Rodada #1 Matemática

(1)

Assuntos da Rodada

1. Estruturas Lógicas. 2. Lógica de Argumentação. 3. Diagramas Lógicos. 4. Trigonometria. 5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 6. Álgebra (Parte 1 – Conjuntos). 7. Combinações, Arranjos e Permutação. 8. Probabilidade, Variáveis Aleatórias, Principais Distribuições de Probabilidade, Estatística Descritiva, Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de Regressão. 9. Geometria Básica. 10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização. 11. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos.

Rodada #1

Matemática

Professor Guilherme Neves

(2)

MATEMÁTICA

2

a. Teoria em Tópicos

Raciocínio Sequencial nas provas da ESAF se resumem a Progressão Aritmética e Progressão Geométrica, que também podem ser tratados como parte de Álgebra.

1. Progressão aritmética é uma sequência de números. Para que uma sequência seja classificada como uma Progressão Aritmética ela deve obedecer um determinado padrão, uma lei de formação.

2. Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r.

Exemplo:

(2,5,8,11,14,...)  Progressão aritmética de razão r = 3.

3. Observe que os “aumentos” são constantes. Do primeiro termo para o segundo adicionamos 3. Do segundo termo para o terceiro também adicionamos 3. Este é o nosso padrão. Ir aumentando sempre o mesmo número.

4. Este “aumento” é chamado de razão da Progressão Aritmética. É muito comum abreviarmos a expressão e chamar a progressão aritmética de P.A..

5. Para calcular a razão em uma progressão aritmética devemos calcular a diferença entre qualquer termo e o termo que o antecede (antecedente).

(3)

MATEMÁTICA

3 Assim, podemos dizer que a razão (r = 3) foi calculada da seguinte maneira:

𝑟 = 5 − 2 = 8 − 5 = 11 − 8 = ⋯ = 3

6. Desse fato, podemos mostrar que se três números estão em progressão aritmética, o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois termos. Vejamos um caso geral: considere a progressão aritmética (a, b, c). A razão dessa progressão pode ser calculada como a diferença entre dois termos consecutivos. Assim,

𝑏 − 𝑎 = 𝑐 − 𝑏 2𝑏 = 𝑎 + 𝑐

𝑏 = 𝑎 + 𝑐 2

Essa propriedade é muito importante. Então lembre-se: dados três números em P.A. (progressão aritmética), o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois. Vejamos um exemplo numérico:

A sequência (4, 9, 14) é uma progressão aritmética de razão 5. O termo central é a média aritmética dos extremos.

9 = 4 + 14 2

7. Como você aplicaria essa propriedade em uma questão? Observe o seguinte exemplo.

Qual o valor de x, de modo que x2_{, (x + 1)}2_{e (x + 3)}2_{formem, nessa ordem, uma P.A.?}

Ora, sabemos que se três números estão em P.A., o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. Dessa forma,

(4)

MATEMÁTICA 4 (𝑥 + 1)2₌𝑥 2 _{+ (𝑥 + 3)}2 2 𝑥2_{+ 2𝑥 + 1 =}𝑥 2 _{+ 𝑥}2_{+ 6𝑥 + 9} 2 2 ∙ (𝑥2_{+ 2𝑥 + 1) = 2𝑥}2+ 6𝑥 + 9 2𝑥2_{+ 4𝑥 + 2 = 2𝑥}2_{+ 6𝑥 + 9} 4𝑥 − 6𝑥 = 9 − 2 −2𝑥 = 7 𝑥 = −7 2

8. O tópico mais importante da teoria de Progressão Aritmética é comumente denominado “Fórmula do Termo Geral”. Basicamente, essa fórmula serve para descobrir qualquer termo de uma Progressão Aritmética.

Voltemos àquela P.A. do início da teoria: (2, 5, 8, 11, 14, ...).

Se quisermos calcular o próximo termo, basta efetuar 14 +3 = 17. E o próximo? 17 + 3 = 20. E assim, ad infinitum. Bom, calcular termos próximos é muito fácil. O problema surge assim: Qual o milésimo termo dessa progressão?

Obviamente não iremos adicionar a razão 3 diversas vezes. Deve haver um método eficaz (e existe!!).

9. A fórmula do termo geral, que resolve o problema do tópico anterior, é a seguinte: 𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1) ∙ 𝑟

(5)

MATEMÁTICA

5 Em que 𝑎₁ é o primeiro termo, 𝑟 é a razão da progressão e 𝑎_𝑛 é o termo de ordem n (n-ésimo termo).

Por exemplo, se queremos calcular o milésimo termo, deveremos efetuar: 𝑎1.000 = 𝑎1+ (1.000 − 1) ∙ 𝑟

𝑎_1.000 = 𝑎₁+ 999 ∙ 𝑟 𝑎_1.000 = 2 + 999 ∙ 3

𝑎_1.000 = 2.999

10. O “ruim” desta fórmula é que ficamos “presos” a só poder calcular os termos da progressão se soubermos quem é o primeiro termo. Porém, podemos fazer uma modificação nesta fórmula de forma que conhecendo um termo qualquer da progressão e a razão, poderemos calcular qualquer outro termo da progressão. Vejamos um exemplo: Suponha que o décimo termo (𝑎₁₀) de uma progressão aritmética seja igual a 25 e a razão seja igual a 4. Qual o vigésimo sétimo termo dessa progressão?

Se você prestar bem atenção à fórmula 𝑎𝑛= 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 perceberá que não

poderemos utilizá-la da forma como está disposta. Pois só podemos utilizá-la se soubermos o valor do primeiro termo.

Vamos fazer uma analogia. Imagine que você se encontra no décimo andar de um prédio e precisa subir para o vigésimo sétimo andar. Quantos andares preciso subir? A resposta é 17 andares. É o mesmo que acontece com os termos de uma P.A.: Se “estamos” no décimo termo e preciso me deslocar até o vigésimo sétimo termo, preciso avançar 17 termos (27 – 10 = 17). E para avançar cada termo, devemos adicionar a razão. Assim,

(6)

MATEMÁTICA

6 𝑎₂₇ = 𝑎₁₀+ 17 ∙ 𝑟

𝑎₂₇ = 25 + 17 ∙ 4 = 93.

11. Vamos fazer o “caminho da volta”: O vigésimo sétimo termo de uma progressão aritmética é igual a 93. Se a razão é igual a 4, qual o décimo termo?

Ainda fazendo a analogia da P.A. com os andares de um prédio, para descer do vigésimo sétimo andar para o décimo andar, deveremos descer 17 andares. Na P.A. deveremos subtrair 17 vezes a razão (pois estamos voltando na P.A.).

𝑎₁₀ = 𝑎₂₇− 17𝑟 𝑎₁₀ = 93 − 17 ∙ 4 = 25

12. É importante conhecer a fórmula que fornece a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética.

𝑆_𝑛 =(𝑎1+ 𝑎𝑛) ∙ 𝑛 2

Por exemplo: Qual a soma dos mil primeiros termos da progressão aritmética (2, 5, 8, 11, ...).

O primeiro passo é calcular o milésimo termo: isso já fizemos anteriormente e sabemos que 𝑎_1.000 = 2.999.

