Capítulo 2 SISTEMAS DE REFERÊNCIA EMPREGADOS NA IMPLANTAÇÃO DE REDES GEODÉSICAS NO BRASIL

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Capítulo 2

SISTEMAS DE REFERÊNCIA EMPREGADOS NA IMPLANTAÇÃO DE REDES GEODÉSICAS NO BRASIL

Sendo dado um sistema de referência cartesiano fixo, qualquer ponto do espaço é determinado de maneira única por suas coordenadas x, y e z.

Com um sistema fixo à Terra, sistema terrestre, é possível verificar, descrever, representar e analisar as alterações naturais ou artificiais do meio ambiente, bem como acompanhar os movimentos de objetos sobre a superfície terrestre ou acima dela.

De acordo com Andrade (1988), um sistema de referência pode ser definido ou arbitrado, e para ter uso prático, ambos devem ser realizados.

A definição de um referencial envolve sua fixação teórica no espaço e por tratar-se de conceito abstrato, pode ser feita com exatidão.

Já a realização exige a coleta de observações, naturalmente eivadas de erros, com o objetivo de determinar coordenadas de pontos devidamente materializados. Um referencial realizado deve aproximar-se ao máximo da sua definição, o que pode ser aprimorado com a evolução tecnológica.

Normalmente, o arbitramento de um referencial é feito coincidindo-o com sua realização.

Para representar e transmitir informações geográficas, torna-se necessário adotar um modelo geométrico e matemático para a Terra.

O modelo geométrico empregado em geodésia para representar a superfície terrestre é o elipsóide de revolução, gerado pela rotação de uma elipse em torno do semi-eixo menor, resultando em um elipsóide achatado nos pólos. O modelo elipsóidico ou geodésico da Terra pode ser definido por dois parâmetros: o semi-eixo maior, a, e o semi-eixo menor, b. Ou então, b é substituído por um número menor e mais indicado para uma expansão em série, o achatamento geométrico f.

Este capítulo tem como objetivo apresentar os principais sistemas de referência terrestres empregados na implantação de redes geodésicas por GPS no Brasil, bem como as relações entre sistemas globais, regionais e locais, juntamente com as equações de propagação das covariâncias entre os diferentes sistemas, que

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serão utilizados neste trabalho. A compreensão tanto dos conceitos envolvidos nas definições dos diferentes sistemas, quanto das transformações de coordenadas e das propagações de covariâncias, é fundamental para o processamento das observações a satélites de navegação, para o ajustamento dos vetores e para a interpretação e análise dos resultados.

Um dos objetivos específicos deste capítulo é mostrar como as componentes de um vetor podem ser transformadas do sistema ITRF97 para o WGS84.

2.1 - Sistema de Referência Terrestre Internacional – “ITRS”

A crosta terrestre está em contínuo movimento. Os continentes estão se movendo a uma velocidade de centímetros por ano, levando consigo os observatórios. Por outro lado, os instrumentos de medição e processamento estão em franca evolução.

A União Internacional de Geodésia e Geofísica – UGGI (“International Union of Geodesy and Geophysics – IUGG”), considerando a necessidade de definir um sistema terrestre que possibilitasse determinar um ponto sobre a superfície da Terra sem ambigüidade ao nível do milímetro, endossou em 1991, a resolução sobre sistemas de referência, adotada pela XXI Assembléia Geral da “International Astronomical Union – IAU” que criou o “International Terrestrial Reference System - ITRS”.

O Sistema de Referência Terrestre Convencional é fixo à Terra, isto é, gira com ela, e tem como origem o centro de massa da Terra, considerando inclusive a atmosfera. A direção do eixo Z é aquela que contém o centro de massa (CM) e o “Conventional Terrestrial Pole – CTP”, sendo positivo o sentido dirigido para o CTP. A direção do eixo X é aquela perpendicular ao eixo Z, passando, obviamente pelo CM, e pelo Meridiano Zero ou “International Reference Meridian – IRM”1. O sentido positivo deste eixo é o sentido CM – IRM. Já o eixo Y é aquele perpendicular

1_{De 1884 a 1987 o primeiro meridiano, meridiano a partir do qual são determinadas as}

longitudes, era o meridiano que passa pelo eixo ótico do telescópio do observatório de Greenwich, denominado ‘meridiano de Greenwich’. Com a criação do ITRS, as longitudes passaram a ser determinadas a partir do ‘meridiano zero’ ou ‘meridiano de referência internacional’, que está cerca de 100 m a leste do meridiano de Greenwich, realizado a partir de observações feitas por estações que acompanham os movimentos de rotação da Terra.

