Trabalho final para a disciplina de Tópicos em Teoria de Muitos
Corpos
Bósons em um potencial periódico submetido à
desordem: o regime de Bose-Glass
Patrícia Christina Marques Castilho
RA: 7092462
Instituto de Física de São Carlos
Universidade de São Paulo
São Carlos
November 29, 2014
1 Introdução. . . . 2 2 O modelo de Bose-Hubbard . . . . 4 2.1 O modelo de Bose-Hubbard . . . 4 2.2 O sistema homogêneo . . . 5 2.3 O sistema inomogêneo . . . 7 3 A questão da desordem . . . 10 3.1 O regime de Bose-Glass . . . 10
4 Experimentos com BECs em redes ópticas. . . 13
4.1 BECs em redes ópticas . . . 13
4.2 A transição superfluido-isolante de Mott . . . 14
4.3 O regime de Bose-Glass . . . 18
2
1 Introdução
O estudo das características dos materiais sólidos se baseia no modelo de redes cristalinas nas quais íons, formados pelos núcleos atômicos e os elétrons mais fortemente ligados, são distibuídos em um arranjo periódico e os elétrons da banda de valência locomovem-se entre os íons submetidos a um potencial periódioco, 𝑈 (⃗𝑟 + ⃗𝑅) = 𝑈 (⃗𝑟),
com ⃗𝑅 sendo o parâmtero da rede. Com este modelo, o comportamento e as
característi-cas de materiais condutores e isolantes puderam ser explicados.
O fenômeno da supercondutividade descoberto em 1911 por Heike Kamerlingh Onnes a partir do estudo da resistência do mercúrio sólido a temperaturas criongêni-cas, recebeu grande atenção da física do século XX devido às suas características únicas. Abaixo de uma temperatura crítica (4.2K para o caso do mercúrio) a resistência dos materiais supercondutores vai a zero abruptamente, fazendo deles “condutores perfeitos”. Além da resistência nula, em 1933 foi descoberto que tais materiais expulsam de seu interior campos magnéticos aplicados, um efeito proveniente da minimização da energia livre eletromagnética, como explicado por Fritz e Heinz London dois anos depois e que recebe o nome de efeito Meissner. O grande avanço no entendimento da superconduti-vidade veio somente na década de 50. Primeiro, Ginzburg e Landau desenvolveram sua teoria combinando transições de fase de segunda ordem e uma equação de onda tipo de Schrödinger, prevendo a divisão dos materiais supercondutores em Tipo I e Tipo II. Em seguida, Maxwell e Reynolds mostraram que a temperatura crítica para a observação da supercondutividade dependia da massa do material. E, finalmente, com Bardeen, Cooper e Schrieffer que, em 1957 com a teoria BCS demostraram que a supercondutividade poderia ser explicada em termos de uma corrente superfluída formada por pares de Cooper : pares de elétrons interagindo via phonos. Esses pares obdeceriam a estatística de Bose-Einstein para partículas bosônicas.
A obtenção da Condensação de Bose-Einstein (do inglês, Bose-Einstein
Conden-sate ou BEC) em sistemas de átomos frios produzindo uma amostra quântica com um
alto nível de controle das suas características (densidade da nuvem atômica, potencial de aprisionamento, interação interatômica, temperatura) fez com que tais sistemas fossem logo utilizados a fim de simular sólidos e estudar as suas propriedades em diversos regi-mes diferentes. Atenção especial foi dada à transição isolante de Mott e superflído para bósons interagentes aprisionados em redes ópticas. A adição de desordem a fim de simular efeitos relativos às imperfeições dos sólidos reais, foi logo realizada de modo a ser possível a observação de dois novos fenômenos: a localização de Anderson e a fase de Bose-Glass. Neste trabalho, apresentamos, no capítulo2, o modelo de Bose-Hubbard que des-creve o comportamento de bósons interagentes aprisionados em potencias periódicos,
dis-cutindo os regimes de isolante de Mott e superfluído, bem como a transição entre eles. Em seguida, estudamos o caso em que um potencial de desordem é adicionado ao mo-delo de Bose-Hubbard de modo a identificar as situações para as quais a nuvem adentra o regime de Bose-Glass. Por fim, apresentaremos os resultados obtidos ao longo dessas duas últimas décadas em experimentos envolvendo BECs atômicos aprisionados em redes ópticas submetidas (ou não) à desordem, no capítulo 4. Os textos usados como base para a confecção deste trabalho seguem listados nas referências (1), (2), (3) e (4).
