Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente
M´
etodos de Decis˜
ao
2010.01.27 Prova com consulta
Alunos admitidos a exame com avaliac¸˜ao cont´ınua Durac¸˜ao: 2h30
Quando o peixe n˜ao vem do mar
Diz-se que o peixe de aquacultura deixa um rasto de destrui¸c˜ao nos ambientes marinhos. A produ¸c˜ao de camar˜ao nas Filipinas devastou 109 mil hectares de mangais pantanosos desde os anos 70, o equivalente a dois ter¸cos da ´area de mangal do pa´ıs. No entanto, num relat´orio de 2009, o IPIMAR coloca Portugal nos lugares cimeiros do ranking dos pa´ıses que mais consomem peixe de origem n˜ao sustent´avel. Isto quer dizer que a maioria dos supermercados portugueses n˜ao olha a meios para vender o peixe: muito vem das pr´aticas ilegais de pesca. “A destrui¸c˜ao do equivalente a dez campos de futebol no fundo dos oceanos s´o tem a dura¸c˜ao de um suspiro”, afirmou fonte do IPIMAR.
Diz-se que o peixe de aquacultura tem um elevado n´ıvel de antibi´oticos e hormonas. Que os peixes s˜ao as novas galinhas do mar. Que as ra¸c˜oes contˆem demasiado peixe ou demasiada soja. Que, para n˜ao se dar peixe de comer ao peixe (apesar de, no mar, o peixe comer naturalmente outro peixe), se alteraram as dietas. Que o salm˜ao, por exemplo, poder´a ser, dentro de pouco tempo, vegetariano, o que poder´a levar `a sua altera¸c˜ao gen´etica. Contudo, um estudo de 2007 encontrou vest´ıgios elevados de merc´urio em mais de 600 rios dos Estados Unidos e Canad´a. E um estudo da revista “Science” em 2008 prova que esses vest´ıgios passam para a cadeia alimentar atrav´es de p´assaros que se alimentam de seres na ´agua contaminada. A nossa fonte do IPIMAR afirma: “apesar de parecerem peixes, estes assemelham-se cada vez mais a porcos”.
1.
(20/3 valores) O Ramalhete ´e a esta¸c˜ao experimental do IPIMAR no Algarve. Os n´ıveis de luz e a temperatura s˜ao cuidadosamente controlados uma vez que s˜ao vari´aveis determinantes nas experiˆencias l´a efectuadas. Nos tanques h´a desde larvas de dourada, com poucas dezenas de dias e que parecem pequenos cavalos-marinhos quase invis´ıveis no meio das bolhas de ar do tanque, at´e linguados j´a adultos, planos e pouco dados `a convivˆencia com os humanos, escondendo-se do seu contacto. Mas tamb´em podemos encontrar robalos e salm˜oes, dado que s˜ao duas esp´ecies muito populares junto dos aquacultores portugueses.A esta¸c˜ao recebeu uma oferta de novos lotes de ovos, larvas e peixes beb´es, que vai ter que colocar nos trˆes tanques dispon´ıveis. Para poder mais facilmente criar as condi¸c˜oes de desenvolvimento que pretendem experimentar, os cientistas do IPIMAR j´a decidiram que cada lote ficar´a todo num mesmo tanque, isto ´e, nenhum lote poder´a ser repartido por dois ou mais tanques. Na tabela seguinte apresenta-se a informa¸c˜ao sobre estes novos lotes:
Lote Tipo de peixe Quantidade Volume de ´agua Valor comercial necess´ario por unidade por unidade
1 Ovos de robalo 10000 0,000100 m3 0,1e 2 Larvas de dourada 8000 0,000200 m3 0,2e 3 Douradas beb´es 5000 0,000920 m3 0,5e 4 Ovos de salm˜ao 10000 0,000130 m3 0,1e 5 Larvas de linguado 8000 0,000500 m3 0,2e 6 Linguados beb´es 5000 0,000900 m3 0,5e 7 Larvas de salm˜ao 8000 0,000525 m3 0,2e 8 Ovos de linguado 10000 0,000150 m3 0,1e
Como cada um dos trˆes tanques dispon´ıveis tem uma capacidade de 6 m3 de ´agua, tornou-se claro que o IPIMAR n˜ao poder´a receber todos os lotes oferecidos. Pretende-se ent˜ao seleccionar os lotes a receber, de forma a ocupar os trˆes tanques o mais poss´ıvel.
