()( ) ( ) [ ] (19) O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA

(1)

(2)

MATEMÁTICA

QUESTÃO 01

Considere as seguintes afirmações sobre números reais:

I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional. II.

(

)

∞ = = − −

∑

0 1 2 1 2 2 2 1 2n n . III. 3 2+

(

)(

)

3 4

ln e log 2 log 9 é um número racional. É (são) verdadeira (s): a) nenhuma. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) I, II e III. Resolução Alternativa D Julgando os itens:

I. CORRETO. Como essa é a definição de dízima periódica, temos que toda dízima periódica é um número racional.

II. INCORRETO. Manipulando o somatório:

(

)

∞ ∞ = = ⎛ ⎞ = ⋅ = ⋅ +_⎜ + + + _⎟ − − ⎝ ⎠ −

∑

… 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 4 8 2 1 2n 2n n n

Veja que a soma acima representa uma soma de PG infinita de razão 1

2. Assim, podemos calcular:

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ _⎜ _⎟ ⋅ +_⎜ + + + _⎟= ⋅ = = − ⎝ ⎠ − ⎜_⎜ ₋ ⎟_⎟ − − ⎝ ⎠ … 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 4 8 2 1 ₁ ( 2 1) 3 2 2 2 Portanto,

(

)

∞ = = − −

∑

0 1 2 3 2 2 2 1 2n n .

III. CORRETO. Veja:

(

)(

)

(

)

(

)

+ = + ⋅ 2 =

2

3 2 3 2

3 4 3 2

ln e log 2 log 9 lne log 2 log 3

(

)

(

) (

)

= ⎛ ⎞ = ⋅ + ⋅_⎜ ⋅ _⎟= + ⋅ ⎝ ⎠ 3 2 3 2 1 2 2 2

ln e log 2 log 3 log 2 log 3

3 2 3 Mudando de base: = 3 = 2 3 3 log 3 1 log 3 log 2 log 2 Temos:

(

) (

)

(

)

+ 3 ⋅ 2 = + 3 ⋅ = + = 3 2 2 1 2 5

log 2 log 3 log 2 1

3 3 log 2 3 3 Dessa maneira, 3 2+

(

)(

)

= 3 4 5 ln log 2 log 9 3 e . Portanto, é um número racional. QUESTÃO 02

Sejam A, B e C os subconjuntos de definidos por

{

: 2 3 19

}

A= z∈ z+ − i < ,

{

_: 7

}

2 B= z∈ z+ <i

{

2

}

: z 6 10 0 C= z∈ + z+ = . Então

(

A B\

)

∩ é o conjunto: C a)

{

− −1 3 , 1 3i− + i

}

b)

{

− − − + 3 i, 3 i

}

c)

{

− + 3 i

}

d)

{

− − 3 i

}

e)

{

− +1 3i

}

Resolução Alternativa C

Seja z= +a bi, z∈ . Inicialmente, determinemos os elementos de cada conjunto dado:

{

: 2 3 19

}

A= z∈ z+ − i < De acordo com a definição do conjunto A , temos:

(

) (

)

(

) (

2

)

2

(

) (

2

)

2 2 3 2 3 2 3 2 3 19 2 3 19 z i a bi i a b i a b a b + − = + + − = + + − = = + + − < ⇔ + + − <

Assim, os elementos de A são os pontos interiores à circunferência de centro OA

(

−2,3

)

e raio RA= 19.

{

_: 7

}

2 B= z∈ z+ <i Analogamente, os elementos de B serão:

(

)

2

(

)

2 7 2

(

)

2 49

1 1 1

2 4

z+ = +i a bi+ = +i a b+ i = a + b+ < ⇔a + b+ < Ou seja, são os pontos interiores à circunferência de centro OB

(

0, 1−

)

e raio 7 2 B R = .

{

2

}

: z 6 10 0 C= z∈ + z+ =

Para determinarmos os elementos do conjunto C , resolvemos a seguinte equação do 2° grau:

( ) ( )

( )

2 2 6 6 4 1 10 6 2 z 6 10 0 3 2 1 2 i z z − ± − ⋅ ⋅ z − ± i + + = ⇔ = ⇔ = = − ± ⋅ Logo, C=

{ } {

u v, = − + − −3 i, 3 i

}

.

Dado que A B\ =

{

x∈Ae x∉B

}

, temos que os elementos deste conjunto são os pontos interiores da circunferência do conjunto A que não estão no interior da circunferência B . Desta forma, os elementos do conjunto

(

A B\

)

∩ são os números complexos no interior da C circunferência do conjunto A cuja distância ao centro da circunferência do conjunto B é maior que a medida de RB, assim:

( )

2

[

]

2

(u,O )A 3 2 1 3 5 19

d = ⎡_⎣− − − ⎤_⎦ + − = <

Logo, o ponto u está no interior da circunferência determinada pelo conjunto A.

( )

2

[

]

2

( ,O )A 3 2 1 3 17 19

d v = ⎡_⎣− − − ⎤_⎦ + − − = <

Logo, o ponto v está no interior da circunferência determinada pelo conjunto A.

Calculemos, agora, as distâncias de u e v ao ponto OB:

[

]

2

( )

2 7 (u,O ) 3 0 1 1 13 2 B d = − − + − −⎡_⎣ ⎤_⎦ = >

[

]

2

( )

2 7 (v,O ) 3 0 1 1 3 2 B d = − − + − − −⎡_⎣ ⎤_⎦ = <

Portanto, o único elemento do conjunto

(

A B\

)

∩ é o complexo C 3 i

− + , isto é,

(

A B\

)

∩ = − +C

{

3 i

}

. Abaixo, segue a ilustração

B O A O v u Re Im

(3)

2 QUESTÃO 03 Se 10 1 3 1 3 i z i ⎛ + ⎞ = ⎜_⎜ ⎟_⎟ − ⎝ ⎠ , então o valor ( )

(

)

+

(

( )

)

2arcsen Re z 5arctg 2 Im z é igual a: a) 2 3 π − b) 3 π − c) 2 3 π d) 4 3 π e) 5 3 π Resolução Alternativa D Manipulando a expressão + − 1 3 1 3 i i: + _⋅ + ₌− + _{= − +} − + 1 3 1 3 2 2 3 1 3 4 2 2 1 3 1 3 i i i i i i

Transformando para a forma trigonométrica, sabemos que:

π π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + = _⎜ _⎟+ _⎜ _⎟= _⎜ _⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 3 2 2 2

cos sen cis

2 2 i 3 i 3 3

Assim, desenvolvendo o número complexo z:

⎛ + ⎞ ⎡ ⎛ π⎞⎤ =⎜_⎜ ⎟_⎟ ⇔ =_⎢ _⎜ _⎟_⎥ − ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ 10 10 1 3 2 cis 3 1 3 i z z i Lembrando que:

(

)

= ⋅cisα ⇒ n= n⋅cis ⋅ α z z z z n , com n∈ Voltando: ⎡ ⎛ π⎞⎤ ⎛ π ⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ =_⎢ _⎜ _⎟_⎥ ⇒ = _⎜ ⋅ _⎟⇒ = _⎜ _⎟= _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 10 2 2 20 2

cis cis 10 cis cis

3 3 3 3

z z z

Dessa maneira, a forma algébrica de z é dada por: π ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟⇔ = − + ⎝ ⎠ 2 1 3 cis 3 2 2 z z i

Antes de calcularmos a expressão

( )

(

)

+

(

( )

)

2 arcsen Re z 5 arctg 2 Im z , lembramos que a imagem da função arcsen x é ⎡_⎢−π π⎤_⎥ ⎣ 2 2, ⎦ e da função arctg x é π π ⎤₋ ⎡ ⎥ ⎢ ⎦ 2 2, ⎣. Assim:

( )

(

)

+

(

( )

)

= ⋅ _⎜⎛− ⎞_⎟+ ⋅ ⎛⎜_⎜ ⋅ ⎞⎟_⎟= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 3

2 arcsen Re 5 arctg 2 Im 2 arcsen 5 arctg 2

2 2 z z π π π ⎛ ⎞ = ⋅ −_⎜ _⎟+ ⋅ = ⎝ ⎠ 4 2 5 6 3 3

Portanto, 2 arcsen Re

(

( )

)

+5 arctg 2 Im

(

( )

)

= 4π 3

z z .

