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- Crescimento por Condensação
Anteriormente foi mostrado que uma pequena solução de gotículas tem que exceder o valor crítico R* e S*para crescer e se tornar uma gota de nuvem. Sendo que antes e depois da gotícula atingir o tamanho critico, ela cresceria por difusão das moléculas de vapor água para a superfície. Agora vamos estudar a taxa de crescimento por difusão de uma simples gota e depois para uma população onde elas têm que competir pela umidade disponível.
Assumindo uma gota estacionária de raio r e com taxa de crescimento dr/dt.
O crescimento desta gotícula será a partir da difusão do vapor d’água do ambiente, onde a temperatura da gota é Tr, a densidade de vapor d’água na superfície da gota é ρvr, a temperatura do ambiente é T∞ e a densidade de vapor d’água do ambiente é ρv∞. Finalmente, assumimos que não existe interação entre as gotículas, ou seja, elas estão isoladas.
Aplicando a lei de difusão ou lei Fick, temos:
dr d D F v w ρ =
onde D é o coeficiente de difusão do vapor d’água no ar.
Analisando o fluxo de massa ou a taxa de transporte de massa através da superfície esférica, temos:
dt dm c cte F r T AreaxFluxo T w w w = = = = = * 4π 2
sendo que a qualquer raio R distante da gota, o fluxo de massa através das bordas é constante e isotrópico. Porém a taxa de crescimento da gotícula, dr/dt, não é constante.
* 4 2 c dR d D r dt dm v = = π ρ
∫
∫
∞ = ∞ r r v R dR c d D vr 2 * 4 ρ ρρ
π
=> = − ∞ r c D( v vr) * 4π
ρ
ρ
) ( 4 * rD v vr c =π
ρ
∞−ρ
)
(
4
rD
v vrdt
dm
ρ
ρ
π
−
=
∞ (1)esta é a equação de crescimento por difusão de vapor para uma gota isolada embebida em um ambiente com vapor d’água.
Ela expressão mostra que uma gota irá crescer se
ρ
v∞ >ρ
vre irá evaporar se vrv
ρ
ρ
∞ < . Lembrando queρ
v∞é determinado pelas condições do ambiente eρ
vré dependente do tamanho, da composição química e da temperatura da gotícula.Por outro lado, temos que a temperatura da gotícula não é a igual a do ambiente, logo se analisarmos a taxa de transferência de calor entre a gotícula e o ambiente podemos calcular a variação da massa no tempo, ou seja, dm(T)/dt.
Portanto, temos que a taxa de liberação de calor latente para este processo de condensação é dada por:
dt dm L
dq= v (2)
assumindo que o calor é dissipado através da condução, temos que o calor é
dR dT K R
dq=−4
π
2 (3)onde K é a condutividade términca. Logo a partir das equações 2 e 3 podemos encontrar a taxa de crescimento da massa baseado no gradiente de temperatura entre a gota e o ambiente. * 1 4 2 c dt dm L dQ dR dT K R = = v = −
π
dR dT K R c1*=−4π
2∫
∫
∞− = ∞ r T Tr R dR c RKdT 1* 2 4π
r c r c T T K( r ) 1*(1 1) 1* 4 − = ∞ = − ∞π
v r L r T T K dt dm = 4π ( − ∞)(4) Eq. de Condução de Calor
Utilizando as equações de Clausius Clapeyron e Kohler e as equações de Difusão e Condução podemos resolver a equação de crescrimento (dr/dt):
−
=
−
=
=
∞ ∞ ∞ ∞ r v v s r v v s sr r rT
T
R
L
e
T
T
R
L
T
e
e
T
e
(
)
(
)
exp
1
1
exp
1
1
(5) (eq. CC)3
1
r
b
r
a
e
e
s r=
+
−
(6) (eq. Kohler)Iniciando com a eq. de difusão temos:
) ( 4 rD v vr dt dm = π ρ −ρ ∞ dt dr r dt dr r r dt d dt dm r m l l l 2 2 3 3 4 3 3 4 3 4 3 4 πρ πρ ρ π ρ π = = = = dt dr r rD( v vr) 4 l 2 4π ρ ∞ −ρ = πρ ) ( v vr l D dt dr r
