CAMPOS DE YANG-MILLS COM MASSA NA FORMULAÇÃO DE KEMMEP.

» . - I I •

LÜJ2 ALBERTO VI SANTANA COKVOLÍNO

CAMPOS DE YANG-MILLS COM MASSA NA FORMULAÇÃO DE KEMMEP.

Tese de

MESTRADO

CEMRC ERASILE'F.C Li PESQUISAS FÍSICAS

P.ESUMC

k equação oe Ke raise r , cue s e s c r e v * o r r i s o r , é a p r e s e n

-t a d a no f o r m a l i s m o da -t e o r i a de c a m p o s . A -t r a v é s úi i d e n -t i d a d e de K o e t h e r , encontrara-se grandezas que se conservair.

v £ s t e f o r m a l i s m o i empregado para os camsss de Yang-- M i l i s massive e duas equações, s i m i l a r e s ã equaçic de ksnmer , são o b t i d 2 s , eniDorê cê f c r m s t o s d i f e r e n t e s , ame as c e r n i r termes q u a c r ã t i c o s . Eir c e r s e q u i n c i s oef *! n i r - s e - i o duas ^ a ç r e n ç i snas , f o r m a l m e n t e d i s t i n t a s , oara os campes GS V a n ç - ^ n " ! : . Se^-ê celeu l a d o c Hatni I t o n i a n c t i p o Schroedi n ç s - oara a p - ' m e " r s Sjúacãc de o n d a . Este H a m i l t o n i a n o a p r e s e n t a uir termo ce i n t e r a c l c de s p i n coir, o campo de Y a n g - M i l l s , $*^. ( í

S U K Â R I C

Fir. AGRADECIMENTOS iv: RE5UMC iv

CAPÍTULO I - Aspectos da teoria cie Kemmer 5

1.1 - Equação de Kenraer : 1.2 - Invarilncia de Fase 7 1.3 - Trans "lacões e Tensor Momentum Energia , £ 1.4 - Invariincia RelativTstica 9 1.5 - Rotações e Moirer.ruir Angular 12

C AP! T D L C ' II - EçjacDSí a -cnç-.vr.*.? r.t Fern* ce f.6-.T.o- 21 CAPÍTULO III - Lagrangiana ce Yang-Mills pa Forciê cie Kemzer 3D

CAPlTULG IV - Formulação Laçrang-ianâ Similar c J K U D O - T O S S I:

CAPÍTULO V - Formulação Hamiltoniana Tioo Schrocinger <2

OPlTULO VI - Analise da Hamiltoniana hi

6.1 - Relações Envolvendo c Spit 5r £.2 - Análise dos Temos as H 5J

A?cWD!C: A - Lagrar.giano ds 0kub:-Tos2 6-A.'f - V&r:-Mil*:s x i-.err.er £•-A.2 - Detsrtr.ir.acão dos ?._„ 6c A.; - Laçr&ngiana 7^

INTRODUÇÃO

As equações de YanoMilis — resultaraic. do reconheci -nenro de que transformações de gauge de primeira espécie, con f& se ccr.siance, se fossenr. associadas a uni processe físice corres -ponderiam â propagação com velocidade infinica. Realmente, & fun çâo de onda é igualmente alterada, ao roesno tempo, eir tocos os pontos. Yang-Mills são equações que tomam a forma ôas equações ce Maxwell -' , ao se omitir os t e m e s não lineares. 0 termo se massa, que seria o necessário complemento se se desejasse a ana-loriâ cox £= equações de Prece -', é inconveniente porque r»ãc k gauge invariante. Além disso, ê impossível formular unia teoria deste tipo rer.ormalizável , na qual o termo de assa seja ir. -croduzido desde o início. 0 mecanismo de Kigçs — , coir. o apareci nento do termo de nassa após a quebra de simetria, permite a for nulação teórica em termos aceit-áveis, embora se esteja em presen

Zà. de mais uma solução artificial para resolver uzr problema ec

Física..

Sir. 1940 Pauli — considerou transformações dependentes da posiçãc, no problema da formulação da equação de Dirac ec espaço C Ê Riemann. O tratamento de Pauli difere áz de Vargíüiis -e«. ar ponto essencial, t que estes últimos consideram o sistema cons-i-uíúc psic prízor. e pelo neutrs- rere aquele ao qual se aplicar, as transforr.açôes. A ir.variãrscia isonópica permite ccr.si dsrar o siste~a final constituído das mesnas partículas iniciais, er.iora não estej&rr: n6cessaria.~s-te na. rr.esna ordôir.. Kateaaticanen t«, consegue-se realizar c processo empregando o grupo SU(2).Cál

-2-culos posteriores permitiram acrescentar ê teoria outros grupos, SUfn), mas este acréscimo está fora das nossas cogitações.

£ bem conhecida a utilidade da formulação Hamiltoniana na Mecânica Quãntica de Heisemberç-Dirac. Os processas de cálcu-los encontram, no entanto, sua melhor expressão no formaiismo Lagrangiano. O conhecimento da ação permite que se conheça o

es-tado de um sistema como a superposição de eses-tados anteriores em

diferentes pontos. O processo de integração, realizado de forma relativisticamente invariante só é praticamente significativa , no entanto, quando feito em aproximações sucessivas. É um process so que não permite globalizar, mas permite calcular, usando o çue Schwinger — chamou de Física da Subtração.

Alguns autores tentaram, ss- muito sucesso, manter o (4 >

termo de ir.assa na Teoria de Yang-Mills — . Por exemplo, procura-ram encontrar as condições que tornariam possível a renormaliza ção, se a equação possuísse este t e m o . Realmente e difícil es -crever a Lagrangiara da teoria, calcular os momentos ç. e, a par tir daí, obter a Kamiltoniana. São muitos termos que tornam o tratamento algébricc laborioso. Existe uxa possível simplifica

-(£_•> 4 \

çao se pudermos empregar a equação de Ksircner ' . Esta equação é análoga â equaçac de Dirac, nas er. lugar das matrizes de

Di-rac, "i, , são usadas as matrizes : l- ' ~ " — , que obedecem a re

gras de comutação mais complicadas, k partir destas regras de co mutação é possível demonstrar que existem três representações ir

( 6 1 1 1 "* 1 ® 20*

redutíveis '-'—i'-Lt'-Lx.'—ü' , uma 10*10, a outra 5*5, e a última , trivial, é UíTã matriz 1 x i . A secunda, de dimensão 5, permite que a erua;ão de onda descreva partícula de spir. ze-r o — e não inteze-ressa em nosso tze-rabalho; a pze-rimeize-ra, de

Este trabalho visa retomar o formalism© de Duffin--Keraraer e aplicá-lo ao campo de Yang-Mills massivo, como recente mente, fizeram Silveira — e O k u b o - T o s a — . O primeiro encon-tre uiaa equação similar a Kemmer e determina o Hamiltoniano tipo Schroedingtr; enquanto o segundo define uma Lagrangiana com us lerrac de interação cúbica, e conduz a generalizações tais como: interação com £ matéria, supersimet-ia e gravitarão.

