ERROS NO CÁLCULO DE ERROS
Campoy Vázquez, Carlos Universidade da Corunha
Área de Electromagnetismo - Departamento de Física Escola Universitária Politécnica - Campus de Serantes
Ferrol. e-mail: campoy@edu.xumta.es
RESUMO
Uma prática desenhada para o cálculo da aceleração da gravidade utilizando dois rectângulos de madeira unidos por uma charneira ou bisagra, um cronómetro e uma regra graduada, apresenta algumas dificuldades para o cálculo do erro do resultado quando se utilizam umas pautas que se detalham no que vem a continuação.
1. Instrumental
1. Plano inclinado (em adiante PI) unido por médio de uma charneira a um suporte horizontal
2. Objecto de madeira com forma de prisma de base rectangular para deslizar pelo plano inclinado (em adiante carro)
3. Regra para medir comprimentos 4. Cronómetro
2. Coeficiente de atrito
Com o carro colocado sobre o PI com um ângulo de inclinação suficiente para que o carro deslize empurrado pelo seu próprio peso, comece a diminuir lentamente a inclinação até que o carro se detenha. Nessa posição meça a altura do extremo mais alto da cara inferior do PI sobre a superior do suporte horizontal. (h).
Meça a comprimento do plano inclinado ( L )
O coeficiente de atrito dinâmico será:
2 2 h L h tg D − = = α µ , sendo α o
3. Análise dinâmica
As forças que agem sobre o carro, quando está deslizando pelo plano, são: a) O peso (P) que podemos substituir pela acção conjunta de
(1) A componente normal do peso ( N ) (É dizer, perpendicular ao plano inclinado)
(2) A componente tangencial do peso (Ft) (Paralela ao plano inclinado) b) A reacção ( R ) do plano inc linado sobre o carro (3ª Ley de Newton)
c) A força de atrito (=µD ⋅N) (utiliza-se o coeficiente de atrito dinâmico por estar a peça em movimento
Para uma inclinação suficiente para que o carro deslize empurrado pelo seu próprio peso, deduz-se:
( )
α sen P Ft = ⋅ R=N =P⋅cos( )
α( )
L h senα =( )
L h L2 2 cosα = −A força que impulsaría o carro a mover-se na direcção descente se ficasse em liberdade ( F ):
( )
( )
[
α µ α]
µ ⋅ = ⋅ − ⋅cos − = Ft D N P sen D F 4. Análise cinemáticaPara determinar experimentalmente o valor local da aceleração da gravidade ( g ), medir-se-á o tempo que tarda o carro em deslizar desde o extremo superior ao inferior, para uma inclinação dada.
( )
( )
[
α −µ ⋅cosα]
⋅ =P sen D FPela 2ª Ley de Newton P =m⋅g , F =m⋅a ⇒ a=g⋅
[
sen( )
α −µD ⋅cos( )
α]
Será um movimento uniformemente acelerado. Se se permitir que o carro desça livremente pelo plano inclinado, percorrendo um comprimento s e se mede o tempo t que tarda, ambas as grandezas deverão cumprir a fórmula cinemática:( )
( )
[
]
2 2 2 2 2 2 cos 2 1 2 1 t L h L h g t sen g t a s D D ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = α µ α µÉ dizer: x g y= 1 ⋅ , onde 2 t y = , 2 2 2 h L h L s x D ⋅ − − ⋅ ⋅ = µ
(a grandeza x representa o duplo do espaço percorrido e m queda livre, desde o repouso, por um corpo qualquer, no tempo t)
5. Procedimento experimental
Para medir o espaço: Na posição inicial o carro estará no extremo superior do PI apoiando completamente sobre ele uma das sus caras maiores e com a aresta mas comprida orientada no senso do movimento. O seu centro de gravidade estará a uma distância do extremo superior do PI igual à metade do comprimento do carro, é dizer, da sua maior aresta. Na posição final a parte dianteira do carro terá chegado à parte inferior do plano inclinado (que estará a uma distancia do centro de gravidade do carro igual à metade do
comprimento do carro). Então o espaço percorrido será: e
L
s= − sendo e=comprimento do carro.
Para medir o tempo: Deve situar-se o carro no extremo superior do plano inclinado e nesse momento poremos a funcionar o cronómetro. Accionaremos o cronómetro novamente quando a parte dianteira do carro chegue à parte inferior do plano inclinado.
Para cada valor de h , faremos 10 medidas do tempo, excluiremos os valores máximo e mínimo da série, e atribuiremos a t o valor médio dos 8 restantes.
Procedendo de este modo, calcularemos t para 5 valores de h e colocaremos os resultados numa tabela: h t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t x y 1 2 3 4 5 6. Valor de g
Consiste em considerar os valores de x e y como coordenadas de cinco pontos de uma recta cujo declive seria o valor buscado. A equação da recta que milhor se ajuste aos cinco pontos fornecerá o valor de g.
