica ou de Kansa e colo-cação simétrica ou de Hermite. Detalhes de ambas as técnicas podem ser encontrados em [12] e [15] respectivamente para a colocação assimétrica e simétrica.
De uma forma muito resumida pode descrever-se a colocação assimétrica como uma apli-cação dos operadores diferenciais no interior e na fronteira (respectivamente LI e LB) a um conjunto de N pontos de colocação no domínio e na fronteira, respectivamente, N − M e M pontos. Desta operação resulta um sistema de equações do tipo:
10 5 0 5 10 0 2 4 6 8 10 12 c = 0, 5 c = 1, 0 c = 2, 0 c = 3, 0 c = 5, 0 Figura 1. Multiquádrica: (x − xj)2+ c2j. 4 2 0 2 4 0 0.5 1 1.5 2 c = 0, 5 c = 1, 0 c = 2, 0 c = 3, 0 c = 5, 0 Figura 2. RMQ:(x − xj)2+ c2j−12 4 3 2 1 0 1 2 3 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c = 0, 5 c = 1, 0 c = 2, 0 c = 3, 0 c = 5, 0
Figura 3. Gaussiana:exp(−cr2)
1 0.5 0 0.5 1 0.2 0.1 0 β = 1 β = 2 β = 3 β = 4 β = 5
1 0.5 0 0.5 1 0 1 2 3 (1 − r) (1 − r)3(3r + 1) (1 − r)4(4r + 1) (1 − r)6(35r2+ 18r + 3)
Figura 5. RBFs com suporte compacto.
LIuh(xi) = N k=1 αkLIφ(xi− εk) (3) LBuh(xi) = N k=1 αkLBφ(xi− εk) (4)
onde as incógnitas αk são determinadas pela resolução do sistema de N equações lineares formado pela aplicação nos referidos pontos de colocação dos operadores LI e LB.
A característica básica da variante de Hermite é a aplicação dupla (em sequência) dos oper-adores diferenciais para cada par ponto de colocação-centro de função radial o que resulta num sistema de equações simétrico se as coordenadas dos pontos de colocação coincidirem com as coordenadas dos centros das funções radiais.
Muito resumidamente, o método pode ser descrito a partir da consideração da seguinte solução aproximada: uh(x) = N−M k=1 αkLIε kφ(x − εk) + N k=N−M+1 αkLBε kφ(x − εk) (5)
onde LI e LB são, respectivamente, os operadores diferenciais no interior e na fronteira, e onde
x é um ponto genérico e εkrepresenta o centro da função de base radial k.
à aplicação dos diferentes operadores): LIx juh(xj) = N−M k=1 αkLIx jLIkεφ(xj − εk) + N k=N−M+1 αkLIx jLBkεφ(xj − εk) (6)
para os pontos de colocação interiores e,
LBx juh(xj) = N−M k=1 αkLBx jLIkεφ(xj − εk) + N k=N−M+1 αkLBx jLBkεφ(xj− εk) (7)
para os pontos de colocação na fronteira. Nesta expressão são utilizadas as seguintes definições:
Lx
jg(x − ε) é a função de ε, obtida quando L actua em g(x − ε) como função de x
sendo depois avaliada em x= xj;
Lε
kg(x − ε) é a função de x, obtida quando L actua em g(x − ε) como função de ε
sendo depois avaliada em ε= εk.
A utilização de ambas as técnicas (assimétrica e simétrica) apresentadas atrás implica a de-terminação, em forma explícita, dos operadores diferenciais genericamente designados por LI e LB.
Nesta fase, a técnica de Hermite é bastante mais exigente dado que os operadores são, por via da dupla aplicação, mais complexos.
No entanto, esta operação é feita uma única vez e o seu resultado é armazenado numa função do programa desenvolvido. Neste trabalho recorreu-se ao ambiente de programação MATLAB[16] para a determinação, de forma simbólica, dos operadores diferenciais envolvi-dos.
