Resumão de Matemática

(1)

C

C hhaav v eessininddiiccaam m 00iinniicciio e 0 f o e 0 f im im ddeeuummaa mmarcaarca99aao o e ue ummaa v

virirgguullaa sseeppaarra a oosseelleemmeennttooss.. E E XE XEM M PLPLO O ::EEmmAA =={{44,,88,, 1

166}}, , 44,,8e8el6l6 ssaao o chchaammaaddoos s eelleemmeennttooss oouuiinntteeggrraanntteess ddee u

urnrnccoonjunnjuntoto;; oosseeoonn j juunnttoos s ssaao o fifinniittooss ((aaccaabbaamm oouutteerrnnuurrnn elem

elemeennto to f f iinnaall)),, eexcxceetto o ququaannddoo iinnddiiccaaddo o 0 c0 cononttrraarriioo.. No

No mmeeiio o ddooccoonnjujunnttoo inindicadica c c Olltil Olltil l l uuaaf f iiiio o d d eeUIIlpaUIIlpat t / / ri ri i i oo.. £XEM

£XEM PLPLO O :: BB=={{55,, 1100,, 1155, , ...,8,855,, 9900}}.. No

No f f iim m dda a seseqquueenncciiaa iinnddiicaca cOllcOlljulljullto to illfiillfil l l l ititoo (s(seemm e

elleemmeennto to f f iinnaall).). E E X X EMPLO:EMPLO:CC= {= {33,, 66,,99,,1122, , ...}}..

I

I EsEstte e ssimimbbololo o ssiiggnniif f iiccaa ""aassssim im ccoommo"o".. E

E S S i i g g nni i f f i i ccaa p peert rt eell ll cece.. EXEMPLO:EXEMPLO:SSeeAA =={{44,,88,, 1122}}, , eennttaaoo 1

122EE _A_A_,_,_p_p_o_o_r_r_q_q_u_u_e_e ₀₀_n_n_u_u_m_m_e_e_r_r_o_o _{12 fa}_{12 fa}_z_z _p_p_a_a_rt_rt_e_e _d_d_o_o_c_c_o_o_n_n_ju_ju_n_n_t_t_o_o _A_A._.

(

to

SSiiggnniifificcaa IliIliioioppeert rt eellllc c ee..E E XE XEMPMPLLO:O:SeBSeB=={{22,4,4,,66,,88}},,eennttaaoo 3

3~~BB,,ppoorqrquuee 00nnuummeerro o 33nnaaooiinntteeggrraa 00coconjuntnjunto o B.B.

o

C C O O lljullt lljullt o o v v aaz z ioio::uurnrncconjuonjunnto to qquueennaaooccoonntta a ccoommnneennhhuumm e

elleemmeennttoo.. TTaammbbeemm ppoodde e sseerrrreepprreesseenntataddoo ppoorr {{}}.. C

C SSiiggnnifieaifiea ssuubbc c oolljulltolljullto e e e e ggrraaf f aaddo o cocommooS.S.

'

'll-- SigSignniif f iieeaa I I l l i i i i oo eessl l l l bbc c OlljlllltO OlljlllltO ;; eerreepprreesseennttaaddo o ppoorr $$..

A

AccBBl l nnddi i ccaq aq u u eecacad d aeael l eemmeenntotod d ooc c oonnj j uunnt t oAtambeoAtambemmfafaz z p parart t ee d

dooBB.. £ £ XE XE M M PLPLO O ::SeSeAA= = {{33,,66}} eeBB~~{{11,,33,,55,,66,, 77,,99}},,eentaontao A

ACCBBppoorrqquue e 33ee66,,pprreesseennttees s eemmAA,,fazefazem m papartrtee ddeeBB..

2

2f f t t

E

00 IIIlmIIIlmeer r oo d d eeS S UbUbCO CO lljlllltO lljlllltO S S qquuaannddoo 1111eeququiivavallee aaoo

n

numumeero ro de ede elleemmeennttooss.. E E XE XEM M PLPLO O ::SSeeAA ~~{{44,,55,,66}},,AA tteernrn 8 s

8 suubbcoconjuntonjuntoss,, porqporque ue A A tetern rn 3 ele3 elemementontos s ee2233==88..

OPERAC;OES

A

AuuBB IIndicndicaa aa IIlltaO IIlltaO ddoo c

coonn ju junnto to A A cocom m 0 0 BB;; todotodoss ooss e

elleemmeennttooss ddeesstte e conconjujunntto o ssaaooOOUU u

urnrneelleemmeennto to ddo co coonnjjuunntotoAA OOUU d

do o BB;; aassssimim,, ppaarara uunniirr ddooiiss c

coonnjujunnttooss, , ee pprreecicisso o aaggruparuparr t tooddooss oosseelleemmeennttooss eemmuurrn unn uniiccoo c coonn ju junntto o ggrarafafannddo o aappeennaass uummaa ve vez z cacaddaa uurn rn ddooss nnuummeeroros s rereppeettididooss.. E

E X X E E MPLO MPLO ::SeSeAA =={{22,,44,6,6,,88,,1100,, 1122} } eeBB=={{33,,66,,99,,1122,,1155,, 1 188}},,eennttaao o A UA U BB=={{2,2,33,,44,,66,,88, , 99,,1100,,1122,,1155,, 1188}}.. A AIIl B l B I nI nddiica ca aa illterseilltersef f iiiioo ddoo c conjuonjunntto o AA ccoomm 00 B;B; ttooddooss ooss e elleemmeennttoos s fafazzeem m ppaartrtee TTANAN TO TO d

do o coconjuntnjunto o A A CCOMOOMO ddooBB;; oouu s see j jaa,, ppaarra a fafazezerr aa iinntteerrse9ase9aOO,, ee p prreecciissoo sseeppaarraarr os eos elleemmeennttooss qquuee a appaarreececemm NNOOSS DODOllS S coconn j juunnttooss.. EX

EX EM EM P P LLO O ::Se ASe A =={{22,, 44,, 66,, 88,, 1100,, 1122}} e Be B = = {{33,, 66, , 99,, 1122,, 1

155,, 1188}},, eennttaao o AllAll BB= {= {66,, 1122}}..

A

IInnddiicaca 00_c_c_o_o_m_m_pl_pl_e_e_m_m_e_e_l_l_l_l_to_to _d_d_e_e A

A;; oouu sseejaja,, ttooddooss oosseelleemmeenn!!ooss COMP COMP 0 0 lEME lEME N N T T O O

d

do o coconjnjuunntoto uunniivveerrssaal l qquue e NANAOO -

-fazem

fazem p paar r tedeAtedeA..£XEM £XEM PLPLO O ::SeSe

A

o

o uunniivveerrssaall ee 0 0 coconjnjuunntto o ddee nume

numerroossinteinteiirrososeeA=A={{00,,11,2,2,,33,, .. ...}.},,entaoentao AA=={{--II,,--22,,--33,,--44,, ...}}...•.•..•...•...---"---" A A ==BBQQuuaannddoo ttooddooss ososeelelemmeennttooss ddo o coconn j juunntto o AA ttaammbbeemm fa fazzeem m ppaarrtete ddo o eeoonjuntnjuntoo BB e e vviiccee--vveerrssaa,, mmeessmmoo a

appaarreececennddo o eemmoordrdeem m ddiiferenferenttee..

£XEM

£XEM PLPLO O ::Se ASe A=={{5,5,1100}}eeBB=={{11OO,,55}}, , eenntatao o AA==BB..