4
2 O modelo de Bose-Hubbard
2.1
O modelo de Bose-Hubbard
A descrição de um sistema atômico de partículas bosônicas interagentes aprisiona-das por um potencial de rede periódico (𝑉𝑟𝑒𝑑𝑒(x) = 𝑉𝑟𝑒𝑑𝑒(x + R), onde R é o parâmetro
da rede) pode ser feita a partir do modelo de Bose-Hubbard. Nesse caso, o sistema não pode ser descrito por meio de equações de uma partícula e uma abordagem de muitos corpos se torna necessária. O hamiltoniano que descreve tais sistemas pode ser escrito, em segunda quantização, como:
^ 𝐻 = ∫︁ 𝑑3𝑥 ^𝜓†(x) [︃ − ¯ℎ 2 2𝑚∇ 2+ 𝑉 𝑟𝑒𝑑𝑒(x) + 𝑉𝑒𝑥𝑡(x) ]︃ ^ 𝜓(x)+4𝜋𝑎𝑠¯ℎ 2 2𝑚 ∫︁ 𝑑3𝑥 ^𝜓†(x) ^𝜓†(x) ^𝜓(x) ^𝜓(x) , (2.1) onde ^𝜓(x) e ^𝜓†(x) são os operadores de campo bosônico, 𝑉𝑒𝑥𝑡 é um potencial de
apri-sionamento externo, 𝑎𝑠 é o comprimento de espalhamento de ondas-s responsável pela
interração atômica e 𝑚 é a massa do átomo em questão.
Nesta situação, é conveniente a utilização das funções de onda de Wannier locali-zadas em sítios da rede. Dessa forma, se os níveis de energia do sistema são consideravel-mente menores que as excitações para a segunda banda energética, apenas as funções de Wannier das bandas inferiores devem ser consideradas e o operador de campo pode ser escrito como combinação linear dessas funções:
^
𝜓(x) =∑︁
𝑖
𝑎𝑖𝑤(x − x𝑖) , (2.2)
onde 𝑎𝑖 é o opeador de aniquilação bosônico do i-ésimo sítio da rede e 𝑤(x − x𝑖) é a função
de Wannier localizada neste sítio. Substituindo a expansão da equação 2.2 em 2.1 temos: ^ 𝐻 = ∑︀ 𝑖,𝑗 [︃ ∫︀ 𝑑3𝑥𝑤*(x − x𝑖) (︃ −¯ℎ 2 2𝑚∇ 2+ 𝑉 𝑟𝑒𝑑𝑒(x) + 𝑉𝑒𝑥𝑡(x) )︃ 𝑤(x − x𝑗) ]︃ 𝑎†𝑖𝑎𝑗 + 4𝜋𝑎𝑠¯ℎ2 2𝑚 ∑︀ 𝑖,𝑗,𝑙,𝑚[ ∫︀ 𝑑3𝑥𝑤*(x − x 𝑖)𝑤*(x − x𝑗)𝑤(x − x𝑙)𝑤(x − x𝑚)] 𝑎 † 𝑖𝑎 † 𝑗𝑎 † 𝑙𝑎 † 𝑚 . (2.3)
Considerando o tunelamento apenas entre sítios vizinhos (< 𝑖, 𝑗 >) e interação para bósons ocupando o mesmo sítio (𝑖 = 𝑗 = 𝑙 = 𝑚 para a última somatória), encontramos:
^ 𝐻 = −𝐽 ∑︁ <𝑖,𝑗> 𝑎†𝑖𝑎𝑗+ 1 2𝑈 ∑︁ 𝑖 ^ 𝑛𝑖(^𝑛𝑖− 1) + ∑︁ 𝑖 𝜖𝑖^𝑛𝑖 , (2.4)
O Hamiltoniano da equação2.4 apresenta três termos que distinguem as escalas de energias relevantes do sistema. O primeiro, com 𝐽 = ∫︀
𝑑3𝑥𝑤*(x−x 𝑖) [︁ −¯ℎ2 2𝑚∇ 2+ 𝑉 𝑟𝑒𝑑𝑒(x) ]︁ 𝑤(x−
x𝑖) sendo o parâmetro de hopping, considera o tunelamento dos átomos entre sítios
vizi-nhos estando relacionado com a delocalização dos átomos ao longo da rede. O segundo, com 𝑈 = (4𝜋𝑎𝑠ℎ¯2/𝑚)∫︀𝑑3𝑥|𝑤(x)|4, é o termo referente à interação entre átomos que
ocu-pam o mesmo sítio da rede. E, o terceiro, com 𝜖𝑖 =∫︀𝑑3𝑥𝑉𝑒𝑥𝑡(x)|𝑤(x)|2 ≈ 𝑉𝑒𝑥𝑡(x) descreve
um offset na energia do 𝑖-ésimo sítio da rede devido ao aprisionamento por um potencial externo. No caso da ausência de um potencial externo, 𝜖𝑖 = 0.
