EEL7531: FUNDAMENTOS DE CONTROLE INTRODUÇÃO AO CONTROLE NÃO-LINEAR

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA EL´ETRICA

EEL7531: FUNDAMENTOS DE CONTROLE

INTRODUC

¸ ˜

AO AO CONTROLE N ˜

AO-LINEAR

Professor: Aguinaldo Silveira e Silva

(2)

(3)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Modelo matem´atico . . . 1

1.2 Existência e solu¸cão de equa¸cões diferenciais . . . 2

1.3 Pontos de equil´ıbrio . . . 3

1.4 Exemplos de sistemas n˜ao-lineares . . . 4

1.4.1 Sistema el´etrico de potˆencia . . . 4

1.4.2 Ecologia . . . 5

2 Sistemas de segunda ordem 9 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 9 2.2 Plano de estado . . . 9 2.3 Campo vetorial . . . 9 2.4 Sistemas lineares . . . 10 2.5 Sistemas n˜ao-lineares . . . 14 2.6 Teorema de Hartman-Grobman . . . 16

3 Teoria de estabilidade de Lyapunov 17 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 17

3.2 Defini¸c˜oes de estabilidade . . . 18

3.3 Fun¸c˜oes definidas em sinal . . . 19

3.4 Teoremas de estabilidade . . . 20

3.4.1 Regi˜ao de atra¸c˜ao . . . 24

3.5 Métodos para a constru¸cão de fun¸cões de Lyapunov . . . 25

3.5.1 M´etodo de Krasovskii . . . 25

3.5.2 Fun¸c˜oes tipo Lur’e . . . 25

3.6 Aplica¸c˜oes do m´etodo de Lyapunov . . . 26

(4)

(5)

CAP´

ITULO

1

Introdu¸

c˜

ao

Modelos lineares são usados em vários campos da ciência para representar uma amplo espectro de sis-temas. No entanto, sistemas reais apresentam algum tipo de não-linearidade. Em muitos casos a faixa de opera¸cão limitada do sistema faz com que o efeito destas não-linearidades seja limitado sendo que o modelo linear é adequado para uma análise qualitiva e mesmo quantitativa suficientemente precisa.

O fato de que engenheiros procurem sempre modelos lineares é explicado pelo fato de que a teoria de sistemas lineares é bem consolidada e os resultados são gerais. Já no caso de sistemas não-lineares, os resultados são mais limitados e freqüentemente aplicáveis somente a classes de sistemas não-lineares.

Em muitas aplica¸cões reais, onde as não-linearidades tem grande influência no comportamento do sistema tem-se que aplicar técnicas de análise e s´ıntese derivadas da teoria de sistemas não-lineares.

Neste cap´ıtulo são apresentados alguns conceitos fundamentais de sistemas não-lineares e defini¸cões básicas. Conceitos matemáticos essenciais usados na formaliza¸cão de resultados são então apresentados. Finalmente alguns exemplos de sistemas f´ısicos não-lineares são discutidos para ilustrar a vasta gama de aplica¸cões da teoria de sistemas não-lineares.

1.1 Modelo matem´

atico

Sistemas não-lineares podem são representados por um sistema de equa¸cões diferenciais da forma ˙ x1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn, u1, u2, . . . , um) (1.1.1) ˙ x2 = f1(t, x1, x2, . . . , xn, u1, u2, . . . , um) (1.1.2) .. . (1.1.3) ˙ xn = f1(t, x1, x2, . . . , xn, u1, u2, . . . , um) (1.1.4) (1.1.5) No sistema dado pela Equa¸cão 1.1.5 x1, x2, . . . , xn são os estados do sistema e u1, u2, . . . , um são entradas externas no sistema.

Podemos escrever este sistema de uma forma bastante compacta se definirmos o vetor de estados

x=      x1 x2 .. . xn     

(6)

o vetor de fun¸cões não-lineares f =      f1 f2 .. . fn      e o vetor de fun¸cões de entrada ou for¸cantes

u=      f1 f2 .. . fn     

O vetor f é conhecido como campo vetorial, por razões que são discutidas no próximo cap´ıtulo. Com estas defini¸cões a Equa¸cão 1.1.8 pode ser escrita como

˙x = f (t, x, u) (1.1.6)

´

E importante observar que os estados e as entradas são fun¸cões do tempo, ou seja, rigorosamente dever´ıamos escrever x(t) = [x1(t)x2(t) . . . xn(t)]T e u(t) = [u1(t)u2(t) . . . , um(t)]T, mas para facilitar a nota¸cão não representamos esta dependência.

Observa-se ainda que a Equa¸c˜ao 1.1.6 depende explicitamente do tempo. Isto significa que admitimos que parˆametros do sistema possam variar com o tempo.

A entrada u caracteriza um sistema for¸cado. Se U não aparece explicitamente na equa¸cão então o sistema é não-for¸cado, dado pela Equa¸cão 1.1.7.

˙x = f (t, x) (1.1.7)

O sistema não-for¸cado ocorre mesmo quando existe uma entrada mas esta entrada é uma fun¸cão do estado x do sistema ou ainda se tivermos uma entrada constante. A entrada constante comporta-se como um parâmetro e não aparece explicitamente na equa¸cão.

O interesse neste curso será em sistemas que não dependem explicitamente do tempo. Um sistema que depende explicitamente do tempo é chamado não-autônomo. Um sistema que não depende expli-citamente do tempo é chamado de sistema autônomo. Na continua¸cão deste curso nos concentraremos em sistemas não-for¸cados autônomos. Portanto a partir de agora consideraremos sistemas descritos pela Equa¸cão 1.1.8.

˙x = f (x) (1.1.8)

1.2 Existˆ

encia e solu¸

c˜

ao de equa¸

c˜

oes diferenciais

A solu¸cão do Sistema 1.1.8 será o vetor de fun¸cões do tempo x(t). Para cada condi¸cão inicial no tempo t0, x0= x(t0), teremos uma solu¸cão. Vamos admitir que esta solu¸cão existe e é única para cada condi¸cão inicial. A solu¸cão será uma curva em um espa¸co de dimensão n + 1. Para um sistema de segunda ordem a solu¸cão que passa por x0 e t0 é mostrada na Figura 1.1(a).

Se considerarmos que para o mesmo tempo t0 podemos ter qualquer ponto no plano transversal ao eixo dos tempos como condi¸cão inicial, podemos pensar na solu¸cão do Sistema 1.1.8 como uma fam´ılia de curvas, algumas das quais são mostradas na Figura 1.1(b). Representamos estas solu¸cões como φt= φ(x, t) que indica que para cada valor de t temos um valor associado do estado x(t). Esta fam´ılia de solu¸cões constitui um fluxo φt. O fluxo

Da Equa¸c˜ao 1.1.8 segue que para um conjunto U ⊆ Rn _{e um intervalo I = (a, b) ⊆ R} dφ dt(x, t) τ = f (φ(x, τ )) (1.2.1)

(7)

EEL-UFSC 3 x1 x2 t x0 t0

(a) Solu¸c˜ao que passa por x0 em t0

x1 x2 t x0 t0 U (b) Fluxo de um sistema para todo x ∈ U e τ ∈ I

Para uma dada condi¸cão inicial em t = 0 dada por x(0) = x0 procura-se a solu¸cão φ(x0, t) tal que φ(x0, 0) = x0. Esta solu¸cão também é denotada por x(x0, t) ou x(t). A solu¸cão φ(x0, .) define uma curva solu¸cão, trajetória ou órbita da equa¸cão diferencial 1.1.8.

