Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior. Placas. Placas

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Placas e Cascas Placas Pedro V. Gamboa - 2009

Placas

Placas e Cascas – 7641

3º Ano da Licenciatura em Engenharia Aeronáutica

Placas e Cascas

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Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior

• Uma placa é um corpo tridimensional com:

– uma das suas dimensões muito menor do que as outras duas; – a curvatura da sua superfície média na configuração inicial é nula.

• Exemplos de placas:

– Tampos de mesa; – Tampas de esgoto;

– Painéis laterais e telhados de edifícios; – Discos de turbinas;

– Fundos de tanques.

1. Teoria de Flexão de Placas

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Pedro V. Gamboa - 2009

1.1. Introdução

• As placas podem ser classificadas em 3 grupos:

– Placas finas com deflexões pequenas; – Placas finas com deflexões grandes; – Placas espessas.

• Consideram-se placas finas quando a razão da sua espessura pelo lado menor é inferior a 1/20;

• Interesse em conhecer a relação entre forças e momentos externos com as deformações, tensões e deslocamentos:

– Forças da superfície:

• Forças concentradas quando actuam num ponto; • Forças distribuídas arbitrariamente por uma área finita. – Forças do corpo:

• Forças que actuam noselementos volumétricos da placa;

• Resultam de campos gravíticos ou magnéticos e, no caso de haver movimento, da inércia da placa.

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1.1. Introdução

• O primeiro estudo significativo das placas deu-se nos anos 1800; • Desde então, foram resolvidos muitos problemas de flexão de

placas: – A teoria fundamental: • Navier; • Kirchhoff; • Lévy. – Resoluções numéricas: • Galerkin; • Wahl.

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1.2. Comportamento Geral de Placas

Considere uma placa não carregada onde o plano xy coincide com o plano médio sendo, assim, a defleção em z igual a zero.

As componentes do deslocamento num ponto nas direcções x, y e z são u, v e w, respectivamente.

Quando, devido a carregamentos laterais, existe deformação, a superfície média num ponto qualquer (x_a,y_a) tem defleção w.

Os pressupostos fundamentais da teoria de flexão com deflexões pequenas (teoria clássica de placas isotrópicas, homogéneas e finas) baseia-se na geometria das deformações.

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1.2. Comportamento Geral de Placas

Hipótese de Kirchhoff (pressupostos fundamentais):

1. A deflexão da superfície média é pequena comparada com a

espessura da placa. O declive da superfície deflectida é, portanto, muito pequeno e o quadrado do declive é desprezável comparado com a unidade;

2. O plano médio permanece sem extensão após a flexão;

3. Secções planas inicialmente normais à superfície média permanecem planas e normais à superfície após a flexão. Isto indica que as extensões de corte verticais, γ_xze γ_yz, são desprezáveis. A deflexão da placa está, assim, principalmente associada às extensões de flexão. Conclui-se que a extensão normal ε_zresultante do carregamento transversal pode ser omitido.

4. A tensão normal ao plano médio, σz, é pequena comparada com as

outras componentes e pode ser despresada. Esta suposição torna-se irrealista na proximidade de cargas concentradas elevadas.

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1.3. Relações Extensão-Curvatura

Por forma a perceber o problema de flexão da placa considere-se a geometria de deformação.

Como consequência do pressuposto (3), as relações de extensão-deslocamento são 0 ; ; = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = z w y v x u z y x ε ε ε onde γ_yx=γ_xy, γ_zx=γ_xze γ_zy=γ_yz. Integrando a equação de ε_z, tem-se

( )

x y w w= , 0 ; 0 ; = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = z v y w z u x w x v y u yz xz xy γ γ γ

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1.3. Relações Extensão-Curvatura

Da mesma forma, integrando as expressões de γ_xze γ_yztem-se

( )

v

( )

x y y w z v y x u x w z u ₀ , ; + ₀ , ∂ ∂ − = + ∂ ∂ − =

Estas equações estão de acordo com o pressuposto (3).

Substituindo estas equações nas equações das extensões obtém-se

Torna-se claro que u0(x,y) e v0(x,y) representam, respectivamente, os valores de u e de v na superfície média.

Com base no pressuposto (2) conclui-se que u₀=v₀=0. Assim,

y w z v x w z u ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ; y x w z y w z x w z _y _xy x _∂ _∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = 2₂ ; ε 2₂ ; γ 2 2 ε Placas e Cascas Placas

1.3. Relações Extensão-Curvatura

A curvatura de uma curva plana é definida como a taxa de variação do ângulo do declive da curva em relação à distância ao longo da curva.

Devido ao pressuposto (1), o quadrado dum declive pode ser considerado desprezável e as derivadas parciais das equações anteriores representam as curvaturas da placa.

Assim, as curvaturas κ na superfície média em planos paralelos ao plano xz, yz e

xy são, respectivamente

Onde κ_xy=κ_yx.

A última expressão também é conhecida como a torção do plano médio em relação aos eixos x e y.

xy xy y y x x y w x r y w y r x w x r κ κ ⎟_⎠=κ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ; 1 ; 1 1

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1.3. Relações Extensão-Curvatura

Assim, as relações extensão-curvatura da placa podem representar-se na seguinte forma xy xy y y x x zκ ε zκ γ zκ ε =− ; =− ; =−2 Placas e Cascas Placas

1.4. Tensões e Resultantes de Tensões

No caso de um estado de tensão tridimensional, as tensões e as extensões estão relacionadas pela lei de Hook generalizada, válida para um material isotrópico homogéneo:

(

)

[

x y z

]

y

[

y

(

x z

)

]

z

[

z

(

x y

)

]

x E E Eσ νσ σ ε σ ν σ σ ε σ νσ σ ε = 1 − + ; = 1 − + ; = 1 − + onde τ_yx=τ_xy, τ_zx=τ_xze τ_zy=τ_yz.

E é o módulo elástico longitudinal, ν é o coeficiente de Poisson e G é o módulo

elástico transversal dado por

(

+ν

)

= 1 2 E G G G G yz yz xz xz xy xy τ γ τ γ τ γ = ; = ; =

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1.4. Tensões e Resultantes de Tensões

(

x y

)

y

(

y x

)

xy xy x G E E _ε _νε _τ _γ ν σ νε ε ν σ − = − = − − = ; 1 ; 1 2 2

Pode ver-se que a tensão desaparece na superfície média e varia linearmente ao longo da espessura da placa.

