5. Síntese de leis de controlo usando técnicas polinomiais

5. Síntese de leis de controlo usando técnicas

polinomiais

Objectivo: Projectar controladores discretos lineares por colocação

de pólos, recorrendo a descrições entrada/saída do processo

Controlador com dois graus de liberdade B A d y u Proc. + r T R S R -+ Seguimento: Melhora o seguimento das referências Regulação:

Estabiliza, rejeita perturbações e reduz a sensibilidade a erros de

Modelo do Controlador Ru=Tr-Sy B _A d y u Proc. Controlador + r

O controlador tem a forma:

R q u k

( ) ( )

=

T q r k

( ) ( )

−

S q y k

( ) ( )

em que R é mónico (i. e. o coeficiente da maior potência de R é 1)

R q( ) = q∂R + r q₁ ∂R−1+ +… r_{∂R (}∂R _{= grau de R)}

q representa o operador avanço: qx k( ):= x k( + 1)

Função de transferência em cadeia fechada

Modelo do processo (com d=0): A q y k( ) ( ) = B q u k( ) ( )

Controlador: R q u k( ) ( ) = T q r k( ) ( )− S q y k( ) ( )

Eliminar u(k) entre ambas as equações para obter:

(

)

A q R q y k( ) ( ) ( ) = B q T q r k( ) ( ) ( ) − S q y k( ) ( ) ou seja

[

A q R q( ) ( )+ B q S q( ) ( )

]

y k( )= B q T q r k( ) ( ) ( )

O problema de projecto do controlador consiste em obter R, S, T tal que:

BT AR BS B A m m + = Multiplicar por R q( ) Multiplicar por B q( )

Efeito de Perturbações e Ruído

e

BS

AR

BS

v

BS

AR

BR

r

BS

AR

BT

x

+

−

+

+

+

=

v – perturbação de carga Ru = Tr-Sy + B/A r _u v + e y x

Objectivos para o controlador

• Estabilizar o sistema • Seguir referências

• Rejeitar perturbações e ruído

• Impôr uma dinâmica conveniente ao sistema controlado; • Evitar entrar em zonas de funcionamento não lineares. • Ser robusto face a incerteza nos parâmetros

Colocação de pólos baseada em modelos entrada/saída

O processo é modelado pela função de transferência

H z B z A z

( ) ( ) ( ) =

Objectivo: Determinar um controlador causal (polinómios R,S e T) tal que o sistema controlado se comporte como:

H z

B z

A z

m m

( )

( )

( )

=

Escolha dos Polos e Zeros

Utilizar regras intuitivas dos sistemas contínuos. Eg. Sistema de segunda ordem:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Step Response Time (sec) A m plit u d e t_p S t_s t_r ± 1% 2 2 2 2 ) ( n n n s s s H ω ξω ω + + = n r t ω 8 . 1 ≈ n s t ξω 6 . 4 ≈ 2 1 ξ ξπ − − ≈ e S

Polinómio característico discreto:

z

e

0h

(

0

h

)

z

e

2 0h 2 2

1

cos

2

−ζω

−

ζ

ω

+

− ζω

−

+

Regras para o dimensionamento

• Escolher uma dinâmica dominante, para o sistema em malha fechada, em função de indicadores standard (tempo de pico, tempo de crescimento, sobreelevação, largura de banda, etc.)

• Dimensionar um sistema contínuo de baixa ordem que cumpra as especificações, em função das respostas conhecidas ou simulações.

• Discretizar o sistema contínuo e utilizar os pólos e zeros resultantes para especificar parte da FT desejada. (Nota: atraso do sistema nunca poderá ser diminuído de forma causal pelo controlador).

• Restantes pólos e zeros a escolher devem ter uma dinâmica mais rápida que os dominantes para não influenciar significativamente a resposta.

