Apostila de Eletromagnetismo: Universidade Federal Do Rio Grande Do Norte Departamento De Física Teórica E Experimental

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UNIVERSIDA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE FEDERAL DO RIO DO RIO GRANDE DO NORTEGRANDE DO NORTE DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

Apostila de Eletromagnetismo

Prof. Marcio Assolin Corrêa Prof. Marcio Assolin Corrêa

Natal, 28 de Julho de 2011. Natal, 28 de Julho de 2011.

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22 ..

Prefácio

Esta

Esta apostila apostila tem tem como como objetivo objetivo ser ser um um material material dede

apoio

aos alunos do curso de Eletricidade eaos alunos do curso de Eletricidade e Magnetismo dos cursos de

Magnetismo dos cursos de Física e Física e Engenharias da UFRN. Engenharias da UFRN. Os exemplos foram Os exemplos foram retirretirados de ados de livros textos tradicio-livros textos tradicio-nalmente utilizados nos cursos de graduação de Física e Engenharias, tais como os livros dos autores: Tipler nalmente utilizados nos cursos de graduação de Física e Engenharias, tais como os livros dos autores: Tipler & &

Mosca,

Mosca, HallidayHalliday & & Resnick, Sears Resnick, Sears & & Zemansky e Zemansky e MoisMoisés e és e Alaor ChavAlaor Chaves. es. O texto pode conter erroO texto pode conter erros e s e gostagostariaria de pedir a

de pedir a ajuda de meus ajuda de meus alunos enviando as correções para o email: alunos enviando as correções para o email: marciocmarciocorrea@dftorrea@dfte.ufrn.bre.ufrn.br. . Esta apostilaEsta apostila está montada até circuitos RC. Falta ainda a conclusão da parte do Magnetismo, circuitos de corrente alternada está montada até circuitos RC. Falta ainda a conclusão da parte do Magnetismo, circuitos de corrente alternada e Equações de Maxwell. No transcorrer do semestre tais tópicos poderão ser adicionados.

e Equações de Maxwell. No transcorrer do semestre tais tópicos poderão ser adicionados. Abraços a todos

(4)

Sumário

1

1 EleEletritricidcidadeade 77

1.1

1.1 CaCarga rga EléElétritricaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.2

1.2 QuanQuantizaçtização ão da da CarCarga ga ElétriElétricaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.2.1

1.2.1 ConseConservarvação ção da da CargCarga a ElétriElétricaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.2.2

1.2.2 ConduCondutores tores e e IsolanIsolantestes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.2.3

1.2.3 CargCarga a por por InduçIndução ão - - EletroEletroscópioscópio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.3

1.3 Lei Lei de de CouCoulomlombb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100 1.3.1

1.3.1 PrincPrincípio ípio da Sda Superpuperposiçãosição e o e a Lea Lei de i de CouloCoulomb:mb: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111

2

2 CamCampo po EléElétritricoco 1313

2.1

2.1 DipDipoloolos s EléElétritricoscos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144 2.1.1

2.1.1 LinhaLinhas s de de Campo Campo ElétriElétrico:co: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155 2.1.2

2.1.2 MoviMovimento mento de cade carga rga elétrelétrica eica em camm campos epos elétrilétricos:cos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166 2.1.3

2.1.3 DipolDipolos os elétrelétricos icos nos nos campocampos es elétriclétricos:os: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177

3

3 Campo Campo ElétrElétrico: Districo: Distribuiçibuições cões contínuontínuas de as de cargcargaa 1919

3.1

3.1 CampCampo Elétro Elétrico gerico gerado poado por um segr um segmento mento reto ﬁnreto ﬁnito de caito de carga:rga: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2200 3.1.1

3.1.1 CampCampo Elo Elétricétrico soo sobre bre o eo eixo ixo do do segmsegmento:ento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2200 3.2

3.2 CampCampo elo elétricétrico foro fora do a do eixo eixo do sedo segmentgmento:o: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2211 3.

3.3 3 CaCampmpoo_E_E  _{sobre o eixo de um anel carregado:}_{sobre o eixo de um anel carregado: . . . .}_{. . . . . . . . .}_{. . . . . . . . . .}_{. . . . . . . . . .}_{. . . . . . . . . .}_{. . . . . . . . .}_{. . . . 2233}

3.4

3.4 CaCampo mpo eléelétrictricoo_E_E  _{sobre o eixo de um disco carregado}_{sobre o eixo de um disco carregado . . . . .}_{. . . . . . . . . .}_{. . . . . . . . . .}_{. . . . . . . . . .}_{. . . . . . . . .}_{. . . . 2244}

3.

3.5 5 O O ﬂuﬂuxo xo ElElététricrico:o: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255 3.6

3.6 Lei Lei de de Gauss Gauss para para EletriEletricidadcidadee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266 3.7

3.7 CálcCálculo do ulo do campcampo eléto elétrico a rico a partir partir da Leda Lei de Gai de Gauss:uss: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277 3.7

3.7.1 .1 SimSimetretria ia PlaPlana:na: . . . . . . . . . . . . . . . 2277 3.7

3.7.2 .2 SimSimetretria ia EsfEsfériérica:ca: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277

4

4 O O PotePotencial ncial ElétrElétricoico 3333

4.1

4.1 DiferDiferença ença de de PotenPotencialcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3333 4.2

4.2 Potencial Potencial Elétrico Elétrico devido devido a a um um sistema dsistema de ce cargas argas puntiformespuntiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3333 4.2.1

4.2.1 SistemSistemas as de de CargCargas as PontuPontuaisais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3355 4.3

4.3 CálcCálculo do ulo do CampCampo Eléto Elétrico a rico a partipartir do Por do Potencitencialal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3366 4.4

4.4 CálcCálculo ulo do do potenpotencialcial V V para distribuições contínuas de cargpara distribuições contínuas de carga:a: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388

4.4.1

4.4.1 PotenPotencial cial V no V no eixo eixo de ude um anm anel cel carrearregado:gado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388 4.4.2

4.4.2 PotenPotencial ecial elétriclétrico V no eixo V no eixo de um dio de um disco unisco uniformeformemente mente carrecarregadogado:: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3399

5

5 CapCapaciacitântânciacia 4141

(5)

44 SUMÁRIO SUMÁRIO 5.1

5.1 CaCapacpacitoitoresres:: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411 5.1.1

5.1.1 CapaCapacitor citor de de placplacas as paralparalelas:elas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411 5.1.2

5.1.2 CapaCapacitor citor CilínCilíndricosdricos:: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4422 5.2

5.2 ArmaArmazenamzenamento ento de de enerenergia gia elétrelétrica:ica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4433 5.3

5.3 AssocAssociação iação de de CapaCapacitorecitores:s: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4433 5.3

5.3.1 .1 PaParalraleloelo:: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4433 5.

