Felder & Rousseau - Princípios Elementares dos Processos Químicos, 3ed.pdf

Texto

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TABELAS

E FIGURAS

SELECIONADAS

Miscelânea

Fatores para Conversão de Unidades Pesos e Números Atômicos

Carta Psicrométrica (Umidade): Unidades SI

Carta Psicrométrica (Umidade): Unidades Americanas de Engenharia

Propriedades Físicas Selecionadas (pesos moleculares, densidades relativas de sólidos e líquidos, pontos de ebulição e de fusão, calores de fusão e de vaporização, temperatura e pressão críticas, calores de formação e de combustão padrão)

Leis para Gases (Relações

PVT)

Constante dos Gases

Condições Normais para Gases Fatores Acêntricos de Pitzer

Cartas de Compressibilidade

Dados de Pressão de Vapor

Carta de Cox (gráficos de pressão de vapor) Pressão de Vapor da Água

Constantes da Equação de Antoine

Dados Termodinâmicos

Capacidades Caloríficas

Propriedades do Vapor Saturado: Tabela da Temperatura Propriedades do Vapor Saturado: Tabela da Pressão Propriedades do Vapor Superaquecido

Entalpias Específicas de Gases Selecionados: Unidades SI

Entalpias Específicas de Gases Selecionados: Unidades Americanas de Engenharia Capacidades Caloríficas Atômicas para a Regra de Kopp

Calores Integrais de Solução e Mistura a 25ºC

Dados para

Sistemas

Específicos

Diagrama de Fase Triangular para Água-Acetona-Metil Isobutil Cetona a 25ºC Diagrama Entalpia-Concentração para H2S04 - H20

Diagrama Entalpia-Concentração para NH3 - H20

G

l

G3-G4 336 337 545-550 G4 170 176 182-184 215 553-554 555-556 551-552 557 558-560 561-562 563 563 564 564 239 349 352

(3)

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ORES PARA CONVERSÃO DE UNIDADES

Grandeza Valores Equivalentes

Massa 1 kg = 1000 g = 0,001 tonelada métrica= 2,20462 lbm = 35,27392 oz llbm = 16 oz = 5 X 10-4 t

=

453,593 g = 0,453593 kg

Comprimento lm = 100 cm = 1000 mm = 106 mícrons (µm) = 1010 angstroms (Â) = 39,37 in = 3,2808 ft = 1,0936 yd = 0,0006214 milha

1ft = 12 in = 1/3 yd = 0,3048 m = 30,48 cm Volume 1 m3 = 1000 L = 106 cm3 = 106 mL

= 35,3145 ft3 = 220,83 galões imperiais= 264,17 gal = 1056,68 qt

1 ft3 = 1728 in3 = 7,4805 gal = 0,028317 m3 = 28,317 L = 28.317 cm3

Força lN = 1 kg·m/s2 = 105 dinas = 105 g·cm/s2 = 0,22481 lbr 1 lbf = 32,174 lbm·ft/s2 = 4,4482 N = 4,4482 X 105 dinas

Pressão 1 atm = 1,01325 X 105 N/m2 (Pa) = 101,325 kPa = 1,01325 bar

= 1,01325 X 106 dinas/cm2

= 760 mm Hg a OºC (torr) = 10,333 m H2

0

a 4ºC = 14,696 lb/in2 (psi) = 33,9 ft H

2

0

a 4ºC

= 29,921 in Hg a OºC

Energia 1 J = 1 N·m = 107 ergs = 107 dina·cm = 2,778 X 10-1 kW·h = 0,23901 cal

= 0,7376 ft-lbr = 9,486 X 10-4 Btu

Potência lW = 1 J/s = 0,23901 cal/s = 0,7376 ft·lb/s = 9,486 X 10-4 Btu/s

= 1,341 X 10-3 hp

. , (2,20462 lb )

Exemplo: O fator para converter gramas em lbm e m . 1000 g

(4)

,,

PRINCIPIOS

B

CPT

ELEMENTARES

DOS PROCESSOS

,,

QUIMICOS

Terceira Edição

Richard M. Felder

Departamento de Engenharia Química

North Carolina State University

Raleigh, North Carolina

Ronald W. Rousseau

F acuidade de Engenharia Quím

i

ca

Georgia Institute of Technology

Atlanta, Georgia

Tradução:

Martín Aznar

Faculdade de Engenharia Química

Universidade Estadual de Campinas, UNICAMP Campinas, SP

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Maranhão

BIBLIO

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l · · · 1 1 1, !

Prefácio da Primeira Edição ix

Prefácio da Terceira Edição xi

Ao Professor xiii

Nomenclatura xv

Glossário de Termos de Processos Químicos xix

PARTE 1 ANÁLISE DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA 1

Capítulo 1

Capítulo 2

Capítulo 3

O que Alguns Engenheiros Químicos Fazem da Vida 3

Introdução a Cálculos de Engenharia 6

2.0 Objetivos Educacionais 6 2.1 Unidades e Dimensões 7 2.2 Conversão de Unidades 7 2.3 Sistemas de Unidades 8 2.4 Força e Peso 10

2.5 Estimação e Cálculos Numéricos 12

2.6 Homogeneidade Dimensional e Quantidades Adimensionais 18 2.7 Representação e Análise de Dados de Processo 20

2.8 Resumo 27 Problemas 28

Processos e Variáveis de Processo 38

3.0 Objetivos Educacionais 38 3.1 Massa e Volume 39 3.2 Vazão 41 3.3 Composição Química 42 3.4 Pressão 48 3.5 Temperatura 54 3.6 Resumo 56 Problemas 58

PARTE 2 BALANÇOS DE MASSA

71

Capítulo 4

Fundamentos de Balanços de Massa 73

4.0 Objetivos Educacionais 73

4.1 Classificação de Processos 74 4.2 Balanços 74

(6)

xxii Sumário

Capítulo

5

4.4 Balanços em Processos de Múltiplas Unidades 91 4.5 Reciclo e Desvio 97

4.6 Estequiometria das Reações Químicas 102

4.7 Balanços em Processos Reativos 110 4.8 Reações de Combustão 125

4.9 Algumas Considerações Adicionais Acerca de Processos Químicos 133 4.10 Resumo 135

Problemas 137

Sistemas Monofásicos

164

5.0 Objetivos Educacionais 165

5.1 Massas Específicas de Líquidos e Sólidos 165 5.2 Gases Ideais 167

5.3 Equações de Estado para Gases Não-ideais 174

5.4 A Equação de Estado do Fator de Compressibilidade 181 5.5 Resumo 186

Problemas 187

Capítulo

6

Sistemas Multifásicos

207

6.0 Objetivos Educacionais 208

6.1 Equilíbrio de Fases para um Componente Puro 210 6.2 A Regra das Fases de Gibbs 216

6.3 Sistemas Gás-Líquido: Um Componente Condensável 217

6.4 Sistemas Gás-Líquido Multicomponentes 223 6.5 Soluções de Sólidos em Líquidos 231

6.6 Equilíbrio entre Duas Fases Líquidas 237 6.7 Adsorção sobre Superfícies Sólidas 240 6.8 Resumo 243

Problemas 245

PARTE

3

BALANÇOS

DE

ENERGIA 271

Capítulo

7

Energia e Balanços de Energia 273

7.0 Objetivos Educacionais 274

7 .1 Formas de Energia: A Primeira Lei da Termodinâmica 27 5

7.2 Energias Cinética e Potencial 276

7.3 Balanços de Energia em Sistemas Fechados 277

7.4 Balanços de Energia em Sistemas Abertos no Estado Estacionário 279

7 .5 Tabelas de Dados Termodinâmicos 284

7.6 Procedimentos de Balanços de Energia 287

7.7 Balanços de Energia Mecânica 290 7.8 Resumo 294

Problemas 296

Capítulo

8

Balanços em

Processos

Não-reativos 311

8.0 Objetivos Educacionais 311

Capítulo 9

8.1 Elementos em Cálculos de Balanços de Energia 312

8.2 Mudanças na Pressão a Temperatura Constante 318

8.3 Mudanças na Temperatura 319

8.4 Operações deMudança de Fase 329

8.5 Mistura e Solução 345 8.6 Resumo 355

Problemas 358

Balanços

em

Processos Reativos 384

(7)