Quando consideramos o Sistema 1.1.8, uma questão que surge é em que condi¸cões este sistema possui uma solu¸cão. Ou seja dada uma condi¸cão inicial x0 = x(t0) existe um vetor x(t) que satisfaz esta para algum intervalo de tempo [t0, t)? Ainda mais, será que esta solu¸cão é única? Como o nosso interesse é usar o Sistema 1.1.8 para representar o comportamento de sistemas reais, vemos que uma resposta afirmativa a estas questões é crucial para que o modelo matemático tenha utilidade.

Do ponto de vista matemático a condi¸cão de existência e unicidade de solu¸cão para o Sistema 1.1.8 é dada pela condi¸cão de Lipschitz:

f(y) − f (x) ≤ K |x − y| para algum K < ∞ (constante de Lipschitz).

Para modelos que representam sistemas f´ısicos, a condi¸c˜ao de Lipschiz ´e sempre satisfeita.

1.3 Pontos de equil´ıbrio

Os pontos de equil´ıbrio, também chamados pontos fixos ou zeros, são solu¸cões da equa¸cãO diferencial para as quais o campo vetorial se anula. Para a Equa¸cão 1.1.8, os pontos de equil´ıbrio são dados por

f(x) = 0

A solu¸cão da Equa¸cão 1.3 por si só pode apresentar considerável dificuldade.

Deve-se ainda observar que um sistema não-linear pode apresentar um único, vários, infinitos ou nenhum ponto de equil´ıbrio. No caso de sistemas lineares o sistema tem um ou inifinitos pontos de equil´ıbrio.

Em muitos casos vamos supor que o ponto de equil´ıbrio é a origem. Por exemplo, para um sistema de segunda ordem, o ponto x = [0 0]T_{, também representado por (0, 0) é o equil´ıbrio. Ou seja,}

f(0, 0) = f1(0, 0) f2(0, 0) = 0

A suposi¸cão de que a origem é um ponto de equil´ıbrio não constitui perda de generalidade. Realmente, cada ponto de equi´ıbrio pode ser transladado para a origem.

Supondo o sistema:

˙x = f (x) (1.3.1)

com ponto de equi´ıbrio xe_{, ou seja, f (x} e) = 0.

Definindo-se novas vari´aveis de estado tais que y = x − xe_{, tem-se x = y + x}e_{. Substituindo-se} em 1.3.1, tem-se

(8)

´

E f´acil de verificar que o ponto y = [0 0] ´e agora um ponto de equi´ıbrio de 1.3.2.

A mudan¸ca de vari´aveis de estado corresponde a uma transla¸c˜ao de eixos, sendo que o novo sistema de coordenadas tem a sua origem no ponto de equil´ıbrio que se deseja transladar para a origem.

1.4 Exemplos de sistemas n˜

ao-lineares

Nesta se¸cão estudaremos alguns exemplos de sistemas não-lineares encontrados não só em engenharia elétrica mas também em outras áreas. Mostraremos que técnicas de análise não-linear não são suficientes para analisar todos os aspectos do comportamento destes sistemas.

1.4.1 Sistema el´etrico de potˆencia

O sistema elétrico é um exemplo de um sistema não-linear, bem conhecido por sua importância social e econômica e que mostra a importância de técnicas de análise não-linear para o estudo de seu desempenho. Vamos considerar um sistema constitu´ıdo de uma única máquina s´ıncrona conectada a uma barra infinita, representado na Figura 1.1. Embora este possa parecer um modelo muito simples, ele pode ser usado para descrever uma usina (a máquina s´ıncrona) conectada a uma grande rede (a barra infinita).

V∞∠0o

jX Eq∠δ

Figura 1.1: Sistema m´aquina barra-infinita

Usaremos um modelo simples para a máquina, que será representada pelas equa¸cões que descrevemo movimento do rotor (equa¸cões de Newton para o movimento rotacional). Estas equa¸cões são:

˙δ = ω

M ˙ω = Pm− Dω − Pmaxsenδ onde Pmax =

EqV

X , é a máxima potência transmitida pela linha, M é a inércia da máquina, D é um coeficiente de amortecimento, ω é a velocidade do rotor e δ é o ângulo da máquina.

Podemos imediatamente, a partir dos conceitos apresentados na se¸cão anterior concluir que este é um sistema não-linear e autônomo.

Os pontos de equiil´ıbrio s˜ao dados por 0 = ω

0 = Pm− Dω − Pmaxsenδe sendo portanto dados por

δe = sen−1 Pm Pmax ωe = 0

Observa-se que o sistema tem infinitos pontos de equil´ıbrio, pois existem infinitos arcos que atendem `

a condi¸cão sobre o ângulo δ. No entanto, do ponto de vista f´ısico, temos interesse em três pontos dados por (δe_{, 0), com δ}e _{∈ (−π, π), (π − δ}e_{, 0) e −π − (δ}e_{, 0).}

Vamos aplicar uma pequena perturba¸cão que desloque o sistema do seu ponto de equil´ıbrio e logo a seguir retiraremos a perturba¸cão. A trajetória do sistema no espa¸co de fase é apresentada na Figura 1.2.

(9)

EEL-UFSC 5

V∞∠0o

jX Eq∠δ

Figura 1.2: Sistema m´aquina barra-infinita

Observa-se que o sistema retorna ao ponto de equil´ıbrio δe_{. Vamos agora aumentar o per´ıodo em que} a perturba¸cão permanece no sistema. A trajétória se afasta do ponto de equil´ıbrio e não retorna mesmo após a retirada da perturba¸cão.

Vamos agora simular uma trajetória como uma condi¸cão inicial muito próxima do ponto de equil´ıbrio (π − δe, 0). O sistema se afasta deste ponto de equil´ıbrio e portanto o ponto de equl´ıbrio é instável.

Este comportamento do sistema está associado aos conceitos de estabilidade transitória e estabilidade para pequenas perturba¸cões de sistemas elétricos. Ferramentas da teoria de sistemas lineares permitem a análise e a determina¸cão de a¸cões de controle para manter a estabilidade do sistema.

1.4.2 Ecologia

Uma das aplica¸cões de sistemas não-lineares é o estudo de modelos que representam sistemas ecológicos e equil´ıbrio em sistemas envolvendo presas e predadores.

Um modelo bem conhecido é a equa¸cão de Lotka-Volterra. Este modelo foi desenvolvido pelo ma-temático italiano Volterra para modelar a rela¸cão entre peixes predadores e peixes presas.

˙

x1 = x1+ x1x2 (1.4.1)

˙

x2 = −x2− x1x2 (1.4.2)

Esta equa¸cão descreve um sistema ecológico onde x1 é o número de predatores e x2 é o número de presas. Se x2 = 0 (nenhuma presa) então da equa¸cão ˙x1 = −x1 segue que a solu¸cão é x1 = x10e−t, ou seja, a popula¸cão de predadores cai exponencialmente a zero. Por outro lado, se x1 = 0 (o número de predadores é zero) então da equa¸cão ˙x2 = x2 segue que a solu¸cão é x2 = x20et, ou seja, a popula¸cão de presas aumenta exponencialmente.

Como veremos no Cap´ıtulo 4, a solu¸cão desta equa¸cão, em um sistema com predatores e presas, é periódica e a existência de solu¸cões periódicas é um dos tópicos da teoria de sistemas não-lineares. Esta teoria encontra ampla aplica¸cão a sistemas biológicos.

(10)

Exerc´ıcios

1. Para o sistema de controle da Figura 1.3, sem o tacômetro (chave S aberta) fa¸ca o gráfico da trajetória para uma condi¸cão inicial e (0) = 2, ˙(e) (0) = 0.

Dados: τm = 0, 5 seg; k = 8; δ = 0, 5

Considere agora o tacômetro (kt= 0, 5) , ou seja, chave S fechada. Plote a trajetória e comente sobre o efeito da realimenta¸cão tacométrica.

