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IMPORTANCIA DA LARGURA FINITA DO
CANAL NA ANALISE DE ESPECTROS
Roberto Leon Inacio Ponczek
a
TESE DE MESTRADO
Janeiro de 1974 DEPARTAMENTO DE FlSICA
Pontificia Universidade Catolica do Rio de Janeirb Rua Marques de Sao*Vicente, 2 0 9 — ZC-20
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"IMPORTÂNCIA DA LARGURA FINITA DO
CANAL NA ANÁLISE DE ESPECTROS"
por
Roberto Leon Inácio Ponczek
Tese submetida como requisito parcial
para a obtenção do grau de
MESTRE EM CIÊNCIAS
em
Física
AGRADECIMENTOS
Agradecimentos são comuns em trabalhos desta
natu-reza. Transcendendo a esta mera formalidade, estão os agradi;
cimentos que fazemos ao Professor
Nelson Velho de Castro
Fa-ria,
pelo interesse com que acompanhou a nossa passagem pela
pós-graduação, o a
Geraldo Oalantini
pelo excelente trabalho
de datilografia e
lay out
e o a Srta.
Maria José Soares
pe-los dertnhos
(Piaassianos)
desta Tese.
Agradecemos também ao Conselho Nacional de
Pesqui-sas pelas bolPesqui-sas de estudo concedidas, ao Departamento de Fií
sica da Pontifícia Universidade Católica e ao Instituto de
Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro pelo inte
-rês8e e apoio recebidos.
RESUMO
Este trabalho consiste n/i determinação de par ame -tros de funções a priori conhecidas que melhor descrevem fe nômenos representados por his tograma3; na comparação dos
resultados obtidos através do método nele proposto com aque -les obtidos usualmente, bem como na posterior verificação da relevância desta nova abordagem. Visa principalmente a a n á H se de dados originados em instrumentos de medida do tipo raul ticanal, que consideram eventos distribuídos continuamente como idênticos dentro de certos intervalos - canais - e fornecem assim resultados que são histogramas de largura fini
-ta.
Assim, e apresentado o procedimento correto para a obtenção dos verdadeiros parâmetros das funções originais, e é feita uma comparação teórica destes valores com os parâme-tros aparentes, isto é, aqueles usualmente obtidos dos hist£ gramas.
Esta comparação também é realizada com a análise / por método de mínimos quadrados de espectros gerados através da simulação de um multicanal em computador e cujos par Soe -tros são conhecidos, ao se ajustar de duas maneiras o conjun to de pontos obtidos: considerando os pontos do histograma / como pertencentes a função original, isto 5, ajustando-se ao histograma a mesma j.unç*o~f enomeno (método usual) e ajustan-do-se ao histograma a função que realmente o descreve, ou se_ ja aquela que é obtida através da uma integração, nos extre-mos do canal, da função original (método proposto).
Observase que esta mudança de abordagem é impor -tante em certas condições experimentais desfavoráveis, como por exemplo na «nalise de curvas de ressonância tipo Sorent-ziana quando esta apresenta poucos pontos medidos com boa es, tatística. Pode-se então cometer com o método usual erros de cea por cento na determinação da largura, embora o ajuste vi^
suai e por mínimos quadrados pareça adequado, o que não acoti tece com o método proposto.
0 método se revela também interessante na analise de Fourier de espectros, porque permite calcular com mais / precisão os coeficientes da série de Fourier da função, e em particular,os harmônicos de ordem superior, que são bas -tante afetados pelo efeito de largura finita; comprova-se / que alguns deles podem ser até suprimidos .
ABSTRACT
Experimental data are often obtained i n f o r m of a histogram, where a range of values of the independent varia-ble are combined into one data point. The parameters of an assumed function are then adjusted to fit these data points, usually ignoring the fact that the points correspond to in -tervals of finite width rather than specific values of the independent variable. In this work the values of the parame-ters for various functions are determined taking into ac-count the histogram nature of the data. Results are compared with the usual method of data fitting and the significance of the differences is discussed.
For each function and predetermined set of parame-ters a spectrum was simulated using a random number genera-tor. The spectrum was then least squares fitted to the func-tion by the tradifunc-tional method and also taking into account the width effect. Parameters obtained by both methods are compared with the original parameters used to simulate the spectrum. The histogram method proved 3uperior in cases wh-«-« the width of the interval became large in terms of
varia-tion of the funcvaria-tion.
The method was also applied to Fourier analysis of spectra. The Fourier coefficients of a function can be alte-red by the width effect and some can be cancelled completely in the traditional treatment.
I M T R O D U Ç Ã O p g . 1
C A P I T U L O I: D E F O R M A Ç Ã O D E P A R Â M E T R O S 4
1. 1 - I n T r o d u r ã o 4 1.2 - Método de máxima verossimilhança 7
T.2.1 - Caso de uma distribuição
nor-mal 8 1.2.2 - Caso de uma distribuição de
Pois son 10 1.3 - I n c e r t e z a s e p r o p a g a ç ã o d e e r r o s 12 1.4 - D e f o r m a ç õ e s p a r a m e t r i c a s d e v i d a s ao £ f e i t o l a r g u r a 15 1.4.1 - A l g u m a s p r o p r i e d a d e s d a c u r v a i n t e g r a d a 15 1.4.2 - Polinômios 21 1.4.3 E x p o n e n c i a l ; c u r v a d e d e c a i -m e n to 27 1.4.4 - Senoide 28 1.4.5 - S e r i e d e F o u r i e r 30 1.4.6 - S e r i e de T a y l o r 33 1.4.7 - C u r v a de G a u s s ; s e r i e 3 4 1.4.8 - Lorentziana 37 1.4.9 - C o n c l u s õ e s d o c a p í t u l o 4 0 C A P I T U L O I I : S I M U L A Ç Ã O E C O M P A R A Ç Ã O 41 11.1 - Introdução 41 1 1 . 2 - G e r a ç ã o de n ú m e r o s a l e a t ó r i o s 41 11.3 - Simulação 46 11.3.1 - Geração de números aleatórios
segundo uma distribuição de
probabilidades 46 11.3.2 - Geração de uma distribuição
Gaussiana 47 1 1 . 3 . 3 - M é t o d o d a r e j e i ç ã o 49
11.4 - Simulação de espectros Lorentzianos e
Gaussianos; comparação 50 ix
CAPÍTULO III: ANÍLISE DOS ESPECTROS SIMULADOS POR MlNI, MOS QUADRADOS T p III.1 - Introdução
TII.2 - Método de mínimos quadrados para uma fun ção qualquer
111.2.1 - Funções lineares 111.2.2 - Funções não lineares
111.2.2.1 - Expansão parabõli-2
ca de x
111.2.2.2 - Expansão da função ajuste
111.3 - Métodos numéricos de minimização 111.3.1 - "Grid Search"
111.3.2 - "Search"
111.3.3 - Expansão parabólica numérica..' 111.3.4 - Algoritmo de Marquardt
111.4 - Análise de espectros Lorentzianos por nu nimos quadrados
111.4.1 - Obtenção e manipulação dos da_ dos 111.4.2 - Resultados CONCLUSÕES APÊNDICE REFERÍNCIAS X
Fig 1-1 - Probabilidade de um intervalo de largura
Ax pg. 5 Fig 1-2 - Ajuste de uma função com grandes imprecisões
pararaétricas 6 Fig 1-3 - Distribuição normal de erros 8
Fig 1-4 - Três histogramas possíveis de uma função.... 16 Fig 1-5 - Perda de informação sobre o comportamento de
uma função em intervalos Ax 19 Fig 1-6 - Transformação linear entre parâmetros aparei)
tes e reais no caso de um polinômio. 24
Fig 1-7 - Deformação de uma parabola 24 Fig 1-8 - Translações de um polinômio 25 Fig 1-9 - A parabola e os seus três histogramas 27
Fig 1-10- Deformação de uma curva de decaimento 28 Fig I-ll- Variação da amplitude da curva de decaimento
com o parâmetro adimensional XAx/2 28 Fig 1-12- Variação da amplitude de uma senoide com o
parâmetro u 29 Fig 1-13- Deformação de uma senoide 29
Fig I-14- Pulso triangular 31 Fig 1-15- Deformação de um pulso triangular 32
Fig 1-16- A Gaussiana e seu histograma 36 Fig 1-17- Lorentzíana . 37 Fig 1-18- As soluções da largura do histograma de uma
Lorentzíana 40 Fig 1-19- A Lorentzíana e seu histograma 40
Fig II-1- 0 método da rejeição 49 Fig II-2- Simulação de um espectro 50 Fig II-3- Comparação entre Lorentzíana e seu espectro/
simulado 52a) Fig III-1 Expansão parabólica de x 57
Fig III-2 Obtenção do ponto - estimativa, a partir do
espectro 63 Fig III-3 5 espectros simulados, e analisados pelo
mé-todo usual e os respectivos erros 67a)
Fig III-4 5 espectros simulados, e analisados pelo
mé_-todo proposto e os respectivos erros pg.67b) Fig III-5 Três Lorentzianas: original, a que ajusta o
espectro (a) da figura III-3 pelo usual, e á que foi construída com os parâmetros obti^
dos com o método proposto 67c) Fig IT^-e Tdem, para o espectro (e) 67d) Fig III-7 Ajuste de uma Lorentziana a um espectro
as-simétrico , 68 Fig III-8 Ajuste de uma Lorentziana a um espectro
si-métrico... 69 Fig 1II--9 Movimento relativo entre dois picos analis£
dos usualmente 71
INTRODUÇÃO
Em fenômenos descritos por funções cujos parãme tros, por diversas razões, tem significado importante, 2 mis_ ter determiíM-los com a maxima precisão a partir de dados ex perimentais. Com tal objetivo, geralmente analisa-se estes / dados pelo método de mínimos quadrados, onde uma função a priori conhecida é ajustada ao conjunto de pontos experimen-tais .
