Simulação tridimensional adaptativa da instabilidade de Kelvin-Helmholtz usando as equações do Modelo H

(1)

Simula¸

c˜

ao tridimensional adaptativa da instabilidade de

Kelvin-Helmholtz usando as equa¸

c˜

oes do Modelo H

∗

Rudimar L. N´os

Departamento Acadˆemico de Matem´atica, UTFPR, 80230-901, Curitiba, PR E-mail: rudimarnos@gmail.com

Hector D. Ceniceros

Department of Mathematics, UCSB, 93106, Santa Barbara, CA E-mail: hdc@math.ucsb.edu

Alexandre M. Roma

Departamento de Matem´atica Aplicada, IME, USP, 05311-970, S˜ao Paulo, SP E-mail: roma@ime.usp.br

Resumo: _{A instabilidade de Kelvin-Helmholtz ´}_{e uma das instabilidades fundamentais de} flui-dos incompress´ıveis e ocorre em um escoamento cisalhante entre dois fluiflui-dos imisc´ıveis. O movimento da superf´ıcie livre que separa os dois fluidos cisalhantes é controlado dinamicamente pelos efeitos da tensão superficial e da viscosidade. A investiga¸cão dessa dinâmica é de interesse cient´ıfico e prático. Por exemplo, misturas nos oceanos e na atmosfera são induzidas por insta-bilidades do tipo Kelvin-Helmholtz, as quais podem conduzir o escoamento ao regime turbulento. Simulamos computacionalmente a instabilidade de Kelvin-Helmholtz empregando um modelo de campo de fase para um fluido incompress´ıvel de densidade constante e viscosidade variável, co-nhecido como Modelo H, e uma metodologia tridimensional completamente adaptativa.

Palavras-chave: _{Instabilidade de Kelvin-Helmholtz, Modelo H, M´}_{etodos Semi-impl´ıcitos}

1 Introdu¸

c˜

ao

Os modelos de campo de fase constituem uma classe particular dos modelos de interface difusiva. Nesses modelos, as transi¸cões abruptas nas interfaces entre os diferentes fluidos são substitu´ıdas por camadas delgadas nas quais as for¸cas interfaciais são distribu´ıdas suavemente. A idéia básica é introduzir um parâmetro de ordem ou campo de fase φ que descreve em cada instante o estado do fluido. Esse parâmetro de ordem varia continuamente sobre as finas camadas interfaciais, tornando-se mais uniforme no interior das fases.

A metodologia numérica aplicada à solu¸cão das equa¸cões do Modelo H [2, 3, 4, 5, 7, 10] consiste no uso de uma discretiza¸cão temporal linear semi-impl´ıcita de segunda ordem e de uma acurada discretiza¸cão espacial em malhas refinadas localmente que se adaptam dinamica-mente para recobrir a interface de transi¸cão. Na discretiza¸cão temporal, aplicamos o método de extrapola¸cão de Gear com coeficientes variáveis no tempo e os sistemas lineares provenien-tes da discretiza¸cão são solucionados com técnicas multin´ıvel-multigrid. Quanto à discretiza¸cão do dom´ınio, utilizamos o refinamento local adaptativo introduzido por Berger [3] na solu¸cão numérica de equa¸cões diferenciais parciais hiperbólicas.

∗_{Parte desta pesquisa foi financiada pelo CNPq, pela National Science Foundation (projeto DMS 0609996) e}

(2)

2 Modelo matem´

atico

O Modelo H acopla as equa¸c˜oes de Cahn-Hilliard [4, 5, 10] e de Navier-Stokes [4, 10] atrav´es de uma for¸ca de superf´ıcie dependente do campo de fase φ:

∂φ ∂t + u · ∇φ = ∇ · [M(φ)∇µ(φ)] , µ(φ) = δH[φ] δφ(x), H[φ] = Z Ω 1 2α|∇φ(x)| 2 + βf (φ(x)) dx, (1) ρ ∂u ∂t + u · ∇u = −∇p + ∇ ·η(φ)(∇u + ∇uT₎_{+ µ(φ)∇φ,} ₍₂₎ ∇ · u = 0, (3)

sendo M (φ) a mobilidade ou coeficiente Onsager, µ(φ) o potencial qu´ımico, α e β constantes, ρ a densidade (constante), p a press˜ao, η(φ) a viscosidade e u o campo de velocidade.