Exemplo de Trabalho: Regulação de um integrador duplo 2 2 ( ) ( 1) , ( ) ( 1) 2 h A q = q− B q = q+

Pretende-se determinar R e S tal que AR+BS = Am :

(

)

2 2 2 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) 2 m h q − q+ R q + q+ S q = A q A

Tentamos inicialmente um controlador proporcional:

0

( ) 1,

( )

R q

=

S q

=

s

e colocar os polos desejados em malha fechada em p1 e p2:

(

1

)(

2

)

( )

,

m

Desenvolvendo a equação vem:

(

)

2 2 2 0 1 2 1 2 2 1 ( 1) 2 h q − q + + q+ s = q − p + p q+ p p Igualando coeficientes:

(

)

2 0 1 2 2 0 1 2

2

2

h

s

p

p

h

s

p p

⎧

= −

+

⎪⎪

⎨

⎪

₌

⎪⎩

Não se conseguem colocar os polos desejados em localizações arbitrárias! Temos que aumentar a ordem do controlador, o que implica aumentar a ordem do polinómio característico desejado em malha fechada.

Considera-se um observador Ao tal que o polinómio característico desejado

em malha fechada seja Acl = AmAo

Experimentemos

R q

( )

= +

q r

1

,

S q

( )

=

s q

0

+

s

1

,

A

o

= +

q

p

o

A nova equação é dada por:

(

2

)

(

)

2

(

)

2

(

)

(

)

1 0 1 1 2 1 2 2 1 ( 1) 2 o h q − q+ q+r + q+ s q+s = _⎣⎡q − p + p q + p p ⎤_⎦ q+ p Desenvolvendo, obtém-se:

(

)

(

)

(

)

3 1 2 2 2 2 3 2 1 0 1 1 0 1 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 o o o o c c c h h h q r s q r s s q r s q p p p q p p p p p p q p p p ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − + +_{⎜ ⎟} + −_⎜ + + _⎟ + + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = − + + + + + −

Igualando coeficientes e resolvendo, obtém-se a solução:

(

)

(

)

(

)

1 1 2 3 1 2 3 1 2 0 2 1 2 3 1 3 4 1 3 3 2 1 3 5 2 r c c c s c c c h s c c c h ⎧ _{= − + +} ⎪ ⎪ ⎪ = − + − ⎨ ⎪ ⎪ = + − + ⎪⎩

Para conseguir resolver o problema foi necessário aumentar a ordem do controlador e incluir um polinómio “observador”.

Mais adiante vamos ver métodos mais “automáticos” para resolver o problema da colocação de pólos e estabelecer regras para definir a ordem do

controlador e observador.

Já é possível encontrar um controlador que defina arbitrariamente os polos do regulador.

Como vimos no exemplo anterior pode ser necessário considerar um polinómio A_{o correspondendo à dinâmica de um observador. No entanto não}

queremos que este termo influencie a função de transferência desejada:

BT AR BS B A A A m o m o + =

O polinómio A_{o será factor de T.}

Assim, no exemplo anterior, para resolver o problema do seguimento de referências, teriamos que definir um polinómio B_m com os zeros desejados para a função de transferência e resolver:

m o

Há muitas soluções para o problema de colocação de pólos, mas nem todas igualmente boas ou mesmo aceitáveis.

Para encontrar R, S, T que satisfaçam

BT AR BS B A A A m o m o + =

poderá haver cancelamento de pólos e zeros. Isto deve ser feito com cuidado para evitar o cancelamento de pólos e zeros de fase não mínima o que levaria a modos internos instáveis.

Notar que se não for feito nada em contrário (cancelamento) os zeros do sistema a controlar também serão zeros do sistema controlado.

Cancelamento de Zeros BT AR BS B A A A m o m o + =

Se um factor de B não for factor de Bm, deve ser factor de

AR

+

BS

por

forma a ser cancelado.

Apenas podem ser cancelados zeros "estáveis" (i. e. dentro do círculo unitário) para impedir que haja modos que "expludam". Assim, factoriza-se B como

B

=

B B

+ −

B

=

B B

+ −

B

− não pode ser cancelado, tem que ser um factor de

B

m .