Em seguida, começamos discutindo o caso do sistema homogêneo (com 𝜖𝑖 = 0)
estudando a natureza dos seus estados fundamentais nos limites de 𝑈/𝐽 ≫ 1 e 𝑈/𝐽 ≪ 1 e a impossibilidade de realizar a transição entre o regime superfluído e o de isolante de Mott. Depois, discutimos o caso mais geral da equação 2.4, com 𝜖 ̸= 0, estendendo os resultados e avaliando as situações nas quais a transição passa a ocorrer.
2.2
O sistema homogêneo
No caso do sistema homogêneo, livre de potenciais externos, o hamiltoniano da equação 2.4 pode ser simplificado para:
^ 𝐻 = −𝐽 ∑︁ <𝑖,𝑗> 𝑎†𝑖𝑎𝑗+ 1 2𝑈 ∑︁ 𝑖 ^ 𝑛𝑖(^𝑛𝑖− 1) . (2.5)
Os dois termos restantes são referentes ao tunelamento, com 𝐽 , e à interação entre bósons do mesmo sítio da rede, com 𝑈 . Dessa forma, dependendo do valor da razão 𝑈/𝐽 (≪ 1 ou ≫ 1) o sistema se encontra em dois estados fundamentais limites: um superfluído e um de isolante de Mott.
Para 𝑈/𝐽 ≪ 1 (ou 𝐽 ≫ 𝑈 ), o termo referente ao tunelamento é dominante na equação 2.5 e os átomos encontram-se delocalizados ao longo de toda a rede. O estado fundamental de 𝑁 átomos em uma rede com 𝑀 sítios é dado pela equação abaixo:
|Ψ𝑆𝐹⟩𝑈/𝐽 ≪1∝ (︃𝑀 ∑︁ 𝑖=1 ^ 𝑎+𝑖 )︃𝑁 |0⟩ , (2.6)
resultando em um produto de estados idênticos de uma partícula. Nesse caso, o sistema pode ser descrito por uma função de onda macroscópica e uma fase macroscópica é bem definida em todos os sítios da rede. Tal sistema se comporta como um superfluído (SF).
No caso de condensados atômicos em redes ópticas, uma assinatura da fase su-perfluída pode ser obtida a partir da observação de imagens da nuvem atômica poucos milisegundos após liberada do aprisionamento da rede. Devido à fase bem definida ao longo dos sítios da rede, a função de onda dos átomos de um sítio interfere com a dos
Capítulo 2. O modelo de Bose-Hubbard 6
sítios vizinhos gerando um padrão de interferência com picos estreitos e bem definidos1.
A definição da fase exclui a informação do número de ocupação dos sítios da rede e o sistema é compressível devido à ausência de gaps no seu espectro de excitação.
Considerando 𝑈/𝐽 ≫ 1, um outro tipo de regime é encontrado. O parâmetro de interação, por ser muito maior quando comparado ao parâmetro de hopping, faz com que flutuações no número de átomos em cada sítio da rede deixem de ser favoráveis já que a interação repulsiva faz com que os átomos evitem ocupar o mesmo sítio. O estado fundamental é então dado pelo produto de estados de Fock locais para cada sítio:
|Ψ𝐼𝑀⟩ = 𝑀
∏︁
𝑖=1
(𝑎†𝑖)𝑛|0⟩ , (2.7)
onde 𝑛 é o número de átomos por sítio. Dessa forma, cada átomo encontra-se localizado em um sítio da rede e o número de átomos em cada sítio é completamente conhecido. Tal sistema é denominado isolante de Mott. Ao contrario do regime superfluído, não existe mais uma fase macroscópica bem definida e, no caso do exemplo de condensados atômicos, os picos estreitos no padrão de interferência desaparecem dando lugar a uma distribuição larga.
A transição de fase entre os dois regimes possíveis para o estado fundamental (de superfluído para isolante de Mott, ou vice-versa) pode, em princípio, ser feita alterando-se a magnitude do termo de interação em relação ao termo de hopping até que um valor crítico para 𝑈/𝐽 seja atingido. Dessa forma, em sistemas tri e bi-dimensionais a transição de fase para a ocupação unitária dos sítios da rede acontece para um ponto crítico tal que (𝑈/𝐽 )𝑐 = 5.8𝑧, com 𝑧 sendo o número de primeiros vizinhos. Para altos números
de ocupação da rede (¯𝑛 ≫ 1), o ponto crítico pode ser apriximado para (𝑈/𝐽 )𝑐 = 4¯𝑛𝑧.
