CONTROLABILIDADE EXATA PARA A

(1)

DETERMINAC

¸ ˜

AO DE PAR ˆ

AMETROS E

CONTROLABILIDADE EXATA PARA A

EQUAC

¸ ˜

AO DA ONDA COM DISSIPAC

¸ ˜

AO

Autor: Orlando dos Santos Pereira

DOUTORADO EM MATEM ´

ATICA

Orientador: Prof. Rolci Cipolatti

IM-UFRJ

RIO DE JANEIRO

(2)

Determina¸

c˜

ao de Parˆ

ametros e Controlabilidade

Exata para a Equa¸

c˜

ao da Onda com Dissipa¸

c˜

ao

Orlando dos Santos Pereira

Tese submetida ao corpo Docente do Instituto de Matemática-IM/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Doutor em Ciências. ´

Area de concentra¸c˜ao: Matem´atica Aprovada por:

Rolci de Almeida Cipolatti IM-UFRJ (presidente) Antˆonio Carlos Gardel Leit˜ao

UFSC-CFM-MTM Jos´e Felipe Linares Ramirez

IMPA Fl´avio Dickstein

IM-UFRJ

Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki DMA-UFV

Ivo Fernandez Lopez IM-UFRJ

(3)

Aos meus pais: Valter Pereira da Silva e Maria Geralda Pereira. A todos os amigos.

(4)

Agradecimentos

• Ao professor Rolci Cipolatti, orientador acadêmico, pela orienta¸cão, incentivo, amizade e dedica¸cão que sempre me prestou durante a elabora¸cão desta tese. Acima de tudo, agrade¸co a ele pela paciência e profissionalismo que tem ao en-sinar e por transmitir com clareza e simplicidade certos conceitos matemáticos complexos.

• Aos professores da UFRJ que sem d´uvida contribu´ıram para meu crescimento profissional e, em especial aos professores Ivo Lopes e Nilson Roberty.

• Aos amigos professores Carlos Eduardo Mathias Motta, Márcio Violante Fer-reira e a todos os alunos e funcionários do IM-UFRJ, pelo conv´ıvio agradável durante minha passagem por essa institui¸cão.

• `A CAPES pelo apoio financeiro.

• Aos professores de gradua¸c˜ao da Universidade Federal de Vi¸cosa pela minha forma¸c˜ao e incentivo, em especial aos professores Olimpio Hiroshi Miyagaki e Margareth da Silva Alves.

• A toda minha fam´ılia que sempre me motivou e deu condi¸cões para que eu atingisse o meu objetivo. Agrade¸co também de modo especial à minha noiva Cristiane de Souza Siqueira que sempre me apoiou nos momentos dif´ıceis.

(5)

Resumo

Neste trabalho consideramos o problema da determina¸cão do coeficiente de viscosi-dade q(x) para a equa¸cão da onda com dissipa¸cão

∂2

tu − ∆u + q∂tu = 0 em (0, T ) × Ω,

a partir de uma ´unica medi¸c˜ao sobre um subconjunto aberto Γ0 ⊂ ∂Ω, em um

in-tervalo de tempo (0, T ), para T > 0 adequado. Mais precisamente, usando uma estimativa de Carleman global, provamos uma desigualdade de estabilidade entre ||q − p|| e ||∂u(q)_∂ν − ∂u(p)_∂ν || com normas apropriadas.

Apresentamos também um segundo resultado de controlabilidade exata, como conseqüência da estimativa de Carleman.

(6)

Abstract

We consider the problem of recovering the coefficient q(x), x ∈ Ω, for the dissipative wave equation

∂2

tu − ∆u + q∂tu = 0, in (0, T ) × Ω,

from a single observation of the Neumann data on an open subset Γ0 of the physical

boundary ∂Ω. We prove a stability result for q(x) provided that T > 0 is large enough and Γ0 satisfies a natural geometric condition. The proof is based on a

global Carleman estimate.

As an application of this estimate, we will present a second result concerning the exact controlability for the same equation.

(7)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Resultados Preliminares 5 1.1 Desigualdades B´asicas . . . 5 1.2 O Problema Direto para a Equa¸c˜ao da Onda com Potenciais . . . 6 2 Desigualdades de Carleman 16

2.1 Desigualdade de Carleman Global para o

Operador de Ondas com Termo de Dissipa¸cão . . . 16 2.2 Desigualdade para um Operador mais Geral . . . 27 3 Determina¸cão do coeficiente de Viscosidade para a Equa¸cão da

On-da com Dissipa¸c˜ao 36 4 Controlabilidade Exata para Equa¸c˜ao da Onda Dissipativa com

Po-tencial Limitado 48

(8)

Introdu¸

c˜

ao

´

E um fato bem conhecido que os avan¸cos no estudo de problemas inversos para equa¸cões diferenciais parciais permitiram o desenvolvimento de muitas novas técnicas, que foram aplicadas com sucesso no campo da f´ısica e em vários outros campos da ciência. Tal situa¸cão constitui uma motiva¸cão real para investigar uma variedade de questões matemáticas que surgem relacionadas a estes problemas.

Neste trabalho vamos considerar o problema inverso de determina¸c˜ao do coefi-ciente q ∈ L∞(Ω) no seguinte problema de valor inicial e de fronteira para a equa¸c˜ao da onda:          ∂_t2u − ∆u + q∂tu = 0, em (0, T ) × Ω, u(0, x) = ϕ0(x), ∂tu(0, x) = ϕ1(x), x ∈ Ω, u(t, σ) = h(t, σ), (t, σ) ∈ (0, T ) × ∂Ω, (1) onde T > 0, Ω ´_{e um dom´ınio limitado regular de R}N_{, N ≥ 2, ϕ}

0, ϕ1, h s˜ao fun¸c˜oes

dadas.

Para q(x) positivo, a equa¸cão (1) representa as oscila¸cões amortecidas de um sistema f´ısico. Embora não nos restrinjamos a este caso, por simplicidade deno-minaremos q como coeficiente de viscosidade.

Nosso primeiro resultado ( o principal da tese) é um teorema de estabilidade local para o coeficiente de viscosidade q na equa¸cão (1). Trata-se aqui de um problema inverso de “determina¸cão de parâmetros”, visto que q ∈ L∞(Ω) é suposto desco-nhecido. Além disso, como conseqüência imediata dessa estimativa de estabilidade, obtém-se um resultado de identifica¸cão para q.

(9)

A primeira parte do nosso trabalho foi inspirada nos trabalhos de L. Baudouin [2] e de L. Baudouin e J.P. Puel [3] em 2002, onde resultados semelhantes foram obtidos para a equa¸cão da onda no caso conservativo e para equa¸cão de Schrödinger, respectivamente. Mais recentemente, em 2006, um resultado semelhante ao de L. Baudouin foi apresentado por A. Doubova e A. Osses [9], este também para a equa¸cão da onda conservativa.

O problema inverso aqui estudado diz respeito `a seguinte quest˜ao:

Problema Inverso: Sob que condi¸cões é poss´ıvel determinar q(x), x ∈ Ω, na equa¸cão (1) com um único dado de Dirichlet h definido em Γ, a partir da medi¸cão do fluxo correspondente

∂uq

∂ν

_Γ₀×(0,T ),

em apenas em uma parte da fronteira Γ0 ⊂ Γ e uq ´e solu¸c˜ao de (1) ?

O problema acima nos remete a algumas quest˜oes, tais como: Unicidade: A igualdade ∂uq1 ∂ν = ∂uq2 ∂ν em Γ0× (0, T ) implica q1 = q2 em Ω ?

Estabilidade: ´E poss´ıvel estimar ||q1− q2||X(Ω) a partir de

∂u_q₁ ∂ν − ∂uq2 ∂ν _{Y (Γ}₀₎ para normas X(Ω) e Y (Γ0) adequadas?

Problemas de determina¸cão de coeficientes em EDP com apenas uma medi¸cão foram estudados inicialmente por A. L. Bukhgeim e M. V. Klibanov [5] em 1981. Estes apresentaram um resultado de unicidade de um coeficiente para a equa¸cão do calor, com um única medida. De fato, os autores são os pioneiros em apresentar a tecnica que se baseia na desigualdade de Carleman e que utilizamos aqui. Posterior-mente, vários autores estudaram problemas correlatos (veja, por exemplo [13], [14], e [20]).

Quanto a resultados de estabilidade, existem poucos trabalhos publicados. Den-tre eles, podemos mencionar Imanuvilov e Yamamoto [11], [12] em 2001, que provaram

(10)

um resultado de estabilidade para a equa¸cão da onda conservativa, com uma única medida em toda fronteira e a dimensão N = 1, 2, 3. Destaca-se também Puel e Yamamoto [20], [21].

Todos os trabalhos mencionados anteriormente utilizam de uma desigualdade a priori associada ao problema, chamada desigualdade de Carleman. Esta desigual-dade foi introduzida inicialmente por Torcio Carleman, em 1939, e usada por ele para demonstrar um teorema de continua¸cão única (ver [6]). Sendo assim, dedicamos to-do um cap´ıtulo para expressar de maneira clara, apesar de muito tecnica, uma desigualdade de Carleman para o operador de ondas, que é ferramenta fundamental na obten¸cão dos resultados de problema inverso .

Há uma outra abordagem no estudo de problemas inversos para EDP, utilizando-se o operador de Dirichlet-Neumann (D-N) (veja por exemplo [22] e [7]). Tais resultados são obtidos supondo-se que as medi¸cões sejam feitas em toda a fronteira Γ e com todas as poss´ıveis medidas, isto é, supondo-se conhecido o operador D-N. No nosso caso, obtemos resultados semelhantes supondo uma única medi¸cão em uma parte da fronteira ∂Ω.

Na segunda parte da tese, provamos uma desigualdade de observabilidade para a equa¸cão (1) como consequência da desigualdade de Carleman e que, pelo método (HUM) introduzido por J.L. Lions [17], a observabilidade é suficiente para concluir a controlabilidade exata.

Nosso trabalho est´a dividido em quatro cap´ıtulos:

O primeiro Cap´ıtulo é dedicado a recapitula¸cões de resultados básicos sobre a equa¸cão da onda, que serão utilizados nos cap´ıtulos seguintes.

No Cap´ıtulo 2 prova-se uma desigualdade do tipo Carleman global para a equa¸cão (1), essencial para a obten¸cão dos resultados aqui apresentados. Ainda neste cap´ıtulo, apresentamos uma desigualdade do tipo Carleman para a equa¸cão

∂_t2u − div(a(x)∇u) + q∂tu = 0. (2)

(11)

para a determina¸c˜ao de q.

No Cap´ıtulo 4 tratamos o problema da controlabilidade exata para a equa¸cão (1). Embora os resultados apresentados não sejam novos, temos um duplo objetivo para inclu´ı-los aqui. Primeiramente, mostramos que a desigualdade de observabilidade, que é essencial para concluir a controlabilidade exata, pode ser obtida diretamente da desigualdade estabelecida no Cap´ıtulo 2. Além disso, há uma hipótose técnica no teorema de estabilidade estabelecido no Cap´ıtulo 3 que nos parece irreal do ponto de vista das aplica¸cões, isto é, supomos que a velocidade inicial no problema da onda seja estritamente positiva e, como detalharemos adiante, a controlabilidade exata parece ser o ingrediente adequado para suprimi-la.

No decorrer da tese usaremos indistintamente a seguinte nota¸c˜ao: u0 = ut= ∂tu, u00= utt = ∂t2u, . . . .

(12)

Cap´ıtulo 1

Resultados Preliminares

No presente cap´ıtulo, fixamos a terminologia e apresentamos alguns resultados b´asicos que ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos seguintes.

1.1 Desigualdades B´

asicas

Serão enunciados a seguir algumas desigualdades e teoremas clássicos de análise. Teorema 1.1 (Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg)

Seja 1 ≤ r < q ≤ ∞ , 1 ≤ p ≤ q, m ≥ 0 e Ω dom´ınio limitado de RN. Ent˜ao |u|q ≤ c|Dmu|θp|u|

1−θ

r ∀ u ∈ W m,p

(Ω) ∩ Lr(Ω) onde c > 0 ´e uma constante e θ = (1_r −1

q)( m N + 1 r − 1 p) −1 _{, 0 < θ ≤ 1}

(0 < θ < 1 no caso onde 1 < p < ∞ e m −N_p ´e um inteiro n˜ao-negativo).

