Lista 2 de Matemática 1 a Série do Ensino Médio - 1 o Bimestre de 2011

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CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO DISTRITO FEDERAL DIRETORIA DE ENSINO E INSTRUC¸ ˜AO

CENTRO DE ASSIST ˆENCIA AO ENSINO COL ´EGIO MILITAR DOM PEDRO II

Lista 2 de Matem´atica

1a _S´_{erie do Ensino M´}_{edio - 1}o _{Bimestre de 2011}

Professores Diogo, Edgard e Iracema

1. Ao medir o n´ıvel do óleo do cárter do motor de um automóvel, um mecânico constatou que havia apenas 3 L, quando deveria haver, no m´ınimo, 5,5 L. Por isso, o mecânico completou o n´ıvel m´ınimo despejando óleo no cárter à razão de 0,5 L por minuto. O gráfico abaixo representa a fun¸cão f que expressa a quantidade y de litros de óleo no cárter em fun¸cão do tempo x, em minuto, a partir do momento em que se iniciou o abastecimento até o momento em que foi atingido o n´ıvel m´ınimo.

x y 1 2 3 4 5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

Construa o gráfico da fun¸cão que expressa o tempo, em minuto, em fun¸cão da quantidade de litros de óleo contida no cárter, a partir do instante em que se iniciou o abastecimento até o momento em que foi atingido o n´ıvel m´ınimo.

2. No centro de provas de uma indústria de motocicletas, uma moto percorreu vários trajetos de comprimen-tos diferentes. O tempo t, em hora, para a moto percorrer cada trajeto em fun¸cão da velocidade constante v, em quilômetro por hora, adotada no trajeto é dado por t = 1

v − 50, para v > 50.

a) Escreva uma equa¸cão que expresse a velocidade v em cada trajeto em fun¸cão do tempo t. b) Qual é o comprimento do trajeto percorrido pela moto à velocidade de 60 km/h?

c) Qual ´e o comprimento do trajeto percorrido pela moto em 30 min?

3. Um agricultor tem um terreno e duas op¸cões: plantar soja ou plantar feijão. O gasto com a planta¸cão da soja será de R$ 10.000,00, e o pre¸co de venda de cada quilograma, R$ 2,00. Já o gasto com a planta¸cão de feijão é de R$ 12.000,00, e pre¸co de venda de cada quilograma R$ 3,00.

a) Determine a lei de forma¸cão da fun¸cão Vs(x) que descreve o valor obtido com a produ¸cão de soja em

fun¸c˜ao do n´umero x de quilogramas vendidos.

b) Determine a lei de forma¸cão da fun¸cão Vf(x) que descreve o valor obtido com a produ¸cão de feijão em

fun¸c˜ao do n´umero x de quilogramas vendidos. c) Para quantos quilogramas teremos Vs(x) = Vf(x)?

4. A quantia y que uma pessoa gasta para abastecer seu carro depende da quantidade x de litros que são colocados no tanque do ve´ıculo. Isso quer dizer que o gasto, em reais, é uma fun¸cão do número de litros colocados. Supondo que em um determinado posto o litro de gasolina custe R$ 2,20, escreva a lei de forma¸cão dessa fun¸cão.

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5. Seja x o número de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0). A fun¸cão y = f (x) = x + 320 fornece, aproximadamente, a média de concentra¸cão de CO2 na atmosfera em ppm (partes por milhão) em fun¸cão

de x. A média de varia¸cão do n´ıvel do mar, em cm, em fun¸cão de x, é dada aproximadamente pela fun¸cão g(x) = x

5. Seja h a fun¸cão que fornece a média de varia¸cão do n´ıvel do mar em fun¸cão da concentra¸cão de CO2. No diagrama seguinte estão representadas as fun¸cões f , g e h.

tempo (anos) f &&M M M M M M M M M M M M g _//_m´_{edia de varia¸}_c˜_{ao do} n´ıvel do mar (cm) concentra¸c˜ao de CO2 (ppm) h_llllll 55l l l l l l l

Determine a expressão de h em fun¸cão de y e calcule quantos cent´ımetros o n´ıvel do mar terá aumentado quando a concentra¸cão de CO2 na atmosfera for de 400 ppm.