5.3.3.2 2 SéSéririe:e: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4444 5.4

5.4 DieDielétlétricricos:os: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4455

6

6 Corrente Corrente Elétrica Elétrica e Cire Circuitos de cuitos de Corrente Corrente Contínua (CCContínua (CC):): 4747

6.1

6.1 A cA correntorrente e e e o moo movimenvimento dto das caas cargasrgas:: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4477 6.1.1

6.1.1 SentiSentido do da da correcorrente nte elétrelétrica:ica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4488 6.2

6.2 ResisResistêncitência a e e Lei Lei de de Ohm:Ohm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4488 6.3

6.3 EnerEnergia gia nos nos CircuCircuitos itos ElétriElétricos:cos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5500 6.4

6.4 FoForça rça EleEletro tro MotMotriz riz ((

_E

) e Baterias:) e Baterias: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5500 6.5

6.5 AssocAssociação iação de de ResistResistores:ores: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5511 6.5

6.5.1 .1 AssAssociociaçãação o em em sérsérie:ie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5511 6.5.2

6.5.2 AssociAssociação ação em em ParaParalelo:lelo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5522 6.6

6.6 LeiLeis s de de KirKirchhchhofoff:f: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5522 6.7

6.7 CirCircuicuitos tos RC:RC: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5522 6.7.1

(6)

Lista de

Lista de Figuras

Figuras

1.1

1.1 FormForma de va de veriﬁceriﬁcar se o ar se o objetobjeto está o está ou nãou não eleto eletrizadrizado.o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.2

1.2 Série Série TribTriboelétoelétricarica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.3

1.3 EletrEletrizaçãização poo por inr indução dução - Po- Polarizlarizaçãoação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1.4

1.4 EletrEletrizaçãização poo por inr indução dução - Po- Polarizlarizaçãoação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1.5

1.5 EletrEletrizaçãização poo por inr indução dução - Po- Polarizlarizaçãoação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1.

1.6 6 CaCargrgasas q q 11 e e q q 22 dispostas sobre um plano cartesiano para deﬁnor o vetor posição de cada uma. dispostas sobre um plano cartesiano para deﬁnor o vetor posição de cada uma. . . . 1100 2.1

2.1 Cargas Cargas localizadas localizadas em um em um plano cplano cartesiano artesiano e suas e suas respecitivrespecitivas posições.as posições. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 2.2

2.2 ReprRepresentesentação do diação do dipolo elépolo elétricotrico. . Duas carDuas cargas de mesmgas de mesma intensa intensidade poidade porem de sinarem de sinais opostois opostoss separados por uma distância

separados por uma distância

_||

LL

_||

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155 2.3

2.3 ReprRepresentesentação daação das linhas de cas linhas de campo elétmpo elétrico gerico gerado por carado por cargas porgas pontuaintuais. s. (a) camp(a) campo para caro para cargaga positiva com as linhas divergindo da carga pontual. (b) campo para a carga negativa com as linhas positiva com as linhas divergindo da carga pontual. (b) campo para a carga negativa com as linhas conv

convergindo da ergindo da carta pontual.carta pontual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166 2.4

2.4 DipoDipolo elélo elétrico trico submesubmetido a tido a um caum campo empo elétriclétricoo _E_E  _{. . . .}_{. . . . . . . . .}_{. . . . . . . . . .}_{. . . . . . . . . .}_{. . . . . . . . .}_{. . . . 1177}

3.1

3.1 Corpo cCorpo com formato om formato aleatório caleatório carregado, arregado, destacando destacando um elmenum elmento de to de cargacarga dq dq que será considerado que será considerado para o inicio

para o inicio do calculo do campo do calculo do campo elétrico no ponto elétrico no ponto PP.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199 3.2

3.2 Linha de Linha de carga carga carregada carregada para o para o calculo do calculo do campo no campo no ponto Pponto P.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2200 3.3

3.3 Linha Linha de carde carga para ga para o cálco cálculo do culo do campo foampo fora do eira do eixo do mexo do mesmosmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2211 3.4

3.4 AneAnel cal carrerregadgado no o no plaplanono y y zz para o cálculo do campo sobre o eixo do anel, neste caso também para o cálculo do campo sobre o eixo do anel, neste caso também

sobre o eixo

sobre o eixo x x.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2233

3.5

3.5 Disco carreDisco carregado para gado para o cálculo o cálculo do campdo campo elétrico o elétrico no ponto no ponto sobre o sobre o eixo x.eixo x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244 3.6

3.6 Fluxo elétrico Fluxo elétrico onde podemos onde podemos perceber as perceber as linhas de clinhas de campo elétricos ampo elétricos atravessando atravessando a área a área AA . . . 2255 3.7

3.7 CaCarga rga ponpontuatuall q q no centro de uma superfície gaussiana de raio no centro de uma superfície gaussiana de raio R R.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266

3.8

3.8 TrêTrês cs cargaargas pus puntiforntiformes, mes, sendo sendo queque q q 33 encontra-se fora da superfície, não contribuindo assim para encontra-se fora da superfície, não contribuindo assim para o ﬂuxo elétrico.

o ﬂuxo elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266 3.9

3.9 Plano infinito Plano infinito carregado carregado e a e a superfície cilindrica superfície cilindrica caussiana escolhcaussiana escolhida para ida para calcular o calcular o campo. Nestacampo. Nesta figura

ﬁgura ˆn ˆn é a normal a superfície e é a normal a superfície eE E   o campo elétrico gerado pelo plano. o campo elétrico gerado pelo plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277

3.10

3.10 Casca esférica caCasca esférica carregada com urregada com uma cargama carga Q Q e raio e raio R R, a linha tracejada refere-se a superfície gaus-, a linha tracejada refere-se a superfície

gaus-siana de raio

siana de raio r r.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299 3.11

3.11 Esfera nãEsfera não conduto condutora de raioora de raio R R carregada com uma densidade de carga carregada com uma densidade de carga ρ ρ uniformemente distri- uniformemente

distri-buída. Nesta situação temos que

buída. Nesta situação temos que r r > > RR, onde, onde r r é o raio da superfície gaussiana. é o raio da superfície gaussiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3300 3.12

3.12 Graﬁco Graﬁco do cado campo elémpo elétricotrico E E _r_r em função do raio em função do raio r r da gaussiana. da gaussiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311 3.13

3.13 Graﬁco para o comportaGraﬁco para o comportamento do campo elétrico mento do campo elétrico de uma casca esferica.de uma casca esferica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311 4.1

4.1 DiferDiferença ença de potde potenciencial eléal elétrica trica entre entre dois podois pontosntos a a e e b b.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3344

4.2

4.2 CaCarga rga punpuntiftiformormee q q e e dois pontos de referêndois pontos de referência para o cia para o cálccálculo da diferença de potenculo da diferença de potencial. ial. NestaNesta ﬁgura

ﬁgura d d  ll é o elemento de deslocamento e é o elemento de deslocamento e ˆrr ˆ é o versor. é o versor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3344

4.3

4.3 Anel Anel carregado carregado para o para o cálculo cálculo do potendo potencial elécial elétrico no trico no pontoponto P P .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388

(7)

6 LISTA DE FIGURAS 4.4 Anel carregado uniformemente para o calculo do potencial elétrico no ponto "P"sobre o eixo do

disco. . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1 Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . 42 5.2 Capacitor de placas cilíndricas. . . . . . . . . . . . 42 5.3 Associação de capacitores em paralelo, ligado a uma fonte de tensão submetida a uma diferença

de potencial V . . . . . . . . . . . 43

5.4 Associação em série de capacitores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.1 Fio condutor submetido a uma diferença de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.2 Fio condutor acoplado com uma bateria que gera uma tensão V com a chave S aberta. Perceba o

movimento aleatório dos elétrons, provavelmente gerado pela agitação térmica. . . . . . . . . . . 47 6.3 Representação da direção da corrente elétrica em um circuito elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.4 (a) Curva I