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aos eixos Z e X, cujo sentido positivo torna o sistema dextrógiro. A Figura 2.1 ilustra estas definições.

O ITRS pode ser realizado por um “reference frame”, isto é, por uma rede de estações com coordenadas conhecidas. De acordo com McCarthy (1996), deve-se usar de preferência coordenadas cartesianas e se coordenadas geodésicas forem necessárias, deve-se empregar o elipsóide “Geodetic Reference System 1980 - GRS80” cujos parâmetros são: semi-eixo maior e quadrado da excentricidade, iguais a 6 378 137,0 m e 0,006 694 380 03, respectivamente.

Também de acordo com McCarthy (1996), para materializar a origem deste sistema são usados somente dados que possam ter os movimentos geodinâmicos modelados; atualmente, são usadas observações de diversas estações, Figura 1.1, coletadas com SLR (Satellite Laser Range), LLR (Lunar Laser Range), DORIS (Doppler Orbitography and Radio Positioning Integrated by Satellite) e GPS. Já a orientação do sistema é realizada por estações, Figura 1.2, monitoradas pelo “International Earth Rotation Service – IERS”, que define os parâmetros de orientação da Terra numa determinada época de referência.

A escala do sistema é fornecida por dados coletados com VLBI (Very Long

Baseline Interferometry), SLR e GPS. Mais detalhes podem ser visto em Monico

(2000). X Z Y • CM • CTP Meridiano de Referência Internacional - IRM

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Diferentes realizações do sistema terrestre de referência convencional são produzidas pelo IERS sob a denominação de ITRFyy (“International Terrestrial Reference Frame” – Rede de Referência Terrestre Internacional). As letras yy especificam os dois últimos dígitos do ano em que os dados foram coletados para realização do sistema. A partir de 2000 a especificação passa a ser ITRFyyyy.

A página do “International Earth Rotation Service”, http://www.iers.org/, traz mais informações sobre os ITRFyy.

Os valores listados na Tabela 2.1, obtidos na página ftp://lareg.ensg.ign.fr/pub/itrf/ITRF.IP, acessada em 05/12/2001, são os parâmetros, e suas velocidades, que transformam o ITRF2000 nos sistemas ITRFyy anteriores.

Na Tabela 2.1, T1, T2 e T3 são as coordenadas da origem do ITRF2000 nos sistemas ITRFyy, ou seja, são os parâmetros de translação. D é o valor que deve ser adicionado a 1 para se obter o fator de escala entre os dois sistemas, dado em partes por bilhão (ppb) e, R1, R2 e R3 são as pequenas rotações a serem aplicadas ao ITRF2000 para torná-lo paralelo ao sistema ITRFyy, expressas em milésimos de segundos (ms) sexagesimais.

Para transformar coordenadas, ou componentes de um vetor, no ITRF2000 para uma outra realização do ITRS, ou vice-versa, devem ser empregados os seguintes modelos matemáticos:

1) Para atualizar os parâmetros:

EPOCA) -(t P P(EPOCA) P(t)= + !⋅ (2.1) onde

P é o parâmetro a ser atualizado (T1, T2, T3, D, R1, R2, R3), P! é a taxa de variação anual do parâmetro,

t é a data para a qual se deseja atualizar o parâmetro, em anos e EPOCA é o instante de referência do parâmetro, em anos.