9.1 Calores de Reação 385

9.2 Medição e Cálculo de Calores de Reação: Lei de Hess 388

9.3 Reações de Formação e Calores de Formação 390

9.4 Calores de Combustão 391

9.5 Balanços de Energia em Processos Reativos 392

9.6 Combustíveis e Combustão 404

9.7 Resumo 412

Problemas 415

Capítulo 10 Cálculos de Balanço Auxiliados por Computador

439

10.0 Objetivos Educacionais 439

10.1 A Análise de Graus de Liberdade Revisitada 439

10.2 Simulação Seqüencial Modular 445 10.3 Simulação Baseada em Equações 454

10.4 Pacotes Comerciais de Simulação de Processos 463 10.5 Considerações Finais 463

Problemas 463

Capítulo 11 Balanços em

Processos

Transientes 472

11.0 Objetivos Educacionais 472

11.1 A Equação Geral do Balanço ... de Novo 472

11.2 Balanços de Massa 476

11.3 Balanços de Energia em Processos Monofásicos Não-reativos 481 11.4 Balanços Transientes Simultâneos 486

11.5 Resumo 489 Problemas 490

PARTE 4 ESTUDOS DE CASO 501

Capítulo 12 A Produção de Cloreto de Polivinila Clorado 503

A Química da Reação de Cloração do PVC 504

Descrição do Processo 504 Problemas 507

Sumário xxiii

Capítulo 13 Reforma por

Vapor

de Gás Natural e Subseqüente Síntese

de Metanol 513

Descrição do Processo 514 Problemas 517

Capítulo 14 O Uso de Lavagem por Lama de

Calcário

para Remover Dióxido

de Enxofre de Gases

de

Combustão de Plantas de Energia 523

Descrição do Processo 524 Problemas 525

Apêndice A Técnicas Computacionais 527

A.1 O Método dos Mínimos Quadrados 527

A.2 Solução Iterativa de Equações Algébricas Não-lineares 529 A.3 Integração Numérica 540

Apêndice B Tabelas de Propriedades Físicas

544

B.1 Propriedades Físicas Selecionadas 545 B.2 Capacidades Caloríficas 551

B.3 Pressão de Vapor da Água 553

(8)

XXIV Sumário

B.5 Propriedades do Vapor Saturado: Tabela da Temperatura 557 B.6 Propriedades do Vapor Saturado: Tabela da Pressão 558 B.7 Propriedades do Vapor Superaquecido 561

B.8 Entalpias Específicas de Gases Selecionados: Unidades SI 563

B.9 Entalpias Específicas de Gases Selecionados: Unidades Americanas de Engenharia 563

B.10 Capacidades Caloríficas Atômicas para a Regra de Kopp 564 B.11 Calores Integrais de Solução e Mistura a 25ºC 564

Respostas dos Testes 565

Respostas

aos Problemas Selecionados 572

Índice

576

(9)

Parte Um

Análise de Problemas de

Engenharia

(10)

Capítulo

1

O que Alguns Engenheiros

Químicos Fazem da Vida

No último mês de maio,1 os formandos de engenharia química de uma grande universidade fizeram a sua última prova final, foram à sua festa de formatura, despediram-se uns dos outros prometendo fielmente ficar em contato e se dispersaram em uma impressionante variedade de direções geográficas e carreiras.

Já que você comprou este livro, provavelmente está pensando em seguir os passos desses recém- forma-dos - passar os próximos anos aprendendo a ser um engenheiro químico e possivelmente os próximos 40 aplicando·o que você aprendeu. Mesmo assim, é quase certo que, como a maior parte dos seus colegas, você tem apenas uma idéia limitada do que é ou do que faz um engenheiro químico. Portanto, uma forma lógica de começar este livro seria com uma definição precisa da engenharia química.

Infelizmente, não existe uma definição universalmente aceita da engenharia química, e quase qualquer tipo de atividade que você possa pensar está sendo desenvolvida em algum lugar por pessoas que foram treinadas como engenheiros químicos. Portanto, vamos abandonar a idéia de formular uma definição sim-ples e, em vez disso, vamos dar uma olhada no que aqueles recém-formados fizeram, seja imediatamente após a formatura ou depois de umas merecidas férias. Considere estes exemplos e veja se algum deles soa como o tipo de carreira que você gostaria de seguir.2

• Cerca de 45% da turma foram trabalhar para grandes firmas fabricantes de produtos químicos, petroquímicos, polpa e papel, plásticos e outros materiais, e têxteis.

• Outros 35% foram trabalhar em agências governamentais e firmas de consultoria e projeto (muitas de-las especializadas em legislação ambiental e controle da poluição).

• Cerca de 10% passaram diretamente para a pós-graduação em engenharia química. Os candidatos ao mestrado aprofundarão o seu conhecimento nas áreas tradicionais da engenharia química (termodinâ-mica, projeto e análise de reatores químicos, dinâmica dos fluidos, transferência de calor e massa, e controle e projeto de processos químicos), e em cerca de dois anos a maior parte deles defenderá a sua tese e conseguirá trabalho fazendo projetos de processos, sistemas de controle ou desenvolvimento de produtos. Os candidatos ao doutorado aprofundarão ainda mais o seu conhecimento, desenvolvendo novos projetos de pesquisa, e em quatro ou cinco anos a maior parte deles defenderá a sua tese e irá para pes-quisa e desenvolvimento industrial ou para o corpo docente de uma universidade.

• Os 10% restantes da turma voltaram à universidade para fazer um outro curso, em uma área diferente, como medicina, direito ou administração.

• Vários foram trabalhar em empresas fabricantes de produtos químicos específicos - fármacos, tintas, pig-mentos e cosméticos, entre muitos outros. Todas essas empresas costumavam contratar apenas químicos para projetar e operar os seus processos de produção, mas nas últimas décadas descobriram que, se quises-sem continuar competitivas, teriam que prestar atenção a coisas como eficiência de mistura, transferência de calor, controle automático de temperatura e de nível de líquido, controle estatístico de qualidade e con-trole de emissão de poluentes. As empresas descobriram também que os engenheiros químicos eram trei-nados e educados nestes tópicos, enquanto os químicos não; nesse momento, essas indústrias se transfor-maram em um mercado de trabalho de crescente importância para engenheiros químicos.

• Alguns foram trabalhar para companhias que fabricam circuitos integrados semicondutores. Uma etapa crítica na produção de chips de computador, por exemplo, envolve o revestimento de pequenos

sanduí-' Nos Estados Unidos, o ano escolar vai de setembro a maio, com férias de verão durante os meses de junho, julho e agosto. (N.T.)

2 Deve ser levado em conta que os autores se referem aqui à realidade do mercado de trabalho nos Estados Unidos. No Brasil, a situação é bastante

(11)

4 Capítulo Um

EXEMPLOI

ches de silício com camadas extremamente finas e uniformes de materiais semicondutores contendo si lício. A técnica usada para este processo chama-se deposição química de vapor, na qual o material de revestimento é formado em uma reação química na fase gasosa e depois depositado sobre a superfícü do sanduíche. Os engenheiros que trabalham nesta área podem vir a ser chamados para identificar rea ções que possam ser usadas para produzir os filmes desejados, para determinar as melhores condiçõe: nas quais conduzir essas reações, para projetar os reatores e para melhorar a sua operação.

