x f (t) = x i + v x (t f t i ), ou ainda

(1)

Prof. Renato F. Jardim – 2020-2 Resumo:

Posição, deslocamento e velocidade como vetores • A posição 𝒓 de um ponto que tem

coordenada x é dada por

𝒓 = 𝒙 Ԧ𝒊

• O vetor deslocamento Δ de um

objeto se movendo ao longo do eixo x é



𝒓 = 𝒓

_𝒇

-

𝒓

_𝒊

= (x

_f

– x

_i

) Ԧ

𝒊

• A velocidade média (vetorial) de um objeto se movendo ao longo do eixo x é

𝒗

_m

=



_

𝒓

𝒕

=

(𝒙𝒇 − 𝒙𝒊) (𝒕𝒇 − 𝒕𝒊)

Ԧ𝒊

• É possível descrever um movimento através de uma equação ou função horária, genericamente falando, do tipo:

x

_f

(t) = x

_i

+ v

_x

Δt

x

_f

(t) = x

_i

+ v

_x

(t

_f

– t

_i

)

, ou ainda

x(t) = x

₀

+ v t

Onde x_f = x, x_i = x₀, t_i = 0 e t_f = t, com a velocidade do objeto sendo uma constante !

(2)

Prof. Renato F. Jardim – 2020-2 Conceitos: Propriedades adicionais de velocidade • Quando a velocidade de um objeto é

constante, seu gráfico de posição versus tempo é uma linha reta. O gráfico de velocidade versus tempo é uma linha horizontal.

• A velocidade instantânea de um objeto é sua velocidade em qualquer instante particular.

• A inclinação da curva x(t) de um objeto em um determinado instante é numericamente igual a componente x da velocidade v_x do objeto

naquele instante.

• A área sob a curva υ_x(t) do objeto durante um intervalo de tempo é a componente x do

deslocamento do objeto durante esse intervalo de tempo. tempo x t v = x/t tempo

(3)

Prof. Renato F. Jardim – 2020-2

Diz-se que um objeto está em movimento

uniforme se ele percorrer distâncias iguais em intervalos de tempo iguais, não importa quão pequenos esses intervalos de tempo possam ser. Ao desenharmos um gráfico de posição versus tempo para um movimento uniforme, o resultado é uma linha reta !

Mas o mundo não é assim tão Uniforme quanto parece e para avançar nesse conceito de não

uniformidade é necessário introduzir uma outra grandeza importante na descrição do

Movimento: a aceleração !!!

Resumo

x(t) t(s) Movimento Uniforme x(t) t(s) Movimento Não Uniforme

(4)

Ferramentas Quantitativas:

Propriedades Adicionais da Velocidade

• A componente x da velocidade instantânea de um objeto é a

derivada da coordenada x do objeto em relação ao tempo:

v

_x

=

lim



𝑡



0 

𝑥/



𝑡

v

_x

=

𝑑𝑥

(5)

5

Conceitos: Propriedades adicionais de velocidade

• Quando a velocidade de um objeto é constante, seu gráfico de posição versus tempo é uma linha reta; o gráfico de

velocidade versus tempo é uma linha horizontal.

• A velocidade instantânea de um objeto é sua velocidade em qualquer instante particular.

• A inclinação da curva x(t) de um objeto em um determinado instante é numericamente igual a componente x da velocidade do objeto naquele instante.

• A área sob a curva υ_x(t) do objeto durante um intervalo de tempo t é a componente x do deslocamento do objeto

durante esse intervalo de tempo.

Resumo

posição versus tempo

tempo (h)

velocidade vetorial versus tempo

velocidade escalar versus tempo tempo (h)

(6)

O que depende da escolha da

origem?

• Velocidade média

• Posição

• Deslocamento

• Velocidade escalar

• Velocidade instantânea

O resto depende apenas das

diferenças de posição



𝒓

Resumo

As diferenças entre distância percorrida e deslocamento podem ser resumidas como segue: Distância Percorrida Deslocamento

Depende do caminho percorrido Independente do caminho percorrido

Sempre positiva Pode ser positiva ou negativa É uma grandeza ESCALAR É uma grandeza VETORIAL

(7)

Uma abordagem baseada em dados

Observar a queda de um objeto Vamos medir a posição do

objeto versus tempo

• o que é possível descobrir ? • (dados claramente não são reais)

(8)

Qual é o plano?

• ver o que é possível descobrir apenas com os dados

• necessário um pouco de abstração - um modelo de como a situação física se encaixa

• apresentar uma hipótese a partir dos dados • o que o modelo pode prever?

• testá-lo

Uma abordagem baseada em dados

Qual é a hipótese?

• não temos grande intuição para o dia a dia

• a queda acontece muito rápido (tempo de espera ?)

• nenhum tempo tomado pode ser considerado muito preciso • vamos tentar algo que parece plausível

A ideia é boa, mas equivocada !

Hipótese 1: para cada incremento de tempo Δt, o objeto “cai”

ou percorre a mesma distância Δx.

Se isso fosse verdade, o Δx deve ser o mesmo para intervalos de tempo idênticos, ou Δx/Δt deve ser constante

(Sabemos agora que isso significa velocidade constante.)