Substituindo ε_z=γ_yz=γ_xz=0, obtém-se as relações tensão-extensão da placa fina:

Introduzindo as curvaturas da placa, estas expressões ficam com a forma seguinte

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − − = + − − = ₂ ₂ 2₂ 2₂ 1 1 y w x w Ez Ez y x x _ν κ νκ _ν ν σ

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − − = + − − = ₂ ₂ 2₂ 2₂ 1 1 x w y w Ez Ez x y y _ν κ νκ _ν ν σ y x w Ez Ez xy xy _∂ _∂ ∂ − − = − − = 2 1 1 νκ ν τ Placas e Cascas Placas

As tensões distribuídas pela espessura da placa produzem momentos flectores, momentos torsores e forças de corte verticais.

Estes momentos e forças por unidade de comprimento são conhecidas por

resultantes de tensões.

1.4. Tensões e Resultantes de Tensões

Da figura, para a tensão σ_x, tem-se

dy M dz z dy dydz z t _x t x t t x =

∫

=

∫

− − 2 2 2 2 σ σ

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Da mesma forma, para as outras tensões obtêm-se as seguintes resultantes de tensão

1.4. Tensões e Resultantes de Tensões

É importante notar que apesar da teoria de placas finas omitir o efeito das deformações γ_xz=τ_xz/G e γ_yz=τ_yz/G na flexão, as forças verticais Q_xe Q_ynão são desprezáveis.

∫

− ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 2 2 t t xy y x xy y x zdz M M M τ σ σ onde M_xy=M_yx.

Para as forças de corte por unidade de comprimento, tem-se

∫

− _⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 2 2 t t yz xz y x dz Q Q τ τ Placas e Cascas Placas

Substituindo as equações das tensões em função dos deslocamentos nas equações dos momentos podemos derivar as fórmulas dos momentos fletores e torsores em função das curvaturas e deflexões

1.4. Tensões e Resultantes de Tensões

onde D é a rigidez de flexção dada por

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = + − = 2₂ 2₂ y w x w D D Mx κx νκy ν

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = + − = 2₂ 2₂ x w y w D D My κy νκx ν

(

)

(

)

y x w D D Mxy xy _∂ _∂ ∂ − − = − − = 1 ν κ 1 ν 2

(

2

)

3 1 12 −ν = Et D

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A tensão máxima ocorre nas superfícies superior e inferior (em z=±t/2) da placa. Desta análise pode observar-se que existe um correspondência directa entre os momentos e as tensões.

Daqui se conclui que as equações de transformação das tensões e dos momentos são análogas.

A análise do círculo de Mohr e todas as conclusões sobre as tensões também se aplicam aos momentos.

A determinação das tensões σ_z, τ_xze τ_yzatravés da lei de Hook não é possível porque não se relacionam com as extensões.

Substituindo as equações dos momentos nas equações das tensões pode obter-se as tensões em função dos momentos

1.4. Tensões e Resultantes de Tensões

3 3 3 12 ; 12 ; 12 t z M t z M t z M xy xy y y x x= σ = τ = σ Placas e Cascas Placas

Das duas primeiras equações as tensões de corte τ_xze τ_yzsão, depois de integrar As equações diferenciais de equilíbrio de um elemento de placa sujeito a um estado de tensão genérico podem ser usadas para

1.4. Tensões e Resultantes de Tensões

0 0 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ y x z z x y z y x yz xz z yz xy y xz xy x τ τ σ τ τ σ τ τ σ

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ =

_∫

2 2 2₂ 2₂ 2 2 4 1 2 y w x w x z t E dz y x t z xy x xz _ν τ σ τ

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ =

_∫

2 2 2₂ 2₂ 2 2 4 1 2 y w x w y z t E dz x y t z xy x yz _ν τ σ τ

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A tensão normal σ_zvaria na forma de uma parábola cúbica ao longo da espessura da placa.

Esta tensão é desprezável de acordo com o pressuposto (4).

As tensões de corte na direcção z também são consideradas muito pequenas quando comparadas com as outras tensões.

Pode observar-se que as distribuições de τ_xze τ_yzna espessura da placa variam de acordo com uma lei parabólica.

A componente σ_zpode calcular-se usando a terceira equação de equilíbrio, substituindo para τ_xze τ_yze integrando

1.4. Tensões e Resultantes de Tensões

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − − = ₂ 3 2 3 2₂ 2₂ 2₂ 2₂ 3 4 12 1 2 y w x w y x z z t t E z _ν σ Placas e Cascas Placas

1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa

As componentes da tensão (e consequentemente as resultantes de tensão) variam, geralmente, de ponto para ponto numa placa carregada.

Estas variações são governadas pelas condições de equilíbrio da estática. O cumprimento destas condições estabelece certas relações conhecidas por equações de equilíbrio.

Considere um elemento dxdy da placa sujeito a um carregamento por unidade de área uniformemente distribuído, p.

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1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa

Assume-se que a inclusão do peso da placa, sendo um valor pequeno, no carregamento p não afecta a precisão do resultado.

Uma vez que o elemento da placa é muito pequeno, por simplicidade, assume-se que as componentes de força e de momento estão distribuídas uniformemente em cada uma das faces.

Na figura elas estão representadas por um vector único, representando os valores médios, aplicado no centro de cada face.

Com uma mudança de posição, por exemplo da face esquerda para a face direita, a componente do momento Mxque actua na face negativa de x varia em

valor relativamente à face positiva de x. Esta variação pode ser representada por uma série de Taylor truncada

dx x M M x x _∂ ∂ + Placas e Cascas Placas

1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa

Usa-se a derivada parcial pois M_xé função de x e y.

Trantando todas as componentes de forma similar, obtém-se o estado das resultantes de tensão a partir da figura.