2) Para transformar as coordenadas X, Y e Z, no sistema ITRF2000, para Xs, Ys e Zs, em outro sistema ITRFyy:

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          ⋅           − − − +           +           =           Z Y X D R R R D R R R D T T T Z Y X Zs Ys Xs 1 2 1 3 2 3 3 2 1 (2.2)

3) Para transformar as componentes de um vetor no sistema ITRF2000, Z

e Y ,

X ∆ ∆

∆ , para outro ITRF, ∆Xs, ∆Ys e ∆Zs:

          ∆ ∆ ∆ ⋅           − − − +           ∆ ∆ ∆ =           ∆ ∆ ∆ Z Y X D R R R D R R R D Z Y X Zs Ys Xs 1 2 1 3 2 3 (2.3)

Tabela 2.1: Parâmetros de transformação do ITRF2000 para os sistemas ITRFyy anteriores e suas velocidades

Parâmetro Unidade Taxa de Variação Unidade T1 Cm 1 T! ano Cm T2 Cm 2 T! ano Cm T3 Cm 3 T! ano Cm D ppb D! ano ppb R1 ms 1 R! ano ms R2 ms 2 R! ano ms R3 ms 3 R! ano ms EPOCA No IERS Tech. Note ITRF97 Tax. Var. 0,67 0,00 0,61 -0,06 -1,85 -0,14 1,55 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 1997,0 27 ITRF96 Tax. Var. 0,67 0,00 0,61 -0,06 -1,85 -0,14 1,55 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 1997,0 24 ITRF94 Tax. Var. 0,67 0,00 0,61 -0,06 -1,85 -0,14 1,55 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 1997,0 20 ITRF93 Tax. Var. 1,27 -0,29 0,65 -0,02 -2,09 -0,06 1,95 0,00 -0,39 -0,11 0,80 -0,19 -1,14 0,07 1988,0 18 ITRF92 Tax. Var. 1,47 0,00 1,35 -0,06 -1,39 -0,14 0,75 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,18 0,02 1988,0 15 ITRF91 Tax. Var. 2,67 0,00 -0,06 2,75 -1,99 -0,14 0,00 2,15 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,18 0,02 1988,0 12 ITRF90 Tax. Var. 2,47 0,00 -0,06 2,35 -3,59 -0,14 2,45 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,18 0,02 1988,0 9 ITRF89 Tax. Var. 2,97 0,00 4,75 -0,06 -7,39 -0,14 5,85 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,18 0,02 1988,0 6 ITRF88 Tax. Var. 2,47 0,00 1,15 -0,06 -9,79 -0,14 8,95 0,00 0,10 0,00 0,00 0,00 -0,18 0,02 1988,0 IERS 1988 Um vetor no ITRF97, por exemplo, pode ser transformado para o ITRF90, transformando-o primeiro para o ITRF2000 e, deste, para o ITRF90.

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2.2- “World Geodetic System 1984 –WGS84”

O Sistema Geodésico Global - “WGS84” também tem como origem o centro de massa da Terra e os eixos X, Y e Z, têm a mesma definição que os do ITRS; no entanto, este sistema foi inicialmente materializado por observações Doppler do sistema TRANSIT, tendo como época de referência o ano 1984,0. A rede que realizou o WGS84 constava de 1 591 estações, entre elas as cinco estações monitoras do GPS, conforme descreve Monico (2000).

Para cálculos de coordenadas geodésicas deve ser empregado o elipsóide GRS80 cujo semi-eixo maior, a, é 6378137,00 m e o achatamento f, é 1/298,257223563.

Também para o WGS84 têm sido feitos aprimoramentos, gerando o WGS84 (G730), o WGS84 (G873) e mais recentemente, o WGS84 (G1150). Detalhes podem ser vistos em Costa (1999).

A Tabela 2.2 mostra os valores dos parâmetros que transformam coordenadas no ITRF90 para o WGS84 realizado pelo sistema TRANSIT. Esta transformação pode ser feita empregando a equação (2.2), sendo X, Y e Z as coordenadas no ITRF90 e Xs, Ys e Zs as coordenadas no WGS84.

Tabela 2.2: Parâmetros que transformam coordenadas no ITRF90 para o WGS84 realizado pelo TRANSIT. (McCARTHY, 1992).

