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MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 ME262

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(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS (CTG) DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA (DEMEC)

MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 – ME262

Prof. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO

(Capítulo 4)

(2)

Capítulo 4 – Análise integral de volumes de controle

1 – Leis básicas para um sistema. Lei da conservação da massa. Segunda lei de Newton. Momento da quantidade de movimento. Primeira Lei da Termodinâmica. Segunda Lei da Termodinâmica.

2 – Formulação das leis básicas para VC. Teorema de transporte de Reynolds. Significado físico dos termos.

3 – Lei da conservação da massa (LCM) para VC. Casos especiais. Vazão volumétrica. Velocidade média em uma seção. Vazão mássica. Influxos e efluxos de massa. Exemplos. Critérios para seleção de (VC) e (SC) adequados.

4 – Quantidade de movimento para VC inercial. Fixo e com velocidade constante. Exemplos práticos.

5 – Propulsão a jato. Equação da quantidade de movimento para VC sob aceleração retilínea. Exemplos.

6 – Momento da quantidade de movimento. Máquinas de fluxo. Momento de Impulso. Características. Turbinas. Bombas. Ventiladores, sopradores e compressores. Escoamento pelo rotor. Exemplos. Análise das turbomáquinas. Equação de Euler das turbomáquinas. Exemplos. Visualização das velocidades no rotor. Seccionamento de rotor e triângulos de velocidades em máquinas de fluxo axial. Altura de carga (H) adicionada /retirada ao fluxo. Tipos de pás.

7 – Primeira Lei da Termodinâmica para VC. Trabalho do fluxo para realizar uma variação de volume no S ou VC. Exemplos. Capacidades de geração elétrica (Potência instalada). Composição da Matriz Energética Global Utilizada.

(3)

Equações básicas, na forma integral, para um S

Conservação de Massa

A Segunda Lei de Newton

(4)

A Primeira Lei da Termodinâmica

O Princípio do Momento da Quantidade de Movimento / Princípio da Quantidade de

Movimento Angular

0

Convenção + :

(5)

A Segunda Lei da Termodinâmica

Próximo objetivo: obtenção da formulação das leis básicas para VC, da formulação para S.

S

VC

(6)
(7)

N – qualquer propriedade extensiva do S (M, P, H, E, S) η – propriedade intensiva correspondente

(8)

Configurações do sistema e do volume de controle.

Total-Taxa de variação do parâmetro N extensivo do S

Temporal-Taxa de variação de N no VC

Fluxo – Vazão resultante de N através da SC

Teorema de transporte de Reynolds

(MÓVEL) (FIXO)

(III– “massa”

que sai) (I – “massa

nova” que entra no VC)

(9)

Teorema de transporte de Reynolds

y x y x y x V N N N V V ( t – Δt) ( t ) ( t + Δt) S VC S e VC VC S SC1 SC2 Móvel com V do fluido N – parâmetro físico ( ; ; M; E; S) vetores escalares Extensiva

η – N / m (independe da massa) Intensiva

Em ( t )

(1,2)

(10)

OBJETIVO: expressar a taxa de variação da propriedade N para um S em termos das variações dessa propriedade associadas com o VC.

t0 – fronteiras do S e VC coincidem. (t0 + dt) – o S ocupa as regiões II e III. y

x z

S e VC VC S

I II III

massa do S que deixou o VC durante dt

massa que entra no VC durante dt trazida pelo “novo” S sucessor*.

*Há um “fluxo contínuo” de fluido S passando pelo VC! Da definição de derivada:

Porém:

Então:

Associados ao fluxo do S pelo VC Como o limite da soma é igual à soma dos limites:

Integral do fluxo da N passando pelas SC’s do VC com velocidade N “Teorema de transporte de Reynolds”

(11)

Lei da conservação da massa

N = M η = 1 Taxa de variação de M dentro do VC Fluxo de massa resultante pela SC > 0 efluxo < 0 influxo = 0 tangencia a SC VC dA V * * dA dA V V V · dA> 0 (efluxo) V · dA < 0 (influxo) V · dA= 0

(12)

Casos especiais

1 – Escoamento incompressível ( ρ = ρ (x, y, z, t) = cte)

(÷ ρ)

Para um VC não deformável, = cte,

Vazão volumétrica

“ Em escoamento incompressível, a vazão volumétrica resultante QR (entra e sai) pelas SC do VC é nula.”