QUESTÃO 04

Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas

: 3 4 4 0

r x+ y− = e : 3s x+4y−19= . A área do círculo 0 determinado por C é igual a:

a) 5 7 π b) 4 5 π c) 3 2 π d) 8 3 π e) 9 4 π Resolução Alternativa E

Observe que ambas as retas são paralelas, assim a distância entre as retas será igual ao diâmetro da circunferência. Escrevendo as equações das retas nas formas

+ + = 0

ax by c e ax+by+c'=0 a distância entre as retas será:

− − + = ⇒ = ⇒ + + 2 2 2 2 | c c' | | 4 19 | (r,s) (r,s) 3 4 d d a b d(r,s)=3

E a área do círculo, portanto, será:

⎛ ⎞ = π = π_⎜ _⎟ ⇒ ⎝ ⎠ 2 2 ( , ) 2 d r s A R = π⎛ ⎞_{⎜ ⎟} ⇒ ⎝ ⎠ 2 3 2 A =9π 4 A QUESTÃO 05

Seja

(

a a a …₁, ₂, ₃,

)

a sequência definida da seguinte forma: a₁= , 1 2 1

a = e a_n=a_n₋₁+a_n₋₂ para n≥ . Considere as afirmações a seguir: 3 I. Existem três termos consecutivos,a a_p, _p+₁,a_p+₂, que, nesta ordem, formam uma progressão geométrica.

II. a₇é um número primo.

III. Se n é múltiplo de 3, então a_n, é par. a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. Resolução Alternativa D

Primeiro observemos que essa se trata da famosa sequência de Fibonacci, onde a partir dos primeiros termos formamos o próximo por somar seu dois termos antecessores.

I – FALSA. Para averiguar isso, vamos escrever os primeiros termos as sequência e checar sua paridade:

Sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Paridades i i p i i p i i p i i p, , , , , , , , , , , , ...

= =

Então 3 números consecutivos da sequência sempre tem necessariamente 2 números impares e 1 número par. Agora três números a b c, , em progressão geométrica devem satisfazer necessariamente a propriedade da média geométrica, que diz que:

2 b =ac

Se esses são termos consecutivos da sequência de Fibonacci, temos duas possibilidades:

• b é o valor par, mas então a e c são ímpares e portanto ac é ímpar. ABSURDO.

• a ou c é o valor par, mas então ac é par e 2

b é ímpar. ABSURDO.

Assim é impossível que esses valores formem uma progressão geométrica.

II – VERDADEIRA.

Basta calcular os termos até o sétimo. 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2 2 1 3 3 2 5 5 3 8 8 5 13 a a a a a a a = = = + = = + = = + = = + = = + = Então a₇=13, ou seja, um número primo.

III – VERDADEIRA. Basta lembrar da sequência de paridades Paridades= i i p i i p i i p i i p, , , , , , , , , , , , ...

(4)

QUESTÃO 06

Considere a equação ₂ 5

1 1 2

a b

x −x =

− − , com a e b números inteiros positivos. Das afirmações:

I. Se a= e 1 b= , então 2 x= é uma solução da equação. 0 II. Se x é solução da equação, então 1

2

x≠ , x≠ − e 1 x≠ . 1

III. 2 3

x= não pode ser solução da equação. É (são) verdadeiras(s):

a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III.

Resolução Alternativa E

(I) Correta. Considerando x≠1 2, x≠ − e 1 x≠ , para 1 a= e 1 2 b= , a equação fica:

(

)

2 2 2 4 5 2 1 1 2 1 2 2 1 5 5 1 1 1 2 1 1 2 1 2 x x _x x x x x + ⋅ − ⋅ − = ⇔ = + ⇔ = ⇔ − ₋ − − − −

(

2

)

(

)

3 2 2x− = −1 1 x ⋅ 10x− ⇔1 10x −x −8x= ⇔ 0

(

2

)

1 321 10 8 0 0 ou 20 x⋅ x − −x = ⇔ =x x= ± Portanto, de fato x= é uma solução da equação. 0

(II) Correta. De fato, como condição de existência para a equação, as frações não podem ter denominador nulo. Assim:

2 ₁ 1 0 1 1 0 1 2 2 x x x x x ≠ ⎧ ⎧ − ≠ ⎪ _{⇔ ⎪ ≠ −}⎪ ⎨ _⎨ − ≠ ⎪⎩ _{⎪ ≠} ⎪⎩ (II) Correta. Suponha que 2

3

x= fosse solução da equação. Teríamos então: 2 ₂ ₁ 5 ₅ ₁ 5 2 1 ₃ ₂ ₉ ₆ 3 a b a b − = ⇔ − = ⇔ ⎛ ⎞ ₋ − ⎜ ⎟_{⎝ ⎠}

(

)

9a−30b=25⇔ ⋅3 3a−10b =25

Se a e b fossem números inteiros, teríamos uma igualdade entre números inteiros em que o lado esquerdo é múltiplo de 3, porém o lado direito não, o que é um absurdo.

QUESTÃO 07

Considere o polinômio p dado por ( ) 3 2

2 16

p x = x +ax +bx− com a , b∈ . Sabendo-se que p admite raiz dupla e que 2 é uma raiz de p , então o valor de b− é igual a: a

a) –36. b) –12. c) 6 d) 12. e) 24. Resolução Alternativa B

Sabendo que 2 é raiz de p(x), temos:

( ) 3 2

2 0 2 2 2 2 16 0 2 0

p = ⇒ ⋅ + ⋅a + ⋅ −b = ⇒ a+ = b

Agora, para manipularmos as outras duas raízes desconhecidas de p(x), temos dois casos:

1º caso: 2 é raiz dupla de p(x).

Se 2 for raiz dupla de p(x), então r é a raiz faltante. Assim, pelas Relações de Girard:

(

−

)

⋅ ⋅ = − 16 ⇒ = 2 2 2 2 r r

Dessa maneira, 2 se torna raiz tripla do polinômio, o que torna o enunciado falso. Portanto, 2 não é raiz dupla.

2º caso: 2 não é raiz dupla de p(x).