_×

V para um elemento resistivo com comportamento Ôhmico. (b) Curva I

_×

V para

um elemento resistivo não ôhmico. . . . . . . . . . . . 48 6.5 Resistor com a codiﬁcação de cores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.6 (a) Bateria Ideal onde a queda de potencial no resitor é igual a FEM gerada pela fonte. (b) Bateria

real, onde a queda de potencial sobre o resistor é diferente da FEM produzida pela bateria. Nesta ﬁgura r é a resistência interna da bateria. . . . . . . . . . 51

6.7 Associação de resistores em série . . . . . . . . . . . 51 6.8 Associação de resistores em paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.9 Circuito de múltiplas malhas onde existe a necessidade de solução a partir das Leis de Kirchhoff. . 53 6.10 Circuito RC utilizado para o cálculo da carga e descarga de capacitores. . . . . . . . . . . . . . . 53

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Capítulo 1

Eletricidade

1.1 Carga Elétrica

A existência de carga elétrica foi percebida através da fricção de diferentes materiais. Quando isso ocorre cargas elétricas (elétrons) são transferidos de um corpo para outro, dependendo da composição do material atritado, estes podem permanecer carregados localmente ﬁcando assim com excesso de carga positiva ou negativa localmente. Existe uma série denominada Série Triboelétrica. Nesta série quanto mais abaixo o material se encontrar maior

será sua aﬁnidade com os elétrons. Desta forma se dois materiais desta tabela forem atritados o que estiver mais abaixo ﬁcará carregado negativamente.

Figura 1.1: Forma de veriﬁcar se o objeto está ou não eletrizado.

Série Triboelétrica Amianto Vidro Nylon Madeira Couro Alumínio Papel Algodão Plástico Borracha de Silicone

Figura 1.2: Série Triboelétrica

1.2 Quantização da Carga Elétrica

A transferência de carta elétrica de um corpo para outro só pode ser realizado em números inteiros de carga elétrica. Desta forma, um analise atômica torna-se necessária. Um átomo é formado pelo núcleo com prótons (Carga positiva) e Nêutrons (carga elétrica total nula) e pelos elétrons que orbitam ao redor do núcleo com carga elétrica negativa. Considerando que são os elétrons que tem a capacidade de se ”movimentar” então a carga elétrica transferida com a movimentação de um elétron é

(9)

8 CAPÍTULO 1. ELETRICIDADE

e = 1.6

_×

10−19C (1.1)

Assim, a carga elétrica total transferida de um material para outro é um número inteiro do valor da carga elétrica do elétron, ou seja

Q = N

_·

e (1.2)

Onde N = 0, 1, 2, 3 é um número inteiro. A unidade no SI para a carga elétrica é o Coulomb (C).

1.2.1 Conservação da Carga Elétrica

Quando dois corpos são friccionados os elétrons de um corpo são transferidos para o outro. Considerando que, inicialmente, os dois corpos estavam neutros eletricamente estes ﬁcarão com o mesmo valor cargas elétricas porem com sinais contrários. Isso ocorre pois existe o que denominamos de conservação de carga elétrica. Ou seja, durante este processo não ocorre o surgimento nem mesmo o desaparecimento de carga elétrica.

Exemplo: Uma moeda de cobre (Z = 29) possui uma massa de 3g. Qual a carta elétrica total de todos os elétrons desta moeda?

Solução: Em um átomo de ”Cu” existem 29 elétrons de modo que a carga elétrica de elétrons em um átomo é

Q =

₋

29e

Devemos descobrir agora quantos átomos de cobre existem em 3g de ”Cu”. Levando em consideração que a massa

molar é 63, 5g/mol para o cobre. Assim temos que

N = N Am M

onde N _A é o número de Avogrado, m a massa da amostra e M a massa molar. Substituindo os valores temos

N = 3

·

6, 02

×

10

2₃

63, 5 = 2, 84

×

10

22

Com isso a carga total de elétrons é

Q =

₋

29

_·

2, 84

_×

1022

_·

1, 60

_×

10−19 = 1, 32

_×

105C

1.2.2 Condutores e Isolantes

Existem determinados materiais, como o cobre, qe apresentam uma relativa mobilidade nos elétrons das camadas mais afastadas do núcleo. Esta mobilidade de elétrons caracteriza os materiais ditos condutores. No entanto, existe ainda materiais que não permitem a mobilidade de elétrons com no cobre, a estes materiais denominamos de isolantes. Vale salientar que existe ainda os materiais denominados semi-condutores que não serão estudados nesta etapa de estudos.

1.2.3 Carga por Indução - Eletroscópio

Considerando duas esferas idênticas e condutoras e uma haste isolante carregada eletricamente (positivamente) podemos realizar a eletrização por indução tomando os seguintes procedimentos.

Exercícios:

Duas esferas condutoras idênticas, uma com carga inicial +Q e outra inicialmente

descarre-gada, são colocadas em contato. (a) Qual é o valor da nova carga em cada uma das esferas? (b) Enquanto as esferas estão em contato, uma barra com carga negativa é aproximada de uma das esferas, fazendo com que ela ﬁque com uma carga igual a +2Q. Qual será o valor da carga na outra esfera?

(10)

1.2. QUANTIZAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA 9

Situação 01

Figura 1.3: Eletrização por indução - Polarização

Os elétrons são atraídos pela haste carregada positiva-mente polarizando a esfera metálica, ou seja, separando as cargas elétricas positivas e negativas. Se a haste for re-tirada estas cargas irão se redistribuir e a esfera se tornará não polarizada novamente.

Situação 02

Devido ao contato elétrico entre as duas esferas os elé-trons se ”aglomeraram” próximo ao bastão carregado. Se as esferas forem afastadas imediatamente, elas irão se tor-nar carregadas com a mesma carga elétrica porem com sinais opostos.

Situação 03

Após os bastão se afastar as esferas estão eletrizadas e a carga irá se distribuir uniformemente por toda superfície.

(11)

10 CAPÍTULO 1. ELETRICIDADE

Exercícios:

Duas esferas idênticas são carregadas por indução e, em seguida, separadas. A esfera 1 possui uma carga +Q e a esfera 2 uma carga

₋

Q. Uma terceira esfera idêntica está inicialmente

descarregada. Se as esfera 3 entra em contato com a esfera 1 e se afasta, e em seguida, entra

em contato com a esfera 2 e é separada, qual será as cargas ﬁnais em cada uma das 3 esferas?