Como o somatório das forças na direcção z tem que ser zero obtém-se

0 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ pdxdy dxdy y Q dxdy x Qx y ou seja 0 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ p y Q x Qx y

O equilíbrio dos momentos em torno de x é governado por

0 = − ∂ ∂ + ∂ ∂ dxdy Q dxdy y M dxdy x M y y xy

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1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa

ou

Os produtos dos termos infinitesimais, como o momento de p, foram omitidos. Da mesma forma, do equilíbrio dos momentos em torno de y tem-se

0 = − ∂ ∂ + ∂ ∂ x x xy Q x M y M

Finalmente, resolvendo as equações do equilíbrio dos momentos em ordem às forças por unidade de comprimento e substituíndo os resultados na equação do equilíbrio da força anterior resulta em

p y M y x M x Mx xy y =− ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 0 = − ∂ ∂ + ∂ ∂ y y xy Q y M x M Placas e Cascas Placas

1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa

Esta é a equação diferencial de equilíbrio para a flexão de placas finas. Agora podem escrever-se expressões para as forças de corte verticais Qxe Qy

em função da deflexão w, usando as equações acima para Qxe Qyjuntamente

com o resultado dos momentos da secção 1.4:

onde

( )

w x D y w x w x D Q_x ₂ 2 2 2 2 ∇ ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − =

( )

w y D y w x w y D Q_y ₂ 2 2 2 2 ∇ ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − = 2 2 2 2 2 y x ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ é o operador de Laplace.

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1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa

Uma vez que a equação diferencial de equilíbrio da flexão de placas contém 3 incógnitas, M_x, M_ye M_xy, não é possível obter uma solução directamente. Os problemas de placas são, internamente, estaticamente indeterminados. Para reduzir o problema a uma incógnita é necessário usar as relações momento-deslocamento.

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1.6. A Equação da Placa

A equação diferencial básica para a deflexão de placas pode ser facilmente derivada com base nos resultados obtidos anteriormente.

Introduzindo na equação diferencial de equilíbrio as expressões para Mx, Mye Mxytem-se

(

)

p x w y w y D y x w y x D y w x w x D _⎟⎟=− ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − 2₂ 2₂ ν 2₂ 21 ν 2 2 2₂ 2₂ ν 2₂ Agrupando os termos e, finalmente D p y x w y x w y x w y w y x w x w ₌ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 4 2 2 4 2 2 4 4 4 2 2 4 4 4 2 2 ν 0 D p y w y x w x w ₌ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 4 4 2 2 4 4 4 2

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1.6. A Equação da Placa

Esta equação, que foi derivada pela primeira vez por Lagrange em 1811, pode ser escrita numa forma compacta

D p y y x x y xy x = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 κ κ κ D p w= ∇4 onde

( )

₂2 2 2 4₌_∇_∇ ₌ _∇ ∇

Esta equação é a equação diferencial para a deflexão de placas finas. Para determinar w, é necessário integrar esta equação com as constantes de integração dependentes das condições de fronteira apropriadas (ver secção seguinte).

Esta equação também pode ser escrita em função das curvaturas:

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1.6. A Equação da Placa

Quando não esxiste carregamento lateral na placa a equação reduz para

0

4 ₌

∇ w

ou

Substituindo as equações das forças de corte verticais e a equação diferencial para a deflexão nas equações das tensões τ_zx, τ_yxe σ_zobtém-se para estas tensões

0 2 ₂4 ₂ 4₄ 4 4 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ y w y x w x w

(

)

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 12 4 1 2 t z t Q Et Q z t E x x xz ν ν τ

(

)

⎡ _⎛ _⎞ ⎤ + − − = − ⎞ ⎛ + − − = 3 2 3 2 3 ₁₂₁ ₃ ₂ ₂ ₁ ₂ z z p p z z t t E ν σ

(

)

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 12 4 1 2 t z t Q Et Q z t E y y yz ν ν τ

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Placas e Cascas

Placas

1.6. A Equação da Placa

A tensão de corte máxima, à semelhança de uma viga com secção rectangular, ocorre em z=0, e pode ser representado pelas equações

Assim, a chave para determinar as componentes da tensão, usando as fórmulas derivadas, é a solução da equação diferencial da deflexão para w.

Outra forma de obter a equação diferencial da deflexão é igualar a tensão normal à placa ao carregamento superfical por unidade de superfície na superfície superior da placa.

Assim, com z=t/2 e σ_z=-p, e usando a equação de σ_ztem-se

t Q t Q y yz x xz ₂ 3 ; 2 3 max , max , = τ = τ

(

Et

)

∇ w= p − 4 2 3 1 12 ν Placas e Cascas Placas

1.6. A Equação da Placa

É significativo notar que a soma das componentes do momento flector é invariante.

Isto é

Definindo M, a função momento ou a soma do momento, por

(

)

D

(

)

w y w x w D M Mx y 2 2 2 2 2 1 1 _⎟⎟=− + ∇ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + − = + ν ν w D M M M x y 2 1+ =− ∇ + = ν

as expressões para as forças de corte podem ser reescritas na seguinte forma

y M Q x M Qx y _∂ ∂ = ∂ ∂ = ;

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Placas e Cascas

Placas

1.6. A Equação da Placa

Desta forma pode escrever-se a equação da placa em duas equações. A primeira, usando a equação do equilíbrio das forças verticais e a função momento, é p y M x M ₌₋ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2

Assim, reduz-se a equação da placa a duas equações diferenciais parciais de segunda ordem que é por vezes preferível, dependendo do método de solução usado.

Sabendo o carregamento e as condições de fronteira, pode obter-se M da primeira equação e depois a segunda equação fornece w.

A segunda, usando a definição de função momento, é

D M y w x w ₌₋ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 Placas e Cascas Placas

1.6. A Equação da Placa

Pode ser demonstrado que as equações acima têm a mesma forma que as equações que descrevem a deflexão de uma membrana esticada uniformemente e carregada lateralmente.

Desta forma, existe uma analogia entre a flexão de uma placa e problemas de membrana, o que permite derivar inúmeras técnicas experimentais e técnicas numéricas aproximadas.

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Placas e Cascas

Placas

1.7. Condições de Fronteira

A equação diferencial de equilíbrio derivada anteriormente tem que ser satisfeita dentro da placa.

A distribuição de tensão na placa também tem que ser tal que acomode as condições de equilíbrio em relação às forças ou deslocamentos impostos na fronteira.

