AULA 01: Lógica (Parte 1)
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SUMÁRIO PÁGINA
1. Resolução das questões da Aula 00 1
2. Conceitos básicos 26
3. Exercícios comentados nesta aula 47
4. Exercícios propostos 50
5. Gabarito 53
Na aula zero, vimos as operações com conjuntos. Hoje começaremos com o conteúdo de lógica. Porém, antes disso, vamos à resolução das questões da aula passada.
1 – Resolução das questões da Aula 00
(Texto para as questões 15 a 17) Considere que A e B sejam conjuntos finitos e não-vazios e sejam S1, S2, S3, S4, S5 e S6 os seguintes números inteiros:
S1: quantidade de elementos do conjunto A; S2: quantidade de elementos do conjunto B; S3: quantidade de elementos do conjunto A ∪∪∪∪ B; S4: quantidade de elementos do conjunto A ∩∩∩∩ B; S5: quantidade de elementos do conjunto A \ B; S6: quantidade de elementos do conjunto B \ A.
Com base nessas informações, é correto afirmar que, para quaisquer conjuntos A e B nas condições especificadas,
15 - (AFRE/ES - 2008 / CESPE) S3 = S1 + S6.
Solução:
Para facilitar o entendimento, temos: S3 = S1 + S6
Prof Marcos Piñon – Aula 01 Vimos na aula passada que n(B \ A) = n(B) – n(B ∩ A). Assim, substituindo n(B \ A) na equação de cima, temos:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B \ A)
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(B ∩ A)
Ora, essa equação já deve estar decorada, não é mesmo? Assim, o item está
correto!
Se você não se lembrasse de nenhuma dessas equações na hora da prova, bastava desenhar os diagramas para verificar. Veja que as informações são para “Quaisquer conjuntos A e B”. Assim, podemos escolher a situação em que A e B possuem elementos em comum e elementos só deles para verificar a equação:
Com isso, n(A ∪ B) = n(A) = n(B \ A) = Portanto, n(A ∪ B) = n(A) + n(B \ A)
Assim, basta juntar os “pedaços”. Isso mostra que a equação está correta!
A B B / A A ∪ B A = A A ∪ B B / A +
16 - (AFRE/ES - 2008 / CESPE) S3 + S4 = S1 + S2. Solução: Vamos lá: S3 + S4 = S1 + S2 n(A ∪ B) + n(B ∩ A) = n(A) + n(B) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(B ∩ A)
Mais uma vez, chegamos na mesma equação. Item correto!
17 - (AFRE/ES - 2008 / CESPE) S3 = S5 + S6.
Solução:
S3 = S5 + S6
n(A ∪ B) = n(A \ B) + n(B \ A)
Lembrando que n(A \ B) = n(A) – n(A ∩ B) e n(B \ A) = n(B) – n(B ∩ A), temos, n(A ∪ B) = n(A \ B) + n(B \ A)
n(A ∪ B) = n(A) – n(A ∩ B) + n(B) – n(B ∩ A)
n(A ∪∪∪∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩∩∩∩ B)– n(B ∩∩∩∩ A)
Podemos perceber pelo destaque em azul e vermelho que existe o termo “– n(B ∩ A)” sobrando na equação. Portanto, o item está errado!
(Texto para as questões 18 e 19) Sabendo-se que dos 110 empregados de uma empresa, 80 são casados, 70 possuem casa própria e 30 são solteiros e possuem casa própria, julgue os itens seguintes.
18 - (DETRAN/DF - 2008 / CESPE) Mais da metade dos empregados casados
possui casa própria.
Solução:
Podemos montar a seguinte tabelinha para ajudar na resolução: Casados Solteiros Total Possuem casa própria
Não possuem casa própria Total
Prof Marcos Piñon – Aula 01 Total de Empregados: 110
Casados Solteiros Total Possuem casa própria
Não possuem casa própria
Total 110
Total de Casados: 80
Casados Solteiros Total Possuem casa própria
Não possuem casa própria
Total 80 110
Com isso, podemos concluir que o total de solteiros era igual a 110 – 80 = 30 Casados Solteiros Total
Possuem casa própria Não possuem casa própria
Total 80 30 110
Total que possui casa própria: 70
Casados Solteiros Total
Possui casa própria 70
Não possui casa própria
Total 80 30 110
Com isso, podemos concluir que o total de pessoas que não possuem casa própria era igual a 110 – 70 = 40
Casados Solteiros Total
Possui casa própria 70
Não possui casa própria 40
Total 80 30 110
30 são solteiros e possuem casa própria
Casados Solteiros Total
Possui casa própria 30 70
Não possui casa própria 40
igual a 70 – 30 = 40.
Casados Solteiros Total
Possui casa própria 40 30 70
Não possui casa própria 40
Total 80 30 110
Para finalizar, podemos concluir que 80 – 40 = 40 empregados casados não possuem casa própria e que 30 – 30 = 0 empregados solteiros não possuem casa própria.
Casados Solteiros Total
Possui casa própria 40 30 70
Não possui casa própria 40 0 40
Total 80 30 110
Portanto, este item está errado, já que exatamente a metade dos empregados casados possuem casa própria.
19 - (DETRAN/DF - 2008 / CESPE) Dos empregados que possuem casa própria há mais solteiros que casados.
Solução:
Utilizando a tabela que fizemos para o item anterior, podemos concluir que este item está errado, pois a quantidade de casados que possuem casa própria (40) é maior que a quantidade de solteiros que possuem casa própria (30).
Casados Solteiros Total Possui casa própria 40 30 70
Não possui casa própria 40 0 40
Total 80 30 110
(Texto para as questões 20 a 23) Os conjuntos A, B, C e D são tais que A e B são disjuntos de C e D e suas partes têm as quantidades de elementos conforme mostra a tabela a seguir.
Prof Marcos Piñon – Aula 01 subconjunto elemento [A / B] ∪∪∪∪ [C / D] 15 C 18 [A ∩∩∩∩ B] ∪∪∪∪ [C ∩∩∩∩ D] 24 A ∩∩∩∩ B 8 A ∪∪∪∪ B 32 [C / D] ∪∪∪∪ [D / C] 25
Com relação a esses conjuntos e subconjuntos e aos números de elementos, julgue os itens seguintes.
20 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) C ∪∪∪∪ D tem mais de 40 elementos.
Solução:
Nessa questão, no meu modo de ver, o CESPE cometeu um equívoco na notação da diferença entre conjuntos. Em todos os livros de matemática que conheço, a diferença entre os conjuntos A e B é representada por (A – B) ou (A \ B). Nessa questão essa diferença foi escrita como A / B (a barra deveria ser invertida).
Feita essa observação, vou começar desenhando os diagramas que nos ajudarão a entender melhor a explicação. Sabendo que A e B são disjuntos de C e D, temos:
A partir da tabela, podemos ir preenchendo as áreas com as quantidades de elementos: n(A ∩∩∩∩ B) = 8 = y A B C D A B C D 8 x y z j k i x z j k i
8 + j = 24 j = 24 – 8 j = 16 n(C) = 18 i + 16 = 18 i = 18 – 16 i = 2 n([C / D] ∪∪∪∪ [D / C]) = 25 2 + k = 25 k = 25 – 2 k = 23
Aqui já podemos responder esta questão, pois queremos saber quantos elementos possui C ∪ D:
n(C ∪ D) = 2 + 16 + 23 n(C ∪ D) = 41 elementos. Portanto, o item está correto!