T1 (m) T2 (m) T3 (m) D (ppm) R1 (”) R2 (”) R3 (”) 0,060 -0,517 -0,223 -0,011 0,0183 -0,0003 0,0070

No Apêndice I pode-se ver a seqüência de cálculos realizada na transformação de componentes de vetores, ∆X, ∆Y e ∆Z, no ITRF97 para o sistema WGS84.

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O “South American Datum 1969 - SAD69” é um sistema geodésico regional, de concepção clássica, que visou unificar os referenciais utilizados na América do Sul, embora não tenha sido adotado por todas nações sul-americanas. Sua adoção no Brasil só se deu no final da década de 70.

Na concepção clássica de um sistema geodésico, a partir de observações astronômicas e geodésicas definiam-se os parâmetros do elipsóide de revolução que seria usado como modelo geométrico da Terra. Gemael (1977) explica como tais parâmetros eram determinados. Para o SAD69 a União de Geodésia e Geofísica Internacional recomendou o uso do GRS67 cujos parâmetros são, (Silva,1999):

- semi-eixo maior, a = 6 378 160,00 m e - achatamento, f = 1/298,25.

Definidos os parâmetros do elipsóide de referência, é necessário fixá-lo no espaço de forma que seu eixo menor seja paralelo ao eixo de rotação médio da Terra e que as diferenças entre grandezas geodésicas e astronômicas sejam minimizadas.

O SAD69 foi fixado no espaço atribuindo para o ponto, denominado CHUÁ, de coordenadas astronômicas iguais a, (Silva,1999):

- Latitude = 19o 45’ 41,34” ± 0,05” S, - Longitude = 48o 06’ 07,80” ± 0,08” W e

- Azimute astronômico rumo a outro ponto, denominado UBERABA, igual a 271o 30’ 05,42” SWNE;

as seguintes as coordenadas geodésicas, ondulação geoidal e azimute geodésico: - Latitude = 19o 45’ 41,6527” S2,

- Longitude = 48o 06’ 04,0639” W - Ondulação geoidal (N) = 0 e

- Azimute geodésico rumo a UBERABA, igual a 271o 30’ 04,05” SWNE3. Atualmente, a rede planimétrica brasileira é constituída de mais de 5000 estações geodésicas, com coordenadas referidas ao Datum Sul Americano de 1969 – SAD69.

Vistas as definições e realizações dos sistemas geodésicos WGS84 e SAD69, verifica-se que se tratam de sistemas geodésicos diferentes. Como grande parte dos

2_{Uma vez que estas coordenadas são atribuídas ao ponto, seus desvios padrão são nulos}_. 3_{Mais detalhes sobre a definição, fixação e materialização do SAD69 podem ser vistos em}

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dados cartográficos do Brasil é referenciada ao SAD694, que é o sistema geodésico oficial do País; e, por outro lado, o WGS84 e os ITRFyy são os sistemas de referência para as coordenadas obtidas pelo GPS, há necessidade de relacioná-los.

2.3.1- Conversão de coordenadas no SAD69 para o WGS84

O Departamento de geodésia do IBGE determinou os parâmetros que relacionam SAD69 e WGS84-TRANSIT. Trata-se de apenas três translações, uma vez que se assumiu que os dois sistemas são paralelos e têm a mesma escala. A Resolução da Presidência da República no 23, de 21/02/1989 tornou oficiais os seguintes valores para as coordenadas da origem do SAD69, no WGS84:

Xc = -66,87 ± 0,43 m, Yc = 4,37 ± 0,44 m e Zc= -38,52 ± 0,40 m.