Seir. contestar o mérito cc trabalho publicado por Sil -veira —- nós levantamos o seguin :e problema: e equação ce onda

encontrada por ele não permite deiinir usa Lâgrangiana.

Ko presente trabalho iremos resolver esta questão âs. seoumte maneira: reescreveremos a equação, como fsz Silveira , de zàl. forma qus aõr.iza aãjunt-- e, consequentemente, irenos de_

finir a Laçrargiana. A seguir determinaremos o Hamiltoniar.o tipo Schroacinçer, e procuraremos analisar seus termos erc busca de ux conteúdo físico.

Cons o intuito de qus se possa extrair,de iitteâieto , a idéia central do presente trabalho, sem a necessidade de sua le_i tura integral, apresentaremos uir. resunto do conteúdo de caáa ca -pituio.

No capítulo inicial, o artigo publicado por K. Keia -ner - é to~adc por base. Lá ele xorr.ali2a a teoria de partícula para o terno méson através da equação que leve seu nome. Enquan-to que nós desenvolveremos a teoria ce ca^.po e a partir da dsnsi âade da Lagrangiana encontraremos o tensor densidade de energia e o momentum angular total (momentum orbital nais o t e m o ' de spin), via ider.ticase de -ioethe. ~ : . I-ioazramos tanbéic a -nvari-ância relativistica do íomalismo com mais detalhes.

• ! 4

-Yang-Kills numa forms, compacta, -tipo equação âe Kemmer, nas que constatamos não admitir a adjunta. No Capitulo II este procedi -mento será retomado detalhadamente de tal modo que a equação

resultante admita a adjunta.

No capitulo seguinte encontraremos a adjunta e, conse-quentemente , a Lagrançiana.

0 quarto capitule se deve i idéia original de Okubo --Tosa — de escrever o Lagrangiano cos campos àe Yang-Mills com um termo de interação cúbica envoivenão coeficientes lineares tr)i de estrutura complicada. Redefiniremos estes coeficientes e encontraremos um termo áe interação cúbica similar que cifare de fatores visco que exister. diferenças nas defini;5ss das e^ia-ções cs Yang-Kills e Q C ca-pc <• que adoiarenos daquelas que Okubo adota.

Cs Capítulos V e VI ferarr. notivaios pela ffi:jdan;a con

-cretizaãa nc Capitulo II ao escrever as equações de Yang-Miils na forma de Kemmer, admitindo a adjunta. Obteremos a Kamiltonl. ana - ' — " — tipo Schrocinçer e analisaremos seus termos.

Ko Apêndice --. chegaremos a Lagrangiana de Ckubo-To-sa coit 2 finalidade de resCkubo-To-saltarmos as diferenças existentes en-tre esza e a do Capítulo IV .

CAPITULO I

ASPECTOS DA TEORIA DE KEMMER

Este r .': -; •-em por finalidade comprovar, através do

formalismo da teoria de campos, alguns resultados obcidos por K. (8)

Kemroer — ao definir a equação de onda para a partícula meson. Definimos a Lagrangiana s mostramos sua ír.variãncia err. relação à mudança de fase, com parâmetro conszar.te. Encontramos, vi& iden tiãads de Kcether, grandezas que se conservam. Kostrar.os,

bém, a invariãncia relativística de fcrmalismc.

1.1 - EQUAÇÃO DE KEMMER

K. Kemraer —' associou o termo meson a uma partícula de massa m e carga ± e, gue é descrita pela equação de onda

(Bi,, • n)? = 0 , (1.1.1)

onde os operadores í. satisfazem a seguinte relação de comutação:

i £ £, + £ , ; £• * i. i • * :•-,.. • ( 1 . 1 . 2 )

f é a função de onda da partícula e J representa a derivada par ciai 3/Sx^, v * 1,.../4 a c/ix4 • 5/i»t,(h«ci).D« agora an

-6-diante vamos admitir que os índices gregos variam de 1 a 4.

A partir das matrizes £ii# que obedeceir. à relação (1.1-2), d o presente trabalho,como veremos nas páginas 55 e 56, poderemos formar uma álgebra de ordem 126. Existem três representações ir-redutíveis ineçuivalentes de $ de dimensões U E , cinco e dez.Por tan te, a função de onda da eq. (1.1.1) tem, exn geral, 16 compo -nentes. Neste trabalho, exceto neste capitulo e a menos çue afir roemos o contrário, estaremos empregando matrizes 10x10 que cor -respondem âs partículas de spin 1.

Se definirmos as quantidades r: por

* - -t , ( 1 . 1 . 3 ) podemos mostrar, por (1.1.2), que:

A equação adjunta de (1.1.1) é

onde

?g - m i * 0 , ( 1 . 1 . 5 )

Em ( 1 . 1 . 6 ) V é o h e r m i t i a n o conjugado de ¥ .

Por ( 1 . 1 . 5 ) e ( 1 . 1 . 6 ) definimos a Lagrangiana pela igualdade

L - l m& 1íM+n)-O1fB-mf)J* . (1.1.7)

Através da Lagrangiana ( 1 . 1 . 7 ) procuramos grandezas que se conservem. Como a Lagrancriana é função de ':, V, c ¥ e B, f*/ t o da v a r i a ç ã o 61 poâs e x p r e s s a r - s e na for«.&

oL = , w et + í : ; — , • yr y. i ( c V) • 5í = .a- ) IT •

Contudo, se os campos satisfazem ás equações de Lagran ge dadas por

• cL 9t i»('* V u {:. 1. S i — * C — — -if v :-?(*c"? obtencs -+ &, (cT) ^ L in . fir cL 1.2 - ÍNVARIÂNCIA DE FASE

A Laçrançiana é ir.variante e-r. reiajãc a ur.a .T.uiar.ja c*

fase

ir

f * e •• ,

te C for um parâmetro constante. Ao consiâerarnos C como ux para metre infinitesimal, obteremos:

(T.2.1)

Como L é índspenâente âe fase, d.L & C. Substituindo í1.2.1) en (1.1.9), teremos

í j. • 0 , Í1..2.2) onde

-6-(1.2.3) Caenc 5(0 *} 2 * C < L» 3(S Y teremos ' n.2.4) F , (1.2.5)

* 3U poõe ser interpretado como vetor densidaáe corrente.

0 valor médio de um operador, A, representado por à seguirá s. definição usual

A = 4- ' V :. ,A7dV . (1.2.6]

onde

4 infinitesimal.