(a) Decis˜oes
i) Descreva por palavras quais s˜ao as vari´aveis de decis˜ao para este problema.
ii) Quantas s˜ao as vari´aveis de decis˜ao para este problema? Como chegou a esse n´umero? iii) Represente matematicamente as vari´aveis de decis˜ao para este problema.
(b) Restri¸c˜oes
i) Descreva por palavras as restri¸c˜oes para este problema.
ii) Quantas s˜ao as restri¸c˜oes para este problema? Como chegou a esse n´umero? iii) Represente matematicamente restri¸c˜oes para este problema na forma linear. (c) Objectivo
i) Descreva por palavras a fun¸c˜ao objectivo.
ii) Represente matematicamente essa fun¸c˜ao objectivo na forma linear. Se necess´ario represente as restri¸c˜oes e vari´aveis de decis˜ao adicionais necess´arias para que a fun¸c˜ao objectivo seja linear.
(d) Restri¸c˜oes adicionais
Mas a realidade ´e um pouco mais complexa... H´a algumas quest˜oes de ordem biol´ogica que ´
2.
(20/3 valores) A Professora Maria Teresa Dinis, Professora Catedr´atica da Universidade do Algarve ´e considerada a m˜ae da aquacultura em Portugal. Quase todos os aquacultores portugueses, sobretudo do sul da pa´ıs, de uma forma ou outra foram formados por ela. Claro que actualmente, com a entrada em for¸ca em Portugal da multinacional espanhola Pescanova, as coisas est˜ao um pouco diferentes, mas a Professora Teresa Dinis ainda ´e chamada frequentemente como consultora externa, nomeadamente pela Acuinova.A administra¸c˜ao da Acuinova tem perante si um problema na sua estrat´egia de expans˜ao do neg´ocio para a Europa. O norte de Fran¸ca tem sido um consumidor importante do peixe criado pela Acuinova, ao ponto de a empresa ter decidido abrir duas explora¸c˜oes em Fran¸ca, uma em Cayeux-sur-Mer e outra em Varengeville-sur-Mer. Dadas as restri¸c˜oes da legisla¸c˜ao ambiental francesa, em cada uma destas explora¸c˜oes apenas ser´a poss´ıvel criar dois tipos de peixes em simultˆaneo, sendo que as op¸c˜oes s˜ao o salm˜ao, a dourada, o robalo, o linguado, a abr´otia e o pechelim (estes ´ultimo s˜ao conhecidos substitutos da pescada e do bacalhau). Por raz˜oes de ordem log´ıstica, n˜ao ´e poss´ıvel ter esp´ecies de peixe repetidas nas duas explora¸c˜oes. Cada um destes tipo de peixe ter´a uma rentabilidade mensal esperada (em Me), conforme seja criado num dos dois viveiros, o que decorre das diferentes condi¸c˜oes naturais dos locais:
Salm˜ao Dourada Robalo Linguado Abr´otia Pechelim
Cayeux-sur-Mer 4 4 3 6 5 4
Varengeville-sur-Mer 5 3 2 5 6 6
A Professora Teresa Dinis foi no entanto chamada porque ´e ainda necess´ario considerar as especificida-des de ´ındole biol´ogica de cada esp´ecie. Ap´os uma viagem aos locais e `a recolha de dados ambientais, a reputada cientista concluiu que n˜ao ´e poss´ıvel criar robalos em Cayeux-sur-Mer. Por outro lado, con-siderados os dados da procura de peixe pelos clientes do norte de Fran¸ca, e a sua dispers˜ao geogr´afica, o pechelim, se for selecciondo para cria¸c˜ao, ter´a que ser obrigatoriamente criado em Varengeville-sur-Mer. Finalmente, pelas mesmas raz˜oes, a dourada ter´a que ser uma das esp´ecies escolhidas, ou em Cayeux-sur-Mer ou em Varengeville-sur-Mer.