Figura 1.3: Figura para o Exerc´ıcio 1

2. O sistema de controle a relé da Figura 1.4 usa um relé com zona morta e um la¸co de realimenta¸cão derivativa. Plote a trajetória para entrada zero e condi¸cões iniciais c (0) = 2, ˙c (0) = 5. Calcule o tempo de resposta o sistema. Determine o erro em regime permanente.

Figura 1.4: Figura para o Exerc´ıcio 2

3. Considere o sistema ¨ x − 0, 1 − 10 3 ˙x ˙x ˙x + x + x2 = 10 a) Encontre os pontos de equil´ıbrio.

b) Estude a estabilidade de cada um deles.

(11)

EEL-UFSC 7 a) ¨ x = 2xy − 4y − 8 ¨ y = 4y2− x2 b) ¨ x = 4y2− x2 ¨ y = 2y − 2 c) ¨ x = 4 − 4x − 2y ¨ y = xy

(12)

(13)

CAP´

ITULO

2

Sistemas de segunda ordem

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo estudaremos sistemas de segunda ordem. O estudo destes sistemas apresenta vantagens já que as solu¸cões de sistemas de segunda ordem podem ser representadas por curvas no plano, e como resultado muitos conceitos relacionados a sistemas não-lineares tem uma interpreta¸cão geométrica simples. Por outro lado, nem todos os resultados válidos para sistemas de segunda ordem podem ser estendidos para sistemas de ordem superior.

2.2 Plano de estado

O sistema de segunda ordem pode ser representado de forma gen´erica por por ˙

x1 = f1[t, x1(t), x2(t)] ˙

x2 = f2[t, x1(t), x2(t)] (2.2.1)

Consideraremos apenas sistemas autônomos e também não representaremos explixitamente a de-pendência no tempo das variáveis de estado. O sistema a ser considerado então é

˙

x1 = f1(x1, x2) ˙

x2 = f2(x1, x2) (2.2.2)

Representado uma solu¸cão [x1, x2] de 2.2.2 no plano x1, x2 resulta em um gráfico no espa¸co de estado chamado trajetória. No caso especial onde a primeira equa¸cão em 2.2.2 é

˙

x1 = x2(t) o espa¸co de estado ´e chamado plano de fase.

2.3 Campo vetorial

Dado o sistema de segunda ordem autˆonomo 2.2.2 a cada vetor [x1 x2]T pode-se associar um vetor [f1(x1, x2) f2(x1, x2)]T chamado campo vetorial.

(14)

Defini¸cão 1 Um campo vetorial é uma fun¸cão cont´ınua f : R2 _{→ R}2_{. A dire¸c˜}_{ao do campo vetorial f no} ponto x ∈ R2 é dada por

θt= tan−1 f2(x1x2) f1(x1, x2) De 2.2.2 segue que dx2 dx1 = f2(x1x2) f1(x1, x2) (2.3.1) e portanto o vetor f (x) é tangente à trajetória em x.

2.4 Sistemas lineares

Nesta se¸cão desenvolveremos um estudo de sistemas lineares. A primeira vista parece que estamos deixando de lado uma classe mais geral de sistemas para abordar um caso particular. No entanto, um importante resultado, apresentado no final desta se¸cão permite relacionar o comportamento das trajetórias de um sistema não-linear em uma vizinhan¸ca dos pontos de equil´ıbrio com o comportamento de um sistema linear obtido a partir deste sistema não-linear. Ou seja, a partir deste último podemos obter informa¸cões sobre a natureza dos pontos de equil´ıbrio e forma das trajetórias de um sistema n˜ ao-linear. Na seqüência estudaremos a forma das trajetórias de um sistema linear.

Seja o sistema linear autˆonomo de segunda ordem dado por ˙

x1 = a11x1+ a12x2 ˙

x2 = a21x1+ a22x2 (2.4.1)

com condi¸c˜oes iniciais dadas por

x1(0) = x10

x2(0) = x20 (2.4.2)

O sistema 2.4.1 pode ser escrito na forma matricial ˙x = A x x(0) = x0 (2.4.3) onde x = [x1x2]T e A= a11 a12 a21 a22

Uma solu¸cão de 2.4.1 pode ser obtida facilmente se a matriz A for diagonalizada. Isto permite desacoplar as duas equa¸cões, resolvendo-as uma de cada vez e obtendo a forma das trajetórias.

A diagonaliza¸c˜ao de A pode ser feita por uma transforma¸c˜ao de similaridade. Isto significa obter um novo vetor de estado z

z= M−1_x _(2.4.4)

onde M ´e uma matriz conveniente.

Usando 2.4.4 em 2.4.1 chega-se facilmente `a nova equa¸c˜ao de estado

˙z = M−1_{A M x} _(2.4.5)

Com uma escolha adequada de M a matriz M−1_{A M}_{´e diagonal e dada por} M−1_{A M}₌ λ1 0 0 λ2 (2.4.6)

(15)

EEL-UFSC 11

onde λ1 e λ2 são os autovalores reais de A. λ1 e λ2 não são necessariamente distintos mas a matriz diagonal pode ser obtida no caso de autovalores iguais se autovetores linearmente independentes puderem ser obtidos.

No caso em que os autovalores s˜ao repetidos e autovetores linearmente independentes n˜ao puderem ser obtidos pode-se ainda obter a forma de Jordan

M−1_{A M}₌ λ1 1 0 λ2 (2.4.7) Se os autovalores forem complexos conjugados dados por α ± jβ pode-se obter a forma

M−1_{A M}₌ α β −β α (2.4.8) A an´alise das formas diagonalizadas permite o estudo da forma das solu¸c˜oes. De 2.4.5 e 2.4.6 segue que

˙

z1 = λ1z1 ˙

z2 = λ2z2 (2.4.9)

com condi¸c˜oes iniciais

z1(0) = z10 z2(0) = z20 As solu¸c˜oes s˜ao dadas por

z1 = z10eλ1t z2 = z20eλ2t Supondo λ1 6= 0 tem-se

ln z1 = ln z10+ λ1t ln z2 = ln z20+ λ2t Eliminando-se o tempo nestas equa¸c˜oes tem-se

z2 = z20 z1 z10

λ2_λ1

(2.4.10) Quando λ1 e λ2 s˜ao complexos conjugados, dados por λ1,2 = α ± β o sistema pode ser escrito como

˙

z1 = α z1+ β z2 (2.4.11)

˙

z2 = −β z1+ α2z2 (2.4.12)

com condi¸c˜oes iniciais

z1(0) = z10 z2(0) = z20

A forma das trajet´orias pode ser obtida facilmente com uma transforma¸c˜ao de coordenadas para a forma polar.

(16)

Definindo-se:

r = (z₁2+ z2₂)12 (2.4.13)

φ = tg−1z2 z1

(2.4.14) Derivando-se 2.4.13 com rela¸c˜ao ao tempo tem-se

˙r = α(z 2 1+ z22) (z2₁+ z₂2)12 ou ˙r = α r (2.4.15)

Derivando-se 2.4.14 com rela¸c˜ao ao tempo tem-se ˙

φ = −β (2.4.16)

Portanto, o sistema obtido ´e

˙r = α r (2.4.17)

˙

φ = −β (2.4.18)

O comportamento das trajetórias pode ser estudado usando a Equa¸cão 2.4.10, para o caso onde os autovalores são reais, ou a Equa¸cão 2.4.18, para o caso onde os autovalores são complexos conjugados.

Dependendo de λ1 e λ2 v´arios casos podem ocorrer. 1. Caso onde λ1 e λ2 reais de mesmo sinal e negativos

Se λ2 < λ1 < 0 então as trajetórias são dadas pela Figura 2.1(a) Se λ2 < λ1 < 0 então as trajetórias são dadas pela Figura 2.1(b).