21 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) [A / B] ∪∪∪∪ [B / A] tem mais de 25 elementos.
Solução:
Vamos responder esta questão, aproveitando o que já fizemos na questão anterior: A B C D 8 16 A B C D 8 16 2 k i A B C D 8 16 2 23 x z x z k x z
Prof Marcos Piñon – Aula 01
n(A ∪∪∪∪ B) = 32 x + 8 + z = 32 x + z = 32 – 8 x + z = 24
Como n(A \ B) = x; n(B \ A) = z e (A \ B) não possui nenhum elemento em comum com (B \ A), então n([A \ B] ∪ [B \ A]) = x + z = 24. Assim, podemos concluir que este item está errado!
22 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) C / D tem mais de 4 elementos.
Solução:
Olhando diretamente para o que já encontramos na resolução da questão 20, n(C \ D) = i = 2. Portanto, este item está errado!
23 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) D / C tem mais de 20 elementos.
Solução:
Olhando diretamente para o que já encontramos na resolução da questão 20, n(D \ C) = k = 23. Portanto, este item está correto!
(Texto para as questões 24 e 25) Em uma blitz, de 150 veículos parados, 60 foram flagrados com extintor de incêndio com data de validade vencida. Além disso, em 45 veículos, o motorista estava sem o documento de habilitação para dirigir. O total de veículos em pelo menos uma dessas duas situações foi de 90. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes.
24 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) O número de veículos que não apresentaram as irregularidades mencionadas foi superior a 50.
Solução:
Organizando as informações, temos: Total de veículos (T): 150 A B C D 8 16 2 23 x z
Veículos com problemas de documentação (Vd): 45
Veículos com pelo menos uma dessas infrações (Ve ∪ Vd): 90 Veículos sem nenhuma infração (Vn): ???
Desenhando o diagrama, temos:
Bom, a questão pede o total de veículos que não apresentaram nenhuma infração. Temos o total de veículos parados na blitz (150) e o total de veículos com pelo menos uma infração (90). Assim, o total de veículos que não teve nenhuma infração corresponde à área amarela do diagrama e é dado por:
n(Vn) = n(T) – n(Ve ∪ Vd) n(Vn) = 150 – 90
n(Vn) = 60
Portanto, o item está correto, pois mais de 50 veículos não apresentaram as irregularidades mencionadas no texto.
25 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) O número de veículos flagrados simultaneamente nas duas situações foi inferior a 20.
Solução:
Bom, agora a questão pede o número de veículos flagrados simultaneamente nas duas infrações. Esse grupo de veículos corresponde à interseção dos conjuntos Ve e Vd (ou seja, Ve ∩ Vd). Lembrando aquela equação da aula passada, temos: n(Ve ∪ Vd)= n(Ve) + n(Vd) – n(Ve ∩ Vd)
90 = 60 + 45 – n(Ve ∩ Vd) n(Ve ∩ Vd) = 105 – 90 n(Ve ∩ Vd) = 15
Assim, concluímos que o item está correto, pois menos de 20 veículos foram flagrados simultaneamente nas duas infrações.
(Texto para as questões 26 e 27) Secretaria da Fazenda (SEFAZ/ES) realiza campanha educativa sobre a importância da nota fiscal. Em 2009, o Programa de Educação Fiscal da SEFAZ realizou 48 eventos, entre reuniões,
T
Ve
Prof Marcos Piñon – Aula 01 seminários, palestras, capacitações de professores e treinamento de servidores. A atuação abrangeu 27 municípios capixabas.
Internet: <www.sefaz.es.gov.br> (com adaptações). Suponha que todos os eventos mencionados no texto acima atraíram público e que, entre os participantes, 2 mil pessoas compareceram às palestras, 1.500 pessoas, aos seminários e 500 pessoas, aos demais eventos. Considere também que 500 pessoas participaram de palestras e seminários, 800 pessoas participaram apenas de seminários, 200 pessoas não participaram de palestras ou seminários e 25 pessoas participaram de todos os tipos de eventos. De acordo com essa situação hipotética e com o texto acima, julgue os itens a seguir.
26 - (SEFAZ/ES - 2010 / CESPE) Menos de 1.400 pessoas participaram apenas de palestras.
Solução:
Como sempre fazemos, vamos começar organizando as informações: Estudantes que não foram a nenhum evento (N): 0
Estudantes que compareceram a Palestras (P): 2.000 Estudantes que compareceram a Seminários (S): 1.500 Estudantes que compareceram a Demais Eventos (D): 500
Estudantes que compareceram a Palestras e Seminários (P ∩ S): 500 Estudantes que compareceram apenas a Seminários (S – (P ∪ D)): 800
Estudantes que não compareceram a Palestras ou Seminários (D – (P ∪ S)): 200 Estudantes que compareceram a todos eventos: (P ∩ S ∩ D): 25
Agora, desenhamos o diagrama e preenchemos com as quantidades:
Estudantes que compareceram a todos eventos: (P ∩∩∩∩ S ∩∩∩∩ D): 25 P
D S
Estudantes que compareceram apenas a Seminários (S – (P ∪∪∪∪ D)): 800
Estudantes que não compareceram a Palestras ou Seminários (D – (P ∪∪∪∪ S)): 200
Estudantes que compareceram a Palestras e Seminários (P ∩∩∩∩ S): 500
Como 25 alunos compareceram a todos os eventos, apenas 500 – 25 = 475 compareceram apenas a Palestras e Seminários.
P D S 25 P D S 25 800 P D S 25 800 200
Prof Marcos Piñon – Aula 01
Estudantes que compareceram a Seminários (S): 1.500
Como 25 alunos compareceram a todos os eventos, 475 compareceram apenas a Palestras e Seminários, 800 compareceram apenas a Seminários, e 1.500 compareceram a Seminários, podemos concluir que 1500 – 800 – 475 – 25 = 200 compareceram a Seminários e Demais Eventos.
Estudantes que compareceram a Demais Eventos (D): 500
Como 25 alunos compareceram a todos os eventos, 200 compareceram apenas a Seminários e Demais Eventos, 200 compareceram apenas a Demais Eventos, e 500 compareceram a Demais Eventos, podemos concluir que 500 – 200 – 200 – 25 = 75 compareceram a Palestras e Demais Eventos.
P D S 25 800 200 475 P D S 25 800 200 475 200 P D S 25 800 200 475 200 75
Estudantes que compareceram a Palestras (P): 2.000
Como 25 alunos compareceram a todos os eventos, 75 compareceram apenas a Palestras e Demais Eventos, 475 compareceram apenas a Palestras e Seminários, e 2.000 compareceram a Palestras, podemos concluir que 2000 – 75 – 475 – 25 = 1.425 compareceram apenas a Palestras.
Portanto, podemos concluir que o item está errado, pois mais de 1.400 pessoas participaram apenas de Palestras.
27 - (SEFAZ/ES - 2010 / CESPE) Mais de 750 pessoas participaram de dois ou mais tipos de eventos.