(a) Formule este problema como um problema de afecta¸c˜ao, tendo como objectivo a maximiza¸c˜ao da rentabilidade.
(b) Encontre a afecta¸c˜ao ´optima pelo m´etodo h´ungaro. (c) Existem ´optimos alternativos? Justifique.
3.
(20/3 valores) A empresa Pesca da Ria, empresa do grupo Mello dedicada `a aquacultura, tem uma explora¸c˜ao de douradas na ria Formosa e outra em Mira. Cada uma destas explora¸c˜oes tem in´umeros tanques (s´o as instala¸c˜oes da Ria Formosa tˆem 16 hectares de tanques), o que lhes permite ter douradas em diversas fases de crescimento e, desta forma, cada explora¸c˜ao ´e capaz de fornecer 400 quilogramas de dourada de hora a hora. Claro que este ´e apenas um valor m´edio, uma vez que diferentes velocidades de matura¸c˜ao dos peixes fazem com realmente o tempo entre entregas de lotes de 400 quilogramas seja uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro 1.Por outro lado, aos escrit´orios da Pesca da Rio v˜ao chegando as encomendas de douradas dos diversos grupos de distribui¸c˜ao alimentar, desde os mais conhecidos Modelo-Continente e Pingo Doce, at´e `a Ali-super – Explora¸c˜ao de Supermercados do Algarve. Para maximizar a eficiˆencia das opera¸c˜oes log´ısticas nas explora¸c˜oes, a Pesca do Rio apenas aceita encomendas de 400 quilogramas. As encomendas v˜ao chegando de forma aleat´oria, segundo um processo de Poisson, a uma m´edia de 1,5 encomendas por hora.
Tendo o departamento de CRM (“customer relationship management”) recebido algumas reclama¸c˜oes sobre o tempo excessivo entre a coloca¸c˜ao de uma encomenda e a sa´ıda do cami˜ao das explora¸c˜oes para o cliente, acompanhado por algumas queixas dos funcion´arios dos escrit´orios da pr´opria empresa sobre o n´umero de encomendas que se acumula `a espera de serem satisfeitas, calcule:
(a) O n´umero m´edio de encomendas em cima da mesa dos funcion´arios do escrit´orio. (b) O tempo m´edio entre a chegada de uma encomenda e a sua satisfa¸c˜ao.
Resolu¸
c˜
ao
1.
(a) i) Para que tanque ´e que ir´a cada lote.ii) 3 tanques x 8 lotes = 24 var´aveis de decis˜ao
iii) xij ∈ {0, 1} — igual a 1 se o lote j for alocado ao tanque i e igual a 0 se n˜ao for.
(b) i) Em cada tanque n˜ao poder˜ao ser colocados mais lotes do que a capacidade do tanque, que n˜ao poder´a portanto ser excedida (restri¸c˜oes tipo 1), e um lote pode estar, no m´aximo, num tanque (restri¸c˜oes tipo 2).
ii) Uma do primeiro tipo por cada tanque e uma do segundo tipo por cada lote, num total de 11 restri¸c˜oes.