1.3 Lei de Coulomb

A atração ou a repulsão entre cargas elétricas é um conhecimento intuitivo atualmente, contudo foi Charles Cou-lomb que em 1785 desenvolveu uma relação matemática capaz de quantizar a tal interação. Se considerarmos duas cargas q ₁ e q ₂ localizadas nas posições r₁ e r₂ representada na ﬁgura 1.6. Utilizando o sistema de coordenadas cartesianas desta ﬁgura podemos escrever os vetoresr1 er2 na forma:

Figura 1.6: Cargas q1 e q2 dispostas sobre um plano cartesiano para deﬁnir o vetor posição de cada uma.

r1 = x1ˆi + y1 jˆ (1.3)

r2 = x2ˆi + y2 jˆ (1.4)

A distância entrer1 er2 é dada por,

r2

−

r1 = (x2

−

x1)ˆi + (y2

−

y1)ˆ j = r21 (1.5) onde podemos deﬁnir o versor (vetor com módulo unitário) como sendo

ˆ r21 =

r21

|

r21

|

(1.6)

Considerando esta representação vetorial, Coulomb formulou que a força de repulsão que a carga q 2 gera sobre a carga q ₁ (considerando que temos duas cargas positivas) tem a forma,

 F 21 = k q 1q 2

|

r21

|

2 ˆ r21 (1.7)

onde a constante de Coulomb (k) é dado por

k = 1 4π_o = 1 4π8, 85

_×

10−₁₂ = 8, 99

×

10 9_N

·

m2/C 2

Para calcular o módulo da força basta tomar

|

F ₂₁

_|

= k

|

q 1

||

q 2

|

(12)

1.3. LEI DE COULOMB 11

Exemplo:

Em um átomo de Hidrogênio, o elétron é separado do próton por uma distância média de aproximadamente 5,3

_×

10−11_m. Calcule o módulo da força eletrostática de atração exercida pelo próton sobre o elétron.

Solução:

Considerando que o módulo da carga do elétron e do próton é

_|

qe

|

=

|

qp

|

= 1,6

×

10−19o módulo da força é calculado com

F = k

|

qe

||

qp

|

r2 = 8,19

×

10

−8_N

Tal força pode ser considerada muito pequena, contudo se considerarmos que esta força pode estar atuando sobre um elétron,que tem uma massa extremamente pequena (9,109

_×

10−31kg) ela irá acelerar consideravelmente o elétron.

1.3.1 Princípio da Superposição e a Lei de Coulomb:

Da mesma forma que na gravitação, o princípio da superposição é válido também para a eletrostática, desta forma o cálculo da força resultante sobre uma determinada carga torna-se relativamente simples, pois passa a ser uma operação de adição vetorial. Para comprovar isso iremos desenvolver um exemplo simples.

Exemplo: A carga q1 = +25nC está na origem, a carga q2 =

−

15nC está sobre o eixo x em x = 2m e a carga

qo = +20nC está posicionada em um ponto com as coordenadas x = 2m e y = 2m conforme mostrado na ﬁgura abaixo. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante sobre qo.

Inicialmente precisamos encontrar os vetores que posicionam as partí-culas no plano cartesiano

 ro= 2î + 2ˆ j  r1 = 0î + 0ˆ j  r2 = 2î + 0ˆ j

Desta forma a distância entre as partículas pode ser calculado facilmente



r10= ro

−

r1 = 2ˆi + 2ˆ j

r20= ro

−

r1= 2ˆ j

de onde podemos calcular os versores que tem a forma

ˆ r10 =

√

₂ 2 ˆ_i₊

√

2 2 ˆ j ˆ r20 = ˆ j

Podemos utilizar os principio da superposição e calcular a força que a carga q1 atua sobre a carga qo e a força que a carga q2 atua sobre a carga qo independentemente e depois somar vetorialmente. Desta forma, temos

 F 10= k qoq1

|

r10

|

2 ˆr10  F 20= k qoq2

|

r20

|

2 ˆr20

O vetor resultante, representado na ﬁgura_F _R_{é a soma destes dois últimos, assim}

 F R = 2



i=1 kqoqi

|

r

_|

2 i ˆ ri Substituindo os valores numéricos do enunciado e os vetores temos que

 F R = 8,99

×

10 9



20

×

10− 9

·

25

_×

109

|

2

√

2

_|

2



√

2 2 ˆ_i₊

√

2 2 ˆ j



+20

×

10 −9

· −

15

_×

109

|

2

_|

2 ˆ j



Resultando em uma força dada por



(13)

(14)

Capítulo 2

Campo Elétrico

Considerando uma carga inicial q em uma determinada região do espaço. Aproximando uma carga

₋

q desta primeira veriﬁcamos que as duas cargas se atraem mutuamente e a intensidade desta força pode ser calculada a partir da Lei de Coulomb. Em um segundo momento, se aproximarmos uma carga +q da primeira carga citada acima, uma força de repulsão com o mesmo módulo surge. Assim podemos pensar que ao entorno da primeira carga existe um "campo"de força característico, da mesma forma que pensamos em campos gravitacionais em torno se corpos que contem massa. Este campo existe independentemente de aproximarmos uma outra carga teste. Denominaremos este campo como sendo o campo elétrico. Este campo pode ser calculado a partir da Lei de

Coulomb. O campo elétrico pode ser obtido retirando-se a carga teste da Lei de Coulomb, ou seja, divide-se a Lei de Coulomb pela carta teste.

 E = F 

q o

(2.1)

onde, neste equação q o é a denominada carga teste, que será sempre positiva para nós. A unidade no SI tem a forma [E ] = N/C . Poemos perceber desta última equação que o campo elétrico é uma grandeza vetorial assim como a força, se considerarmos que a carga é um escalar, o vetor campo elétrico é um vetor com mesma direção e sentido da força obtida da Lei de Coulomb, contudo seu módulo é menor que o da Força.

Pode existir situações em que precisamos calcular o campo elétrico total atuante sobre uma carta teste q o gerado por varias outras cargas localizadas no espaço. Um exemplo está exposto na ﬁgura ?? O campo elétrico atuante sobre a carga q o é a soma vetorial do campo gerado por cada uma das cargas q 1, q 2 e q 3 localizadas nas posiçõesr₁,r₂ er₃, respectivamente. Assim temos que



E = k



q i

|

r_i,0

_|

2 ˆri,0 (2.2)

onder_i é o vetor posição de cada uma das cargas que geram um campo na posição onde se encontra q _o localizada na posiçãoro.

Figura 2.1: Cargas localizadas em um plano cartesiano e suas respectivas posições.

(15)

14 CAPÍTULO 2. CAMPO ELÉTRICO

Exemplo:

Quando uma carga de prova de 5nC é colocada em um certo ponto, ela ﬁca sujeita à ação de uma força de 2

_×

10−₄_{N no sentido do aumento da coordenada}

x. Qual o valor do campo

elétrico_E _{atuante naquele ponto.}

Solução: Neste caso temos um exemplo bastante simples, basta substituir na expressão para o campo elétrico os valores indicados no enunciado, assim

 E = F  q = 2

_×

10−₄ 5

_×

10−₉ˆi = 4

×

10 4N C ˆi Exemplo:

Uma carga positiva q 1 = +8nC é posicionada na origem, e uma segunda carga positiva

q ₂ = +12nC é colocada sobre o eixo x a uma distância a = 4m da origem. Determine o campo elétrico resultante em (a) no ponto P 1 sobre o eixo x em x = 7m e (b) no ponto P 2 sobre o eixo x em x = 3m

Solução:

O campo elétrico no ponto P pode ser calculado a partir da expressão



E = k



q i

|

ri

|

2

ˆri

Inicialmente iremos deﬁnir os vetores ˆri onde i = 1, 2 neste caso, para a carga q 1

r1,p = r p

−

r1 onder p = 7ˆi er1 = 0ˆi assim temos que

ˆ

r1,p = ˆi

|

r1,p

|

= 7 Substituindo estes valores no cálculo do campo elétrico vem

 E 1,p = kq 1

|

r1,p

|

2 ˆr1,p = 1, 47 N C ˆi

Para a carga q 2 temos que:

r2,p = r p = r2 onder p = 7ˆi er2 = 4ˆi assim temos que

ˆ

r_2,p = ˆi

_|

r_2,p

_|

= 3

Substituindo estes valores no cálculo do campo elétrico vem

 E 2,p = kq 2

|

r2,p

|

2 ˆr2,p = 11, 98 N C ˆi

somando as contribuições de cada uma das cargas

 E = 1, 47N C î + 11, 98 N C î = 13, 45 N C î

b) Este item ﬁca como um exercício, o procedimento é o mesmo realizado acima.