• Alguns cursaram disciplinas eletivas em bioquímica e microbiologia e arranjaram emprego em empre

sas de biotecnologia pequenas, mas com perspectivas de rápido crescimento. Um engenheiro trabalh,

no projeto de processos de produção de fármacos que envolvem enzimas imobilizadas, catalisadore:

biológicos que podem fazer com que reações específicas transcorram muito mais rápido do que o farian na ausência destes materiais. Vários outros trabalham em processos que envolvem engenharia genéti· ca, na qual o DNA recombinante é sintetizado e usado para produzir valiosas proteínas e outros produ tos medicinais e agrícolas que seriam muito difíceis de se obter por quaisquer outros meios.

• Alguns se juntaram a companhias que fabricam polímeros (plásticos). Um está trabalhando no desen· volvimento de membranas para dessalinização de água do mar (a água potável passa através da mem brana e o sal é retido) e para separações de gases ( o hidrogênio passa através da membrana e os hidro· carbonetos ficam retidos, ou vice-versa); outro está desenvolvendo membranas para serem usadas err rins artificiais de fibra oca ( o sangue flui do corpo do paciente através de tubos de paredes finas; os dejetrn metabólicos no sangue passam através das paredes finas do tubo, mas as proteínas e outras substância: importantes permanecem no sangue; no fim, o sangue purificado retoma ao corpo).

• Quatro dos engenheiros recém-formados foram estudar medicina (engenheiros químicos que cursarr

várias disciplinas eletivas em ciências biológicas costumam ter sucesso no acesso às escolas de mediei· na). Um foi estudar direito. Três entraram em um curso de MBA (Master of Business Administration) e

depois de completá-lo, provavelmente irão trabalhar na parte administrativa de indústrias químicas. • Uma das recém-formadas juntou-se aos Corpos de Paz para um período de dois anos na África Orienta:

ajudando comunidades locais a desenvolver sistemas de tratamento de esgoto e ensinando ciências e inglês em uma escola rural. Quando ela retomar, cursará um programa de doutorado, entrará para o quadre docente de uma faculdade de engenharia química, escreverá um livro definitivo sobre as aplicações am-bientais dos princípios da engenharia química, progredirá rapidamente até se tomar professora titular

se demitirá depois de dez anos para concorrer ao Senado dos Estados Unidos, será eleita por dois

man-datos e finalmente se tomará presidente de uma grande e altamente bem-sucedida fundação privad::

dedicada à melhoria da educação em comunidades economicamente prejudicadas. Ela atribuirá o

suces-so da sua carreira às habilidades de resolução de problemas que adquiriu no seu curso de graduação err

engenharia química.

• Em vários momentos das suas carreiras, alguns dos engenheiros trabalharão em laboratórios químicos, bioquímicos, biomédicos ou de ciência dos materiais, fazendo pesquisa e desenvolvimento ou engenharia de qualidade; em terminais de computador, projetando processos, produtos e sistemas de controle; em ati-vidades de campo, administrando a construção e a partida de plantas químicas; na planta de produção,

su-pervisionando, resolvendo problemas e melhorando a operação; na rua, prestando serviços de assistêncü

e vendas técnicas; em escritórios executivos, realizando funções administrativas; em agências do governe

responsáveis pela saúde e segurança ambiental e ocupacional; em hospitais e clínicas, praticando medicin:: ou engenharia biomédica; em escritórios de advocacia, especializando-se em patentes de processos quími-cos; em salas de aula, ensinando a próxima geração de estudantes de engenharia química.

Mesmo os engenheiros químicos que vão trabalhar em processos químicos tradicionais acabam desem-penhando uma ampla variedade de tarefas. Considere o seguinte exemplo e veja se algum dos problema~ descritos se assemelha a desafios com os quais você se envolveria.

Um químico do departamento de pesquisa e desenvolvimento da sua companhia descobriu que, misturando doü reagentes em uma certa proporção e a temperatura elevada, obtém um produto significativamente mais valioso de que os reagentes. A companhia pretende fabricar esse produto usando um processo baseado nessa reação. Nesse ponto, o assunto se transforma em um problema de engenharia, ou, mais precisamente, em centenas de problemas

de engenharia.

1. Que tipo de reator deve ser usado? Uma tubulação comprida? Um tanque grande? Vários tanques pequenos?

Um tubo de ensaio extremamente grande? De que tamanho? Feito de quê? Deve ser aquecido? Se deve, quantc e como? Com um aquecedor elétrico fora ou dentro do reator? Passando um fluido quente por uma serpentina dentro do reator? Aquecendo os reagentes antes de eles entrarem no reator? A reação fornece o seu própric calor, de maneira que o aquecimento é necessário apenas para dar a partida? Se isto acontece, a reação poderia

(12)

a s n 1 -l -i -) -ill >S as m :i-e, tal ; e Iro m-ar, Ul-tda es -em :os,

rria

a ti-su -!lCia :mo ::ina ími-e m-mas dois ;o do -esse emas mos? llfilltO :ntina iiprio Jderia

O que Alguns Engenheiros Químicos Fazem da Vida 5

fugir ao controle e explodir o reator? Devem ser introduzidas medidas de controle para prevenir isto? Quais seriam essas medidas?

2. De onde devem ser obtidos os reagentes? Podem ser comprados ou produzidos diretamente? Em que proporções eles devem alimentar o reator?

3. O efluente do reator, que contém o produto e os reagentes não consumidos, deve ser vendido tal como está ou os reagentes devem ser separados do produto e devolvidos ao reator? Se a opção é pela separação, como pode ser feita? Aquecendo a mistura e condensando o vapor, que será mais rico nas substâncias voláteis do que a mistura original? Adicionar outra substância que extraia o produto e que seja irniscível com os reag;entes, e separar as duas fases mecanicamente? Se todos os materiais são gases à temperatura da reação, a mistura poderia ser resfriada a uma temperatura na qual o produto condense mas os reagentes não, ou vice-versa? Se os materiais são líquidos, a mistura pode ser resfriada até uma temperatura na qual o produto cristalize mas os reagentes não, ou vice-versa? Em cada uma destas alternativas, que tipo de equipamento será necessário? De que tamanho? De que material? Quais os requisitos de aquecimento ou de resfriamento? Serão necessários controles para manter a operação den -tro de limites rígidos? Que tipo de controles? Devem ser manuais ou automáticos?

4. Como as correntes de reagentes e produtos devem se deslocar entre o reator e qualquer outro equipamento de aque-cimento, resfriamento ou separação envolvido? Por gravidade, desde um tanque de alimentação elevado? Com bombas, compressores, ventiladores ou esteiras transportadoras? De que tipo? De que tamanho? Em tubos feitos do quê?

5. Conhece-se o suficiente acerca do sistema reacional para responder a todas estas questões? Ou devem ser feitos estudos adicionais de laboratório? Que tipo de estudos? Podem ser usados diretamente os dados de laboratório para o projeto da planta industrial ou deve-se primeiro construir uma planta piloto para testar o projeto? Que tama-nho deve ter esta planta piloto?

6. O que pode dar errado durante o processo e quais as medidas que podem ser tomadas se e quando isso acontecer? 7. Existem dejetos industriais do processo? Em que quantidade? São potencialmente prejudiciais se forem liberados no meio ambiente sem tratamento? Se sim, de que maneira? O que pode ser feito para reduzir os riscos de conta-minação? Tratar quimicamente os dejetos? Selar os dejetos líquidos e sólidos em recipientes e jogá-los ao mar? Dispersar os gases na atmosfera com uma chaminé alta? Precipitar os sólidos eletrostaticamente do efluente gaso -so?

8. Quanto do processo deve ser automatizado? Como isto pode ser feito?

9. Quanto tudo isso vai custar? Por quanto pode ser vendido o produto e para quem? Quanto dinheiro o processo renderá durante os próximos anos? É suficiente para tomá-lo viável? Se é, onde deve ser construída a planta? 10. Uma vez que a planta tenha sido construída, qual o procedimento para a partida da mesma?