Assim, a soma dos mil primeiros termos é dado por:

𝑆𝑛 =

(𝑎₁+ 𝑎_𝑛) ∙ 𝑛 2

(7)

MATEMÁTICA 7 𝑆_1.000 = (𝑎1+ 𝑎1.000) ∙ 1.000 2 𝑆_1.000 = (2 + 2.999) ∙ 1.000 2 𝑆_1.000 =(2 + 2.999) ∙ 1.000 2 = 1.500.500

13. Considere uma sequência de números reais (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛).

Esta sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real 𝑞.

14. O número real 𝑞 é denominado razão da progressão geométrica.

15. 𝑎1 é o primeiro termo, 𝑎2 é o segundo termo, e assim por diante. O termo 𝑎𝑛 de

ordem n é chamado n-ésimo termo. Exemplos:

Progressão Geométrica Primeiro termo (𝑎₁) Razão (𝒒) (3, 6, 12, 24, 48, 96, … ) 3 2 (96, 48, 24, 12, 6, 3, … ) 96 1 2 (2, 2, 2, 2, 2, … ) 2 1 (1, −2, 4, −8, 16, −32, … ) 1 −2 (5, 0, 0, 0, 0, … ) 5 0

(8)

MATEMÁTICA

8 16. Considere uma progressão geométrica não-estacionária, ou seja, cuja razão é diferente de 0 (ver último exemplo do tópico anterior).

Para calcular a razão de uma P.G., basta calcular o quociente entre dois termos consecutivos.

No nosso primeiro exemplo, 𝑞 = 6_{⁄ = 12 6}₃ ⁄ = ⋯ = 2.

No nosso segundo exemplo, 𝑞 = 48⁄₉₆_{= 24 48}⁄ _{= ⋯ = 1 2}⁄ .

No nosso terceiro exemplo, 𝑞 = 2_{⁄ = 2 2}₂ ⁄ = ⋯ = 1. No nosso quarto exemplo, 𝑞 = −2_{⁄ = 4 −2}₁ ⁄ = ⋯ = −2.

17. Considere a progressão geométrica (𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, … , 𝑎_𝑛). Existe uma expressão que permite calcular qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e a razão (Fórmula do Termo Geral).

18. Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a razão.

𝑎_𝑛 = 𝑎₁∙ 𝑞𝑛−1

Em que 𝑎₁ é o primeiro termo, 𝑞 é a razão da progressão e 𝑎_𝑛 é o termo de ordem n (n-ésimo termo).

Exemplo: Qual o décimo primeiro termo da progressão geométrica (3, 6,12, 24, … )? Resolução

Queremos calcular o décimo primeiro termo, e, portanto, 𝑛 = 11. Utilizemos a fórmula do termo geral:

(9)

MATEMÁTICA

9 𝑎₁₁ = 𝑎₁∙ 𝑞11−1 _{= 𝑎}

1 ∙ 𝑞10

𝑎₁₁ = 3 ∙ 210 = 3.072

19. Da mesma forma que na PA, obviamente não seremos obrigados a ficar presos a esta fórmula. Ou seja, não somos obrigados a conhecer o primeiro termo para calcular um termo qualquer da P.G. Vejamos um exemplo análogo ao da progressão aritmética.

Exemplo: O décimo termo de uma progressão geométrica é igual a 4. Calcule o décimo sexto termo sabendo que a razão da progressão é 3.

Resolução

Devemos avançar 6 termos do décimo ao décimo sexto termo. Assim, a expressão do termo geral ficará:

𝑎16 = 𝑎10∙ 𝑞6

𝑎₁₆ = 4 ∙ 36= 2.916

20. A soma dos 𝑛 termos iniciais de uma progressão geométrica é:

𝑆_𝑛 = 𝑎1∙ (𝑞

𝑛_{− 1)}

𝑞 − 1

Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (3, 6, 12,24, … ). Resolução

(10)

MATEMÁTICA 10 𝑆₁₀= 𝑎1∙ (𝑞 10_{− 1)} 𝑞 − 1 𝑆₁₀ =3 ∙ (2 10 _{− 1)} 2 − 1 = 3 ∙ (1.024 − 1) 1 = 3 ∙ 1.023 𝑆10 = 3.069

21. Quando a razão de uma PG é um número q tal que −1 < 𝑞 < 1, é possível calcular a soma dos infinitos termos da sequência. Em outras palavras, se (𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, … , 𝑎_𝑛, … ) é uma P.G. com razão −1 < 𝑞 < 1, então:

𝑆 = 𝑎₁+ 𝑎₂+ ⋯ + 𝑎_𝑛+ ⋯ = 𝑎1 1 − 𝑞 Exemplo

Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. (9, 6, 4,… ). Resolução

Para calcular a razão basta dividir o segundo termo pelo primeiro:

𝑞 = 6 9= 2 3 Assim, 𝑆 = 𝑎1 1 − 𝑞 = 9 1 −2 3 = 9 1/3= 9 ∙ 3 1= 27

(11)

MATEMÁTICA

11

b. Revisão 01

QUESTÃO 01 – ESAF – PECFAZ - 2013

A soma dos 100 primeiros termos da sequência (4, 7, 10, 13, 16,...) é igual a:

a) 15.270 b) 15.410 c) 15.320 d) 15.340 e) 15.250

QUESTÃO 02 – ESAF – MTUR - 2014

A soma dos 200 primeiros termos da progressão (4, 7, 10, 13, ...) é igual a

a) 60.200 b) 60.300 c) 60.100 d) 60.500 e) 60.400

QUESTÃO 03 – CONSULPLAN – BANESTES - 2013

A progressão a seguir destaca o tempo, em minutos, gasto por Cláudio em sua caminhada de igual percurso, semanalmente: {240, 237, 234, 231, 228, 225, 222, 219...}. Cláudio parou de caminhar depois de completar 36 semanas de caminhada. Então, o tempo mínimo, em minutos, que Cláudio gastou para percorrer esse trajeto foi

(A) 120. (B) 125. (C) 130.

(12)

MATEMÁTICA

12 (D) 135.

(E) 140.

QUESTÃO 04 – CESGRANRIO – PETROBRAS - 2010

Qual é a soma dos múltiplos de 11 formados por 4 algarismos? (A) 4.504.500

(B) 4.505.000 (C) 4.505.500 (D) 4.506.000 (E) 4.506.500

QUESTÃO 05 – CESGRANRIO – PROMINP - 2010

Ana, Benedita e Carmem nasceram no mesmo dia do mesmo mês, e suas idades, expressas em anos, formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se, quando Ana nasceu, Carmem completou 6 anos e, em 2009, Benedita comemorou seu 13o

aniversário, em que ano Carmem nasceu? (A) 1990

Um artista pretende dividir 420 ml de pigmento vermelho em três partes diferentes de modo que, misturando-se cada parte a 1 litro de tinta branca, ele obtenha três tons de tinta rosa (claro, médio e escuro). Se os volumes das três partes, em mililitros, formarem uma progressão aritmética de razão 50 ml, qual será, em litros, a quantidade de tinta rosa clara que esse artista terá após realizar a mistura?

