estrutura de dados e técnicas de programação

(1)

Estruturas de Dados

e

T´

ecnicas de Programa¸

c˜

ao

Tomasz Kowaltowski

Instituto de Computa¸c˜ao Universidade Estadual de Campinas

www.ic.unicamp.br/∼tomasz c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e T´ecnicas de Programa¸c˜ao 1

Copyright c 2010 Tomasz Kowaltowski

Instituto de Computa¸c˜ao

Universidade Estadual de Campinas

Algumas transparˆencias foram adaptadas da apostila Estruturas de Dados

e Técnicas de Programa¸cão de autoria de Cláudio L. Lucchesi e Tomasz Kowaltowski.

Estas transparˆencias somente podem ser copiadas para uso pessoal dos

docentes e alunos das disciplinas oferecidas pelo Instituto de Computa¸c˜ao da UNICAMP.

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e T´ecnicas de Programa¸c˜ao 2

Introdu¸c˜

ao

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Técnicas de Programa¸cão Introdu¸cão 3

Pr´

e-requisito e objetivos

I Pré-requisito: curso básico de programa¸cão em C

I Objetivos:

I Programa¸c˜ao em (relativamente) baixo n´ıvel

I Técnicas de programa¸cão e estrutura¸cão de dados

I Prepara¸c˜ao para:

I An´alise de algoritmos

I Programa¸c˜ao de sistemas I Programa¸c˜ao em geral I Bancos de dados I Engenharia de software I . . . c

(2)

Programa

I Introdu¸cão à análise de algoritmos

I Estrutura¸c˜ao elementar de dados: matrizes, registros, apontadores

I Estruturas lineares: pilhas, filas, filas duplas

I Recurs˜ao e retrocesso

I Arvores bin´´ arias: representa¸c˜ao, percursos

I Arvores gerais: representa¸´ c˜ao, percursos

I Aplica¸c˜ao de ´arvores:

árvores de busca (AVL), filas de prioridade, árvores B, árvores digitais

I Listas generalizadas

I Espalhamento

I Processamento de cadeias de caracteres

I Gerenciamento de mem´oria

I Algoritmos de ordena¸c˜ao

I Algoritmos em grafos

I Tipos abstratos de dados e orienta¸c˜ao a objetos c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Técnicas de Programa¸cão Introdu¸cão 5

Bibliografia

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e T´ecnicas de Programa¸c˜ao Bibliografia 6

A. Drozdek.

Estrutura de Dados e Algoritmos em C++. Thomson, 2002.

J. L. Szwarcfiter e L. Markenzon.

Estruturas de Dados e seus Algoritmos. LTC Editora, 1994.

C. L. Lucchesi e T. Kowaltowski.

Estruturas de Dados e Técnicas de Programa¸cão. Instituto de Computa¸cão – UNICAMP, 2003.

P. Feofiloff.

Algoritmos em Linguagem C. Elsevier Editora Ltda., 2009.

G. H. Gonnet.

Handbook of Algorithms and Data Structures. Addison-Wesley, 1984.

c

E. Horowitz and S. Sahni.

Fundamentals of Data Structures in Pascal. Computer Science Press, 1984.

D. E. Knuth.

The Art of Computer Programming, volume I: Fundamental Algorithms.

Addison-Wesley, 1978.

E. M. Reingold and W. J. Hanson.

Data Structures.

Little Brown and Company, 1983.

R. Sedgewick.

Algorithms in C. Addison-Wesley, 1990.

D. F. Stubbs and N. W. Webre.

Data Structures with Abstract Data Types and Pascal. Brooks/Cole, 1985.

c

(3)

A. M. Tenenbaum and M. J. Augenstein.

Data Structures using Pascal. Prentice-Hall, 1986.

N. Wirth.

Algorithms + Data Structures = Programs. Prentice-Hall, 1976.

N. Ziviani.

Projeto de Algoritmos (2a. ed.) Thomson, 2004.

c

No¸c˜

oes de An´

alise de Algoritmos

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Técnicas de Programa¸cão No¸cões de Análise de Algoritmos 10

Escolha da estrutura

Importˆancia da escolha de estrutura de dados – busca de um elemento

numa seq¨uˆencia:

. . . x = a [ k ] ; . . . . . . p = a ; i = 0 ; w h i l e ( i <k ) { p = p−>p r o x ; i ++; } x = p−>i n f o ; . . . (a) (b)

(a) N´umero de opera¸c˜oes constante (vetor).

(b) N´umero de opera¸c˜oes proporcional a k (lista ligada).

c

Exemplo de an´

alise de trechos de programas

. . . x = a+b ; . . . . . . f o r ( i =0; i <n ; i ++) x = a+b ; . . . . . . f o r ( i =0; i <n ; i ++) f o r ( j =0; j <n ; j ++) x = a+b ; . . . (a) (b) (c) a b c

an´alise simples (1) 1 n n2

an´alise detalhada (2) 2 5n + 2 5n2+ 5n + 2

(1): atribui¸cões (2): atribui¸cões, opera¸cões aritméticas e compara¸cões

As duas an´alises produzem resultados proporcionais para valores crescentes de n.

c

(4)

Significado intuitivo da nota¸c˜

ao

O

()

c =

O

(1) para qualquer constante c

2 =

O

(1) 5n + 2 =

O

(n) 5n2+ 5n + 2 =

O

(n2) n2 =

O

(n3) nk =

O

(nk+1), k ≥ 0 log_an =

O

(log_bn), a, b > 0 log₂n =

O

(log₁₀n) c

Exemplo de an´

alise de um procedimento de ordena¸c˜

ao

v o i d Ordena ( i n t v [ ] , i n t n ) { i n t i , k , m, t ; f o r ( i =0; i <n −1; i ++) { m = i ; f o r ( k= i +1; k<n ; k++) i f ( v [ k ]< v [m] ) m = k ; t = v [ i ] ; v [ i ] = v [m ] ; v [m] = t ; } } /∗ Ordena ∗/

O número de compara¸cões de elementos de v, para cada valor de i, é n − i − 1. O número total de compara¸cões será:

n−2 X i=0 (n − i − 1) = n 2 2 + n 2

ou seja, o número de compara¸cões é da ordem de

O

(n2). c

Crescimento de algumas fun¸c˜

oes

n log₂n n log₂n n2 n3 2n 1 0 0 1 1 2 2 1 2 4 8 4 4 2 8 16 64 16 8 3 24 64 512 256 16 4 64 256 4.096 65.536 32 5 160 1.024 32.768 4.294.967.296 64 6 384 4.096 262.144 ≈ 18×1018 128 7 896 16.384 2.097.152 ≈ 34×1037 c

Exemplo

Suponha duas m´aquinas M1 e M2, sendo a primeira cem vezes mais

r´apida do que a segunda. Ambas as m´aquinas executam um algoritmo de

busca num vetor ordenado de comprimento n. A m´aquina M1 executa o

algoritmo de busca sequencial (pior caso: n opera¸cões); a máquina M2 executa o algoritmo de busca binária (pior caso: log₂n opera¸cões). A seguinte tabela poderia ser obtida através de medidas experimentais de tempo de execu¸cão para vetores de diversos tamanhos, usando alguma unidade de tempo conveniente.

c

(5)

Exemplo (cont.)

n M1 M2 16 16 400 32 32 500 64 64 600 128 128 700 256 256 800 512 512 900 1024 1024 1000 2048 2048 1100 . . . . 220 1.048.576 2000 221 _2.097.152 ₂₁₀₀ . . . . 230 1.073.741.824 3000

Supondo que a unidade seja 1 microssegundo, 2.097.152µs corresponde a 17 minutos e 1.073.741.824µs equivale a cerca de 12 horas.

c

Execu¸c˜

ao de programas

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Técnicas de Programa¸cão Execu¸cão de programas 18

Exemplo de fun¸c˜

oes simples

v o i d g ( i n t x , i n t ∗ y ) { ∗ y = x ; } /∗ g ∗/ v o i d f ( i n t ∗ z ) { i n t y ; c h a r b ; y = 2 3 5 ; g ( y , z ) ; } /∗ f ∗/ i n t main ( ) { i n t i ; c h a r c ; c h a r v [ 5 ] ; f (& i ) ; r e t u r n 0 ; } /∗ main ∗/

Pilha de execu¸c˜ao (sup˜oe inteiros de dois bytes):

i c v main z y _b f 235 x y 235 g 235

Obs.: Na realidade, os inteiros s˜ao armazenados sob a forma bin´aria. c

Exemplo de fun¸c˜

oes com aloca¸c˜

ao dinˆ

amica

t y p e d e f c h a r C a d e i a [ 5 ] ; t y p e d e f C a d e i a ∗ A p C a d e i a ; t y p e d e f s t r u c t { C a d e i a nome ; i n t i d a d e ; } Reg , ∗ApReg ; A p C a d e i a a p c ; ApReg a p r ; i n t ∗ a p i ; v o i d A l o c a ( A p C a d e i a ∗ c , ApReg ∗ r ) { a p i = m a l l o c ( s i z e o f ( i n t ) ) ; ∗ a p i = 1 0 ; ∗ c = m a l l o c ( s i z e o f ( C a d e i a ) ) ; ∗ r = m a l l o c ( s i z e o f ( Reg ) ) ; } /∗ A l o c a ∗/ i n t main ( ) {

A l o c a (& apc ,& a p r ) ; f r e e ( a p c ) ; f r e e ( a p r ) ; f r e e ( a p i ) ;

r e t u r n 0 ; } /∗ main ∗/

memória dinâmica pilha de execu¸cão

apc apr api global main c r Aloca 10 10 c

(6)

Exemplo de fun¸c˜

ao recursiva

i n t main ( ) { i n t m; m = f a t ( 4 ) ; r e t u r n 0 ; } /∗ main ∗/ i n t f a t ( i n t n ) { i f ( n==0) r e t u r n 1 ; e l s e r e t u r n n ∗ f a t ( n − 1 ) ; } /∗ f a t ∗/ m res n 4 res n 3 res n 2 res n 1 res n 0 1 1 2 6 24 24 c

Estruturas ligadas

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e T´ecnicas de Programa¸c˜ao Estruturas ligadas 22

Listas ligadas simples

p

. . .