11. Seis meses depois da partida do processo, por que o produto ainda não sai com as especificações que tinha no laboratório? É uma falha dos equipamentos ou uma mudança nas condições em algum lugar entre o laboratório e o processo industrial? Como podemos descobrir? O que pode ser feito para corrigir o problema? É necessário parar o processo para introduzir modificações?

12. Durante os seis meses iniciais houve três explosões e quatro incêndios na unidade do reator. Isto é significativo ou apenas uma coincidência? Em cada caso, como podemos evitá-los?

13. Toda sorte de outras coisas estão dando errado durante a operação do processo. Por que não estavam na lista das coisas que podiam dar errado? O que pode ser feito?

14. Quando o processo finalmente começa a trabalhar perfeitamente e no dia seguinte vem uma ordem para mudar as especificações do produto, como isto pode ser feito sem reprojetar o processo inteiro? Por que eles não pensaram nisso antes de construir a planta?

As diferentes trajetórias e atividades descritas neste capítulo são claramente muito diferentes para se-rem agrupadas em uma única categoria. Elas envolvem áreas como física, química, biologia, ciência ambi-ental, medicina, matemática aplicada, estatística, ciências da computação, economia, administração e ciên-cia de informação, pesquisa, projeto, construção, vendas e assistênciên-cia técnica, supervisão de produção e administração de negócios. A única característica comum é que os engenheiros químicos podem se encai-xar em todas elas. Parte do conhecimento científico necessário para realizar estas tarefas será apresentado mais adiante, dentro do currículo de engenharia química; uma pequena parte aparece neste livro, e a maior parte deverá ser aprendida depois da formatura. No entanto, existem técnicas fundamentais desenvolvidas para formular e resolver problemas técnicos, que são independentes do problema específico. Quais são al-gumas dessas técnicas e como e quando usá-las são os tópicos deste livro.

(13)

Capítulo

2

Introdução a Cálculos

de Engenharia

O Capítulo 1 sugere o amplo espectro dos problemas abrangidos pela engenharia química, tanto e1 tradicionais de processos químicos quanto em áreas relativamente novas, como engenharia ambien

genharia biomédica ou produção de semicondutores. As diferenças entre os sistemas mencionado capítulo - processos de produção de substâncias químicas, laboratórios de engenharia genética, óq controle de poluição e outros - são óbvias. Neste livro, examinaremos as semelhanças.

Uma semelhança é que todos os sistemas descritos envolvem processos projetados para transforn

téria-prima nos produtos desejados. Muitos dos problemas levantados por ocasião do projeto de w

processo ou da análise de um processo já existente são de um certo tipo: dadas as quantidades e proi des da matéria-prima, calcular as quantidades e propriedades dos produtos, ou vice-versa.

O objetivo deste texto é apresentar uma abordagem sistemática para a solução deste tipo de pro Este capítulo contém técnicas básicas para expressar os valores das variáveis do sistema e para estai e resolver as equações que relacionam estas variáveis. No Capítulo 3 discutiremos as variáveis de in específico na análise de processos - temperaturas, pressões, composições químicas e quantidades

zões das correntes do processo - , descrevendo como elas são definidas, calculadas e, em alguns

medidas. As Partes 2 e 3 deste livro tratam das leis de conservação da massa e energia, que relacicx

entradas e saídas dos sistemas de produção, das plantas de energia elétrica e do corpo humano. As natureza constituem a estrutura subjacente a todo o projeto e análise de processos; da mesma for

técnicas que apresentamos neste capítulo formam a base de todas as aplicações das leis.

2.0

OBJETIVOS EDUCACIONAIS

Depois de completar este capítulo, você deve ser capaz de:

• Converter uma quantidade expressa em um conjunto de unidades para o seu equivalente em qru

outras unidades dimensionalmente consistentes, usando tabelas de fatores de conversão. [Por eXf

converter um fluxo de calor de 235 kJ/(m2·s) para o seu equivalente em Btu/(ft2·h).]

• Identificar as unidades comumente usadas para expressar massa e peso em unidades SI e dos filj CGS e americano de engenharia. Calcular pesos a partir de massas dadas, seja em unidades n;

(por exemplo, kg·m/s2 ou lbm·ft/s2

), seja em unidades definidas (N, lbr).

• Identificar o número de algàrismos significativos em um dado valor, expresso seja em notação dl

ou científica, e estabelecer a precisão com a qual o valor é conhecido, com base nos seus algai significativos. Determinar o número correto de algarismos significativos no resultado de uma Sl

operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão).

• Validar a solução quantitativa de um problema aplicando substituição reversa, estimação da ord

grandeza e o teste de "razoabilidade".

• Dado um conjunto de variáveis medidas, calcular a média, o intervalo, a variância e o desvio pad

amostra. Explicar com as suas próprias palavras o que significa cada uma das quantidades calcul

por que ela é importante.

• Explicar o conceito de homogeneidade dimensional de equações. Dadas as unidades de alguns

em uma equação, usar este conceito para atribuir unidades aos outros termos.

• Dados valores tabelados para duas variáveis (x e y), usar interpolação linear entre dois pontos par mar o valor de uma variável para um dado valor da outra. Traçar um gráfico de y versus

x

e usá-1 ilustrar como e quando a interp0lação linear pode levar a erros significativos nos valores estima

(14)

Introdução a Cálculos de Engenharia 7

• Dados dois pontos em um gráfico de linha reta de y versus x, deduzir a expressão para y(x). Dados

valo-res tabelados para

x

e y, ajustar uma linha reta por inspeção visual.

• Dada uma expressão de dois parâmetros ajustáveis (a e b) relacionando duas variáveis [como (z, y) em y

=

a sen(2x)

+

b ou como (P, Q) em P

=

l/(aQ3

+

b)], estabelecer que tipo de tratamento deve ser dado à expressão para que se possa representá-la graficamente por uma reta. Conhecendo valores para x e y, traçar o gráfico e estimar os parâmetros a e b.

• Dada uma lei de potências ou uma expressão exponencial envolvendo duas variáveis ( como em y

=

aX'

ou k

=

aeb17), estabelecer que tipo de tratamento deve ser dado para obter uma reta usando coordenadas retangulares, semilog ou logarítmicas. Dado um gráfico linear envolvendo duas variáveis em quaisquer

dos três tipos de eixo e dois pontos na linha, determinar a expressão que relaciona as duas variáveis e os

valores dos dois parâmetros.

_

uDADES

E DIMENSÕES

Uma quantidade medida ou contada tem um valor numérico (2,47) e uma unidade (qualquer coisa que seja este 2,47).

É

muito útil na maior parte dos cálculos de engenharia-e muitas vezes

essencial-escre-ver tanto o valor quanto a unidade de cada quantidade que aparece em uma equação: 2 metros,} segundo, 4,29 quilogramas, 5 anéis de ouro

Uma dimensão é uma propriedade que pode ser medida, como comprimento, tempo, massa ou tempe-ratura, ou calculada pela multiplicação ou divisão de outras dimensões, como comprimento/tempo

(veloci-dade), comprimento3 (volume) ou massa/comprimento3 (densidade). Unidades mensuráveis ( diferentemente das unidades contáveis) são valores específicos de dimensões que foram definidas por convenção, costume

ou lei, como gramas para massa, segundos para tempo e centímetros ou pés para comprimento.

As unidades podem ser tratadas como variáveis algébricas quando as quantidades são somadas,

subtra-ídas, multiplicadas ou divididas. Os valores numéricos de duas quantidades podem ser somados ou sub-traídos apenas se tiverem as mesmas unidades.

3 cm - 1 cm = 2 cm (3x - x

= 2x)

mas

3 cm - 1 mm ( ou 1 s)

=

? (3x - y

=

?)