ρ
ρ
ρ
− = ∞ − = = ∞ ∞ r r v l T e T e R D dt dr r RT eρ
ρ
) ( 1 ~ 1 , min r v l r e e T R D dt dr r T T do assu − = ∞ ∞ ∞ρ
(7)similarmente para a equação de condução temos:
) ( − ∞ = T T L K dt dr r r v l
ρ
(8)Lembrando que a Saturação ambiente é: ∞ ∞ = s e e S
Utilizando a eq. De difusão (7), temos:
) ( ) ( ) ( r s v l r s s v l r v l e Se T R D dt dr r e e e e T R D dt dr r e e T R D dt dr r − = − = − = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
ρ
ρ
ρ
Porém queremos expressar esta equação em termos de
∞ s sr s sr e e ou e e ∞ ∞ ∞ ∞ = − = − s s r r s v l e e e S e Se D T R dt dr r
ρ
( ) ( ) Mas − = − = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ dt dr r De T R S e e e e Xe dt dr r De T R S e e s v l sr sr s r sr s v l s rρ
ρ
− = ∞ ∞ ∞ dt dr r De T R S e e e e s v l r sr s srρ
(8)(
)
−
≅
−
=
−
=
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞T
T
T
R
L
e
T
T
T
T
R
L
e
T
T
R
L
e
e
r v v s r r v v s r v v s srexp
exp
21
1
exp
Assumindo que ex =1+x, para x<<1. temos que: 2 ( − ∞)<<1 ∞ T T T R L r v v Então: 1 2 ( ∞) ∞ ∞ − + ≈ T T T R L e e r v v s sr (9)
pela eq. De Condução de Calor (eq. 4) temos
dt dr r K L T T v l r
ρ
= − ∞ Então: dt dr r T KR L e e v l v s sr 2 2 1 ∞ ∞ + ≅ρ
Da eq. 8 temos: − = ∞ ∞ ∞ dt dr r De T R S e e e e s v l r sr s srρ
Logo: ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = = + = − s v l v l v v l v s v l r sr De T R c T KR L c dt dr r T KR L dt dr r De T R S e eρ
ρ
ρ
ρ
2 2 2 1 2 2 1 dt dr r c dt dr r c S e e r sr 1 2 =1+ −definindo Fk=c1 como o termo termodinâmico que está associado a condução de calor e
Fd=c2 com o termo de difusão do vapor.
sr r k d sr r e e F F e e S dt dr r + − = (10)
note que não existe crescimento da gota até que exista saturação, sr
r
e e
, se a temperatura
do ambiente for fixa.
Se =1 sr r e e , temos d k F F S dt dr r + − = 1
Integrando de um tempo inicial = 0 a um determinado tempo t, temos que a gotícula saira de um raio r0 até um raio r(t)
∫
∫
= +− t d k t r r dt F F S rdr 0 ) ( 0 1 t F F S r t r d k + − + = 2 1 ) ( 02 2 t F F S r t r d k + − + = 2 1 ) ( 02 (12)A eq 12, descreve a curva parabólica de crescimento por condensação. Para pequenos intervalos de tempo, a taxa de crescimento é rápido (tabela abaixo)
Tabela – Adaptação de Mason (1971). Tempo gasto em segundos para uma gotícula composta de NaCl crescer inicialmente de 0,75 microns. Cada coluna representa CCN com massas distintas.
Raio (µm) 10-14 g 10-13 g 10-12 g 1 2,4 0,15 0,013 2 130 7 0,61 4 1000 320 62 10 2700 1800 870 20 8500 7400 5900 30 17500 16000 14500 50 44500 43500 41500
Por outro lado, podemos também utilizar essa equação para calcular a taxa de evaporação (S < 1 e logo dr/dt < 0) de uma gotícula. Este processo é rápido para gotas que tem CCNs grandes inicialmente. Basicamente um CCN grande necessita de uma menor Supersaturação para crescer. Neste sentido podemos modificar a eq (12) para levar em conta o efeito de curvatura e da solução:
sr s k d e e F F r b r a S dt dr r + + − − = ( 1) 3 (13)
quando as gotas são pequenas (r < 10 microns) os efeitos de 3 r
b r a
+ são importantes,
mas para gotas maiores (S-1) é dominante.