I

III((AA) ) IInnddiica ca 00 IlumIlumeero ro de elemde elemenentotos s dodocO cO lljunt lljunt oo A A ee e

eqquuiivavallee iittrreepprreesseennttaa<<;a;ao o eemm numnumeeros ros ccaardinairdinaiss..

EX

EXE E MPLO MPLO :: SSe e AA=={{22,,44,,66}},, eennttaaoo 1111((A)A) ==33.. A

A - - BBSSiiggnniif f iiccaa eequival quival eeaa;;oouusseejaja,, 00ccoonjunnjunttoo A A ee00B B tteerrnn o

ommeessmmoo nnuummeerroo ddee eellementoementoss,, eemmbboorraa eesstteess nnaaoo s

see ja jam m nneecceessssaaririaammeennttee oos s mmeessmmooss..

E

E X£ X£MPMPLLO O :: SSeeAA=={{22, , 44,,66}}eeBB=={{66,, 1122,, 1188}}, , eennttaaoo A

A -- BB,,ppoorrqquuee 1111 (A)(A) ==3 3 eelll l ((BB)) ==33.. A

A ((llB B ==00 IInnddiiccaa c c ononjulljulltos tos d d eesarticuladossarticulados eesseemmeelleemmeennttooss e

em m ccoommuumm.. £ £ XE XE MPLO MPLO ::SeSeAA== {{33,,44,, 55}}eeBB==

p

,

88,,99}},, e

ennttaaoo AA(l(lBB ==00,, ppoorrqquuee nnaao o hha a eelleemmeennttoos s ccoommuunnss..

•

• aa++bbeeurn urn nunummeerroo rreeaall;; qquuandoando sse e ssoommaamm ddoioiss nnuummeerrooss r

reeaaiiss,, 00rreessuullttaaddoo ttaammbbeemm eeuurnrnnnuummeerroo rreeaall..

£XEM

£XEM PLPLO O :: 3 3 e e 55 ssaan n nnuummeerrooss rreeaaiiss,, 33 ++ 55 ~~ 88,, ee a so a sommaa,, nnoo ccaassoo 88,,ttaammhheemm eeuurrnnnnuummeeroro rereaall.. • •aa-- bbeeuurnrnnnuummeerroo rereaall;; qquuaannddo o sse se suubbtrtraaeem m ddooiiss nnuummeerrosos r reeaaiiss,, 00rreessuullttaaddoo tatammbbeemm eeuurn rn nunummeerroo rreeaall.. EX

EXE E MPLO MPLO :: 44ee 1111 ssaann nllmnllmeerrooss rreeaaiiss,, 4 4 -- I I II ~~-7-7,, e e aa d

dif if eerreenn99aa,, nnoocacasso o -7-7, , tatammbbeemm eeuurnrnnnuumeromero rreeaall..

•

•(a)((a)(bb) ) e ue urrn n nnuummeerroo rreeaall;; qquuaannddoo ssee mmultultiplicaiplicam m dodoiiss nu

nummeroeros s reareaiiss,, 00rreessuullttaaddoo tatammbbeemm eeurn numurn numeero ro rreeaal.l.

EXEMPLO:

EXEMPLO:1100ee--33 ssaaoonnuummeerrosos rreeaaiiss,, (1(100)()(--33)) ==-3-300,, ee00 produto

produto,, --3300,, ttaammbbeemm eeurn nlurn nlllmmeerroo rreeaall..

• •aa//bb eeuurrn n nnuummeerro o rereaall sseeb b >>""00;; qquuaannddoo sseeddiivviiddeem m ddoioiss n nuummeeroross rreeaaiiss,, 00rreessuullttaaddo o eeuurrn n nnllllmmeerroo rreeaall,, aananaoosseer r qquuee o oddeennoommininaaddoorr ((ddiivviissoorr) ) ssee j ja a zezero.ro. E

E XE XE M M PLO:PLO: --2200 ee55ssaan n nnuummeerrooss rereaaiiss,,-2-200I I 55==- - 44,,ee00 q

quuooccieiennttee,, nnooccaassuu -- 44,,ttaammbbeemm eeuurnrnnnuummeerro o rreeaall..

•

•aa++b b = = bb++aa;; podepodemmoos s ssomomaar r ooss nunummereros os eemm ordenordenss d

diisstitinnttaas s ee00reressuulltadotado sseerraa00mmeessmmoo.. E E X X EM EM PLPLO O ::99++1155== 2

244ee 1155++9=249=24,,aassssiimm99++ 1155== 1155++99.. •

•((aa)()(bb)) == (b(b)(a))(a);; podemopodemoss mmuultltipipllicaicar r os nos nuummeeroross eemm d

diissttininttaas s oorrddeennss e 0 ree 0 ressuulltadotado sseerraa 0 0 mmeessmmoo.. EXEM EXEM P P LLO O :: (

(44)()(2266)) ==1104 e 04 e (2(266)()(44)) ==110044,,aassssimim ((44))(2(266) ) ==((2266))((44)).. •

•a -a - bb>>""bb-- aa;;quandoquando aaltlteerraammoos s aaordordem em dodoss numeronumeross nnaa s

subtraubtra99aaoo,, 00_r_r_e_e_sult_sult_a_a_d_d_o_o _s_s_e_e_a_a_lt_lt_e_e_r_r_a_a_,_, _o_ou_u_s_s_e_e_ja_ja_,_,_n_n_a_a_o_o_h_h_{a pro}_{a prop}_p_r_ri_i_edade_edade

co

commuuttaattiivva a papararassuubbttrraa9ao.9ao. £ £ X X EM EM PLPLO O :8-:8- 22==66,,mamas s 22-- 8=8=--{{ j j.. .

.··aa//bb>>"" bb / / aa;; ququanando do aallteramoteramos s aaoordrdeem m ddoossnumeronumeross nna da diivviissaaoo,, o

orreessuulltadotado sse e aaltlteerraa,, oouussee j jaa,, nnaao o hhaapproroppririeeddaadde e cocommuuttaattiivvaa pa

para ara addiivviisao.sao. £ £ X X £ £ M M PLPLO:O:88//22==44,,mmaass2 2 / / 8 8 ~~₀_0,_,₂₂₅₅_._.

•

•(a (a ++bb) +) +ee==a+(ba+(b++c)c); ; ssoommaannddo o ososnnuummeerroos s eem qum quaalqlquueerr d

diissppoossi9i9aaoo,, oobbtteemmooss 00mmeessmmoo rreessuultltaaddoo..