Solução:
Bom, usando o diagrama preenchido na questão anterior, temos:
A área pintada de amarelo corresponde justamente ao grupo que a questão pediu, que são aqueles que participaram de dois ou mais eventos. Assim, temos:
Pessoas que participaram de dois ou mais eventos = 475 + 200 + 75 + 25 = 775 Portanto, o item está correto, pois mais de 750 pessoas participaram de dois ou mais eventos. P D S 25 800 200 475 200 75 1.425 P D S 25 75 475 200 1.425 200 800 25
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(Texto para as questões 28 a 30) Um instituto de ensino oferece três cursos profissionalizantes: de contabilidade, de informática e de administração. As matrículas dos alunos desse instituto estão assim distribuídas: 100 em contabilidade, 70 em informática, 55 em administração, 30 em contabilidade e informática e 25 em informática e administração. Com base nessas informações e sabendo que nenhum aluno está matriculado, ao mesmo tempo, nos cursos de contabilidade e administração, julgue os itens que se seguem.
28 - (MEC - 2011 / CESPE) A quantidade de alunos matriculados apenas no curso de administração é igual ao dobro da de alunos matriculados apenas em informática.
Solução:
Organizando as informações, temos:
Total de alunos matriculados em contabilidade (C): 100 Total de alunos matriculados em informática (I): 70 Total de alunos matriculados em administração (A): 55
Total de alunos matriculados em contabilidade e informática (C ∩ I): 30 Total de alunos matriculados em informática e administração (I ∩ A): 25 Total de alunos matriculados em contabilidade e administração (C ∩ A): zero Agora, desenhamos o diagrama e preenchemos com as quantidades:
Total de alunos matriculados em contabilidade e administração (C ∩∩∩∩ A): zero C A I C A I 0 0
Total de alunos matriculados em contabilidade e informática (C ∩∩∩∩ I): 30
Total de alunos matriculados em informática e administração (I ∩∩∩∩ A): 25
Total de alunos matriculados em contabilidade (C): 100
Como 30 desses alunos também estão matriculados em informática, 100 – 30 = 70 estão matriculados apenas em contabilidade.
Total de alunos matriculados em informática (I): 70
Como 30 desses alunos também estão matriculados em contabilidade e 25 desses alunos também estão matriculados em administração, 70 – 30 – 25 = 15 estão matriculados apenas em informática.
C A I 0 0 30 C A I 0 0 30 25 C A I 0 0 30 25 70
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Total de alunos matriculados em administração (A): 55
Como 25 desses alunos também estão matriculados em informática, 55 – 25 = 30 estão matriculados apenas em administração.
Portanto, podemos concluir que o item está correto, pois o número de alunos matriculados apenas em administração é igual a 30, que é o dobro de 15 (total de alunos matriculados apenas em informática).
29 - (MEC - 2011 / CESPE) Se 15 alunos matriculados apenas em contabilidade trocarem de curso e se matricularem apenas em administração e se 10 alunos matriculados apenas em contabilidade se matricularem também em informática, então informática será o curso com o maior número de alunos matriculados.
Solução:
Bom, usando o diagrama preenchido na questão anterior, temos: C A I 0 0 30 25 70 15 C A I 0 0 30 25 70 30 15 C A I 0 0 30 25 70 30 15
Agora, vamos realizar as modificações propostas na questão:
15 alunos matriculados apenas em contabilidade trocarem de curso e se matricularem apenas em administração
10 alunos matriculados apenas em contabilidade se matricularem também em informática
Calculando o número de alunos em cada curso, temos:
Contabilidade = 45 + 40 = 85 Informática = 40 + 15 + 25 = 80 Administração = 45 + 25 = 70
Portanto, o curso que fica com mais alunos é contabilidade. Item errado.
C A I 0 0 30 25 70-15= 55 30+15 = 45 15 C A I 0 0 30+10=40 25 55-10=45 45 15 C A I 0 0 40 25 45 45 15
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30 - (MEC - 2011 / CESPE) O instituto possui mais de 200 alunos matriculados nos três cursos.
Solução:
Bom, usando o diagrama preenchido na questão 28, temos:
Total de alunos = 70 + 30 + 15 + 25 + 30 = 170
Portanto, o instituto possui menos de 200 alunos. Item errado.
(Texto para as questões 31 e 32) Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o tráfico de pessoas — aliciamento de homens, mulheres e crianças para exploração sexual — e a pornografia infantil — envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins sexuais. Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denúncias analisadas.
31 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas.
Solução:
Nessa questão, vamos começar desenhando o diagrama, onde queremos encontrar o valor de x: C A I 0 0 30 25 70 30 15
Onde T é o total de denúncias, TP o total de denúncias referentes ao Tráfico de Pessoas e PI o total de denúncias referentes à Pornografia Infantil.
Agora, vamos analisar as informações da questão e preencher o diagrama com as quantidades correspondentes:
“tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil”
Com isso, podemos concluir que a interseção dos conjuntos TP e PI possui 30 elementos:
“outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois crimes”
Com isso, podemos concluir que a área laranja do diagrama acima possui 30 elementos, pois essas trinta denúncias não fazem parte nem de TP nem de PI:
“em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil” TP PI T TP PI 30 T TP PI 30 30 x x x
Prof Marcos Piñon – Aula 01 Como nós já sabemos que 30 denúncias se tratavam de Pornografia Infantil e também de Tráfico de Pessoas, podemos concluir que 60 – 30 = 30 denúncias se tratavam apenas de Pornografia Infantil:
Por fim, como o total de denúncias era igual a 100, podemos calcular o total de denúncias que se tratavam apenas de Tráfico de Pessoas:
x = 100 – 30 – 30 – 30 x = 10
Portanto, item correto.
32 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil.
Solução:
Utilizando o diagrama da questão anterior, temos:
Total de denúncias de Tráfico de Pessoas = 10 + 30 = 40 Total de denúncias de Pornografia Infantil = 30 + 30 = 60
Portanto, os crimes de Tráfico de Pessoas foram menos denunciados que os crimes de Pornografia Infantil. Item errado.
(Texto para a questão 33) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de pelo
T TP PI 30 30 30 x T TP PI 30 30 30 10
quantidade de elementos do conjunto Ex. Julgue o item seguinte, a respeito desses conjuntos.
33 - (TCDF - 2012 / CESPE) Se x e y forem números inteiros não negativos e x ≤≤≤≤ y, então Ey⊂⊂⊂⊂ Ex.
Solução:
A dificuldade dessa questão é entender exatamente quais são os conjuntos informados na questão. Para facilitar o entendimento, vamos supor uma situação prática. Digamos que existam 5 empresas A, B, C D e E. Digamos, também, que A não tenha participado de nenhuma licitação, que B e C tenham participado de 2 licitações e que D e E tenham participado de 3 licitações. Assim, teremos os seguintes conjuntos:
E0 = {A, B, C, D, E}, pois todas as empresas participaram de “zero” ou mais licitações.
E1 = {B, C, D, E}, pois apenas A não participou de pelo menos “uma” licitação. E2 = {B, C, D, E}, pois apenas A não participou de pelo menos “duas” licitações.
E3 = {D, E}, pois A, B e C não participaram de pelo menos “três” licitações.
Assim, considerando que x e y são número inteiros não negativos (ou seja, 0, 1, 2, 3, ...), e que x é menor ou igual a y, podemos concluir que Ey está contido em Ex. Utilizando a situação prática descrita acima, podemos supor que x = 1 e y = 3, assim teremos dois número inteiros não negativos e teremos também x menor que y. Resta verificar se E3 está contido em E1, ou seja, se {D, E} está contido em {B, C, D, E}. Lembrando que um conjunto K está contido em outro conjunto J, se todos os elementos de K também pertencerem a J, e é exatamente isso que acontece acima.