Portanto para transformar coordenadas cartesianas no WGS84 para o SAD69 basta subtrair delas as coordenadas Xc, Yc e Zc. Ou seja:

) m ( 52 , 38 37 , 4 87 , 66 Z Y X Z Y X 84 WGS 69 SAD           − − −           =           (2.4)

2.3.2- Propagação das variâncias na conversão

Aplicando à equação (2.4) a lei de propagação das covariâncias, tem-se:

∑

_XYZSAD69 = _XYZWGS84 + _XcYcZc (2.5)

onde

∑

_XYZSAD69 = a matriz das covariâncias das coordenadas cartesianas referenciadas ao SAD69;

4_{Como se sabe, outra grande parcela está no antigo Datum oficial, denominado ‘Córrego}

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∑

_XYZWGS84 = a matriz das covariâncias das coordenadas cartesianas referenciadas ao WGS84 e ) m ( 1600 , 0 0 0 0 1936 , 0 0 0 0 1849 , 0 0 0 0 0 0 0 2 2 Zc 2 Yc 2 Xc XcYcZc           =           σ σ σ =

∑

(2.6)

Verifica-se, portanto, que a precisão obtida em levantamentos de redes GPS, é degradada quando as coordenadas, referenciadas ao WGS84, são transformadas para o SAD69.

2.4 – Sistemas Topocêntricos

A Figura 2.2, mostra um sistema de coordenadas com origem na superfície terrestre, ponto o; eixo h coincidente com a normal ao elipsóide, dirigido para um ponto próximo ao zênite; eixo n na direção da tangente ao meridiano geodésico, dirigido para o norte e eixo e perpendicular a h e n, tornando o sistema dextrógiro. Os eixos e e n definem o horizonte geodésico.

Figura 2.2 – Sistema Topocêntrico ho φo • • e h n o (φo,λo, ho) • • X Z Y λo Meridiano zero - IRM CTP CM

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Este sistema é denominado por Leick (1995) ‘sistema geodésico local’ e por Gemael (1981) ‘terno geodésico topocêntrico’. Uma vez que ele é semelhante ao sistema Topográfico, será aqui nomeado como Sistema Topocêntrico.

De acordo com Leick (1995) este sistema tem grande aplicação no desenvolvimento de modelos matemáticos que integram observações GPS e terrestres. Neste trabalho ele será usado para facilitar a visualização dos efeitos das diferentes estratégias de ajustamento de vetores GPS no posicionamento das estações da Rede Minas.

2.4.1- Conversão de coordenadas geocêntricas em topocêntricas

A relação entre as coordenadas cartesianas X, Y e Z, em um sistema geocêntrico e e, n e h, no sistema topocêntrico com origem em um ponto com coordenadas geodésicas φo, λo, ho, referentes ao elipsóide associado aos sistemas cartesianos, pode ser vista na Figura (2.2) e expressa matematicamente por:

          − − − ⋅ λ + ⋅ ϕ − =           o o o 0 o 3 o o 1 Z Z Y Y X X ) 90 ( R ) 90 ( R h n e (2.7) onde

R1 e R3, são as matrizes de rotação em torno dos eixos X e Z, respectivamente, do sistema cartesiano transladado até o ponto o;

o o e λ

ϕ , são as coordenadas geodésicas do ponto de origem do sistema topocêntrico e

o o ,

o Y e Z

X , são as coordenadas, referenciadas ao sistema cartesiano associado ao elipsóide de revolução, do ponto de origem.

Desenvolvendo a equação (2.7) tem-se:

          − − − ⋅           ϕ λ ⋅ ϕ λ ⋅ ϕ ϕ λ ⋅ ϕ − λ ⋅ ϕ − λ λ − =           o o o o o o o o o o o o o o o Z Z Y Y X X sen sen cos cos cos cos sen sen cos sen 0 cos sen h n e , (2.8)

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          − − − ⋅ =           o o o Z Z Y Y X X R h n e (2.9) onde           ϕ λ ⋅ ϕ λ ⋅ ϕ ϕ λ ⋅ ϕ − λ ⋅ ϕ − λ λ − = o o o o o o o o o o o o sen sen cos cos cos cos sen sen cos sen 0 cos sen R . (2.10)

2.4.2- Propagação das variâncias em coordenadas geocêntricas para topocêntricas e vice-versa

Derivando e, n e h da equação (2.9) em relação a X,Y e Z, tem-se:

R ) Z , Y , X ( ) ( ₌ ∂ ∂ _(2.11) e portanto, T XYZ enh = R⋅

∑

⋅R

∑

(2.12) onde

∑enh

é matriz das covariâncias das coordenadas topocêntricas e

∑XYZ

é a matriz das covariâncias das coordenadas cartesianas de um sistema geodésico qualquer.