Velocidade média em uma seção

V dA V dA 1 2 VC = QR

Obs: deve-se sempre usar as SC normais ao fluxo.

Definição de Vazão Volumétrica:

(13)

2 – Escoamento permanente ( ρ = ρ (x, y, z))

(vazão mássica)

“ Em escoamento permanente, a QM entrando em um VC deve ser igual à QM saindo.”

3 – Escoamento uniforme na seção ( velocidade cte . na área da seção )

Se a ρ também é cte., a integral de fluxo fica: + efluxo

- influxo

0

Vazão mássica

Obs: deve-se sempre usar as SC normais ao fluxo.

QM = ρ Q ( ρ = cte em A) Definição de Vazão Mássica:

(14)
(15)

Critérios para seleção de (VC) adequado

• o VC deve cortar o lugar onde a informação é desejada;

• o VC deve cortar lugares onde um máximo de informação é conhecida;

• se usar LCQM, o VC não deve cortar paredes sólidas, pois exporá tensão, forças e momentos desconhecidos, dificultando o cálculo da força desejada;

(16)

Critérios para seleção das (SC’s) adequada

• nas SC’s devem ser bem determinadas: ( ρ, V e p ) do fluxo em estudo

• as SC’s devem ser: - paralelas às velocidades do fluxo

- ortogonais às velocidades do fluxo

• as SC’s devem se localizar em trechos onde a distribuição das velocidades do fluxo seja uniforme ou a mais simples possível.

V A A V V · dA= 0 SC SC V V A A V · dA = ± │V dA SC A

(17)

Quantidade de movimento para VC inercial (2ª LN)

onde são atuantes sobre o (S).

N = η =

“ A soma de todas as forças atuando sobre um VC não submetido a aceleração, é igual à

soma da taxa de variação da quantidade de movimento dentro do VC com a taxa

resultante de fluxo da quantidade de movimento pelas superfícies de controle (SC).”

(18)

B) Determinar o sinal de cada componente da velocidade . O sinal depende

da escolha do sistema de coordenadas: .

Em relação a um sistema de coordenadas (x, y, z) os componentes escalares são:

Fluxo da quantidade de movimento na direção x:

(19)
(20)
(21)
(22)

Volume de controle móvel (inercial ≡ V

VC

= cte)

Y

y x

(Referencial

fixo, absoluto ou inercial)

Vfl abs -Velocidade absoluta do fluido (ref. Fixo) VVC abs - Velocidade absoluta do VC (ref. Fixo) Wfl rel - Velocidade relativa do fluido (ref. Móvel)

A diferença entre as velocidades absolutas

é a velocidade do fluido vista do

referencial móvel ou Wfl rel .

Y X y x X Vfl abs VVC abs Wfl rel Wfl rel VVC abs V

fl abs= Wfl rel + VVC abs

Vfl abs

(23)

Volume de controle (VC) movendo-se a velocidade constante

X y x Y VC S

A) Todas as velocidades sejam medidas em relação ao VC;

B) Todas as derivadas referidas ao tempo sejam medidas em relação ao VC.

As seriam vistas por um observador movendo-se a velocidade constante com o VC (Wfl rel ).

(24)

Supor que a magnitude da velocidade relativa ao longo da aleta é constante. Desprezar atrito de contato. Módulo do vetor velocidade na entrada e saída da pá defletora.

Componentes do vetor velocidade na entrada (1) e saída (2) do defletor.

V1= 0 ; U1 = V – U

(25)
(26)
(27)

Propulsão a jato

Pela LCM : ρ1V1A1 = ρ2V2A2  Pelo fluxo de calor recebido na turbina: ρ2 <<< ρ1 V2 >>> V1 Fc = ρQ ΔV , onde ρQ = ρ1Q1 = ρ2Q2

Suprefície de controle adotada para obtenção da força de propulsão de um turbo-jato. Supõe-se distribuição

uniforme de velocidades transversais A1e A2.