Por outro lado, os valores numéricos e as suas unidades correspondentes podem sempre ser combinadas

por multiplicação ou divisão.

3NX4m=12N·m 5,0 km = 2 5 km/h 2,0 h ' km 7,0

h

X 4 h

=

28 km 3 m X 4m = 12m2 6 cm x 5 cm = 30 cm2/s s

~

=

3

2g (3 é uma quantidade adimensional)

(s,o

ksg) / (0,20 :~)

=

25 m3

ts

(Convença-se)

CONVERSÃO

DE UNIDADES

Uma quantidade medida pode ser expressa em termos de quaisquer unidades que tenham a dimensão

apro-priada. Uma determinada velocidade, por exemplo, pode ser expressa em ft/s, milhas/h, cm/ano ou qual-quer outra razão entre uma unidade de comprimento e uma unidade de tempo. O valor numérico da veloci

-dade, naturalmente, dependerá das unidades escolhidas.

A equivalência entre duas expressões da mesma quantidade pode ser definida em termos de uma razão:

(15)

8 Capítulo Dois

TESTE

EXEMPLO 2.2-1 SOLUÇÃO 1cm 10mm 10mm 1cm

(1 centímetro por 10 milímetros) (1 O milímetros por centímetro)

[10 mm] 2 1cm 100

mm

2 1 cm2 (2.2-1) (2.2-2) (2.2-3)

Razões da forma das Equações 2.2-1, 2.2-2 e 2.2-3 são conhecidas como fatores de conversão.

Para converter uma quantidade expressa em termos de uma unidade ao seu equivalente em termos de outra unidade, multiplique a quantidade dada pelo fator de conversão (unidade nova/unidade velha). Por exemplo, para converter 36 mg ao seu equivalente em gramas, escreva

(36 mg) X (iotOgmg)

=

0,036 g (2.2-4)

(Note como as unidades velhas se cancelam, deixando a unidade desejada.) Uma forma alternativa de es-crever esta equação é usar uma linha vertical em lugar do sinal de multiplicação:

36 mg 1 g

=

0,036 g 1000 mg

Indicar explicitamente as unidades em cálculos deste tipo é a melhor forma de evitar o erro muito co-mum de multiplicar quando se quer dividir ou vice-versa. No exemplo mostrado, sabemos que o resultado está correto porque os miligramas se cancelam, deixando apenas os gramas do lado esquerdo, enquanto

36 mg 1000 mg

=

36.000 mg2/g lg

está claramente errado. (Mais precisamente, não é o que você pretendia calcular.)

Se você tem uma quantidade com uma unidade composta [por exemplo, milhas/h, cal/(g·ºC)] e quer convertê-la ao seu equivalente em termos de um outro conjunto de unidades, monte uma equação

dimensional: escreva a quantidade dada e as suas unidades à esquerda, escreva as unidades dos fatores de conversão que cancelam as velhas unidades e as substituem pelas desejadas, preencha os valores dos fato-res de conversão e realize as operações aritméticas indicadas para achar o valor desejado. (Veja o Exemplo 2.2-1.)

1. O que é um fator de conversão?

2. Qual é o fator de conversão para s/min? (s

=

segundo)

/; ~ •. ''/s.

/ ' '#~v

3. Qual é o fator de conversão para min2/s2? (Veja a Equação 2.2-3.

4.

Qual é o fator de conversão para m3/cm3?

1

1~,

1 J :e

I

~

J

or.:v.,·"

Conversão de Unidades /1. •.,/A

Converta uma aceleração de 1 cm/s2 em seu equivalente em km/ano2

1 cm 36002 s2 242 h2 3652 dia2 1 m '(')

r

I\

'A\\V.. -, ~ - - 1

GG·":.

__1 1 km S2 12 h2 12 dia2 (3600 X 24 X 365)2 km 102 X 103 ano2 12 ano2 102 cm 103 m =

l

9,95 X 109 km/ano2

I

2

l

h\.~"' .. , 2.

<JtlJ'0i)

O princípio ilustrado neste exemplo é que, elevando uma quantidade (especificamente um fator de conversão) a uma potência, elevam-se as suas unidades à mesma potência. O fator de conversão para h2/dia2, portanto, é o quadrado do

fator para h/dia.

- -

=

242

-(

24 h )2 h2 1 dia dia2

2.3

SISTEMAS DE UNIDADES

(16)

- -- - - ~

-Introdução a Cálculos de Engenharia 9

1. Unidades básicas para massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente elétrica e intensidade de luz.

2. Unidades de múltiplo, que são definidas como múltiplos ou frações das unidades básicas, como minu-tos, horas e milissegundos, todos definidos em termos da unidade básica, o segundo. As unidades de

múltiplo são definidas mais por conveniência que por necessidade: simplesmente é mais conveniente nos referirmos a 3 anos do que a 94.608.000 s.

3. Unidades derivadas, obtidas de duas maneiras:

(a) Multiplicando ou dividindo unidades básicas ou de múltiplo (cm2, ft/min, kg·m/s2, etc.). Unidades

derivadas deste tipo são chamadas de

unidades compostas.

(b) Definindo equivalentes de unidades compostas (por exemplo, 1 erg= lg·cm/s2, l lbf= 32,174 lbm·ft/s2).

O Sistema Internacional de Unidades ou

SI,

para simplificar, tem ganho ampla aceitação na comunida-de científica e de engenharia. Duas das unidades SI básicas - o ampere para corrente elétrica e a candela

para intensidade luminosa - não serão de interesse neste livro. Uma terceira, o kelvin, para temperatura, será discutida mais adiante. As outras são o metro (m) para comprimento, o quilograma (kg) para massa e o segundo (s) para tempo.

No SI, usam-se prefixos para indicar potências de

10.

Os mais usados e as suas abreviações são mega (M) para

10

6 (1 megawatt = 1 MW = 106 watts), quilo (k) para

10

3, centi (c) para

10-

2, mili (m) para

10-

3,

micro(µ,) para

10

-

6 e nano (n) para

10

-

9

_ Os fatores de conversão entre, digamos, centímetros e metros são,

portanto,

10

-

2 m/cm e

10

2 cm/m. As principais unidades SI e os seus prefixos estão resumidos na Tabela

2.3-1.

O

sistema CGS

é quase idêntico ao SI; a principal diferença entre eles é que gramas (g) e centímetros (cm) são usados no lugar de quilogramas e metros como unidades básicas para massa e comprimento. As

principais unidades do sistema CGS também estão na Tabela 2.3-1.

As unidades básicas do

sistema americano de engenharia

são o pé (ft) para comprimento, a libra-massa

(lbm) para a massa e o segundo (s) para o tempo. Este sistema tem duas dificuldades principais. A primeira

Tabela 2.3-1 Unidades SI e CGS Quantidade Volume Força Pressão Quantidade Comprimento Massa Moles Tempo Temperatura Corrente elétrica Intensidade de luz Unidades Básicas Unidade metro (SI) centímetro (CGS) quilograma (SI) grama (CGS) grama-mol segundo kelvin ampere candela

Prefixos das Unidades de Múltiplo tera (T) = 1012 giga (G) = 109 mega (M) = 106 quilo (k) = 103 centi (c) = 10-2 mili (m)

=

10-3 micro(µ)= 10-6 · nano (n) = 10-9 Unidades Derivadas Símbolo m cm kg g mo! ou g-mol s K A cd

Unidade Símbolo Equivalente em Termos de Unidades Básicas

litro L 0,001 m3

1000 cm3 netwon (SI) N 1 kg·m/s2

dina (CGS) 1 g·cm/s2

pascal (SI) Pa 1 N/m2

Energia, trabalho joule (SI) J 1 N·m = 1 kg·m2/s2

erg (CGS) 1 dina-cm = 1 g·cm2/s2

caloria cal 4,184 J = 4,184 kg·m2/s2

Potência watt

w

1 J/s = 1 kg·m2/s3

(17)

1 O Capítulo Dois

TESTE

EXEMPLO 2.3-1

SOLUÇÃO

é a ocorrência de fatores de conversão (como

1

ft/12 in), que, diferentemente dos sistemas métricos, nãc são múltiplos de dez; a segunda, que tem a ver com a unidade da força, será discutida na próxima seção.