4. ANÁLISE DE PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS DE ANÁLISE DE ESTRUTURAS
A técnica descrita acima é agora aplicada a um conjunto de problemas unidimensionais de análise estrutural em que se admite que o material constituinte se comporta como elástico linear. O primeiro desses problemas refere-se ao estudo de uma viga em fundação elástica submeti-da a cargas estáticas. A esta análise segue-se a determinação de frequências próprias (bem como os respectivos modos de vibração) tanto para o caso de vibrações longitudinais como transver-sais, respectivamente para uma consola e para uma viga simplesmente apoiada. Por último, é feita a determinação das cargas de instabilidade para uma viga simplesmente apoiada.
A opção por estes problemas prende-se com o objectivo inicialmente formulado de se pre-tender avaliar as potencialidades das técnicas sem malha aqui descritas para uma conjunto rel-ativamente alargado de problemas.
4.1. Viga simplesmente apoiada em fundação elástica submetida a carga uniformemente distribuída
Considere-se uma viga em fundação elástica simplesmente apoiada submetida a carga uni-formemente distribuída.
O problema pode ser formulado da seguinte forma: encontrar o campo de deslocamentos transversais, w(x), com [0 < x < l], tal que
EI d4w
dx4 + kww = p, se]0 < x < l[ (8)
w = 0 e − EId2w
dx2 = 0 se x = {0, l} (9)
onde kw é a rigidez da fundação por unidade de comprimento, p é a carga por unidade de comprimento e EI é a rigidez de flexão da barra.
Os valores numéricos utilizados na análise foram: EI = 1, 0 kN·m2; l = 3, 0 m; e p = 1, 0 kN/m.
A solução exacta para este caso é dada por Timoshenko [17].
Esta viga foi analisada utilizando funções de base radial (RBFs) do tipo multiquádrico (MQ). Foram usadas 13 funções no interior e 4 na fronteira e a variante de Hermite, ou seja, parte-se da aproximação dada por ( 5).
A aplicação desta técnica à equação de equilíbrio no interior (a título exemplificativo) resulta em: LIx jLIkεφ(xj− εk) = EI d4 d4x +kw EI d4 d4ε +kw φ(xj− εk) (10) onde LI = EI d4 dx4 + kw (11)
é o operador diferencial no domínio.
Deve salientar-se que, nesta variante, os centros das funções radiais coincidem com as posições dos pontos de colocação o que leva a que o sistema de equações que se venha a obter seja simétrico.
Os resultados obtidos com a técnica atrás descrita são comparados com a solução exacta nas Figuras 6 e 7 e na Tabela 1 para três valores do parâmetro β = 4
kw
4EI correspondentes a
diferentes níveis de rigidez relativa entre a viga e a fundação. Da análise destas figuras e tabelas resulta a muito boa concordância, em geral, dos resultados obtidos quando comparados com as soluções exactas.
Com o intuito de comparar os diferentes tipos de funções de base radial, foi a mesma viga analisada para a situação de kw = 0 com recurso às famílias de funções multiquádricas (MQ), multiquádricas recíprocas (RMQ) e gaussianas (G) apresentadas anteriormente.
A Tabela 2 resume os resultados obtidos nas três análises. A semelhança entre esses resul-tados para as diferentes funções leva a supor que, pelo menos para problemas unidimensionais
β wmaxRBF−wexmax wmaxex × 100 M RBF max−Mmaxex Mmaxex × 100 V RBF max −Vmaxex Vmaxex × 100 1 3, 279 · 10−3 0, 420 · 10−3 88, 378 · 10−3 2 0, 196 · 10−3 −0,156 0, 148 3 −0,208 · 10−3 7, 842 · 10−3 58, 665 · 10−3
Tabela 1. Viga simplesmente apoiada em fundação elástica: erro relativo para diferentes valores do parâmetro de rigidez,β, com MQ. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 x l wRBF comβ = 1 wexactocomβ = 1 5 wRBF comβ = 2 5 wexactocomβ = 2 10 wRBF comβ = 3 10 wexactocomβ = 3
Figura 6. Viga simplesmente apoiada em fundação elástica: deformadas para diferentes valores do parâmetro de rigidez,β, com MQ.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.05 0.05 0.15 0.25 x l MRBF comβ = 1 Mexactocomβ = 1 5 MRBF comβ = 2 5 Mexactocomβ = 2 10 MRBF comβ = 3 10 Mexactocomβ = 3
Figura 7. Viga simplesmente apoiada em fundação elástica: diagramas de momentos flectores para diferentes val-ores do parâmetro de rigidez,β, com MQ.