EXEMP

EXEMP LLO O ::(2(2++55))++99== 77++99==1166ee22 ++(5(5++99))==22 ++1144== 1166,, a

assssim im (2(2++55)) ++99==22++(5(5++99)).. •

•(ab)e(ab)e == a(be)a(be);; mmuullttiipplilieeaannddoo ooss nnuummeeroross eem m ququalqalquueerr d diissppoossi9i9aaoo,, oobbtteemmooss 00mmeessmmoo rreessuultltaaddoo.. £X£MPLO £X£MPLO :: ((44xx55))88 ==(2(200)8)8 ==116600ee44((55xx88)) ==44(4(400)) ==116600,, a assssimim ((44x5x5))88 ==44((55x8).x8). •

•AApprrooppririeeddaaddee assocassociiaattiivavananao o seseapaplliiccaaasasuubbttrra9aoa9ao oouuaaddiivviisao.sao. EXEMPLOS EXEMPLOS ::((110 -40 -4) ) - - 22==66-- 22==44,,mmaass 1100-- ((44-- 22))==1100- -2 2==88;;ppaarraaddiivvisaoisao ( ( 112 2 / / 6)6) / / 2 2 ==(2(2))//22 ==II,,mmaass 1122//(6(61122)=)=1122//33== 4 4..OObbsseerrveve qquue e oossreressuultltaaddoos s ssaaooddiissttiinnttooss.. • • aa++00==aa; ; zezero ro e 0 ee 0 elleemmeenntto o nneeuuttrro o dda aa addi9aoi9ao,, ppoorrqquuee sseeuu acresci

acrescimmo o ((ssoommaa)) nnaaoo aaltlteerraa 00reressuulltado.tado. E

E X X EM EM PLPLO O ::99++

°

==99ee

°

++99==99.. • a{I)

• a{I)==aa;; IIeeaaiiddeennttiiddaaddee(e(elleemmeennttoonneutro)eutro)ppaarraaaamultipmultiplliiea9aoea9ao p

poorqrquue e aao so seemultipmultiplliicacarr urn urn nunummeero ro ppoorr II nnaaddaa mmuuddaa.. £X

£X E E M M PLPLO O :: 2233((11)) ==23 e (23 e (11))2233 ==2233.. • • 0 0 cacassu u dda a ssuubbtrtraa99aao o eeddaa ddiivviissaaoo, , aa iiddeentntiiddaadde e eeuurnrn p prroobblleemmaa..

E

cecertrtoo qquue e 4455--

°

==4545, , mmaass

°

-

445 5 ==--445 5 eennaaoo 4 455..0 0 mmeessmmoo vvaalleeppaara ra aaddiivviissaaoo:: 44 / / 11 ==44,,mmaas s 11//44==00,2,255 e

eppoorriissssooaaiidentiddentidaadde e nnaaooppeerrmmaanneecce e eemmcasucasu ddeeiinnvveerrsao.sao.

• a + (-a)

• a + (-a) ==00;;ururn n nnuummeeroro ssoommaaddo o aao o sseeuu ininvveerrssoo aaddiittiivvoo (

(nnuummeero ro ccoomm ssininaall ooppoossttoo) ) sseemp"emp"e rreessuulltaratara eemmzerozero..

EXEMPLO

EXEMPLO ::55++((--55)) ==

°

ee((--55)) ++55==00.. A

A eexcxcee99aaoo eezzeerroo,, ppoorqrquuee °°++

°

==00,,porquporquee 00zzeero ro nnaaoo p

poossssuui i ssiimetricometrico aaditiditivovo.. •

•a (1a (1IIaa) ) = = II;; urn urn nunummeerroo vevezezes s seseu u ininveverrssoo multiplimultipliccaattiivovo o

ou u rreeccipiprroocco o ((nnuummeerraall eessccririttoo nnaaf f oorrmmaa ddeef f rraa99aaoo) ) sseemmpprere sera

sera iigguuaall aa II..£X£MPLO:£X£MPLO: 55((11 / / 5)5)== II..AA eexxce9ace9ao o eezezerroo,, p poorrqquuee eesstteennuummeerroo nnaaooppodode e seser r mmultiultipplilicacaddoo ppoorrnneennhhuumm o ouuttrro o eerreessuullttaarr eemmuurn prrn proodduuttoo ddee II.. • •aa{{bb++cc))==aabb++aaccoouuaa((bb -- cc))==aabb-- aacc;; ccaaddaa tteermrmoo ddeennttroro d dooss ppaarreenntteesseess ddeevvee sseerr mmuullttiipplilicacado do pepelo telo termrmoo aanntetess ddoo p

paarreennttese.ese. EXEM EXEM PLPLO O ::44((55++77) =) =44((55)) ++44((77)) ==2200++2288==4488.. Tra

Trattaa--ssee ddee uurnrn eexexemmppllo o sisimmpplleess,, e e aa propproprriieeddaaddee d

diisstrtriibbuuttiivvaa nnaao o eennecessarecessariiaa ppaara ra aaobobtetenn99aao o ddoorreessuullttaaddoo.. Q

Quuaannddoo sseetrtraattaa ddeeuummaa vvaaririaavveell,, aapproprropriieedadaddee ttoornrnaa--ssee e

esssseenncciiaall..

£XEM

£XEM PLPLO O ::4(5a4(5a ++77) ) ==44(5a)(5a) ++4(7)4(7) ==2200aa++2288..

•

• RREFEFLLEEXXllVVAA: : aa==aa;; ambaambas s aass ppaarrtteess dda a eeqquuaa99aao o ssaaoo i

igguuaaiiss.. £ £ X X £ £ MPLO:MPLO: 55++kk==55++kk.. •

•SIMSIMEE TRIC TRICAA: : SSe e a a = = bb, e, ennttaao o bb ==aa.. EEssttaa pprrooppririeeddaaddee p

peermrmititee trtrococaar r aassdduuaass partparteess ddeeuumma a eeqquua9ao.a9ao. £X£M

£X£M PLPLO O ::4 4 aa-7 -7 ==99 --77aa ++115 5 ttoornrnaa--sse e 99--77aa ++1155==44aa--77.. •

•TRTRANSANSITIITIVAVA:: Se Se aa==b b e be b ==cc,,eennttaaoo aa==cc.. PPeermitrmitee re

reuunniir r oosseelleemmeennttooss qquue e foforreem m iigguuaaiiss eennttrere ssii.. £XEM

£XEM PLPLO O ::EEmm55aa- - 66==99kkee99kk==aa++22,,ppooddee--sse e eelilimmiinnaarr o

otteerrmmo o cocommuumm 99kk eeliliggaar r 00tteermrmoo sseegguintuinte e a a eeqquuaa99aaoo:: 5

5aa-- 66==aa++22.. •

•PROPRIPROPRIEEDDAADDE E DDE E AADDII<<;;AAO O DDEE IIGGUAUALLDDAADDEE:: Se

Seaa==bb,, eenntatao o aa++c c = b= b ++c.c.Esta Esta propropprriieeddaaddee ppeerrmitemite a

accrreesscceennttaar r qquuaallqquueerr nnuummeerro o ou tou terermmoo aallggeebrbriiccoo aaqquuaallqquueerr e

eqquua9aoa9ao,, ddeessdde e qquue e eelle e seseja ja aacrecresscidocido aaoossddooiiss laladdooss.. E

E XE XEM M PLPLO:O:55==55; ; sseef f oracrescoracrescidid0033 aaururn ln ladadoo,,aaeeqquuaa99aaopopaassssaa a

asseerr88==55((00ququeeeeerraerraddoo)),, mmaass,, ssee00mmeessmmo o vavalloor r foforrssomadoomado n

noossddooiiss llaaddooss,, tetemm--se se umuma equa equa9a9aao o ccoorretrretaa:: 88=8=8..TTaambemmbem 5

5aa++44== 14torna14torna--ssee55aa ++44++((--4)=4)= 1144++((--44)) sseefoforraaccrreesscidocido -4

-4 eemmaammbbooss ososllaaddooss.. RReessuultlta a a ea eququaa99aao o 55aa==1100.. •

•PROPRIPROPRIEEDDAADDEE DDE E MUMULL T TIPLIIPLICCAA<<;;AOAO DDEE I

IGUAGUALDLDAADDEE:: Se a =Se a =bb,,eentntaao o aacc ==bbcc quandquando o cc>>""OO.. P

Peermrmiittee mmuultltipipliliccaar r aammbbooss ooss llaaddooss ddaa eeqquuaa99aaoo ppoorr uurrnn n

nuummeerro o ddiifeferreennttee dde e zzeeroro.. E E X X E E M M PLPLO O :: Se 4aSe 4a==--2244, , eennttaaoo (

(44aa)()(00,,2255)) ==(-2(-244)()(00,,2255) ) e e aa==--66. . NoNottee qquuee oossddooiiss ladoladoss fo

forraamm mmuullttiippliliccaaddooss ppoorr 00,,2255..