Demonstra¸c˜ao: Ver Nirenberg [18]. _. Teorema 1.2 (Imers˜_{ao de Sobolev) Se Ω for aberto, limitado bem regular do R}N_,

m ∈ N, 1 ≤ p < ∞, então as seguintes imersões são cont´ınuas: (i) Wm,p_{(Ω) ,→ L}∞_{(Ω), se} 1

p − m N < 0;

(13)

(ii) Wm,p_{(Ω) ,→ L}q_{(Ω), ∀q ≥ 1, se} 1 p −

m N = 0;

(iii) Wm,p_{(Ω) ,→ L}q_{(Ω), ∀q tal que 1 ≤ q ≤} N p N −mp, se

1 p −

m N > 0.

Demonstra¸cão: Ver Brézis [4]. Teorema 1.3 (Teorema de Gauss) Seja Ω um dom´ınio limitado de RN com fron-teira ∂Ω = Γ de classe C2. Se F = (f1, f2, ..., fN) é um campo vetorial de classe C1,

então tem-se Z Ω div F dx = Z ∂Ω F · ν dΓ (1.1) onde ν é a normal unitária exterior à ∂Ω e div F =

N X i=1 ∂fi(x) ∂xi .

Além disso, tomando ˜F = a(x)F em lugar de F onde a(x) é uma fun¸cão de classe C1(Ω), temos também que

Z Ω a div F dx = Z ∂Ω aF · ν dΓ − Z Ω ∇a · F dx (1.2) Demonstra¸c˜ao: Ver Richard Courant [8].

1.2 O Problema Direto para a Equa¸

c˜

ao da Onda

com Potenciais

Tendo em vista os problemas que abordaremos neste trabalho, vamos apresentar nesta se¸cão algumas condi¸cões sobre os dados iniciais e de fronteira que garantem a existência, unicidade e regularidade de solu¸cão para a equa¸cão da onda com poten-cial. Como veremos adiante, estas condi¸cões são importantes para a resolu¸cão do problema inverso e também para os outros resultados que serão apresentados nos cap´ıtulos posteriores.

(14)

Teorema 1.4 Sejam Ω ⊂ RN _{um dom´ınio limitado de classe C}2 _{e Σ = (0, T ) × ∂Ω}

onde T > 0. Dados u0 ∈ H01(Ω), u1 ∈ L2(Ω) e h ∈ H1(Σ), com h satisfazendo a

condi¸cão de compatibilidade h(0)|∂Ω= u0|∂Ω e p, q ∈ L∞(Ω), então existe uma única

u : (0, T ) × Ω → R solu¸c˜ao da equa¸c˜ao da onda            utt− ∆u + pu + qut= 0, em (0, T ) × Ω, u(0) = u0, ut(0) = u1, em Ω. u|Σ = h (1.3) satisfazendo u ∈ C([0, T ]; H1_{(Ω)) ∩ C}1_{([0, T ]; L}2_{(Ω)) e} ∂u ∂ν|Σ ∈ L 2_(Σ).

Mais ainda, a aplica¸c˜ao

H1_{(Ω) × L}2_{(Ω) × H}1_{(Σ) −→ C([0, T ]; H}1_{(Ω)) × C([0, T ]; L}2_{(Ω)) × L}2_(Σ)

(u0, u1, h) 7−→ (u, ut,

∂u ∂ν) ´e linear e cont´ınua.

O teorema acima fornece, em particular, condi¸c˜oes para que o problema (1.3) seja bem posto. Entretanto, como veremos adiante, precisaremos de uma maior regularidade da solu¸c˜ao, o que pode ser obtido supondo-se p e q mais regulares, assim como os dados iniciais e de fronteira.

Teorema 1.5 Seja m ∈ N, m ≥ 2. Suponha que p, q ∈ Wm−2,∞_{(Ω) e}

(u0, u1, h) ∈ Hm(Ω) × Hm−1(Ω) × Hm(Σ) com (u0, u1, h) satisfazendo as seguintes

condi¸c˜oes de compatibilidade:

∂_tjh(0)|∂Ω= ∂tju(0)|∂Ω, j = 0, 1, ...m − 1. (1.4)

Ent˜ao a solu¸c˜ao u do problema (1.3) satisfaz            u ∈ m T k=0 Cm−k_{([0, T ); H}k_(Ω)), ∂u ∂ν ∈ H m−1 (Σ).

(15)

Demonstra¸cão. A prova do Teorema 1.5 é análoga à prova do Teorema 1.4; segue de argumentos de indu¸cão. Com o intuito de provar o Teorema 1.4, provemos inicialmente um resultado para o problema não homogêneo com condi¸cões iniciais e de fronteira homogêneas. Lema 1.1 Seja ψ ∈ L1(0, T ; L2(Ω)), p, q ∈ L∞Ω. Então existe uma única ϕ(t, x) solu¸cão de            ϕtt− ∆ϕ + pϕ + qϕt = ψ, em (0, T ) × Ω, ϕ(0) = 0, ϕt(0) = 0, em Ω. ϕ|Σ = 0 (1.5) satisfazendo ϕ ∈ C([0, T ]; H1 0(Ω)) ∩ C1([0, T ]; L2(Ω)), ∂ϕ ∂ν|Σ ∈ L 2_(Σ).

Al´em disso, a aplica¸c˜ao

L1_{(0, T ; L}2_{(Ω)) −→ L}2_(Σ)

ψ 7−→ ∂ϕ ∂ν ´e linear e cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao. Segue da teoria geral de semigrupos que existe uma ´unica ϕ ∈ C([0, T ]; H1

0(Ω)) ∩ C1([0, T ]; L2(Ω)), solu¸c˜ao do problema (1.5).

Al´em disso, segue da desigualdade de Gronwall que a aplica¸c˜ao ψ 7→ (ϕ, ϕt, ∇ϕ)

´e cont´ınua de L1_{(0, T ; L}2_{(Ω)) em [L}∞_{(0, T ; L}2_(Ω))]2+N_{, isto ´}_e,

||(ϕ, ϕt, ∇ϕ)||2[L∞_{(0,T ;L}2_(Ω)))]2+N ≤ C||ψ||2_L1_{(0,T ;L}2_(Ω)). (1.6)

De fato, multiplicando a equa¸c˜ao (1.5) por ϕt =

∂ϕ

∂t e integrando em Ω, obt´em-se que 1 2 ∂ ∂t Z Ω |ϕt|2dx + Z Ω |∇ϕ|2_dx + Z Ω pϕϕtdx + Z Ω qϕ2_tdx = Z Ω ψϕtdx.

(16)

Assim, ∂ ∂t Z Ω |ϕt|2dx + Z Ω |∇ϕ|2_dx ≤ ||p||∞ Z Ω |ϕ|2_{dx +} Z Ω |ψ|2_dx + (||p||∞+ 2||q||∞+ 1) Z Ω |ϕt|2dx.

Integrando de 0 a t, e, usando a desigualdade de Poincar´e Z Ω |ϕ|2_{dx ≤ C} 0 Z Ω |∇ϕ|2_dx, temos que, Z Ω |ϕt(t)|2dx + Z Ω |∇ϕ(t)|2dx ≤ Z T 0 Z Ω |ψ|2dxdt + ||p||∞C0 Z t 0 Z Ω |∇ϕ(t)|2dxdt + (||p||∞+ 2||q||∞+ 1) Z t 0 Z Ω |ϕt(t)|2dxdt. Portanto, Z Ω (|ϕt(t)|2+ |∇ϕ(t)|2)dx ≤ ||ψ||2_L1_{(0,T ;L}2_(Ω)) + C1 Z t 0 Z Ω (|ϕt(t)|2+ |∇ϕ(t)|2) dxdt.

Logo, pela desigualdade de Gronwall, obt´em-se Z Ω (|ϕt(t)|2+ |∇ϕ(t)|2)dx ≤ eC1T||ψ||2L1_{(0,T ;L}2_(Ω)), ou seja, ||ϕt||2_L∞_{(0,T ;L}2_(Ω))+ ||∇ϕ||2_[L∞_{(0,T ;L}2_(Ω))]N ≤ C||ψ||2_L1_{(0,T ;L}2_(Ω)). e obtemos a afirmativa (1.6).

Para concluir o Lema 1.1, falta provar que a aplica¸c˜ao ψ 7−→ ∂ϕ

∂ν ´e cont´ınua. Vamos multiplicar a equa¸c˜ao (1.5) pelo fator (T1 − t)H · ∇ϕ, onde H ∈ C1( ¯Ω, RN)

(17)

Note que, sendo Ω de classe C2_{, existe a fun¸c˜}_{ao H acima com tais propriedades.}

Assim, denotando por Q = (0, T ) × Ω, obt´em-se Z Q (T1− t)[ϕtt− ∆ϕ + pϕ + qϕt]H · ∇ϕ dxdt = Z Q (T1− t)ψ(H · ∇ϕ) dxdt. (1.7)

Estimando primeiro o lado direito de (1.7) e usando (1.6), obt´em-se que Z Q (T1− t)ψ(H · ∇ϕ) dxdt ≤ T1||H||∞||ψ||L1_{(0,T ;L}2_(Ω))||∇ϕ||_L∞_{(0,T ;L}2_(Ω)) ≤ C1(δ)||ψ||2_L1_{(0,T ;L}2_(Ω)).

Vamos agora analisar separadamente cada termo do lado esquerdo de (1.7). Integrando por partes no tempo, obt´em-se

I1 = Z Q (T1− t)ϕtt(H · ∇ϕ) dxdt = Z Ω [(T1− t)ϕt(H · ∇ϕ)]T0dx − Z Q ϕt[(T1− t)H · ∇ϕ]tdxdt = Z Q ϕt(H · ∇ϕ) dxdt − Z Q (T1− t)ϕt(H · ∇ϕt) dxdt + δ Z Ω ϕt(T )H · ∇ϕ(T )dx. Mas, − Z Q (T1 − t)ϕt(H · ∇ϕt) dxdt = − Z Q (T1− t 2 )H · ∇(ϕ 2 t) dxdt = Z Σ (T1− t 2 )|ϕt| 2_{H · νdσdt −} Z Q (T1− t 2 )|ϕt| 2_{div H dxdt.} Sendo H · ν = |ν|2 _{= 1 sobre ∂Ω e ϕ} t= 0 sobre Σ, obtemos I1 = Z Q ϕt(H · ∇ϕ) dxdt − Z Q (T1− t 2 )|ϕt| 2 div H dxdt + δ Z Ω ϕt(T )H · ∇ϕ(T )dx. (1.8) Tem-se ainda que

Z Ω ϕt(T )H · ∇ϕ(T )dx ≤ C||ϕt||L∞_{(0,T ;L}2_(Ω)||∇ϕ||_[L∞_{(0,T ;L}2_(Ω)]N.

(18)

Portanto, segue de (1.8) e da estimativa (1.6) que

|I1| ≤ C2(δ)||ψ||2L1_{(0,T ;L}2_(Ω)). (1.9)

Estimando outro termo do lado esquerdo de (1.7), obt´em-se que I2 = − Z Q (T1− t)∆ϕ(H · ∇ϕ) dxdt = Z Q (T1− t)∇ϕ∇(H · ∇ϕ) dxdt − Z Σ (T1− t) ∂ϕ ∂ν(H · ∇ϕ)dσdt. Como H = ν sobre ∂Ω, H · ∇ϕ = ν · ∇ϕ = ∂ϕ ∂ν. Al´em disso, Z Q (T1−t)∇ϕ·∇(H·∇ϕ) dxdt = Z Q (T1−t)|∇ϕ|2div H dxdt+ Z Q (T1−t)(H·∇ϕ)∆ϕ dxdt. Logo, I2 = Z Q (T1 − t 2 )|∇ϕ| 2 div H dxdt − Z Σ (T1− t 2 )| ∂ϕ ∂ν| 2 dσdt. Assim, I2 ≤ Z Q (T1− t 2 )|∇ϕ| 2_{div H dxdt} − Z Σ (T1− t 2 )| ∂ϕ ∂ν| 2_dσdt.