Os campos, consequentemente, soírerc as variações

_ %v (1.3.1)

I

1.3 - TRANSLACOES E TENSOR MOMENTUM ENERGIA •

j

e, de modo análogo, a Lagrançiana te& a seguinte variação

£L = (<\,LKV . (1.3.2)

Substituiremos ("5.2.1) e (1.2.2) em (1.1.9), obtensos

Consideremos o ter.sor T,. definido por

T

uv ' l U i f c ) ^.^ * (:,?) — ^ c.. L , (1.3.4)

logo, por (1.3.3)

?.. Tu v * 0 . ' (1.2.5)

Sub3tituirenos (1.2.4) em (1.3.4) e como os campos 53-tisfaser. âs equações de onda, enzâc, L = C -eir.cs:

T é denominado tensor densidade de energia canônica» Como ests tensor não é sixétricc há problemas na localização ca energia. Em geral, define-se um outro tensor simétrico que con-duz â mesma energia total e ao mesao momentum total.

IA - INVARIÁNCIA RELATIVÍSTICA

Cor c intuito ce produzir varieçSss por rotações ir.fi-nitesir.ais nc sistema definido pela Laçrançiana (1.1,7) e assim

>r *nóvfcs* graadaaaa qua se conservam» ireaos mostrar • "J,

relativistica da equaeio (1.1.1), com a finalidade a transfoxaaçio qua atua sobra as componentes da ? «dáda&ca da ooordanadas.

i*};:' Considaramoa a saguinta transfoxsacio da eoorâanadas

A distância x,, x,a deve ser conservada ê possível

nostrar-Levemos (1.4.2) a (1.4.1), obtamos

" \ ' Eyvxv ' ("..«-4)

a aor (1.4.1)

Seja ainda a transformação

?' . 57 , (1.4.6)

4« far.yão de onda associada ã transformação (1.4.1). Como vale

(1.4.2*, deve-se admitir que S seja uma transformação iníinitesjL **1 d« seguinte forma

Portanto

S"1 « I - R . t i . 4 . 7 )

Consideremos « equação O.1.1) no novo sistema êé coe>£

a O.4.5) e ( 1 . 4 . 6 ) , obterocs:

Multipliguemo» (1.4.6a) s esquerda por S"

, obtemos a invariâncía relativística

(8.1. * m)? « 0 , -OAd*

V tiv it

R«»ta-noB portanto anconi-rar & tran»f ormaçio 5 .

Pelaseguaçô*» (1.4.2), (1,4.6a),..*,(1.4.7) a equaçio í 1.4,9b) ton» « »eguííit« forma

* • •

Calcularaos o seguint* cosutador

v por y

Wv *

Subtraimo» U . 4 . 1 0 c ) de (1.4.10â) e obtemos

Substitttinos H . 4 . 1 0 » ) «a (1.4.10b) • obtano*

Concluimo» am ( 1 . 4 . 1 0 ) é (1.4.10£) qae R ttm a feguin-t» íor»« (a menos â« matrizes comutando com &v e S 03> t

• *

* J

ROTAÇÕES t MOMENTUM ANGULAR

Irooos agora nostrar « con*ervaçío do Mownttaa im

(1.1.9) aeterniinar«nos cL, 5? e 5? para o caso d« rota

A variação da Lagrangiana (£D devido ã variação ôx Att coordenadas é

Feia transformação (1.4.4)

- 7

A variação «B «r 5^ , constara d* duas partas

«f • S^Ç • 52f , (1.5.2)

* pxímeira ^ f í t variação produzida pala modificação do argu -• t -•-•çmuda, d2 ¥' • * '«ariaçlo n» qual se iava cc conta as

Por entre lado, temo»

fe* (1.4.4)

:*'

virtude de (1.4.6), (1.4.6a), (1.4.6b) e (1.4.

f • • SI m (I+R)Y .

usamos a hipótes» de transformação infinitesimal. Logo,

Ô2^ « I W u v * * (1.5.2b)

Obtemos de (1.5.2b) e (1.5.2a) em (1.5.2)

tvident«m«nt«,

Substituindo «a (1.1.9) os resultados encontrados ( 1 . 5rn , (1.5.2c) e (1.5.2d), teremos

cyv»ft

3ty

O primeiro membro cesta igualâaâe pode ser escrito âa seguinte maneira:

C ôyL ) xv ' <5

portanto (1.5.3) toras a seguinte forma:

Esta içualâace é válida quaisquer que sejam os coefici entes tliVr logo podemos eliminá-los e obteremos

T T ) I

_-

u

v

-Se colocarmos em evidência o fator x e o fator xv

teremos

V T •»**

-16-energia

Ao definirmos os termos ttyav**nayv • J,.av pel**

rela-" W rela-"

y

av * V W ' (1.5.5a)

yv -2Í— , (1.5.5b)

Jyav • ttyav * nayv ' (1.5.5c)

podeaos escrever (1.5.5) na seguinte forma

O u (1.5.6 )

34Jy4v " " bj Jujv * ' •

Definiremos a grandeza P , pela integral

e derivaremos em relação ao tempo,

ft

yv » â |

y4v

m + i f i. J. . dV , (t.5.7a)

-17--J

o

Quando o volume for estendido a todo espaço <e supõe» -se que o campo tende a zero no infinito), a integral de superfi cie anula-se, mostrando a constância no tempo de P .

5*

Consider «aos as componentes espaciais de P . ou se

-Pik

P

ik • ] • l l k »

]

4ik

Calculemos seoaracasienre estes ternos

d V

Como conseqüência de (1.3.4), teremos

» f <: x J

Devido a U . 2 , 4 ) ,

l dV

k 4 k 4 ? > - ?£4»k« » (1.5.6b)

I f e ! ^ ^ - SiC?64?) • ?£4Sk»3 '- ÔV

- Í

W k - Vi»

- i 1 ^ i v V i ' ^4

>

•

P o r ( 1 . 2 . 4 ) , - 1 como ent&o, 64 *ik " " *ik-4 ' C1.5.M» [ n , .v dV « - [ * 3 , S4. Y dV j 4ik j 4 ik * X ' ?54 - r1 » dv , d.5.8e) # u b » t i t u í n d o ( 1 . 5 . 6 d ) e ( 1 . 5 . 8 e ) ft» ( 1 . 5 . 6 ) , t e r s s t o s f dV

{f

-T9-òade

sik • < £iBk *

O primeiro e o segundo ternos de segundo membro de (1.5.9) podes ser interpretados, respectivamente, como o monen-toai angular orbital e o momentum angular de spin do campo *. O terceiro termo deve se anular quando a superfície que envolve o volume tende ao infinito.