Declara¸c˜oes (equivalentes):

t y p e d e f s t r u c t R e g L i s t a ∗ L i s t a ; t y p e d e f s t r u c t R e g L i s t a { T i n f o ; L i s t a p r o x ; } R e g L i s t a ; t y p e d e f s t r u c t R e g L i s t a { T i n f o ; s t r u c t R e g L i s t a ∗ p r o x ; } R e g L i s t a , ∗ L i s t a ; c

Inser¸c˜

ao e remo¸c˜

ao com passagem por valor

. . . x . . . p q v o i d I n s e r e ( L i s t a p , T x ) { L i s t a q = m a l l o c ( s i z e o f ( R e g L i s t a ) ) ; q−>i n f o = x ; q−>p r o x = p−>p r o x ; p−>p r o x = q ; } v o i d Remove ( L i s t a p , T ∗ x ) { L i s t a q = p−>p r o x ; ∗ x = q−>i n f o ; p−>p r o x = q−>p r o x ; f r e e ( q ) ; } c

(7)

Inser¸c˜

ao e remo¸c˜

ao com passagem por valor (cont.)

. . . x . . .

p q

I O argumento p ´e o apontador para o predecessor do n´o a ser inserido ou removido.

I A fun¸cão ’Remove’ não pode remover um nó que é o único da lista.

I A fun¸cão ’Insere’ não pode inserir um nó no in´ıcio da lista, inclusive se ela for vazia.

c

Inser¸c˜

ao e remo¸c˜

ao com passagem por referˆ

encia

. . . x . . . p q v o i d I n s e r e ( L i s t a ∗p , T x ) { L i s t a q = m a l l o c ( s i z e o f ( R e g L i s t a ) ) ; q−>i n f o = x ; q−>p r o x = ∗ p ; ∗p = q ; } v o i d Remove ( L i s t a ∗p , T ∗ x ) { L i s t a q = ∗ p ; ∗ x = q−>i n f o ; ∗p = q−>p r o x ; f r e e ( q ) ; }

Esta conven¸cão elimina os problemas da passagem por valor. Note-se que as variáveis p e q têm tipos diferentes.

c

Lista simples com n´

o cabe¸ca

p

. . .

Lista vazia:

p

Esta conven¸cão permite o uso de passagem por valor nas fun¸cões básicas. O campo de informa¸cão do nó cabe¸ca pode ser aproveitado para guardar alguma informa¸cão adicional (por exemplo, o comprimento da lista).

c

Lista simples circular

p

. . .

Problema: lista vazia?

c

(8)

Lista circular com n´

o cabe¸ca

p . . . Lista vazia: p c

Busca em lista circular com n´

o cabe¸ca – sentinelas

L i s t a B u s c a C i r c u l a r ( L i s t a p , T x ) { /∗ Busca sem s e n t i n e l a ∗/ L i s t a q = p ; do { q = q−>p r o x ; } w h i l e ( ( q!=p ) && ( q−>i n f o != x ) ) ; i f ( q==p ) r e t u r n NULL ; e l s e r e t u r n q ; } L i s t a B u s c a C i r c u l a r ( L i s t a p , T x ) { /∗ Busca com s e n t i n e l a ∗/ L i s t a q = p ; q−>i n f o = x ; do { q = q−>p r o x ; } w h i l e ( q−>i n f o != x ) ; i f ( q==p ) r e t u r n NULL ; e l s e r e t u r n q ; } c

Lista duplamente ligada com n´

o cabe¸ca

p

. . .

Lista vazia:

p

I E poss´ıvel percorrer os elementos nas duas dire¸´ c˜oes, a partir de qualquer lugar da lista.

I E poss´ıvel remover o elemento apontado.´

c

Opera¸c˜

oes sobre listas duplamente ligadas

t y p e d e f s t r u c t R e g L i s t a D u p l a { T i n f o ; s t r u c t R e g L i s t a D u p l a ∗ e s q , ∗ d i r ; } R e g L i s t a D u p l a , ∗ L i s t a D u p l a ; v o i d I n s e r e D u p l a E s q ( L i s t a D u p l a p , T x ) { L i s t a D u p l a q = m a l l o c ( s i z e o f ( R e g L i s t a D u p l a ) ) ; q−>i n f o = x ; q−>e s q = p−>e s q ; q−> d i r = p ; p−>e s q −> d i r = q ; p−>e s q = q ; } v o i d RemoveDupla ( L i s t a D u p l a p , T ∗ x ) { p−>e s q −> d i r = p−> d i r ; p−>d i r −>e s q = p−>e s q ; ∗ x = p−>i n f o ; f r e e ( p ) ; }

A fun¸cão ’RemoveDupla’ supõe que há pelo menos um elemento na lista. c

(9)

Exemplo: opera¸c˜

oes com polinˆ

omios

Seja um polinˆomio de grau n:

P (x) = anxn+ an−1xn−1+ . . . + a1x1+ a0x0 onde an 6= 0, exceto possivelmente no caso n = 0.

Representa¸cão ligada omite os termos não nulos. Por exemplo, os polinômios:

P1(x) = 5x20− 3x5+ 7 e P2(x) = 0:

podem ser representados por:

-1

p1 5 20 -3 5 7 0

-1

p2

Por conven¸cão, o expoente do nó cabe¸ca é -1. c

Exemplo de fun¸c˜

ao: impress˜

ao

t y p e d e f s t r u c t AuxPol { i n t e x p o ; f l o a t c o e f ; s t r u c t AuxPol ∗ p r o x ; } Termo , ∗ P o l i n o m i o ; v o i d I m p r i m e P o l i n o m i o ( P o l i n o m i o p ) { i f ( p−>p r o x==p ) { p r i n t f ( ” P o l i n ˆo m i o n u l o \ n ” ) ; r e t u r n ; } p = p−>p r o x ; w h i l e ( p−>e x p o !=−1) { p r i n t f ( ”(%2d , % 5 . 1 f ) ” , p−>expo , p−>c o e f ) ; p = p−>p r o x ; } p r i n t f ( ” \ n ” ) ; } c

Soma de polinˆ

omios: paradigma de intercala¸c˜

ao

-1 p pp0 . . . pp -1 q qq0 . . . qq -1 r rr0 . . . rr

As variáveis pp e qq representam os termos correntes dos polinômios dentro da malha de repeti¸cão e a variável rr aponta para o último termo já calculado da soma; pp0, qq0 e rr0 são os valores iniciais das variáveis pp, qq e rr.

A implementa¸cão das opera¸cões é um exerc´ıcio. Note-se que o produto de dois polinômios pode ser calculado como uma sequência de somas de

produtos de um polinˆomio por um termo.

c

Matrizes esparsas

Exemplo: 50 0 0 0 10 0 20 0 0 0 0 0 −30 0 −60 5

Dada uma matriz n × n, quando o número de elementos não nulos é uma

percentagem pequena de n2 (n˜ao ´e o caso do exemplo!), pode ser conveniente representar a matriz por meio de uma estrutura de listas ortogonais.

Suporemos, neste exemplo, que as linhas e as colunas s˜ao numeradas a

partir de 1.

c

(10)

Matrizes esparsas: listas ortogonais

50 0 0 0 10 0 20 0 0 0 0 0 −30 0 −60 5 4 -1 3 -1 2 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 2 -1 3 -1 4 1 1 50 2 1 10 2 3 20 4 1 -30 4 3 -60 4 4 5

O acesso à matriz é feito a partir do nó cabe¸ca das listas das cabe¸cas das linhas e das colunas (super-cabe¸ca!).

c

Opera¸c˜

oes sobre matrizes esparsas

Alguns exemplos: t y p e d e f s t r u c t R e g E s p a r s a { i n t l i n h a , c o l u n a ; d o u b l e v a l o r ; s t r u c t R e g E s p a r s a ∗ d i r e i t a , ∗ a b a i x o ; } R e g E s p a r s a , ∗ M a t r i z ; v o i d I n i c i a l i z a M a t r i z ( M a t r i z ∗ a , i n t m, i n t n ) ; v o i d L i b e r a M a t r i z ( M a t r i z a ) ; d o u b l e E l e m e n t o M a t r i z ( M a t r i z a , i n t i , i n t j ) ; v o i d A t r i b u i M a t r i z ( M a t r i z a , i n t i , i n t j , d o u b l e x ) ; v o i d S o m a M a t r i z e s ( M a t r i z a , M a t r i z b , M a t r i z ∗ c ) ; v o i d M u l t i p l i c a M a t r i z e s ( M a t r i z a , M a t r i z b , M a t r i z ∗ c ) ; ´

E importante notar os casos em que a passagem do argumento do tipo ’Matriz’ é feita por referência. (Nas duas últimas opera¸cões, a variável ’c’ recebe o resultado.)

c

Estruturas lineares

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e T´ecnicas de Programa¸c˜ao Estruturas lineares 39

Estruturas lineares em geral: opera¸c˜

oes t´ıpicas

I selecionar e modificar o k-´esimo elemento;

I inserir um novo elemento entre as posi¸c˜oes k e k + 1;

I remover o k-´esimo elemento;

I concatenar duas sequˆencias;

I desdobrar uma sequˆencia;

I copiar uma sequˆencia;

I determinar o tamanho de uma sequˆencia;

I buscar um elemento que satisfaz uma propriedade;

I ordenar uma sequˆencia;

I aplicar um procedimento a todos os elementos de uma sequˆencia;

I . . .

c

(11)

Estruturas lineares particulares

I Pilha (stack): inser¸c˜ao e remo¸c˜ao na mesma extremidade da estrutura

I Fila (queue): inser¸c˜ao numa extremidade (fim) e remo¸c˜ao na outra extremidade (in´ıcio)

I Fila dupla (double ended queue): inser¸c˜ao e remo¸c˜ao em ambas extremidades da estrutura

c

Pilha: implementa¸c˜

ao sequencial

. . . . . . 0 topo empilha (insere) desempilha (remove) Pilha vazia: . . . 0 topo (-1) Inicialmente: topo=-1. c

Pilha: implementa¸c˜

ao sequencial (cont.)

