SEQUENCIAS DE FIBONACCI E DE LUCAS: UMA
APLICAÇÃO DA SEQUENCIA FEDATHI
Francisco Regis Vieira Alves
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia - IFCE, Departamento de Matemática, Brasil
Hermínio Borges Neto
Universidade Federal do Ceará, Departamento de Educação, Brasil [email protected]
RESUMO
Este artigo constitui uma revisão bibliográfica desenvolvida com a intenção de identificar as propriedades matemáticas entre a sequencia de Fibonacci e a sequencia de Lucas. As referidas sequencias apresentam relações intrigantes pouco exploradas pelos autores de livros consultados e que proporcionam uma ampla visão conceitual para o futuro professor de Matemática. Deste modo, empregamos a metodologia de ensino chamada Sequencia Fedathi com a intenção de sugerir possibilidades e indicar limitações e/ou barreiras ao ensino deste conteúdo por meio de sua história.
Palavras-chave: Sequencia de Fibonacci; Sequencia de Lucas; Sequencia Fedathi
RESUMÉ
Cet article constitue une révision théorique développée ayant le but d’identifier les propriétés mathématiques entre la séquence de Fibonacci et la séquence de Lucas. Celles-ci présentent des rapports intrigants, peu exploités par les auteurs des livres consultés et qui ont offert une grande vision conceptuelle pour le futur professeur de Mathématique. De cette façon, nous avons utilisé la méthodologie d’enseignement appelée Séquence Fedathi ayant le but de suggérer des possibilités et indiqué des limitations et/ou des obstacles pour l’enseignement de ce contenu à l’aide de son histoire.
1 Introdução: Relações entre as Sequencias de Fibonacci e de Lucas
Frequentemente, encontramos na literatura especializada, interessantes informações a respeito da emblemática sequencia numérica devida ao matemático italiano Leonardo de Pisa que, segundo Dunlap (2003, p. 35), “nasceu aproximadamente em 1175 e falaceu em 1250”. Tal sequencia é chamada de Sequencia de Fibonacci. O termo Fibonacci é a abreviação de filho de Bonaccio, seu pai, como explica Dunlap.Posamentier & Lehmann (2007, p. 22) comentam que “Fibonacci acumulou experiência nos campo da Aritmética e da Álgebra, a partir das viagens que realizou na Europa”, entretanto, apesar de ter desenvolvido vários trabalhos nestes campos da Matemática, Leonardo de Pisa é lembrado geralmente devido ao seu problema que descreve a singela reprodução dos coelhos.
Hodiernamente, Wells (2005, p. 101) destaca que podemos encontrar até mesmo o jornal intitulado The Fibonaci Quartely dedicado “ao estudo de propriedades mais abrangentes e profundas desta sequencia, o que atesta sua contemporaneidade”. Apresentamos em seguida as seguintes sequencias numéricas no seguinte diagrama.
{ }
: { 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; .... }
{
}
: { 1 ; 3 ; 4 ; 7 ; 11 ; 18 ; 29 ; 47 ; 76 ; 123 ; 199 ; ... }
n n n nf
L
∈ ∈ » »A listagem acima é encontrada Honsberger (1985, p. 111) descrita apenas para
n
∈ »
. Denotamos a sequencia de Fibonacci por { }f
n n∈», enquanto que o símbolo {L
n n}
∈» denota asequencia de Lucas concebida pelo matemático francês François Édouard Anatole Lucas (1842-1891). Lucas é reconhecido pela criação do jogo conhecido como torre de Hanoi.
A relação fundamental para a primeira é descrita por
f
n=
f
n−1+
f
n−2,n
>
2
. Já asequencia de Lucas, que é pouco explorada numa disciplina de História da Matemática, inclusive a relações que apresenta com a sequencia de Fibonacci, é caracterizada, conforme Honsberger, por
L
n=
L
n−1+
L
n−2,n
>
2
. Entretanto, com base na forma de obtenção dostermos da sequencia de Fibonacci, obtemos:
f
2=
f
1+
f
0∴
f
0=
f
2−
f
1=
0
. Em termos operacionais, necessitaremos do termoL
0, assim, podemos tomar2 1 0 0 2 1
2
L
=
L
+
L
∴
L
=
L
−
L
=
. Honsberger (1985, p. 111) observa que “a sequencia de Lucas é sempre correspondentemente maior do que a sequencia de Fibonacci, com exceção paraL
1 ef
1”. Outra relação curiosa percebida no diagrama mostra queL
n=
f
n−1+
f
n+1.Na literatura especializada (BENJAMIN & QUINN, 2005; BURTON, 1980; DUNLAP, 2003; EVES, 1983; HAMMACK, 2009; HONSBERGER; 1985; POSAMENTIER & LEHMANN, 2007; VOROBE´V, 1961; WELLS; 2005) encontramos intrigantes propriedades aritméticas, algébricas e geométricas da sequencia de Fibonacci. Todavia, pretendemos nesta primeira parte destacar propriedades que relacionam as sequencias supracitadas, além de discutir determinas peculiariedades da sequencia de Fibonacci e de Lucas que podem ser úteis ao professor de Matemática no que diz respeito ao ensino. Neste sentido, Posamentier & Lehmann (2007, p. 40) exibem a figura 1.
