Assumindo uma gota estacionária de raio r e com taxa de crescimento dr/dt.

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- Crescimento por Condensação

Anteriormente foi mostrado que uma pequena solução de gotículas tem que exceder o valor crítico R* e S*para crescer e se tornar uma gota de nuvem. Sendo que antes e depois da gotícula atingir o tamanho critico, ela cresceria por difusão das moléculas de vapor água para a superfície. Agora vamos estudar a taxa de crescimento por difusão de uma simples gota e depois para uma população onde elas têm que competir pela umidade disponível.

Assumindo uma gota estacionária de raio r e com taxa de crescimento dr/dt.

O crescimento desta gotícula será a partir da difusão do vapor d’água do ambiente, onde a temperatura da gota é Tr, a densidade de vapor d’água na superfície da gota é ρvr, a temperatura do ambiente é T∞ e a densidade de vapor d’água do ambiente é ρv∞. Finalmente, assumimos que não existe interação entre as gotículas, ou seja, elas estão isoladas.

Aplicando a lei de difusão ou lei Fick, temos:

dr d D F v w ρ =

onde D é o coeficiente de difusão do vapor d’água no ar.

Analisando o fluxo de massa ou a taxa de transporte de massa através da superfície esférica, temos:

dt dm c cte F r T AreaxFluxo T w w w = = = = = * 4π 2

sendo que a qualquer raio R distante da gota, o fluxo de massa através das bordas é constante e isotrópico. Porém a taxa de crescimento da gotícula, dr/dt, não é constante.

* 4 2 c dR d D r dt dm _v = = π ρ

∫

∫

∞ = ∞ r r v R dR c d D vr 2 * 4 ρ ρ

ρ

π

=> = − ∞ r c D( _{v vr}) * 4

π

ρ

ρ

) ( 4 * rD v vr c =

π

ρ

_∞−

ρ

)

(

4

rD

_{v vr}

dt

dm

ρ

ρ

π

−

=

_∞ (1)

esta é a equação de crescimento por difusão de vapor para uma gota isolada embebida em um ambiente com vapor d’água.

Ela expressão mostra que uma gota irá crescer se

ρ

_v∞ >

ρ

_vre irá evaporar se vr

v

ρ

ρ

_∞ < . Lembrando que

ρ

v_∞é determinado pelas condições do ambiente e

ρ

vré dependente do tamanho, da composição química e da temperatura da gotícula.

Por outro lado, temos que a temperatura da gotícula não é a igual a do ambiente, logo se analisarmos a taxa de transferência de calor entre a gotícula e o ambiente podemos calcular a variação da massa no tempo, ou seja, dm(T)/dt.

Portanto, temos que a taxa de liberação de calor latente para este processo de condensação é dada por:

dt dm L

dq= _v (2)

assumindo que o calor é dissipado através da condução, temos que o calor é

dR dT K R

dq=−4

π

2 (3)

onde K é a condutividade términca. Logo a partir das equações 2 e 3 podemos encontrar a taxa de crescimento da massa baseado no gradiente de temperatura entre a gota e o ambiente. * 1 4 2 c dt dm L dQ dR dT K R = = _v = −

π

dR dT K R c1*=−4

π

2

∫

∫

∞− = ∞ r T Tr R dR c RKdT 1* ₂ 4

π

r c r c T T K( _r ) 1*(1 1) 1* 4 − = ∞ = − _∞

π

v r L r T T K dt dm ₌ 4π ( − _∞)

(4) Eq. de Condução de Calor

Utilizando as equações de Clausius Clapeyron e Kohler e as equações de Difusão e Condução podemos resolver a equação de crescrimento (dr/dt):

























−

=

























−

=

=

∞ ∞ ∞ ∞ r v v s r v v s sr r r

T

T

R

L

e

T

T

R

L

T

e

e

T

e

(

)

(

)

exp

1

1

exp

1

1

₍₅₎ (eq. CC)

3

1

r

b

r

a

e

e

s r

=

+

−

(6) (eq. Kohler)

Iniciando com a eq. de difusão temos:

) ( 4 rD _{v vr} dt dm _{= π ρ −ρ} ∞ dt dr r dt dr r r dt d dt dm r m l l l 2 2 3 3 4 3 3 4 3 4 3 4 πρ πρ ρ π ρ π = =       = = dt dr r rD( _{v vr}) 4 _l 2 4π ρ _∞ −ρ = πρ ) ( v vr l D dt dr r