2.1 Dipolos Elétricos

Quando duas cargas iguais porem com sinais contrários estão separadas por um pequena distância L deﬁnimos o momento de dipolo elétrico como sendo

(16)

2.1. DIPOLOS ELÉTRICOS 15



p = q  L (2.3)

onde  _L_{é o vetor que vai da carga negativa até a carga positiva. A ﬁgura 2.2 representa o dipolo descrito acima. Esta}

conﬁguração de carga é importante para algumas aplicações práticas como iremos veriﬁcar adiante. Alguns mate-riais tem a capacidade de polarizar suas moléculas tornando-se assim dipolos elétricos que poderão ser utilizados para aumentar a capacitância de um capacitor.

Figura 2.2: Representação do dipolo elétrico. Duas cargas de mesma intensidade porem de sinais opostos separados por uma distância

_|

L

_|

Exemplo:

Uma carga +q é posicionada em x = a e uma segunda carga

₋

q é colocada em x =

₋

a,

conforme ﬁgura abaixo. (a) Determine o campo elétrico sobre o eixoxem um ponto arbitrário

x > a. (b)Determine o valor limite do campo elétrico para x >> a.

Solução:

O cálculo do campo elétrico pode ser realizado utilizando a expressão geral para o campo elétrico, ou seja



E p = k



q i

|

ri,p

|

2

ˆri,p

para encontrar a solução devemos encontrar os vetoresr1,p er2,p. Tais vetores tem a forma

r1,p = r p

−

r1 = (x + a)ˆi rˆ1,p = ˆi

|

r1,p

|

= (x + a)

r2,p = r p

−

r2 = (x

−

a)ˆi rˆ2,p = ˆi

|

r2,p

|

= (x

−

a) com isso podemos escrever o campo elétrico na forma



E _p =

−

kq (x + a)2ˆi +

kq (x

₋

a)2ˆi

ou ainda, manipulando algebricamente (ﬁca com exercício para você)



E p = kq



4xa (x2

₋

_a2₎2



ˆi

b) Quando tomamos (x >> a) então podemos realizar uma aproximação de modo que (x2₊

a2)2

≈

(x2 _{+ 0}2₎2

≈

x4, ou seja, se x >> a então x2 é muito maior que a2 de forma que

podemos desprezar este termo no denominador do resultado anterior. O resultado ﬁca então na forma

 E p =

4qa x3 ˆi

Considerando a segunda parte do exemplo acima, veriﬁcamos que se trata de um dipolo elétrico onde a distância entre as cargas é 2a. Desta forma podemos escrever a intensidade do vetor campo elétrico em função do momento de dipolo elétrico como sendo

E = 2k2aq x3 =

2kp

x3 (2.4)

2.1.1 Linhas de Campo Elétrico:

O campo elétrico pode ser representado por linhas que indicam a direção do campo e da força em qualquer posição do espaço. Para uma carga pontual positiva o campo elétrico é radial e direcionado para fora da mesma, já para

(17)

16 CAPÍTULO 2. CAMPO ELÉTRICO uma carga pontual negativa o campo é também radial contudo direcionado na direção da carga, a ﬁgura 2.3 mostra esta conﬁguração.

Figura 2.3: Representação das linhas de campo elétrico gerado por cargas pontuais. (a) campo para carga positiva com as linhas divergindo da carga pontual. (b) campo para a carga negativa com as linhas convergindo da carta pontual.

2.1.2 Movimento de carga elétrica em campos elétricos:

Quando uma partícula carregada com carga q é submetido a um campo elétrico (_E _{) esta partícula ﬁcará sujeita a}

uma força dada por,



F =  Eq (2.5)

Lembrando a 2o Lei de NewtonF = ma podemos calcular a aceleração de uma partícula com massa "m"carregada

com uma carga "q".

a =



 F

m =

q

mE  (2.6)

Esta expressão se tornou importante, principalmente, pela possibilidade de se obter a razão carga/massa de uma determinada partícula. Isto possibilitou a obtenção da massa do elétron. No entanto mudanças importantes foram feitas quando as velocidades são da ordem da velocidade da luz (correções relativísticas necessitam ser feitas).

Exemplo:

Um elétron é projetado em um campo elétrico uniforma _{E = 1000N/C ˆi} _{, com uma}

veloci-dade inicial vo = 2

×

106m/sˆi. Qual é a distância percorrida pelo elétron antes de parar momentaneamente?

Solução: Considerando que a massa do elétron é dada por me = 9, 11

×

10−31kg e a carga

e =

₋

1, 6

_×

10−₁₉_C_{é possível calcular a aceleração imposta sobre o elétron com} a = q mE = (

₋

1, 6

_×

10−₁₉ ) (9, 11

_×

10−₃₄₎

·

1000 =

−

1, 76

×

10 14_m/s2

Da equação de Torricelli podemos calcular o espaço percorrido antes de parar momentanea-mente

v2 = v_o2 + 2a∆x

onde a velocidade ﬁnalv é nula e o restante dos dados foram calculados ou estão no enunciado

do exemplo

02 = (2

_×

106)2

₋

2

_·

1, 76

_×

1014

_·

∆x ∆x = 1, 14cm

(18)

2.1. DIPOLOS ELÉTRICOS 17

2.1.3 Dipolos elétricos nos campos elétricos:

Algumas moléculas possuem momentos de dipolo elétrico permanente devido a uma distribuição não uniforme das cargas elétricas em seu interior. Em outras moléculas uma polarização acontece quando submetidas a um campo elétrico. A água é um exemplo importante deste efeito. Conforme mostrado na ﬁgura 2.4 a força _F ₁_{e a força} _F ₂

atuantes sobre as cargas fazem com que o dipolo sofra um torque para se alinhas na direção do campo elétrico. com isso o torque pode ser dado por

Figura 2.4: Dipolo elétrico submetido a um campo elétrico_E

τ =  p

_×

E  (2.7)

o módulo do produto vetorial descrito acima pode ser calculado com

τ = pEsen(θ) (2.8)

Se tal dipolo elétrico sofre um torque, então o campo elétrico está realizando um trabalho sobre dipolo, podemos associar este trabalho com a energia potencial elétrica associada ao dipolo elétrico. Podemos escrever o elemento de trabalho associado a um elemento de rotação como sendo

dW =

₋

τ dθ (2.9)

substituindo a equação 2.8 na equação 2.9, vem

dW =

₋

pEsen(θ)dθ (2.10)