Fatores de conversão de um sistema de unidades para outro podem ser determinados combinando-se as quantidades listadas na tabela no início deste livro. Uma tabela maior de fatores de conversão aparece nas páginas 1-4 a 1-20 do Perry' s Chemical Engineers' Handbook1

1. Quais são os fatores (valores numéricos e unidades) necessários para converter (a) metros em milímetros?

(b) nanossegundos em segundos?

(e) centímetros quadrados em metros quadrados?

(d) pés cúbicos em metros cúbicos? (use a tabela de fatores de conversão no início deste livro) (e) cavalo-vapor em Btu (British thermal units) por segundo?

2. Qual é a unidade derivada para velocidade no SI? E no sistema CGS? E no sistema americano de enge-nharia?

Conversão entre Sistemas de Unidades

Converta 23 lbm·ft/min2 em seu equivalente em kg·cm/s2 .

Como anteriormente, comece por escrever uma equação dimensional, preencha as unidades dos fatores de conversão (novo/velho), os valores numéricos destes fatores e, por último, as operações aritméticas. O resultado é

23 lbm ·ft 0,453593 kg 100cm 12 min2

(Com o cancelamento das unidades, sobra kg·cm/s2) min2 3,281 ft (60)2 s2 (23)(0,453593)(100) kg·cm (3,281)(3600) - s 2-O 088 kg·cm ' s2

2.4 FORÇA E PESO

De acordo com a segunda lei do movimento de Newton, a força é proporcional ao produto da massa pela aceleração (comprimento/tempo2). As unidades naturais da força são, portanto, kg·m/s2 (SI), g·cm/s2 (CGS) e lbm·ft/s2 (americano de engenharia). Para evitar lidar com estas unidades complexas em todos os cálculos que envolvem força, foram definidas unidades derivadas para força em cada sistema. Nos sistemas métri-cos, as unidades derivadas para força (o newton no SI, a dina no CGS) são definidas como iguais às uni-dades naturais:

1

newton (N)

=

1 kg·m/s2 1 dina

=

1 g·cm/s2

(2.4-1)

(2.4-2)

No sistema americano de engenharia, a unidade derivada para força - chamada de libra-força (lbr) - é definida como o produto de uma unidade de massa (1 lbm) e a aceleração da gravidade ao nível do mar e a 45º de latitude, que vale 32,174 ft/s2

:

(2.4-3)

As Equações 2.4-1 até 2.4-3 definem fatores de conversão entre unidades naturais e derivadas da força. Por exemplo, a força em newtons necessária para acelerar uma massa de 4,00 kg a uma taxa de 9,00 m/s2 é

F =

4

,00 kg

19,00

· m ·

11

N = 36.0 N s2

1

kg·m/s2 ,

A força em lbr necessária para acelerar uma massa de 4,00 lbm a uma taxa de 9 ,00 ft/s2 é

4,00

lbm

9,00

ft

1

lbt

F

=

----+---,1---''---- 1,12 lbt

(18)

ÇÃO

Introdução a Cálculos de Engenharia 11

Os fatores necessários para converter uma unidade de força em outra estão resumidos na tabela no

iní-cio deste livro. O símbolo gc é usado algumas vezes para representar o fator de conversão da unidade natu-ral da força para a derivada: por exemplo,

1 kg·m/s2 gc

=

1 N

32,174 lbm ·ft/s2 1 lbt

Não usaremos este símbolo no texto, mas se você encontrá-lo em qualquer outro lugar lembre-se de que ele

é apenas um fator de conversão (não deve ser confundido com a aceleração da gravidade, que é usualmente representada por g).

O peso de um objeto é a força exercida sobre o mesmo pela atração gravitacional. Suponha que um objeto de massa m esteja sujeito a uma força gravitacional W (W, por definição, é o peso do objeto) e que, se este

objeto estivesse caindo livremente, sua aceleração seria g. O peso, a massa e a aceleração em queda livre do objeto estão relacionados pela Equação 2.4-4:

W

=

mg (2.4-4)

A aceleração da gravidade varia diretamente com a massa do corpo atraente (na maioria dos problemas, a

Terra) e inversamente com o quadrado da distância entre os centros de massa do corpo atraente e do objeto que está sendo atraído. O valor de g ao nível do mar e 45° de latitude aparece abaixo em cada um dos

sis-temas de unidades:

g

=

9,8066 m/s2

=

980,66 cm/s2

=

32,174 ft/s2

(2.4-5)

A aceleração da gravidade não varia muito com a posição sobre a superfície da Terra nem (dentro de li

mi-tes moderados) com a altitude, de modo que os valores dados na Equação 2.4-5 podem ser usados para a

maior parte das conversões entre massa e peso.

1. Quanto é o equivalente a uma força de 2 kg m/s2 em newtons? Quanto é o equivalente a uma força de 2

lbm ft/s2 em lbr?

2. Se a aceleração da gravidade em um ponto é g

=

9,8 m/s2 e um objeto encontra-se em repouso neste ponto, este objeto está sendo acelerado a uma taxa de 9,8 m/s2?

3. Suponha que um objeto pesa 9,8 N ao nível do mar. Qual é sua massa? Esta massa seria maior, menor ou

igual na superfície da Lua? E o peso?

4. Suponha que um objeto pesa 2 lbr ao nível do mar. Qual é a sua massa? Esta massa seria maior, menor ou igual no centro da Terra? E o peso? (Cuidado!)

Peso e Massa

A água tem uma densidade de 62,4 lb,jft3Quanto pesam 2,000 ft3 de água (1) ao nível do mar e 45° de latitude e (2)

em Denver, Colorado, onde a altitude é de 5374 ft e a aceleração da gravidade é 32,139 ft/s2?

A massa da água é ( lbm) 3 M = 62,4

ft3

(2 ft ) = 124,8 lbm O peso da água é (ft)( llbr ) W

=

(ll4,S lbm)g

si'

32,174 lbm ·Ws2

1. Ao nível do mar, g

= 32,174 ft/s2,

de modo que W

=

124,8 lbr.

2. Em Denver, g

=

32,139 ft/s2, de modo que W

= 124,7 lbr,

Como mostra este exemplo, o erro cometido ao se admitir que g = 32,174 ft/s2 é normalmente muito pequeno, des -de que se esteja na superfície da Terra. Em um satélite ou em um outro planeta, a história seria diferente.

(19)

12 Capítulo Dois

2.5

ESTIMAÇÃO E

CÁLCULOS

NUMÉRICOS

2.5a

Notação

Científica, Algarismos

Significativos

e Precisão

Tanto números muito grandes quanto números muito pequenos são encontrados freqüentemente em

cál-culos de processos. Uma forma conveniente de expressar tais números é usar notação científica, na qual

um número é expresso pelo produto de um outro número (usualmente entre 0,1 e 10) e uma potência de 10.

Exemplos: 123.000.000

= 1

,23 X 108 (ou 0,123 X 109)

0,000028

=

2,8 X 10-5 (ou 0,28 X 10-4 )

Os algarismos significativos de um número são os dígitos a partir do primeiro dígito diferente de zero à esquerda ou (a) do último dígito (zero ou diferente de zero) à direita se existe uma vírgula decimal ou (b)

do último dígito diferente de zero se não existe vírgula decimal. Por exemplo,

2300 ou 2,3 X 103 tem dois algarismos significativos.

