Estruturas Algébricas
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Moisés Toledo Moisés Toledo∗∗ 13 de abril de 2012 13 de abril de 2012 11 SoluçSolução ão de de exerexercíciocícios - s - ListListaa№№11
Exercíc
Exercício io 1.1. Faça os itens seguintes:Faça os itens seguintes: a) Seja
a) Seja GG == {{e,e, gg11,, gg22, . . . , g, . . . , gnn}} um grupo abeliano de ordemum grupo abeliano de ordem nn + 1+ 1. Suponha que. Suponha que GG possui
possui um um único único elemento elemento de de ordemordem22 , , digamosdigamos gg11. Mostre que eg. Mostre que eg11. . . g. . . gnn == gg11.. b) Seja
b) Seja pp um númerum número o primprimo o impimparar. . MosMostrtre e que o que o grupgrupoo ((ZZ∗∗ p p,,
p
p)) possui um únicopossui um único elemento de ordem
elemento de ordem22 , , a a saber saber pp−−11 , , e e mostre quemostre que (( p p−−1)!1)! ≡ −≡ −1 1 mmodod pp (Teorema(Teorema de Wilson).
de Wilson). Demonstração. Demonstração.
a) Suponhamos que
a) Suponhamos que egeg11gg22. . . g. . . gnn == gg11 entãoentão egeg11gg22. . . g. . . gnn == ggii, para algum inteiro, para algum inteiro
22 ≤≤ ii, assim, assim gg11gg22. . . g. . . gii−−11ggii+1+1. . . g. . . gnn == ee o qual nos indica queo qual nos indica queggkk possui inversapossui inversaggmm com exceção de
com exceção degg11 (pois(pois gg−−11
1 1 == gg11) isto é:) isto é: gg−−11 1 1 == gg11, . . . , g, . . . , g j j−−11 == ggiijj, . . . , g, . . . , g − −11 n n == ggiinn ondeonde ii j j ∈ {{∈ 11, . . . , i, . . . , i −−11,, ii + + 11, . . . , n, . . . , n}} ee
ggiijj ∈ {∈ {gg22,, gg33, . . . , g, . . . , gnn}}logo fazendo a contagem de elementos temos:logo fazendo a contagem de elementos temos:
((nn+1+1−−2)2)
2
2 ++ 2 2 == n
n++ 11entãoentãonn = = 11o qual contradiz ao fato da cardinalidade deo qual contradiz ao fato da cardinalidade deGG pois este tem pelopois este tem pelo menos dois elementos (
menos dois elementos (e,e, gg11 eeegeg11gg22. . . g. . . gnn == ggii, pelo assumido no início). Por tanto, pelo assumido no início). Por tanto eg
eg11gg22. . . g. . . gnn == gg11.. b) Seja
b) Seja p pum primo impar. É claro que seum primo impar. É claro que senn == pp−−11entãoentão(( p p−−1)(1)( p p−−1) 1) == pp22−−22 p p++11,,
então
então (( p p −−1)1)··(( p p−−1) = (1) = ( p p−−1)1)22 = = 11..
Agora seja
Agora seja 11 == nn ∈∈ ZZ∗∗ p
p tal quetal quenn22 −−11 ≡≡ 0 0 mmoodd pp, assim, assim((nn+ 1)(+ 1)(nn −−1) 1) == λλ·· p p,, λ
λ ∈∈ NN, mas, mas 22 ≤≤nn ≤≤ pp−−11, logo, logopp ((nn−−1)1)eepp || ((nn++ 1)1), assim, assimnn = = (( p p−−1)1), assim, assim
n
n == pp −−11..
Por ultimo, utilizando o resultado do item anterior temos
Por ultimo, utilizando o resultado do item anterior temos11··22.. .. ..(( p p−−1) = (1) = ( p p−−1)1)
então
então (( p p −− 1)! = (1)! = ( p p −− 1)1) tomando congruência módulotomando congruência módulo pp temostemos (( p p −− 1)!1)! ≡ −≡ −11 mod
mod pp..
∗
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Exercíc
Exercício io 2.2. ProProcurcure e os elementos do os elementos do grupogrupo((ZZ∗∗
24 24,,
24
24))e calcule suas ordens.e calcule suas ordens. Solução:
Solução: Farem
Faremos uso os uso do seguinte resultado sobre a do seguinte resultado sobre a caratericaraterização de zação de elementelementos invertíos invertíveis emveis em
Z Znn::
Um elemento
Um elementoaa ∈∈ ZZnn é invertível se, e somente se,é invertível se, e somente se,((a,a, nn) ) = = 11.. Assim temos que:
Assim temos que: ZZ∗∗
24
24 == {{aa;;aa = = 11,,55,,77,,1111,,1313,,1717,,1919,,2323}}. As ordens de seus ele-. As ordens de seus ele-mentos são facilmente calculados:
mentos são facilmente calculados:
O
O(1) = 1(1) = 1 OO(5) = 2(5) = 2 OO(7) = 2(7) = 2 OO(11) = 2(11) = 2
O
O(13) = 2(13) = 2 OO(17) = 2(17) = 2 OO(19) = 2(19) = 2 OO(23) = 2(23) = 2
Podemos observar que qualquer elemento (destinto de
Podemos observar que qualquer elemento (destinto deaa = = 11) é um gerador do grupo) é um gerador do grupo Z
Z∗∗
24
24 de ordem dois, por tanto ele é de ordem dois, por tanto ele é um grupo cíclico.um grupo cíclico.