. . . . . . 0 topo empilha (insere) desempilha (remove) t y p e d e f s t r u c t { i n t t o p o ; T e l e m e n t o s [TAM MAX ] ; } P i l h a ; v o i d E m p i l h a ( P i l h a ∗p , T x ) { i f ( ( ∗ p ) . t o p o==(TAM MAX−1)) T r a t a E r r o ( ” P i l h a c h e i a ” ) ; ( ∗ p ) . t o p o ++; ( ( ∗ p ) . e l e m e n t o s ) [ ( ∗ p ) . t o p o ] = x ; }

Exerc´ıcio: a fun¸c˜ao “Desempilha”. c

Pilha: implementa¸c˜

ao ligada

topo

. . .

Pilha vazia:

topo

(Uma lista ligada simples.)

c

(12)

Pilha: implementa¸c˜

ao ligada (cont.)

topo . . . t y p e d e f s t r u c t E l e m P i l h a { T i n f o ; s t r u c t E l e m P i l h a ∗ p r o x ; } E l e m P i l h a , ∗ P i l h a ; v o i d E m p i l h a ( P i l h a ∗p , T x ) { P i l h a q = m a l l o c ( s i z e o f ( E l e m P i l h a ) ) ; i f ( q==NULL ) T r a t a E r r o ( ” F a l t a mem´oria ” ) ; q−>i n f o = x ; q−P r o x = ∗ p ; ∗p = q ; }

Exerc´ıcio: a fun¸c˜ao “Desempilha”. c

Fila: implementa¸c˜

ao sequencial

. . . .

frente fim

remove insere

Conven¸c˜ao: frente precede o primeiro elemento da fila; consequentemente, o tamanho da fila ´e dado por fim−frente.

Fila vazia:

. . . .

frente fim

Condi¸c˜ao de fila vazia: frente == fim. Inicialmente: frente = fim = −1.

c

Fila: implementa¸c˜

ao ligada circular

fila frente . . . fim Fila vazia: fila frente fim

A fila pode ser representada por uma única variável (fila) ou um par de variáveis (frente e fim).

c

Fila: implementa¸c˜

ao sequencial circular

n-1 0 ₁ 2 3 ... frente .. . fim .. .

Conven¸c˜ao: frente precede o primeiro elemento da fila; consequentemente,

o tamanho da fila ´e dado por (fim−frente + n)%n.

c

(13)

Fila: implementa¸c˜

ao sequencial circular (cont.)

n-1 0 1 2 3 ... frente ... fim ... Condi¸c˜oes:

I Inicial: frente == fim == 0 (ou qualquer outro valor)

I Fila vazia: frente == fim

I Fila cheia: frente == fim (a mesma condi¸c˜ao!)

I Solu¸cão 1: sacrificar uma posi¸cão do vetor; a condi¸cão de fila cheia fica: frente == (fim + 1)%n.

I Solu¸cão 2: uma variável adicional inteira com o tamanho da fila ou booleana indicando se a fila está vazia.

c

Fila: implementa¸c˜

ao sequencial circular (cont.)

n-1 0 1 ₂ 3 ... frente ... fim ...

#d e f i n e TAM MAX FILA 1000 t y p e d e f s t r u c t {

i n t f r e n t e , f i m ;

T e l e m e n t o s [ TAM MAX FILA ] ; } F i l a ;

v o i d I n s e r e F i l a ( F i l a ∗ f , T x ) {

i f ( ( ∗ f ) . f r e n t e ==(((∗ f ) . f i m +1)%TAM MAX FILA ) ) T r a t a E r r o ( ” F i l a c h e i a ” ) ;

( ∗ f ) . f i m = ( ( ∗ f ) . f i m +1)%TAM MAX FILA ; ( ∗ f ) . e l e m e n t o s [ ( ∗ f ) . f i m ] = x ;

}

Exerc´ıcio: a fun¸c˜ao “RemoveFila”.

c

Aplica¸c˜

oes de pilhas

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Técnicas de Programa¸cão Aplica¸cões de pilhas 51

Aplica¸c˜

oes de pilhas

I Processamento de linguagens parent´eticas: I linguagens de programa¸c˜ao

I XML

I Implementa¸c˜ao da recurs˜ao

I Percurso de estruturas hier´arquicas (´arvores)

I Avalia¸cão expressões em nota¸cão pós-fixa (nota¸cão polonesa reversa)

I Transforma¸c˜ao entre nota¸c˜oes

c

(14)

Exemplo de aplica¸c˜

ao simples: balanceamento de parˆ

enteses

Correto Incorreto ( () ) [()] [) []()[()[]] ()()[ ((([[[]]]))) )( c

Balanceamento de parˆ

enteses (cont.)

Pilha Resto da sequˆencia

Vazia ([([][()])]) ( [([][()])]) ([ ([][()])]) ([( [][()])]) ([([ ][()])]) ([( [()])]) ([([ ()])]) ([([( )])]) ([([ ])]) ([( )]) ([ ]) ( ) Vazia c

Nota¸c˜

oes para express˜

oes aritm´

eticas

I Infixa:

I um operador un´ario precede o operando

I um operador bin´ario separa os dois operandos

I parˆenteses indicam prioridades

I P´os-fixa: os operadores seguem os operandos

I Pr´e-fixa: os operadores precedem os operandos Exemplos:

infixa p´os-fixa pr´e-fixa

a a a

a + b ab+ +ab

a + b ∗ c abc ∗ + +a ∗ bc

(a + b) ∗ c ab + c∗ ∗ + abc

c

Exemplo: avalia¸c˜

ao de express˜

oes sob forma p´

os-fixa

Nota¸cão infixa: (3 + 5) ∗ 2 − (10 − 3)/2 Nota¸cão pós-fixa: 3 5 + 2 ∗ 10 3 − 2/− Estados consecutivos da pilha:

Pilha Entrada Vazia 3 5 + 2 ∗ 10 3 − 2/− 3 5 + 2 ∗ 10 3 − 2/− 3 5 +2 ∗ 10 3 − 2/− 8 2 ∗ 10 3 − 2/− 8 2 ∗10 3 − 2/− 16 10 3 − 2/− 16 10 3 − 2/− 16 10 3 −2/− 16 7 2/− 16 7 2 /− 16 3 − 13 Vazia c

(15)

Exemplo: transforma¸c˜

ao de nota¸c˜

ao infixa para p´

os-fixa

a ∗ b + c ∗ de/f − g ∗ h

Entrada infixa:

a

∗ b + c ∗ d ∧ e / f −g ∗ h

Sa´ıda p´os-fixa:

a b

∗ c d e ∧ ∗ f /+g h ∗−

I As var´aveis s˜ao copiadas diretamente para a sa´ıda.

I Os operadores precisam ser lembrados numa pilha.

I Um operador ´e copiado da pilha para a sa´ıda somente quando aparece

na entrada um operador de prioridade menor ou igual. c

Transforma¸c˜

ao de nota¸c˜

ao infixa para p´

os-fixa (cont.)

Sa´ıda Pilha Entrada

a ∗ b + c ∗ d ∧ e/f − g ∗ h a ∗ b + c ∗ d ∧ e/f − g ∗ h a ∗ b + c ∗ d ∧ e/f − g ∗ h ab ∗ + c ∗ d ∧ e/f − g ∗ h ab∗ + c ∗ d ∧ e/f − g ∗ h ab∗ + c ∗ d ∧ e/f − g ∗ h ab ∗ c + ∗d ∧ e/f − g ∗ h ab ∗ c +∗ d ∧ e/f − g ∗ h ab ∗ cd +∗ ∧ e/f − g ∗ h ab ∗ cd + ∗ ∧ e/f − g ∗ h ab ∗ cde + ∗ ∧ /f − g ∗ h ab ∗ cde∧ +∗ /f − g ∗ h (continua) c

Transforma¸c˜

ao de nota¸c˜

ao infixa para p´

os-fixa (cont.)