A solução da equação da placa requer que duas condições de fronteira sejam satisfeitas em cada extremidade.

Estas podem ser uma dada deflexão e declive, ou força e momento, ou uma combinação.

A diferença básica entre as condições de fronteira aplicadas a placas e as das vigas é a existência de momentos torsores ao longo das extremidades da placa. Estes momentos podem ser substituídos por forças equivalentes.

Placas e Cascas

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1.7. Condições de Fronteira

Vamos considerar as condições de fronteira de uma placa rectangular com extremidades a e b paralelas aos eixos x e y, respectivamente.

Considerando dois comprimentos elementares sucessivos dy na extremidade

x=a, pode ver-se que, no elemento do lado direito actua um momento de torção Mxydy, enquanto no do lado esquerdo actua um momento

.

(

)

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Placas e Cascas

Placas

1.7. Condições de Fronteira

Na figura os momentos estão representados como binários de forças estaticamente equivalentes.

Assim, numa região infinitesimal da extremidade dentro da linha a traço interrompido, pode ver-se a força para cima Mxye a força para baixo

.

A soma algébrica destas forças pode ser adicionada à força de corte Qxpara

produzir uma força transversal efectiva, por unidade de comprimento, para uma extremidade paralela ao eixo y, Vx.

Assim

(

M y

)

dy Mxy+ ∂ xy ∂

(

)

dy y x w x w D y M Q Vx x xy ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + = 3₃ 2 ν 3 ₂ Placas e Cascas Placas

1.7. Condições de Fronteira

De forma similar, pode obter-se, para uma extremidade paralela ao eixo x, que

(

)

dy y x w y w D x M Q Vy y xy ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + = 3₃ 2 ν 3₂

As equações acima devem-se a Kirchhoff: uma distribuição de Mxyao longo de

uma extremidade é estaticamente equivalente a uma dsitribuição de forças de corte.

Para além destas forças nas extremidades, também podem existir forças concentradas, F_c, produzidas nos cantos.

Considerando, por exemplo, o caso de uma placa rectangular com carregamento uniforme e com apoios simples nas extremidades, a acção dos momentos torsores no canto (a,b) é, sabendo que Mxy=Myx,

(

)

w D M Fc xy _∂ _∂ ∂ − − = =2 2 1 ν 2

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Placas e Cascas

Placas

1.7. Condições de Fronteira

O sinal negativo indica o sentido para cima.

Devido à simetria do carregamento uniforme, esta força tem que ter a mesma magnitude e sentido em todos os cantos da placa.

Assim, se estes não forem fixos, os cantos da placa descrita tendem a levantar. As forças adicionais dos cantos para placas com diferentes condições nas extremidades podem ser obtidas de maneira similar; por exemplo, quando duas extremidades adjacentes estão fixas ou livres, tem-se Fc=0, pois ao longo destas

extremidades não existe momento torsor.

Agora, pode formular-se uma variedade de situações normalmente encontradas. As consições de fronteira ao longo da extremidade x=a de uma placa retangular com extremidades paralelas aos eixos x e y são descritas em seguida.

Placas e Cascas

Placas

1.7. Condições de Fronteira

Extremidade embutida ou encastrada:

Neste caso, tanto a deflexão como o declive desaparecem na extremidade considerada, isto é

(

x a

)

x w w = = ∂ ∂ =0 ; 0 ;

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Placas e Cascas

Placas

1.7. Condições de Fronteira

Extremidade com apoio simples:

Neste caso, tem-se deflexão e momento flector igual a zero na extremidade em questão. Assim

(

x a

)

y w x w M w x ⎟⎟= = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = =0 ; ₂ 0 ; 2 2 2 ν

A primeira destas equações implica que ao longo da extremidade x=a 0 ; 0 ₂ 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ y w y w

Desta forma as condições de fronteira podem ter a forma equivalente

(

x a

)

x w w = = ∂ ∂ =0 ; 2₂ 0 ; Placas e Cascas Placas

1.7. Condições de Fronteira

Extremidade livre:

Neste caso, tem-se momento flector e força de corte vertical igual a zero na extremidade em questão. Isto é

(

)

(

x a

)

y x w x w y w x w ₌ ₌ ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ; 0 2 ; 0 ₂ 3 3 3 2 2 2 2 ν ν

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Placas e Cascas

Placas

1.7. Condições de Fronteira

Extremidade deslisante:

Neste caso, a extremidade é livre de se mover verticalmente, mas a rotação não é permitida. O apoio não é capaz de resistir a qualquer força de corte. Logo

(

)

(

x a

)

y x w x w x w ₌ ₌ ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ = ∂ ∂ ; 0 2 ; 0 3₃ ν 3 ₂ Placas e Cascas Placas

1.7. Condições de Fronteira

Outros tipos de condições de fronteira podem ser analisados de forma idêntica. Pode observar-se que as condições de fronteira podem ser de dois tipos básicos:

-Uma condição de fronteira geométrica ou cinemática descreve

constrangimentos das extremidades relacionados com deflexão ou declive; -Uma condição de fronteira estática iguala as forças internas (ou

momentos) nas extremidades da placa às forças de corte externas (ou momentos) dadas.

Desta forma, numa extremidade encastrada as duas condições são cinemáticas; numa extremidade livre as duas condições são estáticas; nas extremidades de apoio simples e deslizante as consições são mistas.

Em vez de especificar consições de fronteira homogéneas, é possível especificar outros valores de corte, momento, rotação ou deslocamento.

Nestes casos, condições de fronteira não homogénias são representadas substituindo os zeros das condições acima por valores especificados.

(22)

Placas e Cascas

Placas

1.8. Solução da Deflexão de Placas

Com a equação fundamental da placa obtêm-se deflexões de placas apenas com dificuldade considerável.

É comum obter uma solução usando o método inverso. Neste método, parte-se de uma solução assumida para w que satisfaça a equação fundamental e as condições de fronteira.

Alguns casos podem ser analisados com a utilisação de polinómios para w em x e y com coeficientes indeterminados.

Normalmente, não é trivial escolher séries com uma forma aceitável. O método deste tipo mais comum é o das séries de Fourier, em que, tendo obtido uma solução para o carregamento sinusoidal, qualquer outro carregamento pode ser analisado através de séries infinitas.