Figura 1: Interpretação geométrica de relações da sequencia de Fibonacci
A partir dele, com o auxílio de um raciocínio indutivo, extraímos a propriedade
2 2 2 2 2 1 2 1 1 1
...
n n n i n n if
f
f
−f
f
f
f
+ =+
+
+
+
=
∑
=
⋅
. Advertimos que a mesma necessita ser validada por meio da aplicação do princípio da Indução Matemática, apesar de que, por meio da figura, o professor pode conduzir o estudante a “enxergar” a propriedade a partir da disposição geométrica. Semelhantemente, apresentam a relação2 2 2 2 2
1 2 3
...
n 1 n n n12
L
+
L
+
L
+
+
L
−+
L
=
L
⋅
L
+−
que pode ser interpretada a partir da figura 2.Figura 2: Posamentier & Lehmann (2007, p. 41)
Burton (1980, p. 287) explica que a “sequencia de Fibonacci é a primeira sequencia recorrente” conhecida num trabalho de Matemática. O autor acrescenta que o próprio Fibonacci ficou atento para a particularidade recorrente da sequencia, entretanto, algumas propriedades da mesma, consideradas substanciais, “foram exploradas somente a partir da evolução das notações matemáticas empregadas”.
A relação conceitual que a sequencia de Fibonacci proporciona é extraordinária. De fato, temos a seguinte identidade 2
1 1
( 1)
n
n n n
f
+⋅
f
−−
f
= −
conhecida como fórmula de Cassini (KOSHY, 2007, p.134) e que pode ser verificada por indução. Entretanto, Honsbergerapresenta a seguinte matriz 2 1
1 0
f
f
Q
f
f
=
. A partir dela o autor desenvolve algumas contas e relações típicas do produto de matrizes e conclui por indução matemática o seguinte termogeral 1 1 n n n n n
f
f
Q
f
f
+ −
=
, paran
≥
1
. Além disso, escreve( 1) 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 n n n n n n n n n n n n
f
f
f
f
f
Q
Q
Q
f
f
f
f
f
+ + + + + + + + − −+
=
⋅
=
=
+
.Sabemos que 2
[
]
2det(
Q Q
⋅
)
=
det( ) det( )
Q
⋅
Q
∴
det(
Q
)
=
det( )
Q
. Ou seja, podemos afirmar quedet(
Q
n)
=
[
det( )
Q
]
n paran
∈ »
. De modo inesperado, a partir da relação[
]
det(
Q
n)
=
det( )
Q
n, obteremos que: 1 11 1
det(
)
1 0
n n n n nf
f
f
f
+ −
=
.Para concluir, destacamos que “em 1843, o escolar francês Binet encontrou uma fórmula que fornece
f
n em termos de n. Esta expressão aparentemente complicada provoca um sentimento inesperado em muitas pessoas” (HONSBERGER, 1985, p. 108). A fórmula de Binet não faz justiça a Leonhard Euler (1707-1783) e a Daniel Bernoulli (1700-1782) que já há possuíam um século antes. Entretanto, Binet realizou a descoberta de modo independente; infelizmente, ele não contava com tanta fama quanto os outros dois gigantes. Assim, estes propuseram o crédito a Alfred Binet (1857-1911).A fórmula é descrita por
1
1
5
1
5
2
2
5
n n nf
+
−
=
−
(a) para
n
∈ »
. O resultadopouco esperado é facilmente obtido a partir do seguinte lema demonstrado por Honsberger (1985, p. 108): se 2
1
x
= +
x
então paran
=
2, 3, 4,....