Sa´ıda Pilha Entrada

ab ∗ cde ∧ ∗ + /f − g ∗ h ab ∗ cde ∧ ∗ +/ f − g ∗ h ab ∗ cde ∧ ∗f +/ − g ∗ h ab ∗ cde ∧ ∗f / + − g ∗ h ab ∗ cde ∧ ∗f /+ − g ∗ h ab ∗ cde ∧ ∗f /+ − g ∗ h ab ∗ cde ∧ ∗f / + g − ∗ h ab ∗ cde ∧ ∗f / + g −∗ h ab ∗ cde ∧ ∗f / + gh −∗ ab ∗ cde ∧ ∗f / + gh∗ − ab ∗ cde ∧ ∗f / + gh ∗ − c

Exemplos de recurs˜

ao

c

(16)

Exemplo 1: fun¸c˜

ao fatorial

i n t f a t o r i a l ( i n t n ) { i f ( n==0) r e t u r n 1 ; e l s e r e t u r n n ∗ f a t o r i a l ( n − 1 ) ; } i n t f a t o r i a l ( i n t n ) { i n t i , f =1; f o r ( i =1; i <=n ; i ++) f = f ∗ i ; r e t u r n f ; }

Eficiˆencia: ambos

O

(n) (n multiplica¸c˜oes).

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Técnicas de Programa¸cão Exemplos de recursão 61

Exemplo 2: n´

umeros de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... i n t f i b o ( i n t n ) { i f ( n<=1) r e t u r n n ; e l s e r e t u r n f i b o ( n−1)+ f i b o ( n − 2 ) ; } i n t f i b o ( i n t n ) { i n t f 1 =0 , f 2 =1 , f 3 , i ; f o r ( i =1; i <=n ; i ++) { f 3 = f 1+f 2 ; f 1 = f 2 ; f 2 = f 3 ; } r e t u r n f 1 ; } Eficiˆencia:

O

(1.6n)

O

(n) n = 100: ≈ 1020 somas 100 somas c

Exemplo 3: Torres de Hanoi

A ... ... N

B C

(origem) (destino) (auxiliar)

Objetivo: transferir os N discos da torre A para a torre B, usando a torre C como auxiliar.

Regras:

I um disco de cada vez

I disco de diâmetro maior não pode ficar em cima de um disco de diâmetro menor

Solu¸c˜ao recursiva: fun¸c˜ao Hanoi(org,dest,aux,n). c

Torres de Hanoi: transferˆ

encia recursiva de N-1 discos

X ... ... N Y Z Hanoi(X,Z,Y,N-1) X Y Z ... ... N-1 c

(17)

Torres de Hanoi: movimento do maior disco

X Y Z ... ... N-1 Move X para Y X Y Z ... ... N-1 c

Torres de Hanoi: transferˆ

encia recursiva final de N-1 discos

X Y Z ... ... N-1 Hanoi(Z,Y,X,N-1) X Y ... ... N Z c

Torres de Hanoi: fun¸c˜

ao Hanoi

v o i d H a n o i ( c h a r o r g , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) { i f ( n >0) { H a n o i ( o r g , aux , d e s t , n − 1 ) ; p r i n t f ( ”Mova de %c p a r a %c \ n ” , o r g , d e s t ) ; H a n o i ( aux , d e s t , o r g , n − 1 ) ; } }

I Chamada inicial: Hanoi(’A’,’B’,’C’,64).

I N´umero de movimentos: 2N − 1 (prova por indu¸c˜ao).

I Este ´e o n´umero m´ınimo.

c

Torres de Hanoi: exemplos de sa´ıda

N=1: N=3: Mova de A p a r a B Mova de A p a r a B Mova de A p a r a C Mova de B p a r a C N=2: Mova de A p a r a B Mova de C p a r a A Mova de A p a r a C Mova de C p a r a B Mova de A p a r a B Mova de A p a r a B Mova de C p a r a B c

(18)

Torres de Hanoi: exemplos de sa´ıda (cont.)

N=4 Mova de A p a r a C Mova de C p a r a B Mova de A p a r a B Mova de C p a r a A Mova de C p a r a B Mova de B p a r a A Mova de A p a r a C Mova de C p a r a B Mova de B p a r a A Mova de A p a r a C Mova de B p a r a C Mova de A p a r a B Mova de A p a r a C Mova de C p a r a B Mova de A p a r a B c

Exemplo 4: gera¸c˜

ao de permuta¸c˜

oes

Problema: Gerar todas as permuta¸c˜oes dos m elementos de um vetor.

. . .

0 k-1 k m-1

. . .

I Suponha uma fun¸c˜ao Permuta(k,m) que gera (imprime) todas as

permuta¸c˜oes dos elementos de 0 a k-1, seguidas dos elementos de k a m-1.

I A chamada inicial Permuta(m,m) resolveria o problema.

I A solu¸c˜ao consistir´a em trocar o elemento de ´ındice k-1

consecutivamente com todos os elementos que o precedem e aplicar a fun¸c˜ao recursivamente.

c

Gera¸c˜

ao das permuta¸c˜

oes (cont.)

Passo recursivo: i=k-1, ..., 0

. . . 0 k-1 k m-1 . . . . i Troca(i,k-1) . . . 0 k-1 k m-1 . . . . i . . . 0 k-1 k m-1 . . . . i Permuta(k-1,m) Troca(i,k-1) . . . 0 k-1 k m-1 . . . . i c

Gera¸c˜

ao das permuta¸c˜

oes (cont.)

. . . 0 k-1 k m-1 . . . Fun¸c˜ao Permuta: v o i d Permuta ( i n t k , i n t m) { i f ( k==0) I m p r i m e (m) ; e l s e { i n t i ; f o r ( i =k −1; i >=0; i −−) { T r o c a ( i , k − 1 ) ; Permuta ( k −1 ,m) ; T r o c a ( i , k − 1 ) ; } } }

I A fun¸c˜ao Imprime imprime os m elementos do vetor.

I Chamada inicial: Permuta(m,m).

c

(19)

Gera¸c˜

ao das permuta¸c˜

oes (cont.)

Sa´ıda de Permuta(2,3) 1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1

Desafio: imprimir em ordem lexicogr´afica:

1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 c

Exemplos de retrocesso

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e T´ecnicas de Programa¸c˜ao Exemplos de retrocesso 74

Exemplo 1: movimentos do cavalo

Movimentos poss´ıveis do cavalo no jogo de xadrez:

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 0 1 2 3 4 5 6 7 c

Movimentos do cavalo (cont.)

Um percurso da posi¸cão (0,0) até (4,4) (existem 27.419 solu¸cões).

0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 c

(20)

Movimentos do cavalo (cont.)

Um percurso da posi¸cão (0,0) até (4,4) cobrindo todas as posi¸cões:

0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Obs.: Não existe solu¸cão para o tabuleiro da transparência anterior (provar!).

c

Movimentos do cavalo (cont.)

Tipos de solu¸c˜ao:

1. Achar uma solu¸c˜ao

2. Achar uma solu¸c˜ao que cobre todas as posi¸c˜oes livres

3. Enumerar todas as solu¸c˜oes

Observa¸cão: Esta não é a melhor maneira de resolver este problema mas ilustra bem o mecanismo geral de retrocesso.

c

Movimentos do cavalo (cont.)

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 0 1 2 3 4 5 6 7 #d e f i n e TAM MAX 20 #d e f i n e NUM MOV 8 t y p e d e f enum { f a l s e , t r u e } B o o l e a n ; i n t t a b [TAM MAX ] [ TAM MAX ] ;

i n t d l [NUM MOV] = { −1, −2, −2, −1, 1 , 2 , 2 , 1 } ; i n t dc [NUM MOV] = { 2 , 1 , −1, −2, −2, −1, 1 , 2 } ; v o i d ImprimeTab ( i n t tam ) { i n t i , j ; f o r ( i =0; i <tam ; i ++) { f o r ( j =0; j <tam ; j ++) p r i n t f ( ”%5d ” , t a b [ i ] [ j ] ) ; p r i n t f ( ” \ n ” ) ; } } c

Movimentos do cavalo: achar uma solu¸c˜

ao

B o o l e a n TentaMovimento ( i n t tam , i n t num , i n t l i n , i n t c o l , i n t l d , i n t cd ) { i n t k , l p , cp ;

B o o l e a n r e s = f a l s e ;

i f ((0<= l i n ) && ( l i n <tam ) && (0<= c o l ) && ( c o l <tam ) && ( t a b [ l i n ] [ c o l ]==0)) { t a b [ l i n ] [ c o l ] = num ; i f ( ( l i n==l d ) && ( c o l==cd ) ) { r e s = t r u e ; ImprimeTab ( tam ) ; } e l s e { k = 0 ; do { l p = l i n +d l [ k ] ; cp = c o l+dc [ k ] ;

r e s = TentaMovimento ( tam , num+1 , l p , cp , l d , cd ) ; k++;

} w h i l e ( ( ! r e s ) && ( k<NUM MOV ) ) ; }

t a b [ l i n ] [ c o l ] = 0 ; }

r e t u r n r e s ; }

Chamada inicial: TentaMovimento(tam,1,lo,co,ld,cd) c

(21)

Movimentos do cavalo: exemplo de entrada e sa´ıda

0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 E n t r a d a S a´ıd a −−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 5 1 4 9 12 −1 0 0 10 13 6 3 0 4 4 5 2 11 8 0 0 4 0 7 14 0 −1 3 4 −1 0 0 0 15 4 0 −1 −1 c

Movimentos do cavalo: achar uma solu¸c˜

ao completa

B o o l e a n TentaMovimento ( i n t tam , i n t num , i n t l i n , i n t c o l , i n t l d , i n t cd , i n t noc ) { i n t k , l p , cp ;