•

•N~N~MEROMEROS S NATURAlSNATURAlS::

p

,

22, , 33,,44,,55,,...,,IIII,, 1122,,...}} •

• NUMEROSNUMEROSINTEIROS:INTEIROS: {{ ,,--44,,--33,,--22,,-1-1,, 00,,11,,2,3,2,3,44,, ...}} •

•SEQUENSEQUENCCIAISIAIS:: {{OO,,11,,22,, ,1,100,, IIII,, 1122,,1133,,...}} •

•NNUUMEROMEROSS RACIORACIONNAISAIS:: {p{p / / q q

I

pp ee qq ssaaoo nnuummeerrooss i

inntteeiirrooss,, qq>>""OO}};os c;os coonnjjuunnttooss ddeennuummeerrooss nnaattuuraraiiss,, nnuummeeroross i

inntteeiirrooss eesseeqquueenncciiaaiiss,, aassssimim cocommo o ososnnuummeerrooss qquue e ppooddeemm s

seerr grafagrafaddooss eem m f f rara9900eess,, ssaao o ssuubbcoconn j juunnttooss ddooss nnuummeeroross raeio

raeionnaaiiss.. •

•NNUMEUMEROROSS IRRACIOIRRACIONANAIISS:: {{xxll xxeeuurnrn nnuummeerro o rereaall,, m

maass nnaaoo uurnrnnnuummeeroro racionracionaall}};; oossconjuntoconjuntoss ddee numeronumeross ra

racciioonnaaiis s eeiirrrraacciionaisonais nnaaootteerrnneelleemmentoentos s eemmccomumomum eeppoorr i

issss..o o ssao ao conconjjuunnttooss ddeessaartrtiicucullados.ados. •

•NNUUMEMEROROSS RREAEAISIS: : {{xxIIx ex eaacocooordrdeennaaddaa dedeururn n ppoonnlolo eemm um

uma a linhlinhaa nnuummeericarica}}; ; a a uunniaiao o ddoo cconjunlonjunloo dede nnuummeeroross r

raaccionaiionais s ccom om urn courn conjunnjunto to de nde numumererooss irirraracciioonnaaiiss eeqquuiivavallee a

aoo..conconjunto junto de nude nummeroeros s ~~eaeaiiss.. •

•NUNUMMEEROROSS IMIMAAGIGINANARIOSRIOS: : {{aaii IIaaeeurn urn nunumemero ro rreeaall ee i

i e e 00 nnuummeerro o ccuu ja ja sseegguunndda a ppootteennciciaa ee-I-I}};; ;2;2 ==-- II;; ooss conj

conjuunnttooss ddee nnuummeerrooss rreeaais is ee imimaaggininaarriiooss nnaaoo tteerrnn e

ell""mmeennttooss cocommuunns s e e ssaao coo conn j juunntotoss ddeessartiarticcuullaaddooss.. •

•NUMENUMEROROS S COCOMPMPLEXOLEXOSS:: {{aa++bbii

I

aaeebbssaaoo nnuummeerrooss r reeaaiis s ee ii e e 00 nnuummeerro o cucujjaa sseegguunndda a ppOOlelenncciiaa e e-- II}}; ; 00ccoonjunjunnto to ddeennuummeerrooss rreeaaiiss ee00dde e iimmaaggiinnaarriioos s ssaann s suubbcoconnjujunnttooss ddooss nnuummeerroos s ccoommpplleexxooss..

(2)

e TOTAL ou SOMA e0 resultado da adiyao. Os numeros acrescidos sao chamados parcel as .EXEMPLO: _{Em 5 +9}

=14,05 e 0 9 sao parcelas e 0 14e 0 total.

e DIFEREN<;:A eoresultadodasubtrayao. 0 nlimerosubtraido echamado desubtraendo. 0 numero do qual 0subtraendo e extraido e denominado minuendo. EXEMPLO: _{Em25- 8=}

17,025 eo minuendo, 08e0subtraendo e017 eadif erenya. e PRODU TO e0resultado deumaoperayaodemultiplicayao.

Os numeros multiplicados sao chamados de fatores.

EXEMPLO: _{Em 15 x 6 ~90, 015 eo 6 sao fatores e0 90}

e 0 produto da multiplicayao.

e QUOCIENTE e 0 resultado de uma divisao. 0 numero dividido e chamado de dividendo e aquele pelo qual ocorre a divisao e chamado de divisor. Se restar urn numeral nofinal daoperayao dedivisao, elerecebe 0nome de resto. EXEMPLO: _{Em 45 .;- 5=9, quetambem pode ser}

representado por 45Li.(le-se 5 divide 45) ou 45/5, 045 e o dividendo, 0 5e 0 divisor e 09 e0 quociente.

e 0 EXPOEN TE indica 0 numero de vezes que a base e multiplicada por si mesma, isto e, funciona como urnfator.

EXEMPLO: _{Em 53, 0 5 e a base e 0 3 corresponde ao}

expoente e 53 =(5)(5)(5) = 125. Observe que a base, no caso 5, foi multiplicada por si mesma 3 vezes.

e NUMEROS PRIMOS sao numeros naturais maiores que 1 e que possuem apenas dois divisores: ele mesmo e 0 numero 1.EXEMPLO: _{7 e urn numero primo porque pode}

ser dividido apenas por 7 epor 1; 13e urn numero primo porque pode ser dividido apenas por dois divisores: 13e 1. e NUMEROS COMPOSTOS sao numeros naturais que possuem mais de dois divisores. EXEMPLO: _{15 e urn}

numero composto porque 1, 3, 5 e 15 podem ser multiplicados eresultar em 15;9 e urn numero composto porque 1, 3 e 9 podem ser multiplicados e resultar em 9. e

o

MA.xIMO DIVISOR COMUM(MDCl deurncon junto denumeros e0maior numero natural quepode dividir cada um dos numeros de urn conjunto; ou se ja, 0 maior numero natural que dividira todos os numeros do con junto sem resto. EXEMPLO: _{0 maximo divisor comum de 12,30 e42}

e 6, porque 6 e 0 maior numero que divide igualmente 12, 30 e 42 sem deixar resto.

eo

MINIMO MULTIPLO COMUM (MMCl de um conjunto de numeros e 0 menor numero natural que pode ser dividido emuma conta exata (sem resto) por todos os numeros do corijunto. EXEMPLO: _{0 minimo multiplo}

comurn de 2, 3e4 e 12, porque, embora todos os numeros docon junto sejamdivisores exatos dediversos dividendos, como 48,36,24 e 12,0 menor e 12.

eo

DENOMINADOR deuma f rayao e 0 numero que f ica embaixo e indica 0 divisor dareferida f rayao. EXEMPLO:

No caso de 5/8, 0 numero 8e 0denominador e tamb"m 0 divisor da divisao.

eo

NUMERADORde umafrayaoe0 numeroqueficaemcima, ouseja,0dividendodaoperayaodedivisaoexpressanaf rayao.

EXEMPLO: _{No casodafrayao 3/4, 0nlimero 3eo numerador}

etambem corresponde aodividendo daoperayao dedivisao.

eA CASA DECIMAL decadadigito emumnumero debase dez depende desua posiyao emrelayaoit_{virgula decimal.}

A posiyao dos numeros representa a multiplicayao por dez.