iii) Seja:
qj – n´umero de unidades do lote j;
vj – Volume de ´agua por unidade do lote j;
ci – capacidade do tanque i. Ent˜ao: 8 X j=1 qjvjxij ≤ ci, ∀i=1...3 3 X i=1 xij ≤ 1 ∀j=1...6 xij ∈ {0, 1}, ∀i=1...3,j=1...6
(c) i) Maximizar a ocupa¸c˜ao dos tanques. ii) max 3 X i=1 8 X j=1 qjvjxij (d) i) xi3+ xi1 ≤ 1, ∀i xi3+ xi2 ≤ 1, ∀i xi3+ xi4 ≤ 1, ∀i xi3+ xi5 ≤ 1, ∀i xi3+ xi7 ≤ 1, ∀i xi3+ xi8 ≤ 1, ∀i xi6+ xi1 ≤ 1, ∀i xi6+ xi2 ≤ 1, ∀i xi6+ xi4 ≤ 1, ∀i xi6+ xi5 ≤ 1, ∀i xi6+ xi7 ≤ 1, ∀i xi6+ xi8 ≤ 1, ∀i
ii) 3 X i=1 xi1 = 1 3 X i=1 xi4 = 1 3 X i=1 xi8 = 1
2.
(a) A formula¸c˜ao deste problema como um problema de afecta¸c˜ao, ainda considerando que o objectivo ´e a maximiza¸c˜ao dos “lucros” (rentabilidade, neste caso): ´e a seguinte: Salm˜ao Dourada Robalo Linguado Abr´otia Pechelim
CsM1 4 4 — 6 5 — CsM2 4 4 — 6 5 — VsM1 5 3 2 5 6 6 VsM2 5 3 2 5 6 6 F1 0 — 0 0 0 0 F2 0 — 0 0 0 0
Desdobrou-se cada uma das explora¸c˜oes em duas, de forma a modelizar a restri¸c˜ao de que cada explora¸c˜ao pode criar no m´aximo dois tipos de peixes, e adicinaram-se duas linhas fict´ıcias, para tornar a matriz quadrada, sendo que as esp´ecies de peixe que ficarem no fim atribu´ıdas a estas linhas ser˜ao aquelas que n˜ao ser˜ao criadas. O s´ımbolo “—” significa que essa afecta¸c˜ao n˜ao ´e poss´ıvel e, atrav´es da conjuga¸c˜ao dos v´arios “—” garantem-se as restri¸c˜oes adicionais colocadas. (b) Para resolver o problema pelo m´etodo h´ungaro ter´a que primeiro converter-se o problema num problema de minimiza¸c˜ao, aplicando-se depois o algoritmo habitual. As linhas e colunas com n´umeros em it´alico correspondem `as linhas e colunas riscadas (os ∞ n˜ao surgem em it´alico mas devem ser considerados como fazendo parte das linhas e colunas riscadas).
Salm˜ao Dourada Robalo Linguado Abr´otia Pechelim
CsM1 2 2 ∞ 0 1 ∞ CsM2 2 2 ∞ 0 1 ∞ VsM1 1 3 4 1 0 0 VsM2 1 3 4 1 0 0 F1 6 ∞ 6 6 6 6 F2 6 ∞ 6 6 6 6
Salm˜ao Dourada Robalo Linguado Abr´otia Pechelim
CsM1 2 2 ∞ 0 1 ∞ CsM2 2 2 ∞ 0 1 ∞ VsM1 1 3 4 1 0 0 VsM2 1 3 4 1 0 0 F1 0 ∞ 0 0 0 0 F2 0 ∞ 0 0 0 0
Salm˜ao Dourada Robalo Linguado Abr´otia Pechelim
CsM1 2 0 ∞ 0 1 ∞ CsM2 2 0 ∞ 0 1 ∞ VsM1 1 1 4 1 0 0 VsM2 1 1 4 1 0 0 F1 0 ∞ 0 0 0 0 F2 0 ∞ 0 0 0 0
Dado que fomos for¸cados a usar 6 riscos dever´a ser poss´ıvel identificar um conjunto de 6 zeros independentes:
Salm˜ao Dourada Robalo Linguado Abr´otia Pechelim
CsM1 2 0 ∞ 0 1 ∞ CsM2 2 0 ∞ 0 1 ∞ VsM1 1 1 4 1 0 0 VsM2 1 1 4 1 0 0 F1 0 ∞ 0 0 0 0 F2 0 ∞ 0 0 0 0