Hipótese 1

• para cada incremento de tempo Δt, o objeto “cai” ou percorre a mesma distância Δx.

• Como escrever isso matematicamente:

Δx ∝ Δt ou Δx vs Δt é uma linha reta !

Vamos ver o que os dados nos informam Acerca da Hipótese Possível 1 !!!

(9)

A Hipótese 1 está equivocada. O objeto (irei dar um nome !!!) “acelera” (tem sua x/t alterada, ou seja,

sua velocidade alterada) de maneira uniforme enquanto experimenta a queda !

O que os dados nos informam ?

tempo distância taxa da distância alterada

Vamos olhar atentamente

• A taxa de mudança de posição aumenta • Ou seja: a velocidade também aumenta

• Mas aumenta na mesma quantidade a cada segundo!

• Sugere que sua taxa de variação é constante (e de fato é !!!).

Uma abordagem baseada em dados

Vamos tentar uma

segunda hipótese !

10 10 10 10

(10)

Hipótese 2: A taxa (v/t) na qual a

velocidade varia é uma constante.

• Encontrar uma constante de movimento é muito importante para a descrição de

qualquer tipo de Movimento (esse é o pressuposto básico das chamadas leis de conservação)!

• O que eu quero dizer: não importa o que aconteça, essa “coisa constante” não é alterada através do Movimento. Deve ser um grande negócio para construir uma teoria ou modelo.

Uma abordagem baseada em dados

Vamos tentar

De fato! Embora a posição e a velocidade aumentam continuamente, a taxa v/t de mudança da velocidade é constante.

Isso é aceleração:



_

𝒗 𝒕

=



𝒕

(



𝒙



𝒕

) =



𝟐_𝒙



𝒕𝟐

=

𝐝𝟐𝒙 𝐝𝐭𝟐

(11)

Aceleração

O que acabamos de descobrir?

1.

Que a taxa de variação da velocidade é (essencialmente) constante para um objeto em queda livre !

2.

Sendo

(1)

verdadeiro, a velocidade de um objeto em queda livre aumenta

linearmente com o tempo, ou seja, v(t)  t, ou ainda, de maneira genérica, pode ser escrita como v = a  t, onde a é uma constante

3.

Chamamos a taxa de variação da velocidade v/t ou dv/dt de aceleração

4.

Como v = x/t = dx/dt, ou ainda dx = v dt , isso significa que x(t) aumenta quadraticamente através do movimento !

5.

Vamos então estudar essa tal “aceleração” (grandeza vetorial), ou a taxa de variação

(12)

Aceleração

O objetivo agora é então estender a descrição do

movimento em uma dimensão para incluir mudanças, alterações na velocidade.

Esse tipo de movimento é chamado de acelerado e já não é denominado de Uniforme !

(13)

• O movimento não uniforme de um objeto pode ser descrito pelo conceito de aceleração. São

essencialmente três (03) situações, como ilustra a Figura ao lado !

• O objetivo é então descrever a aceleração na forma gráfica e matematicamente.

• Importante relembrar que a aceleração é o

resultado de uma taxa de variação da velocidade em relação ao tempo diferente de Zero, ou seja,



𝑣



𝑡

ou

d𝑣

d𝑡



Zero

Aceleração

carro acelera na direção positiva de x

carro desacelera na direção positiva de x

(14)

Aceleração

Olhando para a Frente: Aceleração devido à gravidade

• Um objeto acelerando ao cair:

• A gravidade g é um grande negócio

• Perto da superfície da terra, o problema é relativamente simples uma vez que g pode ser assumida constante (~ 9,8 m/s2₎

• Você aprenderá como explicar a influência da

gravidade em objetos que se movem nas vizinhanças da superfície da Terra.

(15)

Aceleração

• Generalização da “sequência de quadros”, que já

vimos !!!

• Aprendendo como exibir e interpretar o movimento através da utilização, ou uso, de dados

• Como determinar a posição, deslocamento, velocidade escalar, velocidade e aceleração de objetos ?

(16)

Aceleração

• analisar o movimento observando os quadros

individuais de um clipe de filme gravado em tempos igualmente espaçados (já vimos isso antes, certo ?).

• A abordagem é viável, mas discreta, e portanto limitada

• se apenas tivéssemos alguma matemática para isso...é possível avançar !

(17)

Prof. Renato F. Jardim – 2020-2 Representações do Movimento Examinando diferentes formas gráficas e

matemáticas de representar o movimento.

curva x(t) x em unidades de metros t em unidades de segundos x_f(t) = x_i + v_x(t_f – t_i)

(18)

Aceleração

Um bom teste para verificar nossa

familiaridade com graficos

Qual figura ao lado poderia representar o gráfico de velocidade versus tempo de uma motocicleta cuja velocidade está aumentando continuamente?

A magnitude de v (ou 𝒗 ) deve

aumentar (o sinal não é importante)

(a) (b)

(d) (c)

(19)

Aceleração

Conceitos de Interesse Mudanças na velocidade Objetivos

• Definir a aceleração a partir da velocidade • Identificar se um objeto está acelerando a partir de várias representações gráficas

diferentes de movimento.