Este método apresenta uma vantagem importante que consiste no facto de uma única expressão ser aplicada em toda a superfície da placa.

Placas e Cascas

Placas

1.8. Solução da Deflexão de Placas

Os métodos de energiadevem ser usados na análise de casos gerais.

Estes podem ser aplicados para a obtenção de uma solução, muitas vezes na forma de séries infinitas.

Estes dois métodos têm duas funções:

-Podem fornecer soluções “exactas” quando as configurações do carregamento e geoemtria são simples;

-Podem ser usadas como base para técnicas aproximadas através da análise numérica aplicada a problemas mais reais.

Outro método usado para resolver a equação da placa é o método das diferenças finitas. Neste caso as equações são substituídas por expressões de diferenças finitas que relacionam w (e M) em nós distanciados por um comprimento finito. As equações, neste caso, só podem ser resolvidas numericamente.

(23)

Placas e Cascas

Placas

1.8. Solução da Deflexão de Placas

Exemplo 1.1

Determine a deflexão e a tensão numa placa rectangular muito comprida e estreita (a>>b) que tem apoios simples nas extremidades y=0 e y=b nas seguintes condições:

a) A placa suporta um carregamento não uniforme dado por

( )

b y p y p = 0sinπ

onde a constante p0representa a intensidade do carregamento ao longo da linha y=b/2, paralela ao eixo x;

b) A placa suporta um carregamento uniforme de p₀.

Placas e Cascas

Placas

1.8. Solução da Deflexão de Placas

Exemplo 1.2

Uma placa rectangular de um poço de elevador está sujeita a momentos flectores uniformemente distribuídos Mx=Mbe My=Ma, aplicados ao longo das

suas extremidades.

Derive a equação que governa a deflexão da superfície nos seguintes casos: a) Ma=Mb;

(24)

Placas e Cascas

Placas

1.9. Métodos de Energia de Extensão

Como alternativa aos métodos de equilíbrio, a análise da deformação e da tensão num corpo elástico pode ser feita através de métodos de energia. Estas duas técnicas são, respectivamente, análises newtoniana e lagrangiana da mecânica.

Esta última, é estimada devido ao facto de que a equação fundamental de um corpo elástico pode ser derivada através da minimização da energia associada à deformação e ao carregamento.

Os métodos de energia são úteis em situações que envolvem formas irregulares, carregamentos não uniformes, secções transversais variáveis e materiais anisotrópicos.

Vamos começar por ver as técnicas de energia através do caso de placas finas.

Placas e Cascas

Placas

1.9. Métodos de Energia de Extensão

A energia de extensão guardada dentro de um corpo elástico, para um estado de tensão genérico, é dado por

(

)

∫∫∫

+ + + + + = V yz yz xz xz xy xy z z y y x x dxdydz U σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ 2 1

A integração extende-se a todo o volume do corpo.

Com base nos pressupostos da secção 1.2, para placas finas σ_z, γ_xze γ_yzpodem ser omitidos.

Assim, introduzindo a lei de Hook, a expressão acima reduz à seguinte forma, que envolve apenas tensões e constantes elásticas,

(

)

(

)

∫∫∫

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − = V xy xy x y y y x x dxdydz G E E U σ 1 σ νσ σ 1 σ νσ τ τ 2 1

(25)

Placas e Cascas

Placas

1.9. Métodos de Energia de Extensão

ou

Para uma placa com espessura constante, esta equação pode ser escrita em termos da deflexão w com a ajuda das equações que relacionam a tensão com a deflexão. Assim,

Integrando em z desde –t/2 a t/2 obtém-se

(

)

∫∫∫

_⎢⎣⎡ − + + _⎥⎦⎤ = V xy x y x x dxdydz G E U 2 2 2 2 1 2 2 1 _σ _νσ _σ _σ _τ

(

)

∫∫∫

_⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = V dxdydz z y x w y w y w x w x w E U 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 1 _ν _ν ν

(

)

∫∫

_⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = A dxdy y x w y w x w y w x w D U 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 _ν _ν

onde A representa a área da superfície da placa.

Placas e Cascas

Placas

1.9. Métodos de Energia de Extensão

Alternativamente, a equação da energia pode ser escrita na forma

O segundo termo desta equação é conhecido como a curvatura gaussiana. Pode observar-se que a energia de extensão é uma função não linear (quadrática) da deformação ou tensão.

Desta forma, o princípio da superposição não é válido para a energia de extensão.

Estas equações são úteis na formulação de várias técnicas de energia e de vários métodos de elementos finitos.

Em seguida vamos ver alguns métodos comuns de energia de extensão baseados na energia potencial e na variação da deformação dum corpo elástico.

(

)

∫∫

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = A dxdy y x w y w x w y w x w D U 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 _ν

(26)

Placas e Cascas

Placas

1.9. Métodos de Energia de Extensão

Princípio do trabalho virtual

Suponha-se que um corpo elástico sofre um deslocamento incremental arbitrário, ou seja, um deslocamento virtual.

Este deslocamento não precisa de existir nem tão pouco ser infinitesimal. Quando se considera o deslocamento infinitesimal, como é prática comum, é razoável considerar que o sistema de forças que actua no corpo é constante. O trabalho virtual realizado pelas forças de superfície T por unidade de área no corpo no processo de levar o corpo do seu estado inicial para o estado de equilíbrio é

Aqui A é a área limite da superfície e δu, δv e δw são os deslocamentos virtuais nas direcções x, y e z, respectivamente.

(

)

∫

+ + = A z y x u T v T wdA T W δ δ δ δ Placas e Cascas Placas

1.9. Métodos de Energia de Extensão

A notação δ indica uma variação de um parâmetro.

A energia de extensão δU adquirida por um corpo de volume V como resultado da extensão virtual

O trabalho total realizado durante o deslocamento virtual é zero, ou

0 = − W U δ δ

(

)

∫

+ + + + + = V yz yz xz xz xy xy z z y y x x dV U σ δε σ δε σ δε τ δγ τ δγ τ δγ δ 2 1

Assim, o princípio do trabalho virtualde um corpo elástico é

W U δ

(27)

Placas e Cascas

Placas

1.9. Métodos de Energia de Extensão

Princípio da energia potencial mínima

Desde que os deslocamentos virtuais não alterem a forma do corpo e que as forças de superfície sejam consideradas constantes a equação anterior pode ser escrita na seguinte forma:

representa a energia potencialdo corpo.