Como 2 não é raiz dupla, então tomemos a raiz dupla r. Novamente, pelas Relações de Girard:

(

−

)

⋅ ⋅ = − 16 ⇒ 2= ⇒ = ±

2 4 2

2

r r r r

Veja que r= 2 não convém pelo argumento acima, então temos que = −2

r é a raiz que procuramos. Aplicando a soma das raízes:

( ) ( )

+ − + − = − ⇒ = 2 2 2 4 2 a a Sabendo que 2a+ =b 0, temos:

= −2 ⇒ = − ⋅ ⇒ = −2 4 8 b a b b Portanto, 8 4 12 b− = − − ⇒a b− = −a . QUESTÃO 08

Seja p o polinômio dado por 15 0 ( ) j j j p x a x = =

∑

, com aj∈ , j=0,1,…,15,

e a15≠ . Sabendo-se que i é uma raiz de p e que (2) 10 p = , então o resto da divisão de p pelo polinômio q, dado por

3 2 ( ) 2 2 q x =x − x + − , é igual a x a) 1 2 1 5x − . 5 b) 1 2 1 5x + 5 c) 2 2 2 5x + 5 d) 3 2 3 5x − . 5 e) 3 2 1 5x + 5 Resolução Alternativa B

O polinômio q pode ser reescrito, na forma fatorada, como:

(

)

(

)

3 2 2 ( ) 2 2 2 1 2 q x =x − x + − =x x ⋅ x− + ⋅ x− ⇔

(

2

)

(

)

( ) 1 2 q x = x + ⋅ x−

Como o polinômio q tem grau 3, então o resto r da divisão será da forma:

2 ( )

r x = ⋅a x + ⋅ + b x c Logo, sendo t o quociente dessa divisão, temos que:

(

2

)

(

)

2

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( )

p x =q x ⋅t x +r x = x + ⋅ x− ⋅t x + ⋅a x + ⋅ + b x c Como p tem coeficientes reais e i é raiz de p, então pelo teorema das raízes conjugadas, −i também deve ser raiz de i. Assim, temos que:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 (2) 1 ₂ ₁ ₂ ₂ ₍₂₎ ₂ ₂ ₁ i i t i a i b i c p i p i i i t i a i b i c p _t _a _b _c ⎧ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + = = ⎧ _⎪ ⎪ _{− = ⇔}⎪ ₋ _{+ ⋅ − −} _{⋅ − + ⋅ −} _{+ ⋅ − + = ⇔} ⎨ ⎨ ⎪ ₌ ⎪ ⎩ _⎪⎩ _{+ ⋅} ₋ _⋅ _{+ ⋅} _{+ ⋅ + =} ( ) 0 0 ( ) 0 0 (2) 1 4 2 1 p i a b i c p i a b i c p a b c = − + ⋅ + = ⎧ ⎧ ⎪ _{− = ⇔ − − ⋅ + = ⇔}⎪ ⎨ ⎨ ⎪ ₌ ⎪ _{+ ⋅ + =} ⎩ ⎩

Somando e subtraindo as duas primeiras equações entre si, vem que: 1 5 0 0 4 2 1 1 5 a c a b b a b c c ⎧ = ⎪ = ⎧ ⎪ ⎪ ₌ _⇔ ₌ ⎨ ⎨ ⎪ _{+ ⋅ + =} ⎪ ⎩ _{⎪ =} ⎪⎩ Portanto: 2 1 1 ( ) 5 5 r x = x +

(5)

4

QUESTÃO 09

Considere todos os triângulos retângulos com os lados medindo , 2

a a e a. Dentre esses triângulos, o de maior hipotenusa tem seu menor ângulo, em radianos, igual a

a) arctg 3 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ b) arctg 3 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ c) arctg 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d) arctg 3 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ e) arctg 4 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Resolução Alternativa C

Inicialmente, devemos analisar as possibilidades de se formar um triângulo retângulo de lados a, 2 a e a. Lembrando que a hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado de maior medida, podemos dizer que o lado que mede a não poderá ser hipotenusa já que,

2 a> a, para qualquer a real positivo.

Deste modo, basta que analisemos dois casos, que são listados abaixo:

1º caso: 2 a é a medida do maior lado e, portanto, hipotenusa. Sendo assim, pela relação de Pitágoras, segue:

(

)

2

( )

2

2 2 a =a + a

Como a deve ser um real positivo, pois representa a medida de um lado do triângulo, então:

2 2

4a=a + ⇒a a =3a⇒ = a 3 Logo, o triângulo retângulo será o da ilustração abaixo:

A B C α 3 3 2 3

2º caso: a é a medida do maior lado e, portanto, hipotenusa. Sendo assim, pela relação de Pitágoras, segue:

(

) ( )

2 2

a = a + a

Como a deve ser um real positivo, pois representa a medida de um lado do triângulo, então:

(

) ( )

2 2

2 ₂ 2 ₄ 2 ₅ ₅

a = a + a ⇒a = a+ ⇒a a = a⇒ = a Logo, o triângulo retângulo será o da ilustração abaixo:

A B C α 5 5 2 5

Sendo assim, o triângulo formado no segundo caso é o que apresenta maior hipotenusa dentre as duas situações. Além disso, como o menor ângulo é oposto ao menor lado, então α representa o menor ângulo. Logo, 5 1 tg arctg 2 2 5 ⎛ ⎞ α = ⇒ α = ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} QUESTÃO 10

Os valores de x∈

[

0,2π que satisfazem a equação

]

( ) ( ) 2 sen x −cos x = 1 a) arccos 3 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ e π b) ⎛ ⎞_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ 3 arcsen 5 e π c) arcsen 4 5 ⎛₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ e π d) arccos 4 5 ⎛₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠e π e) arccos 4 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠e π Resolução Alternativa A

Reescrevendo a equação do enunciado, temos:

( ) ( ) ( ) ( )

2 sen x −cos x = ⇔1 2 sen x = +1 cos x Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, segue que:

( )

[

]

[

( )

]

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) = + ⇒ = + + ⇒ ⋅ − = + + ⇒ + − = 2 2 ₂ ₂ 2 2 2

2sen x 1 cos x 4 sen x 1 2cos x cos x 4 1 cos x 1 2cos x cos x 5cos x 2cos x 3 0 Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos x 1 2 2 4 5 3 2 8 cos x cos x ou 2 5 10 3 cos x 5 ⎧ ⎪ _{= −} ⎪ − ± − ⋅ ⋅ − − ± = _⋅ ⇔ = ⇔ ⎨ ⎪ ⎪ = ⎩

Portanto, respeitando x∈

[

0,2π , temos:

]

( ) cos x = − ⇒1 x= π ( ) 3 3 cos x arccos 5 x 5 ⎛ ⎞ = ⇒ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ QUESTÃO 11

Sejam α e β números reais tais que α, β α + β ∈

]

0,2π e satisfazem

[

as equações α₌ α₊ 2 4 4 1 cos cos 2 5 2 5 e β₌ β₊ 2 4 4 3 cos cos 3 7 3 7

Então, o menor valor de cos(α + β) é igual a a) −1. b) − 3 2 . c) − 2 2 . d) −1 2. e) 0 . Resolução Alternativa B

Fazemos um troca de variável para cada equação: 2 2 cos 2 cos 3 x y α ⎧ ₌ ⎪⎪ ⎨ _β ⎪ ₌ ⎪⎩ Assim, ficamos com:

2 4 2 2 2 4 2 2 4 1 4 1 4 1 cos cos 0 2 5 2 5 5 5 5 5 4 3 4 3 4 3 cos cos 0 3 7 3 7 7 7 7 7 x x x x y y y y α α ⎧ ₌ ₊ ⎧ ₌ ₊ ⎧ _{− + =} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ _⇔⎪ _⇔⎪ _⇔ ⎨ _β _β ⎨ ⎨ ⎪ ₌ ₊ ⎪ ₌ ₊ ⎪ _{− + =} ⎪ ⎪⎩ ⎪⎩ ⎩

(6)

2 2 2 2 1 1 cos 1 ou cos 1 ou 2 2 4 4 3 3 cos 1 ou cos 1 ou 3 3 4 4 x x y y α α ⎧ ⎧ ₌ ₌ ₌ ₌ ⎪ ⎪⎪ _⇔⎪ ⎨ ⎨ _β _β ⎪ ₌ ₌ ⎪ ₌ ₌ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩

Para o ângulo α, usando a relação do arco duplo 2 cos 2 cos 1 2 α α = ⋅ − , temos que: 1 1 cos 2 1 1 1 ou cos 2 1 4 2 α = ⋅ − = α = ⋅ − = −