Se ainda tiverem dúvida, é só perceber que uma empresa que participou de 2 licitações será elemento dos conjuntos E0, E1 e E2. Se a Empresa participou de 3 licitações, ela fará parte dos conjuntos E0, E1, E2, e E3, e assim sucessivamente, fazendo com que o conjunto En sempre seja subconjunto de En-1, En-2, En-3...
Portanto, podemos concluir que o item está correto.
(Texto para as questões 34 e 35) Para cada x = 0, 1, 2, 3 ou 4, a partir de um conjunto E de pessoas, Ex corresponde ao conjunto de indivíduos do conjunto E que são clientes de pelo menos x operadoras de telefonia móvel e Nx, à quantidade de elementos de Ex. Considerando essas informações, julgue os itens que se seguem.
Prof Marcos Piñon – Aula 01
34 - (Anatel - 2012 / CESPE) Para cada x do conjunto {0, 1, 2, 3, 4}, tem-se que N4 ≥≥≥≥ Nx.
Solução:
Aqui, devemos entender que cada pessoa do conjunto E pode ser cliente de nenhuma, de uma, de duas, de três ou de quatro operadoras. O conjunto E0 representa todas as pessoas do conjunto E, pois todo mundo é cliente de pelo menos zero operadoras, ele pode ser cliente de uma, de duas, de três, de quatro ou de nenhuma operadora que ele fará parte deste conjunto. Já o conjunto E1 é composto por todas as pessoas que são clientes de pelo menos uma operadora. O elemento deste conjunto pode ser cliente de uma, duas, três ou quatro operadoras, mas não pode ser cliente de zero operadoras Assim, podemos concluir que o número de elementos do conjunto E1 será menor ou igual ao número de elementos do conjunto E0, pois todos os elementos de E1 pertencem a E0, sendo que E0 ainda pode possuir as pessoas que não são clientes de nenhuma operadora.
Assim, podemos perceber que isso se aplica a E2, E3 e E4, ou seja, o número de elementos de E4 é menor ou igual ao número de elementos de E3, o qual possui um número de elementos menor ou igual a E2, que possui um número de elementos menor ou igual a E1. Assim, temos:
N4 ≤ N3 ≤ N2 ≤ N1 ≤ N0
Com isso, podemos perceber que o item está errado, já que o x irá variar entre 0 e 4, o que fará com que o N4 seja menor ou igual a Nx e não maior ou igual a Nx. Item errado.
35 - (Anatel - 2012 / CESPE) Se x e y forem elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4} e x ≤≤≤≤ y, então, Ey será um subconjunto de Ex.
Solução:
Essa questão parece uma cópia da questão 33 acima. Como x é menor ou igual a y, podemos concluir que todos os elementos de Ey irão pertencer ao conjunto Ex, ou seja, Ey é um subconjunto de Ex (Ey ⊂ Ex). Item correto
(Texto para as questões 36 e 37) Em razão da limitação de recursos humanos, a direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos
que, dos processos de P, 3 2 são de A e 5 3
são de B, julgue os itens a seguir.
36 - (MPU - 2013 / CESPE) O conjunto CP(A) ∪∪∪∪ CP(B) corresponde aos processos da unidade que não são prioritários para análise.
Solução:
Nessa questão, devemos analisar se CP(A) ∪ CP(B) é igual ao conjunto dos processos que não são prioritários para análise. Para isso, vamos inicialmente desenhar os conjuntos para facilitar nosso entendimento:
Sabemos que P representa o total dos processo em análise na unidade, A representa o conjunto dos processo que envolvem autoridades influentes e B representa o conjunto dos processos que envolvem desvio de altos valores. Veja que é possível que um processo envolva autoridade influente e desvio de altos valores, ou seja, é possível que existam processos na branca do desenho que representa a interseção dos conjuntos A e B. Agora, vamos representar no desenho o conjunto CP(A) ∪ CP(B). Vejamos:
CP(A)
O complementar de A em relação a P está representado pela área verde, ou seja, envolve todos os elementos de P que não pertencem ao conjunto A.
P A B P A B
Prof Marcos Piñon – Aula 01 CP(B)
O complementar de B em relação a P está representado pela área roxa, ou seja, envolve todos os elementos de P que não pertencem ao conjunto B.
Unindo as duas áreas, temos o seguinte: CP(A) ∪ CP(B)
Esse conjunto representa todos os elementos de P que não pertencem ao mesmo tempo a A e a B. Veja que existem elementos de A e elementos de B neste conjunto, o que faz com que CP(A) ∪ CP(B) não represente os processos da unidade que não são prioritários para análise. Item errado.
37 - (MPU - 2013 / CESPE) A quantidade de processos com prioridade de análise por envolverem, simultaneamente, autoridades influentes e desvios de altos valores é inferior à de processos que não são prioritários para análise.
Solução:
Essa é uma questão bastante interessante. Temos a informação de que dos processos de P, 3 2 são de A e 5 3
são de B. Vamos olhar o desenho da questão anterior: P A B P A B P A B
quantidade de processos da área cinza. Sabemos que: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 3 P . 2 + 5 P . 3 – n(A ∩ B) n(A ∪ B) = 15 P . 9 P . 10 + – n(A ∩ B) n(A ∪ B) = 15 P . 19 – n(A ∩ B)
Chamando que K o total de processos que não são prioritários, podemos também escrever a seguinte equação:
P = n(A ∪ B) + K n(A ∪ B) = P – K
Igualando as duas equações, temos:
15 P . 19 – n(A ∩ B) = P – K 15 P . 19 – P = n(A ∩ B) – K 15 P . 15 P . 19 − = n(A ∩ B) – K n(A ∩ B) – K = 15 P . 4 Como 15 P . 4
é um número positivo, já que não podemos ter uma quantidade negativa de elementos de um conjunto, podemos concluir que n(A ∩ B) > K, para que o resultado encontrado seja positivo.
Assim, concluímos que a quantidade de processos da área branca é SUPERIOR à quantidade de processos da área cinza. Item errado.
Prof Marcos Piñon – Aula 01 2 – Conceitos Básicos de Lógica
Vamos começar lembrando desse assunto que é cobrado em praticamente todos os concursos em que a disciplina Raciocínio Lógico é abordada. Trata-se do que aprendemos na escola simplesmente com o nome de Lógica (você deve lembrar: p e q, se p ... então q, ... etc.). Era um dos assuntos mais detestados pelos alunos, mas é, sem dúvida alguma, o mais importante para você que se prepara para passar no concurso. Por isso, vamos deixar o preconceito de lado e passar a amar a boa e velha Lógica!
No estudo da lógica matemática, estaremos em muitas ocasiões diante da linguagem corrente, como vemos no seguinte exemplo:
"Arnaldo é alto ou Beto é baixo"
Usar essa linguagem, porém, não é adequado para resolvermos questões de concurso. Para isso, deveremos transformar essa linguagem em outra que indique apenas símbolos, a qual denominamos linguagem simbólica.
A linguagem simbólica possui dois elementos essenciais: as proposições e os operadores.
Antes de definirmos as proposições, devemos saber que elas são constituídas de sentenças. As sentenças são um conjunto de palavras, ou símbolos, que exprimem um pensamento de sentido completo. São compostas por um sujeito e por um predicado (não, isso não é aula de português!). Vamos a alguns exemplos: Pedro ganhou na loteria.
Carlos não comprou uma Ferrari. Que horas você chegou ao trabalho? Que dia lindo!
Tome um café.