B o o l e a n r e s = f a l s e ;

i f ((0<= l i n ) && ( l i n <tam ) && (0<= c o l ) && ( c o l <tam ) && ( t a b [ l i n ] [ c o l ]==0)) { t a b [ l i n ] [ c o l ] = num ;

i f ( ( l i n==l d ) && ( c o l==cd ) && ( ( noc+num)==tam ∗ tam ) ) { r e s = t r u e ; ImprimeTab ( tam ) ;

} e l s e { k = 0 ;

do { l p = l i n +d l [ k ] ; cp = c o l+dc [ k ] ; r e s =

TentaMovimento ( tam , num+1 , l p , cp , l d , cd , noc ) ; k++;

} w h i l e ( ( ! r e s ) && ( k<NUM MOV ) ) ; }

t a b [ l i n ] [ c o l ] = 0 ; }

r e t u r n r e s ; }

Chamada inicial: TentaMovimento(tam,1,lo,co,ld,cd,ocupadas) c

Movimentos do cavalo: achar todas as solu¸c˜

oes

v o i d TentaMovimento ( i n t tam , i n t num , i n t l i n , i n t c o l , i n t l d , i n t cd ) { i n t k , l p , cp ;

i f ((0<= l i n ) && ( l i n <tam ) && (0<= c o l ) && ( c o l <tam ) && ( t a b [ l i n ] [ c o l ]==0)) { t a b [ l i n ] [ c o l ] = num ; i f ( ( l i n==l d ) && ( c o l==cd ) ) { ImprimeTab ( tam ) ; } e l s e { k = 0 ; do { l p = l i n +d l [ k ] ; cp = c o l+dc [ k ] ;

TentaMovimento ( tam , num+1 , l p , cp , l d , cd ) ; k++; } w h i l e ( k<NUM MOV) ; } t a b [ l i n ] [ c o l ] = 0 ; } }

Chamada inicial: TentaMovimento(tam,1,lo,co,ld,cd) c

Exemplo 2: distˆ

ancia de edi¸c˜

ao

RECURS˜AO E RETROCESSO

RCURC¸ ˜AO ER RTROCESOS

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

| | | | | |

I S R I I R

I Opera¸c˜oes elementares: I A: avan¸co (subentendido)

I I: inser¸c˜ao

I S: substitui¸c˜ao

I R: remo¸c˜ao

I Cada opera¸c˜ao recebe um custo (avan¸co, em geral, zero)

I Problema: achar uma sequˆencia de opera¸c˜oes que torna as cadeias iguais ao custo total m´ınimo.

c

(22)

Distˆ

ancia de edi¸c˜

ao: fun¸c˜

ao Distancia

i n t D i s t a n c i a ( c h a r ∗ t e s t e , c h a r ∗ c o r r e t a ) { i n t d I n s , dRem , dSub ;

i f ( ( ( ∗ t e s t e )==NUL CHAR ) && ( ( ∗ c o r r e t a )==NUL CHAR ) ) r e t u r n 0 ;

d I n s = dRem = dSub = INT MAX ;

i f ( ( ( ∗ t e s t e )!=NUL CHAR ) && ( ( ∗ c o r r e t a )!=NUL CHAR ) && ( ( ∗ t e s t e )==(∗ c o r r e t a ) ) )

r e t u r n D i s t a n c i a ( t e s t e +1 , c o r r e t a + 1 ) ;

i f ( ( ( ∗ t e s t e )!=NUL CHAR ) && ( ( ∗ c o r r e t a )!=NUL CHAR ) ) dSub = c u s t o S u b+D i s t a n c i a ( t e s t e +1 , c o r r e t a + 1 ) ; i f ( ( ∗ t e s t e )!=NUL CHAR )

dRem = custoRem+D i s t a n c i a ( t e s t e +1 , c o r r e t a ) ; i f ( ( ∗ c o r r e t a )!=NUL CHAR )

d I n s = c u s t o I n s+D i s t a n c i a ( t e s t e , c o r r e t a + 1 ) ; r e t u r n min ( d I n s , min ( dRem , dSub ) ) ;

}

c

Distˆ

ancia de edi¸c˜

ao: desafios

I Melhorar o desempenho do algoritmo: o algoritmo é exponencial não sendo viável, sob esta forma, em aplica¸cões práticas

I Imprimir o número de opera¸cões de cada tipo (avan¸co, inser¸cão, remo¸cão e substitui¸cão) para obter a solu¸cão

I Imprimir a sequência de opera¸cões para obter a solu¸cão

c

Elimina¸c˜

ao da recurs˜

ao

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Técnicas de Programa¸cão Elimina¸cão da recursão 87

Esquema de fun¸c˜

ao recursiva

v o i d Exemplo ( T1 x1 , T2 x2 , . . . ) { S1 y1 ; S2 y2 ; . . . ; C i ; /∗ Comandos i n i c i a i s ∗/ i f ( E ( . . . ) ) { C0 ; /∗ Caso b a s e ∗/ } e l s e { /∗ Chamadas r e c u r s i v a s ∗/ C1 ; Exemplo ( e11 , e12 , . . . ) ;

C2 ; Exemplo ( e21 , e22 , . . . ) ; C3 ; Exemplo ( e31 , e32 , . . . ) ;

. . . ;

Cm; Exemplo ( em1 , em2 , . . . ) ; Cf ;

} }

Os s´ımbolos Ci, C0, C1, . . ., Cm e Cf representam sequˆencias, possivelmente vazias, de comandos.

c

(23)

Esquema de elimina¸c˜

ao da recurs˜

ao

v o i d Exemplo ( T1 x1 , T2 x2 , . . . ) { S1 y1 ; S2 y2 ; . . . ; C i ; /∗ Comandos i n i c i a i s ∗/ i f ( E ( . . . ) ) { C0 ; /∗ Caso b a s e ∗/ } e l s e { /∗ Chamadas r e c u r s i v a s ∗/ C1 ; Exemplo ( e11 , e12 , . . . ) ; C2 ; Exemplo ( e21 , e22 , . . . ) ; C3 ; Exemplo ( e31 , e32 , . . . ) ;

. . . ;

Cm ; Exemplo ( em1 , em2 , . . . ) ; C f ;

} }

t y p e d e f enum { chamada1 , chamada2 , chamada3 , . . . } Chamadas ; t y p e d e f enum { e n t r a d a , s a i d a , r e t o r n o } A c o e s ; v o i d Exemplo ( T1 x1 , T2 x2 , . . . ) { S1 y1 ; S2 y2 ; . . . ; /∗ v a r i á v e i s l o c a i s o r i g i n a i s ∗/ T1 t1 , T2 t2 , . . . ; /∗ v a r i á v e i s t e m p o r á r i a s ∗/ P i l h a f ; Chamadas ch ; A c o e s a c a o ; I n i c i a l i z a P i l h a (& f ) ; a c a o = e n t r a d a ; do { s w i t c h ( a c a o ) { c a s e ( e n t r a d a ) : . . . b r e a k ; c a s e ( r e t o r n o ) : . . . b r e a k ; c a s e ( s a i d a ) : b r e a k ; } } w h i l e ( a c a o != s a i d a ) ; } c

Esquema de elimina¸c˜

ao da recurs˜

ao (cont.)

. . . ;

Cm; Exemplo ( em1 , em2 , . . . ) ; C f ; } } c a s e ( e n t r a d a ) : C i ; /∗ Comandos i n i c i a i s ∗/ i f ( E ( . . . ) ) { C0 ; a c a o = r e t o r n o ; /∗ Caso b a s e ∗/ } e l s e { /∗ P r i m e i r a chamada r e c u r s i v a ∗/ C1 ; E m p i l h a ( f , x1 , x2 , . . . , y1 , y2 , . . . , chamada1 ) ; t 1 = e 1 1 ; t 2 = e 1 2 ; . . . ; x1 = t 1 ; x2 = t 2 ; . . . ; /∗ R e c a l c u l a a r g u m e n t o s ∗/ } b r e a k ; c

Esquema de elimina¸c˜

ao da recurs˜

ao (cont.)

. . . ;

Cm ; Exemplo ( em1 , em2 , . . . ) ; C f ; } } c a s e ( r e t o r n o ) : i f ( P i l h a V a z i a ( f ) ) a c a o = s a i d a ; e l s e {

D e s e m p i l h a ( f ,& x1 ,& x2 , . . . , & y1 ,& y2 , . . . , & ch ) ; s w i t c h ( ch ) { c a s e ( chamada1 ) : C2 ; E m p i l h a ( f , x1 , x2 , . . . , y1 , y2 , . . . , chamada2 ) ; t 1 = e 2 1 ; t 2 = e 2 2 ; . . . ; x1 = t 1 ; x2 = t 2 ; . . . ; a c a o = e n t r a d a ; b r e a k ; c a s e ( chamada2 ) : C3 ; E m p i l h a ( f , x1 , x2 , . . . , y1 , y2 , . . . , chamada3 ) ; t 1 = e 3 1 ; t 2 = e 3 2 ; . . . ; x1 = t 1 ; x2 = t 2 ; . . . ; a c a o = e n t r a d a ; b r e a k ; . . . ; c a s e ( chamadam ) : Cf ; b r e a k ; } /∗ s w i t c h ( ch ) ∗/ } b r e a k ; c

Exemplo 1: fun¸c˜

ao fatorial

i n t f a t o r i a l ( i n t n ) { i f ( n==0) r e t u r n 1 ; e l s e r e t u r n n ∗ f a t o r i a l ( n − 1 ) ; } c

(24)

Fun¸c˜

ao fatorial (cont.)