Entretanto, a escolha desta função de ajuste depen. de de como foram obtidos os pontos experimentais. A existên-cia de fundamentalmente duas situações experimentais, deter-minadas pelo sistema aparelho-grandeza, implicara em procedji mentos diversos de analise determinando a escolha da função de ajuste. 0 procedimento proposto neste trabalho não i em -pregado normalmente, isto é, não hã uma opção no modo de prp_ ceder, mesmo havendo situações experimentais distintas.
Numa das situações existe a possibilidade de que a grandeza seja medida ponto a ponto, e portanto os dados expe_ rimentais se distribuem segundo uma função ã priori conheci-da - a menos de seus parâmetros.
Existe entretanto uma outra situação em que o co-nhecimento local de grandeza é desprovido de sentido; por e-xemplo, quando as variáveis aleatórias associadas â probali-dades de um evento, são contínuas. Embora a abordagem propos_ ta seja conceitualmente mais correta em ambas as situações , e nesta última que as correções decorrentes de seu emprego/ tornam mais importantes.
Com a utilização difundida de aparelhos do tipo a-nalisador de mu'iicanal, o campo de utilização do método pro_ posto se amplia: tais aparelhos classificam como idênticos £ ventos que no entanto são apenas próximos, isto e, eventos / cujas variáveis que lhe são associadas diferem de uma quan-tidade menor do que o diafragma do aparelho. Perde-se então
2
toda a informação do que ocorre dentro desta região; às de-formações geradas por tal limitação denominou-se efeito de largura finita.
0 objetivo geral deste trabalho é verificar a im-portância do efeito de largura finita na análise de funções/ que mais comumente aparecem na descrição de fenômenos físicos. Para tanto uma comparação entre as abordagens foi fei -ta, para espectros simulados em computador, em diversas situ ações. Após se ter procedido a análise por mínimo» quadrados com funções-ajuste que dependem do método, pode-se saber que conjunto de parâmetros mais se aproxima do conjunto real an-teriormente determinado na simulação.
Normalmente não se corrige as funções para o efei-to largura, sendo estas diretamente inseridas no cálculo de mínimos quadrados; já no método proposto, a função é conveni_
entemente deformada antes de ser ajustada. A conveniência da deformação reside no fato de ser análoga aquela produzida / por multicanais, e que se resume na transformação de funções em histogramas.
Aborda-se assim essencialmente dois problemas: co-mo determinar os parâmetros da função, partindo-se do histo-grama, e como interpretar o sentido físico dos parâmetros eji contrados ao ignorarse que os pontos experimentais perten -cem a um histograma da função.
No*capítulo I, calcula-se as deformações que so-frem diversas funções, obtendo-se outras, que foram compara-das às originais, Ê aí ainda apresentada uma introdução so-bre o método de máxima verossimilhança, soso-bre propagações de erros e flutuações.
Mo capítulo II apresenta-se técnicas de simulação/ de espectr.08, que consistem na geração de números aleatórios equidistribuidos e na posterior conversão destes em números/ distribuídos da maneira desejada, bem como é simulado um mui ticanal. Empregando-se estas técnicas, testa-se os
resulta-dos comparativos obtiresulta-dos no capítulo I.
No capítulo III» e f«ita uma introdução ao método de mínimos quadrados para funções quaisquer, são apresenta -dos méto-dos numéricos de minimização e ajusta-se as tunções obtidas no capítulo I aos espectros simulados no capítulo II
Compara-se finalmente os resultados obtidos pelos dois métodos de analise e apresenta-se os aspectos relevan-tes do método proposto, bem como as regiões era que esrelevan-tes se verificam.
A
"Inspicimus in obscuris quod est verissimilu8, vel quod plerumque consuevit".
CAPITULO I
DEFORMAÇÃO DE PARÂMETROS
1.1 - Introdução
Quando se obtém experimentalmente um conjunto de pontos, é sempre desejável saber qual a função, cujo domínio 2 um conjunto denso, que melhor os representa, isto S, que I mais fiel ã natureza destes pontos. Essa substituição e ü-til, não aõ porque uma função contínua pode fornecer uma ima_ gem mais clara do fenômeno estudado do que uma tabela de pontos, como também e um melhor elemento para a confrontação entre o modelo e a experiência, pois possue parâmetros csrac terísticos, cuja previsão pode ser importante no teste de um modelo.
Existem métodos que possibilitam encontrar tais / funções, se alem dos resultados experimentais se possuir um conhecimento adicional sobre o fenômeno. Tais métodos podem testar modelos e aprimorá-los com aplicações sucessivas. 0 conhecimento adicional necessário, pode ser desde uma equa-ção integro-diferencial parcialmente conhecida, relacionando as variáveis em questão, a um conhecimento intuitivo da lei que rege o fenômeno, adquirido antes ou até depois da experi^ Sncia.
No entanto, quando sé quer conhecer a forma analí-tica Y - f(aj a v»x) °.ue relaciona as variáveis que
descrevem'o fenômeno através de ajuste dos pontos experimen-tais, deve-se levar em consideração, que um aparelho de medi da "ocupa" uma região finite no espaço da variável indepen
-mentais, uma vez que estes ficarão relacionados com valores médios da função original, na região (largura) ocupada pelo aparelho. Se existe uma dependência Y * f (x) , mede-se Y • • < f(x) >, calculado na largura Ax. A medida será:
fX.+Ax/2 , r ix.+Ax/2 Y, . (X.+AX/Z , c 1X.+AX/Z r - <f(x)> - A- x f(x)dx- i- F(x) l 1 A x ^x.-&x/2 A xL Jx.-Ax/2 . r -ix.+Ax/2 de por simplicidade -r— F (x) » g(x.) " L Jx.-Ax/2 X
on-A relação funcional entre Y medido e x, sera
Y • g(x), onde F S a primitiva de f. Comete-se um erro, se aos pontos, experimentais, t«nta-se ajustar Y • f ü O | erro / que cresce em importância com a largura Ax. Se os aparelhos/ fossem ideais (Ax»0) pelo teorema fundamental do cálculo (su pondo f(x) continua) ter-se-ia:
x.+Ax/2
Jx.-Ax/2
ou g • f e os dados experimentais Y, , se distribuiriam a menos de flutua -ções, segundo a curva real.