(13)

MATEMÁTICA 13 (A) 1,05 (B) 1,09 (C) 1,18 (D) 1,50 (E) 1,90

QUESTÃO 07 – CESGRANRIO – EPE - 2009

Uma sequência de números é tal que seus 4 primeiros termos são: T1 = 5 T2 = 13 T3 = 24 T4 = 38 Observa-se que: 13 = 5 + 8 24 = 5 + 8 + 11 38 = 5 + 8 + 11 + 14

Conclui-se, então, que o 30o_{termo (T}₃₀_{) dessa sequência é}

(A) 1.380 (B) 1.455 (C) 1.500 (D) 1.545 (E) 2.910

Em uma progressão geométrica, tem-se 𝑎₁ = 2 e 𝑎₅ = 162. Então, a soma dos três primeiros termos dessa progressão geométrica é igual a:

a) 26 b) 22

(14)

MATEMÁTICA

14 c) 30

d) 28 e) 20

QUESTÃO 09 – ESAF – AFRFB - 2009

Um corredor está treinando diariamente para correr a maratona em uma competição, sendo que a cada domingo ele corre a distância da maratona em treinamento e assim observou que, a cada domingo, o seu tempo diminui exatamente 10% em relação ao tempo do domingo anterior. Dado que no primeiro domingo imediatamente antes do início do treinamento, ele fez o percurso em 4 horas e 30 minutos e, no último domingo de treinamento, ele correu a distância da maratona em 3 horas, 16 minutos e 49,8 segundos, por quantas semanas ele treinou?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

O valor da série geométrica

2 + 1 +1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ ⋯ é igual a a) 4 b) 5 c) 6

(15)

MATEMÁTICA

15 d) 7

(16)

MATEMÁTICA

16

c. Revisão 02

Uma sequência de números k1, k2, k3, k4, …, kn é denominada Progressão Geométrica –

PG – de n termos quando, a partir do segundo termo, cada termo dividido pelo imediatamente anterior for igual a uma constante r denominada razão. Sabe-se que, adicionando uma constante x a cada um dos termos da sequência (p-2); p; (p+3) ter-se-á uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos da PG são, respectivamente, iguais a a) (6-p); 2/3; 21 b) (p+6); 3/2; 19 c) 6; (6-p); 21 d) (6-p); 3/2; 19 e) (p-6); p; 20

QUESTÃO 12 – CONSUPLAN – BANESTES - 2013

Numa prateleira encontram-se 4 recipientes dispostos em ordem crescente, sendo que cada recipiente tem o triplo da capacidade do recipiente anterior. Considerando que a diferença entre o maior e o menor recipiente é de 5,2 litros, então a soma das capacidades desses 4 recipientes, em litros, é

(A) 7. (B) 8. (C) 9. (D) 10. (E) 11.

QUESTÃO 13– CONSUPLAN – PREF. DE CAMPO VERDE - MT - 2010

(17)

MATEMÁTICA

17 mesma seja uma progressão geométrica crescente?

a) 52 b) 60 c) 40 d) 48 e) 64

Um quadrado tem como lado o valor do 6º termo de uma progressão geométrica, no qual o 1º termo é 6 e o 4º termo é 162. Considerando que esses valores estão expressos em centímetros, então o perímetro desse quadrado é igual a

a) 5828 cm. b) 5830 cm. c) 5832 cm. d) 5836 cm. e) 5840 cm.

QUESTÃO 15 – CESGRANRIO– PETROBRAS - 2010

Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica? (A) – 9

(B) – 5 (C) – 1 (D) 1 (E) 9

(18)

MATEMÁTICA

18 O valor da soma infinita 2 – 1 + 1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + ... é

(A) 4 (B) 2 (C) 11/8 (D) 4/3 (E) 2/3

QUESTÃO 17 - CONSULPLAN – CBM-PA/2016

A soma dos 23 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 4 é 1.173. Assim, o 20º termo dessa progressão é:

a) 83. b) 85. c) 87. d) 88. e) 92.

Em uma lanchonete recém‐aberta percebeu‐se que a cada dia visitavam três clientes a mais que no dia anterior, até o décimo dia. Sabendo que no primeiro dia foram 13 clientes a visitar a lanchonete, então o número total de clientes que visitaram a lanchonete nesses primeiros 10 dias foi igual a:

a) 130. b) 215. c) 245. d) 265. e) 280.

(19)

MATEMÁTICA

19 Em uma progressão aritmética, o quarto termo é –39 e o oitavo termo é –11. Assim, o décimo segundo termo é:

a) 10. b) 11. c) 14. d) 17. e) 22.

Uma progressão aritmética de razão 5 que possui 15 termos tem a soma de seus termos igual a 795. O primeiro termo dessa sequência é:

a) 12. b) 14. c) 15. d) 16. e) 18.

(20)

MATEMÁTICA

20

d. Revisão 03

Um celular tem seu preço de lançamento igual a R$ 2.500,00 e a cada mês ele desvaloriza R$ 60,00 até que ele para de ser vendido quando seu preço é reduzido a menos de 20% do preço de lançamento. O mês no qual o celular para de ser vendido é o: a) 33º. b) 34º. c) 36º. d) 38º. e) 40º.

Um objeto é arremessado horizontalmente contra uma parede a 1,02 quilômetro de distância e percorre quatro metros no primeiro segundo, 11 metros no segundo, 18 metros no terceiro e, assim, sucessivamente. Dessa forma, em quantos segundos o objeto atingirá a parede?

a) 14. b) 17. c) 19. d) 21. e) 23.

QUESTÃO 23 - CONSULPLAN – PREF. DE CASCAVEL/2016

A razão de uma progressão aritmética é igual ao dobro de seu primeiro termo. Se o décimo segundo termo é 69, então a soma dos três primeiros termos dessa progressão é:

(21)

MATEMÁTICA 21 b) 23. c) 25. d) 27. e) 29.

QUESTÃO 24 - CONSULPLAN – CM DE OLINDA/2015

O primeiro e o último termo de uma progressão aritmética são, respectivamente, –43 e 430. Sendo a razão dessa progressão igual a 11, então o seu número de termos é igual a

a) 36. b) 39. c) 41. d) 44.

Tomando-se cada lado de certo polígono de 60 lados em um certo sentido e em ordem crescente verifica-se que a partir do segundo menor lado a medida de cada um deles é 2,5 mm maior do que a medida do seu antecessor. Se o perímetro desse polígono é igual a 475,5 cm, então o seu menor lado mede:

a) 0,8 mm. b) 3,5 mm. c) 4,8 mm. d) 0,55 cm. e) 2,5 cm.

QUESTÃO 26 - CONSULPLAN – PATOS DE MINAS/2015

João desenhou uma figura de 18 lados, que considerando a ordem crescente do tamanho dos lados, cada um era 5 mm maior que o anterior. Sabendo que essa figura tem 98,1 cm de perímetro, então o tamanho do menor lado, em centímetros, é:

(22)

MATEMÁTICA 22 a) 0,5. b) 1,2. c) 1,6. d) 1,8.

Analise a sequência a seguir. 6, 10, 14, 18 . . .

A soma dos 17 primeiros termos dessa sequência é: a) 452.

b) 510. c) 576. d) 646.

A soma dos doze termos de uma progressão aritmética é igual a 204. Considerando que a razão r dessa progressão é 4, então é correto afirmar, com relação ao sexto termo da progressão K, que

a) K ≤ 6. b) 6 < K ≤ 10. c) 10 < K ≤ 15. d) 15 < K ≤ 20.

Observe a sequência a seguir: x, 3x, 9x, 27x, ...

Sabendo que a soma dos sete primeiros termos dessa sequência é 3.279. Então o valor de “x” é:

(23)

MATEMÁTICA 23 b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.

QUESTÃO 30 - CONSULPLAN – NATIVIDADE/2014

A soma dos 3 primeiros termos de uma progressão geométrica de razão 3 é igual a 56 subtraído do 4º termo da mesma. É correto afirmar que o valor do 1º termo dessa progressão é

a) 2. b) 4. c) 6. d) 8.