Estes dois casos caracterizam um ponto de equil´ıbrio chamado n´o est´avel.

z1 z2 (a) λ1> λ2 z1 z2 (b) λ1< λ2

Figura 2.1: N´o est´avel

2. Caso λ1 e λ2 reais de mesmo sinal e positivos

Se λ2 > λ1 > 0 então as trajetórias são dadas pela Figura 2.2(a). Se λ1 > λ2 > 0 então as trajetórias são dadas pela Figura 2.2(b). Neste caso o ponto de equil´ıbrio é um nó instável

(17)

EEL-UFSC 13 z1 z2 (a) λ1> λ2 z1 z2 (b) λ1< λ2

Figura 2.2: N´o inst´avel

z1

z2

(a) λ1>0 > λ2

z1

(b) λ1<0 < λ2

Figura 2.3: Ponto de sela

3. Caso onde λ1 e λ2 reais de sinais opostos

No caso onde λ1< 0 < λ2 as trajetórias são mostradas na Figura 2.3(a). No caso onde λ1> 0 > λ2 as trajetórias são mostradas na Figura 2.3(b). Estes casos caracterizam um ponto de sela.

4. Caso onde λ1 e λ2 são complexos conjugados com α < 0. A forma das trajetórias é mostrada pela Figura 2.4(a).

O ponto de equil´ıbrio neste caso é chamado um foco estável. 5. Caso onde λ1 e λ2 são complexos conjugados com α > 0.

A forma das trajet´orias ´e mostrada pela Figura 2.4(b).

O ponto de equil´ıbrio é chamado neste caso de foco instável. 6. Caso onde α = 0. Os autovalores são imaginários puros.

A forma das trajetórias é mostrada na Figura 2.5. O ponto de equil´ıbrio é chamado de centro.

(18)

z1 z2 (a) ℜα < 0 z1 z2 (b) ℜα > 0 Figura 2.4: Foco z1 z2 Figura 2.5: Centro

2.5 Sistemas n˜

ao-lineares

Nesta se¸cão serão considerados sistemas autônomos dados por ˙

x1 = f1(x1, x2) (2.5.1)

˙

x2 = f2(x1, x2) (2.5.2)

O sistema não-linear pode ser linearizado em torno do ponto de equil´ıbrio. Um resultado importante é que, em geral, pode-se determinar o comportamento das trajetórias do sistema não-linear em uma

(19)

EEL-UFSC 15

Tabela 2.1: Pontos de equil´ıbrio para o sistema linearizado e n˜ao-linear Sistema linearizado Sistema n˜ao-linear

Ponto de equil´ıbrio y1= 0, y2 = 0 Ponto de equil´ıbrio x1= 0, x2 = 0

Nó estável Nó estável

Nó instável Nó instável

Ponto de sela Ponto de sela

Foco est´avel Foco est´avel

Foco Inst´avel Foco inst´avel

Centro Nada se afirma

vizinhan¸ca do ponto de equil´ıbrio, a partir do comportamneto das trajetórias do sistema linear, a não ser em alguns casos especiais. A formaliza¸cão deste resultado será apresentada mais adiante.

No desenvolvimento a seguir (0, 0) ´e considerado o ponto de equil´ıbrio do sistema 2.5.2, ou seja

0 = f1(0, 0) (2.5.3)

0 = f2(0, 0) (2.5.4)

Isto sempre pode ser feito, através de uma transla¸cão de eixos, como mostrado na Se¸cão. Na vizinhan¸ca do pode de equil´ıbrio (0, 0) pode-se expandir f1 e f2 em série de Taylor.

f1(x1, x2) = f1(0, 0) + ∂ f1(x1, x2) d x1 (0,0) x1+ ∂ f1(x1, x2) d x2 (0,0) x1 (2.5.5)

+ · · · + termos de ordem mais elevada (2.5.6) f2(x1, x2) = f2(0, 0) + ∂ f2(x1, x2) d x1 (0,0) x1+ ∂ f2(x1, x2) d x2 (0,0) x1 (2.5.7)

+ · · · + termos de ordem mais elevada (2.5.8) Desde que f1(0, 0) = f2(0, 0) = 0 e desprezando-se os termos restantes da s´erie pode-se definir o sistema linear: ˙ y1 = a11y1+ a12y2 (2.5.9) ˙ y2 = a21y1+ a22y2 (2.5.10) onde a11= ∂ f1_{d x}(x11,x2) (0,0) a12= ∂ f1(x1,x2) d x2 (0,0) a21= ∂ f2_{d x}(x11,x2) (0,0) a22= ∂ f2(x1,x2) d x2 (0,0)

A rela¸cão entre as trajetórias do sistema linearizado e as trajetórias do sistema não-linear em uma vizinhan¸ca do ponto de equil´ıbrio é dada pela Tabela 2.1

Portanto, a n˜ao ser que a matriz

A=

a11 a12 a21 a22

tenha autovalores com parte real zero, pode-se determinar o comportamento das trajetórias do sistema não-linear em uma vizinhan¸ca do ponto de equil´ıbrio a partir das trajetórias do sistema linearizado.

No caso de centro no sistema linearizado observa-se que as oscila¸cões não crescem ou decrescem. Os termos desprezados na série de Taylor é que vão indicar se há crescimento ou decrescimento das oscila¸cões. Portanto nada se pode concluir sobre o sistema não-linear.

Se o ponto de equl´ıbrio é tal que a matriz jacobiana calculada neste ponto de equil´ıbrio não tem autovalores com parte real zero, então o ponto de equil´ıbrio é chamado hiperbólico ou não-degenerado.

(20)

2.6 Teorema de Hartman-Grobman

Os resultados da se¸cão anterior podem ser resumidos através do importante teorema de Hartman-Grobman. Este teorema é aplicável a sistemas de qualquer ordem e portanto generaliza os resultados anteriores.

Teorema 2.1 Se a matriz jacobiana do sistema linearizado não tem autovalores zero ou imaginários puros então existe um homeomorfismo definido em alguma vizinhan¸ca U de (0, 0) em ℜn _{que leva} local-mente órbitas do fluxo não-linear de 2.5.2 àquelas do fluxo linear de 2.5.10. O homeomorfismo preserva o sentido das órbitas e pode ser escolhido para preservar a parametriza¸cão no tempo.

Em termos mais simples podemos interpretar este resultado dizendo que a cada solu¸cão do sistema linearizado existe um mapeamento (homeomorfismo) que leva a uma órbita do sistema não-linear. O sentido é preservado, ou seja, se a orbita do sistema linear se aproxima ou se afasta do ponto de equil´ıbrio a órbita do sistema não-linear também se aproximará ou afastará, respectivamente, do ponto de equil´ıbrio.

(21)

CAP´

ITULO

3

Teoria de estabilidade de Lyapunov

3.1 Introdu¸

c˜

ao

O método direto de estudo da estabilidade de um ponto de equil´ıbrio é de natureza distinta dos métodos baseados em lineariza¸cão. Nestes estuda-se a estabilidade para pequenas perturba¸cões e o enfoque é em termos locais. No caso do método direto a caracteriza¸cão da solu¸cão não é necessariamente em termos locais.

A origem do método direto encontra-se na mecânica clássica onde esta caracteriza¸cão não local aparece das leis da estática e dinâmica. Assim, Torricelli (1608-1647) apresentou o enunciado de que ”Corpos pesados conectados não podem come¸car a mover-se se o centro comum de gravidade deles não mover-se para baixo”. Lagrange (1736-1813) por sua vez apresentou o enunciado de que ”Um sistema mecânico que está em um estado onde sua energia potencial tem um m´ınimo isolado, está em um estado de equil´ıbrio estável”.

Estas idéias de estabilidade em mecânica foram generalizadas por Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, então professor na Universidade de Kharkov, em sua tese de doutorado submetida à Universidade de Moscou em 1892 e intitulada Ö problema geral da estabilidade do movimento¨. O método proposto por Lyapunov teve uma imensa influência na teoria da estabilidade de sistemas dinâmicos e continua como um dos fundamentos daquela teoria.

