Emprego Recursivo da Equação Integral do Método dos Elementos de
Contorno em Problemas Governados pela Equação de Laplace
C. F. Loeffler1; H.B. Correa2; E. R. Lovatte3
1
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, ES – Brasil
CEP 29075-910
e-mail:carlosloeffler@bol.com.br
2
IFES - Coordenadoria do Curso Técnico em Mecânica, Campus Vitória, ES – Brasil CEP 29040-780
e-mail: barroncas@cefetes.br
3
IFES – Coordenadoria do Curso Técnico em Ferrovias,Campus Cariacica, ES – Brasil CEP 29145-440
e-mail: enilene@cefetes.br
Resumo: Este trabalho apresenta o emprego recursivo da equação integral de governo com a
finalidade de melhorar a exatidão dos resultados numéricos do Método dos Elementos de Contorno (MEC). Geralmente, os valores em pontos internos do domínio com o MEC são determinados com a aplicação recursiva da equação integral, depois que todos os valores nodais no contorno tiverem sido calculados. Neste trabalho, mostra-se que a mesma idéia pode ser usada para melhorar a exatidão dos resultados no contorno. Ao invés dos novos pontos fonte serem localizados dentro do domínio, eles são posicionados sobre o contorno, com coordenadas diferentes dos pontos nodais. Assim, os valores da variável básica e de suas derivadas espaciais no contorno podem ser recalculados baseados nos valores calculados previamente. O resultado deste procedimento numérico é baseado na equivalência matemática entre o uso recursivo da equação integral de contorno e a nova aplicação da sentença de resíduos ponderados associada à equação de governo. O procedimento é aplicado aqui à solução de problemas dados pela Equação de Laplace. Comparam-se resultados do potencial e sua derivada em um exemplo em que a solução analítica é conhecida, avaliando-se o desempenho do procedimento proposto.
Palavras chaves: Método dos Elementos de Contorno; Procedimento Recursivo; Formulação Hipersingular.
1 INTRODUÇÃO
Devido aos avanços da modelagem matemática e do aumento da capacidade computacional e de armazenamento de dados, algumas técnicas numéricas tradicionais tem sido objeto de aprimoramentos de modo a obter ainda melhor desempenho. Por exemplo, em alguns métodos numéricos tem sido introduzido um sistema iterativo de solução, a fim de melhorar a precisão numérica. Seguindo essa tendência, é aqui apresentada a utilização recursiva da equação integral de contorno como um meio para melhorar a precisão dos resultados do Método dos Elementos de Contorno (MEC). Não se trata rigorosamente de uma técnica iterativa, mas de um simples procedimento de recálculo baseado num esquema comum, empregado para determinar os valores internos com MEC, onde a equação integral de contorno é reutilizada.
2 FORMA INTEGRAL DA EQUAÇÃO DE LAPLACE
Considerando uma função auxiliar u*(ξ;X) e sua derivada normal q*(ξ;X), onde ξ é um ponto interno ao domínio Ω(X) e considerando os conceitos básicos do MEC, a equação integral associada à Equação de Laplace escreve-se como (Brebbia et al,1983): u( ) u ( ; X)q(X)d* q ( ; X)u(X)d*
Γ Γ
ξ =
∫
ξ Γ −∫
ξ Γ (1) Na equação (1), q(X) é a derivada normal do potencial. Definem-se condições essenciais ( u= ) e naturais (u u, ni i = ) no contorno Γ = Γq u + Γq . O vetor normal unitárioexterno no ponto X=X(xi) é expresso por ni. Na formulação tradicional do MEC, a função
auxiliar u*(ξ;X) corresponde à solução de um problema correlato governado pela Equação de Poisson, no qual existe uma fonte unitária aplicada num ponto particular X=ξ de um domínio auxiliar infinito Ω *(X). Quando o ponto ξ é posicionado no contorno, a equação integral é dada por:
c( )u( ) u ( ;X)q(X)d* CPV q ( ;X)u(X)d*
Γ Γ
ξ ξ =
∫
ξ Γ −∫
ξ Γ (2)O coeficiente c(ξ) vale 0.5 para contornos suaves (Brebbia, 1978). Quando o ponto fonte é posicionado no contorno, a integral de q*(ξ;X) somente existe no sentido do Valor Principal de Cauchy (CPV). De acordo com procedimentos tradicionais do MEC, a equação integral é discretizada, gerando um sistema matricial de equações na forma:
H H H
HΘ - GQ = 0Θ - GQ = 0Θ - GQ = 0Θ - GQ = 0 (3) 3 PROCEDIMENTO RECURSIVO PARA VALORES DO POTENCIAL