CAPlTÜLC II

EQUACOES DE YANG-MILLS NA FORMA DE KEMMER

N Ó S iramos considerar neste capirulo os campos de Yang-Mills sobre o espaço Euclidiano E., dado por

' SvBy " « y v ' Í B U'Bv3 •

Para o caso sem fonte a seguinte equação i válica

tais que 3 sio antihermitianas para y • 1,2,3 e hennitia -na* p«r* _ « 4. Tes-se que

B* * "**** (2.2a)

B

k * V

onde 2ti são as matrizes de Pauli e satisfazem & seguinte re

-(2.2)

A S grandezas B. e <>,.., que ocorrem nas equações |

í 11 *

(2.1) e (2.2), decorrem da teoria de Yang-Mills' '. By sío , |

- 2 0 * - • • . ' •

laçio de coautação

t t1, ^ ] « i si 3 ktk . 12.2b)

O tensor intensidade do c a ç o <> v i , da msma fozaa,

d«finido por

(2.2c)

As comooner.res de c.., com t,v » 1,2,3 são. anti-her mi ti anas e hermitianas para ;: ou v igual a 4.

Se introáuzirmos a função ã» onda ¥ definida por

onde o Índice t «m (2.3) indica o transposto.

Erocuraremos escrever as equações (2.1) e (2.2) de forma compacta, similar ã equação de Kenmer (1.1.1) de »odo que admita usa equação adjunta, fato que não ocorre

(22)

no artigo publicado por Silveira*— . Para tanto, desenvolve* remos (2.1) e (2.2) levando em consideração (2.3).

-21-(2.4)

i

Observa-se que quatro das equações diferenciais acima envolvem a derivada temporal e também que, destas equações , quatro componentes da função de onda podem ser expressadas em

função das outras seis e suas derivadas espaciais.

0 segundo membro das equações (2.4) nos leva a defi -nir a função ¥';

,83]

(2.5)

onde &

v são as seguintes matrizes:

ft o o o : -100: 0-1 0 : 0 0 - 1 : * T O O : o o c : c o o : 0 1 0 . 0 0 0 : 0 0 0 -• 00 0 !o 0 0 • 1 t t 4 1 1 » 1 O O O : o c o : - I O C . 0 - 1 c 1 1 p p t p f V : 0 0 0 : 1 0 0 : 0 0 - 1 p p : 0 c c : 0 1 0 : 0 0 1 0 1 c : 0 0 1 : 0 0 0 : i * - 1 0 0 : 0 0 0 : : 0 0 0 : : 0 0 1 : : 0 0 0 : : 0 0 0 : * : 0 0 c : : - i 0 c : : 0 0 0 : : 0 - 1 0 : : 0 0 0 : ; 0 0 0 : • t p : 0 0 0 * : 0 0 0 : - i 0 0 : 0 0 c : 0 - 1 0 : 0 0 -*, m t t • p 0 0 1 L r e . 0 • 1 0 r t

. J

• • .-. • . > , D K " I • • • • • • •

-23-I S satisfaz i seguinte relação de comutação

(2.7»)

A fiit. de tornar U.6J similar à eçuajão de Kejmer, pro curemos determinar ü" em função de \, ou seja,

OU (2.8)

onde Q . deve ter a seguinte forma,

e i , k e j variam de 1 a 10.

Tomaremos cada coxponente de V, Y^, e analisaremos qual5 das componentes de f, f./ têm fatores de ?£. Assim proce dendo deteraiinarentos fi.^.

-24-As únicas componentes de ? que têm fatores di ?' são

•7 B1 e 6 * B2 '

daí conluimos que a equação (2.6) ê verdadeira para i»1, se

Cl10

- Í B2 , R1g - Í B .

ôe moco análogo obremos

•a21 • . . . • c2 1 0 • e e n2 7 « - Í B3 / r;29 = Í B1

o

-

. . .

«

n

.

a

«

n

. o e

n

=

,

iB2

n

» c

- o e n

«

n

o e «

»

n

Consideremos agora a sétima componente de V

•10* B4 ' *3 * *14 ' • d*stjamos que seja verdadeira a equação (2.8)

*7 * °7jfj '

então 07_ deve assumir os seguintes valores:

"79 " " ^ 1 3 "72 * i 53 '

"71C * "Í Ç14 hi * i B< *

De.modo análogo encontramos os elementos C.. (i » 8, 9/ 30 e j x 1,...,1O), ou seja a) Ce j , Oú OJ OO 00 R84 - i B3 n89 ' "i C2 3 ' fí85 " i B4 81C * "i ?2 4 * - Í B1 f:97 - -it31 ~i B2 n98 * ""4<^32 1 B4 fl910 * - ^ 3

-24-c)

o .

Portanto a matriz 8 tem a seguinte forma:

Q » i B2 B3 B -3, 03 0 CT-B, C 0 0 -3 0 0 0 B, B 0 o - B2- B3 -B? B1

o : o'

Entretanto, podemos escrever H da seguinte forma:

(2.11) onde B é uma matriz diagonal, 10*10, de elementos B na

diago-nal i F t a m a t r i z , 10*10 ,

P • - i

T> O i

O A _.

-27-A equação (2.6) devido a (2.11) e (2.9) (2.13) Se definirmos F, coao F " BvFv ' ou (2.13a)

a equação (2.13) resultará similar ã equação de Kesster. Portanto resta-nos encontrar Py .

Por aotivos que ficarão claros no Capítulo III» vamos impor as seguintes condições:

(2.13b) Fk*4

V k '

n

• F teir. que satisfazer (2.13b), segue que as matrizes F (2.13a) são

O

O 0 0

12

®í *'. \í >-.j. ?••• 0 0 0

o

o o

:o « o

:o o

o

:o c o

o o

o:

_o:

o:

o

c

o

o

o

o

o

o

o

o o

o o

*

o <r

o o

#

: o

As matrizes Fv definidas por Silveira — ' nao nos permitiam

che-car ã equação adjunta, objeto do próximo capitulo.

Substituindo (2.16) esi (2.13) e sabendo que [ Bt, £v) » 0

- 2 1 *

(2.t7)

CAPITULO III

LAGRANGIANA DE YANG-MILLS NA FORMA DE KFMWER

A partir da equação (2.17) obtida no capítulo anteri-or, ir anos obter a equação adjunta e consequentemente a Lagrançi ana que ê o objetivo final deste capitulo.

Se tonarmos o hexmitiano conjugado de (2.17) e usar-mos (2.3a), (2.7b) e (2.11), tereusar-mos:

{[£;;(-e;i-C;i)*Mj*}t * 0 .

Portanto o hermitiano conjugado (2.17) vale

onde a seta indica o sentido de aplicação do operador deriva -da, ò , ou seja.

2

B4

n

equação (3.1) fica:

No Capitulo ZI impuzmao* as condições

(3.1 J

(3.1a)

- r4pfc . '

logo.

o ,

For (1.1.6), T * ? n4, chagamos ã equação adjunta

(3.2)

onde se usou £,C. « C £. (com sonsa em ul).

Cozi as equações (2.17) e (3.2) podemos definir a La

-grançxana, levando em conta que 7 « *' ,

W$^^

Tr i a â i c * o traço âos apmrmàarmm a i SD(2), l«Bbr«nào çtw

ç£o f • f+5* Í3.3) obtln^M a equação (2.1?).