ρ

ρ

ρ

− = _∞       − = = ∞ ∞ r r v l T e T e R D dt dr r RT e

ρ

ρ

) ( 1 ~ 1 , min r v l r e e T R D dt dr r T T do assu − = _∞ ∞ ∞

ρ

(7)

similarmente para a equação de condução temos:

) ( − _∞ = T T L K dt dr r _r v l

ρ

(8)

Lembrando que a Saturação ambiente é: ∞ ∞ = s e e S

Utilizando a eq. De difusão (7), temos:

) ( ) ( ) ( r s v l r s s v l r v l e Se T R D dt dr r e e e e T R D dt dr r e e T R D dt dr r − = − = − = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

ρ

ρ

ρ

Porém queremos expressar esta equação em termos de

∞ s sr s sr e e ou e e ∞ ∞ ∞ ∞ _{= − = −} s s r r s v l e e e S e Se D T R dt dr r

ρ

( ) ( ) Mas       − = − = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ dt dr r De T R S e e e e Xe dt dr r De T R S e e s v l sr sr s r sr s v l s r

ρ

ρ

      − = ∞ ∞ ∞ dt dr r De T R S e e e e s v l r sr s sr

ρ

(8)

(

)













−

≅

























₋

=

























−

=

_∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

T

T

T

R

L

e

T

T

T

T

R

L

e

T

T

R

L

e

e

_r v v s r r v v s r v v s sr

exp

exp

2

1

1

exp

Assumindo que ex =1+x, para x<<1. temos que: ₂ ( − _∞)<<1 ∞ T T T R L r v v Então: 1 ₂ ( _∞) ∞ ∞ − + ≈ T T T R L e e r v v s sr (9)

pela eq. De Condução de Calor (eq. 4) temos

dt dr r K L T T v l r

ρ

= − _∞ Então: dt dr r T KR L e e v l v s sr 2 2 1 ∞ ∞ + ≅

ρ

Da eq. 8 temos:       − = ∞ ∞ ∞ dt dr r De T R S e e e e s v l r sr s sr

ρ

Logo: ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = = + =       − s v l v l v v l v s v l r sr De T R c T KR L c dt dr r T KR L dt dr r De T R S e e

ρ

ρ

ρ

ρ

2 2 2 1 2 2 1 dt dr r c dt dr r c S e e r sr 1 2 =1+       −

definindo Fk=c1 como o termo termodinâmico que está associado a condução de calor e

Fd=c2 com o termo de difusão do vapor.

sr r k d sr r e e F F e e S dt dr r + − = (10)

note que não existe crescimento da gota até que exista saturação, sr

r

e e

, se a temperatura

do ambiente for fixa.

Se =1 sr r e e , temos d k F F S dt dr r + − = 1

Integrando de um tempo inicial = 0 a um determinado tempo t, temos que a gotícula saira de um raio r0 até um raio r(t)

∫

∫

= ₊− t d k t r r dt F F S rdr 0 ) ( 0 1 t F F S r t r d k       + − + = 2 1 ) ( ₀2 2 t F F S r t r d k       + − + = 2 1 ) ( ₀2 (12)

A eq 12, descreve a curva parabólica de crescimento por condensação. Para pequenos intervalos de tempo, a taxa de crescimento é rápido (tabela abaixo)

Tabela – Adaptação de Mason (1971). Tempo gasto em segundos para uma gotícula composta de NaCl crescer inicialmente de 0,75 microns. Cada coluna representa CCN com massas distintas.

Raio (µm) 10-14 g 10-13 g 10-12 g 1 2,4 0,15 0,013 2 130 7 0,61 4 1000 320 62 10 2700 1800 870 20 8500 7400 5900 30 17500 16000 14500 50 44500 43500 41500

Por outro lado, podemos também utilizar essa equação para calcular a taxa de evaporação (S < 1 e logo dr/dt < 0) de uma gotícula. Este processo é rápido para gotas que tem CCNs grandes inicialmente. Basicamente um CCN grande necessita de uma menor Supersaturação para crescer. Neste sentido podemos modificar a eq (12) para levar em conta o efeito de curvatura e da solução:

sr s k d e e F F r b r a S dt dr r + + − − = ( 1) 3 (13)

quando as gotas são pequenas (r < 10 microns) os efeitos de ₃ r

b r a

+ são importantes,

mas para gotas maiores (S-1) é dominante.