(24)

MATEMÁTICA 24

e. Gabarito

1 2 3 4 5 E D D A B 6 7 8 9 10 B B A C A 11 12 13 14 15 D B B C A 16 17 18 19 20 D A D D E 21 22 23 24 25 B B D D D 26 27 28 29 30 B D C B B

(25)

MATEMÁTICA

25

f. Comentários às questões

A soma dos 100 primeiros termos da sequência (4, 7, 10, 13, 16,...) é igual a:

a) 15.270 b) 15.410 c) 15.320 d) 15.340 e) 15.250 Resolução

Estamos diante de uma progressão aritmética (P.A.). Na progressão aritmética, cada termo é a soma do anterior com uma constante denominada razão. Na sequência do enunciado, a razão é 3, já que cada termo é igual ao anterior somado ao número 3.

𝑟 = 3

Vimos a “fórmula do termo geral”, ou seja, uma fórmula que permite calcular qualquer termo.

𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1) ∙ 𝑟

Vamos calcular o centésimo termo? Para isso, devemos fazer n = 100.

𝑎₁₀₀ = 𝑎₁+ (100 − 1) ∙ 𝑟 𝑎₁₀₀ = 𝑎₁+ 99 ∙ 𝑟

(26)

MATEMÁTICA

26 𝑎₁₀₀ = 4 + 99 ∙ 3 = 301

O centésimo termo da P.A. é 301.

Estamos interessados na soma dos 100 primeiros termos da P.A..

Para tanto, devemos aplicar a fórmula dos n primeiros termos de uma progressão aritmética.

𝑆_𝑛 =(𝑎1+ 𝑎𝑛) ∙ 𝑛 2 No nosso caso, temos que n = 100.

𝑆₁₀₀ = (𝑎1+ 𝑎100) ∙ 100 2

Foi por isso que eu calculei o centésimo termo da P.A.. Vamos substituir os valores.

𝑆₁₀₀ =(4 + 301) ∙ 100

2 = 15.250 Letra E

A soma dos 200 primeiros termos da progressão (4, 7, 10, 13, ...) é igual a

a) 60.200 b) 60.300 c) 60.100 d) 60.500 e) 60.400 Resolução

(27)

MATEMÁTICA

27 Muita criatividade, não? A mesma sequência da questão anterior!

Para calcular a soma dos 200 primeiros termos, devemos calcular o 200o_{termo. Para}

tanto, utilizaremos a fórmula do termo geral. A razão da progressão aritmética é igual a 3.

𝑎₂₀₀ = 𝑎₁+ 199𝑟 𝑎₂₀₀ = 4 + 199 ∙ 3 = 601

Agora vamos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética.

𝑆_𝑛 =(𝑎1+ 𝑎𝑛) ∙ 𝑛 2 No nosso caso, temos que n = 200.

𝑆₂₀₀ = (𝑎1+ 𝑎200) ∙ 200 2

𝑆₁₀₀ =(4 + 601) ∙ 200

2 = 60.500 Letra D

QUESTÃO 03 – CONSULPLAN – BANESTES - 2013

A progressão a seguir destaca o tempo, em minutos, gasto por Cláudio em sua caminhada de igual percurso, semanalmente: {240, 237, 234, 231, 228, 225, 222, 219...}. Cláudio parou de caminhar depois de completar 36 semanas de caminhada. Então, o tempo mínimo, em minutos, que Cláudio gastou para percorrer esse trajeto foi

(A) 120. (B) 125. (C) 130.

(28)

MATEMÁTICA

28 (D) 135.

(E) 140.

Resolução

Acho que a questão deveria ter sido bem clara e dizer que o padrão da sequência se mantém ao longo da semana. Mas tudo bem, vamos em frente.

Temos uma progressão aritmética de razão (-3), já que os termos estão diminuindo em 3 unidades.

Vamos calcular o 36o_{termo desta sequência.}

𝑎₃₆ = 𝑎₁ + 35𝑟

𝑎₃₆ = 240 + 35 ∙ (−3) = 135

Assim, na 36a _{semana o percurso foi feito em 135 minutos, que é o tempo mínimo feito}

por Cláudio. Letra D

QUESTÃO 04 – CESGRANRIO – PETROBRAS - 2010

Qual é a soma dos múltiplos de 11 formados por 4 algarismos? (A) 4.504.500 (B) 4.505.000 (C) 4.505.500 (D) 4.506.000 (E) 4.506.500 Resolução

(29)

MATEMÁTICA

29 Estamos interessados apenas nos múltiplos de 11. Para descobrir tais números, vamos dividir 1.000 por 11 e dividir 9.999 por 11.

1.000 | 11 10 90

Observe que o resto da divisão foi igual a 10. Se adicionarmos 1 ao número, o resto será 0. Portanto, o primeiro múltiplo de 11 maior que 1.000 é 1.001.

Basta verificar:

1.001 | 11 0 91 Os múltiplos de 11 maiores que 1.000 são:

(1.001, 1.012, 1.023, … ) Basta “ir somando 11”...

Temos, portanto, uma progressão aritmética de primeiro termo 1.001 e razão 11. Vamos calcular o último termo desta progressão dividindo 9.999 por 11.

9.999 | 11 0 909

Como 9.999 é múltiplo de 11, então ele é o último termo da progressão. Temos a seguinte progressão:

(1.001, 1.012, 1.023, … ,9.999)

Estes são todos os múltiplos de 11 com 4 dígitos. A questão pede a soma de todos estes múltiplos. Temos, então, que somar todos os termos desta progressão

(30)

MATEMÁTICA

30 aritmética. Para efetuar tal soma, precisamos saber quantos termos possui esta progressão. Utilizaremos a fórmula do termo geral.

𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 9.999 = 1.001 + (𝑛 − 1) ∙ 11 9.999 = 1.001 + 11𝑛 − 11 9.999 = 990 + 11𝑛 11𝑛 = 9.009 𝑛 = 819 Há, portanto, 819 múltiplos de 11 com 4 dígitos.

Podemos agora aplicar a fórmula da soma dos 𝑛 primeiros termos de uma P.A..

𝑆_𝑛 =(𝑎1+ 𝑎𝑛) ∙ 𝑛 2 𝑆𝑛= (1.001 + 9.999) ∙ 819 2 = 4.504.500 Letra A

Ana, Benedita e Carmem nasceram no mesmo dia do mesmo mês, e suas idades, expressas em anos, formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se, quando Ana nasceu, Carmem completou 6 anos e, em 2009, Benedita comemorou seu 13o

aniversário, em que ano Carmem nasceu? (A) 1990

(31)

MATEMÁTICA

31 (E) 2001

Resolução

Vamos considerar que estamos no ano de 2009. Assim, Benedita possui 13 anos. Como Carmem completou 6 anos quando Ana nasceu, então Carmem é 6 anos mais velha que Ana. Se a idade de Ana for igual a 𝑎 e a idade de Carmem for igual a 𝑐, então 𝑐 = 𝑎 + 6.

Além disso, sabemos que (𝑎, 13, 𝑐) é uma progressão aritmética. Vamos substituir 𝑐 por 𝑎 + 6.