Portanto, usando novamente (1.6), obt´em-se que, I2 ≤ − Z Σ (T1− t 2 )| ∂ϕ ∂ν| 2_{dσdt + C} 3||ψ||2L1_{(0,T ;L}2_(Ω)). (1.10)

Segue ainda de (1.6) que Z Q (T1− t)[pϕ + qϕt](H · ∇ϕ) dxdt ≤ C4(||p||∞, ||q||∞), δ)||ψ||2_L1_{(0,T ;L}2_(Ω)). (1.11) Portanto, de (1.9), (1.10) e (1.11), obt´em-se que,

Z Q (T1− t)ψ(H · ∇ϕ) dxdt = Z Q (T1− t)[ϕtt− ∆ϕ + pϕ + qϕt](H · ∇ϕ) dxdt ≤ |I1| + I2+ Z Q (T1− t)[pϕ + qϕt](H · ∇ϕ) dxdt ≤ hC2(δ) + C3(δ) + C4(||p||∞, ||q||∞, δ) i ||ψ||2 L1_{(0,T ;L}2_(Ω)) − Z Σ T₁− t 2 |∂ϕ ∂ν| 2_dσdt.

(19)

Assim, Z Σ T1− t 2 |∂ϕ ∂ν| 2_{dσdt ≤}h_C 2(δ) + C3(δ) + C4(||p||∞, ||q||∞, δ) i ||ψ||2 L1_{(0,T ;L}2_(Ω)) + − Z Q (T1− t)ψ(H · ∇ϕ) dxdt . Portanto, Z Σ (T1− t 2 )| ∂ϕ ∂ν| 2_{dσdt ≤ C(δ)||ψ||}2 L1_{(0,T ;L}2_(Ω)), (1.12) onde C(δ) = [C1(δ) + C2(δ) + C3(δ) + C4(||p||∞, ||q||∞, δ)].

Ora, como 0 < t < T ≤ T1 = T + δ, segue que (T1− t) ≥ T1 − T = δ, e portanto,

obtemos a desigualdade Z Σ |∂ϕ ∂ν| 2_{dσdt ≤ C||ψ||}2 L1_{(0,T ;L}2_(Ω))

e a prova do Lema 1.1 está conclu´ıda. Observa¸cão 1 Os cálculos efetuados para demonstrar o Lema 1.1 se justificam para ψ regular, o que implica em ϕ solu¸cão regular de (1.5). O caso geral segue por argumentos de densidade.

De modo an´alogo podemos considerar o problema reverso, isto ´e, com dados finais nulos ϕ(T ) = ϕt(T ) = 0. Mais precisamente,

Corol´ario 1.1 Seja ψ ∈ L1_{(0, T ; L}2_{(Ω)) e ϕ a solu¸}_c˜_{ao de}

           ϕtt− ∆ϕ + pϕ − qϕt = ψ, em (0, T ) × Ω, ϕ(T ) = 0, ϕt(T ) = 0, em Ω. ϕ|Σ = 0. (1.13) Ent˜ao valem as mesmas conclus˜oes do Lema 1.1.

(20)

Estamos agora em condi¸c˜oes de provar o Teorema 1.4. A prova ser´a dividida em 2 etapas.

1a Etapa: Vamos multiplicar a equa¸cão (1.3) por ϕ solu¸cão da equa¸cão (1.13). As-sim, usando integra¸cão por partes no tempo e o teorema de Gauss, obtém-se

0 = Z Q [utt− ∆u + pu + qut]ϕ dxdt = Z Q [ϕtt− ∆ϕ + pϕ + qϕt]u dxdt + Z Ω [u0ϕt(0) − u1ϕ(0) − qu0ϕ(0)]dx + Z Σ h∂ϕ ∂νdσdt. Logo, como ϕ ´e solu¸c˜ao de (1.13), segue que

− Z Q uψ dxdt = Z Ω [u0ϕt(0) − u1ϕ(0) − qu0ϕ(0)] dx + Z Σ h∂ϕ ∂νdσdt. Portanto, usando a continuidade da solu¸c˜ao ϕ, obt´em-se

Z Q uψ dxdt ≤ ||u0||2||ϕt(0)||2+ ||u1||2||ϕ(0)||2 + ||q||∞||u0||2||ϕ(0)||2+ Z Σ |h∂ϕ ∂ν|dσdt ≤ C0||ψ||L1_{(0,T ;L}2_(Ω)). (1.14) Além disso, se v = ut na equa¸cão (1.3), então v satisfaz o problema

                   vtt− ∆v + pv + qvt = 0, em (0, T ) × Ω, v(0) = u1 =: v0 ∈ L2(Ω) vt(0) = ∆u0− pu0− qu1 =: v1 ∈ H−1(Ω), v|Σ = h0 ∈ L2(0, T ; L2(∂Ω)).

Logo, de modo an´alogo como em (1.14), obtemos − Z Q vtψ dxdt = Z Ω [v0ϕt(0) − v1ϕ(0) − qv0ϕ(0)] dx + Z Σ h0∂ϕ ∂νdσdt,

(21)

ou seja, Z Q vtψ dxdt ≤ ||v0||2||ϕt(0)||2+ ||v1||H−1||ϕ(0)||_H1 0 + ||q||∞||v0||2||ϕ(0)||2+ Z Σ |h0∂ϕ ∂ν|dσdt ≤ C1||ψ||L1_{(0,T ;L}2_(Ω)). (1.15) Portanto, segue de (1.14) e (1.15) que

u, ut ∈ (L1(0, T ; L2(Ω)))0 = L∞(0, T ; L2(Ω))

Em particular, u ∈ C([0, T ]; L2(Ω)).

Por outro lado, como h ∈ H1_{(Σ), ent˜}_{ao h ∈ L}2_{(Σ) e h}0 _{∈ L}2_(Σ). _{Logo h ∈}

L2_{(0, T ; H}1_{(∂Ω)) e h}0 _{∈ L}2_{(0, T ; L}2_(∂Ω)).

Usando resultados de interpola¸c˜ao, segue que h ∈ L∞(0, T ; H1/2_(∂Ω)).

Logo, como

(

−∆u = −utt− pu − qut∈ L∞(0, T ; H−1(Ω))

u|∂Ω= h ∈ L∞(0, T ; H1/2(∂Ω)).

ent˜ao segue que u ∈ L∞(0, T ; H1_(Ω)).

Portanto u ∈ C([0, T ]; H1_(Ω)).

2a Etapa: Provemos que ∂u

∂ν|Σ ∈ L

2

(Σ).

Suponha que os dados no problema (1.3) sejam suficientementes regulares (o caso geral segue estendendo por densidade).

De maneira an´aloga ao Lema 1.1, vamos multiplicar a equa¸c˜ao (1.3) pelo fator (T1− t)H · ∇u, onde H ∈ C1( ¯Ω, RN) satisfaz H = ν sobre ∂Ω e T1 = T + δ para

algum δ > 0.

(22)

obt´em-se que 0 = Z Q [utt− ∆u + pu + qut](T1− t)H · ∇u dxdt = Z Q ut(H · ∇u) dxdt − Z Q T1− t 2 |ut|2div H dxdt + δ Z Ω ut(T )H · ∇u(T )dx + Z Σ T1− t 2 |ut|2H · νdσdt + Z Q T1− t 2 |∇u|2div H dxdt − T1 Z Ω u1H · ∇u0dx + Z Q (pu + qut)(T1− t)H · ∇u dxdt − Z Σ (T1 − t 2 )| ∂u ∂ν| 2_dσdt. (1.16)

Por outro lado, com a regularidade de u obtida na etapa 1 e aux´ılio da desigualdade de Gronwal, pode-se obter uma estimativa para a solu¸c˜ao u como abaixo

||ut||2_L∞_{(0,T ;L}2_(Ω))+ ||∇u||2_L∞_{(0,T ;L}2_(Ω)) ≤ C

||u0||H1_(Ω)+ ||u₁||_L2_(Ω)+ ||h||_H1_(Γ)

. Usando a estimativa anterior, o fato que ut|Σ = ht|Σe as hip´oteses do teorema, segue

de (1.16) que Z Σ T1− t 2 |∂u ∂ν| 2 dσdt ≤ C(||u0||H1_(Ω)+ ||u₁||_L2_(Ω)+ ||h||_H1_(Γ). (1.17)

Assim, como na conclus˜ao do Lema 1.1, a desigualdade (1.17) implica que Z Σ |∂u ∂ν| 2_{dσdt ≤ C(||u} 0||H1_(Ω)+ ||u₁||_L2_(Ω)+ ||h||_H1_(Γ),

(23)

Cap´ıtulo 2

Desigualdades de Carleman

Neste cap´ıtulo apresentaremos uma desigualdade do tipo Carleman para as equa¸c˜oes (1) e (2).

2.1 Desigualdade de Carleman Global para o

Operador de Ondas com Termo de Dissipa¸

c˜

ao

Seja q ∈ L∞(Ω) e considere o operador de ondas L := ∂2

t − ∆ + q∂t. (2.1)

A estimativa de Carleman para o operador (2.1) é obtida para fun¸cões que pos-suem tra¸co na fronteira e, por isso, é denominada estimativa global. Quando a mesma é feita para fun¸cões regulares de suporte compacto (veja por exemplo [6]), dizemos que a estimativa é local. O método que seguimos é devido a Imanuvilov [10].

Seja Ω um subconjunto aberto limitado de RN e suponha que uma parte da fronteira Γ0 ⊂ ∂Ω seja um aberto de ∂Ω e satisfaz à condi¸cão geométrica (região de

sombra)

(24)

onde ν ´e a normal unit´aria exterior a fronteira ∂Ω.

Um exemplo de um dom´ınio Ω ⊂ R2 com fronteira Γ0 satisfazendo a condi¸c˜ao

(2.2) pode ser ilustrado como na figura abaixo:

Para T > 0 e λ > 0, definimos sobre Q := (−T, T ) × Ω a fun¸c˜ao

φ(t, x) := exp[λψ(t, x)], (2.3) onde ψ(t, x) = |x − x0|2−β(t−t0)2+ γ, t0 ∈ [0, T ], 0 < β < 1 e γ > 0 s˜ao parˆametros

que ser˜ao escolhidos de modo conveniente.

De fato, escolhemos γ > 0 tal que ψ(t, x) ≥ 0, ∀(t, x) ∈ (−T, T ) × Ω. Com estas nota¸c˜oes, enunciamos um teorema similar ao teorema de Carleman.

Teorema 2.1 Sejam q ∈ L∞(Ω) e φ definida por (2.3). Ent˜ao, existem λ0 > 0,

s0 > 0 e C = C(Ω, T, ||q||∞, λ0, s0) > 0 tais que, para todo λ ≥ λ0 e para todo

s ≥ s0, sλ Z Q φe2sφ(|v0|2 + |∇v|2) dxdt + s3λ3 Z Q φ3e2sφ|v|2dxdt + Z Q e2sφ | ˜P1v|2+ | ˜P2v|2 dxdt ≤ C " Z Q e2sφ|Lv|2dxdt + sλ Z T −T Z Γ0 ∂v ∂ν 2 φe2sφ∇ψ · νdσdt # (2.4) para todo v ∈ H₀1(−T, T ; H₀1(Ω)) satisfazendo

Lv ∈ L2_{((−T, T ) × Ω) e} ∂v

∂ν ∈ L

2

(25)

onde Σ = (−T, T ) × ∂Ω e ˜P1, ˜P2 s˜ao operadores diferenciais relacionados com L e

ser˜ao definidos adiante (veja (2.13) ).