Se a variável dependente for uma densidade de pr£ balidade da variável independente, mede-se algo relacionado com a probalidade media da variável independente x se encon-trar num intervalo de largura Ax, como mostra a figura I.
m
* < * >m
ü
Neste caso tem-se:
Y. - <p(x.)>Ax • í r t x. + Ax r 1 p(x) dx - ] x. '-í P(x) nx.+Ax i
"SUj)
Certos aparelhos (analisadores, contadores) m e -dem diretamente <p(x.)>Ax, onde Ax é conhecido. Portanto neste caso, a função que deve ser ajustada S
ix.+Ax
h']?
-
g c ^ ) .
Quando se reduz progressivamente Ax, para a mesma estatística, diminuise os valores medidos (que são pro -porcionais a Ax) e aumenta-se as flutuações em cada medida, aumentando assim a incerteza nos perímetros da funçio. Quan-do ajusta-oe a função original p ( x ) , tem-se duas situações / limites: o ajuste da função correta, com grandes imprecisões nos seus parâmetros (Ax pequeno) e o ajuste da função incor-reta, com parâmetros bem determinados (Ax grande). Â figura 1-2 ilustra a primeira das situações.
'**£
FIG 1-2
quando a largura tende a zero sem perda da precisão da medi-da, e outras onde isto não ê possível, tendo assim o efeito/
largura uma importância maior, não sõ de caráter teórico m->3 sobretudo experimental.
A largura finita ê causa portanto para a aparição/ de pontos que não pertencem a curva real que descreve o feno raeno. Como determinar os parâmetros a. da função Y • f(a. ...
.. a ,x) a partir de pontos experimentais que pertencem a
curva Y • g(a. a ,x)? Parâmetros que tinham original-mente um significado físico, continuam tendo o mesmo, na cur va - experimental - aparente?
0 conhecimento a priori da dependência de Y com x, possibilita o calculo dos parâmetros a-, que melhor ajustam/ a função aos dados experimentais, entre as pertencentes ã fa_ mília de curvas f(a. a , x ) ; para isto deve-se calcular
g(a, a ,x) e ajustá-la aos dados. Os parâmetros da família de curvas g(a. a ,x) que melhor ajustam os pontos, serão os que se procura para Y - f(a. a , x ) .
Ê importante reparar que obter-se-ia um outro con-- + t
junto de parâmetros (a... a ) se fosse ajustada de i-nício uma curva do tipo Y - *(ai * tx ) . À este conjunto
- + t
Vde parâmetros (a.. a ) denominar-se-a conjunto de pa-râmetros detormado8.
Se no entanto a forma funcional Y - g(a...a ,x) foi sugerida a posteriori, pelos dados, deve-se ajustá-la , encontrando parâmetros (a... a ) corretos. Mas não se deve esquecer entretanto, que a curva procurada será:
lim g(a. a ,x) , uma vez que:
g ( x ) -
F< * *
A* ?
x" -
F ( x )onde P 5 a p r i m i t i v a de f.
8
1.2.1 - Caso de uma distribuição normal
Um método bem conhecido de ajuste de curvas a pon-tos experimentais é o de mínimos quadrados, que é um caso particular do método de máxima verossimilhança, quando assu-me-se que para cada valor fixo dá variável independente x, a variável dependente Y tem uma distribuição normal em torno de um valor medio; este S calculado de forma que a probalida_ de de se obter os mesmos resultados outra vez, seja máxima. Se o valor médio é Y. - Y(x.) + E., isto é, o valor correto mais um erro, E. tem uma distribuição normal, cuja media 5 zero e cujo desvio é a. (figura 1-3).
Quando se mede uma grandeza o resultado medido é, imediatamente após, a única informação que se tem sobre seu comportamento; portanto, grande importância deve ser dada a tais medidas. 0 método de máxima verossimilhança consiste em maximizar esta importância, isto é, maximizar a probabilidade de se encontrar novamente tais resultados experimentais.
f
l)"^""t>
FIG 1-3
Para ilustração do método da máxima verossimilhan-ça pode-se imaginar N pontos experimentais (x., Y.) e H pon-tos teóricos (Xj, Y(x.)), ainda não conhecidos, e
pertencenda por uma distribuição normal, centrapertencenda era Y(x^), com des -vio o.:
P(Y..)
04(211) 1
172
e*P ^~
Y. - Y (X i) i2l
A probalidade de se medir N pontos (x. , Y.) é então!
P(a
l
\ > - ill
1
z /1
-172
6XP i
l~ ~~
(^(211) Yi - Y<*i av'xj> -i2e o máximo de P dar-se-ã para o mínimo do expoente que se de_ 2 n o m m a então x s .2 . £
-r2
Yi " *<ai flv>*i> 1Assim os parâmetros a., que maximizam a probalidade P, satijs
J
fazem as equações:
3a.
5 -
1 , , ve este resultado é o conhecido método de mínimos quadrados / (Be 6 9 ) .
Considerou-se assim que a variável dependente se distribuía com una imprecisão o., e a variável independente/
era precisamente conhecida (x * x,),oquee uma situação não real. No entanto pode-se sempre calcular através de propaga-ção de erros, qual a imprecisão adicional em Y, devido a im-precisão em x, e recair no problema anterior.
1.2.2 - Gaso de uma distribuição de Poisson
Se x for o número de sucessos, p a probalidade de um sucesso e n o número de elementos do ensemble, a distribti ição binominal é dada por:
B(x) - (;) P X( 1 - p )n-X
Mostra-se que a média desta distribuição y " <x> e np e o ~ 2 1/ 2 -•
desvio padrão cr- (<x >) é npq, onde q • 1 - p. A distribuição de Poisson é um caso limite da dis-tribuição binominal, quando o número de sucessos é muito me-nor què o número total de elementos do ensemble (n>>x), ou
(P<<1).
Por exemplo, o número de núcleos num miligrama de
— 19 -» amostra radioativa e da ordem de 10 , ao passo que o numero
de núcleos que decaem - em intervalos de tempo comumente usa - 4 - '
dos em laboratório - e da ordem de 10 . Logo experiências / deste tipo são regidas por distribuições de Poisson. Mostra-se facilmente (Be69) que a distribuição binominal tende pa-ra:
P(x) • u e , quando n>>x e/ou p<<l e que x!
sua media <x> é u, e seu desvio padrão o e (u) .
. Supondo-se que para x - x., os Y. se distribuam se gundo uma Poissoniana pode-se aplicar o método de maxima ve-rossimilhança:
„ Yi Vxpf-YU, a ,x."]f
'<«! V A [*<«! Vi>] {
L
^ , " -4
onde s e f e z : Y ( a . a , x . ) • v e Y. - x .
Tomando-se o l o g a r i t r a o membro a membro e d e r i v a n d o obteffl-se: N • E i - 1 __3 3 a j Y
: [
l n P
<
a
i %>]
3 Y (8 l % »xi5 Y í a j a v» * i > 3 aJ N 3 Y ( a . a y»x{ > - I i — ~ i"1 3aj e portanto: N £ i-1 - 1 Y(a.>«V*i>
3 Y ( ax av, xi ^ 0 , onde Baj j - 1 . . . V em g e r a l ' t a l s i s t e m a - vxv - de e q u a ç õ e s é anja l i t i c a m e n t e i n s o l ú v e l .Por exemplo p a r a uma r e t a Y ( x . ) a + b x . , o b t e m
-s e : N £ i - 1 - 1 a + b x . N Y. - 0 l o g o N - £ í i - 1 a + bx, N £ i - 1 - 1 a + b x . N H u - 0 l o g o E x , - £ 1 i-1 * i-1 a + bx.