O sinal negativo nesta equação indica que o torque é oposto a qualquer incremento no ângulo θ. Fazendo uma

ligação entre o trabalho e a energia potencial na forma

dU =

₋

dW = pEsen(θ)dθ (2.11)

tomando a integral de 2.11



_{dU =}



_pEsen(θ)dθ _(2.12)

lembrando que



sen(θ)dθ =

₋

cos(θ) podemos escrever a energia potencial elétrica associada ao dipolo,

U =

₋

pEcos(θ) =

₋

p

_·

E  (2.13)

(19)

18 CAPÍTULO 2. CAMPO ELÉTRICO

Exemplo:

Um dipolo com momento de p = 0, 02e

_·

nm faz um ângulo de 20o _{com um campo elétrico} uniforme deE = 3

_×

103_N/C_{. Determine (a) o torque sobre o dipolo. (b) a energia potencial} do sistema.

Solução: Sendo e = 1, 6

_×

10−₁₉_C_{e lembrando que}_{1nm = 1}

×

10−₉_m_{o torque pode ser}

calculado através de

|

τ

_|

= pEsen(θ) = 0, 02

_·

1, 6

_×

10−19

_·

10−9

_·

3

_×

103

_·

sen(20o)

|

τ

_|

= 3, 28

_×

10−27N m

vale ressaltar que o cálculo acima indica apenas o módulo do torque. b) Para calcular a energia potencial devemos usar 2.13, assim

U =

₋

pEC os(θ) =

₋

9, 02

_×

10−27J

(20)

Capítulo 3

Campo Elétrico: Distribuições contínuas

de carga

Até o momento estudamos as interações e os campos entre cargas elétricas pontuais. No entanto, existe a possi-bilidade de encontrarmos corpos extensos carregados eletricamente. Estes corpos, por sua vez, irão gerar campos elétricos em seu entorno. Neste capítulo iremo calcular os campos elétricos gerados por formas simétricas e dis-tribuições contínuas de carga. Para isso precisamos deﬁnir densidade de carga elétrica, da mesma forma como é deﬁnida densidade de massa. Conforme a forma do corpo carregado podemos ter 3 tipos de densidades:

Volumé-trica, Superﬁcial e Linear.

ρ = ∆Q ∆V (3.1) σ = ∆Q ∆A (3.2) λ = ∆Q ∆L (3.3)

Se considerar um corpo com uma forma contínua conforme representado na ﬁgura 3.1 onde um corpo "C"apresenta-se uniformemente carregado podemos calcular o campo elétrico no ponto P "C"apresenta-selecionando-"C"apresenta-se um elemento de carga

dq e calculando o campo no pondo requerido. Para calcular o campo elétrico total basta "varrer"todo corpo e

utilizar o princípio da superposição (integrando) sobre todo volume do corpo.

Figura 3.1: Corpo com formato aleatório carregado, destacando um elemento de carga dq que será considerado para o inicio do calculo do

campo elétrico no ponto P.

Como exemplo temos o campo elétrico gerado pelo elemento de carga dq no ponto P na forma d  E = kdq

r2 1

ˆ

r₁ (3.4)

O campo total é calculado integrando a equação 3.4 19

(21)

20 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO: DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA  E =



V kdq r2 rˆ (3.5)

onde dq pode ser escrito em função da densidade de carga com dq = ρdV , ou dq = σdA, ou dq = λdL.

A partir deste ponto iremos descrever o campo elétrico gerado pro algumas distribuições simétricas de cargas. Todos os cálculos serão realizados a partir da Lei de Coulomb.

3.1 Campo Elétrico gerado por um segmento reto ﬁnito de carga:

3.1.1 Campo Elétrico sobre o eixo do segmento:

Vamos considerar uma barra carregada, no qual denominamos de segmento ﬁnito de cargas representados na ﬁgura 3.2.

Figura 3.2: Linha de carga carregada para o calculo do campo no ponto P.

Nosso objetivo é calcular o campo elétrico no ponto P, para isso vamos descrever o campo elétrico gerado pelo elemento de carga dq mais escuro nesta ﬁgura gerando um campo d  E no ponto P. Tal campo pode ser escrito

como sendo,

d  E x =

kdq

r2 ˆi (3.6)

onde r é a distância entre a carga dq e o ponto P, que neste caso é dado por

r = (x p

−

x)ˆi (3.7)

substituindo na expressão acima

d  E _x = kdq

(x_p

₋

x)2ˆi (3.8)

para integrar esta equação precisamos mudar o elemento de integração, para isso utilizaremos as deﬁnições de densidade de carga, neste caso temos uma densidade linear de carga, assim o elemento de carga dq pode ser escrito

como sendo dq = λdx, substituindo na equação acima vem,

d  E x =

kλdx (x p

−

x)2ˆi

(3.9)

o campo elétrico total é dado pela integração desta última, para este exemplo, entre os limites

₋

L/2 até L/2. Como, neste caso k, λ e x p são constantes, então

 E = kλˆi



L/2 −_L/2 dx (x p

−

x)2 (3.10)

resolveremos esta integral realizando uma mudança de variáveis da seguinte forma

u = x_p

₋

x

(22)

3.2. CAMPO ELÉTRICO FORA DO EIXO DO SEGMENTO: 21 du dx = d dx(x p

−

x) =

−

1 assim du =

₋

dx

os limites de integração deverão mudar também de modo que

xi =

−

L 2 ui = x p + L 2 xf = L 2 uf = x p + L 2

retornando a expressão para o campo elétrico

 E x =

−

kλˆi



xp−L/2 xp+L/2 du u2 (3.11)  E x = kλˆi



−

1 u



xp−L/2 xp+l/2 = kλˆi



1 x_p

₋

L/2

−

1 x_p + L/2



(3.12)

manipulando algebricamente encontramos

 E x = kλL (x2 p

−

(L/2)2) ˆi = kq x2 p

−

(L/2)2 ˆi (3.13)

onde reescrevemos novamente o resultado em função da carga total da barra.

3.2 Campo elétrico fora do eixo do segmento:

Generalizando o problema anterior vamos calcular o campo elétrico fora do eixo do segmento, para direcionar nossos estudos observe a ﬁgura 3.3, nesta ﬁgura a barra está sobre o eixo x com extremidades em x1 e x2. O elemento de carga dq gera um campo elétrico d  E no ponto P sobre o eixo y. Este campo pode ser decomposto em

campos na direção x e y do plano cartesiano exposto na ﬁgura. Na direção y temos o campo dE y, já na direção

x temos o campo dE x, neste caso direcionado na direção negativa do eixo x. A linha que liga extremidade x1 até o ponto P é direcionada através do ângulo θ₁, já a outra extremidade é direcionada através do ângulo θ₂, por outro lado, o elemento de carga dq é direcionada através do ângulo θ. Este ângulos serão úteis durante a integração

posteriormente.