EXEMPLO: _{Em324, 03equivalea300porquee 3vezes 10}2

(102 _{= 100).02 equivale a20 porque e2 vezes 10}1₍₁₀1 ₌

10) e0 4 equivale a4 vezes porque e4 vezes 100_(100~1).

Existe uma virgula decimal invisivel it _{direita do 4. Em}

5,82,05 equivale a5vezes 1porque e5vezes 100(100=1), o 8 equivale a 8 vezes um decimo porque e 8 vezes 10-1

(10-1 =0,1 = 1/10) e 0 2 equivale a2 vezes urn centesimo

porque e 2 vezes 10-2_(10-2_{=0,01 = 1/100).}

e Escreva 0 numero que esta depois davirgula decimal na posiyao denumerador (em cima) da f rayao.

e Escreva a casa decimal do ultimo digito como deno-minador (embaixo) dafrayao. Todososnumerosit_esquerda

da virgula decimal sao numeros inteiros.

EXEMPLO: _{Em 4,068,0 ultimo numero antes davirgula}

decimal e 0 8, que ocupa a casa dos milesimos. Por isso, 4,068 e representado por 41g g "

e Noteque0_{numero de zerosno denominadorequivale ao de}

digitosexistentes depoisdavirgu1anonumerooriginal.

e Escreva os numeros decimais navertical alinhando pelas virgulas, para que as casas decimais correspondentes fiquem uma sobre as outras.

e ADI<;:AO

EXEMPLO: _{23,045 +7,5 +143 +0,034 ficaria:}

23,045 7,5

143,0 porque existe uma virgula decimal 0,034 apos 0 numero 143.

173,579

e Regra: Sempre divida por urn numero inteiro.

e Se0 divisor f or umnumero inteiro, simplesmente divida e traga a virgula decimal para 0 quociente (resultado).

EXEMPLO: _0,16~

\..-0,04

e Se 0 divisor for um numero decimal, coloque a virgula decimal atras do ultimo digito. Mova avirgula decimal no dividendo, namesma quantidade de"casas". Divida etraga avirgula decimal para dentro do quociente (resultado).

t

EXEMPLO: 3~~

" -.1 .

0_,

e Esse processo f unciona porque tanto 0 divisor como 0 dividendo sao de fato multiplicados por uma potencia de dez, isto e, 10, 100, 1000 ou 10000, para mover a virgula decimal.

EXEMPLO:

.3...S

x 100=₃₅₀ =₇₀ 0,05x 100 5

e Seosnumeros a serem somados tiverem0mesmo sinal,

SOME-OS. 0 resultado tambem tera 0 mesmo sinal.

EXEMPLOS: _{(-4) +(-9) =-13 e5 + 11=16.}

e Seos numeros aserem somados tiverem sinaisdiferentes,

SUB TRAIA-OS. 0 resultado vai apresentar 0 sinal do numero mais alto (ignore os sinais ou considere apenas 0 valor absoluto dos numeros para identificar 0 maior).

EXEMPLOS: _{(-4) +(9)~5e (4) +(-9)}=_-5.

o

Teorema Fundamental da Aritmetica determina que todos os numeros compostos podem ser grafados como urn produto unico dos numeros primos. EXEMPLO: _15=(3)(5),

em que 15 e composto e tanto 3 como 5 sao primos; 72 = (2)(2)(2)(3)(3), em que 72 ecomposto etanto 2 como 3 sao primos; note que 72equivale a(8)(9), mas isso nao demonstra o teorema, porque nem 8 nem 9 sao numeros primos.

e Escreva os nlimeros decimais na vertical alinhando pelas virgulas, para que as casas decimais fiquem uma sobre as outras.

e Acrescente zeros apos 0 ultimo digito depois da virgula decimal no minuendo (numero doalto) senecessario (tanto o minuendo quanta 0 subtraendo devem ter 0 mesmo numero de digitos apos avirgula decimal).

eEXEMPLO: _{Em 340,06 - 27,3057, 0 340,06 temapenas 2}

digitos apos a virgula e por isso epreciso acrescer zeros, uma vez que 27,3057 conta com4 digitos apos a virgula. Assim, aoperayao passa a ser: 340,0600 - 27,3057.

e Mude a subtra9ao para adi9ao do numero oposto; a- b= a+(-b); ou se ja, altere 0 sinal desubtrayao pelo deadiyao e mude0 sinal do numero quevemdepois dosinal desubtrayao para 0 sinal contrario. V ejaasseguintesregras deadiyao:

EXEMPLOS:

(8) - (12) ~(8) +(-12) = - 4; (-8) - (12) =(-8) +(-12) =-20; (-8) - (-12) ~(-8) +(12) =4.

Observe que 0 sinal do numero em frente ao sinal de subtrayao nunca se altera.

e DESCR1<;:AO:Aordemnaqual seefetuaaadi,ao, asubtra,ao, a multiplica,ao ea divisao determina0resultado.

eORDEM

1.Parenteses: Quando houver, todas as operayoes grafadas entre parenteses devemser f eitas primeiro. 0 mesmo vale para os simbolos { }(chaves) e [] (colchetes).

2. Expoentes: Numerais com expoentes sao solucionados em segundo lugar, quando houver.

3. Multiplica9ao e Divisao: Estas opera,oes devem ser solucionadas em terceiro lugar, obedecendo it_{ordem em}

que aparecem, daesquerda para a direita.

4. Adi9ao e Subtra9ao: Estas operayoes devem ser solucionadas em quarto lugar, obedecendo it_{ordem em}

que aparecem, da esquerda para adireita.

e Conte 0 numero de digitos depois da virgula decimal em todos os fatores.

e Conte 0 numero de digitos depois davirgula decimal no resultado. Essenumero deveapresentar amesmaquantidade dedigitos apos avirgula decimal emtodos osfatores. Nao e precise alinhar os fatores pela virgula para fazer a multiplicayao.

EXEMPLO: _{Em (3,05)(0,007), multiplique os numeros e}

conte os 5 digitos que estao depois da virgula demodo a colocar cinco digitos depois da virgula no resultado da opera,ao. Assim, (3,05)(0,007) =0,02135.

Esse processo funciona porque 0,3 multiplicado por 0,2 pode ser grafado naforma de frayao, 3/10vezes 2/10, que equivale a6/100etambem a 0,06 como numero decimal-dois digitos depois da virgula decimal no problema e tambem noresultado.

Em multiplica,ao e divisao, siga estas regras para determinar 0 sinal do resultado:

e Seos numeros tiverem 0 mesmo sinal, 0resultado sera

POSITIVO.

e Se os numeros tiverem sinais dif erentes, 0resultado

sera NEGA TIVO.

e No caso de urn numero ser maior que outro, aplicam-seas mesmas regras acima para determinar 0sinal do

resultado.

EXEMPLOS: _{(-2)(-5) ~10; (-7)(3) ~-21; (-2)(9) =-18.}

NEGATIVO DUPLO

e -(-a) =a, ou se ja, 0 sinal na frente do parentese muda 0 sinal do conteudo entre parenteses. EXEMPLOS: _{-(-3) ~}

(3)

• Dividanumerador (emcima) edenominador( embaixo) pelo mesmo nlimero, obtendo umafra9aOequivalente comtermos menores. 0 processo pode ser repetido.

EXEMPLO: 20+4 S

32+4 "8

ADlc;io

t+~=~

_{onde uO}

• Mude para fra90es equivalentes com urn denominador

comum.