A solução do sistema dado pela equação (3) permite a obtenção do potencial e sua derivada normal em todos os N pontos nodais do contorno. Com relação aos valores internos, é possível determiná-los facilmente posicionando o ponto fonte ξ no interior e usar novamente a equação integral de governo, equação (1), considerando agora os já calculados valores de potencial e sua derivada normal no contorno. Em geral, a precisão numérica dos valores das variáveis internas é melhor do que a dos valores de contorno previamente calculados. A razão matemática para isso pode ser colhida dos fundamentos do Método dos Resíduos Ponderados, pois que a forma aproximada da equação integral de
contorno (1) pode ser expressa em termos de uma ponderação de resíduos. Assim, o uso recursivo desta equação integral para determinação de valores numéricos das variáveis internas pode ser interpretado como um novo processo de minimização de resíduos, do qual se espera uma otimização dos resultados, implicando em melhor desempenho do método no cálculo das variáveis nesses novos pontos. A mesma idéia pode ser aplicada para recalcular valores de contorno, em diferentes posições do ponto fonte ao longo do elemento. Então, a forma recursiva da equação (2), considerando os valores de contorno previamente calculados e alocando novos pontos fonte ξi também no contorno é dada simplesmente por: N N i i e i e i k k k k e 1 e e 1 e c( )u( ) Q u * ( ; X)d U q * ( ; X)d = Γ = Γ ξ ξ =
∑
∫
φ ξ Γ −∑
∫
φ ξ Γ (4)Na equação (4), φ (X) são as funções de forma e k e k
Q e U são os valores nodais na ek fronteira. A posição dos novos pontos fonte não deve coincidir com os antigos pontos nodais, porque estes pontos já foram objeto de minimização de resíduos; a utilização recursiva da equação integral é mais eficaz quando os novos pontos se situam aproximadamente meia distância de dois pontos nodais adjacentes.
4 PROCEDIMENTO RECURSIVO PARA VALORES DAS DERIVADAS ESPACIAIS DO POTENCIAL
Não somente os valores do potencial no contorno podem ser recalculados pelo procedimento recursivo; também os valores das derivadas espaciais do potencial, relacionados às direções xj (ξ) (ou direções normal e tangencial) podem ser obtidos pelo
mesmo processo. A fundamentação matemática para determinação das derivadas espaciais segue os mesmos passos da formulação hipersingular do MEC (Brebbia e Dominguez, 1998).
Considere-se, inicialmente, um ponto fonte interno ξ. Tomando as derivadas espaciais nas direções cartesianas da equação integral (4) e usando a regra de Leibniz, segue-se que:
* * i i i i u, ( ) q ( ) u, ( ; X)q(X)d q, ( ; X)u(X)d Γ Γ ξ = ξ =
∫
ξ Γ −∫
ξ Γ (5) Onde: * * * * 2 i i i i i i j j j,i j u, ( ; X)ξ =q = −(1 / 2 r)r,π e q, ( ; X)ξ =p =(1 / 2 r )[2r, r, nπ −r n ] (6) Para se deduzir a equação integral hipersingular, acresce-se o domínio original de um setor infinitesimal, criado em torno do ponto fonte situado no contorno, e os efeitos gerados por essa adição são examinados, tal como é feito para a formulação singular. No entanto, os núcleos presentes nessas integrais possuem singularidades mais altas, requerendo um tratamento matemático mais elaborado (Telles e Prado, 1993 e Mansur et al, 1997). Assim, localizando o ponto fonte no contorno, resulta a equação integral:* *
i j i i
s( )q ( ) w( ) 3jiq ( ) CPV{ p ( ; X)[u(X) u( )]d q ( ; X)q(X)d }
Γ Γ
ξ ξ + ξ ε ξ =
∫
ξ − ξ Γ −∫
ξ Γ (7) Considerando contornos suaves, s(ξ) é igual a 0.5 e a integral anterior envolve somente as derivadas espaciais do potencial na direção xi , pois w(ξ) é nulo nessa condição;no entanto, para contornos não suaves, as derivadas do potencial relacionadas a duas diferentes direções aparecem acopladas na mesma equação, conforme indicado pelo tensor permutação ε3ji . Com relação as integrais de contorno, nenhuma delas é convergente