Figura 3.3: Linha de carga para o cálculo do campo fora do eixo do mesmo

Da mesma forma que o caso anterior devemos calcular o campo elétrico gerado pelo elemento de carga dq

sobre o ponto P.

d  E = kdq

(23)

22 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO: DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA substituindo o elemento de carga por dq = λdx

d  E = kλdx

|

r

_|

2 rˆ (3.15)

Devemos encontrar o vetor r que liga o elemento de carga dq até o ponto localizado sobre o eixo y. Sendo

a localização deste elemento dado por rq = xˆi e do ponto Pr p = yˆ j, assim

r = r_p

₋

r_q =

₋

yˆ j

₋

xˆi =

₋

xˆi + yˆ j (3.16) Podemos colocar os componentes do campo em função dos ângulos θ, de acordo com a ﬁgura 3.3 na direção y temos que

dE y =

|

d  E

|

cos(θ) (3.17)

substituindo

_|

d  E

_|

vem que

dE _y = kλdx

r2 cos(θ) (3.18)

Observando as identidades relacionadas aos triângulos retângulos da ﬁgura 3.3 podemos escrever

cos(θ) = y

r (3.19)

assim temos para o campo na direção y

dE y =

kλy

r3 dx (3.20)

Para calcular E y devemos integrar a ultima expressão. Para facilitar os cálculos podemos fazer uma mu-dança de variáveis para não integrar sobre os limites x₁ e x₂. Da ﬁgura temos

tg(θ) = x

y (3.21)

escrevendo x em função de tg(θ) e derivando em função de θ dx

dθ = d

dθ (ytg(θ)) dx = ysec

2_(θ)dθ _(3.22)

podemos escrever r em função de θ, de modo que

r = y

cos(θ) (3.23)

Substituindo as duas ultimas na expressão para o campo, temos

dE y = kλy2_sec2_(θ)dθ y3 cos(θ)3 (3.24) dE y = kλ y cos(θ)dθ (3.25) Integrando 3.25 vem



_dE_y ₌ kλ y



θ2 θ1 cos(θ)dθ = kλ y sen(θ)

|

θ2 θ1 (3.26) E y = kq Ly (sen(θ2)

−

sen(θ1)) (3.27)

(24)

3.3. CAMPO _E _{SOBRE O EIXO DE UM ANEL CARREGADO:} ₂₃

Com procedimento semelhante podemos calcular a componente do campo elétrico na direção x (ﬁca como

exercício para você), onde encontramos que

E x =

kλ

y (cos (θ2)

−

cos (θ2)) (3.28)

3.3 Campo

_E

_{sobre o eixo de um anel carregado:}

Antes de iniciar nossos cálculos, vamos observar que teremos campo elétrico apenas na direção x (veja ﬁgura 3.4)

uma vez que estamos calculando o campo sobre o eixo do anel. A ﬁgura 3.4 mostra os componentes dos vetores onde podemos observar tal simetria.

Figura 3.4: Anel carregado no plano yz para o cálculo do campo sobre o eixo do anel, neste caso também sobre o eixo x.

Considerando o ponto localizado a uma distância x conforme mostrado na ﬁgura ?? o campo elétrico na direção x tem a forma

d  E _x = kdq

r2 ˆi (3.29)

ou ainda, em função do ângulo θ,

dE x

kdq

r2 cos(θ) (3.30)

como cos(θ) = x_r vem que

dE x = kdq r2 x r = kdq r3 x (3.31)

a distância r entre o ponto e o elemento de carga dq 1 pode ser escrita em função do raio do anel e da distância x, que para este caso são duas constantes,

r =



x2_{+ a}2 _(3.32)

Substituindo r na expressão para o campo dE x =

kdqx

(x2_{+ a}2₎3/2 (3.33)

o campo elétrico na direção tem o valor a partir da integral da expressão acima



_dE x = kx (x2_{+ a}2₎3/2



_dq _(3.34) Assim

(25)

24 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO: DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA

E x =

kxq

(x2_{+ a}2₎3/2 (3.35)

3.4 Campo elétrico

_E

_{sobre o eixo de um disco carregado}

Da mesma forma que o anel, a simetria do disco possibilita o cálculo do campo apenas na direção x . Temos aqui uma densidade superﬁcial de carga σ = _dAdq. Onde dA neste caso é dado por

Figura 3.5: Disco carregado para o cálculo do campo elétrico no ponto sobre o eixo x.

dA = 2πada

de forma que a carga dq = σ2πada. Para calcular o campo do disco, vamos partir do resultado encontrado para o

anel da seção anterior. podemos escrever o campo elétrico dE x na seguinte forma,

dE x =

kx2πσada

(x2_{+ a}2₎3/2 (3.36)

No entanto, neste caso o raio a pode variar de a = 0 até a = R como pode ser visto na ﬁgura 3.5, desta

forma a integral toma a forma:



_dE x =



R 0 kx2πaσda (x2_{+ a}2₎3/2 (3.37)

Para resolver esta integral vamos utilizar uma mudança de variáveis da seguinte forma

u = x2+ a2 (3.38)

du = 2ada (3.39)

Os limites de integração tomam a forma

a = 0

_→

u = x2

a = R

_→

u = x2+ R2

Substituindo os limites na integral temos que

E x =



x2 +R2 x2 kxπσdu u3/2 (3.40)

(26)

3.5. O FLUXO ELÉTRICO: 25 E x = kxπσ



u−_1/2

−

1/2

|

x2 +R2 x2



(3.41)

O campo gerado pelo disco é então dado por

E x = 2πkσ





1

−

_

_{1 +}1 R2 x2





→

x > 0 (3.42)

3.5 O ﬂuxo Elétrico:

A descrição das linhas de campo elétrico não possibilita tomar uma análise quantitativa do campo elétrico. Nesta seção iremos descrever o conceito de "fluxo elétrico"(Φ_E). O fluxo é uma grandeza que relaciona a quantidade de linhas (campo elétrico) com uma área perpendicular a este campo. Uma representação é feita através da figura 3.6 (a), onde podemos calcular o fluxo na forma

Figura 3.6: Fluxo elétrico onde podemos perceber as linhas de campo elétricos atravessando a área A

ΦE = E A (3.43)

onde a unidade no SI é dado por N m2/C . Se a superfície com área A não se encontra perpendicular ao campo

elétrico_E _{então o ﬂuxo é alterado de acordo com o angulo}_θ_{entre a normal a superfície e o campo (ﬁgura 3.6 b).}

Para calcular nesta situação temos que:

Φ_E= EAcos(θ) (3.44)

Para uma situação onde o campo elétrico e a normal à área varia em função da posição precisamos calcular de forma diferente o ﬂuxo elétrico total ao circuito. Poderá ser relativamente mais fácil calcular um pequeno elemento de ﬂuxo de cada vez. Assim teremos

∆ΦE = E i∆Aicos(θ) =  E i

·

∆  Ai (3.45) Se tomarmos os elementos ∆  Ai cada vez menor podemos encontrar o limite onde,

ΦE = lim



∆Ai→0



 _E_i_{∆ }_A_i₌



sup.  E

_·

d  A (3.46)

Para o cálculo do campo elétrico, muitas vezes estamos interessados em campos em uma determinada região do espaço, ou seja, dentro de uma superfície fechada como por exemplo uma esfera, Desta forma 3.46 ﬁca sendo uma integral fechada e é representada como sendo

ΦE =



E 

·

d  A =



E ndA (3.47)

(27)

26 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO: DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA

3.6 Lei de Gauss para Eletricidade

Se considerarmos uma carga puntiforme +q situado no centro de uma esfera de raio R que representa uma

superfí-cie fechada onde queremos calcular o ﬂuxo elétrico, como representado pela ﬁgura 3.7, o campo elétrico calculado a partir da Lei de Coulomb pode ser escrito como sendo

E n =

kQ R2

Lembramos também que o campo elétrico gerado por uma carga positiva é um campo que diverge da carga, desta forma, em cada ponto da superfície esférica pontilhada da ﬁgura 3.7 o campo é perpendicular a ela. Utilizando 3.47 podemos calcular o ﬂuxo elétrico na superfície fechada, de modo que, como o campo elétrico é uniforme sobre esta superfície temos

ΦE =



E ndA = E n



dA (3.48)

Figura 3.7: Carga pontual q no centro de uma superfície gaussiana de raio R.