2 1 S .

EXEMPLO: No caso de

"3

+

4

+

6"

slga estes passos: 1.1dentifique 0minimo denominador comum determinando

o menor numero pelo qual podem ser divididos de forma exata (sem resto) todos os denominadores. EXEMPLO: 3, 4 e 6 san divisores de 12.

2.Multiplique0numerador e0denominador decada fra9aOde

modoque0valornao mude,mas queseobtenha0denominador

comum.

EXEMPLO'

~x.i

!x~ ~x~ _ ~ ~ 10 . 3 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 - 12 + 12 + 12 3.Some os numeradores emantenha0mesmo denominador,

porque a soma das fra90es depende de partes iguais. EXEMPLO:

A

+

{2

+

f~

₌

i~

₌

1 {2

=

1t

SUBTRAc;io _

1!. _ Q=a- b onde co"O

c c c

•Altere asfra90es equivalentes para adotarum denominador comum.

I. Encontre0minimo denominador comum determinando 0

menor valor que podeser dividido sem resto por todos os denominadores (n6mero inferior daf ra9aO).

EXEMPLO: ~ -

t

2. Multiplique 0numerador e0denominador pelo mesmo

numero de modo que0valor da fra9aOnao mude, mas se

obtenha0denominador comurn.

EXEMPLO:

~-*~j

=~- J

3.Subtraia osnumeraaores emantenha0mesmo denominador,

porque a subtra9aO das fra90es consiste em encontrar a dif eren9a entre as partes iguais.

EXEMPLO: ~

~

MULTIPLlCAc;io

1!.xQ=a x b onde co"O e dol'O c d cxd

• NAO epreciso achar denominador comum.

1. Multiplique osnumeradores (emcima) emultiplique os de-nominadores (embaixo). Emseguida,simplifique0resultado.

2 6 _ 12+12 _ 1

EXEMPLO: 1"x12 - 36+12-1"

2.0U sirnplifique todos osnumeradores (emcima) comqual-quer denominador (embaixo) edepois multiplique osnume-radores e os denominadores.

I 2

EXEMPLO:

-t.

xi f =

1.-,31 lZ6 3

DIVISio

1I.+Q=1I.x.d= axd onde c*O' M O' b;tO c d c b cxb "

.NAO epreciso achar denominador comum.

1. Troque 0sinal de divisiio pelo de multiplica9ao; ou

seja, inverta a fra9aO que funciona como divisora e inverta0sinal da Opera9aO.

EXEMPLO: t +

-t

passa parat x

t

2.Em seguida, efetue a opera9iio de multiplica9iio como indicado acima. 2 1

EXEMPLO: ~ x % -

2

J f 3 £1- 3

Aspecto gerais

• Definifiio de nitmeros mistos:Numeros inteiros seguidos defra90es; ou seja, numero inteiro acrescido deumafra9aO. EXEMPLO: 4± significa 4+±

• Fra90es improprias saofra90escomumnumerador (nlimero superior) maior do que0denominador (numero inferior).

• Conversoes

I.Numero misto para fra9ao impropria: Multiplique0

deno-minador(embaixo)pelonumerointeiroesome0numerador(em

cima)paraencontrar0numerador dafra9aoimpropria. 0

deno-minador dafra9aOimpropria 60mesmo do nUmeromisto. (+}

EXEMPLO: 52=

_to

3x5+2 =12

3 3

2.Fra9iioimpropria paranumeromisto:Divida0denominadorpelo

numeradoreregistre0restosobre0divisor(0divisor60mesmodo

denominadordafra9aOimpr6pria). EXEMPLO' 17signif ica 17l2.-.

. 5 1§ 3~

2 5

• Some os numeros inteiros.

• Some asfra90es seguindo os passos daadi9aOdescritos na respectiva parte deste guia.

• Se0resultadoconstitui umafra9aOimpr6pria,mude-aparaurn

nllineromistoesome; nume:ointeiro@re~SUltanteaor;sultado~nal. EXEMPLO'_. 4-+₅7-₅=11- =11₅ +1-= 12-₅ ₅

• PRIMEIRO SUBTRAIAA FRAC;AO.

1.Sea fra9ao do numero maior for maior do que a fra9aOdo nUmeromenor,sigaosprocedimentos parasubtra9aOdefra90es descritosnesteguia eemseguida subtraia osnumeros inteiros.

EXEMPLO:

7 ~-2i

=S~=St

2.Caso contnirio, "empreste" UM donumero inteiro esome

a

fra9aO (6 preciso que os denominadores se jam comuns) antes de subtrair. 6':'=S +1.+~=S2.

, 7 7 7

5 5

EXEMPLO: - 37"= - 37" 2,!

ATALHO PARA 0 "EMPRESTIMO": Siinplifique 0

numero inteiro porum, substitua0numerador pela soma

(adi9aO) do numerador e do denominador da fra9aO e mantenha0mesmo denommador. /"'<

6~

=

5

+

_{L !:. J .}

=

52

7~ 7 EXEMPLO:

-32

=

-32

7 7 2 . ± 7

Transforme os numeros mistos em uma fra9aO impropria e siga os passos para multiplica9aO e divisao de fra90es.

RAZAO, PROPOR

• Dejinifiio: COmpara9aOentreduasquantidades. • Formas: 3 para 5, 3:5, 3/5, 3 .

5

• Definifiio: Porcentagem significa "por 100"ou"emcada 100:' • Percentual e fra90es equivalentes

1.Percentuais podem ser escritos como f ra9aO, com0numero

sobre 100 e simplificando ou reduzindo.

30% =

{ o o o

=130 4,5%=~=

1 9 ~0

=

2 g 0

2.A s fra90es podem ser transformadas em porcentagens adotando 0denominador 100. 0 numerador 60numero

percentual.

Perimetro: 0 perfmetro, P,deuma forma bidimensionaJ e a so-ma do comprimento detodos os seus lados. Area: A area, A,de uma forma bidimensional e0ntimero de unidades quadradas

(unidadesdearea: m', cm' etc.) quepodemser colocadas dentro do espa~odelimitadopelos lados dafigura.Obs.:A area

e

obtida por UffUl combinagiio que multipli ca bases e alturas, as quais sempre formam entre si iingulos de 90°, exceto em cfrculos.

Volume: 0 volume, V,deuma formatridimensional e0ntimero

de unidades cubicas (unidades de volume: m3, cm3 _{etc.) que}

podemser colocadasno espa~odelimitadopelos lados dafigura.

AreadoQuadrado:

I

A=hb; seh=8 e b=8, pois oslados doquadrado sao h do mesmotamanho, entao:A=64 unidades quadradas. b Areado Retfulgulo:

A=hb; seh=4 eb=12, entao:

A=(4) (12), A=48 unidadesquadradas. Areado Triingulo:

A=bxhl2;seh=8 eb=12, entao:

A=12x8/2, A=48 unidadesquadradas.

AreadoParalelogramo: A=hb;seh=6 eb=9, entao:

A=(6)(9), A=54 unidadesquadradas. AreadoTrapezio:

A=(b[+bl)hJ2; seh=9, b1=8 e bl=12,

entao:A=(8+ 12)9/2, A=9 x20/2,

A=90 unidades quadradas. bl

Areado Cfrculo: __

A=nr2; sen=3 ,14 e r=5, entao:A=(3,14) (5)2, A=(3,14) (25), A=78,5unidades quadradas.

Circunferencia:C=2nr,C=(2)(3,14)(5) =31,4unidades.