A idéia básica do método de Lyapunov pode ser resumida pelo desenvolvimento a seguir, no qual consideraremos apenas sistemas autônomos. No entanto o método é geral e aplica-se a sistemas n˜ ao-autônomos.

Seja o sistema descrito por

˙x = f (x) (3.1.1)

sem for¸cas externa atuando. Seja 0 um dos pontos de equil´ıbrio deste sistema (ou, poss´ıvelmente, o ´unico ponto de equil´ıbrio). Supondo que a energia deste sistema possa ser definida por uma fun¸c˜ao V tal que V (0) = 0 (min´ımo global) e V (x) > 0 para x 6= 0.

Dada uma condi¸cão inicial x0 6= 0, então V (x0) > 0. Se a dinâmica do sistema é tal que dV_dt ≤ 0 então a energia não aumenta e dependendo de V isto pode indicar a estabilidade do ponto de equil´ıbrio O. Se

dV

dt ≤ 0 então a energia se reduzirá a zero e pode-se concluir a estabilidade do ponto de equil´ıbrio O. A teoria de estabilidade de Liapunov permite a escolha da fun¸cão V para um determinado sistema. Ou seja, a fun¸cão V não precisa ser necessariamente a energia associada ao sistema. A seguir serão apresentados os teoremas básicos sobre estabilidade, estabilidade assintática e instabilidade, que formam

(22)

o núcleo do método direto de Liapunov. No final do cap´ıtulo alguns métodos para a gera¸cão de fun¸cões de Liapunov são apresentados assim como exemplos aplicando os métodos. A questão da determina¸cão de dom´ınios de estabilidade também é abordada.

3.2 Defini¸

c˜

oes de estabilidade

Nesta se¸cào são apresentadas as defini¸cões de estabilidade no sentido de Lyapunov. No desenvolvimento a seguir será considerado que 0 é o ponto de equil´ıbrio, o que sempre pode ser feito com uma mudan¸ca de referência.

Defini¸cão 2 O ponto de equil´ıbrio 0 é estável se, dado um ǫ > 0, existe um δ(ǫ) tal que para qualquer condi¸cão inicial ||x(t0|| < δ(ǫ) tem-se que ||x(t, x0|| < ǫ.

A Figura 3.1 ilustra esta defini¸c˜ao no plano de fase 3.1(a) e a trajet´oria 3.1(b).

δ ǫ x(0) xe

(a) Espa¸co de es-tado δ ǫ x0 _t x2 x1 (b) Resposta no tempo

Figura 3.1: Ponto de equil´ıbrio estável Um ponto de equil´ıbrio é instável se ele não for estável.

Analisando esta defini¸cão concluimos que o ponto de equil´ıbrio estável implica que a trajetória não se afastará do ponto de equil´ıbrio mas também não precisará retornar ao mesmo. Em muitas aplica¸cões a trajetória deve retornar ao ponto de equil´ıbrio.

Defini¸cão 3 O ponto de equil´ıbrio 0 é assintóticamente estável se as duas condi¸cões seguintes forem atendidas:

1. ele ´e est´avel

2. ||x(t, x0)|| → 0 quando t → ∞.

A Figura 3.2 ilustra esta defini¸c˜ao no plano de fase 3.2(a) e a trajet´oria 3.2(b).

Os conceitos de estabilidade vistos até aqui são essencialmente conceitos locais. Para um sistema com vários pontos de equil´ıbrio cada ponto de equil´ıbrio terá uma condi¸cão de estabilidade. Porisso fala-se da estabilidade de pontos de equil´ıbrio e não da estabilidade de sistemas. Um conceito global de estabilidade será visto mais adiante com a defini¸cão de estabilidade assintótica global.

Defini¸cão 4 O ponto de equil´ıbrio 0 é assintóticamente estável globalmente se ele for assintóticamente estável para qualquer x0 ∈ Rn.

Observa¸cão 1 Todas as defini¸cões acima podem ser estendidas para sistemas não-autônomos. Consulte, por exemplo, as referências

(23)

EEL-UFSC 19

ǫ δ xe

x(0)

(a) Espa¸co de es-tado δ ǫ x0 _t x2 x1 (b) Resposta no tempo

Figura 3.2: Ponto de equil´ıbrio assint´oticamente est´avel

3.3 Fun¸

c˜

oes definidas em sinal

Nesta se¸cão apresentaremos a defini¸cào de fun¸cões de sinal definido, que serão usadas nos teoremas de estabilidade de Lyapunov.

Defini¸cão 5 Uma fun¸cão V (x) é definida positiva localmente em uma vizinhan¸ca ω da origem se ela é definida e cont´ınua em ω, V (0) = 0 e V (x) > 0 para x 6= 0 e x ∈ ω.

Exemplo 3.3.1 A fun¸cão V (x) = x2₁ + x2₂ é definida positiva. Esta fun¸cão é representada na Fi-gura 3.3(a).

x1

x2

V(x)

(a) Fun¸c˜ao definida postiva

x1

x2

V(x)

(b) Fun¸c˜ao definida negativa

Figura 3.3: Fun¸c˜oes definidadas em sinal

Defini¸cão 6 Uma fun¸cão V (x) é definida negativa localmente em uma vizinhan¸ca ω da origem se ela é definida e cont´ınua em ω, V (0) = 0 e V (x) < 0 para x 6= 0 e x ∈ ω.

Exemplo 3.3.2 A fun¸cão V (x) = −(x2₁+ x2₂) é definida negativa. Esta fun¸cão é representada na Fi-gura 3.3(b).

As defini¸cões seguintes introduzem a idéia de fun¸cões semi-definidas em sinal, que tornam menos severas as exigências de sinal na vizinhan¸ca permitindo que as fun¸cões sejam zero ao invés de estritamente positivas ou negativas.

(24)

Defini¸cão 7 Uma fun¸cão V (x) é semi-definida positiva localmente em uma vizinhan¸ca ω da origem se ela é definida e cont´ınua em ω, V (0) = 0 e V (x) ≥ 0 para x 6= 0 e x ∈ ω.

Exemplo 3.3.3 A fun¸cão V (x) = x2₁ é semi-definida positiva. Para qualquer x = [0 x2]T a fun¸cão é zero. Esta fun¸cão é representada na Figura 3.4(a).

x1

V(x)

x2

(a) Fun¸c˜ao semi-definida positiva

x2

V(x)

x1

(b) Fun¸c˜ao semi-definida negativa

Figura 3.4: Fun¸c˜oes semi-definidas

Defini¸cão 8 Uma fun¸cão V (x) é semi-definida negativa localmente em uma vizinhan¸ca ω da origem se ela é definida e cont´ınua em ω, V (0) = 0 e V (x) ≤ 0 para x 6= 0 e x ∈ ω.

Exemplo 3.3.4 A fun¸cão V (x) = −x2₁ é semi-definida negativa. Para qualquer x = [0 x2] a fun¸cão é zero. Esta fun¸cão é representada na Figura 3.4(b).

3.4 Teoremas de estabilidade

Nesta se¸cão são apresentados os teoremas que fundamentam a teoria de estabilidade Liapunov. É impor-tante novamente ressaltar que abordaremos apenas o caso de sistemas autônomos mas a teoria é geral e não se limita a este tipo de sistema. Não serão apresentadas demonstra¸cões para estes teoremas, mas estas podem ser encontradas em muitas referências.