Podemos perceber que elas podem ser: Afirmativas: Pedro ganhou na loteria.
Negativas: Carlos não comprou uma Ferrari.
Interrogativas: Que horas você chegou ao trabalho? Exclamativas: Que dia lindo!
Imperativas: Tome um café.
Ai você me diz: “mas professor, isso tá parecendo aula de português!”. E eu lhe digo: “calma, que já já eu chego lá!”.
Analisando estas frases, qual delas nós podemos julgar se é verdadeira ou falsa? O que realmente interessa nessas sentenças é identificar quais são proposições e quais não são proposições.
uma sentença fechada, algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos (expressões matemáticas) e cujo conteúdo poderá ser considerado verdadeiro ou falso. Ou seja, poderemos atribuir um juízo de valor acerca do conteúdo dessa proposição.
Ex: Pedro é pedreiro.
Caso ele realmente seja pedreiro o valor lógico desta proposição será verdadeiro, caso ele não seja pedreiro, o valor lógico da proposição será falso (por exemplo, se ele for bombeiro).
Nas cinco frases apresentadas, apenas as duas primeiras são proposições, pois podemos julgá-las com “V” ou “F”. Frases como: “Que horas você chegou ao trabalho?”, “Que dia lindo!” ou “Tome um café.”, não são proposições, pois, como vimos acima, não podemos atribuir um juízo de valor a respeito delas.
Fica a dica, sentenças interrogativas, exclamativas ou no imperativo não são proposições. Apenas as sentenças afirmativas e negativas poderão ser proposições.
Perceberam o “poderão ser”? É isso mesmo, não basta a frase ser afirmativa ou negativa para ser considerada uma proposição. É preciso que ela possa ser julgada com “F” ou “V”. Vejamos mais alguns exemplos:
2 + 3 = 4
A metade de oito
E então, esses dois exemplos são proposições? Bom, voltando ao conceito “algo declarado por meio de palavras ou de símbolos (expressões matemáticas) e cujo conteúdo poderá ser considerado verdadeiro ou falso”. Portanto, só o primeiro exemplo é considerado uma proposição, pois sabemos que 2 + 3 = 5 e não 4, o que torna essa proposição falsa. Já o segundo exemplo, ele não apresenta algo que poderá ser julgado com V ou F, pois a informação não possui sentido completo, falta o predicado. Chamamos esse segundo exemplo apenas de “expressão”.
Devemos saber também que existem expressões matemáticas e sentenças afirmativas ou negativas às quais não podemos atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso. Isso mesmo, pode acontecer de uma sentença não ser nem exclamativa, nem interrogativa e nem mesmo uma ordem, e, ainda assim, nós não conseguimos atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela. Vejamos dois exemplos:
Ele é campeão mundial de futebol com a seleção brasileira x + 5 = 10
No primeiro caso, apesar de termos uma frase afirmativa, não podemos avaliar sobre quem está se afirmando ser campeão mundial de futebol. O sujeito é uma
Prof Marcos Piñon – Aula 01 variável que pode ser substituída por um elemento qualquer que transformará a sentença em verdadeira ou falsa. Ou seja, se esse “Ele” se referir a Pelé (por exemplo) a sentença será verdadeira, caso se refira a Zico (por exemplo) a sentença será falsa.
No segundo caso, a depender do valor atribuído para o “x”, a sentença será verdadeira ou será falsa. Essas sentenças são denominadas sentenças abertas. Existe a possibilidade de essas sentenças serem transformadas em proposições com a utilização de um quantificador (“todo”, “existe”, etc). Mas isso é assunto para a próxima aula.
Assim, podemos classificar as sentenças em abertas e fechadas. A sentença aberta é aquela em que existe uma variável que faz com que nós não consigamos avaliar se são verdadeiras ou falsas. Já a sentença fechada é aquela que não possui nenhuma variável, todas as informações são bem claras.
Por enquanto basta saber que mesmo as sentenças afirmativas e negativas podem ser sentenças abertas e assim não serem consideradas proposições. Isso ocorrerá sempre que houver uma variável e nós não conseguirmos atribuir um valor lógico para elas (vimos isso nesses dois últimos exemplos).
O último ponto que vale destacar é a sentença contraditória, o que chamamos de paradoxo. São frases que serão falsas se a considerarmos verdadeiras e serão verdadeiras se a considerarmos falsas. Confuso? Vejamos um exemplo:
“eu sempre falo mentiras”
Bom, se eu realmente sempre falo mentiras, essa frase é verdadeira, mas contradiz o que está escrito nela, já que eu estaria falando uma verdade, o que a torna falsa. Por outro lado, se eu não falo mentiras, essa frase é falsa, mas contradiz o que está escrito nela, o que a torna verdadeira. Portanto, uma frase como essa é chamada de paradoxo e não é considerada proposição lógica.
Resumindo:
Sentenças abertas: Possuem uma variável e por isso não podemos atribuir um valor lógico para elas. Não são proposições.
Frases interrogativas, exclamativas ou imperativas: Não conseguimos atribuir um valor lógico para elas. Não são proposições.
Paradoxos: Não são considerados proposições.
Expressões sem sentido completo: Não são consideradas proposições.
Proposições: São sentenças as quais podemos atribuir um valor lógico Verdadeiro ou Falso.
Princípios
Existem alguns princípios que regem o estudo da lógica que devem ser vistos aqui:
• Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade);
• Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não-Contradição);
• Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do Terceiro Excluído). Em função desse princípio, a lógica que estamos estudando também é chamada de Lógica Bivalente. Esses princípios parecem bem óbvios. E são mesmo! Mas toda a teoria parte destes princípios. Não é preciso decorá-los, foi só pra você ir perdendo o preconceito e vendo que o assunto é bem simples!
Vamos às questões!!!
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38 - (TRT - 2009 / CESPE) Na sequência de frases abaixo, há três proposições.
- Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil? - O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas.
- Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES.
- Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES.
Solução:
Vimos que para uma frase ser considerada uma proposição, devemos poder atribuir um valor lógico para ela, ou seja, devemos poder considerá-la verdadeira ou falsa. Vamos analisar cada uma:
- Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil? Temos aqui uma frase interrogativa. Vimos acima que não conseguimos atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para as frases interrogativas. Assim, esta frase não é uma proposição.
Prof Marcos Piñon – Aula 01 Nesta frase, estamos diante de uma afirmação. Caso o TRT/ES tenha lançado edital para preenchimento de 200 vagas, esta frase será valorada como verdadeira. Caso contrário, a frase será valorada como falsa. Assim, estamos diante de uma proposição, pois poderemos atribuir um valor lógico para ela.
- Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES.
Mais uma vez, estamos diante de uma frase afirmativa. Assim, se o candidato estudar muito e não for aprovado no concurso do TRT/ES, essa frase será falsa. Caso o candidato estude muito e realmente passe no concurso do TRT/ES, essa frase será verdadeira. Assim, temos mais uma proposição. Veremos a seguir que se trata de uma proposição composta.
- Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES.
Mais uma frase afirmativa. Para saber se ela é verdadeira ou falsa, basta saber se existe essa limitação para inscrição no concurso do TRT/ES. Caso exista, a sentença será verdadeira, caso contrário, será falsa. Portanto, temos mais uma proposição.
Voltando para o enunciado da questão:
Na sequência de frases abaixo, há três proposições.
- Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil?
(não é proposição)
- O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. (é proposição)
- Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES. (é proposição)
- Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. (é proposição)
Portanto, temos três proposições. Item correto!