- r > • * • * , . * • • =

CAPÍTULO IV

FORMULAÇÃO LA6RAN6IANA SIMILAR A OKUBO-TOSA

1231

No artigo publicado por Okubo-To»* — ' «ncoatr«.-s« « dos caapot â» Yang-Mills eon u» terso de interação cúbica. Mostraaos, neste capitulo,um Lagranglana siailar onda no texao de interação cúbica aparece o fator ¥ que favorece en.

-contrarr.os diretanente a equação de onãa através ãa equação âe L*grange.

Reescrevenão as equações ás Yanç-Mills ào Capitulo II

onde o grupo de simetria interna é o SU(2) e logicamente oa índl c«s í, j, k. variam de 1 a 3, e •* são os coeficientes de estro

tura antissimétricos nos três índices.

A S equações acima, âe modo análogo ao que foi feito no

capitule II, tomam & seguinte fcrnva:

ondt

3 4

-As u t r U u Bv e K sio dadas est {2.7).

Mo artigo de Okubo-Tosa, já citado, fica iatplícito que podemos determinar ¥" es função de Ç1 da seguinte maneiras

f

l " I *

ia

onde a, b, l, c varias de 1 a 10 e I* .. são coeficientes de estrutura totalmente antissisiétricos nos. três indices.

Por (4.2) resta-nos, portanto, determinar os coeficier tes r . e C. . Procederemos do seguinte modo:

Para cada £ de (4.2) ir «nos determinar quais das contpo nentes de (4.1a) estão envolvidas na cooponentej.de (4.1b)f

as-sim fixaremos b e ç. Os valores de a, ^-^ s cta s e r* °

determinados a partir da identidade entre (4.2) e a respectiva compo -nente de (4.1b).

Se í * 1 teremos por (4.2)

rabc C1a

Kas por (4.1b)

*•* . i ei j k B^Bj / (4.3a)

entretanto as componentes 7 e 8 de (4.1a), que sãp

envolvidas em (4.3a:. Portanto b e c em (4.3) vales respec « 7 e 8.

Para que a identidade entre (4.3) e (4.3a), ou seja.

-se verifique 6 necessário que: a » 1

ri 7 8Cn

ou

Podemos ter então

. M78

178 N o c a s o 1 = 2 , f i c a

ic ici j k

e pára que esta se verifique é necessário que a « 2 , b « 7 , c • 9 r279C22 Tt»o* então, ou No caso t » 3, obtetnos 279 C22 * 279 ' C2 2 3 , b • 7 , c « 10 (4*4) <4'5)

r37i0 ' C33 m r3710 * C33 1N> caso t « 4, obttmos a'-« 4 , b « 8 , c » 9 r489C44 • 1 •• Portanto, ou " C44

tio caso £ m 5, obtemos

a > 5 , b « 8 , c » 10 f58i0 C55 Fortanto, ou F5810 " C55 No caso i » 6, obtenos a • 6 , b « 9 , c • 10

JPortanto

r6910 * C66 " ' '

OU

Vo caso £ « 7, fica

r6910 ' C66

Mas por (4.2) e (4.1a)

2 'abc. C7a 'b'c

1 £ C7 al" a 8 r 8V7 + 1a92V9'2 +

logo a só pode assumir o valor 7 e

r781C77 * r792C77 " r7i03C77 " 1 *

Por T . ser antissimêtrico nos indices então e r7io3 J* foram estabelecidos, ou seja,

:781 " F178 '* r792 " P279 e f7l03 " r37l0

Logo,

C? 7 - 1 para r? & 1 « r? 9 2 . :? 1 M . 1 , (4.10)

«38-C7 ? - -1 para r? 8 l « r? 9 2 - r? 1 0 3 « -1 . U.lOa)

No caso i « 8, temos

B1*21 +

" i e * B1*l2

Mas por (4.2) e (4.1a)

'

«ie

-^? . c

?h

8 2- abc 8a b c

!1*12 + "a94B3*23 + ra1C534e24) '

portanto a só pode assumir o valor 8 e

"r871C88 " r894C88 * r8105C88 * 1 * í4*11)

Como

r871 * "ri78 ; r894 * P489 * F81O5 " r58i0 '

então o único valor para C-g que satisfaça (4.11) é Cgg * 1. Nes

te caso r1 7 8 « r4 g 9 • r5 g 1 0 • 1. Por isso as possibilidades (4.4a),

(4.7a), (4.8a) e (4.10a) são excluídas.

-39-._jj.k fcjít «»j.»k »

IB1*31 + B2Ç3 2 * B4*34}

por (4.2) • (4.1a)

9 2 abcc9a*b*c

portanto a só pode assumir o valor 9 e

r972C99 * F984C99 * "r9106C99

Sabemos cue

F972 * " r279 ; r984 " "F489 ; r9i06 * F6910

então o único valor para Cg9 gue satisfaça (4.12) é C9 9 « 1 e

r279 ' r489 ' F6910 • 1 • ( 4'1 2 a )

Por causa destas igualdades, as possibilidades (4.5a) e (4.9a) sio excluídas.

-40» En virtude de (4.2) e (4.1a)

' -4c

*

r c

c *V

Ccmcluímos que £ só pode assumir o valor 10 e

riC73C1010 " ri085C1010 " ri096C1010

Sabemos que

P1O73 " "r3710 ; ri085 "' "r58i0 e ri096 * "F6910

então o único valor que C1 0 1 Q pode assumir que satisfaça a

(4.13) é C1 0 1 0 - 1.

Portanto,

F3710 " r58i0 * F6910 * 1 # 14.13»)

Devido a isto, a possibilidade (4.6a) é excluida.

Em resumo, concluímos a exclusão das possibilidades (4.4a), (4.5a), (4.6a), (4.7a), (4.8a), (4.9a), (4.10a) determi-namos o valor +1 para r . ao tomarmos permutações pares de (a,b, c) - ',7,8), (2,79), (3,7,10), (4,,E,9), (5,8,10), (6,9,10) e -1 nas impares e zero para outras permutações. Também mostramos que

-41-cta • âia *

A relação (4.2) toma a seguinte forma:

!

. ic

r ^ 6 *h£

Multiplicando o primeiro membro de (4.16) por Y1 , po

et "•

demos definir'a seguinte Lagrangiana

r

gue é similar â Lagrangiana definida por Okubo-Tosa. De fato , esta Laçrangiana reproduz a equação (4,16) ao aplicarmos a egua-ção de Euler-Lagrange para o campo V .