Estando α no intervalo

]

0,2π , descartamos a possibilidade cos

[

α = 1 e ficamos com: 1 2 4 cos ou 2 3 3 π π α = − ⇔ α = α = Já para o ângulo β, temos que:

2

0 2 0

3 3

β π

< β < π ⇔ < <

Nesse intervalo, o cosseno tem a limitação: 1

cos 1

2 3

β − < <

Assim, das possibilidades

2 2 3 3

cos 1 ou cos cos 1 ou cos

3 3 4 3 3 2

β₌ β_{= ⇔} β_{= ±} β_{= ±}

,

a única que convém é cos 3

3 2

β₌

. Logo:

3 6 2

β π_{= ⇔ β =}π

Portanto, os pares ordenados

(

α β que satisfazem a todas as ,

)

restrições são

(

)

2 , , 3 2 π π ⎛ ⎞ α β = ⎜_⎝ ⎟_⎠ ou

(

,

)

4 , 3 2 π π ⎛ ⎞ α β = ⎜_⎝ ⎟_⎠, de modo que:

(

)

2 7 3

cos cos cos ou

3 2 6 2

π π π

⎛ ⎞

α + β = ⎜_⎝ + ⎟_⎠= = −

(

)

4 11 3

cos cos cos

3 2 6 2

π π π

⎛ ⎞

α + β = ⎜_⎝ + ⎟_⎠= =

Assim, o menor valor de cos

(

α + β é:

)

(

)

3 cos 2 α + β = − QUESTÃO 12 Seja

( )

5 5 aij

A= _× a matriz tal que 1

(

)

a 2i 2 1

ij j

−

= − , 1 ,≤i j≤ . 5 Considere as afirmações a seguir:

I. Os elementos de cada linha i formam uma progressão aritmética de razão 2i

.

II. Os elementos de cada coluna j formam uma progressão geométrica de razão 2.

III. tr A é um número primo. É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) apenas I e III. e) I, II e III. Resolução Alternativa E

A matriz A é dada por:

1 3 5 7 9 2 6 10 14 18 4 12 20 28 36 8 24 40 56 72 16 48 80 112 144 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Julgando cada afirmação:

(I) Correta. De fato, temos ao longo de cada linha progressões aritméticas, cujas razões são 2 (1ª linha), 4 (2ª linha), 8 (3ª linha), 16 (4 ª linha) e 32 (5 ª linha):

(II) Correta. De fato, temos ao longo de cada coluna progressões geométricas de razão 2.

(III) Correta. O traço da matriz A é dado por: trA= + +1 6 20+56 144+ =227, que é um número primo.

QUESTÃO 13 Considere a matriz

( )

2 2 ij M= m _× tal que m_ij = − + , ,j i 1 i j=1, 2. Sabendo-se que 1 1 0 det 252 1 1 n k k M n = ⎛ ₋ ⎡ ⎤⎞₌ ⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎣ ⎦ ⎝

∑

⎠ ,

então o valor de n é igual a a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8. Resolução Alternativa C Temos: 1 2 0 1 M= ⎢⎡ ⎤_⎥ ⎣ ⎦ Observe que: 2 1 2 1 2 1 4 0 1 0 1 0 1 M =M M⋅ =⎡_⎢ ⎤ ⎡_{⎥ ⎢}⋅ ⎤ ⎡_{⎥ ⎢}= ⎤_⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 2 1 4 1 2 1 6 0 1 0 1 0 1 M =M ⋅M=⎡_⎢ ⎤ ⎡_{⎥ ⎢}⋅ ⎤ ⎡_{⎥ ⎢}= ⎤_⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4 3 1 6 1 2 1 8 0 1 0 1 0 1 M =M ⋅M=⎡_⎢ ⎤ ⎡_{⎥ ⎢}⋅ ⎤ ⎡_{⎥ ⎢}= ⎤_⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Por indução, teríamos que:

1 2 0 1

k k

M = ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦

Assim, a soma das potências de M é dada por:

1 1 2 1 4 1 6 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 n k n k n n S M n = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_⎢ _{⎥ ⎢}+ _{⎥ ⎢}+ _⎥+ +_⎢ _{⎥ ⎢}= _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑

,

onde Sn é a soma dos n primeiros termos de uma progressão

aritmética de primeiro termo 2 e razão 2. Tal soma é dada por:

(2 2 ) ₂ 2 n n n S = + ⋅ =n + , n de modo que: 2 1 0 n k k n n n M n = ⎡ + ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∑

Portanto: = ⎡ + ⎤ ⎡ + ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − _⎢ _⎥=_⎢ _⎥−_⎢ _⎥=_⎢ _⎥ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑

2 2 1 1 0 0 0 1 1 0 0 n k k n n n n n n M n n n n n

(7)

6 Segue que: = ⎛ ₋ ⎡ ⎤⎞₌ _⇔ + ₌ _⇔ ⎜ ⎢ ⎥⎟ ₋ ⎣ ⎦ ⎝

∑

⎠ 2 1 1 0 0 det 252 252 1 1 0 n k k n n M n n 3 2 3 2 252 252 0 n +n = ⇔n +n − =

Por pesquisa de raízes racionais, descobrimos que 6 é raiz desse polinômio. Assim, pelo dispositivo de Briot-Ruffini:

6 1 1 0 −252 1 7 42 0 Logo:

(

)

(

)

3 2 2 252 0 6 7 42 0 n +n − = ⇔ n− ⋅ n + n+ = ⇔ 6 n= ou 2 7 42 0 n + n+ = Como a equação 2 7 42 0

n + n+ = não tem raízes reais, pois seu discriminante é:

2

7 − ⋅ ⋅4 1 42= −119< , 0 ficamos com n= . 6

QUESTÃO 14

Considere os pontos A=(0, 1)− , B= (0,5) e a reta r: 2x−3y+ =6 0. Das afirmações a seguir:

I. d A r( , )=d B r . ( , )

II. B é simétrico de A em relação à reta r.

III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice = −( 3 3,2)

C ou C= (3 3,2) É (são) verdadeira(s) apenas: a).I. b).II. c).I e II. d).I e III. e).II e III. Resolução Alternativa D I – VERDADEIRA.

Lembrando que a fórmula da distância do ponto

(

x y0, 0

)

a reta 0 ax+by+ = é dada por c 0 0 2 2 ax by c d a b + + = + Então

( )

2 0 3₂

( )

1₂ 6 9 , 13 2 3 d A r = ⋅ − ⋅ − + = +

( )

2 0 3₂

( )

5₂ 6 9 B, 13 2 3 d r = ⋅ − ⋅ + = + Portanto, as distâncias são iguais. II – FALSA.

Para um ponto ser simétrico a outro em relação a uma reta, devemos ter que o segmento AB deve ser perpendicular à reta além dos pontos equidistarem da mesma:

No entanto, nossos pontos são alinhados verticalmente e nossa reta não é horizontal:

Ou seja, B não é o simétrico de A em relação a reta r. III – VERDADEIRA.