-~ b ~ b bl TeoremadePitagoras:

Seurntriingulo retfulZuJ oternhipotenusac

eladosa eb, entao c =a2+b2 Volumedo PrismaRetangular: V=lwh;se1=12,w=3 eh=4, entao: V=(12) (3) (4), V=144unidadesctibicas. ~b a

he:t:P

_w _I

e[]J

_e _e ~h Volumedo Cubo:

V=e3, ja que emurncubatodos oslados,e,tern o mesmo tamanho. See=8, entao:V=(8) (8) (8), V=512unidadesctibicas.

VolumedoCil indro:

V=nr2h; ser=9 eh=8, entao:V=n(9)2(8), V=3,14(8I)(8), V=2034,n unidadesctibicas. Volumedo Cone:

V=1I3nr2h; ser=6 e h=8, entao:V=1I3n(6)2(8), V=113(3, 14)(36) (8), V=301,44unidadesctibicas. VolumedoPrismaTri angular~

V=(areadotriangulo)h; se 12 ternarea

igual a 1/2(5)(12), entao: V=30h, eseh=8, entao:V=(30)(8), V=240unidades cubicas. VolumedaPirfunidedeBaseRetangular:

V=I/3(area do retingulo)h; se1=5e w=4,0retangulo

ternareaigual a 20, entao: V=1I3(20)h, eseh=9, entao:V=1I3(20)(9), v=60 unidadesctibicas. VolumedaEsfera:

V=~\; ser=5, entao:

V=~, V= J 5ffr,523,3 unidadescubicas.

AO E PORCENTAGEM

• Percentual e numeros decimais

I.Paramudar urn percentual para urn numero decimal, mova a vfrguJaduas casas para aesquerda.

45% =0,45; 125% =1,~ ;

EXEMPLOS: 6%~

o,Q §;

3,50/o~O~5

2.Paramudarurnnumero decimal para percentual,movaa virgula duas casaspara adireita.

EXEMPLOS: 0,47=~%; 3,2 = 3~%; 0,205= ~5 %

• Definifiio: Rela9aOda igualdade entre duas fra90es ou razoes. • Formas: 3esmpara5 como 9esmpara 15,3:5 ::9:15,~=[95

• Solu~ao: modifique as fra90es para fra90es equivalentes com denominadores comuns, encontrenumeradores(emcima) iguaise resolvaaquestiio.EXEMPLO:

t

=-1 t r '

1 tr

=-1 t r ,n =15 • M ultiplique em cruz eresolva a equa9ao resultante.

EXEMPLO: ll.'uI'.1 5 =21 =21+5

(4)

• Variaveis sao tetras usadas para representar numeros. • Constantes sao numeros especificos que nao sac multiplicados

por qualquer variavel.

• Coeficientes sac numeros multiplicados por uma ou mais

variaveis.EXEMPLOS: -4xy tem um coeficiente de -4; 9 m3

tern urn coeficiente de 9; x tern urn coef iciente invisivel de 1. • T ermos sao express5es constantes ou variaveis.

EXEMPLOS: 3a; -5c4_{d; 25mp3r}5; 7.

• T ermos semelhantes ou iguais sao os que tern as mesmas va-riaveis ao mesmQgrau ou valor exponencial. as coeficientes nao se alteram e podem ser iguais ou nao.

EXEMPLOS: 3m' e7 m' sao termos similares porqueambos

tern a mesma variavel amesma potencia ou ao mesmo valor

exponencial. -15a6b e6a6b saotermos similares, mas 2x4e6x3

nao sao, porque, apesar da mesma variavel, x, urn esta elevado

a

potencia 4 eoutro

a

potencia 3.

• Expressiies algebricas saotermos relacionadospela adi,ao ou subtra,ao.EXEMPLOS: 2s +4a' - 5e umaexpressaoalgebrica comtrestermos, 2s, 4a' e5.

.Equa,iies algebricas saorela,5es deigualdadeentrenominimo dois termos.EXEMPLOS: 4z=28 e uma equa,ao algebrica, assimcomo 3(a- 4)+6a~10.Observequeambososintegrantes tern sinal igual.

• Inequa~oes algebricas sao equayoes que apresentam ossinais de >, <, >ou<entre dois termos.EXEMPLOS: 50<-2x e uma inequa,iio algebrica, assimcomo3(2n+7)>-10.

FORMULAS: % do aumento _ total do aumento ou 100 valor ongmal

(valor original) x(%do aumento)=total do aumento Se0 total do aumento nao for inf ormado, pode ser obtido por meio daseguinte opera,ao: (valor novo) - (valor original) =

total do aumento. EXEMPLO: A empresa X tinha 10.000 empregados em 1992 e 12.000 em 1993. Percentual do aumento =12.000 - 10.000=2.000

(); n _ 2000 n ~20e% do aumento=20%

% do aumento 100 - 10000 porque % significa entre 100 .

valor com desconto

---10-0-- = prevo original au (pre,o original) x(%do desconto) =valor com desconto Para caleular, (valor com desconto) =_{(pre,o original)}

-(pre~o novo). EXEMPLO: A empresa X passou avender por R$ 150 os ternos oferecidos a R$ 250. Qual 0 desconto?

0'd d t n R$100

'0 0 escon 0 T O O =R$250

assimn=40 e%do desconto=40%

• Tipo I: a(e +d)=_{ac +ad.}

EXEMPLO: 4x3(2xy +y' ) ~8x4y +4x3y2

• Tipo2: (a+b)(e+d)~a(e+d)+b(e+d)=ae+ad +be+bd

EXEMPLO: (2x+y) (3x 5y)~2x(3x 5y)+y(3x 5y) ~6x' -I Oxy+3xy- 5y2 ~ 6x' - 7xy- 5y20mesmo pode ser feitocom

oMetodo FOIL para Produtos deBinomios (vejao Resumiio-ALgebra 1). Trata-se de urn metodo para a multiplica,ao

envolvendo apenas dois termos, que consiste em multiplicar primeiros term os por primeiros termos, term os extern os entre si, term os internos entre si e ultimos termos tambem entre si.

COMBINA~AO

-ADI~AO

OU

SUBTRA~~Q

• REGRA: Combine (some ou subtraia) apenas os coeficientes dos termos semelhantes e jamais mude os expoentes durante a opera,ao de adi,ao ou subtra,ao. a+_a=2a

EXEMPLOS: 4xy3e-7y3x sao termos semelhantes, embora xey3nao estej amnamesma ordem epossam sercombinados deste modo: 4xy J+-7y Jx ~-3xy3 (note que sooscoeficientes

foram combinados, porem os expoentes nao mudaram); -15a'bc e 3bca5_{nao sao termos semelhantes,}

porque os expoentes de a sao distintos e nao podem ser somados ou subtraidos.

• Elimine todas as fra~oes usando a Propriedade de Multiplica,ao de Igualdade (pode apresentar erro se mal aplicada).

EXEMPLO: 1/2 (3a + 5) = 2/3 (7a - 5) + 9 seria multiplicado nos dois lados do sinal de igual pelo menor denominador comum de 1/2 e 2/3, no caso 6, resultando 3(3a +5)=4(7a - 5) +54. Note que apenas 0 1/2,02/3 e

o 9 foram multiplicados por 6, mas nao 0 conteudo dos parenteses, que serao solucionados em seguida.

• Simplifique e remova todos os parenteses que houver.

EXEMPLO: 3(3a + 5)=4(7a - 5) + 54 fica 9a + 15 ~ 28a - 20 +54.