Exercício 3.
Exercício 3. SejaSeja p p um número primo eum número primo e GG um grupo de ordemum grupo de ordem p p22. Mostre que G. Mostre queG possui possui no máximo
no máximo pp++ 11subgrupos de ordemsubgrupos de ordem pp. Dê um exemplo onde a cota. Dê um exemplo onde a cota(( p p++ 1)1)é atingidaé atingida e um exemplo onde a cota não é atingida.
e um exemplo onde a cota não é atingida. Solução:
Solução:
O número de elementos
O número de elementos aa ∈∈ GG tais quetais que H H ==< < aa p p >> é um subgrupo deé um subgrupo de GG comcom ordem
ordem pp é igual aé igual a pp22 −− 11. . ComComo cada elo cada elemeementonto aa está contido em o (único) grupoestá contido em o (único) grupo H
H ==< < aa p p >> dede pp elementos o qual contemelementos o qual contempp −−11elementos de ordemelementos de ordempp (a saber(a saber((aa p p))ii,, ii = = 11,,22, . . . , p, . . . , p −−11) então o número de tais grupos) então o número de tais gruposH H é congruente móduloé congruente módulo11módulomódulo p p..
Se denotamos por
Se denotamos por P P == {{H H < < GG;;OO((H H ) ) == pp}} entãoentão ||P P | | ≡≡ 1 1 mmodod pp, assim, assim ||P P || ==
pλ
pλ + 1+ 1. Mas como. Mas como ||GG∗∗|| == pp22−−11 entãoentão ||P P || == pp−−11 ouou||P P || == pp + 1+ 1..
Exercício 4.
Exercício 4. SejaSeja GG um grupo eum grupo e H,H, K K dois subgrupos dedois subgrupos de GG. Suponha que. Suponha que((GG :: H H )) ee
((GG :: K K ))são finitos, Mostre quesão finitos, Mostre que((GG :: H H ∩∩K K ))é finito.é finito. Demonstração.
Demonstração. Primei
Primeiro ro provprovaremos que aremos que a a interseinterseçãoçãoxH xH ∩∩ yK yK de classes dede classes de H H ee K K o é vazio o éo é vazio o é uma classe do subgrupo
uma classe do subgrupoH H ∩∩K K ::
Se
Se xH xH ∩∩ yK yK == ∅∅ o resultado segue. o resultado segue. Caso contrCaso contrario existario existe ume umzz ∈∈ xH,yK xH,yK assimassim zH
zH == xH xH ee zK zK == yK yK logo existelogo existe ww ∈∈ xH xH ∩∩ yK yK == zH zH ∩∩ zK zK se, e só se, existese, e só se, existe h
h ∈∈ H,H, kk ∈∈ K K tal quetal queww == zhzh == zkzk se, e só se,se, e só se,zz−−11ww == hh == kk ∈∈ H H ∩∩K K se, e só se,se, e só se,
w
w ∈∈ zz((H H ∩∩ K K ))ondeonde zz((H H ∩∩K K ))é uma classe deé uma classe deH H ∩∩K K .. Agora como qualquer classe de
Agora como qualquer classe deH H ∩∩ K K é uma interseção de classes deé uma interseção de classes de H H ee K K entãoentão
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Exercício 5.
Exercício 5. SejaSeja GG um grupo tal queum grupo tal que {{ee}},, GG são seus únicos subgrupos. Mostre quesão seus únicos subgrupos. Mostre que a ordem de
a ordem de GG é um número primo.é um número primo. Demonstração.
Demonstração. Se
Se ||GG|| == mm, então dado, então dado aa ∈∈ GG podemos considerar o grupo geradopodemos considerar o grupo gerado < < a a >>, assim, assim || < < a a >> || divide a ordem dedivide a ordem de GG (pelo teorema de Lagrange), mais como os únicos(pelo teorema de Lagrange), mais como os únicos subgrupo
subgrupos s dedeGG sãosão {{ee}},, GG entãoentão < < a a >>== {{ee}} ouou< < a a >>== GG assimassim|| < < a a >> || = = 11 ouou