II Congresso Nacional de Formação de Professores
XII Congresso Estadual Paulista sobre Formação de Educadores
EXPLORANDO GEOMETRIA FRACTAL COM O SOFTWARE LOGO NO ENSINO FUNDAMENTAL
Antônio Do Nascimento Gomes, José Antonio Salvador
Eixo 7 - Propostas curriculares e materiais pedagógicos no ensino e na formação de professores
- Relato de Experiência - Apresentação Oral
Este trabalho aborda possibilidades de uso do software Logo em aulas de Matemática na Educação Básica. O ponto de partida para tal estudo, que propõe atividades de ensino ainda não aplicadas em sala de aula, é a pesquisa de mestrado “Uma proposta de ensino envolvendo Geometria Fractal para o estudo de Semelhança de Figuras Planas” (Gomes, 2010), do PPGECE-UFSCar (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas da Universidade Federal de São Carlos). Nele propomos atividades diferenciadas que trazem a Geometria Fractal como ponto de partida para o ensino de conceitos presentes no currículo da 8ª série (9º ano) do Ensino Fundamental. A partir deste trabalho incluímos aqui o Software Logo para que uma abordagem computacional pudesse ser feita com tais atividades. Este software prima pelo trabalho com processos iterativos, fundamentais em uma construção fractal e que, esperamos, pode tornar a aula mais produtiva para os estudantes, além de ser de fácil acesso e manuseio. Baseados em uma Pesquisa sobre a própria Prática (Ponte, 2002) entendemos a importância do professor engajado no estudo e reflexão sobre suas práticas e, neste caso específico, destacamos a variedade de conteúdos que podem ser abordados juntamente com a Geometria Fractal e o software Logo. Palavras-chave: Ensino de Matemática. Geometria Fractal. Software Logo.
Trabalho Completo
Ficha Catalográfica
EXPLORANDO GEOMETRIA FRACTAL COM O SOFTWARE LOGO NO ENSINO FUNDAMENTAL
Antônio do Nascimento Gomes. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Sul de Minas Gerais - Câmpus Inconfidentes e Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP; José Antonio Salvador Universidade Federal de São Carlos – UFSCar.
A Geometria Fractal na Educação Básica
A Geometria Fractal, entendida como um ramo particular da Matemática tem sua formalização muito recente, datada da segunda metade do século XX, por Benoit Man-delbrot. Relata MANDELBROT (1983, p. 1) na introdução do seu livro A Geometria Frac-tal da Natureza: “eu pesquisei uma nova Geometria da natureza e implementei-a num
número diverso de situações. Ela descreve muito do que é irregular e fragmentado a nos-sa volta (...), através da identificação de uma família de formas que eu chamei Fractais.”
Muito antes disso, porém, alguns trabalhos de matemáticos famosos como Koch, Cantor e Sierpinskii evidenciavam também objetos, figuras ou construções patológicas que apresentavam características que posteriormente Mandelbrot classificaria como con-juntos fractais. Trabalharemos a seguir com um destes concon-juntos, o Triângulo de Sier-pinski, em que podemos explorar vários tópicos de Matemática numa abordagem compu-tacional além da geométrica e algébrica usuais.
BARBOSA (2005, p. 18) reúne algumas definições de Fractal, desde a inicialmen-te proposta por Mandelbrot, as quais listamos destacando as caracinicialmen-terísticas de auto-semelhança presente em tais construções e o processo iterativo que as geram:
- “um fractal é uma forma cujas partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos”,
- “um conjunto F é fractal se, por exemplo: F possui alguma forma de au-to-similaridade ainda que aproximada ou estatística” e
- “o conjunto F pode ser expresso através de um procedimento recursivo ou iterativo.”
Nunes (2006, p. 29) traz a seguinte definição para a auto-semelhança e a classifi-ca em dois tipos: exata e aproximada ou estatísticlassifi-ca: “Uma figura é auto-semelhante se
apresenta sempre o mesmo aspecto visual a qualquer escala que seja ampliada ou redu-zida, ou seja, se parte da figura se assemelha à figura vista como um todo.”
Uma figura apresenta auto-semelhança exata se é gerada por um processo ma-temático, sendo o conjunto total formado por pequenas partes idênticas; a auto-semelhança aproximada, por sua vez, é encontrada em objetos da natureza, que
possu-em possu-em suas partes a mesma estrutura do todo, mas não possu-em cópias exatas. As escalas de ampliação nestas formas, que não são muitas, também podem ser discutidas sob o ponto de vista da Geometria Fractal.