Teorema 3.1 Seja o sistema 3.1.1. Se em uma vizinhan¸ca U do ponto de equil´ıbrio 0 existe uma fun¸c˜ao escalar V (x) com as primeiras derivadas parciais cont´ınuas e tal que

1. V (x) é definida positiva em U 2. V (x) é semi-definida negativa em U˙ então o ponto de equil´ıbrio 0 é estável.

Esta teorema apenas assegura a estatabilidade do ponto de equil´ıbrio, mas não assegura que a tra-jetória retorna ao ponto de equil´ıbrio, ou seja, que a estabilidade é ass´ıntótica. Isto é assegurado pelo próximo teorema.

1. V (x) ´e definida positiva em U 2. ˙V (x) definida negativa em U

(25)

EEL-UFSC 21

então o ponto de equil´ıbrio 0 é assintóticamente estável.

O próximo teorema fornece as condi¸cões para determinar se o ponto de equil´ıbrio é instável.

1. V (x) é definida positiva em U 2. ˙V (x) definida positiva em U então o ponto de equil´ıbrio 0 é instável.

Os teoremas apresentados indicam apenas a estabilidade local do ponto de equil´ıbrio. O teorema seguinte apresenta as condi¸c˜oes para a estabilidade global.

Teorema 3.4 Seja o sistema 3.1.1. Se existe uma fun¸c˜ao escalar V (x) com as primeiras derivadas parciais cont´ınuas e tal que

1. V (x) ´e definida positiva 2. ˙V (x) definida negativa 3. V (x) → ∞ quando ||x|| → ∞

então o ponto de equil´ıbrio 0 é globalmente assintóticamente estável.

Neste caso qualquer que seja a condi¸cão inicial, a trajetória retornará ao ponto de equil´ıbrio.

As condi¸cões de estabilidade assintótica local ou global exigem que a derivada da fun¸cão V (x) seja˙ definida negativa. No entanto, um resultado devido a LaSalle permite que, com algumas restri¸cões adicionais, a fun¸cão precise ser apenas semi-definida negativa.

Teorema 3.5 Seja o sistema 3.1.1, com f cont´ınua, e seja V (x) uma fun¸c˜ao escalar com as primeiras derivadas parciais cont´ınuas e tal que em uma vizinhan¸ca U da origem se tenha

1. V (x) ´e definida positiva localmente 2. ˙V (x) ´e semi-definida negativa

3. o conjunto R definido por ˙V (x) = 0 não contem nenhuma trajetória de 3.1.1 além da trajetória trivial x ≡ 0

então o ponto de equil´ıbrio 0 é assintóticamente estável.

Uma versão deste teorema existe também para a estabilidade assintótica global, mas não será apre-sentado aqui.

Observa¸cão 2 Uma fun¸cão V (x) a ser considerada para testar a estabilidade de um um ponto de equil´ıbrio é chamada uma fun¸cão candidata de Lyapunov. Se esta fun¸cão comprova a estabilidade do ponto de equil´ıbrio ela é chamada de fun¸cão de Liapunov. Na continua¸cão deste texto usaremos comu-mente fun¸cão de Lyapunov sem distinguir os casos anteriores.

Observa¸cão 3 É interessante notar que os teoremas não indicam como a fun¸cão V (x) pode ser determi-nada. Este é um problema apresentado pelo método mas em alguns caso pode-se seguir um procedimento sistemático para construir tais fun¸cões.

(26)

Observa¸cão 4 Uma vez que tenhamos determinado que um ponto de equil´ıbrio é assintóticamente estável, só sabemos que existe uma vizinhan¸ca deste ponto para a qual trajetórias que partem desta vizinhan¸ca retornam ao ponto de equil´ıbrio. Seria muito útil se o conjunto de todas as condi¸cões iniciais para as quais a trajetória volta ao ponto de equil´ıbrio pudesse ser determinado. Uma estimativa deste conjunto pode realmente ser conseguida usando fun¸cões de Lyapunov como será visto na próxima se¸cão.

A esta altura é conveniente analisarmos melhor o significado da derivada da fun¸cão V (x). Esta é uma fun¸cão escalar (o valor de V (x) ∈ ℜ) de várias variáveis (o vetor x = [x1 x2· · · xn]T). Para calcular a derivada devemos então fazer

V (x) dt = ∂V (x) ∂x1 ˙ x1+ ∂V (x) ∂x2 ˙ x2+ · · · + ∂V (x) ∂xn ˙ xn (3.4.1) ou ainda V (x) dt = ∂V (x) ∂x1 ∂V (x) ∂x2 · · · + ∂V (x) ∂xn      ˙ x1 ˙ x1 .. . ˙ x1      (3.4.2)

Considerando que o gradiente de V (x), ´e dado por ∇V (x) = ∂V (x) ∂x1 ∂V (x) ∂x2 · · · +∂V (x) ∂xn ]T

e a Equa¸c˜ao 3.1.1 tem-se que

˙

V (x) = ∇TV (x) . f (x) (3.4.3)

ou seja, oa derivada de V (x) ´e o produto escalar do gradiente de V (x) com o campo vetorial.

A Equa¸cão 3.4.3 indica que estamos calculando a derivada de V (x) ao longo das trajetórias do sistema 3.1.1, o que é mostrado pelo fato de termos usado o vetor f no calculo desta derivada. A derivada de uma fun¸cão escalar em uma dire¸cão (aqui a dire¸cão dada pelo campo vetorial) é chamada derivada de Lie.

A Equa¸cão 3.4.3 permite ainda uma interpreta¸cão do significado do método de Lyapunov. Lembrando que o gradiente dá a dire¸cão de máximo crescimento da fun¸cão em cada ponto, ele será perpendicular `

as curvas de n´ıvel da fun¸cão V (x). Lembrando ainda que o produto escalar é negativo se o ângulo entre os dois vetores é maior do que 90◦_{, a derivada da fun¸c˜}_{ao ser´}_{a negativa se o campo vetorial (tangente `}_as trajetórias) ëntrar¨ na curva de n´ıvel de V (x) da dire¸cão de curvas de n´ıvel de menores valores.

A seguir analisaremos alguns exemplos de aplica¸c˜ao do m´etodo de Lyapunov. Exemplo 3.4.1 Seja o sistema linear dado por

˙x1 = x2 (3.4.4)

˙x2 = −x1 (3.4.5)

O ponto de equil´ıbrio ´e dado por [0 0]T_{, ou seja ´e a pr´}_{opria origem.}

Temos que procurar uma candidata à fun¸cão de Lyapunov, o que não é uma tarefa simples. Uma boa tentativa é uma fun¸cão quadrática dada por

V (x) = x2₁+ x2₂ (3.4.6)

Esta fun¸c˜ao atende aos requisitos para ser uma fun¸c˜ao de Lyapunov

V (0) = 0 (3.4.7)

(27)

EEL-UFSC 23

A derivada em rela¸cão ao tempo desta fun¸cão é calculada por 3.4.3 ˙ V (x) = ∂V ∂ x1 d x1 d t + ∂V ∂ x2 d x2 d t = 2 x1x˙1+ 2 x2x˙2 Substituindo-se as derivadas ˙x1 e ˙x2 obtidas do sistema 3.4.5 obtem-se

˙

V (x) = 2 x1x2− 2 x2x1 = 0

Portanto a origem é um ponto de equil´ıbrio estável. Observe que não é poss´ıvel concluir sobre a estabilidade assintótica já que a derivada de V (x) é apenas semi-definida negativa.

Exemplo 3.4.2 Seja o sistema

˙x1 = x1(x21+ x22− 1) − x2 (3.4.9) ˙x2 = x1+ x2(x21+ x22− 1) (3.4.10) A origem é um ponto de equil´ıbrio deste sistema. Vamos analisar a sua estabilidade. Novamente a fun¸cão quadrática

V (x) = x2₁+ x2₂ ser´a considerada para esta an´alise.