12
N frações, o que torna a solução difícil.
Como a distribuição normal é um caso particular da Poisson quando p<<l e n>>>l, de tal forma que np>>l, e como no tipo comum de experiência np»nx/n»10 , as condi ções são validas para que se possa aproximar a Poissoniana , por uma Gaussiana. Conaervar-se-ã entretanto, nesta aproxima
~ 2 çao, uma propriedade da Poissoniana, que e o « u, e
far-se-- 2 2 2 a o . a Y. -a rigor o. « Y(x.)- E portanto a função x se
torna:
2 liüliLÜil
í
2
1.3 - Incertezas e propagação de erros.
Para certos tipos de experiências as flutuações / nas medidas decorrem do fato de que os aparelhos tem preci-são finita e/ou devido a imprecipreci-são humana na leitura; a es-tes tipos de flutuações, chama-se flutuações experimentais . Podem ser consideradas constantes, pois não são relacionadas com o valor da variável independente medida e dependem ape-nas da qualidade do conjunto aparêlho-observador. Grandezas/ típicas sujeitas a este tipo de imprecisão são, voltagem, /
2 2 •• massa, e t c , e nestes casos tem-se, o„ - a , onde o ê uma constante no desenrolar da experiência.
Existem porem outros tipos de flutuações, que de correm do fato de que amostras aleatórias de sucessos (dis -tribuidas aleatoriamente no tempo) contém número de sucessos que flutuam de amostra para amostra. São flutuações tempora-is no numero de sucessos e relacionadas com o valor da medida e não sendo portanto constantes; são as chamamedidas flutua -ções estatísticas, e para uma distribuição Poissoniana seu
- 2 valor ê: o_ <* Y. .
As incertezas nas variáveis independentes medidas, podem se propagar.
Seja Y • £(x. x ) ; é possível calcular a in-certeza propagada a Y , devido as inin-certezas em x.. Sejam x. os valores mais prováveis das variáveis x.,j - 1 v o
f
- ' < « i V
Portanto: 2 ,. 1 N ,„ - 7o
Y " A i s — Í £ I <*i -
Y>
mas : Y. - Y - <x, . - 5c.) - P - + (x„. - x,) - ~ ~ + i v li 1 3x, 2i 2 3x„Desenvolvendo-se o quadrado e lembrando que: 2 i N 2
o " lira — ~ . £, (x, . - x , ) e mutatis mutandii
x^ !?•*•» N i " l l i 1
2
o ; *2
definindo-se a 2 ^ - ^ g J L . ^ j ^ . - ^ ( X j j - ^ ) ] .
cuja raiz quadrada ã denominada covariancia entre x. e x . (um parâmetro que mede a dependência entre duas variáveis) , vem que:
2 m 2 3Y 2 . 2 3Y 2 A , 2 3Y 3Y
o _ " o .' +Y Xj, dXj x a «.••• • + zo 2 3 x2 xlx2 8 xl 3 x2
Se x. e x2 forem independentes, o termo cruzado
o_ S nulo ( B r 7 0 ) . Assim se Y • £(x...x ) , onde os /
*1*2 l v
x. são independente* entre si» pode-se escrever:
LA
onde as derivadas são calculadas em x. • x..
Ve-se que incertezas - ao contrário de erros que / se somam como diferenciais - se somam quadraticamente, com pesos iguais aos quadrados das derivadas parciais. Pode- se particularizar o resultado (1.1) para o caso de uma só variií vel independente medida em várias situações; seja Y»f(a^....
_ 2 a ,x) X . 1 — f(a., dx 1 ,av,x) X » X .
Porem a esta incerteza se superpõem as incertezas estatisti-cas, a s - Yi logo: 2 v ^ 2 o „ - Y . +• a Y. í x, 1 i dx" f ( al av,x) X - X . 1
Se ainda existirem imprecisões experimentais a ; i 2 2 v A 2 a vY. í x. - Y. + a 1 í
í x "
f< V
,av,x) + a x « x,que será então a incerteza que entrará na expressão de x :
H
2 r
[ffCa
1,-.«
v.«
1>-T
i]-1 Y
i
+ a2*$z
£ < ai - - - V
t x )] ,
+ ae assim pode-se tratar o problema como se não houvesse impre_ cisão em x.
Geralmente os dois últimos termos no denominador , são desprezíveis em presença do primeiro:
l
t[*^i"S"i> - Yil
i-1 Y.
1.4 - Deformações paramétricas devidas ao efeito largura 1.4.1 - Algumas propriedades da curva integrada
Para se obter os parâmetros corretos de uma função f(a.. a,,»x) a partir de pontos experimentais (x^,Y^),
de-ve-se determinar (a., »*,)„» ° minimizante da função:
i 1 Ax f v m Ax f(a,...a ,x)dx - Y. x i v í (1.2)
Por outro lado, o método usualmente empregado, pr£ cura-se o minimizante da função:
2 f ( a ^ . .av,Xj) - Yj
(1.3)
t t obtendo-se então um outro conjunto de parâmetros (a....a )
i v m que serão chamados de parâmetros deformados.
- 2
Devido a forma da função x , que devera ser minimi zada, e conveniente definir funções continuas em x, ua forma:
gt(x)
Í.X
rx • |£ + £
f (t)dt , onde \l\ < -5—
que esta definida para qualquer valor de x, e sendo seu va -lor, o resultado de uma integração de f(x), num intervalo de raio -s—, e centro em x +
l-Em particular esta função deve coincidir no ponto x - x. - a menos de flutuações - com Y., isto é, deve-se minimizar a função: tt í a. . . . a _ V " i ' i
X - ?
1 o. 1 (1.4) £ fácil notar que variações no parâmetro í., produ-zem apenas traaslaçoes na função g(ou de origem , no sentido16
contrãtio), e como na prática a origem de uni eixo é arbitrá-ria, podemos dar valores a l, que simplifiquem o cálculo, c<> no por exemplo: (1) í - 0 : g l( x ) = i Ax
(2)
l
«= A*. « (
X) . JL_
Kíl 2 ' *2KK} A x fX+Ax/2 f(t)dt (integração central) x-ax/2 •x+Ax f(t)dt (integração ã direita) x rx <3) t A x <• > 1 2" : 83( X )" Ã I T f(t)dt (integração S esquerda) x-AxEssas três funções diferem apenas por translaçoes/ de origem (ou por deslocamento):
gj(x) - g2(x - Ax/2)
g2(x) «• g3(x + Ax)
g3(x) - g1(x - Ax/2)
e experimentalmente são idênticas (figura 1-4)
FIG 1-4
es-tudo do efeito largura. Assim, se f(x) for par então seu hi_s_ tograma g.(x,Ax) , também será e a recíproca é verdadeira, u ma vez que:
f(t)dt
-a
f(t)dt para qualquer a e b, se f(x) for par, -b
e a recíproca é verdadeira, logo,
g l(x,Ax) - ^ rx+Ax/2 r-X+Ax/2 f (t)dt - T ~ Ax x-Ax/2 f(t)dt - g(-x,Ax) -x-Ax/2
Também pode-se concluir que se f(x) for par em re-lação ao eixo x » x , g também serã. Desta forma o efeito /
largura não afeta a simetria par da função, que terá um his-tograma igualmente par.
Se g' (x ,Ax) « 0 para qualquer Ax, x • x sera um eixo de simetria para f(x) e que aí terá um extremante.