• Combine os termos semelhantes situados do mesmo lado do sinal de igual. EXEMPLO: 9a + 15~ 28a - 20 + 54passa a ser 9a + 15=28a +34porque os unicos termos semelhantes do mesmo lado eram -20 e +54.

• Use a Propriedade de Adi~ao de Igualdade para somar termos semelhantes do mesmo ladodosinal deigual, mais de umavez seforpreciso.0_{ob jetivo serareunir todos ostermos}

comamesma variavel domesmo ladodosinal deigual etodas as constantes sem variaveis do outro lado do sinal.

EXEMPLO: 9a+15=28a+34passaa ser 9a+15- 28a - 15

~28a+34- 28a -15. Note quetanto -28ae-15f oramsomados nos dois ladosdosinal ao mesmo tempo.0_{resultado passaa}

ser -19a=19apos asubtra,ao ou adi,ao dos termos.

• UseaPropriedade deMultipliea,ao deIgualdade paraachar0

coeficientedavariavell.EXEMPLO: -19a=19seriamultiplicado amambasaspartespor -1/19(oudivididopor -19)parachegara

I diantedea, eaequa,ao resultaemla=19(-1/19)oua~-1.

• Confirme 0resultado substituindo-o pela variavel na

equa~ao original para ver se nao h:i erro.

comissao em R$ 100 vendas emR$

(vendas em R$) x(%da comissao) =comissao em R$

EXEMPLO: Um corretor ganhou 4% sobre a venda de uma casa por R$ 125.000. Caleule a comissao.

% dacomissao'

-- =L _

comissao em R$

o .100 - R$125.000 ou (R$ 125.000)x (4%)=comissao emR$=R$ 5.000.

0, AS %damargemdelucm _ margemdelueroemR$

F RMUL: 100 pre,ooriginal ou (pre~o original) x(%da margem de lucro)=margem emR$ Paracalcular,(margem emR$)=(pre,o novo)- (pre~ooriginal)

EXEMPLO: Uma empresacomprablusaspor R$ 20 e vendepar R$44a unidade. Calcule0percentual damargemdelucra.

D 24

margememR$ ~R$44 -R$20~R$24%damargemdeluera:100=₂₀

Assimn=120e% damargem de lucro=120%.

%dolucra lucra emR$ FORMULAS: 100 total do ganho em R$

ou (total do lucro em R$) x(%lucro) =lucro em R$ Para caleular, lucro R$ =(total do ganho) - (despesas).

EXEMPLO: Uma empresa tem despesas deR$ 150.000 eurn lucra de R$ 10.000. Caleule 0 percentual do lucro.

Total do lucro=R$ 150000 +R$ 10.000=R$ 160.000 % d I_o . n 10000

0 ucra. 100 = 160000

aU(R$160.000)x( n ) ~R$10.000.Emambososcasas,lucro=6,25%.

• Defini fiio: 35 ~(3)(3)(3)(3)(3); isto e, 3 recebe 0 nome de baseeemultiplicado por si mesmo 5vezes, pois 0expoente e 5. am=(a)(a)(a) ...(a); ou seja, 0 a e multiplicado por si mesmo mvezes.

• Multiplica,ao de mesma base (bases iguais):

(amHan) =am+n; conserve abase esome os expoentes, no

caso a, ou seja, apenas some os expoentes.

•M Ultipliea,ao dos termossemelbantes: Multiplique todos os termos e nao so os semelhantes.

• REGRA: Multiplique oscoeficientes eas variaveis (quer dizer, some os expoentes com amesma variavel).

EXEMPLO: (4a4c)(-12a'b Je) =-48a6b3c2,

Note que 4 vezes -12 resulta -48, a4vezes a2e igual a a6,

c vezes e resulta e' e b3 _{foi grafado para indicar a}

multiplica,ao por b, mas 0 expoente nao muda no caso de b porque havia apenas um b no problema.

• Sigaos mesmos procedimentos para solucionar uma equa,ao deprimeiro grau descritaao lado, exceto no seguinte aspecto: • Exee,ao: Ao aplicar a Prapriedade de Multiplica,ao, 0

sinal de desigualdade deve mudar se voce multiplicar por um numera negativo.

EXEMPLOS: 4m >-48, 4m(1/4) >-48(1/4), m> -12; -5x> 65, -5x(-1/5) <65(-1/5), x<-13

, % dareduyao

FORMULAS: 100 valor original ou (valor original) x(%da redu~ao) =total reduzido Para caleular, total reduzido =(pre,o original) - (pre,o novo)

EXEMPLO: Uma empresa tinha 12.000 funcionarios em 1993 e 9.000 em 1994. Calcule a redu,ao. Total reduzido =12000 - 9000=3000 O/d d -. n _3000 / 0 are u,ao. 100 - 12000 Assim,n=25 e % daredu,ao =25%.

~ ~

% DE DESPESAS /

~:iw

FORMULAS' % das despesas = despesas em R$ . 100 renda total

ou (renda total) x(%das despesas) =despesas em R$

EXEMPLO: Uma empresa apresentou um f aturamento bruto de R$250.000 elucro liquidodeR$ 7.500. Calculeopercentual das despesas. Despesas: ~R$ 250.000 - R$ 7.500=R$ 242.500.

0/ d d . n _ 242500 / 0 as espesas. 100- 250000

Assim, n=97 e % das despesas =97%.

FORMULAS: i=prt.

ou (valor total) =(principal) + juros

Em que i=juras

p=principal; soma emprestada

r=taxa de juros

t ~ tempo; expresso nomesmo periodo que ataxa dejuras. Por exemplo: se a taxa for anual, 0 tempo econtado emanos ou partes dele. Sef or mensa I, caleulam-se os meses.

EXEMPLO: Umcliente emprestou R$ 5.000 de um banco a uma taxa de 6% ao ano. Ao devolver 0dinheira apos 3meses, quais osjuras aplicados?

juros em R$=prt=(R$ 5.000)(6%)(0,25) =R$ 75 Observe que os 3 meses equivalem a 0,25 de um ano. Soma total = p +i =R$ 5.000 + R$ 75 ~R$ 5.075.

JUROS COMPOSTOS

:~~''fiW:

FORMULA: A=p(l+.ft)Dt Em que:A ~valor total

p=principal; soma emprestada

r =taxa de juros, em geral anual

t=tempo, emgeral expresso em anos

n=numero total de periodos

A=p(1 +i-)nt A = 100(1 + .044)(4x8) A = 100(1.01)32 A = 100(1.3749) A =137.49 depositou R$ 100 em uma caderneta depoupan,a com

Barros, Fischer

&

Associados

R e s u m a o

Tradu~ao:Monica Tambelli Edi,ao: MarciaMenin Arte: MauricioCiof f i Consultora: CristianeCoppe

Rev isao: Marcia Menin

Resumao- Matematica(Serie de C i anc i as Exat as, n' 7)eumapublica-,ao daBarros.Fischer&

BarCharts,Inc.2002.USATodososdireitosreser-vadas. A serie de resumos de ciencias exatas e urna criativa f onte de

con-sulta para s er usada em sala d e aula, como f erramenta de apaio na rea-IiZ8y8.0de tarefas escolares e como f orma de memorizac;ao durante a revi-sac antes das provas. Duravel e de b aixo custo, esta f erramenta de estudo vai acompanhar voce ate mesmo depois da conclusao de seus e studos.

Enderego: RuaUlpiano.86 Lapa,SaoPaulo,CEP05050-020 T el efone /l ax ..0(xx)113675-0508 Atengao E expressamente proibidaa reproduc;ao totalouparcial do con-teudodestapublica,ao

sem a previa