n 1n n
x
=
f
⋅ +
x
f
− .Em particular, obteremos que
n n n
f
α
β
α β
−
=
−
. Consequentemente, após realizar algumas simplificações chegaremos à expressão (a). Agora, quando retomamos a relação1 1
n n n
L
=
f
−+
f
+ destacada por Honsberger, obtemos:1 1 1 1 1 ( ) Binet n n n n n L f f α α β β α β α β − + = + = + − + −
. Por outro lado, facilmente concluímos que se
1
5
α
α
+
=
eβ
1
5
β
+
= −
, escrevemos a fórmula de Binet para a sequencia de Lucas que será descrita por n nn
L =α +β para
n
∈ »
. Finalizamos esta seção recordando nossa intenção inicial de apresentar algumas propriedades que em geral não recebem a devida atenção de alguns autores (BURTON, 1980; DUNLAP, 2003; EVES, 1983; HAMMACK, 2009; HONSBERGER; 1985; LÍVIO, 2002; POSAMENTIER & LEHMANN, 2007; VOROBE´V, 1961). Além disso, em virtude desta deficiência observada nos livros de História da Matemática, discutiremos na próxima seção uma perspectiva de aplicação didático-metodológica e de uma investigação de propriedades interessantes.2 Revisão Bibliográfica
Grugnetti & Rogers (2000, p. 53) explicam que a História da Matemática pode atuar não apenas como um fator de ligação entre tópicos de Matemática, como também as ligações entre a Matemática e outras disciplinas. Os referidos autores desenvolvem uma análise na
perspectiva da História da Matemática e discutem como determinados saberes podem ser mediados com via ao ensino.
Entretanto, no âmbito do ensino de Matemática, assumimos a necessidade da adoção de uma proposta metodológica que viabilize a abordagem de conteúdos matemáticos por meio de sua história. Assim, adotaremos a “proposta teórico-metodológica apresentada por um grupo de Educadores Matemáticos do Estado do Ceará” (BORGES et al, 2001, p. 3) denominada Sequência Fedathi – SF que possibilita a criação de um clima experimental que retrata o os momentos e as dificuldades enfrentadas por um matemático profissional em busca da constituição de um saber. A referida sequencia de ensino prevê os seguintes níveis:
Nível 1 Tomada de posição – apresentação do problema ou de um teorema. Neste nível, o
pesquisador-professor apresenta uma situação-problema para o grupo de alunos, que devem possuir meios de atacar o mesmo mediante a aplicação do conhecimento a ser ensinado.
Nível 2 Maturação – compreensão e identificação das variáveis envolvidas no problema.
(Destinado à discussão e debate envolvendo os elementos: professor-alunos-saber).
Nível 3 Solução – apresentação e organização de esquemas/modelos que visem à solução do
problema. Aqui, os alunos organizados em grupos, devem apresentar soluções, que possam conduzir aos objetivos solicitados e convencer com suas argumentações outros grupos.
Nível 4 Prova – apresentação e formalização do modelo matemático a ser ensinado. Aqui, a
didática do professor determinará em que condições ocorrerá a aquisição de um novo saber. A adoção de uma proposta metodológica para o ensino das sequencias de Fibonacci e de Lucas é justificada a partir da evidencia de que, na literatura da área de História da Matemática, obtida por meio de um levantamento bibliográfico e análise de livros, ocorre uma escassez de uma discussão mais aprofundada e as implicações possíveis extraídas a partir das relações conceituais entre as sequencias supracitadas, além do quadro acadêmico preocupante descrito por Bianchi (2006) e Stamato (2003).
Encontramos também nas colocações de Lima (2001(a)) preocupantes conclusões a respeito da qualidade do livro didático de Matemática, de modo particular, na abordagem de sequencias numéricas. Deste modo, de acordo com a sugestão de Lima, desenvolveremos algumas considerações que podem evitar determinadas concepções e hábitos indesejados na aprendizagem dos estudantes.
Uma concepção facilmente identificada diz respeito a um ensino de Matemática que não evidencia as relações conceituais. Deste modo, como descrevemos na figura 3, discutimos um assunto que possibilita uma ampla ligação conceitual interna à própria Matemática. Tal ligação precisa ser compreendida de modo local e global por parte do professor interessado em seu ensino. Além disso, ao observarmos as conexões e implicações possíveis e conhecendo a natureza da complexidade dos conceitos envolvidos, podemos prever os momentos didáticos em que cada noção pode ser explorada e antever os possíveis obstáculos ao aprendizado.