As atividades desta proposta trabalharão a partir do conjunto fractal conhecido como Triângulo de Sierpinski (descoberto em 1917). São os fractais definidos por Sier-pinski talvez os mais utilizados em abordagens do assunto com estudantes da Educação Básica, dada a sua fácil construção e aspecto visual atraente.
O Triângulo de Sierpinski pode ser construído iterativamente pelo seguinte proce-dimento:
1. Considerar um triângulo equiláteroii;
2. Construir internamente a este, a partir de seus pontos médios, quatro novos triângulos equiláteros e remover da construção o triângulo interno com vértices nos pontos médios dos lados;
3. Repetir o passo 2 com os triângulos restantes, indefinidamente.
Figura 1 – Os primeiros passos da construção do Triângulo de Sierpinski.
BARBOSA (2005, p. 19) justifica propostas que utilizem Geometria Fractal no con-texto da Educação Básica baseando-se no seguinte:
- conexões com várias ciências;
- deficiências da Geometria Euclidiana para o estudo de formas da natu-reza, desde que é, em geral, apenas apropriada para formas do mundo oriundas do humano;
- difusão e acesso aos computadores e as tecnologias da informática nos vários níveis de escolarização;
- existência do belo nos fractais e possibilidade do despertar e desenvol-ver o senso estético com o estudo e a arte aplicada à construção de frac-tais, entendendo-se arte como toda ação que envolve simultaneamente emoção, habilidade e criatividade;
- sensação de surpresa diante da ordem na desordem.
Entendemos aqui a relevância de todas as justificativas expostas e concordamos com elas, ressaltando a questão da sensação de surpresa, da estética, e da conexão com outros temas. Ainda de acordo com BARBOSA (2005), três formas de exploração dos fractais na sala de aula são naturais:
a) estudar as relações numéricas de seus elementos, como contagem, períme-tros, áreas e volumes;
b) despertar ou desenvolver o senso estético, captando o educando para o belo e a harmonia no fractal;
c) aproveitar a emergência de uma relação notável da Matemática em algum frac-tal.
A partir do exposto por BARBOSA (2005), pensamos também no uso de fractais para mobilizar e estimular a aprendizagem de outros conteúdos específicos da grade curricular, como a Semelhança de Figuras (Gomes, 2010) e outros conceitos que se tor-nem oportunos por serem pré-requisitos.
O Software Logo
O software Logoiii é livre e existem várias implementações. É um software que tra-balha através de comandos simples enviados pelo usuário. O ambiente Logo aparece geralmente com a tela dividida em 2 regiões: uma de entrada de comandos e outra onde uma tartaruga gráfica se move construindo as figuras. Com uma linguagem simples este software pode facilitar a aprendizagem e a construção do conhecimento nas aulas de Matemática.
Figura 2 – Janela inicial do software Logo
O Logo trabalha com duas linguagens: compilada e interpretada. Na linguagem compilada o programa é escrito e submetido ao compilador. O compilador lê o código fonte e o converte para o código executável, o qual o computador entende. Já a lingua-gem interpretada não é anteriormente compilada, ou seja, cada linha lida é executada pelo interpretador. Este é um processo mais lento, mas tem a vantagem de não
necessi-tar a compilação completa para cada mudança. É uma ferramenta para o pensamento PAPERT (1988), situação ideal para um ambiente de aprendizagem.
Com uma interface simples, algumas características do Logo impulsionam seu po-tencial de uso em sala de aula:
- contribui para a construção do conhecimento;
- estimula o senso crítico, a criatividade e o raciocínio lógico; - permite a auto-avaliação do usuário;
- permite que o usuário adquira noções de programação e - possibilita trabalhar o erro de um modo produtivo.
O que a tartaruga gráfica faz basicamente é realizar desenhos sobre a tela, a par-tir dos comandos enviados pelo usuário que dirão precisamente o tamanho da linha e a direção em que ela deve ser construída.
Não é preciso conhecer programação para trabalhar com o Logo. Aprendendo comandos simples com a tartaruga gráfica o principiante já vai desenvolvendo conheci-mentos sobre geometria, através da construção, interpretação e discussão de figuras geométricas em sala de aula ou no laboratório computacional.
O exemplo a seguir ilustra bem este fato. É o roteiro de construção de um quadra-do de duas formas diferentes. Primeiramente discutimos a definição de um quadraquadra-do e em seguida construímos cada lado do quadrado passo a passo direcionando a tartaruga gráfica do Logo.