isoladamente no sentido geral; no entanto, quando consideradas juntas, suas singularidades se cancelam, no sentido do CPV. Entretanto, no procedimento recursivo, especialmente quando se utilizam elementos retilíneos e os novos pontos fonte são posicionados estrategicamente, importantes simplificações podem ser feitas e as integrais podem convergir isoladamente. Assim, já que os valores nos pontos nodais originais de contorno já foram previamente calculados e, considerando fronteiras suaves, a equação (7) pode ser reescrita e aplicada para novos pontos fonte ξi localizados em outras posições no contorno:
N N j j e j * j e * j i e k k i e k k i e 1 e 1 s( )q ( ) CPV{ [U u( )]p ( ; X)d Q q ( ; X)d } Γ Γ = = ξ ξ =
∑
∫
ϕ − ξ ξ Γ −∑
∫
ϕ ξ Γ (8) De acordo com a abordagem do Método dos Resíduos Ponderados, algumas diferenças aparecem na comparação entre a equação (8) e a sentença integral equivalente para o potencial, dada pela equação (4). Apesar de ambas as equações integrais fazerem uso dos valores nodais previamente calculados, as funções de ponderação são diferentes, compondo bases distintas para ortogonalização dos resíduos. Este é um fator importante para justificar a diferença de precisão do procedimento recursivo no cálculo do potencial com relação ao cálculo das derivadas espaciais do potencial, tal como ocorre no desempenho dos resultados entre a formulação singular e a hipersingular do MEC. Todavia, o fator mais importante é a presença do termo u(ξ), que se subtrai do valor da variável nodal U . Este termo, apresentado separadamente por conveniência na expressão ek (9), é responsável pela desejável integrabilidade da equação integral hipersingular no sentido do CPV; entretanto, sua estrutura matemática não pode ser deduzida dos princípios básicos do Método dos Resíduos Ponderados.Γ ξ ξ − φ =
∑ ∫
= Γ d ) X ; ( p )] ( u U [ ) X ; f(ξ *i j N 1 e e j k e k j (9)Em muitos casos, devido à baixa taxa de convergência desse termo, a formulação hipersingular apresenta desempenho bem inferior ao da formulação clássica do MEC. O mesmo comportamento ocorre com o procedimento recursivo no cálculo das derivadas espaciais do potencial; então, uma estratégia efetiva, descrita a seguir, deve ser usada para garantir boa precisão para a técnica recursiva, quando os potenciais não são constantes ou variam de ordem diferente daquela usada para as funções de forma empregadas no processo de discretização.
5 PROCEDIMENTO RECURSIVO E TÉCNICAS ADAPTATIVAS
Considerando a formulação do MEC via Método de Colocação, muitas formas de se estimar o erro estão proximamente relacionadas ao procedimento recursivo, mas apesar das semelhanças, há uma diferença conceitual. Em geral, considerando-se elementos de contorno lineares, alguns autores propõem estimar resíduos colocando pontos adicionais entre os pontos nodais resolvendo novamente a equação integral. Os resíduos são calculados através da diferença resultante entre a solução de cada novo ponto fonte ou de colocação e os valores determinados pela aproximação dada pela função de forma ao longo do contorno (Pessolani, 2002). Geralmente, é assumido que o erro é máximo no centro de cada elemento e zero em ambas as extremidades (Kitta e Kamiya, 2001). Se a discretização utiliza elementos constantes, os pontos adicionais de colocação são tomados em outro lugar que não o ponto médio de cada elemento. Qualquer seja o tipo de elemento, o procedimento recursivo é usado apenas para suprir a falta de informações relacionadas com resíduos, negligenciando o sentido da minimização do erro, que está implícita quando a equação integral é recursivamente.
6 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS
No exemplo que se segue, demonstra-se a eficiência do procedimento recursivo (RBE) em comparação com o procedimento de solução padrão ou direto (DBE). O problema escolhido consiste de um volume de controle quadrado com condições de contorno variáveis. São usados 16 elementos de contorno homogêneos com interpolação linear, com nós duplos em cada canto, perfazendo 20 pontos nodais. O uso de uma malha pouco refinada é proposital, para que se possa destacar a principal vantagem do procedimento recursivo, que é oferecer melhor precisão a partir de malhas com poucos nós.