Para o caso unidimensional, (𝑈/𝐽 )𝑐 = 3.84 para a ocupação unitária e (𝑈/𝐽 )𝑐 = 2.2¯𝑛,
para ¯𝑛 ≫ 1. Considerando um ensemble grande canônico (de modo a levar em conta
as variações no potencial químico do sistema de bósons, 𝜇), um diagrama de fase com os regimes superfluído e isolante de Mott para 𝑇 = 0 pode ser construído, como feito inicialmente por Fisher et al. Este diagrama segue ilustrado na Figura 1 (a) e mostra os limites dos dois regimes em função de 𝜇/𝑈 e 𝐽/𝑈 .
Na Fig.1, as estruturas à esquerda representam regiões em que o sistema se encon-tra na fase de isolante de Mott ou MI (do inglês, Mott insulator ) com número constante de ocupação dos sítios da rede aumentando com 𝜇. Como o número em cada estrutura é fixo, a compressibilidade (𝜕𝑛/𝜕𝜇) é nula e o sistema é incompressível. Outra característica da fase isolante esta relacionada à existência de um gap de energia no espéctro de excita-ções. Excitações partícula-buraco apresentam um gap, 𝐸𝑔, equivalente à distância em 𝜇
entre o contorno de baixo e o de cima de uma estrutura MI para um dado valor de 𝐽 . À medida em que aumentamos 𝐽 , o gap de energia se anula com 𝐸𝑔 ∼ [(𝐽/𝑈 )𝑐 − (𝐽/𝑈 )]𝑧𝜈,
Figura 1 – À esquerda, segue ilustrado o diagrama de fase em função de 𝜇/𝑈 e 𝐽/𝑈 produzido por Fisher et al. O contorno da transição entre isolante de Mott e superfluido segue ilustrado para diferentes ¯𝑛𝑖. À direita, o diagrama de fase produzido por Greiner et
al. apresenta as linhas iso-densidade em preto. O caminho que o sistema homogêneo percorre à medida que diminuímos 𝐽/𝑈 segue ilustrado pela linha verde. Dessa forma, de modo a cruzar a transição, o sistema deveria seguir a linha pontilhada vermelha que mantém 𝜇 constante ao invés de ¯𝑛𝑖, como para um sistema homogêneo.
com 𝑧𝜈 < 1. Em Fisher et al., (𝐽/𝑈 )𝑐 ∝ 1/𝑛 e 𝑧𝜈 = 1/2 fazendo com que as estruturas
tenham a forma parabólica do gráfico à esquerda da Fig. 1. No gráfico à direita da Fig. 1, o diagrama realizado por Greiner et al. segue ilustrado esplicitando as linhas com mesmo número de ocupação médio. Dessa forma, ao variarmos 𝐽 , o sistema serguirá por uma dessas linhas (linha sólida verde) e não adentrará a região de isolante de Mott. De modo a observarmos a transição, ao diminuirmos 𝐽 o sistema deve seguir uma linha com 𝜇 constante (ilustrada na curva pontilhada vermelha). Tal problema pode ser resolvido ao considerarmos um potencial de aprisionamento externo (com 𝜖𝑖 ̸= 0), como será discutido
na próxima seção.
2.3
O sistema inomogêneo
Sistemas de átomos frios reais aprisionados em redes ópticas apresentam sempre um potencial de aprisionamento externo (𝑉𝑒𝑥𝑡(x)) proveniente, ao menos, do perfil
gaus-siano do feixe de laser focalizado utilizado para criar a rede. Dessa forma, o último termo da equação 2.4 deve ser levado em conta contribuindo com um offset de energia em cada sítio da rede e um potencial químico local, dado por:
Capítulo 2. O modelo de Bose-Hubbard 8
Figura 2 – O diagrama de fase para 𝜇/𝑈 em função de 𝐽/𝑈 segue ilustrado em (a). A linha pontilhada vermelha ilustra a diminuição do potencial químico local, 𝜇𝑖 à medida
em que nos afastamos do centro da rede. Em (b) as regiões de regimes isolantes de Mott e superfluído seguem ilustradas intercaladas a medida em que nos afastamos do centro da rede, numa configuração conhecida como “bolo de casamento”.
para o 𝑖-ésimo sítio da rede, pode ser definido. Se a mudança no número de ocupação dos sítios vizinhos for pequena, localmente o sistema pode ser considerado como um sitema homogêneo. Porém, o potencial químico por sítio da rede é fixo e não o número de ocupa-ção. Assim, ao alterarmos a razão 𝐽/𝑈 o sistema pode, localmente realizar a transição de superfluído para isolante de Mott, como segue ilustrado pelas linhas pontilhadas cinza da Figura 2(a). Como o potencial químico local 𝜇𝑖 diminui a medida em que nos afastamos
do centro da rede óptica, regiões de isolante de Mott e superfluído se alternam ao longo da nuvem atômica, como ilustrado na Fig. 2 (b).