Passamos assim a descrever uma proposta de aplicação teórica dos conteúdos de sequencia de Fibonacci e de Lucas segundo o modelo que nominamos de “estendido”.
Figura 3: Relações conceituais estabelecidas pelas sequencias
3 Aplicação e discussão teórica da Sequencia Fedathi
Honsberger (1985, p. 104) menciona sem fornecer muitos detalhes que, “não existe dificuldade em estender a sequencia de Fibonacci no sentido indefinidamente oposto”. De fato, notamos que:
f
1=
f
0+
f
−1∴
f
−1=
1
;f
0=
f
−1+
f
−2∴
f
−2= −
1
,..., etc. Sucessivamente temos:8 7 6 5 4 3 2 1 0
{
}
:{...; f ;...;
;
;
;
;
;
;
;
; }
{ ....;... ; 21; 13 ;
8 ; 5 ; 3 ; 2 ; 1 ; 1 ; 0}
n n nf
− ∈ −f
−f
−f
−f
−f
−f
−f
−f
−f
−
−
−
−
» (1)Destacamos que em todas as obras consultadas, em nenhuma encontramos a descrição da sequencia de Fibonacci para o conjunto dos inteiros negativos. Entretanto, usando o mesmo princípio para a forma geral
f
n=
f
n−1+
f
n−2, estabelecemosf
−n=
f
− −n 1+
f
− −n 2,n
∈ »
. Acrescentamos ainda que, o modelo matemático descrito porf
n=
f
n−1+
f
n−2, pode ser considerado, numa linguagem atual, como uma singela modelagem da geração de coelhos; todavia, o mesmo não podemos dizer em relação a sequencia {f
−n n}
∈».De modo análogo, lembrando que
L
1=
L
0+
L
−1∴
L
−1=
L
1−
L
0= −
1
, temos a seguinte regraL
−n=
L
− −n 1+
L
− −n 2, paran
∈ »
. Exibimos a sequencia:8 7 6 5 4 3 2 1 0
{
}
:{..; L ;...; L ; L ; L ; L ; L ; L ; L ; L ; L }
{ ...;... ; ; 18 ; 11 ; 7 ; 4 ; 3 ; 1 ; 2 }
n n nL
− ∈ − − − − − − − − −−
−
−
» (2)A vantagem desta formulação pode ser compreendida, por exemplo, a partir da fórmula
2
1 1
( 1)
n
n n n
f
+⋅
f
−−
f
= −
demonstrada pela primeira vez por Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) em 1680, como explica Koshy (2007, p. 134). Vamos agora realizar o mesmo raciocínio para a sequencia descrita porf
−n=
f
− −n1+
f
− −n 2. A matriz adequada será dada por0 1 1 1 2
0
1
1
1
f
f
Q
f
f
− − −
=
=
−
. De modo análogo e com algum esforço, concluímos1 1 n n n n n
f
f
Q
f
f
− + − − − −
=
seguinte identidade 2
1 1
( 1)
n
n n n
f
− +⋅
f
− −= −
+
f
− , paran
∈ »
. Assim, tomando-se os modelos{f
−n n}
∈» e{
L
−n n}
∈» que chamaremos de “sequencias estendidas”, podemos inferir propriedades surpreendentes. Vamos exemplificar nossa afirmação sugerindo o seguinte problema: Qual o comportamento geométrico de {f
−n n}
∈» e{
L
−n n}
∈»?Nível 1 Tomada de posição – apresentação do problema ou de um teorema.
Destacamos que tal questionamento é pouco usual. De fato, notamos que a noção de sequencia é explorada, eminentemente, num quadro aritmético e algébrico (LIMA, 2001(b), p. 123). Assim, a partir da listagem (1) e (2), podemos estimular os estudantes na construção dos seguintes gráficos.
Figura 4: Comportamento geométrico das sequencias para os termos iniciais
Certamente que sem o auxílio computacional, não conseguimos descrever o gráfico acima para valores muito grandes. Assim, no nível 2 empregamos o aparato tecnológico.
Nível 2 Maturação – compreensão e identificação das variáveis envolvidas no problema.
(Destinado à discussão e debate envolvendo os elementos: professor-alunos-saber).
A partir da observação da figura 4, o professor deve salientar aos seus estudantes o caráter limitado e insuficiente, no sentido de prever o comportamento das sequencias. Inclusive, usando o software Maple 10, notamos que, de modo semelhante ao modelo tradicional, o mesmo fornece apenas os valores positivos da sequencia, definida para inteiros positivos. Reparamos as aproximações por casas decimais descritas pelo programa na figura 5. Tal listagem pode gerar alguma estranheza nos estudantes, uma vez que, segundo o modelo de Fibonacci, não poderiam existir 4,9999999956 casais de coelhos.