Nas 4 figuras abaixo é possivel observar o efeito das partículas pequenas, ou seja, dr/dt alto, o que implica em um crescimento rápido. Porém a medida que elas ficam
maiores, a mesma quantidade de vapor não é suficiente para aumentar a gotícula na mesma taxa. Por outro lado, é também importante mostrar que na presença de Super-saturações altas o crescimento é bem maior também (Figuras b,d)
(a) (b)
Finalmente, podemos avaliar como a saturação varia a medida que as gotículas começam a crescer de tamanho. A saturação pode ser descrita por um termo de produção e outro de remoção. O termo de produção está associado ao processo de levantamento adiabático e consequentemente à velocidade vertical. Já o termo de remoção esta associado à remoção de vapor, ou seja, a condensação das gotículas de nuvens.
Dessa maneira, temos:
C P dt dS = −
, onde P é a produção por levantamento e C a redução por condensação.
Ou dt d Q dt dz Q dt dS
χ
2 1 − =Sendo que o 1º termo é o aumento da saturação devido ao esfriamento adiabático e o segundo termo é a diminuição da saturação devido à condensação d’água. χ é o conteúdo de água líquida total.
Para calcular estes termos assumimos que:
• Existe uma velocidade vertical constante (u)
• Não ocorre mistura da parcela de ar com o ar ambiente, ou seja, existe uma distribuição fixa de núcleos de condensação (NCN) e estes estão associados com uma gotícula e um NCN.
1º Passo:
Não há condensação, logo , =0 dt d
χ
dt dz Q dt dS 1 = ⇒ (1) , lembrando que s e e S = − = = ⇒ dt de e dt de e e dt e e d dt dS s s s s 2 1 ) / ( (1) Porémε
ε
e wp p e w= s ⇒ = Portanto (1a) =ε
wp dt d dt de, como não há condensação w = constante
dt dz gRT p w dt dz g w dt dz dz dp w dz dz dt dp w dt dp w dt de dz g RTp dp dz dz x ε ρ ε ε ε ε ρ ρ − → − → = → = ⇒ =− = dt dz RT g e dt de =− ⇒ Assim 1a torna-se dt dz RT eg e dt de es =− s ⇒ (1b) dt dz dz dT dT de dz dz dt dT dT de dt dT dT de dT dT dt de dt de xdzdz s s s s dT dT x s → = → = ⇒ Sendo que p d v s v s c g dz dT T R e L Clapeyron Clausius dT de − = Γ = = → . 2
dt dz c g T R e L dt de p v s v s 2 − =
Portanto temos que 2a
dt dz c g T R e L e dt de e p v s v s 2 − = Inserindo 1a e 1b temos: dt dz c g T R L RT g e ee dt dz c g T R e L e dt dz RT eg e e dt S d p v v s s p v s v s s + − = + − = 12 2 2 2 dt dz R c T R L T Sg dt dz RT g c g T R L S dt dz c g T R L RT g e e dt S d p v v p v v e e S p v v s s − = − → + − = 2 = 2 1 1 Mas ε=R/Rv dt dz c T L RT Sg dt dz R c RT L T Sg dt S d p v p v − = − =
ε
1 1ε
1 1Sendo assim, temos que:
− = 1 1 p v Tc L RT Sg Q
ε
2º Passo:Temos somente condensação, dt dw Q dt d Q dt S d 2 2 =− − =
χ
(2) cte P dt de e dt de e e e e dt d s s s s = − = , 1 2 Sendo que dt dw p wp dt d dt deε
ε
= = e dt dw dw dT dT de dw dw dT dT dt de dt des = s = s C C dT des . = (2a)Lembrando que da 1º e da 2º lei da termodinâmica em um processo isobárico temos:
p v dp p v c L dw dT dp dT c dw L dQ=− = −
α
→, =0 =−Então temos que:
dt dw T R c e L dt dw c L T R e L dt de v p s v p v v s v s 2 2 2 =− − = (2b) Logo, inserindo 2a e 2b em 2
dt dw S p Tc L S e RT dt dw S p Tc L e e e RT dt dw S p Tc L e e e RT dt dS dt dw S p Tc L e RT dt dw e e p Tc L e RT dt dw P e Tc L RT e dt dS dt dw P Tc eL RT e dt dw P R Tc R eL RT e dt dS dt dw c T R eL RT e dt dw c T R L e p e dt dS dt dw c T R e L e dt dw p e e dt de e dt de e e e e dt d dt dS p v p v s p v s p v s e e S s p v s p v s p v s R R p v v s R P T p v v s RT p p v v s p v s v s s s s s s s v + = + = + = + → + = + = + → + → + → + = + = − = = = = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