• Compreender as relações vetoriais entre velocidade e aceleração.

Mudanças na velocidade

• Se a velocidade de um objeto está sendo alterada, o objeto está acelerando.

• A componente x da aceleração média, 𝑎Ԧ_xm, de um objeto é a mudança na componente x da velocidade, 𝑣Ԧ_xm, dividida pelo intervalo de tempo durante o qual essa mudança ocorreu. • A unidade SI de aceleração é m/s2_.

(20)

Aceleração

• Sempre que o vetor velocidade

𝑣

Ԧ

e o

vetor aceleração

𝑎

Ԧ

de um objeto apontam na mesma direção, o objeto acelera.

• Se o vetor velocidade

𝑣

Ԧ

e o vetor aceleração

𝑎

Ԧ

apontarem em direcoes opostas, o objeto fica mais lento, é desacelerado !

carro acelera na direção positiva de x

carro desacelera na direção positiva de x

(21)

• Para objetos em aceleração, a curva x(t) não é uma linha reta.

• As figuras mostram curvas x(t) para dois objetos em aceleração:

• Para cada objeto, considere os

deslocamentos Δ_x1 e Δ_x2 durante dois intervalos de tempo iguais (Δt) mas em intervalos de tempo diferentes.

• Se o deslocamento aumenta com a evolução do tempo (Δ_x2 > Δ_x1), a

velocidade está aumentando.

• Se o deslocamento diminui com a evolução do tempo (Δ_x2 < Δ_x1), a velocidade está diminuindo.

Aceleração

v

_x

=

lim



𝑡



0



𝑥/



𝑡

𝒕 𝒕 𝒕 𝒕

(22)

Prof. Renato F. Jardim – 2020-2 22

Aceleração

t t v₁ = 𝑥1 𝑡 v₂ = 𝑥2 𝑡

x(t) com curvatura para cima ! _{x(t) com curvatura para baixo !}

v₂ = 𝑥2

𝑡

v₁ = 𝑥1

𝑡

(23)

23

Aceleração

• A curvatura da curva (ou trajetoria) x(t) é uma medida da componente x da aceleração (a_x).

• Uma curvatura para cima corresponde a um valor positivo de a_x:

• A curva encontra-se acima da reta

tangente; mais rápido do que um

comportamento linear

• Uma curvatura para baixo corresponde a um valor negativo de a_x:

• A curva encontra-se abaixo da reta tangente; mais lento que um comportamento linear

(24)

24

Aceleração devido à gravidade

• Identificar a gravidade como a causa da aceleração vertical de um objeto que se move próximo à superfície da Terra.

• Exibir os efeitos da gravidade de um objeto usando diagramas de movimento. • Modelar o caso idealizado de

movimento vertical na ausência de

outras influências, como a resistência do ar, usando o conceito de queda livre.

• Um objeto caindo em linha reta em direção à superfície da Terra: movimento acelerado.

• Uma bola caindo registrada em intervalos de

tempo iguais de 0,05 s.

• Os deslocamentos crescentes indicam que a

velocidade da bola aumenta à medida que ela “cai”: a bola, então, acelera durante o movimento.

(25)

Fundamentos de Mecânica – 4300151 Prof. Renato F. Jardim – 2020-2

Aceleração devido à gravidade Questão de Interesse

• A aceleração de um objeto ao cair depende das características físicas do objeto?

• Segure um livro e uma folha de papel, cortados no mesmo tamanho do livro, lado a lado 1 m acima do chão.

Segure o papel paralelo ao chão e o livro com as capas paralelas ao chão e solte-os no mesmo instante. Qual atinge o chão primeiro? Agora coloque o papel em cima do livro e repita a experiência. O que você percebe?

• Fazer esse experimento em casa • Observar o comportamento

(26)

• Qual é a magnitude da aceleração da gravidade quando um objeto “cai”?

• pena versus pedra

• no vácuo, sem resistência do ar.

• a aceleração devido à gravidade não depende das características físicas do objeto

• O movimento de um objeto sob a influência apenas da gravidade é chamado de queda livre.

• quais propriedades são mais fundamentais?

• quais são circunstanciais?

Aceleração devido à gravidade

(27)

Aceleração devido à gravidade

https://youtu.be/frZ9dN_ATew

(28)

Fundamentos de Mecânica – 4300151 Prof. Renato F. Jardim – 2020-2 • Qual é a magnitude da aceleração da gravidade quando um objeto cai?

•

como da última vez, a posição x tempo é alterada mais rapidamente que linearmente

•

o deslocamento entre tempos adjacentes é linear

•

portanto, a velocidade aumenta a uma taxa constante durante o

movimento.

Aceleração devido à gravidade

(29)

Prof. Renato F. Jardim – 2020-2 • Qual é a magnitude da aceleração da gravidade quando um objeto “cai”?

•

sem resistência do ar, a magnitude da aceleração de todos os objetos em queda livre é de ~ 9,8 m/s2_.

•

O que isso significa? O tempo que leva para cair de uma certa altura é o mesmo para todos os objetos em