Adimensionalizamos as equa¸c˜oes do Modelo H (1)-(3) com as vari´aveis

u′₌ u Uc , t′ ₌ t Tc , x′ ₌ x Lc , p′ ₌ pLc ηcUc , (4)

sendo Lc, Uc, Tc e ηc o comprimento, a velocidade, o tempo e a viscosidade caracter´ısticas,

respectivamente. Selecionamos Lc como o comprimento horizontal do dom´ınio do escoamento e

Uc como a velocidade de cisalhamento. Definindo Tc = Lc/Uc e suprimindo as aspas, obtemos

as equa¸c˜oes do Modelo H adimensionalizadas [4, 10]: ∂φ ∂t + u · ∇φ = 1 P e∇ · [M(φ)∇µ(φ)] , (5) Re ∂u ∂t + u · ∇u = −∇p + ∇ ·η(φ)(∇u + ∇uT_{) +} 1 Caµ(φ)∇φ, (6) ∇ · u = 0, (7)

onde agora η(φ) e M (φ) s˜ao normalizadas pela viscosidade caracter´ıstica e pela mobilidade caracter´ıstica, respectivamente.

Os grupos adimensionais usados em (5)-(7) são o número de Reynolds, o número capilar e o número de Péclet, dados por

Re = ρUcLc ηc , Ca = ηcUc βLc , P e = UcLc Mcβ , (8)

respectivamente. O número de Reynolds Re é a razão entre as for¸cas inerciais e viscosas; o número capilar Ca fornece uma medida da magnitude relativa das for¸cas viscosas e capilares (ou de tensão superficial) na interface; o número de Péclet P e é a razão entre as escalas temporais difusiva e convectiva.

Reescrevemos o n´umero capilar Ca como Ca = 2√₃2KCa∗_{, sendo K o n´}_{umero de Cahn, uma}

medida relativa da espessura da interface de transi¸c˜ao, Ca∗ _{= η}

cUc/σ o n´umero capilar usual e

σ a tens˜ao superficial.

O potencial qu´ımico adimensional ´e dado por µ(φ) = φ3

− φ − K2

∇2_{φ e consideramos a}

viscosidade η como uma fun¸cão linear do campo de fase φ, ou seja, η(φ) = λ−1₂ φ + λ+1₂ , onde λ = η+/η₋ (η₋ ≤ η ≤ η+ e ηc = η−) é a razão de viscosidade.

3 Metodologia num´

erica

Adotamos o esquema temporal semi-impl´ıcito utilizado por Badalassi et al. [2] e uma discretiza¸cão tridimensional adaptativa para as equa¸cões do Modelo H. A discretiza¸cão espacial [4, 10] é uma extensão da discretiza¸cão bidimensional adaptativa para a equa¸cão de Cahn-Hilliard empregada por Ceniceros e Roma [5].

(3)

3.1 Discretiza¸c˜ao temporal

Considerando ϕ1 = φ, reescrevemos as equa¸c˜oes do Modelo H (5)-(7) como

∂ϕ1 ∂t = 1 P e∇ 2 ϕ2+ g1(ϕ1, ϕ2, u), (9) ϕ2= τ ϕ1− K2∇2ϕ1, (10) ∂u ∂t = − 1 Re∇p + ¯ η Re∇ 2_u₊ 1 Re Caµ(ϕ1, ϕ2)∇ϕ1+ g2(ϕ1, u), (11) ∇ · u = 0, (12) onde τ e ¯η s˜ao constantes e g1(ϕ1, ϕ2, u) = 1 P e∇ 2 µ(ϕ1, ϕ2) − 1 P e∇ 2 ϕ2− u · ∇ϕ1, (13) g2(ϕ1, u) = 1 Re∇ ·η(ϕ1)(∇u + ∇u T₎₋ η¯ Re∇ 2_u − u · ∇u, (14) µ(ϕ1, ϕ2) = ϕ31− (1 + τ)ϕ1+ ϕ2. (15)