Basta averiguar que para os pontos dados, o triângulo é equilátero. Pelo enunciado _{d A B}

(

_,

)

₌ ₀2₊₆2_{= . Então}₆

(

)

(

)

2

(

( )

)

2 , 3 3 0 2 1 27 9 6 d C A = ± − + − − = + =

(

)

(

)

2

(

)

₂ , 3 3 0 2 5 27 9 6 d C B = ± − + − = + =

Então como d A B

(

,

)

=d A C

(

,

)

=d B C

(

,

)

= , a afirmação é verdadeira. 6

QUESTÃO 15 Dados o ponto = ⎜⎛ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ 25 4, 6 A e a reta r: 3x+4y−12=0 , considere o triangulo de vértices ABC, cuja base BC esta contida em r e a medida dos lados AB e AC é igual a 25

6 . Então, a área e o perímetro desse triangulo são, respectivamente, iguais a

a) 22e40 3 3 . b) 23e40 3 3 . c) 25e31 3 3 . d) 25e35 3 3 . e) 25e40 3 3 . Resolução Alternativa E

Primeiramente vamos calcular a distância do ponto A até a reta, que corresponde a altura relativa a base BC do triângulo.

2 2 25 3 4 4 12 10 6 3 3 4 d ⋅ + ⋅ − = = + Então temos o seguinte esboço

Então podemos descobrir o valor de x aplicando Pitágoras no triângulo ABPΔ : 2 2 2 25 10 5 5 6 2 3 2 2 x x x ⎛ ⎞ ₌⎛ ⎞ ₊⎛ ⎞ _⇔ ₌ _⇔ ₌ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Agora podemos calcular todos os valores pedidos.

25 25 40 Perímetro 5 6 6 3 = + + = .e Área 1 5 10 25 2 3 3 = ⋅ ⋅ = . A B C 25 6 25 6 P 10 3 2 x 2 x A ' A r B A ' A r

(8)

QUESTÃO 16

Considere as afirmações a seguir:

I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento AB , com comprimento fixado, cujos extremos se deslocam livremente sobre os eixos coordenados é uma circunferência.

II. O lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que

3 2 2 2

6x +x y−xy −4x −2xy= é um conjunto finito no plano 0 cartesiano 2

III. Os pontos (2,3), (4, -1) e (3,1) pertencem a uma circunferência. Destas, é (são) verdadeira(s)

a) Apenas I b) Apenas II c) Apenas III d) I e II e) I e III. Resolução Alternativa A I. VERDADEIRA.

Precisamos construir uma equação paramétrica para descrever as coordenadas do nosso ponto. Vamos considerar uma situação no primeiro quadrante, pois, por simetria, isso se refletirá nos outros quadrantes. O nosso parâmetro a será a distância do vértice B até a origem. Observe o esboço abaixo:

Então, as coordenas do ponto médio, serão iguais à metade de cada cateto do nosso triângulo. Sendo assim, temos as equações paramétricas: 2 2 2 2 a x a y ⎧ = ⎪⎪ ⎨ − ⎪ = ⎪⎩

Para retirar da forma paramétrica elevamos ao quadrado as equações: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 a x x y a y ⎧ = ⎪⎪ _⇔ ₊ ₌ ⎨ − ⎪ ₌ ⎪⎩

Que é a equação de uma circunferência. II. FALSA.

Observe que podemos colocar x em evidencia na equação:

(

)

3 2 2 2 2 2

6x +x y−xy −4x −2xy=0 ⇔ x 6x +xy−y −4x−2y = 0 Então x= é um objeto que satisfaz a equação, mas este 0 corresponde ao eixo y , que contém infinitos pontos.

III. FALSA.

Observe que quaisquer 3 pontos não alinhados definem uma circunferência. Basta então, que testemos o alinhamento dos pontos. Fazemos isso através do determinante:

2 3 1

4 1 1 2 9 4 3 12 2 0

3 1 1

− = − + + + − − =

Então, os pontos estão alinhados e não definem circunferência.

QUESTÃO 17

Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior AB medindo 15, o lado AD medindo 9 e o ângulo ADBˆ reto. A distância entre o lado

AB e o ponto E em que as diagonais se cortam é: a) 21 8 b) 27 8 c) 35 8 d) 37 8 e) 45 8 Resolução Alternativa E

No triângulo retângulo ABD determinamos a medida do segmento BD utilizando o Teorema de Pitágoras:

( )

2

2 2

15 =9 + BD ⇔BD=12

Seja M a projeção ortogonal do ponto E , encontro das diagonais, sobre o lado AB do trapézio isósceles.

Desta forma, desejamos determinar a medida do segmento EM= . x Note que M é ponto médio do segmento AB , assim 15

2 AM=MB= . Observe, ainda, que o triângulo ABD é semelhante ao triângulo

EBM, ou seja, ΔABD∼ΔEBM ; caso ângulo-ângulo, então:

15 2 45 9 12 8 EM MB x x AD=BD⇔ = ⇔ = QUESTÃO 18

Num triângulo PQR , considere os pontos M e N pertencentes aos lados PQ e PR , respectivamente, tais que o segmento MN seja tangente à circunferência inscrita ao triângulo PQR . Sabendo-se que o perímetro do triângulo PQR é 25 e que a medida de QR é 10, então o perímetro do triângulo PMN é igual a:

a) 5. b) 6. c) 8. d) 10. e) 15. A B a 2 2 a −

A

M

B

C

D

E

15/2

9 x

15/2

12

(9)

8

Resolução Alternativa A

Denotemos por S, T, U e V os pontos de tangência dos segmentos MN, PR , RQ e PQ a circunferência inscrita no triangulo PQR.

Assim, RU=RT, QU=QV e, como RQ=10 temos que 20

RU+RT+QU+QV = . Desta forma, como o perímetro do triângulo PQR é 25, PT+PV= , isto é 5

(

) (

)

( )

+ = + + + =5 Eq. ∗

PT PV PM MV PN NT

Temos ainda que MS=MV , NS=NT e, substituindo estas duas últimas igualdades na equação

( )

∗ obtemos o perímetro do triângulo PMN:

(

PM+MV

) (

+ PN+NT

) (

= PM+MS

) (

+ PN+NS

)

=5

QUESTÃO 19

Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r x: − =y 0. Sabendo-se que a potência do ponto

(

0,0

)

O= em relação a essa circunferência é igual a 4, então o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a.

a)

(

2,2 2−2

)

e 2 2−2 b) ⎛⎜_⎜ − ⎞⎟_⎟ ⎝ ⎠ 2 1 2, 2 2 e − 2 1 2 2 c)

(

2, 2−1 e

)

2−1 d)

(

2,2− 2 e

)

2− 2 e)

(

2,4 2−4

)

e 4 2−4 Resolução Alternativa A

Segue abaixo a ilustração que descreve a situação do enunciado.

y

x

0 C

y

=

x

θ

Podemos notar que:

( )

tg 1

4 π θ = ⇒ θ =

Além disso, as coordenadas de C são tais que:

(

c,

)

C= x r

Como a potência da origem em relação à circunferência é igual a 4, então:

( )

2

4 2

c c

x = ⇒x = ±

Como a circunferência está no primeiro quadrante, então xc= . 2 Podemos notar, também, que:

tg tg 2 tg 2 tg 2 _C 2 2 2 8 r r r r x θ θ θ π ⎛ ⎞₌ _⇔ ⎛ ⎞_{= ⇔ = ⋅} ⎛ ⎞_{⇔ = ⋅} ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Mas, ( ) ( )

(

)

2 1 cos 1 cos ₄ tg tg 2 1 cos 8 1 cos 4 2 1 2 2 2 2 2 tg tg tg 8 2 8 2 2 8 2 1 2 2 2 2 2 tg tg tg 2 1 8 2 8 2 8 π ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ θ − θ π ⎛ ⎞₌ _⇒ ⎛ ⎞₌ ⎝ ⎠_⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _π ⎝ ⎠ + θ ⎝ ⎠ ₊ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − π π − π − ⎛ ⎞₌ _⇔ ⎛ ⎞₌ _⇔ ⎛ ⎞₌ _⇔ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ₊ ⎝ ⎠ + ⎝ ⎠ π − π − π ⎛ ⎞₌ _⇔ ⎛ ⎞₌ _⇔ ⎛ ⎞₌ ₋ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Logo,

(

)

2 tg 2 2 1 2 2 2 8 r = ⋅ ⎛ ⎞_{⎜ ⎟}π ⇔ = ⋅r − ⇔ =r − ⎝ ⎠ Portanto,

(

2,2 2 2

)

C= − e r=2 2− 2 QUESTÃO 20

Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista h do vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de:

a) 3 − 2 h b) 3 − 2 1 c)

(

3 −

)

2 1h d) h e) 2 h Resolução Alternativa C

Abaixo temos uma representação da taça com a distância h da superfície do líquido até o vértice e o quanto a superfície do líquido subirá (x) após adicionar mais líquido.