O perfil de densidade de uma nuvem atômica aprisionada em uma rede bidimensio-nal pode ser inferido como o apresentado na Fig.3. À medida em que aumentamos a razão
𝑈/𝐽 , estruturas em forma de platô referentes a áreas em que 𝑛 é um inteiro constante,
representando regiões de isolante de Mott, passam a existir. No limite de 𝑈/𝐽 → ∞ o perfil de densidade da nuvem atômica seria dado pela estrutura de “bolo de casamento”, na qual a fase superfluída é completamente suprimida.
Figura 3 – Perfil de densidade de um sistema inomogêneo. À medida em que aumentamos a razão 𝑈/𝐽 as regiões de isolante de Mott aumentando (representadas pelos platôs com 𝑛 inteiro e constante) suprimindo as regiões superfluidas.
10
3 A questão da desordem
Os efeitos de um potencial desordenado alteram significativamente os mecânismos de transporte e condução em sistemas de materia condensada. O fenômeno da localização de Anderson, como inicialmente previsto por Anderson, é um exemplo dessas alterações no qual, uma onda espalhada por impuridades aleatórias pode interferir construtivamente, localizando-a. No caso de bósons interagentes em um potencial periódico, o efeito da desordem pode também alterar a transição superfluído-isolante de Mott discutida no capítulo anterior, a partir do surgimento de um novo regime, o chamado Bose-Glass, caracterizado pela ausência de um gap no seu espectro de excitações e compressibilidade finita.
O diagrama de fase dos regimes possíveis a um sistema de bósons aprisionados por um potencial periódico submetido à desordem encontra-se ilustrado na Fig. 4. Nele, pode-mos identificar quatro regimes distintos: localização de Anderson (AL), superfluido (SF), isolante de Mott (MI) e Bose-Glass (BG). O regime de localização de Anderson ocorre no limite de Δ/𝐽 grande e interação nula, já que a interação entre os bósons competiria com o efeito da localização. Os outros regimes encontram-se à direita do diagrama, porém uma completa separação só pode ser feita no caso do isolante de Mott que ocorre para baixos Δ/𝐽 . Neste capítulo discutiremos o caso do regime de Bose-Glass avaliando como o potencial de desordem altera a transição superfluido-isolante de Mott.
3.1
O regime de Bose-Glass
Na presença de um potencial externo desordenado, uma outra escala de energia deve ser levada em conta no hamiltoniano da equação 2.4 com Δ sendo o parâmetro re-lacionado a amplitude do potencial de desordem. Dessa forma, o último termo referente ao potencial externo, deve também conter a parte do potencial desordenado de modo que
𝜖𝑖 → 𝜖𝑖± Δ. Inicialmente, o problema de átomos aprisionados em uma rede
unidimensi-onal foi estudado por Giamarch et al. a partir de teorias de escalonamento, sendo logo estendida por Fisher et al. para o caso de redes tridimensionais. Neste último, foi estu-dado o caso em que o offset de energia 𝜖𝑖 varia continuamente no intervalo [−Δ/2, Δ/2]
a medida em que alterava-se 𝐽/𝑈 , 𝜇/𝑈 e Δ/𝑈 para 𝑇 = 0. Para pequenas amplitudes do potencial de desordem (Δ < 𝑈 ) as estruturas referentes as regiões de regime de isolante de Mott se comprimem e o regime de Bose-Glass aparece contornando essas estruturas até, eventualmente suprimir completamente a fase de IM, como segue ilustrado no diagrama de fase da Fig. 5.
Figura 4 – Diagrama de fase dos regimes possíveis para partículas bosônicas aprisionadas em potenciais periódicos submetidos à desordem.
Figura 5 – Ilustração das alterações no diagrama de fase que caracteriza os regimes superfluido e isolante de Mott a partir da adição de um potencial de desordem (Δ ̸= 0). As estru-turas referentes ao regime de IM se comprimem até serem eventualmente destruídas no limite de grande desordem.
Capítulo 3. A questão da desordem 12
Figura 6 – Esquema ilustrativo da alteração entre os potenciais de sítios vizinhos à medida em que se adiciona o potencial de desordem ao potencial da rede.
De modo a entender a física por trás do aparecimento do regime de Bose-Glass, podemos considerar o limite de 𝐽 → 0 e ocupação unitária dos sítios da rede. Considerando o caso homogêneo com Δ = 0, o tunelamento de um bóson de um sítio da rede para o vizinho tem um custo de energia 𝑈 devido a interação entre átomos no mesmo sítio, criando um gap de energia no espectro de excitações, como ilustrado na Fig. 6 (a). Ao adicionarmos um potencial de desordem, introduzimos diferenças de energia aleatórias entre os sítios vizinhos da rede com Δ𝑗 ∈ [−Δ, Δ], como pode ser visto na Fig. 6 (b). O
custo energético do tunelamento de bósons passa a ser dado por 𝑈 ± Δ𝑗. No caso limite
em que Δ >
∼ 𝑈 o sistema inteiro passa a ser excitado com apenas uma pequena quantia
energética e o gap proveniente da fase de isolante de Mott tende a zero. Mesmo com a ausência de um gap, as excitações acontecem localmente e o sistema continua sendo caracterizado globalmente como um isolante.