A integral do lado direito de 3.48 é na verdade a integral dupla que deﬁne a área de uma superfície esférica que é dada por 4πR2_{. Assim o ﬂuxo elétrico tem como resultado.}

Φ_E= kQ R2 4πR

2_{= 4πkQ} _(3.49)

onde utilizamos o campo de uma carga pontual, esta expressão demonstra que o ﬂuxo resultante sobre uma esfera com raio R depende, acima de tudo, da intensidade de carga Q, uma vez que 4πK é uma constante. Este resultado

mostra também que o ﬂuxo elétrico de qualquer superfície fechada que envolva uma carga puntiforme é dado por 4πK Q. Desta forma, para um sistema de cargas puntiformes como o representado na Figura 3.8, o ﬂuxo irá

depender da carga total DENTRO da superfície fechada.

Figura 3.8: Três cargas puntiformes, sendo que q3 encontra-se fora da superfície, não contribuindo assim para o ﬂuxo elétrico.

Neste caso, independente do sinal da carga q 3 todas as linhas que partem da carga e penetram na superfície irão sair em outro ponto da mesma, de modo que a carga q ₃ não afeta no ﬂuxo total. No entanto as linhas de campo proveniente das cargas q 1 e q 2 irão penetrar ou sair da superfície e deverão contar para o cálculo do ﬂuxo.

ΦE = 4πK (q 1 + q 2) (3.50)

(28)

3.7. CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DA LEI DE GAUSS: 27

3.7 Cálculo do campo elétrico a partir da Lei de Gauss:

De acordo com a distribuição de carga e da simetria desta distribuição muitas vezes é mais fácil calcular o campo a partir da Lei de Gauss. Para isso, precisamos de uma superfície denominada Superfície Gaussiana que é uma

superfície fechada que envolve as cargas, ou distribuição de cargas. A escolha da superfície gaussiana é escolhida de forma que em cada ponto desta superfície o campo elétrico seja paralelo ou perpendicular a normal nˆ desta

superfície.

3.7.1 Simetria Plana:

Considerando um plano inﬁnito apresentado na ﬁgura 3.9 que apresenta uma densidade constante de carga σ.

Devido a simetria, o campo elétrico _E _{é perpendicular ao plano nas "tampas"da superfície cilíndrica escolhida e o}

mesmo campo é perpendicular ao cilindro em sua lateral.

Figura 3.9: Plano inﬁnito carregado e a superfície cilindrica caussiana escolhida para calcular o campo. Nesta ﬁgura ˆn é a normal a superfície

e_E _{o campo elétrico gerado pelo plano.}

Observando a figura 3.9 verificamos que o fluxo através de cada área do cilindro, onde _E _{é paralelo ao vetor normal} ˆ

n é dado por E nA, onde A é a área de cada uma das faces. Como temos duas faces, o ﬂuxo total é igual a 2E nA. A carga resultante no interior da superfície é σA, assim

Q_int = ₀Φ_E (3.51)

com isso vem que

σA = 02E nA (3.52)

Com isso o campo toma forma

E _n = σ

2₀ = 2πK σ (3.53)

A direção é ˆi, a direita da placa inﬁnita carregada e

₋

ˆi no lado esquerdo da placa se a densidade de carga for positiva. Esta forma de cálculo é extremamente mais simples de calcular o campo elétrico quando comparamos o cálculo a partir da Lei de Coulomb. No entanto, para cada distribuição de carga é importante que uma superfície gaussiana adequada seja escolhida.

Exemplo: (Calcule em casa)

Um plano infinito com densidade superficial de carga σ = 4, 5nC/m2 _{situa-se no plano de} coordenada x = 0, e um segundo plano infinito com densidade superficial de carga σ =

−

4, 5nC/m2 _{situa-se em um plano paralelo ao anterior na coordenada}_{x = 2m}_{. Determine} o campo elétrico em: (a) x = 1, 8m. (b) x = 5m

3.7.2 Simetria Esférica:

Para uma carga pontual, uma esfera ou uma casca esférica a melhor superfície gaussiana para o cálculo a partir da Lei de Gauss é uma esfera com a carga em questão no seu centro. Desta forma, em qualquer ponto da superfície

(29)

28 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO: DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA gaussiana o campo elétrico é paralelo ao vetor ˆnque é normal a superfície.Assim o campo E n =  E

·

ˆn = E r, onde

E r é o campo radial a superfície. O ﬂuxo pode ser calculado a partir de

ΦE =



S  E

_·

ndA =ˆ



S E rdA (3.54)

como, sobre a superfície E r é uma constante, então podemos reescrever a equação acima na forma

ΦE = E r



S

dA = E r2πr2 (3.55)

sendo o ﬂuxo elétrico ser dado por

ΦE =

Q_int 0

(3.56)

Campo devido a uma carga puntiforme:

Então para uma superfície gaussiana que engloba uma carga puntiforme q o resultado torna-se

E r4πr2 = q

0

(3.57) isolando E _r vem que

E r =

q 4π0r2

(3.58)

que é exatamente o mesmo resultado encontrado utilizando-se a Lei de Coulomb.

Campo devido a uma casca esférica carregada:

Para uma casca esférica de raio R carregada com uma carga Q o procedimento é exatamente o mesmo que no caso da carga pontual. Se tomarmos uma superfície gaussiana com raio r > R então teremos um ﬂuxo dado

por:

ΦE =



S



E

_·

ndA =ˆ Qint

₀ (3.59)

como, sobre a superfície o campo elétrico é uniforme e constante, então podemos utilizar o mesmo procedimento anterior e reescrever a equação acima na forma

E r2πr2 =

Q 0

(3.60) de onde vem que, para r > R

E r =

1 4π0

Q

r2 (3.61)

Que é o mesmo resultado encontrado para a carga pontual. O cálculo para o campo elétrico para uma superfície gaussiana com r < R, como representado na ﬁgura 3.10

Escrevendo a Lei de Gauss



S



E

_·

ndA =ˆ Qint 0

(3.62) o lado esquerdo desta equação tem resultado igual ao dos cálculos anteriores, contudo no lado esquerdo, não temos nenhuma carga liquida aprisionada dentro da superfície gaussiana, de modo que Qint = 0, deste modo temos que