0 (RP)

(28)

Equação da quantidade de movimento para VC sob aceleração retilínea

Y X y x s vc

Da equação do movimento relativo, ou vetorialmente:

- É a aceleração retilínea do sistema em relação ao referencial inercial XYZ;

- É a aceleração retilínea do sistema em relação ao

referencial não-inercial xyz;

- É a aceleração retilínea do referencial não-inercial xyz em relação ao referencial inercial XYZ.

“termo extra” Ex: Em x: Para y: vxyz Para z: wxyz Do Teorema de transporte de Reynolds: N = , . Sabe-se que:

(29)
(30)

- É a aceleração do VC vista por um observador no sistema de coord. YX. É a taxa de variação com o tempo da quantidade de movimento do fluido, segundo o eixo y, no VC, e medida em relação a ele.

Fsy = 0 - ejeta gás a p- despreza resistência do aratm (patm atua em todas SC’s do VC!)

( MVCé função de t!)

Para achar MVC(t), usa-se a LCM:

- o combustível não queimado e a estrutura do foguete têm quantidade de movimento nula em relação ao foguete;

(31)
(32)

Momento da quantidade de movimento

Equação

(33)

Exemplos:

Bomba centrífuga Soprador centrífugo

Turbocompressor centrífugo

Turbocompressor em motores a explosão

aproveita os gases de escape para injetar oxigênio nos cilindros ( camara de combustão). Um turbocompressor inclui

um par de rotores axial, ligados num só eixo, que giram de um lado como turbina e do outro como compressor.

(34)

Turbomáquinas de fluxo axial e misto

Turbinas hidráulicas

(35)

Exemplos de rotores:

Turbina Francis

(36)

Estudos e análises

Máquinas de fluxo

1 – Generalidades:

a) 1/3 da energia consumida nos EUA é usada na indústria;

b) 40-50% da energia industrial é usada para acionar* bombas e compressores.

(*Custo da energia – “fator de competitividade” de setores industriais eletrointensivos (- Al; - Siderúrgicas))

2 – Atividades do Engenheiro Mecânico:

Seleção Projeto Instalação Construção Aplicação Manutenção 2 3 2 – Máquinas de Série (catálogos)  desempenho  vida útil 3 – Máquinas sob encomenda  desempenho (?)vida útil (?)

(37)

3 – Características:

• são aquelas em que o escoamento é orientado pelas pás do rotor;

• as trocas de E entre o fluido e o rotor resultam de efeitos dinâmicos no escoamento; • ao contrário das Máquinas Alternativas, as de fluxo não confinam o fluido.

(38)

4 – Turbinas  extraem energia do escoamento fluido.

4.1 – Tipos:

• Ação / Impulsão: são acionadas por um ou mais jatos livres acelerados em bocais externos. O rotor gira sem estar cheio do fluido (Pelton);

• Reação: um conjunto de pás fixas externas ao rotor (distribuidor) e de pás móveis (rotor) aceleram o fluido no 1° estágio. Eles funcionam cheios de fluido, por isto, para um dado tamanho, podem produzir mais potência que as de Ação. (Francis, Kaplan)

(39)

5 – Bombasentregam energia ao escoamento líquido ou pastoso.

6 – Ventiladores, sopradores e compressores  entregam energia ao escoamento de gás e vapor.

Ventilador: fluxo se dá sem compressão do fluido ( ≤ 1” H2O; 1 atm ≈ 10 mca  0,25% atm. )

Soprador: dá ligeira elevação de pressão no fluido ( ≈ 1” Hg; 1 atm ≈ 30 in Hg  3,3% atm)

(40)

Momento de Impulso

VC no rotor da máquina de fluxo

(41)
(42)
(43)

Análise das turbomáquinas

0 (1) 0 (2) 0 (3)

Simplificações: 1 – ignorar torques das . (1ª aproximação)

2 – desprezar torques das . (simetria!)

3 – regime permanente.

Tei > 0  B, V, S, C. Tei < 0  T.