Os elementos lineares são os mais adequados para implementação do procedimento recursivo. A posição dos pontos recursivos no centro do elemento faz com que o valor de s(ξ) seja sempre igual a 0.5 e problemas de descontinuidade que ocorrem na conexão dos elementos constante aqui não ocorrem. Além disso, estando no centro do elemento de contorno, a obediência ao CPV é mais facilmente satisfeita, pois o tamanho dos segmentos à esquerda e à direita do ponto fonte é igual.
A Figura 1 apresenta as características físicas e geométricas do problema a ser resolvido, onde o potencial representa a temperatura e as derivadas normais os fluxos difusivos.
Figura 1: Volume de Controle sujeito a Fluxos e Temperaturas não uniformes
A tabela 1 mostra os resultados diretos para as temperaturas nos nós onde o fluxo é prescrito. O erro médio percentual é de 0,16%. Para uma comparação mais justa com o procedimento recursivo, os valores do nós duplos não foram introduzidos na composição da tabela, pois são diretamente influenciados pela condição de contorno prescrita.
A Tabela 2 apresenta os resultados para a temperatura via RBE com os novos pontos fonte localizados no centro dos elementos de contorno. O erro médio percentual para o RBE foi de 0,14%, demonstrando melhor desempenho do que a DBE, especialmente nos pontos localizados ao longo da linha vertical direita.
A Tabela 3 apresenta os resultados do DBE para o fluxo normal. Conforme ressaltado anteriormente, os valores dos nós duplos não foram incluídos.
Os resultados de fluxo para o RBE são mostrados na Tabela 4. Apesar do bom desempenho do procedimento direto em termos do erro médio percentual (0,65%) os resultados recursivos têm maior precisão (0,25%), conforme mostra a Tabela 4.
Tabela 1 – Temperaturas obtidas pela DBE nos nós onde os fluxos foram prescritos
Tabela 2 – Temperaturas obtidas pela RBE nos novos pontos fonte
Tabela 3 – Valores absolutos do fluxo normal via DBE nos nós com temperatura prescrita
Tabela 4 – Valores absolutos do Fluxo normal via RBE nos novos pontos fonte
X Y NUM. ANAL. ER% 1.0 0.25 0.3820 0.3818 0.05 1.0 0.50 0.7403 0.7398 0.07 1.0 0.75 1.0532 1.0518 0.14 0.0 0.75 0.6833 0.6816 0.25 0.0 0.50 0.4805 0.4794 0.23 0.0 0.25 0.2479 0.2474 0.20
X Y NUM. ANAL. ER% 1.0 0.125 0.1924 0.1924 0.02 1.0 0.375 0.5654 0.5652 0.04 1.0 0.625 0.9035 0.9028 0.07 1.0 0.875 1.1860 1.1844 0.15 0.0 0.875 0.7696 0.7675 0.26 0.0 0.625 0.5865 0.5851 0.24 0.0 0.375 0.3671 0.3663 0.21 0.0 0.125 0.1249 0.1247 0.16
X Y NUM. ANAL. ERR% 0.25 0.0 1.0261 1.0314 0.52 0.50 0.0 1.1220 1.1276 0.50 0.75 0.0 1.2863 1.2946 0.64 0.75 1.0 0.7072 0.6995 1.10 0.50 1.0 0.6076 0.6092 0.27 0.25 1.0 0.5621 0.5573 0.86
X Y NUM. ANAL. ER% 0.125 0.0 1.0075 1.0078 0.20 0.375 0.0 1.0711 1.0711 0.01 0.625 0.0 1.2011 1.2017 0.05 0.875 0.0 1.4054 1.4078 0.17 0.875 1.0 0.7679 0.7606 0.29 0.625 1.0 0.6464 0.6493 0.45 0.375 1.0 0.5743 0.5787 0.76 0.125 1.0 0.5441 0.5445 0.07
Deve-se destacar que o procedimento recursivo requer um esquema especial de integração para a parcela dada pela expressão (9), de modo que se possam obter resultados de melhor precisão no caso dos fluxos. No caso de elementos lineares, não há problemas quando o potencial possui variação linear ou constante, pois que a citada integral depende do valor médio entre os pontos nodais. Todavia, quando gradientes mais altos são impostos, é preciso considerar informações adicionais sobre o comportamento do potencial ao longo do elemento. No RBE isto é feito facilmente através da inserção do valor do potencial u(ξ) no centro do elemento, calculado recursivamente e inserido ponderadamente, juntamente com os valores nodais de cada extremidade, melhorando a precisão da referida integral.