As especificações têm ser tais que includam as raízes de B− . Factoriza-se:

m m

B

=

B B

−

B

+ é para ser cancelado, será um factor de

AR

+

BS

.

Logo, também será um factor de

R

(porquê?), e factoriza-se

R

=

B R

+

Mónico, com os zeros

a cancelar Contém os zeros que NÃO

Em resumo:

Pelo que: ou seja

m o

m o

B A

T

AR

+

B S

−

=

A A

As condições seguintes devem ser satisfeitas: (1)

T

=

B A

m o (2) AR B S A Am o − + = m o m o B A BT AR + BS = A A

B

B B

+ −

=

B

_m

=

B B

− _m

_R

=

_{B R}

+

(

)

mmo o B B A B B T A A B AR B S − + − + ₊ − = m o m o B A T B B AR B S A A − − − = +

A primeira equação permite calcular directamente

T

. m o

T

=

B A

A segunda equação m o AR + B S− = A A

é uma equação polinomial (Equação Diofantina1) com incógnitas R e S.

Como determinar a ordem dos polinómios A0, R, S, T ?

m o AR + B S− = A A

Mostra-se que existe solução única da equação diofantina tal que:

S A

∂

<

∂

Faz-se:

Considerando causalidade teremos, no caso mais geral:

Destas condições pode-se obter o grau de A0.

0 m

max(

1

,

1)

A

A

A

A

B

+

B

B

+

A

∂ + ∂

=

∂ + ∂ − − ∂

∂ − ∂

+ ∂ −

2

1

A

A

B

+

A

∂ = ∂ − − ∂

− ∂

1 S A

∂

=

∂

− R T S

∂

=

∂

=

∂

Exemplo: Controlo digital de um motor de corrente contínua

Pretende-se projectar um controlador digital para a posição de um pequeno motor de corrente contínua de íman permanente.

y D/A _AP Motor D/A u(k) y(k)

(

1

1

)

s s

+

Admite-se (simplificando) que a função de transferência do motor é

Modelo do processo

Função de transferência discreta entre a tensão aplicada e a posição:

(

)

(

)(

)

H z

B z

A z

K z b

z

z

a

( )

( )

( )

=

=

−

−

1

−

(

)

K

e

h

a

e

b

h

e

e

h

h h h h

=

− +

=

= −

−

− +

− − − −

1

1

1

1

Note-se que b < 0, i. e., o zero está no semieixo real negativo.

Se este zero for cancelado dará origem a um modo interno rapidamente oscilatório, que pode ser indesejável.

Especificações (com cancelamento do zero) A função de transferência desejada para a cadeia fechada é

(

)

H z B z A z z p p z p z p m m m ( ) ( ) ( ) = = + + + + 1 _{1 2} 2 1 2

Os parâmetros p1 e p1 do denominador são escolhidos por forma a que os pólos

correspondam à amostragem de um sistema de segunda ordem com pólos com ζ e

ζω_{n dados:}

(

)

p

e

nh

h

n 1 2

2

1

= −

−ζω

−

_{ζ ω}

cos

p

e

nh 2 2

=

− ζω

(

)

H z B z A z z p p z p z p m m m ( ) ( ) ( ) = = + + + + 1 _{1 2} 2 1 2

A escolha do polinómio B zm( ) faz-se de modo a que:

• O ganho estático desejado para a cadeia fechada seja unitário, H_m( )1 = 1

• O atraso da cadeia fechada seja mínimo.

Sabe-se que, para que o controlador seja causal, o atraso da cadeia fechada é, no mínimo, igual ao da cadeia aberta.

Em cadeia aberta o atraso (dado pela diferença de número de pólos e zeros) é 1.

Assim, para que o atraso da cadeia fechada também seja 1 acrescenta-se um zero na origem.