i n t f a t o r i a l ( i n t n ) { i f ( n==0) r e t u r n 1 ; e l s e r e t u r n n∗ f a t o r i a l ( n −1); }

t y p e d e f enum { chamada1 } Chamadas ;

t y p e d e f enum { e n t r a d a , s a i d a , r e t o r n o } A c o e s ; i n t f a t o r i a l ( i n t n ) { i n t r e s , t 1 ; P i l h a f ; Chamadas ch ; A c o e s a c a o ; I n i c i a l i z a P i l h a (& f ) ; a c a o = e n t r a d a ; do { s w i t c h ( a c a o ) { c a s e ( e n t r a d a ) : . . . b r e a k ; c a s e ( r e t o r n o ) : . . . b r e a k ; c a s e ( s a i d a ) : b r e a k ; } } w h i l e ( a c a o != s a i d a ) ; r e t u r n r e s ; } /∗ f a t o r i a l ∗/ c

Fun¸c˜

ao fatorial (cont.)

i n t f a t o r i a l ( i n t n ) { i f ( n==0) r e t u r n 1 ; e l s e r e t u r n n∗ f a t o r i a l ( n −1); } c a s e ( e n t r a d a ) : i f ( n==0) { r e s = 1 ; a c a o = r e t o r n o ; } e l s e { E m p i l h a ( f , n , chamada1 ) ; t 1 = n ; n = t1 −1; } b r e a k ; c

Fun¸c˜

ao fatorial (cont.)

i n t f a t o r i a l ( i n t n ) { i f ( n==0) r e t u r n 1 ; e l s e r e t u r n n∗ f a t o r i a l ( n −1); } c a s e ( r e t o r n o ) : i f ( P i l h a V a z i a ( f ) ) a c a o = s a i d a ; e l s e { D e s e m p i l h a ( f ,&n ,& ch ) ; s w i t c h ( ch ) { c a s e ( chamada1 ) : r e s = n ∗ r e s ; b r e a k ; } b r e a k ;

Obs.: Note como neste caso a variável res é usada para guardar o resultado da fun¸cão.

c

Exemplo 2: fun¸c˜

ao Hanoi

v o i d H a n o i ( c h a r o r g , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) { i f ( ! ( n >0)) ; e l s e { H a n o i ( o r g , aux , d e s t , n − 1 ) ; p r i n t f ( ”Mova de %c p a r a %c \ n ” , o r g , d e s t ) ; H a n o i ( aux , d e s t , o r g , n − 1 ) ; } } c

(25)

Fun¸c˜

ao Hanoi (cont.)

v o i d H a n o i ( c h a r o r g , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) { i f ( ! ( n >0)) ; e l s e { H a n o i ( o r g , aux , d e s t , n −1); p r i n t f ( ”Mova de %c p a r a %c\n ” , o r g , d e s t ) ; H a n o i ( aux , d e s t , o r g , n −1); } }

t y p e d e f enum { chamada1 , chamada2 } ;

t y p e d e f enum { e n t r a d a , s a i d a , r e t o r n o } A c o e s ; v o i d H a n o i ( c h a r o r g , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) { c h a r t 1 ; c h a r t 2 ; c h a r t 3 ; i n t t 4 ; P i l h a f ; Chamadas ch ; A c o e s a c a o ; I n i c i a l i z a P i l h a (& f ) ; a c a o = e n t r a d a ; do { s w i t c h ( a c a o ) { c a s e ( e n t r a d a ) : . . . ; b r e a k ; c a s e ( r e t o r n o ) : . . . ; b r e a k ; c a s e ( s a i d a ) : b r e a k ; } } w h i l e ( a c a o != s a i d a ) ; } c

Fun¸c˜

ao Hanoi (cont.)

v o i d H a n o i ( c h a r o r g , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) { i f ( ! ( n >0)) ; e l s e { H a n o i ( o r g , aux , d e s t , n −1); p r i n t f ( ”Mova de %c p a r a %c\n ” , o r g , d e s t ) ; H a n o i ( aux , d e s t , o r g , n −1); } } c a s e ( e n t r a d a ) : i f ( ! ( n >0)) { a c a o = r e t o r n o ; } e l s e { E m p i l h a ( f , o r g , d e s t , aux , n , chamada1 ) ; t 1 = o r g ; t 2 = aux ; t 3 = d e s t ; t 4 = n −1; o r g = t 1 ; d e s t = t 2 ; aux = t 3 ; n = t 4 ; } b r e a k ; c

Fun¸c˜

ao Hanoi (cont.)

v o i d H a n o i ( c h a r o r g , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) { i f ( ! ( n >0)) ; e l s e { H a n o i ( o r g , aux , d e s t , n −1); p r i n t f ( ”Mova de %c p a r a %c\n ” , o r g , d e s t ) ; H a n o i ( aux , d e s t , o r g , n −1); } } c a s e ( r e t o r n o ) : i f ( P i l h a V a z i a ( f ) ) a c a o = s a i d a ; e l s e {

D e s e m p i l h a ( f ,& o r g ,& d e s t ,& aux ,&n ,& ch ) ; s w i t c h ( ch ) { c a s e ( chamada1 ) : p r i n t f ( ”Mova de %c p a r a %c \ n ” , o r g , d e s t ) ; E m p i l h a ( f , o r g , d e s t , aux , n , chamada2 ) ; t 1 = aux ; t 2 = d e s t ; t 3 = o r g ; t 4 = n −1; o r g = t 1 ; d e s t = t 2 ; aux = t 3 ; n = t 4 ; a c a o = e n t r a d a ; b r e a k ; c a s e ( chamada2 ) : b r e a k ; } b r e a k ; c

Exemplo de elimina¸c˜

ao da recurs˜

ao caudal

Aplicável quando a última a¸cão dentro do corpo da fun¸cão é uma chamada recursiva: reaproveita o mesmo registro de ativa¸cão da fun¸cão, mudando os valores dos argumentos.

v o i d H a n o i ( c h a r o r g , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) { i f ( n >0) { H a n o i ( o r g , aux , d e s t , n − 1 ) ; p r i n t f ( ”Mova de %c p a r a %c \ n ” , o r g , d e s t ) ; H a n o i ( aux , d e s t , o r g , n − 1 ) ; } } v o i d H a n o i ( c h a r o r g , c h a r d e s t , c h a r aux , i n t n ) { c h a r t ; w h i l e ( n >0) { H a n o i ( o r g , aux , d e s t , n − 1 ) ; p r i n t f ( ”Mova de %c p a r a %c \ n ” , o r g , d e s t ) ; t = o r g ; o r g = aux ; aux = t ; } } c

(26)

Recurs˜

ao m´

utua: An´

alise sint´

atica

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e Técnicas de Programa¸cão Recursão mútua: Análise sintática 101

Exemplo simples de recurs˜

ao m´

utua

i n t g ( i n t n ) ; i n t f ( i n t n ) { i f ( n==0) r e t u r n 0 ; e l s e r e t u r n g ( n − 1 ) ; } i n t g ( i n t n ) { i f ( n==0) r e t u r n 1 ; e l s e r e t u r n f ( n − 1 ) ; } c

An´

alise de express˜

oes

Expressões com operadores binários ‘+’, ‘−’, ‘∗’, ‘/’ e parênteses ‘(’ e ‘)’: e = t1⊕ t2⊕ · · · ⊕ tn, n ≥ 1

t = f1⊗ f2⊗ · · · ⊗ fn, n ≥ 1

f = x ou f = ( e )

c

Programa de tradu¸c˜

ao de infixa para p´

os-fixa:

c h a r e n t r a d a [TAM MAX ] ; c h a r ∗ pe ; v o i d E x p r e s s a o ( ) ; v o i d Termo ( ) ; v o i d F a t o r ( ) ; v o i d I n P o s ( ) { pe = &e n t r a d a [ 0 ] ; E x p r e s s a o ( ) ; i f ( ( ∗ pe )!= ’ \0 ’ ) E r r o ( ) ; } c

(27)

Fator

f = x ou f = ( e ) v o i d F a t o r ( ) { c h a r c o r r e n t e = ∗ pe ; s w i t c h ( c o r r e n t e ) { c a s e ’ a ’ : c a s e ’ b ’ : . . . : c a s e ’ z ’ : S a i ( c o r r e n t e ) ; pe++; b r e a k ; c a s e ’ ( ’ : pe++; E x p r e s s a o ( ) ; i f ( ( ∗ pe)== ’ ) ’ ) pe++; e l s e E r r o ( ) ; b r e a k ; d e f a u l t : E r r o ( ) ; } } c

Termo

t = f1⊗ f2⊗ · · · ⊗ fn, n ≥ 1 v o i d Termo ( ) { c h a r op ; F a t o r ( ) ; do { op = ∗ pe ; i f ( ( op== ’ ∗ ’ ) | | ( op== ’ / ’ ) ) { pe++; F a t o r ( ) ; S a i ( op ) ; } e l s e b r e a k ; /∗ do ∗/ } w h i l e ( t r u e ) ; } c

Express˜

ao

e = t1⊕ t2⊕ · · · ⊕ tn, n ≥ 1 v o i d E x p r e s s a o ( ) { c h a r op ; Termo ( ) ; do { op = ∗ pe ; i f ( ( op== ’+ ’ ) | | ( op== ’− ’ ) ) { pe++; Termo ( ) ; S a i ( op ) ; } e l s e b r e a k ; /∗ do ∗/ } w h i l e ( t r u e ) ; } c

Operador de exponencia¸c˜

ao

Fator redefinido:

f = p1∧ p2∧ · · · ∧ pn, n ≥ 1

Prim´ario:

p = x ou p = ( e )