Para melhor ilustrar o comportamento do procedimento recursivo, foram traçadas curvas contínuas de erro médio percentual no cálculo da temperatura ao longo das duas arestas verticais do volume de controle, nas quais os fluxos são prescritos. Nessa experiência, além da malha com 16 elementos, foi usada também uma com 32 elementos de contorno lineares.
Na Figura 2, o quadro da esquerda apresenta a curva recursiva de erro médio percentual para a aresta vertical direita, onde o fluxo prescrito é variável; no quadro da direita, a curva de erro médio percentual para a aresta vertical esquerda, onde o fluxo é constante. Os resultados do erro médio percentual para os pontos recursivos posicionados no centro de cada elemento de contorno são destacados, bem com o erro médio percentual para os valores de temperatura nos pontos nodais, de acordo com a legenda apresentada.
Para a aresta vertical direita, considerando-se 16 elementos de contorno linear, há uma clara tendência para a redução dos erros percentuais entre os pontos nodais, indicando a minimização de erro proposta pelo RBE. Esta conclusão não é válida nas proximidades dos cantos, onde o procedimento recursivo parece não ser tão eficaz. O refinamento da malha suaviza a curva de erro percentual, conforme mostrado. Para a aresta vertical esquerda, devido à uniformidade da condição de fluxo prescrito ao longo da fronteira, o comportamento da curva de erro médio percentual no cálculo da temperatura é diferente, não existindo pontos significativos de mínimo situados entre dois pontos nodais. Assim, o procedimento recursivo não produz resultados tão melhores do que o direto. Isso mostra que a eficiência do procedimento recursivo depende do quão distante se encontra a solução numérica com relação à solução exata do problema, tal como nos procedimentos adaptativos.
Figura 2: Curvas de erro médio percentual para temperaturas recursivas nos pontos situados ao longo das arestas verticais.
7 CONCLUSÕES
É um fato bem conhecido que a utilização recursiva da equação integral de contorno para determinar os valores em pontos internos do domínio interno produz resultados numéricos com maior precisão do que os resultados em nós de fronteira. No entanto, o uso desta estratégia para recalcular os valores das variáveis de contorno limite não aparece em nenhuma fonte da literatura especializada com o MEC. Desde que a estrutura matemática da equação integral do MEC, à luz dos princípios do Método dos Resíduos Ponderados, consiste de um produto interno onde os resíduos são expurgados do subespaço gerado para conter a solução aproximada, o uso recursivo dessa equação com novos pontos fonte pode significar uma nova minimização de resíduos – e este é o alicerce do presente trabalho.
Considerando as eventuais semelhanças entre o procedimento recursivo e as técnicas adaptativas, a estratégia utilizada nas técnicas de adaptação é diferente: a inserção de novos pontos de colocação para o cálculo de resíduos é feita apenas para identificar novos pontos onde refinar a malha, aumentar a ordem dos elementos ou os pontos nodais, de acordo com a técnica de adaptação escolhido.
De acordo com testes preliminares implementados, o procedimento recursivo age de forma relativamente eficaz, melhorando os resultados dados pelo MEC, embora isso dependa, naturalmente, de quão distante está a solução numérica obtida com relação à solução exata. Assim, espera-se que a RBE possa ser usada com sucesso em casos escalares mais difíceis e, especialmente, em problemas de elasticidade. Naturalmente, a RBE não se destina a substituir ou superar as técnicas adaptativas, que compreendem um processo numericamente mais elaborado.
8 BIBLIOGRAFIA
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Brebbia C.A., 1978, “The Boundary Element Method For Engineers”, Pentech Press. Brebbia C.A., Domínguez J., 1998, “The Boundary Element Method - An Introductory
Course”. WIT Press.
Kita E., Kamiya N., 2001, Error Estimation and Adaptive Mesh Refinement in Boundary Element Method, An Overview. Engineering Analysis with Boundary Elements, 25, pp 479-495.
Mansur, W.J., Fleury Jr P., Azevedo J.P.S.,1997, A Vector Approach to the Hyper-Singular BEM Formulation for Laplace´s Equation in 2D. International Journal of BEM Communications, 8, pp 239-250.
Pessolani, R.V., 2002, An Hp-Adaptive Hierarchical Formulation for the Boundary Element Method Applied to Elasticity in Two Dimensions. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences, 24(1): pp 23-45.
Telles J.C.F., Prado A.A., 1993, Hyper-singular formulation for 2-D potential problems. In: Aliabadi, MH, Brebbia CA, Editors. Advanced Formulations in Boundary Element Methods, Chapter 9, Elsevier.
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