A progressão ficará assim:

(𝑎, 13, 𝑎 + 6)

Sabemos que se três números estão em P.A., o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. Dessa forma,

13 =𝑎 + 𝑎 + 6 2 13 =2𝑎 + 6 2 2𝑎 + 6 = 26 2𝑎 = 20 𝑎 = 10

Como 𝑐 = 𝑎 + 6, então 𝑐 = 16. Concluímos que Carmem possui 16 anos no ano de 2009. Ela nasceu em 1993 = 2009 – 16.

(32)

MATEMÁTICA

32 Letra B

Um artista pretende dividir 420 ml de pigmento vermelho em três partes diferentes de modo que, misturando-se cada parte a 1 litro de tinta branca, ele obtenha três tons de tinta rosa (claro, médio e escuro). Se os volumes das três partes, em mililitros, formarem uma progressão aritmética de razão 50 ml, qual será, em litros, a quantidade de tinta rosa clara que esse artista terá após realizar a mistura?

(A) 1,05 (B) 1,09 (C) 1,18 (D) 1,50 (E) 1,90 Resolução

Vamos considerar que uma das partes (a mais clara) possua 𝑥 ml de pigmento vermelho. Assim, o tom médio possuirá 𝑥 + 50 ml de pigmento e a mais escura possuirá 𝑥 + 100 ml de pigmento. A soma das três partes é igual a 420 ml.

𝑥 + 𝑥 + 50 + 𝑥 + 100 = 420

3𝑥 + 150 = 420

3𝑥 = 270

(33)

MATEMÁTICA

33 Portanto, a parte clara possuirá 90 ml de pigmento vermelho. Como esta parte será misturada com 1 litro (1.000 ml) de tinta branca, então teremos 1.090 ml de tinta rosa clara (1,090 litro).

Letra B

Uma sequência de números é tal que seus 4 primeiros termos são: T1 = 5 T2 = 13 T3 = 24 T4 = 38 Observa-se que: 13 = 5 + 8 24 = 5 + 8 + 11 38 = 5 + 8 + 11 + 14

Conclui-se, então, que o 30o_{termo (T}₃₀_{) dessa sequência é}

(A) 1.380 (B) 1.455 (C) 1.500 (D) 1.545 (E) 2.910 Resolução

De acordo com o padrão estabelecido, para calcular o 30º termo teremos que somar os 30 primeiros termos da progressão aritmética (5, 8, 11, 14,...) de razão 3.

(34)

MATEMÁTICA

34 𝑎₃₀ = 𝑎₁ + 29𝑟

𝑎₃₀ = 5 + 29 ∙ 3 = 5 + 87 = 92 A soma dos 30 primeiros termos desta progressão será:

𝑇30 = (𝑎₁+ 𝑎₃₀) ∙ 30 2 = (5 + 92) ∙ 30 2 = 1.455 Letra B

Em uma progressão geométrica, tem-se 𝑎₁ = 2 e 𝑎₅ = 162. Então, a soma dos três primeiros termos dessa progressão geométrica é igual a:

a) 26 b) 22 c) 30 d) 28 e) 20 Resolução

Uma sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real 𝑞.

O número real 𝑞 é denominado razão da progressão geométrica.

𝑎₁ é o primeiro termo, 𝑎₂ é o segundo termo, e assim por diante. O termo 𝑎_𝑛 de ordem n é chamado n-ésimo termo.

A questão acima indica que o primeiro termo é 2 e o quinto termo é 162.

Para uma progressão geométrica, estes termos são bem pequenos. Então poderíamos achar a razão testando valores.

(35)

MATEMÁTICA

35 Será que a razão é 2? Neste caso, cada termo será o dobro do anterior.

(2, 4, 8, 16, 32). Percebemos que o quinto termo não é 162 e, portanto, a razão não é 2. Será que a razão é 3? Neste caso, cada termo será o triplo do anterior.

(2, 6, 18, 54, 162). Observe que o quinto termo é igual a 162. Concluímos que de fato a razão é 3.

A questão pede a soma dos três primeiros termos da P.G.: 2 + 6 + 18 = 26

Letra A

Agora vamos resolver a questão de uma maneira mais formal. E se a razão não fosse inteira, como deveríamos proceder?

Vamos lá. Neste caso deveríamos saber a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. Esta é uma importantíssima fórmula que permite calcular qualquer termo de uma P.G..

A fórmula é a seguinte: 𝑎_𝑛 = 𝑎₁∙ 𝑞𝑛−1

Em que 𝑎₁ é o primeiro termo, 𝑞 é a razão da progressão e 𝑎_𝑛 é o termo de ordem n (n-ésimo termo). No nosso caso, n=5.

𝑎₅ = 𝑎₁∙ 𝑞5−1 𝑎₅ = 𝑎₁∙ 𝑞4

162 = 2 ∙ 𝑞4

𝑞4_{= 81}

Agora perguntamos: qual o número que elevado a 4 é igual a 81? Para responder, basta fatorar o número 81 e perceber que 34 = 81. Portanto,

(36)

MATEMÁTICA

36 𝑞 = 3

Como a razão é igual a 3, os termos vão triplicando. Começamos com o número 2, que é o primeiro termo.

(2, 6, 18, 54, 162).

A questão pede a soma dos três primeiros termos da P.G.: 2 + 6 + 18 = 26

Um corredor está treinando diariamente para correr a maratona em uma competição, sendo que a cada domingo ele corre a distância da maratona em treinamento e assim observou que, a cada domingo, o seu tempo diminui exatamente 10% em relação ao tempo do domingo anterior. Dado que no primeiro domingo imediatamente antes do início do treinamento, ele fez o percurso em 4 horas e 30 minutos e, no último domingo de treinamento, ele correu a distância da maratona em 3 horas, 16 minutos e 49,8 segundos, por quantas semanas ele treinou?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolução

Se o tempo diminui 10%, então para calcular o próximo termo da sequência, devemos multiplicar o anterior por 100% - 10% = 90% = 0,9. Como vamos multiplicando os termos por 0,9, teremos uma progressão geométrica de razão 0,9.

(37)

MATEMÁTICA

37 No domingo imediatamente antes do início do treinamento, ele fez o percurso em 4h 30min = 4,5 horas. No primeiro domingo de treinamento (primeiro termo da P.G.), seu tempo será igual a (4,5 ∙ 0,9) ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠, ou seja, 𝑎₁ = 4,5 ∙ 0,9.

Para transformar este tempo para segundos, devemos multiplicar por 3600, já que cada hora tem 60 minutos e cada minuto tem 60 segundos (60x60 = 3.600).

Desta maneira, o primeiro termo da sequência, em segundos, é igual a:

𝑎₁= 4,5 ∙ 0,9 ∙ 3.600𝑠

O último termo da sequência é igual a 3 horas, 16 minutos e 49,8 segundos. Vamos transformar este tempo para segundos.

3 horas = 3 x 3.600 s = 10.800s 16 minutos = 16 x 60 s = 960 s Somando tudo, temos:

𝑎𝑛 = 10.800 + 960 + 49,8 = 11.809,8𝑠

Vamos agora aplicar a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. 𝑎𝑛 = 𝑎1∙ 𝑞𝑛−1

11.809,8 = 4,5 ∙ 0,9 ∙ 3.600 ∙ (0,9)𝑛−1

Observe que temos o produto 0,9 x 0,9n-1_{. Para multiplicar potências de mesma base,}

devemos conservar a base e somar os expoentes.