39 - (TRT - 2009 / CESPE) A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições.
- A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. - Por que existem juízes substitutos?
- Ele é um advogado talentoso.
Solução:
Mais uma questão direta. Vamos analisar cada frase e verificar se estamos diante de uma proposição ou não:
Para esta frase ser considerada verdadeira, a sede do TRT do Espírito Santo deve ser localizada em Cariacica. Caso esta sede seja localizada em qualquer outro município, esta frase será falsa. Portanto, trata-se efetivamente de uma proposição.
- Por que existem juízes substitutos?
Não conseguimos atribuir um valor lógico para esta frase, pois não se trata de uma afirmação nem de uma negação. Trata-se de uma interrogação, que como vimos, não podemos atribuir um juízo de valor. Portanto, esta frase não é uma proposição.
- Ele é um advogado talentoso.
Nesse caso, como não sabemos sobre quem está se afirmando ser um advogado talentoso, não temos como saber se a afirmação é verdadeira ou falsa. Assim, estamos diante de uma sentença aberta, que não pode ser considerada uma proposição.
Voltando ao enunciado,
A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições. - A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. (é proposição)
- Por que existem juízes substitutos? (não é proposição)
- Ele é um advogado talentoso. (não é proposição)
Portanto, o item está errado!
40 - (SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) Considere as seguintes sentenças.
(i) Apresente ao diretor da escola, em tempo hábil, todos os documentos que ainda não foram assinados.
(ii) Carlos, como secretário escolar, coordena e executa as tarefas decorrentes dos encargos da Secretaria.
(iii) Organize e mantenha em dia as cópias de leis, regulamentos, diretrizes, portarias e todos os outros documentos.
É correto afirmar que, entre as sentenças apresentadas, apenas uma delas é proposição.
Solução:
Prof Marcos Piñon – Aula 01 (i) Apresente ao diretor da escola, em tempo hábil, todos os documentos que ainda não foram assinados.
Temos uma frase no imperativo, uma ordem. Assim, não podemos atribuir um valor lógico para ela. Logo, esta frasenão é uma proposição.
(ii) Carlos, como secretário escolar, coordena e executa as tarefas decorrentes dos encargos da Secretaria.
Temos aqui uma afirmação. Caso Carlos seja o secretário escolar e coordene e execute as tarefas decorrentes dos encargos da Secretaria, esta frase será verdadeira, caso contrário, será falsa. Portanto, esta frase é uma proposição. (iii) Organize e mantenha em dia as cópias de leis, regulamentos, diretrizes, portarias e todos os outros documentos.
Temos mais uma ordem, que não podemos atribuir um valor lógico. Logo, esta frasenão é uma proposição.
Como a questão afirma que “É correto afirmar que, entre as sentenças apresentadas, apenas uma delas é proposição.”, podemos concluir que este item está correto.
41 - (MRE - 2008 / CESPE) Considere a seguinte lista de sentenças:
I Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.
III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y.
IV O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.
Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição.
Solução:
Mais uma vez, vamos analisar cada sentença:
I Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? Temos nesse item uma sentença interrogativa, a qual já sabemos que não pode ser valorada com V ou com F. Logo, não é uma proposição.
II O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.
Temos nesse item uma sentença afirmativa. Caso o Palácio do Itamaraty em Brasília seja uma bela construção do século XIX, a sentença será verdadeira, caso contrário, será falsa. Portanto, trata-se de uma proposição.
III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y.
Nesse item temos uma sentença afirmativa. Os mais afoitos iriam logo assinalar que se trata de uma proposição. Ocorre que não temos como julgá-la com V ou com F, pois não sabemos os valores de x e de y. Assim, temos uma sentença aberta, que vimos acima que não é uma proposição.
IV O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.
Por fim, mais uma sentença afirmativa. Caso o barão do Rio Branco tenha sido um diplomata notável, a sentença será verdadeira, caso não tenha sido um diplomata notável, será falsa. Logo, temos mais uma proposição.
Resumindo, temos duas proposições e duas sentenças que não são proposições. Logo, o item está errado.
42 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) A proposição “Ninguém ensina a ninguém” é um exemplo de sentença aberta.
Solução:
Essa questão pede que analisemos se a proposição “Ninguém ensina ninguém” é um exemplo de sentença aberta. Ora, se estamos tratando de uma proposição, sabemos que só teremos sentenças fechadas. Se uma sentença é aberta, não se trata de proposição. Por isso, o item está errado!
--- Voltando à teoria, devemos saber que as proposições podem ser simples ou compostas:
A proposição simples é o elemento básico da lógica matemática. Ao dizer “Arnaldo é alto” estamos fazendo uma única afirmação (ser alto) a respeito de uma única pessoa (Arnaldo). Se disséssemos, por exemplo, “Arnaldo é alto e magro”, estaríamos diante de duas informações (ser alto e ser magro) a respeito de uma pessoa (Arnaldo). Esse segundo exemplo é o que chamamos proposição composta que é o conjunto de duas ou mais proposições simples.
Podemos ver pela definição de proposição composta que ela pode possuir duas ou mais proposições simples, que é o que normalmente encontramos em questões de concurso.
Costumamos denominar as proposições simples por letras (A, B, C, P, Q ...). “Arnaldo é alto”
Prof Marcos Piñon – Aula 01 A: Arnaldo é Alto
Quando estamos diante de uma proposição composta, denominamos cada proposição simples contida nela por uma letra distinta.
“Arnaldo é alto e magro” A: Arnaldo é Alto
B: Arnaldo é magro
Outro importante elemento da lógica matemática são os operadores lógicos. Eles são os elementos que unem as proposições.
A seguir, apresentamos os operadores utilizados na lógica: ~: negação
∧: conjunção (chamado de “e” ou “mas”) v: disjunção (chamamos pela palavra “ou”) →: condicional (lemos "se... então...")
↔: bicondicional (lê-se "...se e somente se...") v: disjunção exclusiva (sua leitura é "ou...ou...")
Os mais comuns em questões de concurso são: ~, ∧, v, →. Os outros dois (↔ e v) também aparecem, só que com menos frequência.
Devemos saber, agora, que toda e qualquer proposição deve possuir um valor lógico Verdade ou Falsidade. Se uma proposição é verdadeira, seu valor lógico é verdade e se uma proposição é falsa seu valor lógico é falsidade. Nunca poderá existir uma proposição que seja falsa e verdadeira ao mesmo tempo.
Assim, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, devemos analisar dois itens: o valor lógico de suas proposições simples e o tipo de operador lógico que as une.
Vamos ver agora, como funciona cada operador. Para isso, utilizaremos umas tabelinhas chamadas de tabelas-verdade. Essas tabelas indicam qual o resultado da operação para cada possibilidade de valor lógico de suas proposições.
~: negação
Vamos ver sua tabela verdade:
A ~A
V F
F V
A negação transforma o valor lógico da proposição em seu valor oposto, ou seja, se p é verdadeiro, ~p é falso, ou se p é falso, ~p é verdadeiro. Assim, a negação de p é igual a ~p e a negação de ~p é igual a p.