6. O número de funcionários necessários para distribuir contas de luz, em um dia, para x por cento dos mo-radores de uma cidade, é dado por f (x) = 300x

150 − x. Determine a porcentagem de moradores que receberam a conta de luz num dia em que foram destinados 75 funcion´arios para esse fim.

7. O f´ısico inglês William Thompson (1824-1907), também conhecido como Lord Kelvin, ao estudar o comportamento dos gases, verificou que, quando se mantém a pressão constante, todos eles (na faixa em que os consideramos gases ideais) dilatam-se na mesma propor¸cão em rela¸cão ao volume inicial. Para realizar esse experimento, basta colocar um gás num tubo longo de vidro de 1 mm2 de seçcão (área), confinado por uma gota de mercúrio (a gota serve para o gás não escapar e para marcar seu volume a partir da altura). Pode-se perceber a gota de mercúrio subir ou descer quando o tubo é aquecido ou resfriado. Observe o esquema do experimento:

--

~-

-

----

--

~--

--273

mm

l

-2000( -1000(

373mm

Para qual temperatura o volume do g´as ser´a zero?

8. Ao usar lupas (ou lentes de aumento), podemos ver detalhes de objetos pequenos. Por exemplo, utilizamos algumas lupas para enxergar melhor uma formiga. O interessante ´e que o comprimento virtual (ou aparente) da formiga aumenta numa propor¸c˜ao peculiar, de acordo com os dados da tabela:

Aumento da lente 10× 25× 50× Comprimento virtual 12 mm 30 mm 60 mm Se o aumento da lente for de 70×, qual ser´a o comprimento virtual da formiga?

9. Em 1950, as popula¸cões de Tóquio e de Nova Iorque eram de 7 e 12,6 milhões de habitantes, respectiva-mente. Em 1974, as popula¸cões de Tóquio e de Nova Iorque passaram para 20 e 16 milhões de habitantes, respectivamente. Admitindo-se que o crescimento populacional dessas cidades foi linear no per´ıodo 1950-1974, determine o ano em que as duas cidades ficaram com a mesma popula¸cão.

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10. Em uma fábrica, o custo de produ¸cão de 500 unidades de camisetas é de R$ 2.700,00, enquanto o custo para produzir 1.000 unidades é de R$ 3.800,00. Sabendo que o custo das camisetas é dado em fun¸cão do número produzido através da expressão C(x) = qx + b, em que x é a quantidade produzida e b é o custo fixo, determine:

a) Os valores de b e de q.

b) O custo de produ¸c˜ao de 800 camisetas.

11. Em uma aplica¸cão financeira, em regime de juro simples, o montante M , em real, em fun¸cão do tempo t, em mês, varia de acordo com a fun¸cão M (t) = a + bt, em que a e b são constantes e t ∈ N. Sabendo que os pontos (8, 1.740) e (10, 1.800) pertencem ao gráfico da fun¸cão M , calcule:

a) o capital inicial dessa aplica¸cão; b) a taxa mensal de juro dessa aplica¸cão. 12. Observe o gráfico das fun¸cões afins g e h.

x -3 1 y -1 1 g h

a) Sem fazer cálculos, estime qual das fun¸cões tem maior taxa de varia¸cão. Justifique sua resposta. b) Calcule o coeficiente angular das retas que são os gráficos de g e h.

c) Determine o coeficiente linear de cada uma das retas representadas no gráfico. d) Determine o ponto de interseçcão das retas.

e) Para quais valores de x, h(x) ´e menor que g(x)?

13. No per´ıodo de 1 a 21 de fevereiro, o saldo banc´ario de uma pessoa variou linearmente de R$ 200,00 a R$ 300,00 respectivamente.

a) Determine a taxa média de varia¸cão do saldo bancário (em real) em fun¸cão do tempo (em dia) nesse per´ıodo e explicar o significado dessa taxa.

b) Calcule o saldo banc´ario dessa pessoa no dia 15 de fevereiro.

14. O pre¸co do ingresso de uma pe¸ca de teatro é R$ 50,00, e o custo da apresenta¸cão de uma sessão é R$ 5.000,00. Supondo-se não haver ingressos promocionais, responda às perguntas.

a) Qual é a expressão que relaciona o faturamento por sessão dessa pe¸ca com o número de ingressos vendidos?

b) Qual deve ser o número m´ınimo de pagantes para que uma apresenta¸cão não acarrete preju´ızo? c) Considerando-se quatro apresenta¸cões semanais, qual deve ser o número m´ınimo de frequentadores por

semana para que n˜ao haja preju´ızo?