Como, d dx v(x) f(t)dt - f(v) dv dx f(u) du dx u(x) então,
«i
<x'
&x)- Ã T
r- f . A X \ r- , AX s f(x + ^ — ) - f(x - -^—) e portanto pode-se ver facilmente que,f'(x) - lim gf(x,Ax)
Ax+O
e que se
g'(x ,Ax) - 0 para qualquer Ax, então 1 o
(1.5)
18
f(x) é portanto par em relação a x = x .
Se g1(x,àx) for p a r e tiver um máximo era x , então
f(x) também terá, se âx for pequeno - em relação a sua largu_
ra - porêr; se Ax far c;rancc, tiadã se pode concluir; f (x)
po-derá passar por vários nãxinos e mínimos em (x -Ax/2,x_+Ax/2) A hipótese se escreve: g'(x , Ax) - 0 g " (x .ax) < 0 C a l c u l a n d o - s e a g o r a g ' ' i g " ( x . A x ) - H g E-*0 g,( xQ+ E , A x ) - g ' ( xo- e , A x ) 2e e p e l a e q . ( 1 . 5 ) f j x + ( e + i x / 2 ) 1 - f [ x + ( e - A x / 2 ) 1
, " ( x
. A X ) - A- um - ^- — L ^
: 1 o Ax e*o 2e f j xo- ( e - A x / 2 ) 1 + f | xo- ( e + A x / 2 ) l 2cComo f(x) é par em relação a x :
g " ( xo, A x ) - — li g
2f [ xo+ ( c + A x / 2 ) J - 2f [ xo+ ( e - A x / 2 ) J
2c
expandindo-sc em serie de Taylor em primeira ordem para e, e
usando a equação (1.5): g " < x .Ax>- U n e-*o S' ( x ,Ax) £'(x +âx/2) - f'(x -Ax/2) o o o Ax
Como o primeiro termo é nulo por hipótese, deve-se ter:
. r ~
~ |f'(x +Ax/2) - f'(x -Ax/2) Ax j o o < 0 COTHO f é p a r , f c Tnpar e e n t ã o : 2 f • ( x + Ax/2) < 0 o 2 f ' ( x - A x / 2 ) > 0 oIsto significa que f passa pelo menos por um maxi-Ax
mo em (x ,-s~) » -8 nada pode se afirmar sobre o que lhe aconte ce exatamente neate intervalo, se Ax for relativamente gran-de.
0 resultado era esperado uma vez que com uma inte-gração de raio Ax/2, se perde a informação, do que acontece ao integrando, em intervalos menores. Isto é, não se pode co_ nhecer a raicroestrutura de um canal de integração. (Fig.1-5)
/ / / / / / / / / / / / / / / /
o 2
',*¥•
FIG 1-5
Quando um fenômeno é descrito por f«»f(a. a y»x)
ft se quer calcular os parâmetros (a., >«,)> deve-se ajus ' 2 ajus
-tar a função g(a. a v»x^ 1u e minimiza x -equação (1.4)
os parâmetros obtidos, minimizando a equação (1.3) jã foram denominados parâmetros deformados (a. ...a ) .
20
0 quo se faz eomumente é ajustar a função original
í a um conjunto de pontos que não se distribuem segundo esta
função, isto é, se ajusta uma curva errada, decorrendo des-te procedimento a obdes-tenção de uma curva (parâmetros) que em-bora se ajusta aos pontos da melhor maneira que lhe e possí-vel, í-fín rxur so tcfrr^ar pnraniet ri ranente ao fazê-lo.
Entretanto existem muitas funções cujos histogra
-mas g(a1 a ,x) , têm a mesraa forma funcional em x,
embo-ra não tenham os mesmos coeficientes. Neste caso, uma compa-ração:
g U j % • * > " í(-*{ * Vx ) * f ( al a u'x ) » permite
determinar analiticamente os coeficientes a. em função dos /
í T
a. . í
Serão calculados a seguir, para algumas funções /
— T "
deste tipo, as relações entre os a. e a.. Mostrar-se-a que,
1
1+
xpara polinômios existe relacionando a, e a. um sistema de n + 1 equações lineares, onde n, é o grau do polinômio a ser ajustado.
Para funções cujo histograma g(a. a ,x) não tem a mesma forma analítica, pode se analisar qual e o significa, do dos parâmetros originais no histograma e vice-versa. Por exemplo, para a Lorentziana cujo histograma ê uma diferença de arco -tnnpentes. calcular-se-ã a largura a meia altura de£ ta curva e comparar-se-ã com a da Lorentziana.
Como na tela de um osciloscõpio de um multicanal / vê-se o histograma da função, denotninar-se-ã os parâmetros / da curva observada de aparentes.
Tem-se, portanto, três conjuntos de parâmetros: Parâmetros reais (a, a ) : são os da função ori
ginal f (ax *v» * )
Parâmetros deformados (a. a ) : obtidos quando se ajusta uma curva do tipo f ( x ) , a pontos que se distribuem segundo g ( x ) .
- tt tt ~
Parâmetros aparentes (a. a ) : sao aqueles /
que tem a mesma interpretação de (a. a ) , mas são do his_
tograma g.
Quando g e f tem a mesma forma em x, então:
tt
a. - a .
J J
1.4.2- Folinõmios.
Serã analisada a seguir a influência do efeito la£
gura no caso de polinomios.
Seja f(a. a ,x) - £«,n
a x»
u mpolinomio do
grau n. Seu histograma g sera:
x+Ax/2
«•fe <S-o v
u
>
d t
' ^ i i T ^ n
'x-Ax/2 n u«0 A-r ^ + l A , U + 1 ( x +| i ) . ( « . |a>
como, u + 1 u+1(x+|^) -v50 CjJ+1(Ax/2)y + 1~v xV e mutatis mutandis < x - | i )
U+1 Entao: < x+M / + 1- ,x. J * /+ 1. r rv , A x / "V + 1 v l + (-)
u-v
logo: g. £ í
c v!ü_
(A*/~
v 6 u-0 v-0 vy * i u + 1^2 ' 1 + ( - )y"V Se for definido: 1 „V vu /u + 1 p+1 ^2 ' u-v 1 + <-)»-» V Í U V > U (1.6)22 e n t ã o : g ( a , . . . a ,x) 'vüO n ln D a
w"0 vu u
t v x%£o \ *
Portanto o histograraa e ainda um polinomio do grau n, porem com coeficiente a, dados por:
a - E- D a , v-0 , 1...n
v u"0 vu u (1.7)
Ou ainda, a « Da, em notação vetorial. Chamar-se-ã D, ma-triz de deformação, que é uma função de Ax.
Os parâmetros reais podem assim ser conhecidos:
"t D a , onde, D SM e M sera denominada matriz de corre -ção. Existe um sistema de equações lineares relacionando os n+1 parâmetros a. e at. Pode-se se ajustar.a função original ! • Ea x" , sem preocupação com a integral, se
posteriormen-te ]i + 2+
te o conjunto de parâmetros a. que minimizaram x *o r c o r ri
. . * • • * • ^
gido: a - Ma
Como liSfl D (Ax) I c|D|> 1, é conveniente escre -ver que D(Ax) » I+D'(Ax), onde
T'(Ax)
Ç+T C ^(Ax/2)
p-\>HSzl
v-\>
v<y J v>u (1.8) X • E i Definindo-se: •í— . P(a ...a ,t)dt - Y. Ax jAx o n' i(x'>- r
i P(ao...an,t.) - Y. , ao se fazer:X (x)
Pode-se escrever compactamente que:
P(a ...a ,x) • a , X(x) e P (a ...a ,x)»g«(Da) . X(x)
o n
o n
e então:
X
2(a) - E
i
9+ *X (Da) - £
(Da) . $(x.) - Y
-i2e portanto para funções polinomiais:
2 •* 2+ •*• 21" •••1' «• *
X (*) • X (Da) " X (a ) » concluindo-se que e possível
rai-~ 2 •*
nimizar a função x » obtendose diretamente seu mínimo a
-— ~ 2 +
•(a ...a ) , ou então minimizar a função x » encontrando
-se o -seu mínimo a • Da
*
(a ...a ) , corrigindo-se depois :
a • Ma , para a determinação dos verdadeiros parâmetros. Ge_
ometricamente ocorre uma mudança de coordenadas no espaço /
dos parâmetros a.. A transformação de coordenadas é dada
pe-la matriz D . (Figura r-6) .