O volume de líquido na situação final será o dobro que na situação inicial, então:

final 2 inicial V = ⋅V

Sabendo que os sólidos são semelhantes, é válida a seguinte relação:

(

)

3 3 3 final inicial 3 3 2 2 2 2 1 V h x h x h x V h h h h h x x h + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =_⎜ _⎟ ⇒ =_⎜ _⎟ ⇒ = ⇒ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⋅ − = ⇒ = ⋅ − h x C B A D E U P R Q T V S M N

(10)

QUESTÃO 21

Considere as funções f f f1, , :2 → , sendo 1 1 ( ) 3 2 f x = x + , 2 3 ( ) 1 2

f x = x+ e ( )f x igual ao maior valor entre f x1( ) e f x2( ) , para cada x∈ . Determine:

a) Todos os x∈ tais que f x1( )=f x . 2( ) b) O menor valor assumido pela função f. c) Todas as soluções da equação f x( )=5.

Resolução a) Temos que: 1 2 1 3 ( ) ( ) 3 1 6 3 1 2 2 f x =f x ⇔ x + = x+ ⇔ x + = x+ Consideramos três casos para a abertura dos módulos:

• Para x< − : 1

(

)

9 6 3 1 2 9 2 x x x x − + = − ⋅ + ⇔ = − ⇔ = −

Esse valor convém, pois satisfaz a restrição x< − . 1 • Para 1− ≤ < : x 0

(

)

3 6 3 1 4 3 4 x x x x − + = ⋅ + ⇔ = ⇔ =

Esse valor não convém, pois não satisfaz a restrição 1− ≤ < . x 0 • Para x≥ : 0

(

)

3

6 3 1 2 3

2 x+ = ⋅ x+ ⇔ x= ⇔ =x Esse valor convém, pois satisfaz a restrição x≥ . 0 Em suma, os valores de x∈ tais que f x1( )=f x2( ) são:

9 2

x= − ou 3 2 x= .

b) Os gráficos das funções f1 e f2 estão esboçados a seguir:

Como f x( )=máx

{

f x1( ) , ( )f x2

}

, isto é, a função associa a cada x∈ o maior dos valores entre as imagens f x e 1( ) f x , o gráfico de f será: 2( )

Pelo gráfico, observamos que o menor valor que a função assume é: 3

MÍN

y =

c) Observe pelo gráfico que: 1 2 9 3 ( ), se 2 2 ( ) 9 3 ( ), se ou 2 2 f x x f x f x x x ⎧ _{− ≤ <} ⎪⎪ = ⎨ ⎪ _{< −} _≥ ⎪⎩

Portanto, a equação ( )f x = fica reescrita como: 5 (I) Para 9 3 2 x 2 − ≤ < : 1 1 ( ) 5 ( ) 5 3 5 4 2 f x = ⇔f x = ⇔ x + = ⇔ x = ⇔ 4 (satifaz a restrição) ou 4

x= − x= (não satifaz a restrição)

(II) Para 9 ou 3 2 2 x< − x≥ : 2 3 10 10 ( ) 5 ( ) 5 1 5 1 1 2 3 3 f x = ⇔f x = ⇔ x+ = ⇔ x+ = ⇔ = − ±x ⇔ 7 13 (satifaz a restrição) ou 3 3

x= x= − (não satifaz a restrição)

Assim, a equação ( )f x = tem como conjunto verdade: 5

{ }

7

4 , 3 V= −

QUESTÃO 22

Considere o polinômio p dado por = 3+ β −2 − β

( ) 18 7

p z z z z em que β é um número real.

a) Determine todos os valores de β sabendo-se que p tem uma raiz de módulo igual a 1 e parte imaginária não nula.

b) Para cada um dos valores de β obtidos em a), determine todas as raízes do polinômio p.

Resolução

a) Como p(z) é um polinômio de coeficientes reais e com raiz complexa w (com parte imaginária diferente de zero), temos que w também será raiz. Portanto, as raízes de p são w, w e r, com r∈ . Podemos escrever:

= +

w a bi e w= −a bi. Utilizando as relações entre as raízes (Girard), segue:

β ⎧ + + = − ⎪ ⎪ ⎪ ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⎨ ⎪ ⎪ _{⋅ ⋅ =} β ⎪ ⎩ 18 7 18 18 w w r w w w r w r w w r

Veja que w = 1. Assim, temos que:

+ = ⇒ + =

2 2 2 2

1 1

a b a b

Lembrando que w w⋅ =w2, podemos manipular o sistema acima:

(

)

(

)

= = β ⎧ ₊ _{+ −} _{+ = −} _⎧ _β ⎪ _⎪ + = − ⎪ _⎪ ⎪⎪ _{⋅ +} ₋ _{⋅ + ⋅ +} _{= −} _⇒⎪ ₊ _{= −} ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ _{⋅ ⋅ =} β ⎪ ₌ β ⎪ ⎪_⎩ ⎪⎩ 1 1 2 18 18 7 7 1 2 18 18 18 18 a bi a bi r a r w w a bi r a bi r ar w w r r Isolando a em função de β : β β β β + = − ⇒ = − − ⇒ = − 2 2 18 18 18 18 a r a a

Substituindo na segunda equação:

x y −1 3 f −9/2 3/2 15/4 21/4 x y −1 3 f1 f2

(11)

10 β β ⎛ ⎞ + = − ⇒ + ⋅ −_⎜ _⎟⋅ = − ⇒ β = ⇒ β = ± ⎝ ⎠ 2 7 7 1 2 1 2 225 15 18 18 18 18 ar Portanto, β = 15 ou β = −15 . b) Tomando β = 15 : ⎧ β ⎧ ₌ ⎧ ₌ ₌ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ β ⎪ ⎪ _{= −} _⇒⎪ _{= −} _⇒ _{= −} ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + = ⎪ + = ⎪ = ± ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩ 2 2 2 2 15 5 18 18 6 15 5 18 18 6 1 1 ₁₁ 6 r r r a a a a b a b b

Portanto, as raízes são ⎧⎪⎨ − + − − ⎫⎪⎬

⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 5 5 11 5 11 , , 6 6 6 i i . Agora, para β = −15 :

(

)

(

)

⎧ − _⎧ β ⎧ ₌ _⎪ ₌ _{= −} ⎪ ⎪ _⎪ ⎪ ⎪ _⎪ − β ⎪ ⎪ _{= −} _⇒⎪ _{= −} _⇒ ₌ ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + = ⎪ + = ⎪ = ± ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎩ ⎩ 2 2 2 2 15 ₅ 18 18 6 15 5 18 18 6 1 1 11 6 r r r a a a a b a b b

Portanto, as raízes são ⎧⎪⎨− + − ⎫⎪⎬

⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 5 5 11 5 11 , , 6 6 6 i i . QUESTÃO 23

Sabe-se que 1, B, C, D e E são cinco números reais que satisfazem às propriedades:

(i) B,C,D,E são dois a dois distintos;

(ii) os números 1,B,C e os números 1,C, E, estão, nesta ordem, em progressão aritmética;

(iii) os números B,C,D,E, estão, nesta ordem, em progressão geométrica.