Demonstra¸cão. A prova será feita para fun¸cões regulares e a conclusão segue por argumentos de densidade. A idéia consiste em calcular P w := esφ_L(e−sφ_{w), onde}

w = esφ_{v, s > 0, L := ∂}2

t − ∆ + q∂t e obter a desigualdade primeiro com w em lugar

de v e P w em lugar de Lv. Para isso, vamos proceder em trˆes etapas. 1aEtapa: Denotando por w0 = ∂tw, w00 = ∂t2w, obt´em-se que

P w = w00+ s2_(φ0₎2_{w − sφ}00_{w − 2sφ}0_w0_{− s}2_|∇φ|2_w

+s∆φw + 2s∇φ · ∇w − ∆w − sqφ0w + qw0 (2.6) Portanto, usando a defini¸c˜ao de φ em (2.3) e calculando suas derivadas, podemos reescrever (2.6) como

P w = w00− ∆w + s2_λ2_φ2_[|ψ0_|2_{− |∇ψ|}2_{]w − sλ}2_φw[|ψ0_|2_{− |∇ψ|}2_]

−sλ[ψ00_{− ∆ψ]φw − 2sλφψ}0_w0_{+ 2sλφ∇ψ · ∇w + qw}0_{− sλqψ}0_φw

Para simplificar a nota¸c˜ao, vamos introduzir

E(ψ) := |ψ0|2 _{− |∇ψ|}2 _{e α(ψ) := ψ}00_{− ∆ψ = −2β − 2N.}

Vamos decompor P w = P1w + P2w + Rw, onde

       P1w = w00− ∆w + s2λ2φ2E(ψ)w, P2w = (c − 1)sλφα(ψ)w − sλ2φE(ψ)w − 2sλφψ0w0+ 2sλφ(∇ψ · ∇w), Rw = qw0 − csλφα(ψ)w − sλφqψ0_w (2.7) e c ´e uma constante tal que

2β

N + β < c < 2

N + β. (2.8) Integrando sobre Q na igualdade P w = P1w + P2w + Rw e usando a desigualdade

triangular, temos que Z Q |P w|2 ≥ Z Q (|P1w|2+ |P2w|2) dxdt − Z Q |Rw|2dxdt = Z Q (|P1w|2+ |P2w|2) dxdt + 2 Z Q P1wP2w dxdt − Z Q |Rw|2dxdt (2.9)

(26)

Vamos minorar as duas ´ultimas integrais em (2.9). Seja I := Z Q P1wP2w dxdt = X i=1,...,3 j=1,...,4 Iij, (2.10)

onde Iij, denota o produto dois a dois dos termos de P1w e P2w, respectivamente,

isto ´e, I11= (c − 1)sλα(ψ) Z Q w00wφ dxdt, I12 = −sλ2 Z Q w00wφ(E(ψ)) dxdt, ... 2a_{Etapa: Usando integra¸c˜}_{ao por partes no tempo e o Teorema de Gauss}

(Teore-ma 1.1), vamos reescrever todas as integrais de Iij de uma forma apropriada.

Note que, sendo v ∈ H1

0(−T, T ; H01(Ω)), ent˜ao segue que v ∈ C([−T, T ]; H01(Ω)).

Como v0 ∈ L2_{(−T, T ; H}1

0(Ω)) e Lv = v00− ∆v + qv0 ∈ L2((−T, T ) × Ω), segue que

v00 ∈ L2_{(−T, T ; H}−1_{(Ω)) e portanto, v}0 _{∈ C([−T, T ]; H}−1_{(Ω)). Logo faz sentido}

calcular v(t, .), v0(t, .) para todo t ∈ [−T, T ] e o mesmo ser´a v´alido para w = esφ_v.

Note ainda que φ0 = λφψ0, φ00= λ2_φ(ψ0₎2_{+ λφψ}00_{. Assim,}

I11 = (c − 1)sλα(ψ) Z Q w00wφ dxdt = −(c − 1)sλα(ψ) Z Q |w0|2φ dxdt − (c − 1)sλα(ψ) Z Q 1 2 ∂ dt|w| 2 φ0dxdt = −(c − 1)sλα(ψ) Z Q |w0|2φ dxdt + (c − 1) 2 sλ 3 α(ψ) Z Q |w|2φ|ψ0|2dxdt + (c−1)₂ sλ2α(ψ) Z Q |w|2φψ00dxdt. I12 = −sλ2 Z Q w00wφE(ψ) dxdt = sλ2 Z Q |w0|2_{φE(ψ) dxdt −}sλ4 2 Z Q |w|2_φ|ψ0_|2_{E(ψ) dxdt} − sλ3 2 Z Q |w|2_φψ00 E(ψ) dxdt − sλ3 Z Q |w|2_φψ0 E(ψ)0dxdt − sλ2 2 Z Q |w|2_φE(ψ)00 dxdt.

(27)

I13 = −2sλ Z Q w00w0φψ0dxdt = sλ2 Z Q |w0|2φ(ψ0)2dxdt + sλ Z Q |w0|2φψ00dxdt.

Observe que, ψ(x, t) = |x − x0|2− β(t − t0)2+ γ, logo (∇ψ)0 = 0 e conseq¨

uente-mente, I14 = 2sλ Z Q w00φ(∇ψ · ∇w) dxdt = −2sλ Z Q w0(λφψ0∇ψ · ∇w + φ(∇ψ)0· ∇w + φ∇ψ · ∇w0) dxdt = −2sλ2 Z Q φ(ψ0∇ψ).(w0∇w) dxdt − sλ Z Q φ∇ψ · ∇(|w0|2_{) dxdt} = −2sλ2 Z Q φ(ψ0∇ψ).(w0∇w) dxdt + sλ Z Q |w0|2_{φ∆ψ dxdt} + sλ2 Z Q |w0|2_φ|∇ψ|2_dxdt.

Nas pr´oximas integrais I2j, j = 1, ..., 4, vamos usar que w = 0 em Σ = (−T, T ) ×

∂Ω I21 = −(c − 1)sλα(ψ) Z Q ∆wwφ dxdt = (c − 1)sλα(ψ) Z Q |∇w|2_{φ dxdt + (c − 1)sλ}2_α(ψ) Z Q w∇w · ∇ψφ dxdt = (c − 1)sλα(ψ) Z Q |∇w|2_{φ dxdt +} (c − 1) 2 sλ 2_α(ψ) Z Q ∇(|w|2_{) · ∇ψφ dxdt} = (c − 1)sλα(ψ) Z Q |∇w|2φ dxdt − (c − 1) 2 sλ 2 α(ψ) Z Q |w|2∆ψφ dxdt − (c−1)₂ sλ3α(ψ) Z Q |w|2|∇ψ|2φ dxdt.

(28)

I22 = sλ2 Z Q ∆wwφE(ψ) dxdt = −sλ2 Z Q |∇w|2φE(ψ) dxdt −sλ 3 2 Z Q ∇(|w|2) · ∇ψφE(ψ) dxdt − sλ2 2 Z Q ∇(|w|2) · ∇(E(ψ))φ dxdt = −sλ2 Z Q |∇w|2_{φE(ψ) dxdt +} sλ3 2 Z Q |w|2_{φ∆ψE(ψ) dxdt} + sλ₂4 Z Q |w|2_φ|∇ψ|2_{E(ψ) dxdt +} sλ2 2 Z Q |w|2_{φ∆E(ψ dxdt} + sλ3 Z Q |w|2_{φ∇ψ · ∇E(ψ) dxdt.}

Usando que ∇(ψ0) = 0, tem-se que I23 = 2sλ Z Q ∆ww0φψ0dxdt = −2sλ Z Q ∇w · ∇w0φψ0dxdt − 2sλ2 Z Q ∇w · ∇ψw0φψ0dxdt = −sλ Z Q ∂ ∂t|∇w| 2_φψ0 dxdt − 2sλ2 Z Q ∇w · ∇ψw0φψ0dxdt = sλ2 Z Q |∇w|2_φ|ψ0_|2_{dxdt + sλ} Z Q |∇w|2_φψ00 dxdt − 2sλ2 Z Q φ(w0∇w) · (ψ0∇ψ) dxdt.

Na pr´oxima integral, vamos usar que ∇w = ∂w_∂νν sobre Γ×(0, T ) pois w = 0 sobre Γ×(0, T ). Sendo ψ(x, t) = |x−x0|2−β(t−t0)2, tem-se que (D2ψ∇w)·∇w = 2|∇w|2

(29)

I24 = −2sλ Z Q ∆wφ(∇ψ · ∇w) dxdt = 2sλ Z Q φ∇w · ∇(∇ψ · ∇w) dxdt + 2sλ Z Q ∇w · ∇φ(∇ψ · ∇w) dxdt − 2sλ Z T −T Z Γ ∂w ∂νφ(∇ψ · ∇w)dσdt = 2sλ Z Q φ " _N X i=1 ∂w ∂xi ∂ ∂xi ( N X j=1 ∂w ∂xj ∂ψ ∂xj ) # dxdt + 2sλ2 Z Q φ(∇w · ∇ψ)(∇ψ · ∇w) dxdt − 2sλ Z T −T Z Γ ∂w ∂ν 2 φ∇ψ · νdσdt = 2sλ Z Q φ " _N X i,j=1 ∂2ψ ∂xi∂xj ∂w ∂xj ∂w ∂xi + ∂ψ ∂xi ∂w ∂xi ∂2w ∂xj∂xi # dxdt + 2sλ2 Z Q φ|∇w · ∇ψ|2dxdt − 2sλ Z T −T Z Γ ∂w ∂ν 2 φ∇ψ · νdσdt = 2sλ Z Q φ(D2ψ∇w) · ∇w dxdt + sλ Z Q φ∇ψ · ∇(|∇w|2) dxdt + 2sλ2 Z Q φ|∇w · ∇ψ|2dxdt − 2sλ Z T −T Z Γ ∂w ∂ν 2 φ∇ψ · νdσdt = 4sλ Z Q φ|∇w|2dxdt − sλ Z Q |∇w|2_{div (φ∇ψ) dxdt} + 2sλ2 Z Q φ|∇w · ∇ψ|2dxdt − 2sλ Z T −T Z Γ ∂w ∂ν 2 φ∇ψ · νdσdt = (4 − 2N )sλ Z Q φ|∇w|2dxdt − sλ2 Z Q φ|∇w|2|∇ψ|2_dxdt + 2sλ2 Z Q φ|∇w · ∇ψ|2dxdt − 2sλ Z T −T Z Γ ∂w ∂ν 2 φ∇ψ · νdσdt. I31 = (c − 1)s3λ3α(ψ) Z Q |w|2φ3E(ψ) dxdt. I32 = −s3λ4 Z Q |w|2_φ3_|E(ψ)|2_dxdt.

(30)

I33 = −2s3λ3 Z Q ww0φ3ψ0E(ψ) dxdt = s3λ3 Z Q |w|2φ3ψ00E(ψ) dxdt + s3λ3 Z Q |w|2φ3ψ0E(ψ)0dxdt + 3s3λ4 Z Q |w|2φ3|ψ0|2E(ψ) dxdt.

Lembrando novamente que ψ(x, t) = |x − x0|2− β(t − t0)2+ γ e E(ψ) = |ψ0|2−

|∇ψ|2_{, ent˜}_{ao ∇E(ψ) · ∇ψ = −∇(|∇ψ|}2_{) · ∇ψ = −4|∇ψ|}2_{. Portanto,}

I34 = 2s3λ3 Z Q wφ3∇ψ · ∇wE(ψ) dxdt = s3λ3 Z Q ∇ψ · ∇(|w|2_)φ3_{E(ψ) dxdt} = −s3λ3 Z Q |w|2∆ψφ3E(ψ) dxdt − 3s3λ4 Z Q |w|2φ3|∇ψ|2E(ψ) dxdt − s3_λ3 Z Q |w|2φ3∇E(ψ) · ∇ψ dxdt = −s3λ3 Z Q |w|2∆ψφ3E(ψ) dxdt − 3s3λ4 Z Q |w|2φ3|∇ψ|2E(ψ) dxdt + 4s3_λ3 Z Q |w|2_φ3_|∇ψ|2_dxdt.

3a_{Etapa: Vamos agrupar de maneira conveniente as integrais em} _{P I}

ij.

Primeira-mente, denotemos por J1 a soma de todas as integrais contendo |w0|2. Como

α(ψ) = −2β − 2N , obt´em-se que

J1 = 2sλ[(c − 1)(β + N ) − β + N ] Z Q φ|w0|2_dxdt + sλ2 Z Q φE(ψ)|w0|2_{dxdt + sλ}2 Z Q φ|ψ0|2_|w0_|2_dxdt + sλ2 Z Q φ|∇ψ|2|w0|2_dxdt = 2sλ[(c − 1)(β + N ) − β + N ] Z Q φ|w0|2_dxdt + 2sλ2 Z Q φ|ψ0|2_|w0_|2_dxdt.

Denotemos por J2 a soma das integrais contendo |∇w|2. Assim, como E(ψ) =

(31)

J2 = 2sλ[−(c − 1)(β + N ) − β − N + 2] Z Q φ|∇w|2dxdt − sλ2 Z Q φE(ψ)|∇w|2dxdt + sλ2 Z Q φ|∇w|2|ψ0|2dxdt − sλ2 Z Q φ|∇w|2|∇ψ|2dxdt = 2sλ[−(c − 1)(β + N ) − β − N + 2] Z Q φ|∇w|2dxdt.