0,9 ∙ (0,9)𝑛−1_{= 0,9}1+𝑛−1 _{= 0,9}𝑛

Assim:

(38)

MATEMÁTICA

38 11.809,8 = 16.200 ∙ (0,9)𝑛

(0,9)𝑛₌ 11.809,8

16.200

Vamos igualar a quantidade de casas decimais e apagar as vírgulas.

(0,9)𝑛₌ 11.809,8 16.200,0 (0,9)𝑛 ₌118.098 162.000 (0,9)𝑛 _{= 0,729} 𝑛 = 3 Letra C

O valor da série geométrica

2 + 1 +1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ ⋯ é igual a a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Resolução

Temos uma Progressão Geométrica com infinitos termos. Para calcular a razão, devemos dividir qualquer termo por aquele que o antecede. Por exemplo, podemos dividir o segundo termo pelo primeiro. Assim, a razão é igual a 1/2.

(39)

MATEMÁTICA

39 Para calcular o valor desta soma, vamos aplicar a fórmula vista:

𝑆 = 𝑎1 1 − 𝑞 = 2 1 −1 2 = 2₁ 2 = 2 ∙2 1 = 4 Letra A

Uma sequência de números k1, k2, k3, k4, …, kn é denominada Progressão Geométrica –

PG – de n termos quando, a partir do segundo termo, cada termo dividido pelo imediatamente anterior for igual a uma constante r denominada razão. Sabe-se que, adicionando uma constante x a cada um dos termos da sequência (p-2); p; (p+3) ter-se-á uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos da PG são, respectivamente, iguais a a) (6-p); 2/3; 21 b) (p+6); 3/2; 19 c) 6; (6-p); 21 d) (6-p); 3/2; 19 e) (p-6); p; 20 Resolução

Questão muito bem feita.

Em uma progressão geométrica, a razão é constante e igual ao quociente de um termo por aquele que o antecede. Assim, a razão pode ser calculada a partir da divisão do segundo termo pelo primeiro ou do terceiro termo pelo segundo.

𝑎₂ 𝑎₁ =

𝑎₃ 𝑎₂ 𝑎₂2 = 𝑎₁∙ 𝑎₃

(40)

MATEMÁTICA

40 Assim, em uma P.G., o quadrado do termo central é igual ao produto dos extremos. Vejamos a progressão do enunciado. Devemos adicionar o número x a cada um dos termos da sequência (p-2); p; (p+3) para termos uma progressão geométrica. Isto significa que a sequência (𝑝 − 2 + 𝑥, 𝑝 + 𝑥, 𝑝 + 3 + 𝑥) é uma P.G..

Para facilitar o trabalho algébrico, vamos utilizar dizer que 𝑝 + 𝑥 = 𝑦. Assim, nossa sequência fica:

(𝑦 − 2, 𝑦, 𝑦 + 3)

Vimos que o quadrado do termo central é o produto dos extremos. 𝑦2= (𝑦 − 2)(𝑦 + 3)

𝑦2 _{= 𝑦}2 + 3𝑦 − 2𝑦 − 6

0 = 𝑦 − 6 𝑦 = 6 Substituindo o valor de y na sequência, temos:

(6 − 2, 6, 6 + 3) = (4,6,9)

A razão da progressão é a divisão de um termo por aquele que o antecede.

𝑟 =6 4=

3 2 A soma dos termos é 4 + 6 + 9 = 19.

Como 𝑝 + 𝑥 = 𝑦, temos:

𝑝 + 𝑥 = 6 𝑥 = 6 − 𝑝 Letra D

(41)

MATEMÁTICA

41 QUESTÃO 12 – CONSUPLAN – BANESTES - 2013

Numa prateleira encontram-se 4 recipientes dispostos em ordem crescente, sendo que cada recipiente tem o triplo da capacidade do recipiente anterior. Considerando que a diferença entre o maior e o menor recipiente é de 5,2 litros, então a soma das capacidades desses 4 recipientes, em litros, é

(A) 7. (B) 8. (C) 9. (D) 10. (E) 11. Resolução

Vamos considerar que o primeiro recipiente tem capacidade de x litros. Como cada recipiente tem o triplo da capacidade do recipiente anterior, o segundo terá 3x litros, o terceiro 9x litros e o quarto 27x litros.

A diferença entre o maior e o menor recipiente é de 5,2 litros, portanto: 27𝑥 − 𝑥 = 5,2

26𝑥 = 5,2 𝑥 = 0,2

A soma das capacidades desses 4 recipientes, em litros, é

𝑥 + 3𝑥 + 9𝑥 + 27𝑥 = 40𝑥 = 40 ∙ 0,2 = 8 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 Letra B

(42)

MATEMÁTICA

42 Qual é a soma dos termos da sequência (x - 2, 3x - 10, 10 + x, 5x + 2), para que a mesma seja uma progressão geométrica crescente?

a) 52 b) 60 c) 40 d) 48 e) 64 Resolução

Vimos que para calcular a razão de uma progressão geométrica devemos dividir qualquer termo por aquele que o antecede. Como a razão é constante, então:

3𝑥 − 10 𝑥 − 2 =

10 + 𝑥 3𝑥 − 10

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicar cruzado). (3𝑥 − 10)(3𝑥 − 10) = (𝑥 − 2)(10 + 𝑥)

9𝑥2_{− 30𝑥 − 30𝑥 + 100 = 10𝑥 + 𝑥}2 − 20 − 2𝑥

9𝑥2_{− 60𝑥 + 100 = 𝑥}2_{+ 8𝑥 − 20}

8𝑥2− 68𝑥 + 120 = 0

Para simplificar, podemos dividir os dois membros da equação por 4. 2𝑥2− 17𝑥 + 30 = 0

Temos uma equação do segundo grau, em que a =2, b = -17 e c = 30. Para resolvê-la, devemos utilizar a fórmula:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏

2_{− 4𝑎𝑐}

(43)

MATEMÁTICA 43 Substituindo os valores... 𝑥 =−(−17) ± √(−17) 2_{− 4 ∙ 2 ∙ 30} 2 ∙ 2 𝑥 =17 ± √49 4 𝑥 =17 ± 7 4 Assim, x = 6 ou x =10/4 = 5/2.

Vamos substituir os dois valores na sequência original e ver qual delas fornece uma P.G. crescente.

i) x = 6

(x - 2, 3x - 10, 10 + x, 5x + 2) = (4, 8, 16, 32)

Já obtivemos uma P.G. crescente de razão 2, já que os termos estão dobrando. Esta é a sequência que queríamos. A soma dos termos é 4 + 8 + 16 + 32 = 60. Letra B

Vamos substituir x por 5/2 = 2,5 para ver o que acontece. (x - 2, 3x - 10, 10 + x, 5x + 2) = (0,5 ; -2,5 ; 12,5 ; 14,5)

Esta não é uma P.G. crescente.

Um quadrado tem como lado o valor do 6º termo de uma progressão geométrica, no qual o 1º termo é 6 e o 4º termo é 162. Considerando que esses valores estão expressos em centímetros, então o perímetro desse quadrado é igual a

(44)

MATEMÁTICA 44 a) 5828 cm. b) 5830 cm. c) 5832 cm. d) 5836 cm. e) 5840 cm. Resolução

Temos uma progressão geométrica em que 𝑎₁= 6 e 𝑎₄= 162. Pela fórmula do termo geral, temos:

𝑎4 = 𝑎1∙ 𝑞3

162 = 6 ∙ 𝑞3 𝑞3= 27

𝑞 = 3

Isto significa que os termos da P.G. estão triplicando. Se o quarto termo é 162, o quinto termo será 162 x 3 = 486 e o sexto termo será 486 x 3 = 1.458.