2.5 – Conversão de coordenadas geodésicas em cartesianas e vice-versa

Vale lembrar que a relação entre coordenadas cartesianas (X, Y, Z) e coordenadas geodésicas (λ, φ, h) pode ser expressa por, Bomford (1980):

          ϕ ⋅ + − ⋅ λ ⋅ ϕ ⋅ + λ ⋅ ϕ ⋅ + =           sen ) h ) 1 ( N [ sen cos ) h N ( cos cos ) h N ( Z Y X 2 e (2.13) e, n,h

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onde a grande normal (N) e a excentricidade (e) do elipsóide são dadas, respectivamente, por: ϕ ⋅ − = 2 2 _sen e 1 a N (2.14) 2 a b 1 e _      − = (2.15)

onde b é o semi-eixo menor do elipsóide, dado por: f

a a

b = − ⋅ (2.16)

sendo a e f, respectivamente, semi-eixo maior e achatamento do elipsóide de revolução, ou seja, os parâmetros que definem o tamanho e a forma do modelo geométrico e matemático da Terra.

2.5.1- Propagação das variâncias em coordenadas cartesianas para geodésicas e vice-versa

Derivando X, Y e Z da eq. (2.13) em relação a λ, φ e h, tem-se, (Leick, 1995) e (Thomson, 1976):                     ∂ ∂ ϕ ∂ ∂ λ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ∂ ∂ λ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ∂ ∂ λ ∂ ∂ = ϕ λ ∂ = h Z Z Z h Y Y Y h X X X ) h , , ( ) Z , Y , X ( D ∴ (2.17)               ϕ ϕ ⋅ + λ ⋅ ϕ λ ⋅ ϕ ⋅ + − λ ⋅ ϕ ⋅ + λ ⋅ ϕ λ ⋅ ϕ ⋅ + − λ ⋅ ϕ ⋅ + − = sen cos ) h M ( 0 sen cos sen sen ) h M ( cos cos ) h N ( cos cos cos sen ) h M ( sen cos ) h N ( D (2.18)

onde M, o raio de curvatura da seção meridiana do elipsóide de referência, é dado por:

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2 3 2 2 2 ) sen e 1 ( ) e 1 ( a M ϕ ⋅ − − ⋅ = . (2.19)

A matriz das covariâncias de X, Y e Z pode ser calculada aplicando a lei de propagação das covariâncias à equação (2.13). Dessa forma, tem-se:

T h

XYZ = D⋅

∑

⋅D

∑

λϕ . (2.20)

A transformação inversa da equação (2.13), ou seja, a conversão de coordenadas cartesianas em geodésicas pode ser vista em Bomford (1980) e a matriz das derivadas parciais de λ, φ e h em relação a X, Y e Z é dada por Leick (1995):

                  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ∂ ∂ ϕ ∂ ∂ ϕ ∂ ∂ λ ∂ ∂ λ ∂ ∂ λ ∂ = ∂ ϕ λ ∂ = − Z h Y h X h Z Y X Z Y X ) Z , Y , X ( ) h , , ( D 1 _∴ _(2.21)

(

)

(

)

                    ϕ λ ⋅ ϕ λ ⋅ ϕ + ϕ + λ ⋅ ϕ − + λ ⋅ ϕ − ϕ ⋅ + λ ϕ ⋅ + λ − = − sen sen cos cos cos h M cos h M sen sen h M cos sen 0 cos h N cos cos h N sen D 1 _(2.22)

Já as covariâncias de X, Y e Z podem ser convertidas em covariâncias de λ, φ e h, por: T 1 XYZ 1 h D (D ) − − λϕ = ⋅

∑

⋅

∑

. (2.23)

Desenvolvendo a equação (2.23) chega-se às seguintes equações para as covariâncias de λ, φ e h:

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[

]

2

[

2 2X 2 2Y XY

]