Podemos escolher uma constante positiva c > 0 (que foi suposta arbitr´aria at´e o momento) como definida em (2.8), de modo que

C1 := min {[(c − 1)(β + N ) − β + N ], [−(c − 1)(β + N ) − β − N + 2]} > 0.

Tomando em I14 e I23 as integrais contendo ambos os termos w0 e ∇w e usando

a desigualdade de Young ab ≤ 1₂(a2_{+ b}2_{), obt´}_em-se

J3 = −4sλ2 Z Q φ(w0∇w) · (ψ0∇ψ) dxdt ≥ −2sλ2 Z Q φ|ψ0|2|w0|2dxdt − 2sλ2 Z Q φ|∇ψ · ∇w|2dxdt.

Note que os termos do lado direito de (2.1) podem ser cancelados com termos sim´etricos em J1 e I24, de modo que

J1+ J2+ J3 ≥ 2sλC1 Z Q φ|w0|2dxdt + 2sλC1 Z Q φ|∇w|2dxdt.

Denotando por J4a soma de todas as integrais contendo termos da forma φ3|w|2,

todos presentes em I3j, j = 1, ...4, ent˜ao tem-se que

J4 = −2(c − 1)s3λ3(β + N ) Z Q |w|2_φ3_{E(ψ) dxdt − s}3_λ4 Z Q |w|2_φ3_|E(ψ)|2_dxdt + s3_λ3 Z Q |w|2_φ3_ψ00 E(ψ) dxdt + s3λ3 Z Q |w|2_φ3_ψ0 E(ψ)0dxdt + 3s3_λ4 Z Q |w|2_φ3_|ψ0_|2_{E(ψ) dxdt − s}3_λ3 Z Q |w|2_∆ψφ3_{E(ψ) dxdt} − 3s3_λ4 Z Q |w|2_φ3_|∇ψ|2_{E(ψ) dxdt + 4s}3_λ3 Z Q |w|2_φ3_|∇ψ|2_dxdt.

(32)

J4 = 2s3λ3 −c(β + N ) Z Q |w|2_φ3_{E(ψ) dxdt − 2β} Z Q |w|2_φ3_|ψ0_|2_dxdt + 2 Z Q |w|2_φ3_|∇ψ|2_dxdt + 2s3_λ4 Z Q |w|2_φ3_|E(ψ)|2_dxdt = 2s3λ3[−c(β + N ) − 2β] Z Q |w|2_φ3_{E(ψ) dxdt} + (2 − 2β)s3λ3 Z Q |w|2_φ3_|∇ψ|2_{dxdt + 2s}3_λ4 Z Q |w|2_φ3_|E(ψ)|2_dxdt = 2s3λ3 Z Q |w|2φ3Pλ(ψ) dxdt,

onde Pλ(ψ) = λ|E(ψ)|2− [c(β + N ) + 2β]E(ψ) + 2(1 − β)|∇ψ|2.

Uma vez que x0 6∈ ¯Ω, existe C0 > 0 tal que |∇ψ|2 ≥ C0 sobre Ω, e como β < 1

por hip´otese, temos que 2(1 − β)|∇ψ|2 _{≥ 2(1 − β)C}

0 > 0. Assim, tomando λ1 > 0

suficientemente grande, tem-se que o m´ınimo do polinˆomio Pλ(ψ) ´e estritamente

positivo para todo (t, x) ∈ (−T, T ) × Ω, pois o polinˆomio P ´e da forma P (X) = λX2+ [c(β + N ) + 2β]X + 2(1 − β)C0,

com X = −Eψ = |∇ψ|2− |ψ0|2 e 2(1 − β)C0 > 0.

Logo, minX∈R P (X) ≥ C2 > 0 ∀λ ≥ λ1 e, conseq¨uentemente,

J4 ≥ C22s3λ3

Z

Q

|w|2_φ3_dxdt, _{∀λ ≥ λ}

1. (2.11)

Se denotarmos agora por J5 todas as integrais restantes contendo termos tamb´em

da forma φ|w|2_{, segue de (2.1) e (2.11), que}

Z Q P1wP2w dxdt ≥ 2sλC1 Z Q φ(|w0|2_{+ |∇w|}2_{) dxdt + C} 22s3λ3 Z Q φ3|w|2_dxdt − sλ Z T −T Z Γ ∂w ∂ν 2 φ∇ψ · νdσdt + J5.

Notemos que J5´e a soma de integrais contendo termos da forma sλmφ|w|2, onde

m ≤ 4. Portanto, como ψ ≥ 0, segue que φ ≥ 1, logo existe uma constante C3 > 0

tal que, para λ1 > 0 e s1 > 0 suficientemente grandes,

C32s3λ3 Z Q φ3|w|2dxdt ≤ C22s3λ3 Z Q φ3|w|2dxdt + J5,

(33)

quaisquer que sejam s ≥ s1 e λ ≥ λ1. Assim, Z Q P1wP2w dxdt ≥ 2sλC1 Z Q φ(|w0|2_{+ |∇w|}2_{) dxdt + C} 32s3λ3 Z Q φ3|w|2_dxdt − sλ Z T −T Z Γ ∂w ∂ν 2 φ∇ψ · νdσdt. Voltando finalmente a desigualdade (2.9), obt´em-se, Z Q |P w|2 _{≥ 4C} 1sλ Z Q φ(|w0|2_{+ |∇w|}2_{) dxdt + 4C} 3s3λ3 Z Q φ3|w|2_dxdt + Z Q (|P1w|2+ |P2w|2) dxdt − Z Q |Rw|2_{dxdt − 2sλ} Z T −T Z Γ ∂w ∂ν 2 φ∇ψ · νdσdt. (2.12) Por outro lado, como Rw = qw0− csλφα(ψ)w − sλφqψ0_{w, ent˜}_ao

Z Q |Rw|2dxdt ≤ 3 Z Q |q|2|w0|2+ s2λ2φ2(|q|2|ψ0|2+ c2α(ψ)2)|w|2 dxdt. Portanto, como φ ≥ 1 e tomando ainda s0 ≥ s1, λ0 ≥ λ1, suficientemente grandes,

de modo que cada termo da integral na desigualdade acima possa ser absorvido pelos termos dominantes do lado direito de (2.12), obt´em-se para todo s ≥ s0 e para todo

λ ≥ λ0 que C4sλ Z Q φ(|w0|2+ |∇w|2) dxdt + C5s3λ3 Z Q φ3|w|2dxdt + Z Q |P1w|2+ |P2w|2 dxdt ≤ Z Q |P w|2_{dxdt + sλ} Z T −T Z Γ ∂w ∂ν 2 φ∇ψ · νdσdt.

Portanto, conclu´ımos a prova, porque w = esφv, P w = esφLv e ∇ψ ·ν < 0 em Γ−Γ0.

De fato, denotando por

˜

(34)

podemos escolher uma constante C = C(Ω, T, ||q||∞, λ0, s0) > 0 , C dependendo de

todas as constantes j´a consideradas tal que sλ Z Q φe2sφ |v0|2_{+ |∇v|}2 _{dxdt + s}3_λ3 Z Q φ3e2sφ|v|2_dxdt + Z Q | ˜P1v|2+ | ˜P2v|2 e2sφdxdt ≤ C " Z Q e2sφ|Lv|2dxdt + sλ Z T −T Z Γ0 ∂v ∂ν 2 φe2sφ∇ψ · νdσdt # para todo s ≥ s0 e para todo λ ≥ λ0, ou seja, a prova de (2.4) est´a conclu´ıda.

2.2 Desigualdade para um Operador mais Geral

Nesta se¸c˜ao vamos estabelecer a desigualdade de Carleman para o operador mais geral

L := ∂2

t − div (g∇) + q∂t,

onde q ∈ L∞(Ω) e g = g(x) é uma fun¸cão real positiva. A prova será feita de maneira análoga ao demonstrado anteriormente e as nota¸cões serão mantidas.

A desigualdade aqui apresentada ´e essencialmente a mesma que obtivemos para o operador de ondas na se¸c˜ao anterior.

Seja Ω um subconjunto aberto limitado de RN _{cuja fronteira ∂Ω ⊃ Γ}

0, Γ0 um

subconjunto aberto de ∂Ω, satisfazendo a condi¸cão geométrica (2.2). Consideremos que g é uma fun¸cão real satisfazendo:

g : Ω → (0, +∞), g ∈ C1_(Ω)

g(x) ≥ a > 0, a constante; ∇g(x) · (x − x0) ≥ 0, ∀x ∈ Ω.

(2.14) De fato, vamos considerar g(x) = |x − x0|2 que satisfaz todas as condi¸c˜oes (2.14)

(35)

Para T > 0 e λ > 0, definimos sobre Q := (−T, T ) × Ω a fun¸c˜ao peso como em (2.3) por

φ(t, x) := exp[λψ(t, x)], (2.15) onde aqui ψ(t, x) = |x − x0|2 − βt2+ γ e 0 < β < a.

Teorema 2.2 Seja q ∈ L∞(Ω), φ definida por (2.15) e suponha que g satisfaz (2.14). Ent˜ao, existem λ0 > 0, s0 > 0 e C = C(Ω, T, ||q||∞, a, λ0, s0) > 0 tais que,

para todo λ ≥ λ0 e para todo s ≥ s0,

sλ Z Q φe2sφ|v0|2dxdt + sλ Z Q φe2sφ|∇v|2dxdt + s3_λ3 Z Q φ3e2sφ|v|2_{dxdt +} Z Q e2sφ| ˜P1v|2+ | ˜P2v|2 dxdt ≤ C " Z Q e2sφ|Lv|2_{dxdt + sλ} Z T −T Z Γ0 ∂v ∂ν 2 φe2sφ∇ψ · νdσdt # (2.16) para todo v ∈ H1 0(−T, T ; H01(Ω)) satisfazendo Lv = ∂2 tv − div (g∇v) + q∂tv ∈ L2((−T, T ) × Ω) e ∂v ∂ν ∈ L 2_(Σ), _(2.17)

onde Σ = (−T, T ) × ∂Ω e ˜P1, ˜P2 s˜ao operadores diferenciais relacionados com L e

s˜ao definidos a posteriori (veja (2.26) ).

Demonstra¸c˜ao. Dado s > 0, definimos w = esφv e P w = esφLv = esφ_L(e−sφ_w).

Como Lv = ∂_t2v − div (g∇v) + q∂tv, segue que

P w = w00− div (g∇w) + s2_λ2_φ2_[|ψ0_|2_{− g|∇ψ|}2_{]w − sλ}2_φw[|ψ0_|2_{− g|∇ψ|}2_]

−sλ[ψ00_{− div (g∇ψ)]φw − 2sλφψ}0_w0 _{+ 2sλgφ∇ψ · ∇w + qw}0_{− sλqψ}0_φw

onde estamos denotando por w0 = ∂tw e w00= ∂t2w.

Para simplificar a nota¸c˜ao, introduzimos

(36)

Vamos decompor P w = P1w + P2w + Rw, onde        P1w = w00− div (g∇w) + s2λ2φ2Eg(ψ)w, P2w = (c − 1)sλφαg(ψ)w − sλ2φEg(ψ)w − 2sλφψ0w0 + 2sλgφ(∇ψ · ∇w), Rw = qw0− csλφαg(ψ)w − sλφqψ0w (2.18) onde c ´e uma constante tal que c < 1 e

2β

N a + β < c < 2a

N a + β. (2.19) Integrando sobre Q, temos

Z Q |P w|2 _≥ Z Q (|P1w + P2w|2) dxdt − Z Q |Rw|2_dxdt = Z Q (|P1w|2+ |P2w|2) dxdt + 2 Z Q P1wP2w dxdt − Z Q |Rw|2_dxdt. (2.20) Vamos minorar as duas ´ultimas integrais em (2.20). Seja

I := Z Q P1wP2w dxdt = X i=1...3 j=1...4 Iij,

onde Iij, denota o produto de dois a dois dos termos de P1w e P2w.

Portanto, usando o teorema de Gauss, obtemos I11 = (c − 1)sλ Z Q αg(ψ)w00wφ dxdt = −(c − 1)sλ Z Q αg(ψ)|w0|2φ dxdt + (c − 1) 2 sλ 3 Z Q αg(ψ)|w|2φ|ψ0|2dxdt + (c−1)₂ sλ2 Z Q αg(ψ)|w|2φψ00dxdt. I12 = −sλ2 Z Q w00wφEg(ψ) dxdt = sλ2 Z Q |w0|2φEg(ψ) dxdt − sλ4 2 Z Q |w|2φ|ψ0|2Eg(ψ) dxdt − sλ3 2 Z Q |w|2φψ00Eg(ψ) dxdt − sλ3 Z Q |w|2φψ0Eg(ψ)0dxdt − sλ2 2 Z Q |w|2φEg(ψ)00dxdt.