∧: conjunção (“e” ou “mas”) Fazendo sua tabela verdade:
A B A ∧ B
V V V
V F F
F V F
F F F
Vemos que na conjunção, o valor lógico resultante da operação só será verdadeiro quando todas as suas proposições forem verdadeiras. Caso contrário, se alguma proposição for falsa, o valor lógico resultante será falso, ou seja, basta uma proposição falsa para o resultado ser falso.
v: disjunção (“ou”)
Construindo sua tabela verdade:
A B A v B
V V V
V F V
F V V
F F F
Percebemos que na disjunção, o valor lógico resultante da operação só será falso quando todas as suas proposições forem falsas. Caso contrário, se alguma proposição for verdadeira, o valor lógico resultante será verdadeiro, ou seja, basta uma proposição verdadeira para o resultado ser verdadeiro.
→: condicional (“se ... então ...”)
Fazendo sua tabela verdade, temos:
A B A → B
V V V
V F F
F V V
F F V
Aqui, vemos que na condicional o valor lógico resultante só será falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda proposição for falsa.
Existe uma denominação utilizada na condicional que é de vital importância no estudo para concursos que é saber quem é a condição necessária e quem é a condição suficiente.
Prof Marcos Piñon – Aula 01 Numa condicional A → B, dizemos que:
A é condição suficiente para B B é condição necessária para A
↔: bicondicional (“... se e somente se ...”)
Fazendo sua tabela verdade:
A B A ↔ B
V V V
V F F
F V F
F F V
Agora, vemos que na bicondicional o valor lógico da operação será verdadeiro se as duas proposições tiverem o mesmo valor, ou seja, se as duas forem verdadeiras ou as duas forem falsas. Caso contrário, se as duas proposições tiverem valores lógicos diferentes, o valor lógico resultante da operação será falso. Aqui também existe uma denominação particular.
Numa bicondicional A ↔ B, dizemos que: A é condição necessária e suficiente para B B é condição necessária e suficiente para A
Podemos olhar para uma bicondicional como sendo a união de duas condicionais. Vejamos:
A ↔ B é o mesmo que (A → B) ∧ (B → A). v: disjunção exclusiva (“ou ... ou ...”) Fazendo sua tabela verdade:
A B A v B
V V F
V F V
F V V
F F F
Para esse operador devemos observar que seu resultado será verdadeiro se os valores lógicos das duas proposições forem diferentes. Caso contrário, se os valores lógicos das duas proposições forem iguais, seu valor lógico será falso. Vale destacar que este operador “v” difere do operador “v”, pois se as duas proposições (“A” e “B”) forem verdadeiras, o resultado será verdadeiro para a disjunção simples (“ou”) e será falso para a disjunção exclusiva (“ou ... ou ...”).
Uma observação importante é que o CESPE já considerou o “ou...ou...” como uma disjunção simples, como nesta questão da prova do INSS de 2008:
“Sabe-se que uma proposição na forma “Ou A ou B” tem valor lógico falso quando A e B são ambos falsos; nos demais casos, a proposição é verdadeira. Portanto, a proposição composta “Ou A ou B”, em que A e B são as proposições referidas acima, é verdadeira.”
Nessa questão, A e B eram dados, sendo A verdadeiro e B falso. A questão foi considerada verdadeira, já que “V ou F” realmente tem valor lógico verdadeiro. Ocorre que a definição apresentada para o “ou...ou...” causou muita polêmica, e com razão.
“E então, o que eu faço na hora da prova?”
Bom, eu aconselho prestar muita atenção ao enunciado das questões. O CESPE costuma introduzir as questões de lógica mostrando alguns conceitos. Veja por exemplo como começava essa questão da prova da Unipampa de 2009:
“Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como V e F simultaneamente. As proposições são representadas por letras maiúsculas A, B, C etc. A partir de proposições dadas, podem-se construir novas proposições usando símbolos lógicos, como nos exemplos seguintes.
- conjunção: A ∧ B (lê-se “A e B”), que terá valor lógico V se as proposições
A e B forem ambas V, caso contrário, será F;
- disjunção: A v B (lê-se “A ou B”), que terá valor lógico F se as proposições
A e B forem ambas F, caso contrário, será V;
- condicional: A → B (lê-se “se A, então B”), que terá valor lógico F se A for V
e B for F, caso contrário, será V;
- disjunção exclusiva: A v B, que será V sempre que as proposições A e B
tiverem valores lógicos distintos.
A negação da proposição A, simbolizada por ~A (lê-se “não A”), será V se A for F e, F se A for V”
Vejam que a questão citou expressamente a disjunção exclusiva, mas não disse como devemos ler. Assim, como faremos uma prova elaborada pelo CESPE, vale ficar atento, pois para esta banca, o “ou...ou...” já foi considerado como disjunção simples.
Antes das questões, vamos aprender a construir uma tabela-verdade qualquer. Para construir a tabela-verdade, primeiro é importante saber quantas linhas e quantas colunas terá esta tabela. Para ilustrar melhor essa explicação, vamos construir a tabela-verdade da proposição (A v B) →→→→ (C ∧∧∧∧ ~A).
Prof Marcos Piñon – Aula 01 Para começar, o número de linhas vai depender da quantidade de variáveis distintas da proposição. Essa quantidade é dada por 2n, onde n é a quantidade de variáveis. Ou seja, quando temos 2 variáveis, teremos 22 = 4 linhas. Para 3 variáveis, teremos 23 = 8 linhas, e assim por diante. No caso do nosso exemplo, temos 3 variáveis (A, B e C), portanto, teremos 23 = 8 linhas.
Agora, precisamos saber quantas colunas terá nossa tabela. Esse número de colunas pode variar, mas deve ter no mínimo uma coluna para cada variável e uma coluna para o resultado a ser calculado. No nosso exemplo teríamos 4 colunas (3 variáveis + 1 resultado). Essa é a quantidade mínima. De forma mais didática, fazemos uma coluna para cada variável e uma coluna para cada operação. No nosso exemplo temos 3 variáveis (A, B e C) e 4 operações (“~A”, “v”, “∧” e “→”), um total de 3 + 4 = 7 colunas. Temos, também, que adicionar uma linha para o cabeçalho, que terá primeiro as variáveis e depois as operações, prevalecendo a ordem da matemática. Vamos partir para o desenho:
A B C ~A A v B C ∧ ~A (A v B) → (C ∧ ~A)
Agora, é só preencher a tabela. Começamos pelas variáveis, listando todas as possíveis combinações. No nosso exemplo A, B e C podem ser: VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF. A B C ~A A v B C ∧ ~A (A v B) → (C ∧ ~A) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
Por fim, fazemos as operações, sempre na ordem da matemática (primeiro o que está dentro dos parênteses, em seguida, o que está dentro dos colchetes e, por fim, o que está fora):
7 colunas
Cabeçalho
V V V F V F F V V F F V F F V F V F V F F V F F F V F F F V V V V V V F V F V V F F F F V V F V V F F F V F F V
Pra fixar, vamos às questões!
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43 - (SERPRO - 2010 / CESPE) A proposição “Não precisa mais capturar nem digitar o código de barras” pode ser, simbolicamente, escrita como A ∧∧∧∧ B, em que A é a proposição “Não precisa mais capturar o código de barras” e B é a proposição “Não precisa mais digitar o código de barras”.