A derivada em rela¸cão ao tempo desta fun¸cão é ˙

V (x) = 2 (x2₁+ x2₂) (x2₁+ x2₂− 1)

Pode-se facilmente verificar que para uma vizinhan¸ca da origem esta fun¸cão é definida negativa. Esta vizinhan¸ca é dada por x ∈ x2₁+ x2₂ < 1. esta fun¸cão é definida negativa

Portanto 0 ´e assintoticamente est´avel.

Exemplo 3.4.3 Neste exemplo vamos usar o teorema de LaSalle para provar a estabilidade assint´otica de um ponto de equil´ıbrio.

Seja o sistema dado por

˙δ = ω (3.4.11)

˙ω = 1

M (Pm− Pmaxsen δ) − D

M ω (3.4.12)

Estas equa¸cões descrevem o comportamento de uma máquina s´ıncrona conectada a uma barra infinita, como visto no Cap´ıtulo 1. O objetivo é estudar a estabilidade do ponto de equil´ıbrio dado por [δe _0]T_.

Uma candidata para fun¸c˜ao de Lyapunov deste sistema ´e V (x) = 1

M M ω 2₋Z δ

δe

(Pm− Pmaxsen delta) dδ (3.4.13) Esta fun¸cão é do tipo energia e corresponde à soma da energia cinética e potencial da máquina. A fun¸cão 3.4.13 pode ainda ser escrita como

V (x) = 1 M M ω 2₋Pm M (δ − δ e_{) +}Pmax M (cos δ − cos δ e₎ _(3.4.14) Calculando-se ˙V (x) tem-se ˙ V (x) = −D ω2 (3.4.15)

Portanto a fun¸cão é apenas semi-definida negativa o que permite apenas concluir a estabilidade do ponto de equilibrio. No entanto, a fun¸cão é zero no eixo horizontal dado por omega = 0. Se uma trajetória atingir este eixo, da equa¸cão 3.4.12 verifica-se que ˙δ = 0, mas ˙ω 6= 0, e portanto a trajetória cruza este eixo. Somente no ponto de equil´ıbrio tem-se ˙ω = 0. Usando-se o teorema de LaSalle conclui-se que o ponto de equil´ıbrio é assintoticamente estável.

(28)

3.4.1 Regi˜ao de atra¸c˜ao

Os resultados anteriores permitiram determinar se um ponto de equil´ıbrio é assintoticamente estável, como ilustrado pelos exemplos apresentados. Se o ponto de equil´ıbrio é assintoticamente estável, isto apenas assegura que existe uma vizinhan¸ca do ponto de equil´ıbrio, que pode ser muito pequena, onde as trajetórias que se originam dentro desta vizinhan¸ca retornam ao ponto de equil´ıbrio. Uma questão importante nas aplica¸cões é saber qual o conjunto de condi¸cões iniciais para as quais as trajetórias retornam para o ponto de equil´ıbrio. Este conjunto constitui o dom´ınio de atra¸cão do sistema.

O seguinte teorema dá algumas propriedades da região de atr¸cão.

Teorema 3.6 Se x = 0 é uma ponto de equil´ıbrio estável assintoticamente de 3.1.1 então seu dom´ınio de atra¸cão é um conjunto aberto invariante e a fronteira deste conjunto é formado por trajetórias do sistema 3.1.1.

A determina¸cão do dom´ınio de atra¸cão exato de um sistema não é fácil. Simula¸cão pode ser usada para determinar este dom´ınio. Determina¸cão anal´ıtica do dom´ınio de atra¸cão só é poss´ıvel para alguns sistemas simples. Mas pode-se obter uma estimativa do dom´ınio de atra¸cão usando fun¸cões de Lyapunov.

O seguinte teorema permite estimar o dom´ınio de atra¸c˜ao.

Teorema 3.7 Seja V (x) uma fun¸cão escalar e D ∈ ℜnum conjunto aberto e suponha que U = x / V (x) < K com U ⊂ D, é um conjunto compacto (limitado e aberto). Seja ˙V (x) a derivada de V (x) ao longo das trajetórias de ??, e 0 ∈ U um ponto de equil´ıbrio de ??. Se

• V (0) = 0

• V (x) > 0 para x 6= 0, x ∈ U • ˙V (x) < 0 para x 6= 0, x ∈ U • ˙V (x) = 0 para x = 0

então a origem é um ponto de equil´ıbrio assintoticamente estável e todas as trajetórias que partem de U convergem para a origem quando t → ∞.

O teorema pode ser usado para estimar o dom´ınio de atra¸c˜ao como indicado na Figura 3.5.

˙ V(x) > 0 ˙ V(x) = 0 ˙ V(x) < 0 V(x) = K Limite da regi˜ao de atra¸c˜ao

Figura 3.5: Dom´ınio de atra¸c˜ao

Nesta figura o conjunto ˙V (x) = 0 separa o D em duas regiões, uma em que ˙V (x) < 0 e outra em que ˙V (x) > 0. A maior curva de n´ıvel de V (x) na região onde ˙V (x) < 0 corresponde ao conjunto U e é uma estimativa do dom´ınio de atra¸cão. Note que poderia se pensar que todo o conjunto onde V (x) > 0 e

˙

V (x) < 0 pertence ao dom´ınio de atra¸cão, mas isto não é verdade. Uma trajetória que parte de um ponto externo à eqüipotencial V (x) = K, mesmo com ˙V (x) < 0 pode se deslocar para a região onde ˙V (x) > 0. Isto não ocorrerá para uma trajetória que parta de um ponto que esteja no interior da eqüipotencial, pois, como a derivada de V (x) é negativa, a trajetória tenderá a eqüipotenciais de menor valor, até o ponto de equil´ıbrio.

(29)

EEL-UFSC 25

3.5 M´

etodos para a constru¸

c˜

ao de fun¸

c˜

oes de Lyapunov

O método de Lyapunov não indica como fun¸cões que provem a estabilidade ou não do ponto de equil´ıbrio podem ser construidas. As fun¸cões não são únicas e distintas fun¸cões podem ser fun¸cões de Lyapunov para um ponto de equil´ıbrio. Na literatura vários métodos foram desenvolvidos para permitir uma procura sistemática por fun¸cões de Lyapunov. Aqui, apenas dois métodos são apresentados visando dar uma idéia de tais métodos. Uma consulta à literatura é recomendável para ser ter uma visão mais completa dos métodos dispon´ıveis.

3.5.1 M´etodo de Krasovskii Seja o sistema dado por

˙x = f (x) (3.5.1)

com f (0) = 0, ou seja, a origem ´e o ponto de equil´ıbrio de interesse. Seja a candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov

V = fT P f (3.5.2)

onde P é simétrica definida positiva. A derivada de V é dada por

˙ V = ˙fT_{P f} _{+ f}T _{P ˙f} _(3.5.3) Desde que ˙f = ∂f ∂x ∂x ∂t (3.5.4)

e denotando por J a matriz jacobiana, ou seja, J = ∂f

∂x chega-se a ˙ V = fTJTP f + fT P J f (3.5.5) = fT(JT P+ P J) f (3.5.6) Seja a matriz Q= JT P+ P J (3.5.7)

Se condi¸cões puderem ser impostas para garantir que Q é definida negativa (ou semi-definida negativa) e desde que V é definida positiva (pois é quadrática e P é definida positiva, então V será uma fun¸cão de Lyapunov para a estabilidade da origem de 3.5.1

Exemplo 3.5.1

3.5.2 Fun¸c˜oes tipo Lur’e

Um problema que originou muitos trabalhos, foi a questão da estabilidade de um sistema linear, dado por uma fun¸cão de transferência G(s), com uma realimenta¸cão não-linear f (.), como mostrado na Figura ??. A fun¸cão não-linear f (.) atende a uma condi¸cào de setor como mostrado na Figura ??.