(37)

I13 = sλ2 Z Q |w0|2_φ|ψ0_|2_{dxdt + sλ} Z Q |w0|2_φψ00 dxdt.

Note que ψ(x, t) = |x − x0|2 − βt2, logo (∇ψ)0 = 0, de modo que

I14 = 2sλ Z Q w00gφ(∇ψ · ∇w) dxdt = −2sλ2 Z Q gφ(ψ0∇ψ) · (w0∇w) dxdt + sλ Z Q |w0|2_{φ div (g∇ψ) dxdt} + sλ2 Z Q |w0|2_gφ|∇ψ|2_dxdt.

Nas pr´oximas integrais I2j, j = 1...4, vamos usar que w = 0 em Σ = (−T, T ) ×

∂Ω. I21 = −(c − 1)sλ Z Q div (g∇w)wαg(ψ)φ dxdt = (c − 1)sλ Z Q |∇w|2_α g(ψ)gφ dxdt − (c − 1) 2 sλ Z Q |w|2_{div (gφ∇(α} g(ψ))) dxdt − (c−1)₂ sλ Z Q |w|2div (αg(ψ)g∇(φ)) dxdt. I22 = sλ2 Z Q φwEg(ψ) div (g∇w) dxdt = −sλ2 Z Q |∇w|2gφEg(ψ) dxdt + sλ3 2 Z Q |w|2div (gφEg(ψ)∇ψ) dxdt + sλ2 2 Z Q |w|2_{div (gφ∇(E} g(ψ))) dxdt. I23 = 2sλ Z Q div (g∇w)w0φψ0dxdt = sλ2 Z Q |∇w|2_gφ|ψ0_|2_{dxdt + sλ} Z Q |∇w|2_gφψ00 dxdt − 2sλ2 Z Q gφ(w0∇w) · (ψ0∇ψ) dxdt.

Na pr´oxima integral, usaremos que ∇w = ∂w_∂νν sobre Γ × (0, T ), pois w = 0 sobre Γ × (0, T ).

(38)

I24 = −2sλ Z Q div (g∇w)gφ(∇ψ · ∇w) dxdt = 2sλ Z Q ∇[gφ(∇ψ · ∇w)]g∇w dxdt − 2sλ Z T −T Z Γ [gφ(∇ψ · ∇w)]g∇w · νdσdt = 4sλ Z Q φg2|∇w|2_{dxdt − sλ} Z Q |∇w|2_{div (φg}2_{∇ψ) dxdt} + 2sλ2 Z Q φg2|∇w · ∇ψ|2_{dxdt + 2sλ} Z Q gφ(∇g · ∇ψ)|∇w|2dxdt − 2sλ Z T −T Z Γ ∂w ∂ν 2 φg2∇ψ · νdσdt. I31 = (c − 1)s3λ3 Z Q αg(ψ)|w|2φ3Eg(ψ) dxdt. I32 = −s3λ4 Z Q |w|2_φ3_|E g(ψ)|2dxdt. I33 = s3λ3 Z Q |w|2_φ3_ψ00 Eg(ψ) dxdt + s3λ3 Z Q |w|2_φ3_ψ0 (Eg(ψ))0dxdt + 3s3_λ4 Z Q |w|2_φ3_|ψ0_|2_E g(ψ) dxdt. I34 = −s3λ3 Z Q |w|2_∆ψgφ3_E g(ψ) dxdt − 3s3λ4 Z Q |w|2_gφ3_|∇ψ|2_E g(ψ) dxdt − s3_λ3 Z Q |w|2_gφ3_∇(E g(ψ)) · ∇ψ dxdt − s3λ3 Z Q |w|2_φ3_{∇g · ∇ψE} g(ψ) dxdt.

Denotemos por J1 a soma de todas as integrais contendo |w0|2. Como αg(ψ) =

ψ00− div (g∇ψ) = −2β − 2N g − ∇g · ∇ψ, obt´em-se que J1 = −(c − 1)sλ Z Q αg(ψ)φ|w0|2dxdt + 2sλ2 Z Q φ|ψ0|2|w0|2dxdt + sλ Z Q φ|w0|2(ψ00+ g∆ψ + ∇g · ∇ψ) dxdt = csλ Z Q (2β + 2N g + ∇g · ∇ψ)φ|w0|2_dxdt + 2sλ2 Z Q φ|ψ0|2_|w0_|2_{dxdt − 4βsλ} Z Q φ|w0|2_dxdt.

(39)

J1 ≥ c(2β + 2N a)sλ Z Q φ|w0|2_dxdt + 2sλ2 Z Q φ|ψ0|2|w0|2dxdt − 4βsλ Z Q φ|w0|2dxdt ≥ C1sλ Z Q φ|w0|2dxdt + 2sλ2 Z Q φ|ψ0|2|w0|2dxdt, onde C1 ´e tal que c(2β + 2N a) − 4β > 0, isto ´e, c > _{N a+β}2β .

Denotando por J2 a soma das integrais contendo |∇w|2, tem-se que

J2 = (c − 1)sλ Z Q gφαg(ψ)|∇w|2dxdt − sλ2 Z Q gφEg(ψ)|∇w|2dxdt + sλ2 Z Q gφ|∇w|2|φ0|2_{dxdt + sλ} Z Q gφ|∇w|2(ψ00+ 4g + 2∇g.∇ψ)dxdt − sλ Z Q |∇w|2_{div (φg}2_∇ψ)dxdt Como div(φg2∇ψ) = λφg2_|∇ψ|2_{+ 2gφ∇g · ∇ψ + φg}2_{∆ψ , E} g(ψ) = |ψ0|2− g|∇ψ|2 e

αg(ψ) = ψ00− div (g∇ψ) = −2β − 2N g − ∇g · ∇ψ, obt´em-se que

J2 = (c − 1)sλ Z Q gφαg(ψ)|∇w|2dxdt + sλ Z Q gφ|∇w|2(ψ00+ 4g − g∆ψ) dxdt = sλ Z Q c −2β g − 2N g2φ|∇w|2dxdt + 4sλ Z Q g2φ|∇w|2dxdt + (1 − c)sλ Z Q gφ∇g · ∇ψ|∇w|2dxdt.

Portanto, segue novamente de (2.14) e como c < 1, que J2 ≥ [c(−2β_a − 2N ) + 4]sλ Z Q g2φ|∇w|2dxdt ≥ C2sλ Z Q g2φ|∇w|2dxdt, (2.21) onde C2 ´e tal que −c(2β_a + 2N ) + 4 > 0, isto ´e, c < _{N a+β}2a .

Seja J3 a integral contendo ambos os termos w0 e ∇w, contida em I14 e I23, isto

´e, J3 = −4sλ2 Z Q gφ(w0∇w) · (ψ0∇ψ) dxdt ≥ −2sλ2 Z Q φ|ψ0|2|w0|2dxdt − 2sλ2 Z Q g2φ|∇ψ · ∇w|2dxdt. (2.22)

(40)

Como os termos do lado direito de (2.22) podem ser cancelados com termos sim´etricos em J1 e I24. Portanto, J1+ J2+ J3 ≥ C1sλ Z Q φ|w0|2_{dxdt + C} 2sλ Z Q g2φ|∇w|2dxdt. (2.23) Denonando por J4 a soma de todas as integrais contendo termos da forma φ3|w|2,

todos presentes em I3j, j = 1, ...4, ent˜ao tem-se que

J4 = (c − 1)s3λ3 Z Q αg(ψ)|w|2φ3Eg(ψ) dxdt − s3λ4 Z Q |w|2_φ3_|E g(ψ)|2dxdt + s3_λ3 Z Q |w|2_φ3_ψ00 Eg(ψ) dxdt + s3λ3 Z Q |w|2_φ3_ψ0 Eg(ψ)0dxdt + 3s3_λ4 Z Q |w|2_φ3_|ψ0_|2_E g(ψ) dxdt − s3λ3 Z Q |w|2_g∆ψφ3_E g(ψ) dxdt − 3s3_λ4 Z Q |w|2_φ3_|∇ψ|2_E g(ψ) dxdt − s3λ3 Z Q |w|2_φ3_g∇(E g(ψ)) · ∇ψ dxdt − s3_λ3 Z Q |w|2_φ3_{∇g · ∇ψ dxdt.}

Como Eg(ψ) = |ψ0|2− g|∇ψ|2, segue que Eg(ψ)0 = 2ψ0.ψ00 e ∇(Eg(ψ)) · ∇ψ =

−∇g · ∇ψ|ψ|2 _{− 4g|∇ψ|}2_{, de modo que} J4 = (c − 1)s3λ3 Z Q αg(ψ)|w|2φ3Eg(ψ) dxdt + 2s3λ4 Z Q |w|2_φ3_|E g(ψ)|2dxdt + 2s3λ3 Z Q |w|2_φ3_|ψ0_|2_ψ00 dxdt + s3λ3 Z Q |w|2_φ3_(ψ00_{− g∆ψ − ∇g∇.ψ)E} g(ψ) dxdt + s3λ3 Z Q |w|2gφ3∇g · ∇ψ|∇ψ|2dxdt + 4s3λ3 Z Q |w|2φ3g2|∇ψ|2dxdt. Somando e subtraindo o termo 2s3_λ3

Z

Q

|w|2_φ3_ψ00

g|∇ψ|2dxdt e usando as defi-ni¸c˜oes de αg(ψ)e Eg(ψ), obt´em-se que

J4 = −2s3λ3 Z Q [c(β + N g + ∇g · ∇ψ 2 ) + 2β]|w| 2_φ3_E g(ψ) dxdt + 2s3λ4 Z Q |w|2_φ3_|E g(ψ)|2dxdt + s3λ3 Z Q |w|2_φ3_{g∇g · ∇ψ dxdt} + s3λ3 Z Q |w|2_φ3_{(4g − 4β)g|∇ψ|}2_dxdt. Tomando δ =√2λEg(ψ) e θ = [c(β+N g+∇g·∇ψ₂ )+2β] √ 2λ , segue que −2δθ ≥ −δ 2_{− θ}2 _e, conseq¨uentemente,

(41)

−2s3_λ3 Z Q [c(β + N g + ∇g · ∇ψ 2 ) + 2β]|w| 2_φ3_E (ψ) dxdt ≥ −2s3_λ4 Z Q |w|2_φ3_|E g(ψ)|2dxdt − s3λ2 2 Z Q |w|2_φ3_{[c(β + N g +} ∇g · ∇ψ 2 ) + 2β] 2_dxdt. Portanto J4 ≥ s3λ3(4a − 4β) Z Q |w|2φ3g|∇ψ|2dxdt − s3_λ2 2 Z Q |w|2φ3[c(β + N g + ∇g · ∇ψ 2 ) + 2β] 2 dxdt. Como x0 6∈ ¯Ω, existe C0 > 0 tal que |∇ψ|2 ≥ C0 sobre Ω e assim

J4 ≥ s3λ3(4a − 4β)C0 Z Q |w|2_φ3_{g dxdt} − s3_λ2 2 Z Q |w|2φ3[c(β + N g + ∇g · ∇ψ 2 ) + 2β] 2 dxdt. (2.24) Denotando agora por J5 as integrais restantes contendo termos da forma φ|w|2,

onde cada termo est´a multiplicado por sλm_{, com m ≤ 4, segue de (2.23) e (2.24),}

que Z Q P1wP2w dxdt ≥ sλC1 Z Q φ|w0|2_{dxdt + sλC} 2 Z Q φg2|∇w|2_dxdt + (4a − 4β)C0s3λ3 Z Q φ3g|w|2dxdt − s3_λ2 2 Z Q |w|2_φ3_{[c(β + N g +} ∇g · ∇ψ 2 ) + 2β] 2_dxdt − 2sλ Z T −T Z Γ ∂w ∂ν 2 φ∇ψ · νdσdt + J5.