Para não complicar demasiado a análise, faremos a simplificação de supor exactos os valores de h, L, s e µ o qual não é demasiado grave pois a incerteza nesses valores vai D ser desprezível em comparação com a que resulte da medição do tempo. É por ser esta tão insegura pelo que se entendeu conveniente tomar 10 medidas para cada inclinação do plano.
De este modo temos N = 5 valores experimentais
(
xi , yi)
i=1 L, ,5 sendo os xiexactos e cada yi pertencente a um universo de possíveis valores cujo desvio padrão é
(
)
7 2∑
8 2 = − ⋅ = i j i ij i i t t t σ sendo 8 8 1∑
= = j ij i tt o tempo médio correspondente às oito medidas feitas para uma inclinação dada: a i-éssima inclinação.
A recta que buscamos terá uma equação da forma: y
( )
x =b⋅xPara um valor x a probabilidade de obter um valor dado y da outra variável, está i distribuída de modo normal com média y
( )
xi e desvio padrão σi( )
( )
− ⋅ − ⋅ = 2 2 1 exp 2 1 i i i x y y y P σ π σe a probabilidade de obter todos os que realmente se obtiveram:
(
xi , yi)
i=1 L, ,5( )
− ⋅ ⋅ − ⋅ =∏
∑
2 2 1 exp 2 1 i i i i x b y b P σ π σPelo princípio de máxima verosimilhança, o coeficiente bserá aquele que faça que os nossos resultados experimentais sejam os mais prováveis. O qual significa que devemos minimizar
(
)
∑
− ⋅ = 2 2 2 i i i b x y σ χ , é dizer =−2∑
(
−2 ⋅)
=0 2 i i i i y b x x db d σ χ∑
∑
= ⇒ 2 2 2 i i i i i x y x b σ σ e, por último, b g = 1 7. Erro do resultadoEm geral, se z= f
( )
x,y , sendo os argumentos da função variáveis normais independentes, também o será esta, e o seu desvio padrão pode calcular -se por médio da fórmula:2 2 2 y x z y f x f σ σ σ ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ =
Aqui o parâmetro b é função de várias variáveis normais: yi com desvio padrão σi: 1 2 2 2 2 2 − = ⋅ ∂∂ =
∑
∑
i i i i b x y b σ σ σ e, por último, 2 2 2 1 b g db dg b g σ ⋅σ = ⇒ = 4 2 b b σ = 2 b b g σ σ = ⇒8. Exemplo 0117 . 0 = D µ 512 = L mm = e 86 mm s=426 mm h(mm) t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t(seg) y(s2) x(m) 1 30 1,31 1,5 1,28 1,37 1,31 1,35 1,61 1,33 1,12 1,37 1,35 1,83 18,16 2 35 1,16 1,22 1,28 1,12 1,35 1,03 1,23 1,29 1,21 1,24 1,23 1,50 15,03 3 39 1,06 1,25 1,13 1,16 1,16 1,11 1,31 1,19 1,05 1,16 1,15 1,33 13,21 4 44 1,09 1,31 1,1 1,15 1,18 1,41 1,15 1,20 1,16 1,05 1,17 1,36 11,47 5 50 1,11 0,99 0,87 0,95 1,03 1,09 0,97 1,06 0,87 0,93 0,99 0,97 9,91 x y σ2 x*y x2 X*y/σ2 X2/σ2 1 18,16 1,83 0,0332 33,2328 329,79 1001,0 9933,3 2 15,03 1,50 0,0295 22,5450 225,90 764,24 7657,7 3 13,21 1,33 0,0167 17,5693 174,50 1052,1 10449 4 11,47 1,36 0,0255 15,5992 131,56 611,73 5159,3 5 9,91 0,97 0,0202 9,6127 98,208 475,88 4861,8 TOTAL 3904,9 38061 1026 , 0 = b g =9,7470 σb =0,0051 σg = 0,4845 Então, o resultado deve apresentar-se assim:
2 5 , 0 7 , 9 ± ⋅ − = m s g 9. Conclusão
Não é frequente analisar tão pormenorizadamente o cálculo do erro correspondente a um resultado experimental, assim é pelo menos, no que atinge ás práticas de laboratório correspondentes aos cursos de Ciências ou Engenharia. Em casos como o que venho de analisar, age-se com frequência de alguma de estas maneiras:
1º Calcula-se o coeficiente angular da recta de regressão, mas não se fala para nada do erro do resultado
2º Considera-se como resultado final o valor médio dos cinco valores de g que se obtiveram para cada inclinação, e como erro, a raiz quadrada da soma dos quadrados dos erros respectivos dividida pelo número de dados, neste caso por cinco. O qual seria óptimo se tivéssemos que decidir um valor de g a partir de cinco valores obtidos por cinco diferentes laboratórios, cada um com o seu correspondente erro. Mas este, obviamente, não é o caso.
Bibliografia
[1] Bevington, Philip R. Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences Ed. McGraw-Hill Book Company, New York 1969.
[2] Campos Guimarães, Rui e Sarsfield Cabral, José A., Estatística, Ed. McGraw-Hill de Portugal, Lda., Lisboa 1997