Solução:
Nessa questão devemos transformar a linguagem corrente em linguagem simbólica. Primeiro, é sempre válido reescrever a sentença colocando o sujeito e o complemento para cada afirmação, separando cada proposição simples. Nessa questão temos:
“Não precisa mais capturar nem digitar o código de barras” Essa proposição pode ser reescrita da seguinte forma:
“Não precisa mais capturar o código de barras e não precisa mais digitar o código de barras”
Elas não dizem a mesma coisa? Sem dúvida! Agora, separamos as proposições simples e batizamos seus componentes:
“Não precisa mais capturar o código de barras e não precisa mais digitar o código de barras”
Percebemos que se trata de uma proposição composta do tipo A ∧ B, com A sendo “Não precisa mais capturar o código de barras” e B sendo “Não precisa mais digitar o código de barras”. Portanto, o item está correto!
Aí você me pergunta: Professor, não seria ~A ∧ ~B?.
E eu respondo: Até poderia ser, caso tivéssemos batizado A como “precisa capturar o código de barras” e B como “precisa digitar o código de barras”. Como batizamos o A como “Não precisa mais capturar o código de barras” e B como
Prof Marcos Piñon – Aula 01 “Não precisa mais digitar o código de barras”, então, nesse caso, não seria ~A ∧ ~B.
44 - (SERPRO - 2010 / CESPE) Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposições simples que formam a proposição “Se Pedro for aprovado no concurso, então ele comprará uma bicicleta”, é correto afirmar que há apenas uma possibilidade de essa proposição ser verdadeira.
Solução:
Nessa questão, para podermos saber o valor lógico da proposição composta devemos primeiro transformá-la em linguagem simbólica. Vamos lá:
Se Pedro for aprovado no concurso, então ele comprará uma bicicleta.
Podemos perceber que se trata de uma proposição do tipo A → B (se A então B). Agora, devemos saber quais os possíveis valores lógicos para uma proposição desse tipo. Relembrando sua tabela verdade:
A B A → B
V V V
V F F
F V V
F F V
Olhando a terceira coluna da tabela, vemos que para todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposições simples “A” e “B”, o resultado será verdadeiro em três ocasiões e falso em apenas uma ocasião. Portanto, o item está errado!
45 - (SERPRO - 2010 / CESPE) Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposições simples que formam a proposição “O SERPRO processará as folhas de pagamento se e somente se seus servidores estiverem treinados para isso” , é correto afirmar que há apenas uma possibilidade de essa proposição ser julgada com V.
Solução:
Na mesma prova tivemos uma questão muito parecida, onde o que mudou foi a operação. Vamos resolvê-la:
Transformando em linguagem simbólica, temos:
O SERPRO processará as folhas de pagamento se e somente se seus servidores estiverem treinados para isso
B
A →
Percebemos que se trata de uma proposição do tipo A ↔ B (A se e somente se B). Agora, devemos saber quais os possíveis valores lógicos para uma proposição desse tipo. Relembrando sua tabela verdade:
A B A ↔ B
V V V
V F F
F V F
F F V
Mais uma vez, olhamos para a terceira coluna e observamos que a proposição composta é verdadeira em duas ocasiões e falsa em outras duas. Portanto, este item também está errado!
46 - (TRT - 2008 / CESPE) Considere as proposições seguintes.
Q: “Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cairá para a segunda divisão”;
A: “O Estrela Futebol Clube vence”; B: “O Estrela Futebol Clube perde”;
C: “O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão”.
Nesse caso, a proposição Q pode ser expressa, simbolicamente, por A ∧∧∧∧ B →→→→ C.
Solução:
O que essa questão está pedindo é simplesmente transformar a linguagem corrente em linguagem simbólica.
Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder , cairá para a segunda divisão A proposição Q é do tipo (P → Q), onde:
P: O Estrela Futebol Clube vencer ou perder Q: Cairá para a segunda divisão
Reescrevendo P e Q temos:
P: O Estrela Futebol Clube vencer ou o Estrela Futebol Clube perder Q: O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão
Podemos perceber que o “P” é uma proposição composta do tipo (S v T):
O Estrela Futebol Clube vencer ou o Estrela Futebol Clube perder
P → Q
Prof Marcos Piñon – Aula 01 S: O Estrela Futebol Clube vencer
T: O Estrela Futebol Clube perder
Agora, analisando as proposições A, B e C, vemos que o “S” é o mesmo que o A, o “T” é o mesmo que o B e que o “Q” é o mesmo que o C. Voltando para a linguagem simbólica, temos:
Q: P → Q , Q: (S v T) → Q
Vimos que S = A, T = B e Q = C, então: Q: (A v B) → C
Que é diferente de A ∧ B → C. Logo, o item está errado.
47 - (UNIPAMPA - 2008 / CESPE) O artigo 5.º, XL, da Constituição Federal de 1988 estabelece que a lei penal não retroagirá, salvo para beneficiar o réu, isto é, “se a lei penal retroagiu, então a lei penal beneficiou o réu”. À luz dessa regra constitucional, considerando as proposições P: “A lei penal beneficiou o réu” e Q: “A lei penal retroagiu”, ambas verdadeiras, e as definições associadas à lógica sentencial, é correto afirmar que a proposição “Ou a lei penal retroagiu, ou a lei penal não beneficiou o réu” tem valor lógico F.
Solução:
O que essa questão quer saber é se o valor lógico da proposição “Ou a lei penal retroagiu, ou a lei penal não beneficiou o réu” é Falso. Vamos lá!
“Ou a lei penal retroagiu, ou a lei penal não beneficiou o réu” Transformando em linguagem simbólica, temos:
Q v ~P
Substituindo Q e P pelos valores lógicos informados na questão (ambos verdadeiros), temos:
V v ~(V), que é o mesmo que V v F, possui valor lógico verdadeiro. Logo, o item está errado!
48 - (TRT - 2009 / CESPE) Para todos os possíveis valores lógicos atribuídos às proposições simples A e B, a proposição composta [A ∧∧∧∧ (~B)] v B tem exatamente 3 valores lógicos V e um F.
Solução:
Aqui, a questão quer saber o resultado da tabela verdade para a proposição composta [A ∧ (~B)] v B. Vamos lá:
Vimos que para desenhar a tabela verdade, primeiro é importante saber quantas linhas terá esta tabela. O número de linhas vai depender da quantidade de variáveis distintas da proposição. Essa quantidade é dada por 2n, onde n é a quantidade de variáveis. No caso da nossa questão, temos 2 variáveis (A e B), portanto, teremos 22 = 4 linhas. Agora, precisamos saber quantas colunas terá nossa tabela. A tabela deverá ter, no mínimo, uma coluna para cada variável e uma coluna para a proposição desejada. De forma mais didática, fazemos uma coluna para cada variável e uma coluna para cada operação. Na nossa questão temos 2 variáveis (A e B) e 3 operações (“∧”, “~B” e “v”), um total de 2 + 3 = 5 colunas. Temos, também, que adicionar uma linha para o cabeçalho, que terá primeiro as variáveis e depois as operações, prevalecendo a ordem da matemática. Vamos partir para o desenho:
A B ~B A ∧ (~B) [A ∧ (~B)] v B
Agora, é só preencher a tabela. Começamos pelas variáveis, listando todas as possíveis combinações. No nosso exemplo A e B podem ser: VV, VF, FV e FF.
A B ~B A ∧ (~B) [A ∧ (~B)] v B
V V
V F
F V
F F
Por fim, fazemos as operações, sempre na ordem da matemática (primeiro o que está dentro dos parênteses, em seguida, o que está dentro dos colchetes e, por fim, o que está fora):
A B ~B A ∧ (~B) [A ∧ (~B)] v B
V V F F V
V F V V V
F V F F V
F F V F F
Voltando para a questão,
4 linhas
5 colunas