CAPÍTULO V

FORMULAÇÃO HAMILTON!ANA TIPO SCHRODINGER

já apresentamos na Introdução deste trabalho a razão do estudo da equação de Kenaner, o que foi feito até agora . Conhecida a equação de onda podemos obter a Hamiltoniana; é o que pretendemos no presente capitulo,.viszs que a equação {2.17) difere, pelos F , da equação obtida por Silveira. Iremos proce-der de modo análogo sem, entretanto, introduzir o

acoplanten-to mínimo eletromagnético. Reescrevendo a equação (2.17),

• O , (5.1)

M ** f

e s e c.e£Jjtxi_moB

DM * &y"Cy ' <5.1«)

a equação (5.1) toma a s e g u i n t e forma:

<# DW*M)¥ « 0 . (5.2)

Obtemos tambiro a equação adjunta

-43-* valem as seguintes relações de comutação:

lDy , Bv) « -[Cw *6V) , (5.4a)

onde

A partir da equação (5.2) vamos procurar obter una égua cão tipc Schroctinger de modo similar ao que foi feito por Keraaer « outros.

Multipliquemos a equação (5.2), pela esquerda, por £ 5,D,,. Teremos

Por conveniíncia, adotaremos a seguir M = m. Se •ornar-mos e subtrair•ornar-mos 6 D em (5.5), tere•ornar-mos

Se levarmos em conta (5.4), teremos

-44-Obteraos, por (5.5a),

Se somaraos (5.5a) C O B (5.5b), teremos

por (2.7a) • depois fazendo u * v no 19 tern, fica

ou

v) + 6..S>ev[Dy,Dv)>V « 0 . C5.5O

Como

Por outro lado

l o g o ,

» UC.feJD.-nD,)? .

'• t* <" A

-45-X « 4

0 . | 5 . 6 )

Consideremos cada termo de (5.6) separadamente. Se de-senvolvermos, teremos

r

• 2(-S2 +1)SkCkD4-2SkB4Ck£eDe +2Sk84S.CkDe +2«BJ c94Dk ,

í- - 4 - ^ - k rk4 " &k"4"erke

Convenientemente reagruparemos estes t e m o s obtendo as ; sim os seguintes: !

' • • * * >

Sk64 í"Se

h equação (5.6) tona a seguinte forma:

Ao roultiplicaímo» a equação (5.2) por -2m;., obterenos

(-2mg42D4-2B84SkDk-2m2l4)* « 0 . (5.6b)

4 7

-obtaremos, para B jí 0 ,

(1-8*1 [C4 - i E ^ D , • 1

" £ We

Se considerarmos as seguintes identidades

R - - i St - B4 • *B4 • P4 , (5.7a)

C4 " S W 4 + i SkC4Dk + I Sk rM , 15.7b)

-Dk " Ck " í SeCkDe + I S "k. ' ( 5-7 c )

então a equação (5.7) toma a seguinte forma:

BVD. }¥ • 0 , (5.8)

OU

H* • 0 , (5.8a) con

H • R+(1-B4)M+ekS4N*84BkDk . (5.8b)

Devido & impossibilidade de explicitarmos s^í na equa-ção (5.7), visto que aparece no sétimo termo o fator D4, iremos

utilizar o método Sakata-Taketani ^-'12). Segundo este método um operador E pode ser escrito da seguinte maneira:

H » H., • H2 , (5.9)

4 8

-onde

&! « rar+nio-r) , ts

H2 « (i-DHT+d-DBd-D . (5.9b)

EM (5.9 • • b) «apreça»»* T que signifies

r - fij . (5.9c)

n-nr . ni-r) « o ,

skr - ci-Dak ou r&k.«

(I-DII-D - (1-D . (5.9f)

Ao Multiplicarmos a equação (5.8a) por 1-7 e I obtere

«os, respectivamente, os seguintes resultados:

(1-DBT - H2T * 0 , C5.10)

TW ' Hjt « 0 . (5.10a)

Por (5.8) e (5.10a), obtenos

r{R+(i-Êj)M+eks4N*s4skDk}r? • r{(i-fiJ)M*R+eks4K+£4skDk}(i-r)«F« o.

(5.11) Eu virtude de

-49-e tosa do t-49-erc-49-eiro -49-e sétimo t -49-e m o s d-49-e CS. 11) ê cons-49-equ-49-ent-49-em-49-ent-49-e » » U , pois

e o sexto terão tos» a seguinte forma:

r & n - m - r(-i3

-»

* mB

+F

) n-n?

pois r comuta com *t, B4 e B4« í

Logo, a equação (5.11) torna-se i,

Os elementos não nulos de T e (1-7) são os seguintes:

9 (5.11b)

n - n

.

-

- i .

d - m • (•12,*13,c,$23,e,o,o,o,o,B4)t .

Como observamos, nas equações (2.4), as equações dife reneiais que envolvem as componentes de (1-D? não contêm a derivada com relação ao tempo. Também existe uma relação entre

Ã

s o

-l i - m • TV. Portanto, o desenvo-lvimento tempora-l de (1-DTê da-do através da-do desenvolvimento temporal de Tf e rtmipnw ai m » (5.10). Utilizemos a equação (5.2) para eliminarão» (1-1*)¥ d* (5.11a). Ten

(i-n<r» - 1 n - n

- I

Portanto, era virtude de (5.12a) a identidade (5.1Id) , fica

« 6kQkry ^ < 1n y kf ' cs

pois

r ok- Qkr .

Procaremos uma expressão para n-r)&k?k? na qual apa

reça o fator r? .

5 1

-t 63F3)7 9

< 62F2}98 i S3F3)8 9

<fi1F1>107 - ( 02F2)1O8»

* os elementos não nulos de Í1-**)3.F. são

[ ( i - r ) 8kFk)1 0 7

Consideremos 6 a matriz definida por

(5.13a) •o o o < oo o • o o © «

o o o :

:o o o

*

• por (5.11b) o segundo termo do segunâo membro de (5.12b), fica

5

*

i

Substituindo (5.13c) em (5.12b), obtemos:

-52-e a -52-equação (5.11a) tona a s-52-eguint-52-e forma

F{R • B4BkDk • (F4*B40JtDk) (- 1 e ^ • | e)]TT « 0 C5.14)

Os elementos não nulos de _sío

CrF4»610 '

logo TF4 pode ser definido pela matriz ©4, ou seja:

(5.14a) 0 0 0

_{o c o}

o

o

o

o

.Mo artigo de Silveira FFj é igual a F4,no entanto ,

aqui definida,corresponde â matriz F4 definida por ele.

Desenvolveremos os termos de (5.14);

I-ia

5 3

-- I 64Sk(VFk) BeQe * I

• I- 5 V kQk • I a4

I

4

k

k

eQe " i

A

k W I »4 W l

4

k

k

Estes r e s u l t a d o s nos permitem reescrever (5.14) do s e -g u i n t e modo:

- B4 • » s4 • e4 + s40kDk - I e4ekQk + | s4 e

- 5

4 W . ° e - £

4

)c

e0e * S V A

Por (5.11c) e (5.14b) podemos mostrar que

e4ry » 0 , (5.15a)

que coincide com o resultado obtido por Silveira. 0 décimo termo de (5.15) é nulo pois

Fk(1-D - 0 , (5.15b)

ou seja,

- i

4*k

k

e

e rv- - i e

^F

(i-r)£

c

f . o .