MQ (c= 3, 0) RMQ (c = 3, 0) G (c= 1, 0) wRBF max−wexmax wex max × 100 4, 589 · 10 −3 9, 308 · 10−3 −5, 288 · 10−3 MRBF max−Mmaxex Mex max × 100 3, 796 · 10 −3 7, 692 · 10−3 −4, 368 · 10−3 VRBF max −Vmaxex Vex max × 100 45, 075 · 10 −3 93, 161 · 10−3 −54, 426 · 10−3
Tabela 2. Viga simplesmente apoiada em fundação elástica: erro relativo para utilização de diferentes famílias de funções de base radial (β = 0).
deste tipo, não haverá grande vantagem na utilização de umas funções face às outras funções. Pode também observar-se que, de uma maneira geral, a aproximação obtida para o campo de deslocamentos transversais é de qualidade muito semelhante à que se obtém para o campo de momentos flectores estando a qualidade do campo de esforços transversos uma ordem de grandeza abaixo.
4.2. Vibrações longitudinais em regime livre: determinação de frequências próprias em consola
Considere-se agora o problema de uma consola sujeita a deformações axiais em regime livre. A equação do movimento pode ser dada por:
EA∂2u(x, t) ∂x2 − m
∂2u(x, t)
∂t2 = 0 (12)
onde m é a massa por unidade de comprimento e EA é a rigidez axial da barra.
Usando a técnica da separação de variáveis, a parcela da solução no espaço é dada pela solução do seguinte problema:
∂2X(x) ∂x2 + c 2X(x) = 0 se ]0 < x < l[ (13) X(0) = 0 e EA ∂X(x)∂x x=l = 0 se x = {0, l} (14)
onde c2 = ω2 mEA e ω é uma frequência de vibração longitudinal da barra.
Este problema será resolvido com recurso à variante assimétrica, representada pelas equações (3) e (4), as quais, quando aplicadas à situação em análise aqui, podem tomar, muito sucinta-mente, a forma seguinte:
A(φ) C(φ) + c2 B(φ) 0 α = 0 (15)
Os funcionaisA(φ) e B(φ), para um ponto i situado no interior, assumem a seguinte forma:
A(φ) = d2 dx2φ(xi− ε1) d2 dx2φ(xi− ε2) . . . d2 dx2φ(xi− εN) (16) B(φ) = φ(xi− ε1) φ(xi− ε2) . . . φ(xi− εN) (17) O funcionalC(φ), para um ponto j situado na fronteira, assume a forma:
C(φ) = φ(xj− ε1) φ(xj − ε2) . . . φ(xj− εN) EA d dxφ(xj − ε1) EAdxd φ(xj− ε2) . . . EAdxd φ(xj − εN) (18) A anulação do determinante do primeiro termo do primeiro membro em (15) permite deter-minar as frequências de vibração longitudinais da estrutura.
O modo de vibração, para a frequência correspondente a ci, é obtido por substituição directa de ci em (15).
RBF’s 5 7 13
MQ 1,612726 1,579834 1,570894
RMQ 1,601579 1,579538 1,570983
G 1,574874 1,570926 1,570638
Exacto π2 = 1, 570796
Tabela 3. Consola: frequência de vibração longitudinal normalizada,ω1
ml2 EA. RBF’s 5 7 13 MQ 4,771348 4,706318 4,711985 RMQ 4,902590 4,746071 4,712318 G 4,459906 4,732572 4,712472 Exacto 3π2 = 4, 712389
Tabela 4. Consola: frequência de vibração longitudinal normalizada,ω2
ml2 EA.
elástica, ou seja, MQ, RMQ e G.