Na estrat´egia semi-impl´ıcita, os termos g1 e g2 s˜ao tratados explicitamente, enquanto que os

demais termos do lado direito de (9)-(11) são tratados implicitamente. Empregamos o método de extrapola¸cão de Gear de segunda ordem com coeficientes variáveis no tempo [4, 5, 10]. Assim, o esquema semi-impl´ıcito para o Modelo H é dado por

α2ϕn+11 + α1ϕn1 + α0ϕn−11 ∆t = 1 P e∇ 2_ϕn+1 2 + β1g1(ϕn1, ϕn2, un) + β0g1(ϕn−11 , ϕn−12 , un−1), (16) ϕn+12 = τ ϕn+11 − K 2 ∇2ϕn+11 , (17) α2un+1+ α1un+ α0un−1 ∆t = − 1 Re∇p n+1₊ η¯ Re∇ 2_un+1 + 1 Re Caµ(ϕ n+1 1 , ϕn+12 )∇ϕn+11 + β1g2(ϕn1, un) + β0g2(ϕn−11 , un−1), (18) ∇ · un+1 = 0, (19) onde α0 = ∆t2/(∆t0∆t1), α1 = −∆t1/∆t0, α2 = (∆t0+ 2∆t)/∆t1, β0 = −∆t/∆t0 e β1 =

∆t1/∆t0, com ∆t = tn+1− tn, ∆t0 = tn− tn−1 e ∆t1 = ∆t0 + ∆t. Para um passo temporal

constante, os coeficientes αs e βs assumem seus valores usuais [4, 5, 10].

A estabilidade para a discretiza¸c˜ao semi-impl´ıcita descrita anteriormente foi analisada re-centemente por Xu e Tang [11] e os valores que usamos para os parˆametros de estabilidade τ e

¯

η concordam com os preditos em [11].

Em (16)-(19), o campo de fase é atualizado pela solu¸cão de (16)-(17); já o campo de veloci-dade é atualizado com o emprego de um método de proje¸cão [4, 10] para solucionar (18)-(19). Para iniciar o método de extrapola¸cão de Gear utilizamos o método de Euler semi-impl´ıcito.

3.2 Discretiza¸c˜ao espacial adaptativa

O dom´ınio computacional ´e um paralelep´ıpedo Ω = [A1, B1] × [A2, B2] × [A3, B3]. Usamos

uma malha composta, isto é, refinada localmente, para solucionar eficientemente a fina camada de transi¸cão da solu¸cão. A malha composta é bloco estruturada e definida como uma sequência hierárquica de n´ıveis aninhados progressivamente mais finos [5]. A razão de refinamento entre dois n´ıveis sucessivos é dois. A malha composta é substitu´ıda dinamicamente para assegurar que a região de transi¸cão seja recoberta com o n´ıvel mais fino durante todo tempo. A remalhagem é acionada após um certo número de passos no tempo para adequar a malha composta [5, 10].

(4)

Para recobrir eficientemente a camada interfacial, marcamos para o refinamento todas as células computacionais nas quais o valor do campo de fase φ é próximo de zero [5, 10]. Com o conjunto de células marcadas, as malhas em cada n´ıvel são geradas pelo algoritmo de Berger e Rigoutsos [3]. Para facilitar a implementa¸cão do método de proje¸cão, as variáveis são definidas em uma malha MAC [4, 10]. Assim, variáveis escalares como a pressão, o campo de fase e a viscosidade, são definidas no centro da célula computacional; as componentes da velocidade são definidas no centro das faces da célula computacional. Discretizamos os operadores gradiente, divergente e Laplaciano empregando diferen¸cas finitas de segunda ordem.