4 Experimentos com BECs em redes ópticas
A partir da obtenção da condensação de Bose-Einstein em sistemas de átomos frios em 1995, uma vasta gama de experimentos vêm sendo realizada em tais sistemas. A utilização de potenciais ópticos para o aprisionamento atômico possibilitou a produção de potenciais mais versáteis como as redes ópticas produzidas a partir da retro-reflexão de um feixe gaussiano focalizado.
Neste capítulo, apresentamos uma breve descrição qualitativa do tipo de aparato experimental utilizado para produzir condensados de Bose-Einstein em redes ópticas, na seção4.1e alguns resultados obtidos em tais sistemas sem e com a introdução de desordem, nas seções 4.2 e 4.3, respectivamente.
4.1
BECs em redes ópticas
O aprisionamento de átomos por meio armadilhas ópticas compostas por feixes de laser focalizados com frequência longe da das transições atômicas se baseia na força de dipolo, proveniente da interação entre o momento de dipolo elétrico induzido do átomo com o campo elétrico do feixe incidente. Dessa forma, para um feixe gaussiano focalizado, o potencial de aprisonamento pode ser escrito como:
𝑉 (𝑟, 𝑧) = −𝑉0 [︃ 1 − 2 (︂ 𝑟 𝑤0 )︂2 − (︂ 𝑧 𝑧𝑅 )︂2]︃ (4.1) onde 𝑉0é a profundidade do potencial, 𝑤0é a cintura do feixe no foco e 𝑧𝑅é o comprimento
de Rayleight de feixe focalizado.
No caso de uma rede óptica unidimensional, o feixe da armadilha óptica é refletido sobre si mesmo de modo a produzir um padrão de interferência periódico, dado por:
𝑉𝑟𝑒𝑑𝑒1𝐷(𝑟, 𝑧) = −𝑉0𝑟𝑒𝑑𝑒exp−2𝑟2/𝑤20sin2(𝑘𝑧) ≃ −𝑉𝑟𝑒𝑑𝑒 0 (︃ 1 − 2𝑟 2 𝑤2 0 )︃ sin2(𝑘𝑧) , (4.2) onde 𝑉𝑟𝑒𝑑𝑒
0 é a profundidade do potencial da rede e 𝑘 = 2𝜋/𝜆. Redes bi- e tri-dimensionais
podem ser produzidas utilizando dois ou três pares de feixes retrorefletidos, respectiva-mente. O potencial de uma rede tridimensional segue dado pela equação abaixo:
𝑉𝑟𝑒𝑑𝑒3𝐷(x) = 𝑉𝑥sin2(𝑘𝑥) + 𝑉𝑦sin2(𝑘𝑦) + 𝑉𝑧sin2(𝑘𝑧) +
𝑚
2
(︁
𝜔𝑥2𝑥2+ 𝜔𝑦2𝑦2+ 𝜔𝑧2𝑧2)︁ , (4.3) com 𝜔𝑥,𝑦,𝑧 sendo as frequências de aprisionamento do potencial harmonico residual.
Capítulo 4. Experimentos com BECs em redes ópticas 14
Dessa forma, considerando o potencial tridimensional, os parâmetros 𝐽 e 𝑈 podem ser reescritos em termos dos parâmetros da rede, como:
𝐽𝑥,𝑦,𝑧 = 4 √ 𝜋𝐸𝑟 (︂𝑉 𝑥,𝑦,𝑧 𝐸𝑟 )︂3/4 exp [︂ −2 (︂𝑉 𝑥,𝑦,𝑧 𝐸𝑟 )︂]︂ (4.4) 𝑈 = √︃ 8 𝜋𝑘𝑎𝑠𝐸𝑟 (︂𝑉 𝑥 𝐸𝑟 )︂1/4(︂𝑉 𝑦 𝐸𝑟 )︂1/4(︂𝑉 𝑧 𝐸𝑟 )︂1/4 (4.5)
4.2
A transição superfluido-isolante de Mott
A observação da transição do regime superfluido para o de isolante de Mott (e vice-versa) foi primeiro realizada por Greiner et al. em um condensado de Bose-Einstein de átomos de 87Rb aprisionados em uma rede óptica tridimensional. A rede óptica é
pro-duzida pela sobreposição de três pares de feixes retrorefletidos focalizados com frequência deslocada para o vermelho da transição atômica, com comprimento de onda de 𝜆 = 852nm e cintura no foco 𝑤0 = 125𝜇m. Um potencial harmonico residual dos feixes da rede
per-manece presente como descrito na equação 4.3.