Nas 4 figuras abaixo é possivel observar o efeito das partículas pequenas, ou seja, dr/dt alto, o que implica em um crescimento rápido. Porém a medida que elas ficam

maiores, a mesma quantidade de vapor não é suficiente para aumentar a gotícula na mesma taxa. Por outro lado, é também importante mostrar que na presença de Super-saturações altas o crescimento é bem maior também (Figuras b,d)

(a) (b)

Finalmente, podemos avaliar como a saturação varia a medida que as gotículas começam a crescer de tamanho. A saturação pode ser descrita por um termo de produção e outro de remoção. O termo de produção está associado ao processo de levantamento adiabático e consequentemente à velocidade vertical. Já o termo de remoção esta associado à remoção de vapor, ou seja, a condensação das gotículas de nuvens.

Dessa maneira, temos:

C P dt dS _{= −}

, onde P é a produção por levantamento e C a redução por condensação.

Ou dt d Q dt dz Q dt dS

χ

2 1 − =

Sendo que o 1º termo é o aumento da saturação devido ao esfriamento adiabático e o segundo termo é a diminuição da saturação devido à condensação d’água. χ é o conteúdo de água líquida total.

Para calcular estes termos assumimos que:

• Existe uma velocidade vertical constante (u)

• Não ocorre mistura da parcela de ar com o ar ambiente, ou seja, existe uma distribuição fixa de núcleos de condensação (NCN) e estes estão associados com uma gotícula e um NCN.

1º Passo:

Não há condensação, logo , =0 dt d

χ

dt dz Q dt dS 1 = ⇒ (1) , lembrando que s e e S =       ₋ = = ⇒ dt de e dt de e e dt e e d dt dS _s s s s 2 1 ) / ( (1) Porém

ε

ε

e wp p e w= s ⇒ = Portanto (1a)       =

ε

wp dt d dt de

, como não há condensação w = constante

dt dz gRT p w dt dz g w dt dz dz dp w dz dz dt dp w dt dp w dt de dz g _RTp dp dz dz x ε ρ ε ε ε ε ρ ρ −   →  −   →  =  →  = ⇒ =− = dt dz RT g e dt de ₌₋ ⇒ Assim 1a torna-se dt dz RT eg e dt de e_s =− _s ⇒ (1b) dt dz dz dT dT de dz dz dt dT dT de dt dT dT de dT dT dt de dt de x_dzdz _{s s} s s dT dT x s → = → = ⇒ Sendo que p d v s v s c g dz dT T R e L Clapeyron Clausius dT de − = Γ = = → . ₂

dt dz c g T R e L dt de p v s v s 2 − =

Portanto temos que 2a

dt dz c g T R e L e dt de e p v s v s 2 − = Inserindo 1a e 1b temos: dt dz c g T R L RT g e ee dt dz c g T R e L e dt dz RT eg e e dt S d p v v s s p v s v s s         + − =         + − = 1_{2 2 2 2} dt dz R c T R L T Sg dt dz RT g c g T R L S dt dz c g T R L RT g e e dt S d p v v p v v e e S p v v s s         − =         −   →          + − = ₂ = ₂ 1 1 Mas ε=R/Rv dt dz c T L RT Sg dt dz R c RT L T Sg dt S d p v p v         − =         − =

ε

1 1

ε

1 1

Sendo assim, temos que:

        − = 1 1 p v Tc L RT Sg Q

ε

2º Passo:

Temos somente condensação, dt dw Q dt d Q dt S d 2 2 =− − =

χ

(2) cte P dt de e dt de e e e e dt d _s s s s =       ₋ =       , 1 2 Sendo que dt dw p wp dt d dt de

ε

ε

=     = e dt dw dw dT dT de dw dw dT dT dt de dt de_{s = s = s} C C dT de_s . =  (2a)

Lembrando que da 1º e da 2º lei da termodinâmica em um processo isobárico temos:

p v dp p v c L dw dT dp dT c dw L dQ=− = −

α

 →, =0 =−

Então temos que:

dt dw T R c e L dt dw c L T R e L dt de v p s v p v v s v s 2 2 2  =−      ₋ =  (2b) Logo, inserindo 2a e 2b em 2

dt dw S p Tc L S e RT dt dw S p Tc L e e e RT dt dw S p Tc L e e e RT dt dS dt dw S p Tc L e RT dt dw e e p Tc L e RT dt dw P e Tc L RT e dt dS dt dw P Tc eL RT e dt dw P R Tc R eL RT e dt dS dt dw c T R eL RT e dt dw c T R L e p e dt dS dt dw c T R e L e dt dw p e e dt de e dt de e e e e dt d dt dS p v p v s p v s p v s e e S s p v s p v s p v s R R p v v s R P T p v v s RT p p v v s p v s v s s s s s s s v         + =         + =         + =         +   →          + =         + =         +   →          +   →          +   →          + =         + =       ₋ =       = = = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1