A primeira equação representa a condição de energia potencial estacionária do sistema.

Para um equilíbrio estável a energia potencial tem que ser mínima. Para todos os deslocamentos que satisfaçam as condições de fronteira e as condições de equilíbrio, a energia potencial assume um valor mínimo.

(

−

)

=0 = Π δ U W δ Nesta expressão W U− = Π Placas e Cascas Placas

1.9. Métodos de Energia de Extensão

Este princípio chame-se o princípio da energia potencial mínima.

A energia potencial guardada numa placa sujeita a um carregamento lateral distribuído p(x,y) é

No caso da placa ter uma espessura constante, esta equação pode ser escrita

Pode explicar-se fisicamente os termos de U na expressão acima. Como ∂2_w/_∂x2=κ

xrepresenta a curvatura da placa no plano xy, o ângulo que

corresponde ao momento M_xdy é igual a –(∂2w/∂x2)dx.

A energia de extensão ou o trabalho realizado pelo momento M_xé então -0.5Mxκxdxdy.

(

)

( )

∫∫∫

+ + −

∫∫

= Π V A xy xy y y x xε σ ε τ γ dxdydz pwdxdy σ 2 1

(

)

_∫∫

( )

∫∫

+ + − − = Π A A xy xy y y x x M M dxdy pwdxdy M κ κ κ 2 1

(28)

Placas e Cascas

Placas

1.9. Métodos de Energia de Extensão

A energia de extensão resultante dos momentos M_ydx e M_xydy são interpretados

da mesma forma.

O princípio da energia potencial é expressa na seguinte forma:

(

)

_∫∫

(

)

∫∫

+ + − − = Π A A xy xy y y x x M M dxdy p wdxdy M δκ δκ δκ δ δ 2 1 Placas e Cascas Placas

1.9. Métodos de Energia de Extensão

Método de Ritz

O método de Ritz é um procedimento conveniente para determinar soluções com o princípio da energia potencial mínima.

Este método é descrito para o caso da flexão elástica de placas.

Primeiro escolhe-se uma solução para a deflexão w na forma de uma série que contém os parâmetros indeterminados amn(m,n=1,2,...).

A deflexão escolhida tem que satisfazer as condições de fronteira geométricas. As condições de fronteira estáticas não precisam de ser respeitadas.

Obviamente, uma escolha apropriada para a expressão da deflexão é importante para que se obtenha uma solução precisa.

Por isso, é desejável assumir uma expressão para w que seja quase idêntica à verdadeira superfície deflectida da placa.

(29)

Placas e Cascas

Placas

1.9. Métodos de Energia de Extensão

Depois, usando a solução seleccionada, determina-se a energia potencial Π em termos de a_mn.

Para que a energia potencial seja mínima no equilíbrio tem que se ter 0 , , 0 11 = ∂ Π ∂ = ∂ Π ∂ mn a a K

Desta forma tem-se um sistema de equações algébricas que são resolvidas para os parâmetros a_mn.

Depois, introduzindo os valores obtidos na expressão assumida para a deflexão, obtém-se a solução para um dado problema.

Geralmente, a_mninclui um número finito de parâmetros e, por isso, os resultados finais são apenas aproximados.

Obviamente, se o w assumido for “exacto”, a solução também será “exacta”.

Placas e Cascas

Placas

1.9. Métodos de Energia de Extensão

As vantagens do método de Ritz prendem-se com o facto de ser relativamente fácil tratar problemas com diferentes condições de fronteira nas extremidades da placa.

Este método, é assim, um dos mais simples para resolver deflexões de placas e cascas através de uma calculadora.

A aplicação das técnicas de energia de extensão em problemas de flexão, de tracção e de instabilidade em placas e cascas serão apresentadas mais tarde.

(30)

Placas e Cascas

Placas

2.1. Introdução

• Neste capítulo vão considerar-se as tensões e deflexões em placas rectangulares finas.

• Como visto no capítulo anterior o elemento de placa rectangular é um modelo excelente para desenvolver relações básicas em coordenadas cartesianas.

• Por outro lado, vamos ver que placas sujeitas à flexão

frequentemente levam a soluções na forma de séries que não são viáveis para cálculos manuais de valores numéricos.

• Isto é, as deflexões e momentos são, muitas vezes, descritos por séries infinitas complicadas.

• Estes cálculos são, obviamente, realizados com facilidade por um computador.

2. Placas Rectangulares

Placas e Cascas

Placas

2.1. Introdução

• As placas rectangulares são, geralmente, classificadas de acordo com o tipo apoios usados:

– Placas com apoios simples; – Placas encastradas ou embutidas;

– Pacas com mistura de condições de apoio; – Placas em fundações elásticas;

– Placas contínuas:

• Estas placas normalmente consistem em placas isoladas suportadas por vigas ou colunas intermédias.

(31)

Placas e Cascas

Placas

2.2. Solução de Navier

(Placa Rectangular com Apoios Simples)

2.2. Solução de Navier

Considere uma placa rectangular de lados a e b com apoios simples em todas as extremidades e sujeito a um carregamento p(x,y).

A origem das coordenadas é colocada no canto superior esquerdo como mostra a figura.

Placas e Cascas

Placas

2.2. Solução de Navier

Em geral, a solução do problema de flexão faz uso das séries de Fourier seguintes para a carga e deflexão:

( )

_∑∑

∞ = ∞ = = 1 1 sin sin , m n mn b y n a x m p y x p π π

( )

_∑∑

∞ = ∞ = = 1 1 sin sin , m n mn b y n a x m a y x w π π

onde p_mne a_mnrepresentam os coeficientes a determinar. Este método foi introduzido por Navier em 1820.

As deflexões têm que satisfazer a equação diferencial para a deflexão de placas com as seguintes condições de fronteira

(

)

(

y y b

)

y w w a x x x w w = = = ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ = , 0 0 0 , 0 0 0 2 2 2 2

(32)

Placas e Cascas

Placas

2.2. Solução de Navier

Pode, facilmente, constatar-se que a equação da deflexão cumpre estes constrangimento e que os coeficientes a_mntêm que satisfazer a equação diferencial da deflexão.