3.3 Solu¸c˜ao dos sistemas lineares

Solucionamos cinco sistemas lineares na malha composta: um para a equa¸cão de Cahn-Hilliard, três para os componentes da velocidade e um para a pressão. Para solucionar esses sistemas lineares empregamos um multigrid multin´ıvel, ou seja, um multigrid aplicado a cada n´ıvel de refinamento. Para tanto, fazemos distin¸cão entre n´ıveis f´ısicos - n´ıveis de refinamento da malha composta - e n´ıveis virtuais - n´ıveis usuais associados ao multigrid. Dada a estrutura hierárquica da malha composta, os n´ıveis virtuais são aqueles abaixo do n´ıvel f´ısico mais grosso. Baseados nos resultados preliminares reportados em [7], adotamos para o multigrid o ciclo W modificado. Este consiste em um ciclo V nos n´ıveis f´ısicos e um ciclo W nos n´ıveis virtuais. Nessa técnica multigrid, empregamos Gauss-Seidel red-black para relaxar a corre¸cão uma vez na descida e uma vez na subida. Na malha mais grossa, ao invés de solucionarmos exatamente a equa¸cão residual, relaxamos a corre¸cão algumas vezes. No ciclo W adaptado, utilizamos uma média simples na restri¸cão e interpola¸cões trilineares no prolongamento [7, 10].

3.4 Estabilidade num´erica

Selecionamos ∆t conforme [2]. Por causa do tratamento expl´ıcito do termo convectivo, temos uma restri¸c˜ao de estabilidade do tipo CFL (Courant, Friedrichs e Lewy) dada por

∆tCFL ≤ |u|∞ ∆x + |v|∞ ∆y + |w|∞ ∆z −1 . (20)

Devido ao acoplamento das equa¸cões de Cahn-Hilliard e Navier-Stokes, existe também uma restri¸cão de estabilidade induzida pelo termo de tensão superficial [2] da forma

∆ts≤ C1

√

ReCa[min{∆x, ∆y, ∆z}]3/2, (21) sendo C1 uma constante. Com a discretiza¸c˜ao semi-impl´ıcita proposta, constatamos que C1

pode ser 10 vezes maior do que em [2]. Finalmente, como verificado em [2], existe ainda uma restri¸cão devido ao termo viscoso quando a interface é muito fina (K pequeno) e há uma grande varia¸cão na viscosidade:

∆tv≤ C2

Re

λ − 1min{∆x, ∆y, ∆z}, (22) onde C2´e uma constante que tamb´em pode ser 10 vezes maior do que a verificada em [2]. Assim,

adotamos como estrat´egia de sele¸c˜ao do passo temporal

∆t = min{∆tCF L, ∆ts, ∆tv}. (23)

Como C1 e C2 podem ser iguais a 100, o passo temporal efetivo ´e compar´avel a ∆t ≤ 0, 5∆tCF L

na maioria de nossas simula¸c˜oes.

4 Simula¸

c˜

ao computacional

Em um escoamento cisalhante podem surgir instabilidades do tipo descrito pela primeira vez por Kelvin [9] e Helmholtz [8]. A Figura 1 ilustra a ocorrˆencia dessas instabilidades na atmosfera dos planetas Terra e Saturno.

(5)

(a) (b)

Figura 1: (a) Instabilidades de Kelvin-Helmholtz vis´ıveis em nuvens sobre o monte Duval na Austr´alia [12]; (b)Instabilidades de Kelvin-Helmholtz formadas pela intera¸c˜ao de duas camadas da atmosfera do planeta Saturno [12].

Figura 2: Instabilidade de Kelvin-Helmholtz: corte 2D em y = 0, 5 do campo de fase φ no tempo t = 0.