Como β < a e g ≥ a, segue de (2.20) e da ´ultima desigualdade, que Z Q |P w|2 _{≥ C} 3sλ Z Q φ|w0|2_{dxdt + C} 3sλ Z Q φ|∇w|2dxdt + C4s3λ3 Z Q φ3|w|2_{dxdt +} Z Q (|P1w|2+ |P2w|2) dxdt −s3_λ2 2 Z Q |w|2_φ3_{[c(β + N g +} ∇g · ∇ψ 2 ) + 2β] 2_dxdt − Z Q |Rw|2dxdt − sλ Z T −T Z Γ ∂w ∂ν 2 φ∇ψ · νdσdt. (2.25)

(42)

Por outro lado, como Rw = qw0− csλφαg(ψ)w − sλφqψ0w, ent˜ao Z Q |Rw|2dxdt ≤ 3 Z Q |q|2|w0|2+ s2λ2φ2(|q|2|ψ0|2+ c2αg(ψ)2)|w|2 dxdt.

Logo, para s0 ≥ s1 e λ0 ≥ λ1 suficientemente grandes, cada termo desta ´ultima

in-tegral, assim como o termo em s3_λ2_{, podem ser absorvidos pelos termos dominantes}

do lado direito de (2.25). Portanto, para todo s ≥ s0 e para todo λ ≥ λ0

C3sλ Z Q φ|w0|2dxdt + C3sλ Z Q φ|∇w|2dxdt + C4s3λ3 Z Q φ3|w|2_{dxdt +} Z Q |P1w|2+ |P2w|2 dxdt ≤ Z Q |P w|2_{dxdt + sλ} Z T −T Z Γ ∂w ∂ν 2 φ∇ψ · νdσdt,

de onde se conclui a prova, visto que w = esφv, P w = esφLv e ∇ψ · ν < 0 em Γ − Γ0.

De fato, basta tomar

˜

Pjv = e−sφPjw, j = 1, 2, (2.26)

e escolher uma constante C = C(Ω, T, ||q||∞, a, λ0, s0) > 0, tal que

sλ Z Q φe2sφ |v0|2_{+ |∇v|}2 _dxdt + s3_λ3 Z Q φ3e2sφ|v|2_{dxdt +} Z Q | ˜P1v|2+ | ˜P2v|2 e2sφdxdt C " Z Q e2sφ|Lv|2_{dxdt + sλ} Z T −T Z Γ0 ∂v ∂ν 2 φe2sφ∇ψ · νdσdt # para todo s ≥ s0 e para todo λ ≥ λ0. Portanto, obt´em-se (2.16).

(43)

Cap´ıtulo 3

Determina¸

c˜

ao do coeficiente de

Viscosidade para a Equa¸

c˜

ao da

Onda com Dissipa¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo, provamos o resultado principal desta tese, isto é, a estabilidade do problema inverso para a equa¸cão da onda com dissipa¸cão. Como veremos, a prova é baseada na estimativa de Carleman (2.4) apresentada no Cap´ıtulo 2.

Consideremos            ∂_t2u − ∆u + q∂tu = 0, em (0, T ) × Ω, u(0, x) = ϕ0(x), ∂tu(0, x) = ϕ1(x), x ∈ Ω u(t, σ) = h(t, σ), (t, σ) ∈ (0, T ) × ∂Ω (3.1) onde T > 0, Ω ´_{e um dom´ınio limitado regular de R}N_{, N ≥ 2, e q ∈ L}∞_(Ω).

Vamos apresentar um resultado de estabilidade do coeficiente de viscosidade q(x), onde q é suposto desconhecido, porém, que esteja contido em algum subconjunto limitado de um espa¸co de Banach, e, as fun¸cões ϕ0, ϕ1 e h são dadas. Sendo assim,

(44)

O problema inverso consiste da determina¸cão ou reconstru¸cão do coeficiente de vis-cosidade q(x) na equa¸cão (3.1) através de uma medi¸cão sobre uma parte da fronteira f´ısica ∂Ω e durante um intervalo de tempo suficientemente grande, isto é, medimos

∂u

∂ν(t, σ), (t, σ) ∈ (0, T ) × Γ0,

onde Γ0 ⊂ ∂Ω ´e um subconjunto aberto de ∂Ω, mais precisamente Γ0 ´e definido por

(2.2) e T > ρ := sup{|x − x0|; x ∈ ¯Ω e x0 ∈ RN− ¯Ω fixo}.

Al´em disso, algumas hip´oteses de regularidade nos dados iniciais ϕ0, ϕ1 e no dado

de fronteira h serão assumidos de modo que todas as opera¸cões efetuadas sejam justificadas. No entanto, faremos formalmente com a solu¸cão fraca já que a mesma pode ser aproximada por uma solu¸cão regular usando argumentos de densidade. Portanto, seguindo as mesmas nota¸cões do Cap´ıtulo 2, apresentamos o primeiro resultado principal da tese.

Teorema 3.1 Sejam M > 0 uma constante e m ∈ N tal que m > N2 + 2.

Supon-hamos que:

1) Γ0 satisfaz a condi¸c˜ao geom´etrica dada em (2.2);

2) T > ρ := sup{|x − x0|; x ∈ ¯Ω e x0 ∈ RN− ¯Ω} fixo;

3) qi ∈ Wm−2,∞(Ω), ||qi||L∞_(Ω) ≤ M, i = 1, 2;

4) ϕ0 ∈ Hm(Ω), ϕ1 ∈ Hm−1(Ω) com |ϕ1(x)| ≥ r0 q.s. em Ω, para algum r0 > 0;

5) h ∈ Hm((0, T ) × ∂Ω), com (ϕ0, ϕ1, h) satisfazendo as condi¸c˜oes de

compatibili-dade de ordem (m − 1) dadas por (1.4).

Ent˜ao, existe uma constante positiva C ( que depende de T, ρ, M, m, r0 ) tal que

||q1− q2||L2_(Ω) ≤ C ∂u1 ∂ν − ∂u2 ∂ν H1_{(0,T ;L}2_(Γ 0)) , (3.2) onde ui ´e a solu¸c˜ao de (3.1) com q = qi, i = 1, 2.

(45)

3’) qi ∈ Wm−2,∞(Ω), ||qi||W1,∞_(Ω) ≤ M, i = 1, 2,

ent˜ao existe uma constante positiva ˜C (dependendo dos mesmos parˆametros) tal que ||q1− q2||L∞_(Ω)≤ ˜C ∂u1 ∂ν − ∂u2 ∂ν θ H1_{(0,T ;L}2_(Γ 0)) , (3.3) onde θ = _{N +2}N .

Note que a aplica¸cão q 7→ uqé não linear, o que torna o problema inverso não linear.

A desigualdade (3.2) implica em particular na unicidade do problema inverso, no sentido que se duas medidas feitas na fronteira Γ0 s˜ao iguais, ent˜ao os respectivos

coeficientes de viscosidades s˜ao iguais, ou seja, o coeficiente ´e unicamente determi-nado.

Corol´ario 3.1 Sob as mesmas hip´oteses do Teorema 3.1, tem-se que se ∂u1

∂ν = ∂u2

∂ν em (0, T ) × Γ0 ent˜ao q1 = q2 q.s. em Ω.

Para obter a estimativa de estabilidade do coeficiente q na equa¸c˜ao (3.1), vamos proceder como nos trabalhos de Baudouin [2] e Baudouin & Puel [3], (veja tamb´em Imanuvilov & Yamamoto [12], [11]).

Seja ui a solu¸c˜ao de (3.1) correspondente a q = qi, i = 1, 2. Ent˜ao, para y =

∂t(u1− u2), obtemos            ∂_t2y − ∆y + q1∂ty = (q2− q1)∂t2u2, em (0, T ) × Ω, y(0, x) = 0, ∂ty(0, x) = (q2(x) − q1(x))ϕ1(x), x ∈ Ω y(t, σ) = 0, (t, σ) ∈ (0, T ) × ∂Ω (3.4) Isso nos remete ao estudo do seguinte “problema auxiliar”:

           ∂2 ty − ∆y + q∂ty = f ∂tR, em (0, T ) × Ω, y(0, x) = 0, ∂ty(0, x) = f (x)R(0, x), x ∈ Ω, y(t, σ) = 0, (t, σ) ∈ (0, T ) × ∂Ω, (3.5)

(46)

onde aqui estamos considerando q(x) e R(t, x) conhecidos e f (x) a fun¸cão a ser determinada. Observe que a aplica¸cão f 7→ y correspondente ao problema (3.5) é linear, de modo que o problema acima é um problema inverso linear.

Observe tamb´em que a estimativa ||f ||X(Ω) ≤ C ∂y ∂ν Y (Γ0)

para X(Ω) e Y (Γ0) adequados, implica na estimativa de estabilidade (3.2), logo

obte-mos o resultado de estabilidade primeiro para o problema auxiliar, que denotareobte-mos de “problema inverso linear”.

Problema direto para (3.5): Proposi¸c˜ao 3.1 Suponha que

q ∈ L∞(Ω), f ∈ L2(Ω) e R ∈ H1(0, T ; L∞(Ω). (3.6) Então, o problema (3.5) possui uma única solu¸cão

y ∈ C([0, T ]; H₀1(Ω)) ∩ C1([0, T ]; L2(Ω)), ∂y

∂ν ∈ L

2_{(0, T ; L}2_(∂Ω) (3.7)

Demonstra¸cão. A prova de (3.7) é consequência da prova do Teorema 1.4. O teorema a seguir estabelece o resultado de estabilidade para o problema inverso linear (3.5) e, conseqüentemente, a prova do Teorema 3.1.

Teorema 3.2 Seja M > 0 e r0 > 0 constantes reais. Suponha que as condi¸c˜oes

sobre q, f e R dadas em (3.6) sejam verificadas. Suponha também que 1. Γ0 ⊂ ∂Ω satisfaz a condi¸cão geométrica (2.2);

2. T > ρ := sup{|x − x0|; x ∈ ¯Ω, x0 ∈ RN− ¯Ω}

(47)

4. R ∈ H1_{(0, T, L}∞_{(Ω)) ´}_{e tal que}

|R(0, x)| ≥ r0, q.s. em ¯Ω. (3.8)

5. y ∈ H1_{(0, T ; H}1 0(Ω))

Ent˜ao, existe uma constante positiva C (dependendo de M, T, ρ, Ω, r0, mas

indepen-dente de f ) tal que

||f ||L2_(Ω)≤ C ∂y ∂ν L2_{(0,T ;L}2_(Γ 0)) . (3.9) Demonstra¸cão. A prova se baseia na aplica¸cão da desigualdade de Carleman para a solu¸cão y do problema auxiliar (3.5) e argumentos do tipo estimativa de energia.

Pela defini¸c˜ao de ρ, podemos tomar β ∈ (0, 1) tal que βT2 > ρ2 e considerar a fun¸c˜ao φ(t, x) definida por (2.3) com este β particular.

Lembremos que, φ(t, x) = exp[λψ(t, x)] onde ψ(t, x) = |x − x0|2 − β(t − t0)2 + γ.

Logo, para t0 = 0 e γ > 0 tal que ψ > 0, obt´em-se que

φ(0, x) > eλγ := b, φ(T, x) = φ(−T, x) < eλγ=b, ∀x ∈ ¯Ω. Portanto, dado > 0, existe δ = δ() > 0 tal que

φ(t, x) ≥ b − , (t, x) ∈ [−δ, δ] × ¯Ω

φ(t, x) ≤ b − 2, (t, x) ∈ ([−T, −T + δ] ∪ [T − δ, T ]) × ¯Ω.