0 sexto termo de (5.15) fica:

-54-* e4BkFkr f * (5.15c!

E, finalmente, o ultimo termo ê nulo, pois

e « 0 . (5.15d>

Logo, a equação (5.15) após substituirmos estes resultados, te-mos

• » S4 - I

+ i 646kOk-3Bk)0ir'P - 0 . (5.16)

Obtemos assin una equação t i p o Schrodinger onde a fun-ção de* onda é f¥.

(221

Fazendo, no trabalho de Silveira — , A • 0 e, iden-tificando TA com ©4, estaremos estabelecenâo a igualdade entre

o Hamiltoniano (5.16) e o Baniltoniano (30) da ref. (22) ape-sar do 89 terno de (5.16) apresentar o fator F. , mas o produto

£.F. mantém-se o mesmo ao tomarmos F^ como foi definido por Silveira.

CAPÍTULO VI

ANÁLISE DA HAMILTONIANA

D* posse da Hamilton!ana, (5.16), obtida no capitulo anterior, cabe-nos analisar seus termos. Portanto, iremos desen-volver alguns ternos em busca de conteúdo físico.

5.1 - RELAÇÕES ENVOLVENDO O SPIN

De acordo com a definição de valor médio de um

opera-8ik

dor, dada em (1.2.6), a quantidade-— em (1.5.9), reescrita co mo:

i Sj * £jke

(8 251 é denominada operador de spin - ' — .

Se empregarmos a definição (6.1.1) podemos verificar a igualdade

S^ - Sj , (6.1.1a)

a partir da qual concluímos que os autovalores do operador de spin *io ± 1 e 0. As relações (1.1.2) a (1.1.4) que são obedecidas pelos operadores 0 mostram que a álgebra construída a par

-

-56-t i r dos 0 -56-te* 126 elemen-56-tos independen-56-tes ( ' l l ' 2 í > . Estas e l e

-y atentos s i o : Mvde 4. - ^^^^» 1 1 V v V a 1 *v 4 VvBp 1 2

e

•y$VSp 1 2 nu*VBp 2 4 tfi-l-lW

8uBvSpBa 6 V v 1 2

%Bv8pBa 1 2 V v 1 6

n M D P _ i * n %

n ru.n^B^ 4 número total 126

Ê possível mostrar que três elementos da álgebra comu-tam com todos os outros. Desce que certas condições de regulari-dade sejam satisfeitasr o que aliás ocorre no presente caso, o

número dos elementos que comutam com todos os outros fornece o número de representações irredutíveis inequivalentes. Já o nume-ro total de elementos da base ê igual ã soma dos quadrados das dimensões das representações ~ Mo caso que estamos considerando três sío as representações irredutíveis inequivalentes. Se n. , n2 e n3 representam as dimensões destas representações,

pode-mos escrever

n* + n\ * n\ * 126 , (6.1.1c)

• as dimensões valem 1, 5 e 10. A primeira dimensão 1 é trivi-al. Somente a segunda e terceira dimensões nos interessa—'. A

-57-«stanos usando no presente trabalho esta associada ao spin I e é constituída por matrizes 10x10.

provar que « B ^ + B . B , tijte) , (6.1.2) onde (6.1.3) Realmente, consideremos S

i

e

e

i * ^ i j ^ a n ' ^ W W j V

Em virtude de (1.1.3), on seja r\. » 2B.-1, chegamos a

8 c J-O e *> /fl A -*.a a i te i 41 »S +5 5* » "••% *™4 «• • i * " lo.l.*l

Ao*multiplicarmos ã esquerda por -n, teremos:

- -nn^ (BiB^+e^) . (6.1.4a)

Por (1.1.4) mostra-se facilmente que

T\X\. m TJ.T)^ • (6.1.4fa)

3 i e

Levando este resultado a (6.1.4a), finalmente, teremos

- BiB.4B.Bi £ possível nostrar que

S? - \ (1-nr^) - ^ (i-iiiH.) r (6.1.5)

n. - nd-2S^) , (6.1.5a)

^ - ^ l • (6.1.5b)

-5»-6 . 2 - ANÁLISE DOS TERNOS DE K

O quinto tenso da equação (5.16) vale

li — B ) •S O — S ) j (6 2 1) Se utilizamos.(6.1.2) e (6.1.5b) es (6.2.1), obt< " 5 ¥ k ¥ eQe = " I B4l-nC8jSi+8iSj)UrBjna1-»1l -(6.2.1a) Observemos que ou nelhor, ( 3e "Be) 2 " lSm^tr^e] j 2~SjSi< 3 j " B j ) í 3i " 3 Bi) ' (6.2.1b)

Substituindo (6.2.1b) em (6.2.1a), teremos:

-60-Vamos mostrar que o fator -nS^S.-S.0.. pode to da seguinte maneira:

(1*n) Í S ^ Ô B ) 16.2

Por (6.1.5c), temos

SiSj " &jcl*i&j**jB1

e substituindo (6.1.5b), ficamos cora

SiSj em virtude de n Sk " 1 t^-^jc* » (6.2.2b) obtestos U nk S.&. » [ —w— )(B4B^-S,S4)-BaS1 • (6.2.2c)

Multiplicando (6.2.2c) por -n# depois somando v »ubtra

-«1-ireaos, finalawnte, chegar i identidade (6.2.2a),ou seja,

- I Se substituirmos (6.2.2a) en (6.2.2) . H a l (3 - B J2 } (6.2.3) 4m 6 6 - -S S4(Tn)iCi8j-BjBi)Oj-Bj)(3i-Bi) • I B4n[SeOe-»e)]2 " l i ô4í 1 + T i ) <V3 Be) 2 (6.2.3a) " 275 S4i 1 + n ) (VBe) 2 (6.2.3b)

-62-- B ^ H * . (6.2.3c)

», separadamente, o segundo termo do segundo membro de (6.2.3c) e procuremos dar-lhe uma nova forma, ou sejas

Por (2.1) teaios que

logo, a identidade (6.2.4) fica:

- 7 * 4 " • n l ^ V i j • ( 6 ; 2-4 a )

Assim, encontramos o termo

que é uma interação do spin Sk com o campo de Yang-Mills « ^ ,

1& tar «cio nio depend* da aassa.

Os outros tarsos da Baailtoniana (5.16)

m Urt:«rpr«t«çio daA» por Silveira, ou «eja: os ültiaos quatro tar •ao d« origaB nio linaar a depandaa da 4^, ^ » B ^ a B^.