Roteiro para construção de um quadrado (cada lado de uma vez): pf 100iv pd 90 pf 100 pd 90 pf 100 pd 90 pf 100 pd 90
Em seguida, com uma estrutura de repetição (conhecida em qualquer linguagem usual de programação).
Roteiro para construção de um quadrado (usando repetição): repita 4 [pf 100 pd 90]
Figura 3 – Um quadrado no Logo
Temos assim o mesmo quadrado, feito de duas formas diferentes. No primeiro ca-so há redundância dos códigos. No segundo, o Logo foi programado para repetir a mes-ma sequência 4 vezes com a simplicidade dos comes-mandos: pf (para a frente), pd (para a direita) e repita.•
Algumas atividades propostas como a seguir partem deste princípio de uso de comandos simples do software Logo para que sejam acessíveis a estudantes da Educa-ção Básica, que geralmente não tem familiaridade com programaEduca-ção de computadores. Assim um destaque maior pode ser dado aos conceitos e definições das figuras geomé-tricas em si.
Atividades Propostas
I. Atividades de Exploração dos Comandos Básicos
1) Definir e construir as seguintes figuras geométricas com quaisquer medidas: a) Triângulo eqüilátero;
b) Triângulo isósceles (que não seja equilátero e nem retângulo); c) Triângulo retângulo.
2) Construir um triângulo isósceles com altura h dada que não seja nem eqüilátero nem retângulo (por exemplo, h = 100 passos da tartaruga)).
3) Construir um retângulo com largura L e altura a dadas (por exemplo, L = 250, a = 100). 4) Construir um triângulo retângulo com hipotenusa dada (por exemplo h = 50 passos). 5) Construir um trapézio isósceles com base maior dada (B = 80) e o ângulo dos vértices igual a 60o.
6) Dado um triângulo, como construir um segundo semelhante?
7) Dado um triângulo, como construir o seu simétrico, considerando que um dos lados está sobre o eixo de simetria?
8) Defina e construa uma circunferência.
Atividades gerais como estas, algumas mais elementares que outras, servem co-mo uma apresentação do software à turma, revendo definições e em que são fornecidas orientações em termos de manuseio do software e idéias de comandos para a construção de figuras geométricas simples. Elas facilitarão o trabalho com os estudantes nas ativida-des seguintes, mais direcionadas para o que queremos explorar.
É neste momento de primeiro contato que o professor explicará à turma os co-mandos básicos do Logo como salvar construções, inicializar e finalizar o programa, além de outras opções de menus do software.
II – Construção do Triângulo de Sierpinski
O Triângulo de Sierpinski, cujo processo iterativo foi exposto anteriormente, pode ser trabalhado em diversos momentos em sala de aula da Educação Básica (Gomes, 2010). Trazemos a seguir as primeiras estruturas de comandos que podem ser utilizadas com o software Logo, para a construção deste fractal.
A partir destas primeiras construções, várias discussões podem ser feitas, como por exemplo a continuidade da construção, considerando a definição de fractal como figu-ra com auto-semelhança em infinitas escalas. Apresentamos a primeifigu-ra itefigu-ração do triân-gulo de Sierpinski.
1. Com comandos simples: A construção passo a passo pd 90 pf 100 pe 120 pf 100 pe 120 pf 100 pe 120 pf 50 pe 60 pf 50 pe 120 pf 50 pe 120 pf 50
2. Com estrutura de repetição mais elaborada:
aprenda tri :x
se :x<3 [pare] repita 3 [tri :x/2 pf :x pd 120] fim
Figura 4 – Construção da primeira iteração do Triângulo de Sierpinski
III– Construção de uma Árvore Fractal
Nesta atividade, a título de exemplo, trazemos uma construção mais elaborada, em que pode ser explorada inclusive, como vemos pela imagem ambiental, a utilização de cores. Pretende-se com este grau de elaboração crescente nas atividades mostrar a estudantes e professores que diversas atividades podem ser trabalhadas com o estudo deste software em vários projetos, para que possam ser implementadas em sala de aula.
Para exemplificar citamos alguns conteúdos que podem ser trabalhados a partir da 5ª série (6º ano) do Ensino Fundamental e a título de revisão em séries posteriores: Múltiplos e divisores, Expansão (Ampliação) e redução (contração) – semelhança e Ân-gulos – orientação, giros.