ε

ε

ρ

ε

ε

ρ

ε

ε

ρ

ε

ε

ρ

ε

ε

ρ

ε

ε

ρ

ρε

ε

ρ

ρ

ε

ρ

ε

ρ

ε

ε

ε ρ ρ dt dw p Tc L e RT S dt dS p v         + = →

ε

2

ε

ρ

Portanto, temos que Q2

        + = p Tc L e RT S Q p v 2 2

ε

ε

ρ

Sendo assim a taxa de variação da saturação pode ser expresso como:

dt d p Tc L e RT S dt dz Tc L RT Sg dt d Q dt dz Q dt dS p v p v

ε

χ

ε

ρ

ε

χ

        + −         − = − = 1 2 1 2

Então, utilizando a equação de crescimento da gotícula com o efeito da saturação, curvatura e soluto, ou seja,

d k F F r b r a S dt dr r + + − − = ( 1) 3

e a equação da variação da saturação, podemos avaliar a evolução do espectro de gotículas, a partir da definição de uma distribuição de NCN e uma velocidade vertical. Por exemplo, assumindo uma velocidade vertical (dz/dt) de 15 cm/s e uma concentração de NCN moderado na base da nuvem, Mordy (1959) apresentou os seguintes resultados, Figura 1.

Figura 1. Crescimento de gotículas de nuvens (curva contínua preta) para diferentes massas e variação da super-saturação acima da base da nuvem (Adaptado de Mordy, 1959) (linha tracejada em vermelho)

Destas simulações os seguintes resultados podem ser concluidos:

• As gotículas pequenas se movem com o ar a uma velocidade de 15 cm/s, porém as maiores não;

• Todas as gotículas começam a crescer a medida que elas ascendem na base da nuvem, umas com maior eficiência do que as outras.

• A super-saturação (SS) aumenta e tem uma máximo de 0,5% aproximadamente a 10 m acima da base da nuvem. Basicamente, o termo de produção (Q1xdz/dt) proporciona um aumento da saturação, entretanto várias gotículas começam a se formar (condensação) até um ponto que o termo de produção não vence a quantidade de vapor condensada. Adicionalmente, observa-se um segundo máximo da S entre 50 e 70 m acima da nuvem. Basicamente, as gotículas pequenas (<10-17 g ou < 10-1µm) não atingem a super-saturação critica e começam a evaporar, porém não o suficiente para aumentar muito.

• As gotículas maiores são ativadas e crescem rapidamente durante a região com alta SS. A medida que elas crescem em tamanho, os seus tamanhos ficam próximos devido a aproximação parabólica da equação de crescimento.

Em outro exemplo, temos uma simulação com 2 velocidades verticais, 0,5 e 2 m/s. Sendo que a população de NCN de cloreto de sódio é representado pela equação abaixo:

7 , 0 3 650 ] [cm S NCN − = , onde S é a saturação.

Figura 2. Caracteristicas do crescimento de gotículas de nuvens em uma nuvem com corrente ascendente de 0,5 m/s (azul) e 2 m/s (vermelho) a partir da base da nuvem, ou seja, quando a saturação é 1,0.

• A saturação é maior para uma parcela de ar com velocidade vertical maior. Basicamente com o aumento da velocidade vertical maior é a produção de vapor. O nível de SS máxima também é mais alto, uma vez que mais partículas pequenas serão ativadas, o que irá proporcionar uma equiparação com o termo de remoção por condensação.

• A concentração de gotículas ativas é proporcional à SS, ou seja, quanto maior a SS maior o número de particulas menores a ser ativadas. Sendo que o máximo coincide com o máximo de super-saturação. Uma vez ativadas, a concentração não varia.

• A parcela de ar com menor velocidade vertical apresenta gotículas com maior raio, uma vez que para SS baixas, somente os NCN grandes são ativados, e o mesmo raciocínio vale para o conteúdo de água liquida