A solução correspondente ao carregamento p(x,y) requer, assim, que se determine pmne amn.

Para perceber melhor a equação de w considere que a superfície deflectida verdadeira da placa é uma superposição de curvas sinusoidais de m e n configurações diferentes nas direcções x e y, respectivamente.

Os coeficientes amnda série são as coordenadas centrais máximas das curvas

seno e os m’s e os n’s indicam o número de meias curvas seno nas direcções x e

y, respectivamente.

Por exemplo, o termo a12sin(πx/a)sin(2πy/b) está ilustrado na figura.

Aumentando o número de termos na série aumenta-se a precisão do resultado.

Placas e Cascas

Placas

2.2. Solução de Navier

Para um caso de carregamento genérico procede-se da seguinte forma. Para determinar os coeficientes pmn, cada lado da equação do carregamento é

multiplicado por dxdy b y n a x m′π ′π sin sin

e integrado entre os limites 0,a e 0,b:

( )

∑∑ ∫ ∫

∫ ∫

∞ = ∞ = ′ ′ = ′ ′ 1 1 0 0 0 0 sin sin sin sin sin sin , m n b a mn b a dxdy b y n a x m b y n a x m p dxdy b y n a x m y x p π π π π π π

(33)

Placas e Cascas

Placas

2.2. Solução de Navier

Pode mostrar-se por integração directa que

Então, os coeficientes da expansão de Fourier dupla são

(

)

(

)

(

)

(

n n

)

n n b dy b y m b y m m m m m a dx a x m a x m b a ′ = ′ ≠ ⎩ ⎨ ⎧ = ′ ′ = ′ ≠ ⎩ ⎨ ⎧ = ′

∫

2 0 sin sin 2 0 sin sin 0 0 π π π π

( )

∫ ∫

= b a mn dxdy b y n a x m y x p ab p 0 0 , sin sin 4 π π

O cálculo de amnna equação de w requer que se substituam as equações de p e

de w na equação diferencial de deflexão da placa, o que dá

∑∑

∞ = ∞ = = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 4 2 2 4 0 sin sin 2 m n mn mn b y n a x m D p b n b n a m a m a π π π π π π Placas e Cascas Placas

2.2. Solução de Navier

Esta equação tem que ser válida para todos os x e y. Então conclui-se que

ou

Daqui, resolvendo em ordem a a_mn, tem-se

0 2 4 2 2 4 4 ₋ ₌ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ D p b n b n a m a m a mn mnπ 0 2 2 2 4 ₋ ₌ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ D p b n a m a mn mnπ 2 2 2 4 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = b n a m D p a mn mn π

(34)

Placas e Cascas

Placas

2.2. Solução de Navier

Finalmente, substituindo este resultado na equação do w, obtém-se a equação de superfície de deflexão da placa.

onde pmnjá foi obtido anteriormente.

Pode observar-se que, sendo |sin(mπx/a)|≤1 e |sin(nπy/b)|≤1 para todos os x e y e m e n, a série é convergente.

Desta forma, esta equação é uma solução válida para a flexão de placas rectangulares com apoios simples sujeita a vários tipos de carregamento. Na próxima secção serão apresentadas várias aplicações do método de Navier para casos particulares.

∑∑

∞ = ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 2 2 2 4 sin sin 1 m n mn b y n a x m b n a m p D w π π π Placas e Cascas Placas

2.3. Solução de Navier

(Vários Carregamentos)

2.3. Solução de Navier

Quando uma placa rectangular está sujeita a um carregamento uniformemente distribuído p(x,y)=p₀, os resultados da secção anterior são um pouco

simplificados.

A equação do pmndepois da integração dá

(

π

)(

π

)

π mn m n p p_mn= 4₂ 0 1−cos 1−cos ou

( )

[

m

]

[

( )

n

]

mn mn p p = 4₂ 0 1− −1 1− −1 π ou aínda

(

, 1,3,K

)

16 2 0 = = mn mn p p_mn π

(35)

Placas e Cascas

Placas

2.3. Solução de Navier

Substituindo p_mnna equação de a_mn, obtém-se

Em termos físicos, a placa carregada uniformemente tem que deflectir numa forma simétrica.

Esta configuração resulta quando m e n são ímpares.

A deflexão máxima ocorre no centro da placa (x=a/2,y=b/2) e o seu valor é

(

, 1,3,K

)

sin sin 1 16 2 2 2 6 0 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑∑

∞ ∞ mn b y n a x m b n a m mn D p w m n π π π

∑∑

∞ ∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = m n n m b n a m mn D p w 2 sin 2 sin 1 16 2 2 2 6 0 π π π Placas e Cascas Placas

2.3. Solução de Navier

ou

As componentes do momento obtém-se substituindo a equação acima nas equações dos momentos.

Assim

( ) ( )

∑∑

∞ ∞ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = m n n m b n a m mn D p w ₂ 2 2 2 1 2 1 6 0 1 1 16 π

∑∑

∞ ∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = m n x b y n a x m b n a m mn b n a m p M π π ν π sin sin 16 2 2 2 2 2 40

(36)

Placas e Cascas

Placas

2.3. Solução de Navier

Pode observar-se que os momentos flectores M_xe M_ysão zero em (x=0,x=a) e (y=0,y=b), respectivamente.

No entanto, o momento torsor Mxynão desaparece nas extremidades nem nos

cantos da placa.

∑∑

∞ ∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = m n y b y n a x m b n a m mn b n a m p M π π ν π sin sin 16 2 2 2 2 2 40

(

)

_∑∑

∞ ∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = m n xy b y n a x m b n a m ab M π π π ν cos cos 1 1 16 2 2 2 4 Placas e Cascas Placas

2.3. Solução de Navier

A presença de M_xycausa uma alteração da distribuição das reacções nos suportes.

Lembremos, no entanto, que o princípio de St. Venant permite considerar a distribuição de tensão inalterada em secções distantes das extremidades e cantos.