Determine B,C,D,E.

Resolução

Pela informação (ii) podemos escrever

(

1, ,B C

) (

= 1, 1+r, 1 2+ r

)

e como

(

1, ,C E

)

também é progressão aritmética, temos

(

1, ,C E

) (

= 1, 1 2 , 1 4+ r + r

)

. Então:

(

1, , , ,B C D E

) (

= 1, 1+r, 1 2 , , 1 4+ r D + r

)

Agora, pela informação (iii), temos que

(

B C D E, , ,

)

é uma progressão geométrica. Vamos denotar sua razão por q , então:

1 2 1 C r q B r + = = + e 2 1 4 1 2 E r q C r + = = + Unindo isso temos

(

) (

)

2 3 2 1 2 1 4 1 2 1 1 4 1 1 2 r r r r r r r + + ⎛ _{⎞ =} _⇔ ₊ _{= +} ₊ _⇔ ⎜ ₊ ⎟ ₊ ⎝ ⎠ 2 3 3 2 3 2 1 6+ r+12r +8r =4r +9r +6r+ ⇔1 4r +3r = 0

E como a informação (i) nos garante que r ≠ , temos que 0 3 4 3 0 4 r+ = ⇔ = − , então r

(

1, , , ,

)

1,1, 1, , 2 4 2 B C D E =⎛_⎜ − D − ⎞_⎟ ⎝ ⎠. Por fim,

utilizando novamente a informação (iii)

( )

1 2 2 2 2 1 1 4 q q D C ⎛₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = − ⇔ = − ⇒ = − ⋅ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Então

(

, , ,

)

1, 1, 1, 2 4 2 B C D E =⎛_⎜ − − ⎞_⎟ ⎝ ⎠. QUESTÃO 24

Seja Μ ⊂ dado por =

{

2+ − ∈ =

}

1 : 1

M z az z e z , com a ∈ .

Determine o maior elemento de M em função de a.

Resolução

Primeiramente, como temos um número complexo com módulo unitário, vamos escreve-lo como z=cisθ =cosθ +isenθ . Agora, queremos maximizar a expressão 2

1

E= z +az− . Perceba que como a expressão é não negativa, podemos maximizar seu quadrado. Então, utilizando a relação w2= ⋅ : w w

(

)(

)

2 2 2 2 2 1 1 1 E =z +az− = z +az− z +az−

( )

2

( )

2

( )

2

( )

2 1 zz az zz z az zz a zz az z az = + − + + − − − +

Utilizando então que zz= z2= : 1 2 ₁ E = +az₋_z2₊_az ₊_a2₋_az₋_z2₋_az _{+ = +}_{1 2} _a2₋

(

_z2₊_z2

)

( )

= +₂ _a2− ⋅_{2 Re} _z2 = +₂ _a2−_{2cos 2}θ Então 2

( )

2 2cos 2

E= +a − θ , e esse valor é maximizado quando

( )

cos 2θ = − , ou seja, 1 2 π θ = ( z i= ) ou 3 2 π θ = ( z= − ) e o valor i máximo é

( )

= + 2− − ⇔ 2 2 1 máx E a Emáx= a2+4 QUESTÃO 25

Seja S o conjunto de todos os polinômios de grau 4 que têm três dos seus coeficientes iguais a 2 e os outros dois iguais a 1.

a) Determine o número de elementos de S.

b) Determine o subconjunto de S formado pelos polinômios que têm −1 como uma de suas raízes.

Resolução a) Seja 4 3 2 4 3 2 1 0 ( ) p x =a ⋅x +a ⋅x +a ⋅x + ⋅ +a x a

Dentre seus cinco coeficientes, basta escolher quais os três que serão iguais a 2. Logo, o total de polinômios nas condições apresentadas:

5 3 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 10 polinômios b) Se −1 for raiz do polinômio, temos que:

4 3 2 4 3 2 1 0 ( 1) 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) p− = ⇔a ⋅ − +a ⋅ − +a ⋅ − + ⋅ − +a a ⇔ 4 2 0 3 1 a +a +a =a +a

Como dois coeficientes são iguais a 1, e os restantes iguais a 2, então o menor valor que o lado esquerdo assume é 4, enquanto o maior valor que o lado direito assume é 4. Ou seja, a única maneira de essa igualdade se verificar é se os dois lados forem iguais a 4. Ficamos com as opções: 4 2 0 3 1 1 2 a a a a a = = ⎧⎪ ⎨ = = = ⎪⎩ ou 4 0 2 3 1 1 2 a a a a a = = ⎧⎪ ⎨ ₌ ₌ ₌ ⎪⎩ ou 2 0 4 3 1 1 2 a a a a a = = ⎧⎪ ⎨ ₌ ₌ ₌ ⎪⎩ Portanto, o subconjunto de S pedido é:

{

4 3 2 4 3 2 4 3 2

}

2 2 2 , 2 2 2 1, 2 2 2 1

x + x +x + x+ x + x + x + x+ x + x +x + x+

QUESTÃO 26

Três pessoas, aqui designadas por A, B e C, realizam o seguinte experimento: A recebe um cartão em branco e nele assinala o sinal + ou o sinal –, passando em seguida a B, que mantém ou troca o sinal marcado por A e repassa o cartão a C. Este, por sua vez, também opta por manter ou trocar o sinal do cartão. Sendo de 1/3 a probabilidade de A escrever o sinal + e de 2/3 as respectivas probabilidades de B e C trocarem o sinal recebido, determine a probabilidade de A haver escrito o sinal de + sabendo-se ter sido este o sinal ao término do experimento.

(12)

Resolução

Inicialmente, vamos determinar as probabilidades dos eventos de escolha de sinal.

I. pessoa A: designando por A+ e A− os eventos de assinalar no cartão sinal + e sinal –, respectivamente, temos as seguintes probabilidades:

( )

1 3 P A+ = e

( )

2 1 3 P A− = −P A+ =

II. pessoas B e C: sendo M o evento de manter o sinal e T o de troca de sinal, temos as probabilidades:

( )

=2 3

P T e

( )

= −1

( )

=1 3

P M P T

A probabilidade que estamos procurando é dada por:

(

)

P A

(

_{( )}

C

)

P A C P C + + + + + ∩ = ,

onde C+ é o evento de terminar com sinal +. Assim, vejamos as possibilidades do evento C+:

A B C Probabilidade

+ + +

⎛ ⎞_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ 3 1 3

+ - +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟}⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 2 3 3

- - +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟}⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 2 3 3

- + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟}⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 2 3 3

Dessa maneira, a probabilidade do evento C+ é:

( )

1 3 1 2 2 13

3

3 3 3 27

P C+ =⎛ ⎞⎜ ⎟ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Repare que o para começarmos com sinal +, basta olharmos para as duas linhas iniciais da tabela. Daí, temos os seguintes casos:

A B C Probabilidade

+ + +

⎛ ⎞_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ 3 1 3

+ - +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟}⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 2 3 3

Logo, a probabilidade de ocorrer o evento A+∩C+é:

(

)

1 3 1 2 2 5

3 3 3 27

P A₊∩C₊ =⎛ ⎞_{⎜ ⎟} +⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟}⋅ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Portanto, a probabilidade que procuramos é dada por:

(

)

(

_{( )}

)

5 5 27 13 13 27 P A C P A C P C + + + + + ∩ = = = QUESTÃO 27

Seja n um inteiro positivo tal que sen 2 3

2n 4 π ₌ − . a) Determine n. b) Determine sen 24 π . Resolução

a) Da expressão do cosseno do arco duplo, temos que:

2 2 3 3

cos 2 1 2 sen 1 2 cos

2n 2n 4 n 2 ⎛ ⎞ π π − π ⎛ _⋅ ⎞_{= − ⋅} ⎛ ⎞_{= − ⋅} _⇔ ⎛ ⎞₌ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sendo n inteiro positivo, então 0 n π ≤ ≤ π . Portanto: 6 n π π = ⇔ n=6

b) Sendo n= , segue do enunciado que: 6

2 3

sen

12 4

π −

=

Da relação fundamental da Trigonometria:

2 2 2 3 2 2 3

sen cos 1 cos 1 cos

12 12 4 12 12 2

π ₊ π _{= ⇔} − ₊ π _{= ⇔} π _{= ±} +

Como 0 12 2

π π

≤ ≤ , então ficamos com o sinal positivo:

2 3

cos

12 2

π ₌ +

Agora, usando novamente a expressão para o arco duplo, vem que: 2

2 3

cos cos 2 1 2 sen

12 24 2 24 π ₌ ⎛ _⋅ π⎞_⇔ + _{= − ⋅} π _⇔ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 3 sen 24 2 π _{= ±} − + Como 0 24 2 π π

≤ ≤ , então ficamos com o sinal positivo:

2 2 3 sen 24 2 π − + = Observação

Podemos expressar cos 12

π

de outro modo, fazendo:

2 3 2 1

cos cos cos cos sen sen

12 4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 π ₌ ⎛π π₋ ⎞₌ π_⋅ π₊ π_⋅ π₌ _⋅ ₊ _{⋅ ⇔} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 2 cos 12 4 π ₌ +

Assim, a resposta também pode ser expressão da seguinte maneira:

6 2 1 1 cos 4 12 sen 24 2 2 ⎛ + ⎞ π ₋ − ⎜ ⎟ π ₌ ₌ _⎝ _⎠_⇔ 4 6 2 sen 24 8 π − − = QUESTÃO 28

Sejam α e β números reais não nulos. Determine os valores de b, c, d, bem como a relação entre α e β para que ambos os sistemas lineares S e T a seguir sejam compatíveis indeterminados.

2x by S cx y + = α ⎧ ⎨ _{+ = β} ⎩ 3 4 cx y T x dy + = α ⎧ ⎨ ₊ _{= β} ⎩ Resolução

Sendo α e β não nulos, para que cada um dos sistemas lineares apresentados seja possível e indeterminado, devemos ter uma relação de proporcionalidade entre os coeficientes correspondentes em cada equação: 2 1 3 4 b c c d α ⎧ = = ⎪ _β ⎪ ⎨ _α ⎪ = = ⎪ β ⎩ ,

Reescrevendo numa única cadeia de igualdades, temos:

2 3 4 c b c d α = = = = β

(13)

12 Da primeira igualdade: 2 2 8 2 2 4 c c c c= ⇔ = ⇔ = ± Voltando à cadeia de igualdades, temos:

2 2 2 2 2 3 4 2 2 c b d ⎧ = ⎪ ⎨ ₌ _{= =} ₌α ⎪ _β ⎩ ou 2 2 2 2 2 3 4 2 2 c b d ⎧ = − ⎪ _⇔ ⎨ ₌− _{= =} ₌α ⎪ _β − ⎩ 2 2 2 2 2 2 ou 2 2 3 2 3 2 2 2 b b c c d d ⎧ ⎧ = = − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ₌ ⎪ _{= −} ⎨ ⎨ ⎪ ₌ ⎪ _{= −} ⎪ ⎪ ⎪_{β =} _{⋅ α} ⎪_{β = −} _{⋅ α} ⎩ ⎩ QUESTÃO 29

Sabe-se que a equação 2+ − 2− + − =

3x 5xy 2y 3x 8y 6 0 representa a reunião de duas retas concorrentes, r e s , formando um ângulo agudo θ . Determine a tangente de θ .

Resolução

Podemos pensar em nossa equação como uma equação de segundo grau em y (ou em x , mas veremos que é mais conveniente em y nessa situação): 2 2 3x +5xy−2y −3x+8y− =6 0 ⇔

(

)

(

)

2 2 2y y 5x 8 3x 3x 6 0 − + + + − − =

Então, lembrando que a condição para que a equação geral de segundo grau represente um par de retas, é ter o discriminante igual a um trinômio quadrado perfeito. Segue que:

(

)

2

( )

(

2

)

2

(

)

2

5x 8 4 2 3x 3x 6 49x 56x 16 7x 4

Δ = + − − − − = + + = +

Então as retas serão dadas por:

(

5 8

) (

7 4

)

1 ou 3 3 4 2 x x x y=− + ± + ⇔ y= − + y= x+ −

Assim os coeficientes angulares de nossas retas são 1 1 2 m = − e 2 3

m = . Logo, a tangente do ângulo agudo entre as retas é dado por:

( ) 1 2 ( ) 1 2 1 3 2 tg tg 7 1 1 1 3 2 m m m m ⎛ ⎞ − −_⎜ _⎟ − _⎝ _⎠ θ = = ⇔ θ = + ⋅ _{+ ⋅ −}⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . QUESTÃO 30

Na construção de um tetraedro, dobra-se uma folha retangular de papel, com lados de 3 cm e 4 cm, ao longo de uma de suas diagonais, de modo que essas duas partes da folha formem um ângulo reto e constituam duas faces do tetraedro. Numa segunda etapa, de maneira adequada, completa-se com outro papel as faces restantes para formar o tetraedro. Obtenha as medidas das arestas do tetraedro.

Resolução

Segue abaixo a ilustração que representa a situação descrita no enunciado.

Sendo assim, 4 das 6 arestas do tetraedro B ADC' já estão definidas. = '=3 cm

CD AB e C 'B =AD=4 cm

Note que a diagonal do retângulo original também será uma das arestas e sua medida, pelo teorema de Pitágoras, será:

(_AC)2=₃2+₄2⇒ _AC= 5 cm

Note que a sexta aresta a definir será B D' . Deste modo, para obter a medida desta aresta, devemos obter inicialmente os lados B H' 1 e

1 DH .

Deste modo, pelas relações métricas no triângulo retângulo AB'C, temos: ( )

₍

₎

( )

₍

₎

₍

₎

(

) (

)

(

)

(

)

2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 9 ' 3 5 5 9 9 12 5 ' ' ' 5 5 5 AB AH AC AH AH DH B H AH CH B H B H ⎧ ₌ _⋅ _⇒ ₌ _{⋅ ⇒} ₌ ⎪⎪ ⎨ _⎛ _⎞ ⎪ ₌ _⋅ _⇒ _{= ⋅}_⎜ ₋ _⎟_⇒ ₌ ₌ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ Note que

(

AH1

) (

= CH2

)

Portanto,

(

1 2

)

(

1 2

)

9 7 5 2 5 5 H H = − ⋅ ⇒ H H = E por Pitágoras, temos:

(

) (

2

) (

2

)

2 2 2

(

)

2

(

)

2

1 2 2 1 1 1

7 12 193

5 5 25

H H + DH = DH ⇒_{⎝ ⎠}⎛ ⎞⎜ ⎟ +⎜⎛_⎝ ⎞⎟_⎠ = DH ⇒ DH =

E, por fim, pelo teorema de Pitágoras no triângulo B DH' 1, segue que: ( )2=

₍

_{) (}

2+

₎

2⇒( )2= + ⇒ 1 1 193 144 ' ' ' 25 25 B D DH B H B D ( )₌ 337 ' cm 5 B D