ε
ε
ρ
ε
ε
ρ
ε
ε
ρ
ε
ε
ρ
ε
ε
ρ
ε
ε
ρ
ρε
ε
ρ
ρ
ε
ρ
ε
ρ
ε
ε
ε ρ ρ dt dw p Tc L e RT S dt dS p v + = →ε
2ε
ρ
Portanto, temos que Q2
+ = p Tc L e RT S Q p v 2 2
ε
ε
ρ
Sendo assim a taxa de variação da saturação pode ser expresso como:
dt d p Tc L e RT S dt dz Tc L RT Sg dt d Q dt dz Q dt dS p v p v
ε
χ
ε
ρ
ε
χ
+ − − = − = 1 2 1 2Então, utilizando a equação de crescimento da gotícula com o efeito da saturação, curvatura e soluto, ou seja,
d k F F r b r a S dt dr r + + − − = ( 1) 3
e a equação da variação da saturação, podemos avaliar a evolução do espectro de gotículas, a partir da definição de uma distribuição de NCN e uma velocidade vertical. Por exemplo, assumindo uma velocidade vertical (dz/dt) de 15 cm/s e uma concentração de NCN moderado na base da nuvem, Mordy (1959) apresentou os seguintes resultados, Figura 1.
Figura 1. Crescimento de gotículas de nuvens (curva contínua preta) para diferentes massas e variação da super-saturação acima da base da nuvem (Adaptado de Mordy, 1959) (linha tracejada em vermelho)
Destas simulações os seguintes resultados podem ser concluidos:
• As gotículas pequenas se movem com o ar a uma velocidade de 15 cm/s, porém as maiores não;
• Todas as gotículas começam a crescer a medida que elas ascendem na base da nuvem, umas com maior eficiência do que as outras.
• A super-saturação (SS) aumenta e tem uma máximo de 0,5% aproximadamente a 10 m acima da base da nuvem. Basicamente, o termo de produção (Q1xdz/dt) proporciona um aumento da saturação, entretanto várias gotículas começam a se formar (condensação) até um ponto que o termo de produção não vence a quantidade de vapor condensada. Adicionalmente, observa-se um segundo máximo da S entre 50 e 70 m acima da nuvem. Basicamente, as gotículas pequenas (<10-17 g ou < 10-1µm) não atingem a super-saturação critica e começam a evaporar, porém não o suficiente para aumentar muito.
• As gotículas maiores são ativadas e crescem rapidamente durante a região com alta SS. A medida que elas crescem em tamanho, os seus tamanhos ficam próximos devido a aproximação parabólica da equação de crescimento.
Em outro exemplo, temos uma simulação com 2 velocidades verticais, 0,5 e 2 m/s. Sendo que a população de NCN de cloreto de sódio é representado pela equação abaixo:
7 , 0 3 650 ] [cm S NCN − = , onde S é a saturação.
Figura 2. Caracteristicas do crescimento de gotículas de nuvens em uma nuvem com corrente ascendente de 0,5 m/s (azul) e 2 m/s (vermelho) a partir da base da nuvem, ou seja, quando a saturação é 1,0.
• A saturação é maior para uma parcela de ar com velocidade vertical maior. Basicamente com o aumento da velocidade vertical maior é a produção de vapor. O nível de SS máxima também é mais alto, uma vez que mais partículas pequenas serão ativadas, o que irá proporcionar uma equiparação com o termo de remoção por condensação.
• A concentração de gotículas ativas é proporcional à SS, ou seja, quanto maior a SS maior o número de particulas menores a ser ativadas. Sendo que o máximo coincide com o máximo de super-saturação. Uma vez ativadas, a concentração não varia.
• A parcela de ar com menor velocidade vertical apresenta gotículas com maior raio, uma vez que para SS baixas, somente os NCN grandes são ativados, e o mesmo raciocínio vale para o conteúdo de água liquida