V2 - velocidade absoluta do fluido na saída do rotor (2) Vt2 - componente tangencial da velocidade absoluta em (2) Vn2 - componente normal (radial) à área de saída (2)

U2 - velocidade linear do rotor na saída (2) ω - velocidade angular do rotor

( potência) = ( U2Vt2 – U1Vt1 ) QM

(44)

Visualização das velocidades em um rotor de turbomáquina

( Diagramas ou Polígonos de velocidades)

β1,2 - ângulos da veloc. relativa à pá (yx) do fluido ao entrar/sair do rotor (tangente à pá). α1,2 - ângulos da veloc. absoluta (YX) do fluido ao entrar/sair do rotor.

U2 - velocidade tangencial linear absoluta da ponta do rotor observada do referencial inercial YX. Vrb2 - veloc. relativa à pá (yx - ref. não-inercial ) do fluido, na saída (2) do rotor.

V2 = U2 + Vrb2 - velocidade absoluta do fluido observada do referencial inercial YX. Vt2,Vn2 - componentes tangencial e normal da velocidade absoluta na saída (2).

Y

X

(45)
(46)

Altura de carga (H) adicionada /retirada ao fluxo

= P = FV = pAV = pQ = ρgHQ

(altura)

Se o fluido entra no rotor com V1 radial  Vt1 = 0, como Vt2 = U2 – Vrb2 cos β2 , então:

(47)
(48)
(49)

1ª Lei da Termodinâmica para VC

s N = E η = e Eixo Móvel (Tei ω)

Trabalho de fluxo Taxa de W realizado

pelo VC (para fora! + ) Como:

Então:

I) A direção e sentido da força são as

do que coincidem com as do vetor .

II) A direção e sentido da força são da .

Modos de transferência de trabalho

(50)

Trabalho do fluxo para realizar uma variação de volume no S ou VC

Como a taxa de W realizado pelo VC é positiva e estamos obtendo a realizada sobre o VC:

Porém, e como v ρ= 1,0, onde , logo:

(Taxa de trabalho ou

potência do fluxo na SC por ação da tensão σ.)

Observe que: ( fluxo de energia pela SC devido à ) p τ t = 0 t = 0 + Δt S Exterior

O sinal deve ser negativo porque se está obtendo a taxa de W realizada sobreo VC na SC.

(51)

2° membro:

h - entalpia Finalmente:

Obs:

. Se toma a SC perpendicular ao fluxo, então:

Energia elétrica poderia ser acrescentada ao VC. Em geral, estão ausentes, porém se anota em uma formulação geral.

(52)
(53)

Exemplo: Estudo de caso - uso da LCE na análise global relativa das eficiências das máquinas de

fluido de fluxo hidráulicas e térmicas.

Tese: a máquina mais eficiente seria a que extrairia maior potência de eixo! Modelo: LCE para VC

0 (1)

0 (1) 0 (3)

Hipóteses do Modelo: 1) VC adequado e 2) fluido (ar ou gás) perfeito h = cpT

3) regime permanente.

Assim:

(h = cpT), ou separando em termos de fluxos de energias de vários modos:

Fluxo de entalpia (h).

Fluxo de Ec Fluxo de

Epposição

Fazendo-se uma estimativa da magnitude das ordens de grandeza dos vários fluxos (dos modos) de energia: 1) O fluxo de Epposiçãofica desprezível em esc. de gases: (gz) ≈ 10m/s² × 10m ≈ 100 (m/s)²

2) O fluxo de Ec é pequeno em esc. à baixas velocidades: (V²/2) ≈ 80²/2 ≈ 3200 (m/s)²

3) O fluxo de h é dominante: (cpT) ≈ 1004 m²/s²K × (50°C + 273K) ≈ 325000 (m/s)²

10²

(54)

Conclusões:

1) Quando se desconsidera os efeitos de trocas de calor é que as Ec e Ep tornam-se importantes!