O sistema ´e descrito pelas equa¸c˜oes

˙x = A x − f (σ) (3.5.8)

σ = cT x (3.5.9)

Este problema gerou uma série de trabalhos e Lur’e demonstrou que uma candidata a fun¸cão de Lyapunov para esta classe de sistemas é dada pela soma de uma fun¸cão quadrática e a integral da não-linearidade:

V (x) = xT P x+ Z σ

0

f (σ) dσ (3.5.10)

O teorema de Kalman-Yakubovich permite determinar a matriz P. Com isto uma candidata a fun¸cão de Lyapunov pode ser determinada, mas não avan¸caremos além deste ponto.

(30)

3.6 Aplica¸

c˜

oes do m´

etodo de Lyapunov

O método de Lyapunov constitui um dos fundamentos da teoria da estabilidade de sistemas dinâmicos e é uma ferramente útil em muitas casos para demonstrar a estabilidade de pontos de equilibrio e estimar dom´ınios de estabilidade além de ser uma importante ferramenta teórica usada para derivar resultados.

Nesta se¸cão daremos alguns exemplos do uso imediato do método de Lyapunov como ferramenta de análise de sistemas em engenharia e inclusive sintese de controladores.

3.6.1 Estabilidade transit´oria de sistemas el´etricos

O ponto de equil´ıbrio de um sistema elétrico pode ser estável mas o sistema quando sujeito a uma grande perturba¸cão, um curto-circuito por exemplo, pode ser instável. Um sistema elétrico pode estar sujeito a muitas perturba¸cões (falta é o termo técnico usado na área), como curto-circuitos, perdas de linhas e perda de gera¸cão. Para a opera¸cão segura do sistema, deve-se verificar se estas faltas causam a perda da estabilidade do sistema, para que a¸cões possam ser tomadas de modo a evitar esta condi¸cão. Usualmente esta verifica¸cão é feita através da simula¸cão do sistema para cada poss´ıvel falta cr´ıtica. Isto envolve um grande número de simula¸cões já que em grandes sistemas milhares de poss´ıveis faltas devem ser consideradas. Além do tempo computacional envolvido as curvas resultantes de cada simula¸cão devem ser analisadas para verificar se realmente indicam instabilidade.

O problema da estabilidade transitória pode ser analisado facilmente pelo método direto de Lyapunov. O que realmente estamos querendo saber é se o estado do sistema, após a retirada da falta, pertence ao dom´ınio de atra¸cão do ponto de equil´ıbrio pós-falta. Este ponto de equil´ıbrio pode ser diferente do pontos antes da falta (ponto de equil´ıbrio pré-falta), por exemplo, no caso em que há uma mudan¸ca de topologia como conseqüência da perda de uma linha.

Poder´ıamos então resolver o problema de estabilidade transitória seguindo o seguinte procedimento. 1. Estimar o dom´ınio de atra¸cão de um ponto de equil´ıbrio pós-falta.

2. Simular o sistema sob falta desde o ponto de equil´ıbrio pré-falta até o instante em que a falta é retirada. Este último é o estado do sistema pós=falta.

3. Verificar se o estado do sistema pós-falta pertence ao dom´ınio de atra¸cão estimado do ponto de equil´ıbrio pós-falta.

4. Se o estado pós-falta pertence à estimativa do dom´ınio de atra¸cão, o sistema é estável. Caso contrário nada se pode afirmar, já que não se tem o dom´ınio exato de atra¸cão e portanto o sistema ainda pode ser estável. Neste caso deve-se simular o sistema para verificar se o mesmo é estável ou instável.

O método apresentado permite uma filtragem, identificando os casos que são realmente estáveis e separando-os daqueles que necessitam ser simulados. Isto pode representar uma considerável redu¸cão do esfor¸co de análise da estabilidade transitória.

Muitas vezes o problema é saber que o máximo tempo que uma falta pode permanecer no sistema sem que haja perda da estabilidade transitória. Um curto-circuito, por exemplo, pode permancer por algum tempo antes de ser isolado. O mesmo procedimento anterior pode ser usado neste caso. A única diferen¸ca é que o sistema sob falta seria simulado até o momento em que a fronteira do dom´ınio de atra¸cão estimado. O tempo correspondente é o tempo cr´ıtico de retirada da falta. No caso de um curto-circuito, este seria o tempo em que o curto-circuito deveria ser retirado. Assim o método pode ser usado para ajuste das prote¸cões do sistema.

Os grandes obstáculos ao amplo uso desta abordagem em sistemas reais são a necessidade de usar modelos simplificados do sistema para tornar nfacilitar a determina¸cao de uma fun¸cão de Lyapunov e a dificuldade de conseguir estimativas do dom´ınio de atra¸cão que não sejam muito pessimistas com rela¸cão ao dom´ınio exato de atra¸cão do sistema.

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EEL-UFSC 27

Como a estabilidade transitória de sistemas de potência envolve um horizonte de tempo bastante curto, em geral da ordem de 1 segundo, a modelagem simplificada é em geral satisfatória. Mesmo assim a presen¸ca atualmente no sistema de equipamentos rápidos que influenciam a estabilidade transitória pode tornar necessária a modelagem de tais equipamentos. A simpifica¸cão do modelo da rede também tem sido usada e isto pode levar a resultados conservadores (pessimistas).

O problema de determinar uma melhor estimativa do dom´ınio de atra¸cão é mais complexo. Métodos aproximados tem sido usados que conduzem a bons resultados. Ainda assim este ainda é um problema em aberto, que é objeto de pesquisa.

Na UFSC foi desenvolvido o programa SLEP, para análise da estabilidade transitória de sistemas elétricos. Este programa foi usado na análise do sistema interligado brasileiro, permitindo filtrar um grande número de contingências estáveis.

Exerc´ıcios

1. Considere o sistema ˙˙ x − 0, 1 −10 3 ˙x ˙x ˙x + x + x2= 10 (3.6.1)

• Encontre os pontos de equil´ıbrio. • Estude a estabilidade de cada um deles. 2. Considere o sistema descrito por

˙

x1 = x2− a(x21+ x22) (3.6.2)

˙

x2 = −x1− a x2(x21+ x22 (3.6.3) com a > 0. Use V (x) = x2₁+ x2₂ como candidata à fun¸cão de Lyapunov e verifique se a origem é assintoticamente estável.

3. Considere o sistema: ˙ x1 = x2− 3 x3− x1(x2− 2 x3)2 (3.6.4) ˙ x2 = −2 x1+ 2 x3− x2(x1+ x3)2 (3.6.5) ˙ x3 = 2 x1− x2− x3 (3.6.6)

Verifique ´e a fun¸c˜ao V (x) = 2 x2

1+x22+3 x23é uma fun¸cão de Lyapunov para a análise da estabilidade da origem deste sistema.

4. Considere o sistema dado por

˙

x1 = −3 x2− x1+ x31 (3.6.7)

˙

x2 = −2x2+ x1− x31 (3.6.8)

Escolha V (x) = 2 x2₁− 2 x1x2+ 3 x22 e determine uma estimativa da regi˜ao de atra¸c˜ao para a origem. 5. Seja o sistema

˙

x1 = x2 (3.6.9)

˙

x2 = −2 b x1− a x2− 3 x21 (3.6.10) • Determine os pontos de equil´ıbrio.

• Examine a estabilidade da origem usando V (x) = b x2

1+ x31+ x2₂

2 como candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov.

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• Determine uma estimativa da regi˜ao de atra¸c˜ao para a origem. 6. Considere o sistema dado por

˙

x1 = −x1+ x22 (3.6.11)

˙

x2 = −x2+ x22 (3.6.12)

• Determine os pontos de equil´ıbrio.

• Verifique se V (x) = x2₁+x2₂é uma fun¸cão de Lyapunov para este sistema e estude a estabilidade da origem. Se esta for estável estime a região de atra¸cão.

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