P
No caso particular de uma parabola a transformação
de coeficientes seria:
f(a
o,a
1,a
2,x) - a ^ a ^ + a ^ .
24 e cono a • Da ; portanto. o t t a + 1/12(Ax )a, o *
A figura 1-7, ilustra as deformações que sofre uma parabola, com uma integração central, onde AH S l/12«2<ox) , e ve-se /
assim que o efeito nao S de translação (o que seria irrele-vante)
Afim de se constatar que o efeito largura não produz apenas translaçoes, scrã calculada a matriz de transformação, para um."», translação de (-Í.) d» un polincnio, ou o que c eqüivaleu
te, uma translação de (+1), no eixo Y. (Figura 1-8)
P*<x) Tem-se e n t ã o p a r a o p o l i n ô m i o t r a n s l a d a d o P (x) a c o n d i ç ã o , P (x) » P ( x + í . ) , i s t o e : n * a n - v o . £ n « - *q " E*a ( x + i OP q»0 .q p<*0 p
Expandindo-se (x+2.)*5 , veta que:
£na*x« - £n L a C ^ P " ^ q»0 q p»0 q*0 p p Se: cq ap-q qíp p qp então: n>q>p n * q n xn» E Ina q»0 q n t -- r.T a x q«0 p^O qp p * n a » £AT .a q p~0 qp p e portanto onde
26
T - < 1 (j-P (1.9)
"
j
0 q>p
Comparando-se a matriz T , cora D (equação 1.7) vê-se que são diferentes, e isto mostra que o efeito largura / produz deformações reais nas funções polinomiais.
Quando se deseja calcular os parâmetros de função g ( x ) , que ê uma translação de g.,(x) de -í.« •=— ,
basta'apli-Ax 1 * car a matriz T ( y - ) :
Ax,~->- . Para a função g , ( x ) , translação
a(2) T a( l ) Tt"2->Da 3
de g.(x) de -«,- - y - , deve-se aplicar a matriz T ( - •=—) :
a
3 "
í-T""*
No caso de uma parábola:
2X
A -Ax/2 (Ax/2)
2T ( ^ ) - | 0 1 Ax ]} t ( - f t - | 0 1 -Ax
0 1
2 / t - - «» / ' iV 2
e dal vem que
'» + - «f *. A x f * ( A x )2 t __ Ax * 1 /* %2 a< 2 )o ao + 2 ~ al + 4 — a2 * ao + T al * 3 ( A X ) a2 a
( 2 )
1"
aÍ *
â3C a2 "
al
+ Ax a2
t t a( 2 )2 • a2 " a2 e analogamente«O) -
ao " f
5*1
+I <
A*>S
on( 3 ) . a, - Ax a.
a( 3 ) , " a2
Para u m a i n t e g r a ç ã o d e x a x + Ax espera-se assin um desloca nar.to do pico a e T q u e r d a , c para una do. x Ax a x , espera
-re esíc d e s l o c a n o n í o ã d i r e i t a . (Figura 1-9)
8l t 8-FIG 1-9
I.A.3 - E x p o n e n c i a l ; curva d e decaimento
Verif.icar-ss-á a seguir a influencia do efeito iar_ gura e n um d e c a i m e n t o exponencial do t i p o :
f < A , * , * ) - A r
Xx 3, (A,A,x)> AX rx* x-AxAx
XAx - A ( x ~ A x / 2 ) -A(x + | i ) e — e 2 g.(A,X,x) 2A . ,XAx. Xbx S 6 n h ( -2 ~)-Ax
t t C o n p a r a n d o - s e com g ( A , X , x ) « At 2A . ,XAx. lA " JUS senh (T °
t x
+x
A e , vera que:' \, -^. •ic-Aa p e l . ? e f e i t o , raas a H r e a s e r a : » A . 1 + 2 4 " j u i n d ^ - c r.
V
- . r e s a i m e n t a , ATc.:)| IG 1 - 1 0 TIG 1 - 1 1 t e r e , " Ho c a s o df! v a l o r u s g r a n d e s d e (XAx) o e f e i t o s e ;1 TP 1 a v a n t e . Como c r d a c n i r c r i t o s t i p o r a d i a t i v o , T« —r—, n t c : , j í p i r t o 3 o e f e i t o s e t o r n a .<: •. -<;:. . a : . u \ . t e r . a : ; t o . ( F i r u r a - 1 - 1 0 <• ' - 1 1 ) 1 . 4 . A - S e n o i ti c N e s t e c i s o , f ( A , k , x ) • A s e n kx o g l( A , k , » . ; - irf~ c o s [k<x - | £ ) j - c o s [ k ( x + - | Í ) ] 2 A , . A:c. s e n kx * A s e n k x e n t ã o : kAx i / kf - k ( 1 . 1 0 )A f i g u r a 1 - 1 2 , i l u s t r a a v a r i a ç ã o d e A r com o
pa-, k&x TaiiietTo a d i m e n s i o n a l u a —*—
IA ( u )
FIG I - 1 2
Para grandes freqüências k, o efeito se torna im-portante, e pata valores k » 7 , não hã curva aparente ; significando que a integração e feita sobre 1 período,
apro-. sen u _ , uz j x mando-se • • 1 ~ *»>+.. . u o vein que: A " A . 1 - 24 k+ - k
A figura 1-13, mostra como se deforma uma senoíde aproximadamente»
pod
;-- S;--.±rie C Q F o u r i e r _,
"Jir.a f u n ç ã o òrn f o o s o r C a d a , n u m i n t e r v a l o ; - c , + c j ,
l_ J ser c x p a n c i u u numa sério de F o u r i i r , e n e s t e i n t e r v í l o
p o... t . . r i r. .'i f"% ">\ i . * > :r.s + h s e n ) r.Tlx , nllx> <-. n c
1 1
C I (::) = O i ulix dx , n «• 0 , 1 h e ' ( x ) s e ' i — - dx , TI • 1 , 2 . . . •> . -Afiin de esL:.\'i.-r :i i n f l u e n c i a do e f e i t o l a r g u r a a e s t a a n á l i s e ba = t a l e m b r a r o n e u.na s e n - i e ' e A s e n k x , t e n s u a a m p l i t u d e mo d i f i c a d a ( c q u a ç ã i 1-1'".): kAx n e n (——~) 11. r " : i d o - R j ! , k ~ — , <-> »•. j _ _ — 3 c in ( — — ) a ( 1 - 1 0 ) p e n 'L n r i K 2 c J n i! I x ~ + s e n ( n v ) -.:,• •— , e n r s o , r. n a i. c n nv n S c r a p c o r t a d o s o s harmônicos- t a i s q u e : n ' 7 nv » n'!T ou n • , or.do n ' » 1 , 2 , . . . F o r t a n t o os h a r m ô n i c o s de o r d e m n , t a i s q u e : n 2 ( — ) n' o n d e u' » 1 , 2 . . . , serão c o r t a d o s , e os i n t e i -ros n , p r ó x i m o s de 2j~ n' s c r a o g r a n d e m e n t e a t e n u a d o s ; / (rr) 3 n ú m e r o de canais e x i s t e n t e s era m e i o i n t e r v a l o . Por e -xeinplo, s e j a v n pulso t r i a n g u l a r de b a s e 2 c , e a l t u r a h {fi-ftura 1 - 1 4 ) .Como a f u n ç ã o e p a r : b •» o n f ( x ) - i a * J an c o s 2 S S 2 o n™i n c I ao - < £ < * > » . - | 2h fC n c