Na simula¸cão computacional da instabilidade de Kelvin-Helmholtz com as equa¸cões do Modelo H, consideramos a evolu¸cão de uma interface inicialmente senoidal, como ilustra a Figura 2. Assumimos viscosidade constante (λ = 1), Re = 5000, Ca = 200 e K = 1, 5h, onde h é o espa¸camento da malha no n´ıvel mais fino. Empregamos uma malha composta com quatro n´ıveis de refina-mento, o que implica K = 1, 5/256. Adotamos P e = 200, algo da ordem de 1

K, e τ = 2 [11].

Consideramos um escoamento independente da vari´avel y para testar a habilidade do c´odigo adaptativo de conservar a simetria bidimensional. Definimos o campo de fase φ inicial

φ(0, x, y, z) = tanh 3(z − zc) K

(24)

em fun¸cão da distância à curva

zc = 0, 01 sin(2πx)

para todo (x, y, z) em Ω = [0, 1]×[0, 1]×[−1, 1]. O campo de fase inicial (24) varia de tanh(−3) ≈ −0, 995 a tanh(3) ≈ 0, 995 em uma faixa de apenas três células computacionais do n´ıvel mais fino cobrindo a região de transi¸cão.

Estabelecemos um escoamento inicial cisalhante na dire¸c˜ao x

u_{(0, x, y, z) = (tanh[25(z − z}_c_{)], 0, 0)} ₍₂₅₎ impondo u = ±1 e v = w = 0 em z = ±1, com condi¸cões de contorno periódicas nas dire¸cões x e y para o campo de fase φ e as componentes u e w da velocidade u. Na dire¸cão z, empregamos condi¸cões de contorno de Neumann homogêneas para o campo de fase φ e de Dirichlet para a componente w da velocidade u.

A Figura 3 mostra cortes 2D do campo de fase φ em diferentes tempos para ilustar a evolu¸cão da interface senoidal para uma espiral do tipo olho de gato, tipicamente observada em experimentos [1]. A Figura 4 mostra o comportamento da pressão e das componentes u (dire¸cão x) e w (dire¸cão z) da velocidade durante a simula¸cão. Nela, percebemos a existência de dois centros de vorticidade conduzindo a dinâmica do enrolamento. Por fim, a Figura 5 ilustra a malha composta em um instante da simula¸cão.

(6)

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura 3: Instabilidade de Kelvin-Helmholtz: cortes 2D em y = 0, 5 do campo de fase φ nos tempos (a) t = 0, 65, (b) t = 0, 87, (c) t = 1, 08, (d) t = 1, 34, (e) t = 1, 63 e (f) t = 1, 83.

(a) (b) (c)

Figura 4: Instabilidade de Kelvin-Helmholtz: (a) pressão, (b) componente u da velocidade (dire¸cão x) e (c) componente w da velocidade (dire¸cão z), em t = 1, 69.

5 Conclus˜

ao

Apresentamos uma estratégia numérica para a simula¸cão tridimensional completamente adaptativa de um modelo de campo de fase conservativo descrito pelas equa¸cões do Modelo H. Com ela simulamos a instabilidade de Kelvin-Helmholtz. A dinâmica simulada é consistente com aquela observada em simula¸cões bidimensionais usando métodos do tipo fronteira imersa [6].

6 Ferramentas computacionais

A simula¸cão computacional foi executada em uma Power Mac G5 (modelo M9592LL/A) com processador quad (duplo dual) de 2,5GHz, 16GB de memória RAM, 250GB de disco r´ıgido, aritmética de 64 bits, compilador absoft para Fortran 90 e sistema operacional Linux (ydl). Os resultados foram visualizados no Tecplot 360.

(7)

(a) (b)

Figura 5: Instabilidade de Kelvin-Helmholtz: (a) isosuperf´ıcie em t = 1, 69 e (b) corte em y = 0, 5 da malha composta em t = 1, 69.

Referˆ

encias

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