O BEC é inicialmente produzido em uma armadilha magnética com potencial em forma de “charuto”. Em seguida, o bias de campo magnético é alterado de modo a produzir uma nuvem esfericamente simétrica. Essa nuvem esférica é então transferida para a rede a partir de realização de uma rampa exponencial de 80ms no potencial da rede. Ao todo, cerca de 150.000 sítios da rede são preenchidos o que equivale a cerca de 65 sítios em uma direção com número médio de ocupação ¯𝑛𝑖 = 2.5 átomos por sítio.
A transição de fase do regime superfluido para o de isolante de Mott acontece aumentando a profundidade do potencial da rede. A coerência da nuvem atômica (re-lacionada a existência de uma fase global bem definida) pode ser medida a partir da observação do padrão de interferência existente nas imagens feitas poucos milissegundos após a liberação da nuvem da rede óptica. À medida que aumentamos o potencial da rede, o padrão de interferência se altera deixando de exibir os picos estreitos e bem de-finidos, caracteristicos do regime superfluido, exibindo um perfil largo e sem estruturas, como segue ilustrado na Fig. 7. As situações intermediárias em que picos de interferên-cia convivem com um perfil largo menor podem ser explicadas pela formação de zonas de superfluído e isolante de Mott no caso de um sistema inomogêneo como discutido na seção 2.3 do capítulo2.
A reversibilidade da transição de fase também foi explorada por Greiner a partir da diminuição do potencial da rede para valores em que o estado fundamental da nuvem atômica estaria no regime de superfluidez. O tempo da rampa de diminuição do potencial (𝑡) foi alterado e o potencial da rede foi abruptamente desligado após atingido o valor final.
Figura 7 – Imagens de absorção da nuvem atômica feita poucos milissegundos após liberá-la da rede óptica. A medida em que aumentamos o potencial da rede saímos da fase superfluida, caracterizada pela existência de uma fase macroscópica bem definida representada pelos picos de interferência, e entramos em um regime de isolante de Mott, no qual o tunelamento entre sítios vizinhos é suprimido, bem como a fase bem definida.
Capítulo 4. Experimentos com BECs em redes ópticas 16
Figura 8 – Gráfico da largura do pico central em função do tempo de rampa 𝑡, em (a). Após ceca de 4ms a coerência da amostra é restaurada indicando a ocorrência da transição isolante de Mott-superfluido. Abaixo, seguem imagens de absorção em três momentos distintos da restauração da coerência da nuvem atômica.
Imagens de absorção da nuvem atômica, como as descritas anteriormente, foram feitas e o tempo até a restauração da coerência ao longo da amostra pode ser medido avaliando a largura do pico central de interferência para diferentes 𝑡. Na figura 8 segue um gráfico da largura do pico central em função do tempo de espera na rede após diminuído a profundidade do seu potencial e três imagens de absorção tiradas em tempos relevantes para o comportamento da nuvem.
Além da coerência da nuvem atômica, o gap no espectro de energia também foi medido como forma de caracterizar a transição SF-IM. De modo a realizar esta medida, um gradiente magnetico ao longo da direção vertical foi adicionado ao potencial da rede. Esse gradiente introduz uma diferença de energia entre sítios vizinhos. Se essa diferença é igual a energia de interação 𝑈 , então os átomos podem se deslocar entre os sítios criando exitações partícula-buraco. Mantendo o sistema perturbado por este gradiente durante um período 𝜏𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏 e depois, retornando a uma condição em que o sistema estaria no
regime superfluído, a partir da redução do potencial da rede, torna-se possível observar a coerência da nuvem atômica a partir da largura do pico de interferência central. Se foram geradas excitações a partir da aplicação do gradiente de campo magnético, não será possível retornar para um estado superfluído perfeitamente coerênte, o que resulta
Figura 9 – Gráficos da largura do pico central de interferência em função do gradiente de campo magnético aplicado para vários valores do potencial da rede.
em largos picos de interferência. Alterando o valor do gradiente de campo magnético portanto, torna-se possível medir o gap de energia no espéctro de excitações da fase de isolante de Mott. Os gráficos da largura do pico central de interferência em função do gradiente de campo aplicado para diferentes valores da profundidade do potencial da rede seguem ilustrados na figura 9.