Prioridade? Solu¸c˜ao:

f = p ou f = p ∧ f

c

(28)

Fator redefinido

f = p ou f = p ∧ f v o i d F a t o r ( ) { P r i m a r i o ( ) ; i f ( ( ∗ pe)== ’ ˆ ’ ) { pe++; F a t o r ( ) ; S a i ( ’ ˆ ’ ) ; } } c

Prim´

ario

p = x ou p = ( e ) v o i d P r i m a r i o ( ) { c o r r e n t e = ∗ pe ; s w i t c h ( c o r r e n t e ) { c a s e ’ a ’ : c a s e ’ b ’ : . . . : c a s e ’ z ’ : S a i ( c o r r e n t e ) ; pe++; b r e a k ; c a s e ’ ( ’ : pe++; E x p r e s s a o ( ) ; i f ( ( ∗ pe)== ’ ) ’ ) pe++; e l s e E r r o ( ) ; b r e a k ; d e f a u l t : E r r o ( ) ; } } c

Analogia para express˜

oes e termos

e = t ou e = e ⊕ t

t = f ou t = t ⊗ f

Problemas:

I como distinguir as alternativas

I repeti¸c˜ao infinita no segundo caso (recurs˜ao esquerda)

v o i d E x p r e s s a o ( ) { . . . ; i f ( ? ? ? ) Termo ( ) ; e l s e E x p r e s s a o ( ) ; . . . } c

´

Arvores bin´

arias

c

(29)

Exemplo de ´

arvore bin´

aria 1: pedigree

Sugarted’s Bonnie

Carina de Wood Ladge

Matarazzo’s Beauty Lady Weberly Johnson

Fancy Boots

Scotland dos Seis Irm˜aos Arisca dos Seis Irm˜aos Ator dos

Seis Irm˜aos

Jesse James R. J. B. Helvetia Carina de Wood Ladge R. J. B. Sean R. J. B. Hill Lakeview Lois R. J. B. Sean

I Alguns nomes s˜ao repetidos: eles devem ser tratados como instˆancias separadas.

I Pela própria natureza da árvore, cada elemento tem dois predecessores: árvore binária.

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e T´ecnicas de Programa¸c˜ao Arvores bin´´ arias 113

Exemplo de ´

arvore bin´

aria 2: ´

arvore de decis˜

ao

x1≤ x2 x2≤ x3 x1, x2, x3 x1≤ x3 x1, x3, x2 x3, x1, x2 x2≤ x3 x1≤ x3 x2, x1, x3 x2, x3, x1 x3, x2, x1 V F V F V F V F V F

I A árvore representa as decisões tomadas por um algoritmo de ordena¸cão usando opera¸cões de compara¸cão; V: verdadeiro, F: falso.

I Devido à natureza das compara¸cões, a árvore é binária.

c

Exemplo de ´

arvore geral 1: descendentes

Indo-Europeu Balto-Eslavo Báltico Letão Lituano Eslavo Checo Russo Polonês Itálico Latim

Catalão Italiano Francês Castelhano Português Indo-Iraniano Persa Antigo Persa Hindustano Urdu Hindi Germânico Germânico Setentrional Sueco Norueguês Dinamarquês Germânico Ocidental Holandês Alemão Inglês Grego

Cl´assico Grego Moderno

I A árvore é incompleta e não necessariamente exata.

I Cada elemento pode ter um número variável de sucessores: árvore geral.

c

Exemplo de ´

arvore geral 2: descendentes

Fam´ılia Subfam´ılia Tribo Gênero Espécie Subespécie Hominidae Homininae Hominini Homo Homo sapiens Homo sapiens sapiens Homo habilis Homo neander-thalensis . . . Pan Chimpanzé Bonobo Gorillini Gorilla Gorila Ponginae Pongo Orangotango

I Arvore da fam´ılia Hominidae determinada por compara¸´ cão de DNA de várias espécies (incompleta).

I Cada elemento pode ter um número variável de sucessores: árvore geral.

c

(30)

Exemplo de ´

arvore geral 3: organograma

UNICAMP IC DSC DSI DTC IMECC DE DM DMA FEEC DCA DEB DT FCM

DAP DAN DTO

. . .

. . . .

Obs.: A UNICAMP tem 21 unidades acadˆemicas. Algumas unidades tˆem

mais de 10 departamentos.

c

Defini¸c˜

ao de ´

arvore bin´

aria

Uma árvore binária é um conjunto de nós que:

I ou é vazio (árvore binária vazia)

I ou contém um nó especial denominado raiz da árvore e o resto do conjunto está particionado em duas árvores binárias disjuntas

(possivelmente vazias), denominadas sub´arvore esquerda e sub´arvore direita.

c

Representa¸c˜

ao gr´

afica, conven¸c˜

oes e conceitos

n´ıvel 1 n´ıvel 2 n´ıvel 3 n´ıvel 4 A B D E G C F H Raiz da ´arvore: A

Filho esquerdo de A: B Filho direito de A: C

Pai de F : C Irm˜ao de E: D

Descendentes de B: B, D, E e G Antepassados de H: H, F , C e A

Folhas: D, G e H N´os internos: todos exceto as folhas

N´ıveis: indicados na figura Altura (profundidade) – n´ıvel m´aximo: 4

Subárvores binárias vazias: 9 Subárvores binárias não vazias: 7 Obs.: Alguns autores come¸cam a numera¸cão dos n´ıveis a partir de zero.

c

Fatos sobre ´

arvores bin´

arias

I Uma árvore binária com n nós tem: I altura máxima n

I altura m´ınima dlog₂(n + 1)e

I sub´arvores vazias: n + 1

I sub´arvores n˜ao vazias: n − 1 (se n > 0)

I Uma árvore binária de altura h tem: I no m´ınimo h nós

I no m´aximo 2h_{− 1 n´}_os

c

(31)

Representa¸c˜

ao ligada comum

p A B C D E F G H

O acesso a todos os nós da árvore pode ser realizado através de um apontador para a raiz.

c

Representa¸c˜

ao ligada com trˆ

es apontadores

p A B D E G C F H

O terceiro apontador possibilita descer e subir pela estrutura, analogamente `as listas duplamente ligadas.

c

Representa¸c˜

ao com o campo pai apenas

A

B C

D E F

G H

Problemas:

I E necess´´ ario haver acesso (apontadores) pelo menos a todas as folhas.

I N˜ao ´e poss´ıvel distinguir entre os filhos esquerdos e direitos.

c

Representa¸c˜

ao seq¨

uencial: ´

arvores bin´

arias completas

A B C D E F G H I J K L M N O 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 N´o n:    filho esquerdo: 2n + 1 (n ≥ 0) filho direito: 2n + 2 (n ≥ 0) pai: b(n − 1)/2c (n > 0) A 0 B 1 I 2 C 3 F 4 J 5 M 6 D 7 E 8 G 9 H 10 K 11 L 12 N 13 O 14 c

(32)

Representa¸c˜

ao seq¨

uencial: ´

arvores bin´

arias quase completas

A B C D E F G H I J K M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 0 B 1 I 2 C 3 F 4 J 5 M 6 D 7 E 8 G 9 H 10 K 11 c

Percursos em profundidade

I Pr´e-ordem:

Visitar a raiz

Percorrer a subárvore esquerda em pré-ordem Percorrer a subárvore direita em pré-ordem

I P´os-ordem:

Percorrer a subárvore esquerda em pós-ordem Percorrer a subárvore direita em pós-ordem Visitar a raiz

I Inordem (ou ordem sim´etrica):

Percorrer a sub´arvore esquerda em inordem

Visitar a raiz

Percorrer a sub´arvore direita em inordem

c

Exemplos de percurso em profundidade

A B D E G C F H Pr´e-ordem: A,B,D,E,G,C,F ,H

P´os-ordem: D,G,E,B,H,F ,C,A

Inordem: D,B,G,E,A,F ,H,C

c

Percurso em largura

Percurso por n´ıveis, da esquerda para a direita:

n´ıvel 1 n´ıvel 2 n´ıvel 3 n´ıvel 4 A B D E G C F H Percurso: A,B,C,D,E,F ,G,H c

(33)

Implementa¸c˜

ao recursiva de percursos

t y p e d e f s t r u c t NoArvBin { T i n f o ; s t r u c t NoArvBin ∗ e s q , ∗ d i r ; } NoArvBin , ∗ A r v B i n ; v o i d PreOrdem ( A r v B i n p ) { i f ( p!=NULL ) { V i s i t a ( p ) ; PreOrdem ( p−>e s q ) ; PreOrdem ( p−> d i r ) ; } } /∗ PreOrdem ∗/ v o i d InOrdem ( A r v B i n p ) { i f ( p!=NULL ) { InOrdem ( p−>e s q ) ; V i s i t a ( p ) ; InOrdem ( p−> d i r ) ; } } /∗ InOrdem ∗/ v o i d PosOrdem ( A r v B i n p ) { i f ( p!=NULL ) { PosOrdem ( p−>e s q ) ; PosOrdem ( p−> d i r ) ; V i s i t a ( p ) ; } } /∗ PosOrdem ∗/ c

Elimina¸c˜

ao da recurs˜

ao caudal

v o i d PreOrdem ( A r v B i n p ) { i f ( p!=NULL ) { V i s i t a ( p ) ; PreOrdem ( p−>e s q ) ; PreOrdem ( p−> d i r ) ; } } /∗ PreOrdem ∗/ v o i d PreOrdem ( A r v B i n p ) { w h i l e ( p!=NULL ) { V i s i t a ( p ) ; PreOrdem ( p−>e s q ) ; p = p−> d i r ; } } /∗ PreOrdem ∗/

I Transforma¸c˜ao an´aloga pode ser feita para a inordem.