Seja χ ∈ C∞_{(R) uma fun¸c˜ao par (veja figura abaixo ) satisfazendo 0 ≤ χ ≤ 1 e} (

χ(t) = 0, se t ∈ [T − δ, T ] χ(t) = 1, se t ∈ [0, T − 2δ]

(48)

Defina v(t, x) = χ(t)˜y(t, x), onde ˜y é a extensão par da solu¸cão y, isto é, ˜ y(t, x) := ( y(t, x) se 0 ≤ t ≤ T y(−t, x) se − T ≤ t ≤ 0

Estendendo também a fun¸cão R em (−T, T )×Ω de modo par e denotando a extensão pelo mesmo s´ımbolo, segue que R ∈ H1(−T, T ; L∞(Ω)) e, portanto, segue de (3.7) e da hipótese (5) do Teorema 3.2 que ˜y ∈ H1(−T, T ; H₀1(Ω)), e, consequentemente, v ∈ H1 0(−T, T ; H01(Ω)). Além disso ∂v ∂ν = χ ∂ ˜y ∂ν ∈ L 2_(Σ) onde Σ = (−T, T ) × ∂Ω. Por outro lado, tem-se que

Lv(t) =       

χ(t)Ly(t) + 2χ0(t)y0(t) + [χ00(t) + qχ0(t)]y(t) se t > 0, χ(−t)Ly(−t) − 2qχ(−t)y0(−t) − 2χ0(−t)y0(−t)

+ [χ00(−t) − qχ0(−t)]y(−t) se t < 0. Logo Lv(t) =        χ(t)f R0(t) + 2χ0(t)y0(t) + [χ00(t) + qχ0(t)]y(t) se t > 0, χ(−t)f R0(−t) − 2qχ(−t)y0(−t) − 2qχ(−t)y0(−t) + [χ00(−t) − qχ0(−t)]y(−t) se t < 0 (3.10)

(49)

e, conseq¨uentemente, Lv ∈ L2_{(Q), Q = (−T, T ) × Ω. Assim, podemos agora aplicar}

a desigualdade de Carleman para a fun¸c˜ao v(t, x) = χ(t)˜y(t, x), pois v = χy satisfaz as hip´oteses do Teorema 2.1.

Consideremos I0 := 2 Z T 0 Z Ω (P1w)w0dxdt onde w = esφ_{v e P}

1w = w00−∆w +s2λ2φ2E(ψ)w ´e o operador diferencial introduzido

em (2.7). Ent˜ao, I0 = Z T 0 d dt Z Ω (|w0(t)|2+ |∇w(t)|2) dxdt + s2λ2 Z T 0 Z Ω φ2E(ψ)(|w(t)|2)0dxdt . Como v(0) = χ(0)y(0) = 0 e v(t) = 0 ∀t ∈ [T − δ, T ], segue que

w(0) = w(T ) = ∇w(T ) = ∇w(0) = 0.

Analogamente, sendo v0(t) = 0 ∀t ∈ [T − δ, T ], tem-se w0(T ) = 0, logo, podemos escrever I0 = − Z Ω |w0(0)|2dx − s2λ2 Z T 0 Z Ω (φ2E(ψ))0|w(t)|2_dxdt.

Segue da defini¸c˜ao de φ que

(φ2E(ψ))0 = 2λφ2ψ0E(ψ) + φ2E(ψ)0 logo, para λ > λ0

|(φ2_E(ψ))0_{| ≤ C} 1λφ2

onde C1 ´e uma constante que depende de T, ρ e λ0.

Portanto, Z Ω |w0(0)|2dx ≤ |I0| + C1s2λ3 Z Q φ2|w(t)|2_dxdt. _(3.11)

(50)

Por outro lado, como w0 = esφ_(sλψ0_{φv + v}0_{) e P} 1w = esφP˜1v, segue da desigualdade de Cauchy-Schwarz que |I0| ≤ 2 Z T 0 Z Ω |(P1w)w0| dxdt ≤ 2 Z Q | ˜P1ve2sφ(sλψ0φv + v0)| dxdt ≤ C2sλ Z Q e2sφ| ˜P1v|2dxdt 1₂ Z Q φ2e2sφ|v|2_dxdt 1₂ + Z Q e2sφ| ˜P1v|2dxdt 1₂ Z Q e2sφ|v0|2dxdt 1₂ (3.12) onde C2 := ||ψ0||∞.

Usando a hip´otese (3.8), o fato que v0(0, x) = χ(0)y0(0, x) = f (x)R(0, x) e v(0, x) = 0, obtemos

Portanto, segue de (3.11) e (3.12) que r2 0 Z Ω e2sφ(x,0)|f (x)|2_{dx ≤ C} 2sλ Z Q e2sφ| ˜P1v|2dxdt 1₂ Z Q φ2e2sφ|v|2_dxdt 1₂ + Z Q e2sφ| ˜P1v|2dxdt 1₂ Z Q e2sφ|v0|2dxdt 1₂ + C1s2λ3 Z Q φ2e2sφ|v|2_dxdt. (3.13) Aplicando agora a desigualdade de Carleman, dada em (2.4), no lado direito da desigualdade (3.13), obtemos para λ ≥ λ0, s ≥ s0,

r₀2 Z Ω e2sφ(x,0)|f (x)|2_{dx ≤} (C2+ 1) √ sλ D + C1 s D, onde D := C " Z Q e2sφ|Lv|2_{dxdt + sλ} Z T −T Z Γ0 ∂v ∂ν 2 φe2sφ∇ψ · νdσdt # . Fixando λ ≥ λ0, e, sendo ∇ψ · ν limitada sobre ∂Ω e φ(0, x) > γ, obt´em-se

e2sγ Z Ω |f (x)|2dx ≤ √C3 s Z Q e2sφ|Lv|2dxdt + s Z T −T Z Γ0 ∂v ∂ν 2 φe2sφdσdt ! , (3.14)

(51)

onde C3 ´e uma constante que depende de C, r0, ρ, C1, C2 e λ0.

Observando a express˜ao de Lv em (3.10), temos que existe uma constante C4 > 0

tal que Z Q e2sφ|Lv|2_{dxdt ≤} Z 0 −T Z Ω e2sφ|Lv|2_dxdt + Z T 0 Z Ω e2sφ|Lv|2_dxdt = Z 0 −T Z Ω e2sφ|(χf R0+ χ00y − 2χ0y0− qχ0y − 2qχy0)(−t)|2dxdt + Z T 0 Z Ω e2sφ|(χf R0+ 2χ0y0+ χ00y + qχ0y)(t)|2dxdt ≤ − Z T 0 Z Ω e2sφ(|χf R0| + |χ00y| + 2|χ0y0| + |qχ0y| + 2|qχ||y0|)2_dxdt + Z T 0 Z Ω e2sφ(|χf R0| + 2|χ0||y0| + |χ00y| + |qχ0y|)2dxdt ≤ C4 Z T 0 Z Ω e2sφ|χf R0(t)|2dxdt + Z T 0 Z Ω e2sφ (|χ0|2_{+ |qχ|}2_)|y0_|2_{+ (|χ}00_|2_{+ |qχ}0_|2_)|y|2_dxdt . Observando na defini¸c˜ao de χ o fato que χ = 0 no complementar de (T − 2δ, T − δ), segue que Z Q e2sφ|Lv|2dxdt ≤ C5 Z T −δ T −2δ Z Ω e2sφ |f R0(t)|2+ |y0(t)|2+ |y(t)|2 dxdt onde C5 > 0 depende de ||q||∞. Al´em disso, como y(t) ∈ H01(Ω) e y(0) = 0, segue

da estimativa de energia (e um racioc´ınio an´alogo ao que foi usado na prova do Lema 1.1), que Z Ω |y0(t)|2+ |y(t)|2 dxdt ≤ C6 Z Ω |y0(0)|2dx + C6 Z t 0 Z Ω |f R0(τ )|2dxdτ, onde C6 = C6(||q||∞, Ω) > 0. Portanto, segue dessa ´ultima estimativa e da escolha

(52)

Seja g0(t) = r0−1||R 0_(t)||

L∞_(Ω). Ent˜ao, g₀ ∈ L2(0, T ) e pela hip´otese (3.8), segue que

|R0_{(t, x)| ≤ ||R}0_(t)||

L∞_(Ω) ≤ g₀(t)|R(0, x)| q.s. em Ω.

Logo, de (3.15), obt´em-se que Z Q e2sφ|Lv|2_{dxdt ≤ C} 7e2s(b−2) δ Z Ω |f (x)R(0, x)|2_dx + (1 + δ)||g0||2_L2_{(0,T )} Z Ω |f (x)R(0, x)|2_dx . (3.16) Como R ∈ H1(0, T ; L∞(Ω)), ent˜ao Z Ω |f (x)R(0, x)|2_{dx ≤ ||R||}2 L∞_(Ω) Z Ω |f (x)|2_{dx e}

assim, substituindo (3.16) em (3.14), obt´em-se que e2sγ Z Ω |f (x)|2_{dx ≤} C8e_√2s(b−2) s Z Ω |f (x)|2_{dx + C} 8e2s(b−2) √ s Z T −T Z Γ0 ∂v ∂ν 2 φe2sφdσdt para alguma constante C8 > 0.

Conseqüentemente, voltando a defini¸cão de v, obtém-se e2sγ− C8e 2sb √ se4s Z Ω |f (x)|2dx ≤ 2C8e2s(b−2) √ s Z T 0 Z Γ0 ∂y ∂ν 2 φe2sφdσdt (3.17) Escolhendo s ≥ s0 suficientemente grande de modo que

e2sγ₋ C8e 2sb √ se4s ≥ 1, obtemos finalmente de (3.17) a desigualdade (3.9), isto ´e,

Z Ω |f (x)|2dx ≤ C Z T 0 Z Γ0 ∂y ∂ν 2 dσ dt,

(53)

Agora estamos em condi¸c˜oes de demonstrar o Teorema 3.1.

Prova do Teorema 3.1: Seja ui a solu¸c˜ao correspondente do problema (3.1) com

q = qi, i = 1, 2. Pelas hip´oteses (3), (4) e (5) do Teorema 3.1, a solu¸c˜ao ui possui

regularidade dada pelo Teorema 1.5, ou seja, ui ∈ m \ k=0 Cm−k[0, T ); Hk(Ω), ∂ui ∂ν ∈ H m−1_(Σ).

Como por hip´otese, N ≥ 2 e m > N₂ _{+ 2, existe k ∈ N tal que m − 2 ≥ k >} N₂. Logo, pelo teorema de imers˜ao de Sobolev( Teorema 1.2), segue que

ui ∈ Ck([0, T ); Hk(Ω)) ⊂ H2(0, T ; L∞(Ω))

Portanto, como feito no in´ıcio do cap´ıtulo, definimos y = ∂t(u1 − u2) e assim y

satisfaz o problema            ∂2 ty − ∆y + q1∂ty = (q2− q1)∂t2u2, em (0, T ) × Ω, y(0, x) = 0, ∂ty(0, x) = (q2(x) − q1(x))ϕ1(x), x ∈ Ω y(t, σ) = 0, (t, σ) ∈ (0, T ) × ∂Ω (3.18) Tomando no problema (3.5), q = q1, f = q2 − q1 e R(t, x) = ∂tu2(t, x), tem-se

que este é equivalente ao problema (3.18) acima, e, portanto, todas as hipóteses do Teorema 3.2 são verificadas para a solu¸cão y de (3.18).

Note que y ∈ H1_{(0, T ; L}∞_{(Ω)), mas, sendo y solu¸c˜}_{ao do problema (3.18), tem-se}

que y ∈ H1_{(0, T ; H}1 0(Ω)).

Note ainda que, R ∈ H1_{(0, T ; L}∞_{(Ω)) e |R(0, x)| = |ϕ}

1(x)| ≥ r0.

Portanto, a desigualdade (3.2) segue direto da desigualdade (3.9). De fato, ||q2−q1||L2_(Ω) ≤ C ∂ ∂ν(∂tu1) − ∂ ∂ν(∂tu2) L2_{(0,T ;L}2_(Γ 0)) ≤ C ∂u1 ∂ν − ∂u2 ∂ν H1_{(0,T ;L}2_(Γ 0)) .

(54)

Por outro lado, suponha que a hip´otese (3) no Teorema 3.1, isto ´e, qi ∈ Wm−2,∞(Ω), ||qi||L∞_(Ω) ≤ M, i = 1, 2,

seja substitu´ıda pela hip´otese mais forte

qi ∈ Wm−2,∞(Ω), ||qi||W1,∞_(Ω) ≤ M, i = 1, 2.

Ent˜ao, segue da desigualdade de Gagliardo-Nirenberg (Teorema 1.1) que ||q2− q1||L∞_(Ω)≤ ||q₂− q₁||θ

L2_(Ω)||q₂− q₁||1−θ_W1,∞_(Ω)

onde θ = _{N +2}N .

Como ||qi||W1,∞_(Ω) ≤ M, i = 1, 2 e a desigualdade j´a foi obtida em L2(Ω), segue que

||q2− q1||L∞_(Ω) ≤ Cθ(2M )1−θ ∂u1 ∂ν − ∂u2 ∂ν θ H1_{(0,T ;L}2_(Γ 0)) . Portanto, obtemos (3.3) com ˜C = Cθ(2M )1−θ_.