Jo
Cz , x» ntlx . 2h ( - )n- l ( 1 - ) c o a _ d x « - _ _ — iT~ c . c n^ n p o r t a n t o f.h . n par n impar - , . h ^ 4h J . 1 _ „ nllx f < x ) a 2 * Z2 \ l - Tc o sT -n -n»iapar -nt
h ^ 4h I Ilx 1 3ITx ^ 1 5nx . . _ + _ |c o s _ «. _ c o 8 — • ^ e o , _ + . . . Por e x e m p l o , s e T T " 1 . 5 ( t r ê s c a n a i s d e n t r o do p u l s o ) , e n t ã o : n » 2 n ' X 1 , 5 • 3 n ' , n ' * 1 , 2 . . . , s e r ã o c o r t a d o s , o s d e mais s e r ã o a l t e r a d o s . , t 3 J . . , 3 / 3 \ Ah n - 1 , «x - - s e n (j) ^ - (f y - ) - y25 2 t , :t ) - 72 | 'f5 "da •a s < .J , ,;.3i.. T n c o r :: r i r c s p a r â m e t r o s c o r r e t o s t i u a n -•i j • - . . t a j u = •:;'. v i r; ."•- s .•• •.• ' c dc F o u r i e r d e uraa f u n ç ã o , d e v e : . •_• -.-. ,2(i i Í i c i v .i s e r i a dc f o i ' r i ^ r c r i í i n i l s e g u n d o a e q u a ç ã o ; ! . I I ) . J", s t r r n o d i í i c a ç r . •• ~ >', c> s e r í n \ ; o r c a n t e , p o r q u e d e p e n • .; n .J o ('.a r a v a o —— i q u e • . c o t . h c c e a p e n a s a p o s t e r i o r i ) , d e -r - • :•. L •:.•.. ! •••>;: 1-. i r - o r; -! r c:.; j o Ò T a o s e r c o r t a d o s , e a s s i m a s e r i e .i ii • v a j u íi t.au . i , p o d e d -' £ c r i .• c o n s i d a r a v e I n e r r t e d a o r i g i n a l . K..i f . ' r : l ' . . o a ? c o n p o n e n t : :; c c a l r a f r e q ü ê n c i a q u e f i c a r a m a i s .;.'•• L-õdas r . e l o e f e i t o l a r ; , u r . - ; n o r o u t r o l a d o s a o e s t a s a s . " , ; > ( i . i / p - r , p r l í i . t i s u b : t . i ; v a r i a ç õ e s d e u n a f u n ç ã o ( p o n t a s , v i i , . ' i . ' ' . s t J L ' . s i i c o : - ! Ü I : I p o r V " L ' G S n e d e s e j a d e t e t a r . R r . s u m J . n d o, r j u a n d o s e c u e r a j u s t a r um p u l s o a um c i n j u n t o d e n o a t o s , p a r a e n c o n t r a r , s e u s n a r a ^ e t r o s c a r a c t e -r i ' i i c o E c ? h , j e v o n o s a j u s t a -r a s e -r i e :
,n Ax
s,Hx. i ,3n &x,
C -—; C G S (-••-) • - r.cn (-y- -c-) i Í. c 9 2 2 — coa 3 ii \ :c c N'a f i g u r a 7-15 , as cruzes p e r t e n c e m h í f t j g r a n a R , c os pontos a f. ao / / f I 1 I II !: i i x . v;. : x . •» .-. 4 J FIC 1-15í c - s c c a l c u l a r o s e u h i s t o g r a r a a , e x p a n d i n d o - a em s e r i o . >ÍP ' a y i o r . £ r . í c s s á r i o , no e n c a n r o . q u e f ( x ) s e j a su t i c i n\\ í o -n c i t e bem c o m p o r t a d a , p a r a r»ue ^«^ 7» «se,? ' -n t í ; ; "r.i i i . 1 •• : • :,u' .i u r a o , i s t o è , t r o c a n d o a o r d e m d e i n t e g r a ç ã o e s o m a : Ax
f
x+r
x + Ax g ^ * ) Í . X I Ax f ( t ) d t «* ^x . n - 0 n ! 1 , . £ * f U > ( t - x ) d t r + Ax Ax ri" o n ! ; _ Ax n , S t ( x ) -Ax. u d,!* n-o TTnTiTi <r>
( 1 . 1 2 a ) analogamente, g-(x) « ( 1 . l i b ) a m u t a t i s m u t a n d i s ; g s ( x ) M n T / %n f ( x ) / . % n . , , ,, . E ( _ ) T n ^ T T T ( A x ) (3 .\íc> n * o ' ' T o m a n d o - s e o s 2 p r i m e i r o s t e r m o s d e s é r i e 3 l( x ) • f ( x ) + ~ f " ( x ) ( A x ) g2( x ) - f ( x ) + | * - f ' ( x ) ( 1 . 1 3 ) 83( x ) - f ( x ) - | * - f ' ( x )As expansões (1.12), são " ítas em torno de um pon
o variável x; portanto, em cada ponto, a função é represen-ada por um polinooio, cujos coeficientes entretanto variam
' .i âs r- a 11 s s : s t ' i o .1 , - , i i -• • •• . n - a c x n ' - ( )
2l
' ; I- ,1 :\ 3 d x c d u n , n s a n e i o - : . c a s ' . ' . - u s - j õ c ! ( 1 . 1 2 ) , vern q u ei_
1 2 , > ( « • . « r i u ) T •;-,- U ' j )2 C ' ( u ) < £ i a c "u j l + ^ - ( A u )2( 2 u2- 1 ) s2- ( « ) , 3 ( - - n ( l - A u U) (1 -t fi u u ) V ? s e p o r t a n t o n a c a s f o r r a s a n a l í t i c a s d o s h i s t o g r a r j j i r . n d i f e r t m t r . d e f u n ç ã o o r i g i n a l : o h i s t o g r a n a g a u s -r. i a n o c ('. e f r I - ,-.d o f u n p í o n r t r . c n * *•> p o r UEI I ! i n o n i o , c u j o g r a u t' e p » nd •:• An o r d e n d o e x p a r ;; a o . r . ' . t c p o l ' n ô - i o r a n p r o n r { o d a.-i r r. i r . p o r t a n t c s : s e j a l ^ í u . A u l fc l + i - _ (tM)2(2u?-l) So A" ; j 0 , e n t ã o ? ( u , 0 ) *» 1 , e n ã o h á d e f o r m a ç ã o . F a r á u - í / "V ' i P (u , Au) • 1 , p a r a q u a l q u e r Au . r o r t a n t o a c u r v , . o r i g i n a l e s e u h i s t o g r a m » , s e i n t e r c e p t a m / i C U D t l ! . 1 X - *Os extrenantes do r,.(u) poden ser calculados;
ç-.j(u) - G(u) V'(n,:-u) - 2'j '-.(u) P ( u , A u ) , ondo C(u) - a e e ar- rait^s desta erunção sHo 'u •» 0
-u
v:(u,>u) - (7—) , cuja
P a r a u • O a f u n ç ã o p a s s a p e l o seu mâxirao p r i n c i -p a l e v a l e :
,„» r, ( A u )
2!
g ( 0 ) - a i 1 j y - |
Daí vé*-8e que o histograma é mais "baixo" que a função real. Convém notar que o fator de "abaixamento" e igual ao de uraa parabola (sec I.4.2). Isto era de se esperar, porque com a £ proxiraação realizada, a função em cada ponto foi substituída por uma parabola, cujos parâmetros variam em função do ponto
(sec I.4.6).