Em GOMES (2010) mapeamos os conteúdos explicitados no currículo paulista pa-ra cada série do Ciclo III e IV do Ensino Fundamental e do Ensino Médio que possam ser trabalhadas a partir de atividades que envolvem o conceito de fractal. Pretendemos, des-ta forma, colocar à mão do leitor uma série de momentos em que a Geometria Fracdes-tal pode ser presente, partindo da defesa de seu uso em sala de aula ou laboratório compu-tacional.
Considerações Finais
Como já afirmamos, estas atividades foram desenvolvidas e adaptadas de forma a complementar o trabalho já realizado durante o curso de Mestrado e a aplicação e análi-se nos moldes das atividades que foram realizadas durante a pesquisa inicial.
Partimos do objetivo de elaborar um material de apoio ao professor, como já fize-mos durante a Pós-Graduação, mas que tenha também uma ênfase computacional, dado os vários cenários escolares e a variedade de recursos que as máquinas podem propor-cionar em um ambiente de aprendizagem.
Apesar das dificuldades que o educador pode encontrar em um ambiente de in-formática, acreditamos no potencial de tais atividades e também na capacidade do pro-fessor de se organizar para que tal trabalho seja possível e tais dificuldades minimizadas. Trabalhamos aqui com as idéias colocadas por Ponte (2002) a respeito da prática profissional do professor e de suas responsabilidades ou compromissos, a saber:
a) Condução do processo de ensino-aprendizagem dos estudantes; b) Avaliação de seus estudantes;
c) Contribuições para a construção do projeto educativo da escola como um todo; e d) Desenvolvimento da (boa) relação da escola com a comunidade.
Claramente um professor deve ter em mente os dois primeiros itens da lista acima proposta por Ponte. Tanto a condução do processo de ensino-aprendizagem dos estu-dantes, quanto a avaliação dos mesmos, que inclusive estão fortemente interligados, de-pendem explicitamente do professor que está a frente de sua sala. Embora isso seja in-questionável, podemos discutir formas de se proceder numa ou noutra instância.
Por outro lado, também concordamos com Ponte a respeito de que o cumprimento destes compromissos não se dá de forma tranquila. Os problemas mais variados que surgem não dependem somente da experiência profissional para que sejam sanados de
forma satisfatória pois, de acordo com PONTE (2002, p. 1), “o ensino é mais do que uma
atividade rotineira onde se aplicam simplesmente metodologias pré-determinadas”.
Sendo assim, enquanto educadores devemos pensar, explorar, avaliar e reformu-lar nossa prática profissional, tendo como meta um melhor aprendizado dos estudantes. Para tanto, estar em constante estudo e aperfeiçoamento da nossa prática profissional, de novas formas de trabalho, de uma melhor compreensão de cada estudante e de tudo o que o cerca, são atitudes desejáveis e acreditamos, imprescindíveis ao bom profissio-nal nos dias de hoje.
Estes compromissos do docente são, a nosso ver, responsáveis sobremaneira pe-lo bom êxito da turma e da escola como um todo.
Discutíamos em Gomes (2010) o trabalho do professor na perspectiva de um es-tudo e reflexão sobre a nossa prática que, segundo Ponte, constitui um elemento decisivo da identidade profissional dos professores. Atividade concreta e digna pois, de status de pesquisa ou investigação formal, trataremos de identificar formas de conduta neste pro-cesso. De acordo com PONTE (2002, p. 2):
Uma actividade reflexiva e inquiridora, é geralmente realizada pelos pro-fessores de um modo intuitivo e não do modo formal próprio da investi-gação académica. Na verdade, a investiinvesti-gação dos professores sobre a sua prática, servindo propósitos específicos, não tem que assumir carac-terísticas idênticas à investigação realizada noutros contextos institucio-nais. Mas tem bastante a ganhar se os professores cultivarem uma a-bordagem mais cuidada na formulação das suas questões de investiga-ção e na conduinvestiga-ção dos seus projectos de interveninvestiga-ção nas escolas.
Ponte demarca desta forma a importância de investigações sobre a prática para o próprio fortalecimento e aprimoramento desta pelo professor, para o desenvolvimento profissional do mesmo e também para as instituições a que pertencem. E ainda enumera quatro razões para que tal atitude investigativa do professor se realize:
a) para se assumirem como autênticos protagonistas no campo curricular e profissional; b) como modo privilegiado de desenvolvimento profissional e organizacional;
c) para contribuírem para a construção de um patrimônio de cultura e conhecimento dos professores como grupo profissional; e
d) como contribuição para o conhecimento mais geral sobre os problemas educativos.