2300 ou 2,300 X 103 tem quatro algarismos significativos.

2300,0 ou 2,3000 X 103 tem cinco algarismos significativos.

23.040 ou 2,304 X 104 tem quatro algarismos significativos.

0,035 ou 3,5 X 10-2 tem dois algarismos significativos.

0,03500 ou 3,500 X 10-2 tem quatro algarismos significativos.

(Nota: O número de algarismos significativos é facilmente mostrado e visto se for usada notação cien -tífica.)

O número de algarismos significativos no valor expresso de uma quantidade medida ou calculada for-nece uma indicação da precisão com a qual a quantidade é conhecida: quanto mais algarismos

significati-vos, mais preciso é o valor. Geralmente, se você exprime o valor de uma quantidade medida com três alga-rismos significativos, você indica que o valor do terceiro dígito pode estar errado aproximadamente pela

metade. Então, se você exprime uma massa como sendo 8,3 g (dois algarismos significativos) você indica

que a massa está entre 8,25 e 8,35 g, enquanto se você exprime o valor como 8,300 g (quatro algarismos

significativos), você indica que a massa está entre 8,2995 e 8,3005 g.

No entanto, note que esta regra se aplica apenas a quantidades medidas ou números calculados a partir de quantidades medidas. Se uma quantidade é conhecida exatamente - como um inteiro puro (2) ou uma quantidade contada (16 laranjas)- o seu valor contém implicitamente um número infinito de algarismos

significativos (5 vacas significam exatamente 5,0000 ... vacas).

Quando duas ou mais quantidades são combinadas por multiplicação ou divisão, o número de al-garismos significativos do resultado deve ser igual ao menor número de algarismos significativos de qualquer dos fatores ou divisores. Se o resultado inicial de um cálculo viola esta regra, você deve

arredondar o resultado para reduzir o número de algarismos significativos ao seu valor máximo

per-mitido. No entanto, se uma série de cálculos precisa ser feita em seqüência, é recomendável manter algarismos significativos extras nas quantidades intermediárias e arredondar apenas o resultado final. Por exemplo:

(3) (4) (7) (3)

(3,57)( 4,286)

=

15,30102 = } 15,3

(2) ( 4) (3) (9) (2) (2)

(5,2 X 10-4)(0,1635 X 107)/ (2,67)

=

318,426966 = } 3,2 X 102

=

320

(As quantidades entre parênteses indicam o número de algarismos significativos de cada número.)

Atenção: se você calcula, por exemplo, 3 X 4, e a sua calculadora ou o seu computador dá uma

res-posta como 11,99999, e você copia esta resposta e a usa nos seus cálculos, o seu professor pode ficar

nervoso!

A regra para adição e subtração refere-se à posição do último algarismos significativo na soma - quer

dizer, a localização deste dígito em relação à vírgula decimal. A regra é: quando dois ou mais números são somados ou subtraídos, a posição dos últimos algarismos significativos de cada número deve ser compa-rada. Destas posições, aquela mais afastada à esquerda é a posição do último dígito permissível do resu l-tado.

Vários exemplos aparecem a seguir, nos quais uma seta (

t )

representa o ultimo algarismo significativo

(20)

t

1530

t

-2,56 1527,44 ==} 1530

t

t

t

t

t

Introdução a Cálculos de Engenharia 13

1,0000

+

0,036

+

0,22

=

1,2560 ==} 1,26

t

t

2,75 X 106

+

3,400 X 104

=

(2,75 + 0,03400) X 106

t

=

2,784000 X 106 ==} 2,78 X 106

Finalmente, uma regra empírica para arredondar números nos quais o dígito a ser rejeitado é 5 é sempre

fazer o último dígito do número arredondado ser par: 1,35 ~ 1,4 1,25 ~ 1,2

1. Expresse as seguintes quantidades em notação científica e indique quantos algarismos significativos tem cada uma.

(a) 12.200 (b) 12.200,0 (e) 0,003040

(

i

Expresse as seguintes quantidades em notação decimal padrão e indique quantos algarismos

significa-_ significa-_) tivos tem cada uma.

(a) 1,34 X 105 (b) 1,340 X 10-2 (e) 0,00420 X 106

3. Quantos algarismos significativos terá a solução de cada um dos seguintes cálculos? Quais as respostas de (c) e (d)?

(a) (5,74)(38,27)/(0,001250) (b) (1,76 X 10'1)(0,12 X 10-6)

(e) 1,000

+

10,2 (d) 18,76 - 7

4. Arredonde os seguintes números até três algarismos significativos.

(a) 1465 (b) 13,35 (e) 1,765 X 10-1

5. Quando o valor de um número é dado, os algarismos significativos fornecem um indicativo da incerteza no valor; por exemplo, um valor de 2,7 indica que o número está entre 2,65 e 2,75. Assinale os interva-los onde está cada um dos seguintes números.

(a) 4,3 (d) 2500

(b) 4,30 (e) 2,500 X 103

(e) 2,778 X 10-3

alidando

Resultados

Cada problema que você terá que resolver - nesta e em outras disciplinas e também durante a sua carreira profissional- envolverá duas questões críticas: (1) Como achar uma solução? (2) Quando achar uma, como saber se é correta? A maior parte deste livro está dedicada à questão 1 - quer dizer, a métodos de

resolu-ção de problemas que aparecem no projeto e análise de processos químicos. No entanto, a questão 2 é igual-mente importante, e podem aparecer vários problema sérios se não for formulada. Todos os engenheiros

bem-sucedidos adquirem o hábito de fazerem a si esta questão sempre que resolvem um problema e desen-volvem uma ampla variedade de estratégias para respondê-la.

Entre as abordagens que você pode usar para validar uma solução quantitativa do problema estão a

subs-tituição reversa, a estimação da ordem de grandeza e o teste da razoabilidade.

• A substituição reversa é um método direto: depois que você resolver um conjunto de equações,

substi-tua a sua solução de volta nas equações e assegure-se de que ela funciona.

• A estimação da ordem de grandeza significa começar com uma aproximação grosseira e fácil de obter da solução de um problema e conferir se a solução mais exata está razoavelmente próxima.

• Aplicar o teste da razoabilidade significa verificar se a solução faz sentido. Se, por exemplo, uma

velo-cidade calculada para água escoando por uma tubulação é maior do que a velocidade da luz, ou se a

temperatura calculada dentro de um reator químico é maior do que a temperatura do interior do Sol, você deve suspeitar de que algum erro foi cometido em algum ponto do cálculo.

O procedimento para checar um cálculo aritmético pela estimativa da ordem de grandeza é o seguinte:

(21)

14 Capítulo Dois

1. Substitua números inteiros simples para todas as quantidades numéricas usando potências de 10

(nota-ção científica) para números muito grandes e muito pequenos.

27,36 __.,. 20 ou 30 (o que tornar o cálculo mais fácil) 63.472---;. 6 X 104

0,002887 ---;. 3 X 10-3

2. Faça à mão os cálculos aritméticos resultantes, continuando a arredondar as respostas intermediárias.

(36.720)(0,0624)

=

(4 X 104)(5 X 10-2) =

4 X lQ(4-2+4) = 4 X 106

0,00478

5

X lQ-4

A solução correta ( obtida usando uma calculadora) é 4,78 X 106

• Se você obtém esta solução, e já que é

da mesma ordem de grandeza que a estimativa, você pode ter uma razoável confiança de que não foi cometido nenhum erro grosseiro durante o cálculo.

3. Se um número é adicionado a outro muito menor, elimine o segundo número na sua aproximação.

1 1

4,13

+ ~

=

4

=

0,25

A solução da calculadora é 0,239.