APÊNDICE A

UGRAH6IAN0 DE OKUBO-TOSA

£ nosso objetivo chegar a Lagrangiana de OkuboTosa — ' para os canpos de YangMills e evidenciar as diferen -ças que nos levara» a encontrar o Lagrangiano (4.17). Coa esta finalidade apresentaremos,detalhadamente, a parte II do artigo de Okubo-Tosa. Para melhor comparação nos restringiremos ao grupo SU(2); utilizaremos os mesmos indices e letras dos campos do ca-pítulo quatro.

A.l - YANG-rtlLLS X KEMMER

A Lagrangiana de Yang-Mills com massa é dada por

onde a métrica de Lorentz é tomada como

HQQ » - n ^ » "*n22 * "n33 * 1 ' (A.T.2)

-65-Os índices latinos em (A.1.1) referem-se à simetria in terna con a álgebra de Lie

» i ci j ktk , (A. 1.3)

é o coeficiente de estrutura total para i,j,k » 1,2,3, onde

mente antissimétricô. Ao tomarmos •* e B* como variáveis independentes, a Lagrangiana (A.1.1) reproduz as seguintes égua -cões de movimento:

Okubo e Tosa definiram o vetor

/ ! > B B B B )

para chegar à Lagrangiana com termo cúbico (o índice superior t representa o transposto).

Comparando as equações (2.1), (2.2) com (A.1.4), (A. 1.4a) vemos que elas apresentam características diferentes visto que o fator m em (A. 1.4a) muda a dimensão do campo B . Além disso o vetor T em (A. 1.5) difere de (2.3), contudo podemos obter uma ma triz constante tal que o produto por (A. 1.5) tenha como resulta-do (2.3). Apesar disso, não conseguimos transformar o termo de interação cúbica da Lagrangiana (4.17) no termo similar encontra do por Okubo.

Procuremos escrever as equações (A.1.4) e (ft.1.4a) na

f o r * a ti » .»

-66-coo ¥a dado por (A. 1.5) e T'a a definir.

Como no Capitulo 2, desenvolveremos (A. 1.4) e (A. 1.4a), levando em conta (A. 1.5) e obtenos

31B2 >21 * ÍA.1.7) >01 + Observemos que: 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 \ 0 0 0 0 1 0 pOvJ 1 0 0

o

o

-67-1 I 1 o - i o : 1 0 0 ' p o o i * m t i » 4 :o o 1 : 0 1 0 . - 1 o o : : o o o : » « i » 4 » 1 • 1 * i 0 : o : 1 _83» 3»1 (A.1.9) -1

o

o

o o

o

o

o

o

_B

íV

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

as matrizes 6 satisfazem ã seguinte relação:

Se levarmos em conta (A. 1.7), podemos definir V*- como:

6 S -k V 0v (A. 1.13) b n como a matriz 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 m1 O O O m» O O O ma .1.14) D e s t a maneira chegaremos à e x p r e s s ã o ( 7 . 1 . 6 ) , i s t o é . ^-;-/)?1 = r1 , ou (A.1.15)

A.2 -

r

A fim de chegarmos a Lagrangiana do artigo de Okubo , definiremos y0 pela seguinte relação:

g e rabcceaYbYc (A.2.1)

A matriz C é definida por

-69-*m obedece is relações

c - c* - cr

abc também é totalmente antissimetrica nos indices , com a, b, c, e variando de 1 a 10.

Observemos que neste caso os coeficientes (C)fta estão

fixados» a priori, pois ao efetuarmos o produto

onde ¥ ê definido como

(A.2.5)

(A.2.6)

obteremos, devido a (A.2.4), o termo cúbico que procuramos a me-nos do fator (3!)"1.

A matriz C é dada por (A.2.2) ou, detalhadamente:

-1 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0

o

o

o

o

o

Resta-nos, portanto, determinar r a b c- 0 procedimento é

similar ao que foi feito no capitulo quatro com uma simplicidade • mais, pois os coeficientes (C) são conhecidos. Em virtude disto, evitaremos pormenores para e > 1.

-70-Sc fizerraos e * 1 era (A.2.1), ter

T 1 gt rabcc1aTbTc

s por (A. 1.13), saberaos que

Deveaos ter

^ * i j k ^ . (A.2.8)

MOS que;

En virtude da definição dada para f era (A.1.5),

sabe-B2

e por (A.2.7), C ja é diferente de zero para a • 1, cora C..---1.

Portanto, a identidade (A.2.8) é verificada se:

b - 8 , c - 9

e (A.2.9)

ri89 * 1 '

De agora em diante vamos apenas indicar os valores no» méricos.

Se e • 2 então a passa a ser igual a 2. Existe ape -nas C2 2 diferente de zero e seu valor ê -1.

-71-b « 9 , c « 7 (A.2.10) b * 7 , ' c « 8 (A.2.11) r378 " ' • • • • • 4 - * » « 4 e C.- » 1 44 Logo, b « 10 , c « 7 (A.2.12) F41O7 " -1 • Portanto; b - 10 , c - 8 ft.2.13) r5108" -1 •

-72-b » 10 , c » 9

IX.2.14)

H o caso d e e « 7, tereaos a « 7 e c -7 « 1 ;

conseqüen-te.

Devido a (A.2.9 a 11) e pela antissimetricidade de , teremos, r7410 " "r297 * "r783 * "1 ' CA.2.15) Logo

^

y . C.q.d.

-73-Para e » 9, terenos ft * 9 • eOg « 1, consequentemente.

Tew>s que F918 " r972 ' *r9610 " 1 ' IA.2.17) Logo, j Bk j k 23B2 + B1*31 ^ c.g.d.

finalmente, se e for igual a 10, teremos,

e • 10 — P ã m 10 e c1 Q 1 0 • -1 ,

Tenos que,

F1O74 " ri085 * ri096

-74-3yB*v c.q.d.

Os coeficientes r_. assumem somente o valor *1 para as permutacôes pares de (a,b,c) « (1,8,3)* (2,9,7); (3,7,8) ;

(4,7,10), (5,8,10); (6,9,10), e o valor -1 para permutacôes pares e valor zero para repetições.

A. 3 - LAGRANGIANA

No parágrafo anterior determinamos r . , logo podemos escrever a equação (A.1.15) com a ajuda de (A.2.1) na seguinte forma

2

Podemos então definir a seguinte Lagrangiana:

L

- 1

?

í

[

%>„*»-<">-*l ' TT

Devido a (A.2.6),

1 * l < V »

-

> .

. " TF

Finalmente, em virtude de (7.2.4), teremos

-75

-qua i a Lagrangiana â« Okubo-Tosa para os caapos da Yang--Mills no SO (2).

-76-BIBLI06RAFIA

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Tese apresentada ao Centro Brasileiro de pesquisas Físicas do Conselho Nacional de Desenvolvimento Ci entífico e Tecnológico, fazendo parte da Banca Exa minadora os seguintes professores:

Adel da Silveira - Presidente

Carlos Mareio do Amaral

Jayme Tiornno