I E a p´os-ordem?

c

Percurso em pr´

e-ordem, usando uma pilha expl´ıcita

A figura indica a situa¸cão inicial e final do percurso de uma árvore arbitrária (pode ser vazia). Inicialmente, o apontador para a árvore deve estar no topo da pilha. Terminado o percurso, a pilha terá um elemento a menos.

c

Percurso em pr´

e-ordem, usando uma pilha expl´ıcita (cont.)

X

E D

Visita X Percorre E Percorre D

c

(34)

Percurso em pr´

e-ordem, usando uma pilha (cont.)

v o i d PreOrdem ( A r v B i n p ) { P i l h a p l ; I n i c i a l i z a P i l h a (& p l ) ; E m p i l h a (& p l , p ) ; do { D e s e m p i l h a (& p l ,& p ) ; i f ( p!=NULL ) { V i s i t a ( p ) ; E m p i l h a (& p l , p−> d i r ) ; E m p i l h a (& p l , p−>e s q ) ; } } w h i l e ( ! P i l h a V a z i a ( p l ) ) ; } /∗ PreOrdem ∗/ c

Percurso em largura, usando uma fila

Os nós da árvore a serem visitados são guardados numa fila.

X E D n´ıvel k n´ıvel k +1 Visita X c

Percurso em largura, usando uma fila (cont.)

v o i d L a r g u r a ( A r v B i n p ) { F i l a f l ; I n i c i a l i z a F i l a (& f l ) ; I n s e r e F i l a (& f l , p ) ; do { R e m o v e F i l a (& f l ,& p ) ; i f ( p!=NULL ) { V i s i t a ( p ) ; I n s e r e F i l a (& f l , p−>e s q ) ; I n s e r e F i l a (& f l , p−> d i r ) ; } } w h i l e ( ! F i l a V a z i a ( f l ) ) ; } /∗ L a r g u r a ∗/ c

Compara¸c˜

ao dos percursos em pr´

e-ordem e em largura

v o i d PreOrdem ( A r v B i n p ) { P i l h a p l ; I n i c i a l i z a P i l h a (& p l ) ; E m p i l h a (& p l , p ) ; do { D e s e m p i l h a (& p l ,& p ) ; i f ( p!=NULL ) { V i s i t a ( p ) ; E m p i l h a (& p l , p−> d i r ) ; E m p i l h a (& p l , p−>e s q ) ; } } w h i l e ( ! P i l h a V a z i a ( p l ) ) ; } /∗ PreOrdem ∗/ v o i d L a r g u r a ( A r v B i n p ) { F i l a f l ; I n i c i a l i z a F i l a (& f l ) ; I n s e r e F i l a (& f l , p ) ; do { R e m o v e F i l a (& f l ,& p ) ; i f ( p!=NULL ) { V i s i t a ( p ) ; I n s e r e F i l a (& f l , p−>e s q ) ; I n s e r e F i l a (& f l , p−> d i r ) ; } } w h i l e ( ! F i l a V a z i a ( f l ) ) ; } /∗ L a r g u r a ∗/

Quase idˆenticos, exceto a troca de esquerda pela direita!

c

(35)

Preordem com pilha otimizada

v o i d PreOrdem ( A r v B i n p ) { P i l h a p l ; B o o l e a n f i m = f a l s e ; I n i c i a l i z a P i l h a (& p l ) ; do { i f ( p!=NULL ) { V i s i t a ( p ) ; i f ( p−> d i r !=NULL ) E m p i l h a ( p l , p−> d i r ) ; p = p−>e s q ; } e l s e i f ( P i l h a V a z i a ( p l ) ) f i m = t r u e e l s e D e s e m p i l h a ( p l ,& p ) ; } w h i l e ( ! f i m ) ; } /∗ PreOrdem ∗/ c

Pr´

e-ordem com pilha embutida: Deutsch, Schorr e Waite

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... t p NULL

I A vari´avel p aponta para a sub´arvore a ser percorrida.

I A variável t aponta para o topo de uma pilha formada pelos nós que levam ao nó p (apontadores invertidos).

I Cada nó deverá conter uma marca indicando qual dos dois apontadores está invertido.

I A fun¸c˜ao seguinte implementa os trˆes percursos em profundidade. c

Pr´

e-ordem com pilha embutida (cont.)

v o i d DSW( A r v B i n p ) {

A r v B i n t = NULL ; A r v B i n q ; B o o l e a n s o b e ; do {

w h i l e ( p!=NULL ) { /∗ `a e s q u e r d a ∗/

P r e V i s i t a ( p ) ; p−>marca = MarcaEsq ; q = p−>e s q ; p−>e s q = t ; t = p ; p = q ; } s o b e = t r u e ; w h i l e ( s o b e && ( t !=NULL ) ) { s w i t c h ( t−>marca ) { c a s e MarcaEsq : /∗ `a d i r e i t a ∗/ I n V i s i t a ( t ) ; s o b e = f a l s e ; t−>marca = M a r c a D i r ; q = p ; p = t−> d i r ; t−> d i r = t−>e s q ; t−>e s q = q ; b r e a k ; c a s e M a r c a D i r : /∗ s o b e ∗/ P o s V i s i t a ( t ) ; q = t−> d i r ; t−> d i r = p ; p = t ; t = q ; b r e a k ; } } } w h i l e ( t !=NULL ) ; } c

Desafios:

I melhorar a pr´e-ordem com pilha otimizada

I inordem com pilha otimizada

I p´os-ordem com pilha otimizada

c

(36)

Reconstru¸c˜

ao de ´

arvores bin´

arias

Pr´e-ordem AB: A B A B Inordem AB: B A A B P´os-ordem AB: B A B A

Pr´e-ordem AB e p´os-ordem BA:

A B

Conclusão: uma única ordem e a combina¸cão de pré- e pós-ordens não determinam a árvore de maneira única.

c

Reconstru¸c˜

ao de ´

arvores bin´

arias (cont.)

Verifica-se facilmente que a pré-ordem (ou a pós-ordem) combinada com a inordem determinam, de maneira única, a forma da árvore. No caso da pré-ordem e inordem, pode-se seguir o seguinte algoritmo:

I a partir da pr´e-ordem, determine a raiz da ´arvore

I dada a raiz, ela separa a inordem em inordens das suas sub´arvores esquerda e direita

I a partir da pré-ordem, são determinadas as pré-ordens das subárvores

que tˆem os mesmos comprimentos das respectivas inordens

I recursivamente s˜ao reconstru´ıdas as sub´arvores

O caso da pós-ordem é análogo.

c

Representa¸c˜

oes externas de ´

arvores bin´

arias

A B D E G C F H

I percursos canônicos: inordem e pré (ou pós) -ordem (já visto):

DBGEAF HC ABDEGCF H

I percurso canônico com indicadores de subárvores (pré-ordem): A11B11D00E10G00C10F01H00

O ´ındice 0 indica a ausˆencia e 1 indica a existˆencia de filho esquerdo ou direito.

I descri¸c˜ao parent´etica (inordem):

(((()D())B((()G())E()))A((()F (()H()))C()))

() representa uma árvore vazia; (αXβ) representa uma árvore de raiz X e subárvores descritas pelas cadeias α e β.

c

´

Arvores bin´

arias de busca

c

(37)

Exemplo de ´

arvore de busca: n´

umeros

16 8 5 15 10 27 21 25

Para qualquer nó da árvore, os elementos da sua subárvore esquerda (direita) são menores ou iguais (maiores ou iguais) do que o elemento do nó.

c

2010 T. Kowaltowski Estruturas de Dados e T´ecnicas de Programa¸c˜ao Arvores bin´´ arias de busca 145

Exemplo de ´

arvore de busca: nomes

jul fev ago abr dez jan set mai jun mar nov out

Para qualquer nó da árvore, os elementos da sua subárvore esquerda (direita) precedem (seguem) em ordem alfabética o elemento do nó.

c

Inser¸c˜

ao em ´

arvore de busca

A inser¸cão de um valor X cria uma nova folha em lugar de uma subárvore vazia. O ponto de inser¸cão é determinado pelo percurso da árvore usando a propriedade de árvores de busca.

Y X < Y Y X Y X > Y Y X c

Inser¸c˜

ao recursiva

B o o l e a n I n s e r e A r v B u s c a ( A r v B i n ∗p , T x ) { /∗ V e r s ˜a o r e c u r s i v a ∗/ i f ( ( ∗ p)==NULL ) { ∗p = m a l l o c ( s i z e o f ( NoArvBin ) ) ; ( ∗ p)−> e s q = ( ∗ p)−> d i r = NULL ; ( ∗ p)−> i n f o = x ; r e t u r n t r u e ; } e l s e { T i n f o = ( ∗ p)−> i n f o ; i f ( x<i n f o ) r e t u r n I n s e r e A r v B u s c a ( & ( ( ∗ p)−> e s q ) , x ) ; e l s e i f ( x>i n f o ) r e t u r n I n s e r e A r v B u s c a ( & ( ( ∗ p)−> d i r ) , x ) ; e l s e r e t u r n f a l s e ; } }

I Note-se o uso de passagem de parˆametro p por referˆencia.

I Esta vers˜ao apresenta somente recurs˜ao caudal que pode ser facilmente eliminada.

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