Achamos o lado do quadrado: 1.458 cm.

Queremos saber o perímetro do quadrado. O perímetro é a soma dos quatro lados, ou seja, 1.458 x 4 = 5.832 cm.

Letra C

QUESTÃO 15 – CESGRANRIO– PETROBRAS - 2010

Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica? (A) – 9

(45)

MATEMÁTICA 45 (C) – 1 (D) 1 (E) 9 Resolução

A maneira mais rápida de resolver esta questão é testando as alternativas. (A) – 9

Vamos somar −9 aos número 1,5 𝑒 7.

(−9 + 1, −9 + 5, −9 + 7) (−8, −4, −2)

Esta é uma progressão geométrica de razão 1/2. A resposta é alternativa (A).

Algebricamente, resolvemos esta questão assim. Vamos considerar que o número procurado seja igual a 𝑥. Assim, a sequência (1 + 𝑥, 5 + 𝑥, 7 + 𝑥) é uma progressão geométrica.

A razão de uma P.G. é o quociente entre dois termos consecutivos. Como a razão é constante, então:

5 + 𝑥 1 + 𝑥 =

7 + 𝑥 5 + 𝑥

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicar em cruz). (5 + 𝑥) ∙ (5 + 𝑥) = (1 + 𝑥) ∙ (7 + 𝑥)

25 + 5𝑥 + 5𝑥 + 𝑥² = 7 + 𝑥 + 7𝑥 + 𝑥² Podemos cancelar 𝑥².

(46)

MATEMÁTICA 46 10𝑥 + 25 = 8𝑥 + 7 10𝑥 − 8𝑥 = 7 − 25 2𝑥 = −18 𝑥 = −9 Letra A

O valor da soma infinita 2 – 1 + 1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + ... é

(A) 4 (B) 2 (C) 11/8 (D) 4/3 (E) 2/3 Resolução

O problema pede a soma dos infinitos termos da P.G.

(2, −1,1 2, − 1 4, 1 8, − 1 16, … )

Para calcular a razão desta P.G. devemos dividir qualquer termo pelo seu antecedente. Vamos dividir o segundo termo pelo primeiro.

𝑞 = −1 2

O primeiro termo é igual a 2. Para calcular a soma dos infinitos termos desta P.G. devemos aplicar a fórmula vista anteriormente.

(47)

MATEMÁTICA 47 𝑆 = 𝑎₁+ 𝑎₂+ ⋯ + 𝑎_𝑛+ ⋯ = 𝑎1 1 − 𝑞 𝑆 = 2 1 − (−1 2) = 2 1 +1 2 = 2₃ 2

Para dividir frações, repetimos o numerador, invertemos o denominador e multiplicamos. 𝑆 = 2 ∙2 3 = 4 3 Letra D

A soma dos 23 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 4 é 1.173. Assim, o 20º termo dessa progressão é:

a) 83. b) 85. c) 87. d) 88. e) 92. Resolução

A relação entre o 23º termo e o primeiro termo é a que segue: 𝑎₂₃ = 𝑎₁ + 22𝑟

𝑎₂₃ = 𝑎₁+ 22 ∙ 4 = 𝑎₁+ 88 Vamos aplicar a fórmula da soma dos termos.

(𝑎₁+ 𝑎₂₃) ∙ 23

2 = 1.173 (𝑎₁+ 𝑎₁+ 88) ∙ 23 = 1.173 ∙ 2

(48)

MATEMÁTICA 48 2𝑎₁ + 88 = 1.173 ∙ 2 23 2𝑎₁+ 88 = 102 2𝑎₁ = 14 𝑎₁ = 7 Agora vamos calcular o vigésimo termo.

𝑎₂₀ = 𝑎₁+ 19𝑟 = 7 + 19 ∙ 4 = 83 Gabarito: A

Em uma lanchonete recém‐aberta percebeu‐se que a cada dia visitavam três clientes a mais que no dia anterior, até o décimo dia. Sabendo que no primeiro dia foram 13 clientes a visitar a lanchonete, então o número total de clientes que visitaram a lanchonete nesses primeiros 10 dias foi igual a:

a) 130. b) 215. c) 245. d) 265. e) 280. Resolução

Queremos calcular os 10 primeiros termos da PA (13,16,19,...). Primeiro calculamos o 10º termo.

𝑎₁₀= 𝑎₁+ 9𝑟 = 13 + 9 × 3 = 40. Agora aplicamos a fórmula da soma dos termos de uma PA.

𝑆₁₀ =(𝑎1+ 𝑎10) ∙ 10

(49)

MATEMÁTICA

49 Letra D

Em uma progressão aritmética, o quarto termo é –39 e o oitavo termo é –11. Assim, o décimo segundo termo é:

a) 10. b) 11. c) 14. d) 17. e) 22. Resolução

Vamos utilizar a fórmula do termo geral para relacionar o quarto e oitavo termos. 𝑎₈ = 𝑎₄ + 4𝑟

−11 = −39 + 4𝑟 4𝑟 = 28

𝑟 = 7

Aplicamos novamente a fórmula do termo geral para descobrir o 12º termo. Você pode usar o quarto ou o oitavo termo para encontrar o 12º termo. Tanto faz!

𝑎₁₂ = 𝑎₈+ 4𝑟 𝑎₁₂ = −11 + 4 ∙ 7 = 17 Letra D

Uma progressão aritmética de razão 5 que possui 15 termos tem a soma de seus termos igual a 795. O primeiro termo dessa sequência é:

(50)

MATEMÁTICA 50 b) 14. c) 15. d) 16. e) 18. Resolução

A relação entre o 15º termo e o primeiro termo é a que segue: 𝑎₁₅ = 𝑎₁ + 14𝑟

𝑎15 = 𝑎1+ 14 ∙ 5 = 𝑎1+ 70

Vamos aplicar a fórmula da soma dos termos. (𝑎₁+ 𝑎₁₅) ∙ 15 2 = 795 (𝑎₁+ 𝑎₁+ 70) ∙ 15 = 795 ∙ 2 2𝑎1 + 70 = 795 ∙ 2 15 2𝑎1+ 70 = 106 2𝑎₁ = 36 𝑎₁= 18 Letra E

Um celular tem seu preço de lançamento igual a R$ 2.500,00 e a cada mês ele desvaloriza R$ 60,00 até que ele para de ser vendido quando seu preço é reduzido a menos de 20% do preço de lançamento. O mês no qual o celular para de ser vendido é o:

a) 33º. b) 34º.

(51)

MATEMÁTICA 51 c) 36º. d) 38º. e) 40º. Resolução

20% do preço de lançamento = 20% de 2.500 = 500 reais. Após um mês do lançamento, o valor é 2500 – 60 = 2440. Após dois meses, o valor é 2440 – 60 = 2380.

A sequência de valores por mês é a que segue: (2440, 2380, 2320, ...).

Queremos saber em qual mês o valor será menos que 500 reais (o primeiro mês que isso ocorre).

O termo geral dessa PA é 𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑟 = 2440 + (𝑛 − 1) ∙ (−60). Queremos que este termo seja menor que 500.

2440 + (𝑛 − 1) ∙ (−60) < 500 2440 − 60𝑛 + 60 < 500

−60𝑛 < −2000

Quando precisamos multiplicar uma inequação por um número negativo, neste caso -1, devemos inverter o sentido da desigualdade.