EXEMPLO

2.s

:z

·

1

Estimação da Ordem de Grandeza

SOLUÇÃO

O cálculo da vazão volumétrica de uma corrente de processo leva à seguinte fórmula: V. = [ 254

+

13 ] X- - - - ~ 1

(0,879)(62,4) (0,866)(62,4) (31,3145)(60) Estime

V

sem usar uma calculadora. (A solução exata é 0,00230.)

. [250

W]

1

s

_

2

V=

50+,ôO

x(4X101)(6Xl01) = 25X102=0,2 x 10 = 0,002

A terceira forma de checar um resultado numérico - e talvez a primeira coisa que você deve fazer quando

chegar a uma solução - é ver se a resposta é razoável. Se, por exemplo, você calcula que um cilindro

contém 4,23 X 1032 kg de hidrogênio, quando a massa do Sol é apenas 2 X 1030 kg, isto deve motivar vo

a refazer o cálculo. Você deve também ficar preocupado se calcula um volume do reator maior do que a

Terra (1021 m3

) ou uma temperatura ambiente elevada o suficiente como para derreter ferro (1535ºC). Se

você adquire o hábito de se perguntar "Isto faz sentido?" cada vez que chega à solução de um

problema-em engenharia e no resto da sua vida - você se poupará de muito embaraço e remorso.

2.5c

Estimação

de Valores Medidos: A Média da Amostra

Suponha que realizamos uma reação química da forma A ---;. Produtos, começando com A puro no reator e

mantendo a temperatura do reator constante em 45°C. Após dois minutos retiramos uma amostra do reator

e a analisamos para determinar X, a percentagem do A na carga que reagiu.

Resfriamento (para controle

da temperat_u_ra....,)-...-- X(% conversão)

Analisador

Na teoria, X deve ter um único valor; no entanto, em um reator real, X é uma variável aleatória, mudando

de maneira imprevisível entre uma corrida e outra nas mesmas condições experimentais. Os valores de X

(22)

TE

Introdução a Cálculos de Engenharia 15

Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X(%)

67,1 73,1 69,6 67,4 71,0 68,2 69,4 68,2 68,7 70,2

Por que não obtemos o mesmo valor de X em todas as corridas? Existem várias razões:

• É impossível reproduzir exatamente as mesmas condições experimentais em experimentos sucessivos.

Se a temperatura do reator varia apenas

O,

1 ºC de uma corrida para outra, isso pode ser suficiente para mudar o valor medido de X.

• Ainda que as condições fossem idênticas para duas corridas, não poderíamos retirar a amostra

exata-mente em t

=

2,000 ... minutos, e uma diferença de um segundo pode resultar em uma diferença mensu-rável em X.

• Variações nos procedimentos de amostragem e de análise química sempre introduzem espalhamento nos valores medidos.

Neste ponto, podemos fazer duas perguntas acerca do sistema. 1. Qual é o valor verdadeiro de X?

Em princípio, poderia existir uma coisa como o "valor verdadeiro" - quer dizer, o valor que obtería-mos se pudésseobtería-mos fixar a temperatura exatamente a 45,0000 ... graus, começar a reação, manter atempe-ratura e todas as outras variáveis experimentais que afetam X perfeitamente constantes, e então amostrar e

analisar com precisão completa exatamente em t

=

2,0000 ... minutos. No entanto, na prática, não há como fazer nenhuma destas coisas. Poderíamos também definir o valor verdadeiro de X como o valor que obte-ríamos realizando um número infinito de medidas e tomando a média dos resultados, mas também não há uma forma prática de fazer isto. O melhor que podemos fazer é estimar o valor verdadeiro de X a partir de um número finito de valores medidos.

2. Como podemos estimar o valor verdadeiro de X?

A estimativa mais comum é a média da amostra (ou média aritmética). Obtemos N valores medidos de X (X1,X2, ... ,XN) e então calculamos Média da Amostra:

1

N

-LX

N J=l ; (2.5-1)

Para os dados fornecidos, estimaríamos

-

1

X = lO (67,1 % + 73,1 %

+ ·

·

·

+

70,2%)

=

69,3%

Graficamente, os dados e a média da amostra podem aparecer como mostrado a seguir. Os valores medidos se espalham em torno da média, como deveria ser.

10

Corrida

Quanto mais medidas de uma variável aleatória, melhor será o valor estimado com base na média da

amostra. No entanto, mesmo com um número muito grande de medidas, a média da amostra é apenas uma

aproximação do valor verdadeiro e pode, de fato, estar muito longe do mesmo (por exemplo, se há algo

errado com os instrumentos ou procedimentos usados para medir X).

As taxas de produção semanal de um produto farmacêutico durante as últimas seis semanas foram 37, 17,

39, 40, 40 e 40 bateladas.

1.

Pense em várias explicações possíveis para a variação observada na taxa de produção semanal. 2. Se você usa a média da amostra dos dados fornecidos como base, qual seria a sua previsão da taxa de

produção semanal?

(23)

Ili

16 Capítulo Dois

2.5d Variância de Dados Espalhados

Consideremos dois conjuntos de medidas de uma variável aleatória X - por exemplo, a percentagem conversão no mesmo reator em batelada, medida usando duas diferentes técnicas experimentais.

Gráficos de espalhamento de X versus o número de corridas aparecem na Figura 2.5-1. A média de ca conjunto de dados é 70%, mas os valores medidos se espalham em um intervalo muito mais estreito para

primeiro conjunto (entre 68% e 73%) do que para o segundo (entre 52% e 95%). Em cada caso, você es ti-maria o valor verdadeiro de X a partir das condições experimentais dadas como a média da amostra, 70% mas você teria claramente mais confiança na estimativa do conjunto (a) do que na do conjunto (b).

Três quantidades - o intervalo, a variância da amostra e o desvio padrão da amostra - são usad

para expressar o grau no qual os valores de uma variável aleatória se espalham em torno do seu valor

mé-dio. O intervalo é simplesmente a diferença entre os valores maior e menor de X no conjunto de dados:

Intervalo: R

=

Xmáx - Xmín

No primeiro gráfico da Figura 2.5-1, o intervalo de X é 5% (73% - 68%) e no segundo gráfico é 439é

(95% - 52%).

O intervalo é a medida mais crua do espalhamento; envolve apenas dois dos valores medidos e não dá nenhuma indicação de que a maior parte dos valores fica próxima à média ou se espalha muito em tom

desta. A variância da amostra é uma medida muito melhor. Para defini-la, calculamos o desvio de cada valor medido em relação à média, Xi -

X

(j

=

1,2, ... ,N) e então calculamos

VariânciadaAmostra:

si

= -

1- [(X1 -

X)

2

+

(X2

-X)

2

+

···

+

(XN

-

X)

2]

N -1

(2.5-3

)

O grau de espalhamento pode também ser expresso em termos do desvio padrão da amostra, definido como a raiz quadrada da variância:

Desvio Padrão da Amostra:

sx=

#

(2.5-4

)

Quanto mais um valo~ medido (X) se desvia da média, seja de forma positiva seja de forma negativa.

maior é o valor de (X1 - X)2 e, portanto, maior o valor da variância e do desvio padrão. Se estas quantidades

são calculadas para os conjuntos de dados da Figura 2.5-1, por exemplo, serão obtidos valores relativamen-te pequenos para o Conjunto (a) (s~

=

0,30, sx

=

0,55) e valores grandes para o Conjunto (b) (s~

=

50, Sx

=

7,1).

Conjunto de Dados (a) Conjunto de Dados (b)

Xm1n = 68% 80% Xmáx = 95%

\

Xnún = 52% 100%

x

= 70%

l-"-~.c---11,______,,.---•~-c-=•

-•

60% ~ - - - 50% .__ _ _ _ _ .;;... _ _ _ _ Corrida Corrida

Figura 2.5-1 Gráficos de espalhamento para dois conjuntos de dados com diferentes níveis de espalhamento.

X

x

Corrida

Imagem

Referências

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