Neste cenário é que trazemos então outras perspectivas de reflexão e novas prá-ticas a partir de um trabalho realizado anteriormente, a aplicação dos fractais em sala de aula. Na perspectiva adotada por Ponte não se trata de elaborarmos roteiros a serem seguidos fielmente por outros professores, mas desencadearmos processos de discus-são e reflexão em que tais atividades aqui propostas possam ser ponto de partida para a
construção de outras, de acordo com a realidade e objetivos de cada professor. Cabe a este orientar-se em suas atitudes investigativas.
Defendemos novamente o uso que pode ser feito da Geometria Fractal em sala de aula, em diversos momentos, conteúdos e séries escolares de toda a Educação Bási-ca. Assim, dado o aspecto visual atraente de suas construções, os textos instrucionais dos processos iterativos e o poderoso recurso computacional que pode ser utilizado, con-sideramos uma forte aliada no trabalho motivador e mobilizador do professor frente a sua sala de aula.
Nas atividades estudadas e aplicadas durante a pesquisa de Mestrado pudemos constatar o grande interesse e empenho dos estudantes pelo assunto e também indícios de aprendizagem. Estes se manifestavam não somente nos conteúdos específicos traba-lhados, mas também em outros considerados como pré-requisitos, que foram sendo re-vistos pelos estudantes durante o trabalho.
Referências
BARBOSA, R. M., Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. 2ª ed. Belo Ho-rizonte: Autêntica, 2005. (Coleção Tendências em Educação Matemática).
GOMES, A. N. Uma proposta de ensino envolvendo Geometria Fractal para o estudo de
Semelhança de Figuras Planas. 2010. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de
Ciências Exatas). Centro de Ciências Exatas e Tecnologias. Departamento de Matemáti-ca. Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2010. Disponível em <http://www.ppgece.ufscar.br/index.php/por/content/view/full/173>. Acesso em: 13 jan 2011.
GOMES, A. N.; SALVADOR, J. A. (2010). E depois da elaboração de um Produto
Educa-cional? Disponível em: <www.enrede.ufscar.br>. Acesso em: jan 2011.
GOMES, A. N. SALVADOR, J. A. Incluindo Fractais no Ensino de Geometria da Educação
Básica. In: CEPFE, X, 2009, Águas de Lindóia-SP. [CD-ROOM]. Águas de Lindóia:
UNESP.
GONÇALVES, J. P; SALVADOR, J. A. Tutorial Logo. Adaptado de: PAPERT, S., Logo. Computação e Educação, 3a. Ed. Brasiliense, São Paulo (1988) e LESSER, M., Progra-mação em Logo, Editorial Presença LTDa, Lisboa (1987).
LOPES. J. M, SALVADOR, J. A. e BALIEIRO FILHO, I. F. O Ensino de Probabilidade
Geométrica por meio de Fractais e da Resolução de Problemas. CNMAC, 2012.
MANDELBROT, B. B. The fractal geometry of nature. New York: W. H. Freeman and Company, 1977.
NUNES, R. S. R., Geometria fractal e aplicações. 2006. Dissertação (Mestrado em Ensi-no de Matemática) - Departamento de Matemática Pura, Faculdade de Ciências da Uni-versidade do Porto, Cidade do Porto, 2006.
PAPERT, S. Logo – Computadores e educação. São Paulo: Brasiliense, 1988.
PONTE, J. P., Investigar a nossa própria prática. In: Grupo de Trabalho I (Org.). Reflectir e investigar sobre a prática profissional. Lisboa: APM, 2002. p. 5-28.
SALVADOR, J. A. Dobras, Cortes, Padrões e Fractais. III EMO – OBMEP. Nova Friburgo, 2009.
i Detalhes das construções propostas por estes matemáticos podem ser encontrados em Gomes
(2010).
ii
As atividades aqui desenvolvidas e também em Salvador (2009), Gomes, Salvador (2009, 2010) e Gomes (2010) consideram um triângulo equilátero, que claramente torna os cálculos mais sim-ples e algumas propriedades facilmente visíveis. Podem ser trabalhados, contudo, com qualquer triângulo.
iii
O software Logo pode ser encontrado para download gratuito no endereço: http://pan.nied.unicamp.br/softwares/software_detalhes.php?id=33.
iv
O comando pf quer dizer “para frente”, ou seja, o cursor dá o número de passos da tartaruga estipulados (100) para frente; o análogo é pt (para trás). O comando pd quer dizer “gire para a direita”, ou seja, o cursor gira 90º (no caso) para a direita; o análogo é pe (gire para a esquerda).