Esta solu¸c˜ao indica-nos que o salm˜ao e o robalo n˜ao dever˜ao ser criados, sendo que a dourada e o linguado dever˜ao ser criados em Cayeux-sur-Mer e a abr´otia e o pechelim em Varengeville-sur-Mer. A rentabilidade total associada a esta solu¸c˜ao ser´a:
4 + 6 + 6 + 6 = 22
(c) H´a diferentes conjuntos de 6 zeros independentes que poderiam ser escolhidos, pelo que em teoria h´a ´optimos alternativos. No entanto, quando mapeamos essas solu¸c˜oes “diferentes” no problema concreto constatamos que as alternativas s˜ao entre CsM1 e CsM2 ou VsM1 e VsM2, isto ´e, correspondem de facto `a mesma solu¸c˜ao f´ısica. Asism, n˜ao h´a solu¸c˜oes reais ´optimas alternativas.
3.
(a) Para modelizar este problema como um problema de filas de espera teremos que considerar que os escrit´orios s˜ao uma fila para dois servidores, que s˜ao as duas explora¸c˜oes. O atendimento corresponder´a ao tempo em que uma encomenda ´e j´a a pr´oxima a receber os 400 quilogramas, como se as encomendas fizessem fila junto ao tanque `a espera que os peixes acabassem de crescer:Assim, e usando como unidade de medida a encomenda teremos como parˆametros do sistema: λ = 1, 5 encomendas/hora, µ = 1 encomenda/hora e (S = 2). λ µ = 1, 5 1 = 1, 5 ρ = λ Sµ = 1, 5 2 × 1 = 1, 5 2 = 0, 75 < 1
pelo que est˜ao reunidas as condi¸c˜oes de convergˆencia para podermos estudar este sistema de fila de espera.
A partir da tabela pr´atica de P0 retira-se P0 = 0, 1438, fazendo uma interpola¸c˜ao entre os valores
correspondentes a λµ = 1, 4 e λµ = 1, 6, pelo que:
Lq = P0 λ µ S ρ S!(1 − ρ)2 = 0, 1438 × 1, 52× 0, 75 2 × (1 − 0, 75)2 = 1, 9413 encomendas L = Lq+ λ µ = 1, 9413 + 1, 5 = 3, 4413 encomendas
Assim, o n´umero m´edio de encomendas em cima da mesa no escrit´orio ´e de 3,44.
(b) Para responder a esta al´ınea iremos considerar que a satisfa¸c˜ao da encomenda acontece quando esta termina o atendimento, correspondendo `a sa´ıda do encomenda das explora¸c˜oes, pelo que o parˆametro relevante a calcular ´e W (tempo m´edio no sistema):
Wq= Lq λ = 1, 9413 1, 5 = 1, 2942 horas ⇒ W = Wq+ 1 µ = 1, 2942 + 1 = 2, 2942 horas (c) Para ser completamente coerente com a defini¸c˜ao de satisfa¸c˜ao de encomenda dada na al´ınea
ante-rior, a probabilidade de n˜ao haver nenhuma encomenda `a espera de ser satisfeita ´e a probabilidade de estarem 0 encomendas no sistema, isto ´e P0= 0, 1438.
No entanto, uma resposta alternativa poss´ıvel seria considerar que estamos a falar da probabili-dade de n˜ao haver nenhuma encomenda na fila de espera, isto ´e:
P0+ P1+ P2 = P0 1 +λ µ+ λ µ 2 2 = 0, 1438 × (1 + 1, 5 + 1, 125) = 0, 5213
