Ana Paula Fernandes | anapaula.fernandes@uftm.edu.br | (34) 99645 1975
Bioestatística
Aula teórica: Probabilidade
Educação FísicaConceitos
•
Um
experimento probabilístico é uma ação, ou
tentativa sujeita à lei do
acaso
, pela qual resultados específicos (contagens, medições ou respostas)
são obtidos.
•
O produto de uma única tentativa em um experimento probabilístico é um
resultado.
•
O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
probabilístico é o
espaço amostral.
•
Um
evento é um subconjunto do espaço amostral. Ele pode consistir em um
Exemplo
Um experimento probabilístico consiste no lançamento de uma
moeda e de um dado de seis faces. Determine o número de
resultados e identifique o espaço amostral.
1
2
3
4
5
6
Cara
H
1
2
3
4
5
6
Coroa
T
H1 H2 H3 H4 H5 H6
T1
T2
T3
T4
T5
T6
12
resultados
possíveis
Espaço amostral? Evento?
•
O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
probabilístico é o
espaço amostral.
•
No exemplo:
•
O evento de
“sair cara e face 3”
é um
evento simples e pode ser
representado como
•
O evento de
“sair cara e um número par”
não é simples, pois consiste em
três resultados possíveis, que podem ser representados como
Ω = {H1, H2, H3, H4, H5, H6 T1, T2, T3, T4, T5, T6}
A = {H3}
B = {H2, H4, H6}
Princípio fundamental da contagem
Se um evento pode ocorrer de
m maneiras e um segundo
evento pode ocorrer de
n maneiras, o número de maneiras
que os dois eventos podem ocorrer em sequência é
m x n.
Essa regra pode ser estendida para qualquer número de
eventos ocorrendo em sequência.
2
4
3
Tipos de probabilidade
•
O método que você utilizará para calcular uma probabilidade
depende do tipo de probabilidade.
•
Há três tipos:
probabilidade clássica
,
probabilidade
empírica
e
probabilidade subjetiva
.
•
A probabilidade de ocorrência de um evento E é escrita como
P(E) e lê-se “probabilidade do evento E”.
Lei dos grandes números
Conforme um experimento é repetido um grande numero de vezes, a
probabilidade empírica de um evento tende a se aproximar de sua
probabilidade teórica (real).
Exemplo:
Você lança a moeda 10 vezes e obtém 3 caras, dessa forma você obtém uma probabilidade empírica de 3/10.
Como você lançou a moeda apenas algumas vezes, sua probabilidade empírica não é representativa da probabilidade teórica, que é 1/2.
A lei dos grandes números diz que a probabilidade empírica, após lançar a moeda alguns milhares de vezes, será bem próxima à probabilidade teórica ou real.
O terceiro tipo de probabilidade é a
probabilidade subjetiva, que
resulta de conjeturas e de estimativas por intuição.
Por exemplo, dada a saúde de um paciente e a extensão dos
ferimentos, um médico pode sentir que o paciente tem 90% de
chance de recuperação total.
Ou um analista de negócios pode prever que a chance de os
funcionários de certa empresa entrarem em greve é de 0,25.
Probabilidade condicional
Probabilidade do evento B
ocorrer
dado que
A correu:
Exemplo de prob. condicional
A tabela mostra os resultados de um estudo no qual os
pesquisadores examinaram o QI de uma criança e a presença de um gene específico nela. Encontre a probabilidade de que a criança tenha um QI alto, dado que ela tem o gene.
CONDIÇÃO! Gene
presente ausenteGene TOTAL
QI alto 33 19 52
QI normal 39 11 50
TOTAL 72 30 102
P(QI alto|Gene presente) = 33
Eventos independentes
•
Dois eventos são independentes quando a
ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro.
•
Usando a prob. condicional:
•
Se
, então os eventos são
dependentes!
P(B|A) = P(B)
P(B|A) ≠ P(B)
Regra da multiplicação
•
A probabilidade de que dois eventos ocorram
em sequência é:
•
Se o eventos são independentes:
P(A
e
B) ≡ P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B|A)
Exemplo da regra da multiplicação
•
Em um processo para a seleção de júri, 65% das pessoas são mulheres. Destas, uma de cada quatro trabalha na área da saúde.•
Calcule a prob. de que uma pessoa selecionada aleatoriamente do júri seja mulher etrabalhe na área de saúde. Esse evento é incomum (improvável)?
Processo para seleção de júri
Mulher Trabalha na área da saúde A = {mulher} B = {trabalha na área de saúde} Definindo os eventos: Sabemos:
P(A) = 0,65 e P(B|A) = 0,25
P(A e B) = P(A) ⋅ P(B|A)
Portanto:
P(A e B) = 0,65 ⋅ 0,25 = 0,1625
•
Determine a prob. de que uma pessoa selecionada no júri seja mulher e
não trabalhe na área de saúde. Esse evento é incomum?
Sabemos:
P(A) = 0,65 e P(B|A) = 0,25
P(A e B) = P(A) ⋅ P(B|A)
¯B = {não trabalha na área de saúde}
Definindo:
P(A e ¯B) = P(A) ⋅ P( ¯B|A)
P(A e ¯B) = P(A) ⋅ (1 − P(B|A))
P(A e ¯B) = 0,65 ⋅ 0,75 = 0,4875
Não é um evento incomum.Regra da adição
•
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quandoA e B não puderem ocorrer ao mesmo tempo.
A B
A ∩ B
A
B
A ∩ B = ∅
#(A ∪ B) = #A + #B − #(A ∩ B)
Se o eventos são independentes
P(A e B) ≡ P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B|A)
P(A e B) ≡ P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
Regra da multiplicação
Regra da adição
Se o eventos são excludentes:P(A
ouB) ≡ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Exemplo - regra da adição
•
Um banco de sangue cataloga os tipos de sangue, incluindo fator Rh positivo ou negativo, de doadores nos últimos cinco dias. O número de doadores de cada tipo sanguíneo é mostrado na tabela. Um doador é selecionado aleatoriamente.O A B AB TOTAL
Rh+ 156 139 37 12 344
Rh- 28 25 8 4 65
TOTAL 184 164 45 16 409
1. Qual a probabilidade de que o doador tenha sangue tipo O ou tipo A?
2. Qual a probabilidade de que o doador tenha sangue tipo B ou que
seja Rh-?
P(O ou A) ≡ P(O ∪ A)
O A B AB TOTAL Rh+ 156 139 37 12 344
Rh- 28 25 8 4 65
TOTAL 184 164 45 16 409
1. Qual a probabilidade de que o doador tenha sangue tipo O ou tipo A?
P(O ou A) ≡ P(O ∪ A) = P(O) + P(A) − P(O ∩ A) = 184
409 + 164409 − 0 = 348409 ≈ 0,851
O A B AB TOTAL Rh+ 156 139 37 12 344
Rh- 28 25 8 4 65
TOTAL 184 164 45 16 409
2. Qual a probabilidade de que o doador tenha sangue tipo B ou que seja Rh-?
P(B ou Rh−) ≡ P(B ∪ Rh−) = P(B) + P(Rh−) − P(B ∩ Rh−)
= 45
409 + 65409 − 8409 = 102409 ≈ 0,249
Eventos não são