Os resultados obtidos, para as três primeiras frequências fundamentais são comparados com a solução exacta fornecida por Clough e Penzien [18].
Consideraram-se os seguintes dados do problema: m = 1, 0 kN·s2/m2, l = 3, 0 m e EA = 1, 0 kN. A constante c foi considerada igual ao vão, c = l, para as funções do tipo MQ e RMQ.
Para o caso das funções gaussianas, tipo G, foi utilizado o valor de0, 05 para o parâmetro c
nos casos em que NRBF = 4 e NRBF = 7. Por dificuldade de obtenção das raízes do determi-nante com c= 0, 05, considerou-se, para NRBF = 13 o valor c = 0, 5.
A representação dos três primeiros modos de vibração, adimensionalizados ao deslocamento em x= l, para NRBFG = 13 encontra-se na Figura 8, em conjunto com a solução exacta.
RBF’s 5 7 13
MQ 7,552854 7,744331 7,852416
RMQ 7,898342 7,817227 7,851763
G 6,810501 7,690686 7,853753
Exacto 5π2 = 7, 853982
Tabela 5. Consola: frequência de vibração longitudinal normalizada,ω3
ml2 EA.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 X3 RBF X3 exacto= sin5πx2L X2 RBF X2 exacto= sin3πx2L X1 RBF X1 exacto= sinπx2L
4.3. Vibrações transversais em regime livre: determinação de frequências próprias em viga simplesmente apoiada
Considere-se agora a análise da vibração transversal de uma viga simplesmente apoiada em regime livre. A equação governativa do problema é
EI∂4w(x, t) ∂x4 − m
∂2w(x, t)
∂t2 = 0 (19)
Recorrendo à técnica anteriormente utilizada de separação de variáveis, a parcela da solução no espaço é dada pela solução da equação
∂4X(x)
∂x4 − a
4X(x) = 0 (20)
com as condições de fronteira:
w = 0 e − EId2w
dx2 = 0 se x = {0, l} (21)
onde a4 = ω2 m
EI e ω é uma frequência de vibração transversal da barra.
A estrutura do sistema de equações resultante é, para este caso da vibração transversal, equiv-alente à forma apresentada para o caso da vibração longitudinal (15).
Em lugar de c2surge agora o termo−a4e o funcionalA(φ) é agora, para um ponto i situado
no interior, definido por:
A(φ) = d4 dx4φ(xi− ε1) d 4 dx4φ(xi− ε2) . . . d 4 dx4φ(xi− εN) (22) A solução obtida utilizando 13 funções de base radial do tipo MQ é confrontada na tabela 6 com a solução exacta para as primeiras cinco frequências. Os resultados apresentam boa con-cordância com os exactos notando-se que o erro relativo vai aumentando para os modos supe-riores, o que evidencia a necessidade de uma maior discretização (quer dizer, um aumento do número de funções de base e de pontos de colocação) para poder representar correctamente os modos superiores. Em particular para os modos de vibração, apesar do erro relativo para a quin-ta frequência própria ser de cerca de 0, 5 % o modo respectivo é praticamente indistinguível
do modo exacto tal como se pode observar na Figura (9). Nesta figura, onde são representa-dos os quarto e quinto morepresenta-dos de vibração, não se incluem os primeiros três morepresenta-dos para evitar sobrecarregar a figura dado que a concordância com os valores exactos ainda é melhor.
4.4. Determinação de cargas de instabilidade em viga simplesmente apoiada
O problema da determinação de cargas de instabilidade em viga simplesmente apoiada é regido pela seguinte equação governativa:
EI∂4w(x) ∂x4 + P
∂2w(x)
ωRBF π2 EI ml4 1, 00019 3, 99913 8, 99467 15, 9829 25, 1337 ωex π2 EI ml4 1 4 9 16 25 ε( %)=ωRBF−ωex ωex · 100 0, 019 −0, 022 −0, 059 −0, 107 0, 535
Tabela 6. Viga simplesmente apoiada: frequências de vibração transversal normalizadas,π2
EI ml4, e erro relativo. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 0.5 0 0.5 1 X4 RBF X4 exacto= sin4πxl X5 RBF X5 exacto= sin5πxl
PRBF π2EI l2 1, 00116 4, 00027 8, 97785 15, 8701 Pex π2EI l2 1 4 9 16 ε( %)=PRBF−Pex Pex · 100 0, 116 0, 007 −0, 246 −0, 811
Tabela 7. Viga simplesmente apoiada: cargas de instabilidade.