2 _sen _cos _sen₂

cos ) h N ( 1 σ ⋅ λ − σ ⋅ λ + σ ⋅ λ ⋅ ϕ ⋅ + = σ_λ (2.24)

[

ϕ⋅ λ⋅σ + ϕ⋅ λ⋅σ + ϕ⋅σ + ⋅ + = σ_ϕ 2 Z 2 2 Y 2 2 2 X 2 2 2

2 _sen _cos _sen _sen _cos

) h M ( 1

]

YZ XZ XY

2 _sen₂ _sen₂ _cos _sen₂ _sen

sen ϕ⋅ λ⋅σ − ϕ⋅ λ⋅σ − ϕ⋅ λ⋅σ (2.25) + σ ⋅ ϕ + σ ⋅ λ ⋅ ϕ + σ ⋅ λ ⋅ ϕ = σ 2 Z 2 2 Y 2 2 2 X 2 2 2

h cos cos cos sen sen

YZ XZ

XY

cos ϕ⋅ λ⋅σ + ϕ⋅ λ⋅σ + ϕ⋅ λ⋅σ (2.26) + σ ⋅ λ ⋅ ϕ − σ ⋅   ϕ⋅ λ ⋅ + ⋅ + = σλϕ 2X ₂ 2Y 2 sen tg 2 2 sen tg ) h N ( ) h M ( 1

]

YZ XZ XY 2

2 _cos ₎ _sen _cos

(sen tgϕ⋅ λ − λ ⋅σ − λ⋅σ + λ⋅σ (2.27) − σ ⋅ λ − λ + σ ⋅ λ −  − λ_⋅_σ ₊ ⋅ + = σλh 2X 2Y (cos2 sen2 ) XY 2 2 sen 2 2 sen h N 1

]

YZ XZ tg cos sen tgϕ⋅ λ⋅σ + ϕ⋅ λ⋅σ (2.28) − σ ⋅ ϕ + σ ⋅ λ ⋅ ϕ − σ ⋅   − ϕ⋅ λ ⋅ + = σϕ 2Y 2Z 2 2 X 2 h 2 2 sen 2 sen 2 sen 2 cos 2 sen h M 1

ϕ⋅ λ⋅σXY + cosλ⋅(cos2ϕ− sen2ϕ)⋅σXZ +

2 2 sen 2 sen

]

YZ 2 2 _sen ₎ (cos senλ⋅ ϕ − ϕ ⋅σ (2.29)

Enquanto as variâncias de λ e φ, calculadas pelas equações acima, estão em

rad2; a variância de h está em m2. Para calcular as variâncias de λ e φ em unidade do

sistema métrico decimal, elas devem ser multiplicadas, respectivamente, por:

2 2 _e ₍_M _h₎ ] cos ) h N

(15)

XY 2 Y 2 2 X 2

2 ₌ _sen _λ_⋅_σ ₊ _cos _λ_⋅_σ ₋ _sen₂_λ_⋅_σ

σ_λ (2.30) + σ ⋅ ϕ + σ ⋅ λ ⋅ ϕ + σ ⋅ λ ⋅ ϕ = σ_ϕ 2 Z 2 2 Y 2 2 2 X 2 2

2 _sen _cos _sen _sen _cos

YZ XZ

XY

sen ϕ⋅ λ⋅σ − ϕ⋅ λ⋅σ − ϕ⋅ λ⋅σ e (2.31) + σ ⋅ ϕ + σ ⋅ λ ⋅ ϕ + σ ⋅ λ ⋅ ϕ = σ 2 Z 2 2 Y 2 2 2 X 2 2 2

h cos cos cos sen sen

YZ XZ

XY

cos ϕ⋅ λ⋅σ + ϕ⋅ λ⋅σ + ϕ⋅ λ⋅σ . (2.32)

Desenvolvendo a equação (2.12), verifica-se que as variâncias da longitude e latitude, no sistema métrico decimal, são iguais às variâncias da abscissa (e) e da ordenada (n) do sistema topocêntrico, respectivamente. A variância da altura geométrica, h, naturalmente, é igual à variância da altura topocêntrica, h.