Para baixo potencial da rede, ∼ 10𝐸𝑟, no qual a amostra ainda permanece no
regime superfluído, mesmo pequenos gradientes de campo podem excitar a amostra (a). Conforme o potencial é aumentado para 13𝐸𝑟, próximo a ocorrência da transição, dois
picos começam a aparecer. Aumentando ainda mais o potencial da rede, a curva de offset, proveniente das regiões superfluídas, decrescem enquanto que os picos se tornam mais estreitos e proeminentes até 20𝐸𝑟, situação na qual os picos encontram-se sobre um offset
plano. Os picos encontram-se em 𝑈 e 2𝑈 como esperado segundo o discutido acima. O pequeno deslocamento na posição dos picos à medida em que aumentamos o potencial da rede é devido ao fato de um aumento no potencial de interação para potenciais mais confinantes.
Nestes experimentos, a transição superfluido-isolante de Mott foi completamente caracterizada apresentando grande concordância com os resultados previstos a partir do modelo de Bose-Hubbard. Na seção seguinte, discutimos os resultados obtidos ao adicio-narmos desordem a um potencial periódico com a obtenção do regime de Bose-Glass.
Capítulo 4. Experimentos com BECs em redes ópticas 18
4.3
O regime de Bose-Glass
Desordem em sistemas de átomos ultra-frios aprisionados em redes ópticas pode ser inserida por meio da utilização de speckles ópticos ou pela utilização de uma rede óptica bicromática composta por uma rede principal e uma secundária. Fallani et al. utiliza esta segunda forma de gerar um potencial de desordem de modo a ser possível observar o aparecimento do regime de Bose-Glass.
Diferentemente do regime de isolante de Mott, no qual as características isolantes derivam da existência de um gap no espéctro de energia, o interessante do regime de
Bose-Glass é o fato dele ser um isolante sem que haja um gap e com compressibilidade finita.
De modo a caracterizar o aparecimento e as propriedades de tal regime, Fallani et al. começaram com a situação de isolante de Mott e foram, aos poucos, inserindo desordem a partir do aumento do potencial da rede secundária. O espéctro de enegia em cada situação, semelhante ao apresentado no capítulo anterior, foi medido aplicando uma modulação na rede principal de cerca de 30% da profundidade do seu potencial. Os gráficos da largura do pico central em função da frequência de modulação para diferentes valores do potencial da rede secundária, seguem ilustrados na Fig. 10. Ao final, eles observaram que os picos no espéctro de energia característicos do regime de isolante de Mott (em (a)) começam a desaparecer à medida em que aumenta o potencial de desordem chegando na situação limite, com máxima desordem, em que os picos deram lugar a um perfil muito mais largo no espéctro de energia (como pode ser visto em (e)).
Informações adicionais dos regimes possíveis à nuvem atômica em meio à desordem podem ser obtidas estudando a coerência da nuvem a partir da obsevação do padrão de interferência em imagens de absorsão (semelhante às medidas descritas na seção anterior) para diferentes valores do potencial de desordem e potencial da rede principal constante.
As imagens obtidas seguem ilustradas na Fig. 11. Conforme aumentamos o potencial
da rede secundária, os padrões de interferência deixam de ser visíveis, resultado da não coerência da nuvem atômica.
A ausência de coerência da nuvem atômica à medida em que aumentamos o po-tencial de desordem, em conjunto com o perfil de excitações largo e sem picos ilustrado na Fig. 10, indica que a nuvem atômica se encontra em um regime que não pode ser ca-racterizado como superfluido, nem como isolante de Mott. Essa é a assinatura do regime de Bose-Glass. Em um potêncial periódico desordenado portanto, a transição superfluido-isolante de Mott acontece por meio do regime de Bose-Glass.
Figura 10 – Gráficos da largura do pico central de interferencia em função da frequencia da modulação da rede principal para diferentes valores do potencial da rede secundária, responsável pelo potencial de desordem, partindo do regime de isolante de Mott.
Figura 11 – Análise da coerência da nuvem atômica a partir do padrão de interferência, partindo do regime superfluido para o regime de Bose-Glass.
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Referências
1 FALLANI, L.; FORT, C.; INGUSCIO, M. Bose–einstein condensates in disordered potentials.
Advances In Atomic, Molecular, and Optical Physics, Elsevier, v. 56, p. 119–160, 2008.
2 FALLANI, L. et al. Ultracold atoms in a disordered crystal of light: Towards a bose glass.
Phys. Rev. Lett., American Physical Society, v. 98, p. 130404, Mar 2007. Disponível em:
<http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.98.130404>.
3 FISHER, M. P. et al. Boson localization and the superfluid-insulator transition. Physical Review B, APS, v. 40, n. 1, p. 546, 1989.
4 GREINER, M. Ultracold quantum gases in three-dimensional optical lattice potentials. Tese (Doutorado) — lmu, 2003.