sujeita às condições de fronteira
w = 0 e − EId2w
dx2 = 0 se x = {0, l} (24)
onde P é a carga de instabilidade elástica da viga.
Utilizando a variante de colocação de Hermite (5), as equações (6) e (7) tomam a forma:
A(φ) + k B(φ) + k2 C(φ) α = 0 (25) onde k = EIP .
O funcional A(φ) reúne os termos resultantes da aplicação em sequência dos operadores diferenciais associados aos termos d4
dx4
ou dεd44
, bem como às condições de fronteira (ver definição no final da secção 4).
O funcional B(φ) reúne os termos que representam a aplicação em sequência dos pares de operadores diferenciais d4 dx4, kd 2 dε2 e k d2 dx2, d 4 dε4
, e ainda os operadores associados às condições de fronteira.
O funcional C(φ) reúne os termos resultantes da aplicação em sequência dos operadores diferenciais associados aos termos kdxd22
ou kdεd22
, bem como às condições de fronteira. As raízes do determinante do primeiro termo do primeiro membro fornecem os valores das cargas de instabilidade. Devido à presença do termo quadrático em k, a sua obtenção envolve mais operações que no caso similar da colocação assimétrica. Assim, o desempenho da colo-cação simétrica neste problema específico é inferior face ao da colocolo-cação assimétrica.
Os resultados obtidos para as cargas de instabilidade são comparados com a solução exac-ta [17] na Tabela 7. À semelhança do que sucedeu para os problemas anteriores exac-também aqui se nota uma degradação da qualidade (ou seja, um aumento do erro relativo) à medida que se determinam as cargas de instabilidade de ordem superior. A razão será a mesma, ou seja, a qua-lidade da aproximação depende fortemente do número de funções de base utilizadas bem como do número de pontos de colocação. De salientar que na variante simétrica ou de Hermite, e para que se obtenham sistemas de equações simétricos, é necessário fazer coincidir as posições dos pontos de colocação com as posições das funções de base radial.
5. CONCLUSÕES
O objectivo principal deste trabalho era o de contribuir para o esclarecimento de alguns aspectos mais complexos (nomeadamente a ausência de significado físico para as incógnitas presentes nas aproximações que, nesta técnica, não são mais que factores de escala de um con-junto de funções) bem como realçar a própria simplicidade na implementação numérica dos algoritmos (no contexto das técnicas de colocação) e a facilidade de aplicação a diferentes tipos de problemas da mecânica ou, em geral, da engenharia.
Apresentou-se, assim, neste trabalho aplicações das variantes simétrica e não simétrica do método das funções de base radial com colocação ao estudo de problemas unidimensionais da análise estrutural nomeadamente o estudo da flexão de vigas de Euler/Bernoulli submetidas a acções estáticas, determinação da carga de bifurcação elástica e determinação de frequências próprias de elementos estruturais unidimensionais.
Os resultados obtidos apresentam qualidade suficiente para permitir concluir da aplicabili-dade desta técnica de funções de base radial com colocação aos problemas citados sendo, talvez, a sua maior vantagem a facilidade (quando comparada com outras técnicas numéricas) de im-plementação em ambiente de cálculo automático.
6. AGRADECIMENTOS
Este trabalho foi realizado no âmbito das actividades de investigação do ICIST, Instituto de Engenharia de Estruturas, Território e Construção, tendo sido parcialmente financiado pela Fundação para a Ciência e Tecnologia através do projecto POCTI/ECM/33066/99 e do finan-ciamento plurianual da Unidade de Investigação.
REFERENCIAS
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