60𝑛 > 2000 𝑛 > 33.3333 … O primeiro valor de n maior que 33.333... é 34. Letra B

Um objeto é arremessado horizontalmente contra uma parede a 1,02 quilômetro de distância e percorre quatro metros no primeiro segundo, 11 metros no segundo, 18 metros no terceiro e, assim, sucessivamente. Dessa forma, em quantos segundos o objeto atingirá a parede?

a) 14. b) 17.

(52)

MATEMÁTICA 52 c) 19. d) 21. e) 23. Resolução

As distâncias formam uma PA de razão 7. (4,7,11,18,...).

A soma de todos os termos é igual a 1020 (1,02km = 1020 metros). Queremos saber o número de termos.

Vamos utilizar a fórmula do termo geral.

𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑟 = 4 + (𝑛 − 1) ∙ 7 = 7𝑛 − 3 Agora apliquemos a fórmula da soma dos termos.

(𝑎₁+ 𝑎_𝑛) ∙ 𝑛

2 = 1.020 (4 + 7𝑛 − 3) ∙ 𝑛 = 2.040

(7𝑛 + 1) ∙ 𝑛 = 2.040 Vamos testar as alternativas.

a) 14

(7x14+1)x14 = 1386 b) 17

(7x17+1)x17=2040. Letra B

(53)

MATEMÁTICA

53 QUESTÃO 23 - CONSULPLAN – PREF. DE CASCAVEL/2016

A razão de uma progressão aritmética é igual ao dobro de seu primeiro termo. Se o décimo segundo termo é 69, então a soma dos três primeiros termos dessa progressão é: a) 21. b) 23. c) 25. d) 27. e) 29. Resolução

Utilizemos a fórmula do termo geral para relacionar a12 e a1.

a12 = a1 + 11r

O enunciado afirma que r = 2a1.

69 = a1 + 11*2a1

69 = 23a1

a1 = 3.

A razão é o dobro do primeiro termo. Portanto, a razão é 6. O segundo termo é 3 + 6 =9.

O terceiro termo é 9 +6 = 15.

A soma dos três primeiros termos é 3 + 9 + 15 = 27. Letra D

QUESTÃO 24 - CONSULPLAN – CM DE OLINDA/2015

O primeiro e o último termo de uma progressão aritmética são, respectivamente, –43 e 430. Sendo a razão dessa progressão igual a 11, então o seu número de termos é igual a

a) 36. b) 39.

(54)

MATEMÁTICA

54 c) 41.

d) 44. Resolução

Aplicação direta da fórmula do termo geral. an =a1 +(n-1)r 430 = -43 + (n-1)*11 473 = 11n – 11 11n = 484 n = 44 Letra D

Tomando-se cada lado de certo polígono de 60 lados em um certo sentido e em ordem crescente verifica-se que a partir do segundo menor lado a medida de cada um deles é 2,5 mm maior do que a medida do seu antecessor. Se o perímetro desse polígono é igual a 475,5 cm, então o seu menor lado mede:

a) 0,8 mm. b) 3,5 mm. c) 4,8 mm. d) 0,55 cm. e) 2,5 cm. Resolução

O menor lado tem comprimento a1. As medidas dos lados formam uma PA de razão

(55)

MATEMÁTICA

55 Apliquemos a fórmula do termo geral para relacionar o 1º e o 60º termo.

a60 = a1 +59r

a60 = a1 +59*2,5

a60 = a1 +147,5

Apliquemos agora a fórmula da soma dos termos. (𝑎₁+ 𝑎₆₀) ∙ 60 2 = 4755 (𝑎₁+ 𝑎₁+ 147,5) ∙ 30 = 4755 2𝑎₁+ 147,5 = 158,5 𝑎₁ = 5,5𝑚𝑚 = 0,55𝑐𝑚 Letra D

João desenhou uma figura de 18 lados, que considerando a ordem crescente do tamanho dos lados, cada um era 5 mm maior que o anterior. Sabendo que essa figura tem 98,1 cm de perímetro, então o tamanho do menor lado, em centímetros, é:

a) 0,5. b) 1,2. c) 1,6. d) 1,8. Resolução

O menor lado tem comprimento a1. As medidas dos lados formam uma PA de razão 5

mm. A soma dos 18 termos é 981 mm.

Apliquemos a fórmula do termo geral para relacionar o 1º e o 18º termo. a18 = a1 +17r

a18 = a1 +17*5

a18 = a1 +85

(56)

MATEMÁTICA 56 (𝑎₁+ 𝑎₁₈) ∙ 18 2 = 981 (𝑎₁+ 𝑎₁+ 85) ∙ 9 = 981 2𝑎₁+ 85 = 109 𝑎₁ = 12𝑚𝑚 = 1,2𝑐𝑚 Letra B

Analise a sequência a seguir. 6, 10, 14, 18 . . .

A soma dos 17 primeiros termos dessa sequência é: a) 452.

b) 510. c) 576. d) 646.

Resolução

A sequência é uma PA de razão 4. Vamos calcular o 17º termo.

𝑎₁₇= 𝑎₁+ 16𝑟 = 6 + 16 ∙ 4 = 70 Agora calculamos a soma de todos os termos.

𝑆 =(𝑎1+ 𝑎17) ∙ 17

2 =

(6 + 70) ∙ 17

2 = 646 Letra D

(57)

MATEMÁTICA

57 A soma dos doze termos de uma progressão aritmética é igual a 204. Considerando que a razão r dessa progressão é 4, então é correto afirmar, com relação ao sexto termo da progressão K, que

a) K ≤ 6. b) 6 < K ≤ 10. c) 10 < K ≤ 15. d) 15 < K ≤ 20. Resolução

Apliquemos a fórmula do termo geral para relacionar o 1º e o 12º termo. a12 = a1 +11r

a12 = a1 +11*4

a12 = a1 +44

Apliquemos agora a fórmula da soma dos termos. (𝑎₁+ 𝑎₁₂) ∙ 12 2 = 204 (𝑎₁+ 𝑎₁+ 44) ∙ 6 = 204 2𝑎₁+ 44 = 34 𝑎₁= −5 A razão é 4.

A PA tem os seguintes termos: (-5,-1,3,7,11,15). O sexto termo é 15.

Letra C

Observe a sequência a seguir: x, 3x, 9x, 27x, ...

Sabendo que a soma dos sete primeiros termos dessa sequência é 3.279. Então o valor de “x” é:

(58)

MATEMÁTICA 58 a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. Resolução

Os termos estão triplicando. Vamos somar os 7 primeiros termos dessa sequência (PG).

x+3x+9x+27x+81x+243x+729x = 3279 1093x = 3279

x = 3 Letra B

QUESTÃO 30 - CONSULPLAN – NATIVIDADE/2014

A soma dos 3 primeiros termos de uma progressão geométrica de razão 3 é igual a 56 subtraído do 4º termo da mesma. É correto afirmar que o valor do 1º termo dessa progressão é a) 2. b) 4. c) 6. d) 8. Resolução

Digamos que o primeiro termo seja x. A razão é 3. Eis a PG: (x,3x,9x,27x). A soma dos 3 primeiros termos é igual a 56 subtraído do 4º termo. Assim: x+3x+9x = 27x - 56

(59)

MATEMÁTICA

59 14x = 56

x = 4 Letra B