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15. Para construir uma estrada, uma empresa cobra uma taxa fixa mais uma taxa que varia em fun¸cão do número de quilômetros de estrada constru´ıda. O gráfico abaixo descreve o custo y da obra, em milhão de dólar, em fun¸cão do número x de quilômetros constru´ıdos.

x 10 y

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a) Obtenha a lei de associa¸cão y = f (x), para x ≥ 0, que determina esse gráfico. b) Determine a taxa fixa cobrada pela empresa para a constru¸cão da estrada.

c) Qual será o custo total da obra se a estrada terá 50 km de extensão?

d) Calcule a taxa média de varia¸cão de y em rela¸cão a x quando este varia de 5 km a 8 km.

16. Admita que o valor da conta de água de um consumidor, em determinado mês, até o vencimento, é R$ 21,00; que a multa cobrada para pagamento após o vencimento é 2% sobre o valor da conta; e que os juros cobrados são 0,05% ao dia sobre o valor da conta. Considerando que a fatura foi paga com x dias de atraso e que o valor pago foi R$ 21,63. Qual é o valor de x?

17. Quando a temperatura interna de uma sala atinge 30 ◦C, um aparelho de ar condicionado é ligado de forma automática, fazendo a temperatura variar linearmente com a varia¸cão do tempo. Sabe-se que, no intervalo de 5 a 10 minutos, depois de ser ligado o aparelho, a temperatura variou, respectivamente, de 26

◦_{C a 22}◦_{C. Elabore uma fun¸c˜}_{ao que expresse a temperatura y, em grau Celsius, da sala em fun¸c˜}_{ao do tempo}

x, em minuto, enquanto estiver ligado o aparelho.

18. (PAS-UNB/1a Etapa, Sub-Programa 2006) A fun¸cão cujo gráfico corresponde ao per´ıodo 1 é a) f (x) = 1 24x + 70 b) f (x) = 1 24x + 85 c) f (x) = 24x + 70 d) f (x) = 24x + 85

19. (AFA/2007) Uma pessoa caminha, ininterruptamente, a partir de um marco inicial, com velocidade constante, em uma pista circular. Ela chega à marca dos 1500 m quando são exatamente 5 horas. Se às 5 horas e 25 minutos ela atinge a marca dos 4000 m, é INCORRETO afirmar que

a) a velocidade m´edia da pessoa ´e 100 m/min.

b) a pessoa come¸cou a caminhar `as 4 horas e 15 minutos. c) para caminhar 2500 m essa pessoa gastou 25 minutos.

d) se a pessoa deu 4 voltas completas em 1 hora e 20 minutos, ent˜ao a pista tem 2 km de comprimento. e) `as 5 horas e 50 minutos esta pessoa chega a marca de 6500 m.

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20. (IME/2010) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que r s < t v. Considere as seguintes rela¸cões: I. r + s s < t + v v II. r r + s < t t + v III. r s < r + t s + v IV. r + t s < r + t v O número total de rela¸cões que estão corretas é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Gabarito 1. -2. a) v = 1+50t_t b) 6 km c) 26 km 3. a) Vs(x) = 2x − 10000 b) Vf(x) = 3x − 12000 c) 2.000 kg 4. y = 2, 2x 5. h(y) = y−320₅ ; 16cm 6. 30% 7. -273 oC 8. 84 mm 9. 1964 10. a) q = 2, 2; b = 1600 b) R$ 3.360,00 11. a) R$ 1.500,00 b) 2%

12. a) A fun¸cão g pois forma com o eixo x um ângulo maior com-parado com h. b) 1 e 1₃ c) g:-1; h:1 d) (3,2) e) x > 3 13. a) 5 b) R$ 270,00 14. a) y = 50x b) 100 pagantes c) 400 frequentadores d) R$ 4.000,00 15. a) y = ₁₀x + 4 b) 4 milhões c) 9 milhões d) 0,1 16. 20 dias 17. y = −0, 8x + 30 18. a 19. b 20. d