Turbinas a vapor e a gás:

(55)

Capacidades de geração elétrica (Potência instalada)

1) A maior Usina de Energia Renovável do Mundo – Torre ( H = 1000m; D = 130m) – Painel solar ( A = 20km²; D ≈ 5 km; 2p = 16 km) – deserto Austrália – 2009 – Var ≈ 14 m/s – 32 TE’s – Pinst. = 200MW

Per capta consumo residencial: 250W/residência – 200MW/250W ≈ 800.000 consumidores residenciais. 2) Itaipu – 20 turbinas – cada uma com 700MW – Pinst. = 14000MW (2007) – (95% da energia consumida

no Paraguai e 25% no Brasil) – Cada turbina de Itaipu fatura U$15 milhões/mês (R$1milhão/dia) – Em 07/2007: custo da energia industrial – R$206,00 MWh; operação contínua (24h/dia): 700MW – R$3.460.800,00!

3) Complexo Rio Madeira (RO) – Sto. Antônio: 3150MW; Jirau: 3300MW

4) PE – Usinas termoelétricas - Porto Suape – usar coque de petróleo da refinaria Abreu e Lima ou carvão – P = 350MW

Usina Solar - Austrália

Itaipu

Termoelétrica - Suape (www.enviromission.com.au)

(56)

5) Complexo Chesf

Parque gerador:  14 UHE

 1 Térmica

Pinst. = 10.600 MW

Complexo Ano Potência (MW)

PA-I 1954 180 PA-IIA 1961 215 PA-IIB 1967 228 PA-III 1971 794 Apolônio Sales 1977 400 Sobradinho 1979 1050 Itaparica 1988 1480 Xingó 1994 3162

O parque eólico de Osório é um parque de produção de energia eólica na cidade de Osório, RS. É composto por 75 torres de aerogeradores de 98 metros de altura e 810 toneladas cada uma. O parque tem uma capacidade instalada estimada em 150 MW (energia capaz de atender uma cidade de 700 mil habitantes), sendo a maior usina eólica da América Latina.

(57)

6) Matriz Energética Brasileira

Empreendimentos em Operação

Tipo Capacidade Instalada % Total %

N.° de Usinas (kW) N.° de Usinas (kW)

Hidro 786 77.722.019 69,53 786 77.722.019 69,53

Gás Natural 89 10.598.502 9,48 120 11.842.985 10,59

Processo 31 1.244.483 1,11

Petróleo Óleo Diesel 762 3.715.894 3,32 782 4.981.088 4,46

Óleo Residual 20 1.265.194 1,13 Biomassa Bagaço de Cana 268 3.832.278 3,43 329 5.194.375 4,65 Licor Negro 14 1.023.798 0,92 Madeira 32 265.017 0,24 Biogás 8 41.874 0,04 Casca de Arroz 7 31.408 0,03 Nuclear 2 2.007.000 1,80 2 2.007.000 1,80 Carvão

Mineral Carvão Mineral 8 1.455.104 1,30 8 1.455.104 1,30

Eólica 33 414.480 0,37 33 414.480 0,37 Importação Paraguai 5.650.000 5,46 8.170.000 7,31 Argentina 2.250.000 2,17 Venezuela 200.000 0,19 Uruguai 70.000 0,07 Total 2.060 111.787.051 100 2.060 111.787.051 100 Dados da ANEEL de 04-05-2009

(58)

Composição da Matriz Energética Global Utilizada

≥ 80% → combustíveis fósseis ≥ 6% → energia nuclear ≈ 13% → energias renováveis

• Pela Constituição o Estado é obrigado a fornecer energia e proteger o meio ambiente.

• Hidreletricidade (BR):

- hoje operam 70.000MW ( PCH’s ≤ 30MW) - há potencial para mais 200.000MW

Combustíveis fósseis

Energia Nuclear

Energia Eólica

www.e-architect.co.uk/bahrain/bahrain_wtc_wind_turbines.htm

(59)

2ª Lei da Termodinâmica para VC

N = S η = s

S

T dA

- Fluxo local de calor;

- T – temperatura local em A; extensiva intensiva

VC

(60)
(61)
(62)

RESUMO : Leis básicas para um VC

LCM:

Quantidade de movimento linear:

LCE:

2ª LTD:

( VC fixo)

( VC com = cte. - velocidades

observadas do VC. ( VC com ) ( h = u + pv) Y X y x Y X y x Ref. inercial Ref. não-inercial

Quantidade de movimento angular: ( Equação de Euler)

Referências

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