(37)

Placas e Cascas

Placas

2.3. Solução de Navier

(Vários Carregamentos) Exemplo 2.1

Um painel de parede quadrado, sujeito a um diferencial de pressão p0, pode

considerar-se que tem apoios simples em todas as suas extremidades. Determine: a) A deflexão máxima; b) O momento máximo; c) A tensão máxima. Placas e Cascas Placas

2.3. Solução de Navier

Um painel do chão de um armazém de lados a e b tem apoios simples em todas as extremidades.

Determine as reacções nos apoios assumindo que o material está distribuído pelo chão todo por forma a criar o seguinte caregamento

( )

b y a x p y x p , = 0sinπ sinπ

onde p₀representa a intensidade da carga no centro da placa, como mostra a figura.

(38)

Placas e Cascas

Placas

2.3. Solução de Navier

Determine as equações da superfície elástica de uma placa rectangular com apoios simples em duas situações:

a) A placa está sujeita a uma carga P distribuída uniformemente numa área 4cd; b) A placa suporta uma carga pontual em x=x1,y=y1.

Placas e Cascas

Placas

2.4. Solução de Lévy

(Placa Rectangular)

2.4. Solução de Lévy

(Placa Rectangular)

Na secção anterior viu-se que o cálculo dos momentos flectores com o método de Navier tem um convergência lenta com o aumento do número de termos da série.

Um método importante que resolve este problema foi desenvolvido por Lévy em 1900.

Outra vantagem da solução de Lévy é que em vez de usar uma série dupla usa-se uma série única.

Em geral, é mais fácil realizar cálculos numéricos com séries únicas do que com séries duplas.

(39)

Placas e Cascas

Placas

2.4. Solução de Lévy

(Placa Rectangular)

O método de Lévy é aplicável à flexão de placas rectangulares com condições de fronteira particulares em duas axtremidades opostas (por exemplo, x=0 e

x=a) e condições de fronteira arbitrárias nas restantes extremidades (y=±b/2).

Placas e Cascas

Placas

2.4. Solução de Lévy

(Placa Rectangular)

A solução total consiste na solução homogénia w_hda equação

e da solução particular wpda equação

0 2 ₄ 4 2 2 4 4 4 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ y w y x w x w D p y w y x w x w ₌ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 4 4 2 2 4 4 4 2 com a seguinte forma

p h w

w

(40)

Placas e Cascas

Placas

2.4. Solução de Lévy

(Placa Rectangular)

Uma vez que

é independente do carregamento, pode derivar-se uma única expressão para w_h que seja válida para placas rectangulares com duas condições de fronteira particulares em dois lados opostos.

Obviamente, para cada carga específica p(x,y) tem que se obter uma solução para wp.

A solução homogénea é escolhida com a forma geral seguinte 0

4 ₌

∇ wh

onde fm(y) tem que ser obtida de forma a satisfazer as condições nos apoios em y=±b/2 e satisfazer a equação acima.

( )

∑

∞ = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 1 _cos sin m m h a x ma x m y f w _π π Placas e Cascas Placas

2.4. Solução de Lévy

(Placa Rectangular)

Vamos descrever o método assumindo que os lados opostos da placa rectangular em x=0 e x=a têm apoios simples como mostra a figura.

Neste caso a equação anterior fica

Esta equação cumpre as condições de fronteira para apoios simples nas

( )

∑

∞ = = 1 sin m m h a x m y f w π

(41)

Placas e Cascas

Placas

2.4. Solução de Lévy

(Placa Rectangular)

Para completar a solução, temos que aplicar as condições de fronteira nos dois lados arbitrários com y=±b/2.

Substituíndo a equação de w_hem ∇4_{w=0, tem-se}

Para que esta equação seja válida em todos os x é preciso que

A solução geral desta equação é

0 sin 2 , 3 , 1 4 2 2 2 4 4 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

∑

∞ = K m m m m a x m f a m dy f d a m dy f d π π π 0 2 4 2 2 2 4 4 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − m m m f a m dy f d a m dy f d π π a y m m a y m m a y m m a y m m m A e B e C ye D ye f π π π π ₋ ₋ ′ + ′ + ′ + ′ = Placas e Cascas Placas

2.4. Solução de Lévy

(Placa Rectangular)

Ou usando identidades trigonométricas

A solução homogénea fica, assim,

Onde Am, Bm, Cme Dmsão constantes que serão determinadas mais tarde para

casos especificados.

Pode observar-se que as condições de fronteira para apoios simples são

respeitados nas extremidades x=0 e x=a se a solução particular for expressa com a série de Fourier única

a y m y D a y m y C a y m B a y m A

f_m= _msinh π + _mcosh π + _m sinh π + _m cosh π

∑

∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₊ ₊ = 1 sin cosh sinh cosh sinh m m m m m h a x m a y m y D a y m y C a y m B a y m A w π π π π π

( )

∑

∞ = = 1 sin m m p a x m y k w π

(42)

Placas e Cascas

Placas

2.4. Solução de Lévy

(Placa Rectangular)

Vamos expandir p(x,y) também com um série de Fourier

onde

Substituindo para wpe p(x,y) na equação ∇4w=p(x,y)/D e notando a validade da

expressão resultante para todos os valores de x entre 0 e a, obtém-se

( )

_∑

∞

( )

= = 1 sin , m m a x m y p y x p π

( )

=

_∫

a

( )

m dx a x m y x p a y p 0 , sin 2 π D p k a m dy k d a m dy k d m m m m _⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2₂ 4 4 4 2 π π

Depois de determinar uma solução particular, km, desta equação diferencial

ordinária, pode calcular-se wp.

O método é ilustrado com o seguinte exemplo típico.

Placas e Cascas

Placas

2.4. Solução de Lévy

(Placa Rectangular)

Placa Rectangular com Apoios Simples e Carregamento Uniforme

Neste caso p(x,y)=p0pelo que a equação de pm(y) fica

Logo, a equação de kmfica

A solução particular desta equação é

(

1,3,K

)

4 0 ₌ = m m p pm π D m p k a m dy k d a m dy k d m m m π π π 0 4 2 2 2 4 4 ₄ 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

A solução para w_pfica, então,

D m a p km 5 5 4 0 4 π =

∑

∞ 4 ₁ 4pa mπx