Para se determinar a largura aparente c , do his-tog**araa, e necessário resolver a equação abaixo, em que c « - u, - , onde u, , e o valor de u para o qual:
l/e l/e v n
(Au)2(2u2-1)
I « (1 -
i^l )
e a U 12 '
ou seja;
-u
e L
i;(AU)
2
]
1 + ^ (Au)2 (2u2 - 1)
Esta equação transcendental, para diversos valores de Au, foi resolvida numericamente com um programa de compu-tador (LARGAUSS), e alguns resultados são apresentados na ta bela I-i.
0.83333 0.76923 0.66667 0.50000 0.40000 0.33333 u - c / :: 1.03*96 1.05397 1.03998 1 .02199 1.01399 1.00999 (cff-<-.)/c.(Z) h.396 5.397 3.993 2.199 1.399 0,999 TABELA 1-1
A curva aparente e raais larga do que a real. Para &u * 0.83333 - -r—?(existeci 2 tU canais dentro da largura) o
histograma é 6,At nais larço que a curva real. Por outro la-do noscrou-sG que 3 mais "bai:--.o" (figura I-16),
I.A.8 - Lorentziana
A. Lorentzíana é uma curva do tipo:
- ( - h
(b-x)2 + c2
, o n d e b e a posiijio da .-.i a * i :u o . i.i;;
x » h - c a função tem ura valor igual a metade do valor maxi_ 2
-rao a/c , e portanto c e a largura a raeva altura; a e chamada amplitude e está relacionada con a área debaixo da curva:
S - 11- i(x) c
8,00
a/C2
a/2C:
FIG 1-17 Os seus histogramas serão:
1 a T / x-b+Ax/2 . .. , x-b-Ax/2 v1
._ „ ^
arc tg
(__ ) -
arc tR
( . >J
&2<*> g3(«) 1 a i , x+òx-b » _ ,x-b*1 'arc tg ( ) - arc tg (•——) I c c j Ax c" U , 1 _ a T ox c L* re eg C2—--) - arc tg c , X-b-Ax .|Pelas propriedades gerais estudadas na sec I.4.1 a função g., serã par em relação a x*b, e e fácil mostrar que terá ai um máximo, para qualquer valor de áx. Tor outro la-do estas funções tendem a zero, para |x| grandes. Não é di-fícil • concluir que têm a forma de "sino". Na tabela 1-2 foi tabelada g,(x) para S«l, b«0.60 e c»0.08 , com x variando/
- áx 1
38 g2( x ) f l . D 2 2 4 ? 0 . 0 2 4 4 4 0 . '! 1 ri 7 '' 0 . 0 2 9 i 9 0.032A5 03602 04021 04517 05110 0.05e29 0.06708 0.07798 0.09169 0.10919 13182 16141 20015 25000 31100 0.37888 0.44485 0.50000 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0, 0. 0.
b
ó
0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 53958 56283 57045 56283 53958 50000 44485 37888 31100 25000 20015 16141 .13182 10919 .09169 07798 .06708 .05829 .05110 .04517 .04021 .03602 .03245 .02939 .02674 .02444 .02242 S - I b » 0.6 r. •* O.08 TABELA 1-2Ê interessante notar que a largura desta função , não í 2c; para isto calcula-se x...» °>ue * ° v* *o r d e x par* o qual a função tem a metade do valor do máximo.
'A menos de constante:
Au
Au,
xrb
g(u) - are tg (u+ x-) - are tg ( •_—) » onde
u-Au • — . 0 máximo se dã para u»0, onde a função vale: c
2 are tg (|2-).
Tem-se portanto que resolver, .a seguinte equação: are tg (|ü) - a r c tg ( u1 / 2 • Io.) - a r c t g ( „i / 2 . |ü)
Aplicando-s« tg a ambos os membros da equação aci-ma e desenvolvendo a tg da diferença vem que:
Au t u
l/2
+T "
(ul/2
Au
) 1 + ( U i / 2 + |U) ( U i / 2 . | u} Au 2A solução desta equação é: ui/2 " ~ / * + ^
A figura 1-18 ilustra estas soluções.
Au,
Ul/2 ul/2 Z / ^
(§"-)
T
C ( u
i/2 -
u
í/2> *
enti[o
f
,tt .
c
J
x
+
i
(
M
}
(1.14)Vê-se que a largura do histograna ê sempre maior / do que a da Lorentziana (figura 1-19). Por outro lado o his-r tograma ê mais "baixo". Assim, o efeito largura tem por ca-racterística "achatar" a função.
AO
1.4.9 - Conclusões do capitulo
Neste capítulo se obteve para as funções mais co -muns os seus respectivos histogramas, tornados funções contai
nuas g(x). Estas últimas como têm a mesma natureza dos pon-tos experimentais, a estes podem melhor se ajustar do que a curva que lhes deu origem. No entanto ver-se-ã (CAP. Ill) , que esta propriedade de melhor ajuste não e tão importante / quanto o fato de que a função original se deforma muito ao *i justar-se aos pontos que deu origem.
"Intrandum est in rerum naturara, et penitus, quid ea postulet, previdendum"
Cicero
CAPITULO II
SIMULAÇÃO E COMPARAÇÃO
11.1 - Introdução
Mostrar-se-ã neste capitulo as deformações que um analisador de multicanal produz sobre uma distribuição de probabilidades; comparar-se-ã funções f e seus histogramas g com espectros simulados. Em experiências, existe a dificulda_ de de não se conhecer OA parâmetros da função original, e portanto de não se poder fazer uma comparação entre os espe£ tros e as duas funções f e g.
Para superar esta dificuldade, a experiência será simulada, gerandose distribuições de números ao acaso, Lo -rentzianos e Gaussianog, com parâmetros conhecidos, bem como
todo o processo de contagem do aparelho. Obtem-se assim um espectro; a curva (distribuição), que lhe deu origem
f(a,b,c,x) , e o seu histograms (tornado uma função contínua em x) g(a,b,c,x) serão em seguida comparados separadamente , com o espectro, e entre si, sem que se faça ainda ajustes / por mínimos quadrados; isto sera realizado no capítulo III .
0 capítulo sera iniciado com uma introdução aos mS_ todos de obtenção de números aleatórios equidistribuidos , sua transformação em uma distribuição desejada, e a simula -ção de um multicanal.
11.2 -Geração de números aleatórios
Variável aleatória ê uma função real, definida no espaço de flxtoa tiragem que associa a um certo evento A. do esp£ ço, um número real i: X(A.) - i.
1*2
Seja uma v a r i á v e l a l e a t ó r i a X, um numero r e a l x , e a p r o b a b i l i d a d e ¥ ( f u n ç ã o de x) de um e v e n t o X<x:
F ( x ) - P(X<x)
A função F(x) tom como p r i n c i p a i s p r o p r i e d a d e s : ( i ) F(x) é monótona nao d e c r e s c e n t e ;
( i í > l£m F ( x ) - 1 e l^mw F ( x ) - 0
Se F ( x ) e c o n t í n u a e p o s s u e d e r i v a d a , e n t ã o : f ( x ) —•. *** é chamada d e n s i d a d e de p r o b a b i l i d a d e . Por o u
-dx
t r o lado t e m - s e para a função f ( x ) :
fSi P(X<a) - F ( a ) - f ( t ) d t e P(a<x<b) - f ( t ) d t - P ( * ) - F ( a ) t+— f ( x ) dx • 1 , que e a chamada c o n d i ç ã o de n o r m a l i z a ç ã o 0 -•» < x < ü Se f (x) - <1 0 < x < l Io x > 1
diz-se que a variável aleatória possue uma densidade de pro-balidade uniforme. Chatnar-se-á x neste caso, abreviadamen-te de um número aleatório. Existindo um aparelho que "sorabreviadamen-te- "sorte-asse" um x entre 0 e 1, qualquer um deles seria equiprova-vol.
Pode-se gerar sistematicamente uma seqüência de nu meros aleatórios de diversos modos:
Métodos manuais Tabelas
Métodos para computadores anolõgicos
Métodos pata computadores digitais . Resumidamente, tem-se.*