Neste nível, o professor poderá estimular atividades numéricas. Por exemplo, a partir da figura 4,
f
−2n= −
f
2n ef
−( 2n+1)=
f
2n+1 para o caso do gráfico de{
f
−n n}
∈». E de modo equivalente, os alunos podem debater o comportamento do gráfico da sequencia de Lucas, entretanto, respeitando o poder de síntese deste artigo, nos restringiremos daqui em diante ao caso da sequencia de Fibonacci estendida {f
−n n}
∈».Figura 5: valores numéricos fornecido pelo Maple 10.
Nível 3 Solução – apresentação e organização de esquemas/modelos que visem à solução
do problema.
A partir das propriedades conjecturadas no nível 3, a saber
f
−2n= −
f
2ne
f
−( 2n+1)=
f
2n+1,
o professor necessita instigar a turma na compreensão de que tais propriedades são insuficientes para responder o problema inicial. Aqui, evidenciamos uma importante característica da SF que busca evitar uma aparência superficial do conhecimento matemático.Tal aparência superficial leva os estudantes a pensarem que para todo problema encontramos uma resposta definitiva e conclusiva. Neste caso, o mestre sabe que a resposta para o problema exige bem mais do que algumas linhas de argumentação e, além disso, deve conhecer a priori as possíveis propriedades necessárias e, antever as dificuldades reais à evolução do conhecimento em discussão pela turma. No próximo nível o professor convencerá seus alunos a respeito das argumentações que apresentam maiores chances de êxito, mesmo que parcial, para o problema.
Nível 4 Prova – apresentação e formalização do modelo matemático a ser ensinado.
Admitindo que seja verdade que
f
−2n= −
f
2ne
f
−( 2n+1)=
f
2n+1poderíamos afirmar que o
comportamento geométrico da sequencia de Fibonacci de termos pares estendida será o mesmo comportamento da sequencia tradicional, a menos de um sinal, o que provocará a simetria no gráfico. E no segundo caso, poderíamos concluir que os termos ímpares, tanto da sequencia tradicional como a sequencia de Fibonacci estendida devem ser idênticos, entretanto, as mesmas produzem respostas parciais para nosso problema inicial. Para verificar tais igualdades, seguimos a sugestão de Benjamin & Quinn (2005, p. 143) que propõem a verificação da seguinte igualdade 1( 1)
nn n
f
−= −
+⋅
f
paran
∈ »
. Mas assumindo por indução a igualdade 1( 1)
nn n
f
−= −
+⋅
f
, necessitamos provar que( 1) 1 2
( 1) 1
( 1)
1( 1)
1n n
n n n n
1 1 ( 1)
( 1)
1( 1)
1 n n n n nf
− −= −
− +⋅
f
−= −
⋅
f
− , assim 1 1 1 1 Hipótese n n n n n nf
− +=
f
−+
f
− −∴
f
− −=
f
− +−
f
−=
(
)
1 2 1 1 1 1( 1)
n( 1)
n( 1)
n( 1)
n( 1)
n( 1)
n n n n n n n nf
− +f
f
−f
f
−f
+f
+= −
⋅
− −
⋅
= −
⋅
+ −
⋅
= −
⋅
+
= −
⋅
.4 Conclusões ou Considerações Finais
“O pensamento matemático pode apoiar os estudantes em diversos modos quando estudam história” (GRUGNETTI & ROGERS, 2000, p. 53). A investigação de evidências primárias e o processo de decisão de quais são os resultados e fatores chave em cada evento proporciona uma visão global e interconectada aos jovens, entretanto, o professor necessita de apoiar em concepções e teorias que possam viabilizar um ensino/aprendizagem produtivo, com o suporte da História da Matemática.
A proposta metodológica denominada Sequencia Fedathi visa um ensino desta ciência que preserva alguns traços característicos do momento de criação e descoberta de um matemático. Deste modo, uma das variáveis na pesquisa é a formulação de situações-problema intrigantes que exigem bem mais do que o exercício do pensamento algorítmico (1991, p. 285).
Em nosso caso, evidenciamos em várias obras a ausência da exploração de propriedades intrigantes entre as sequencias de Fibonacci e de Lucas. Apenas em Honsberger (1985) encontramos a breve sugestão de desenvolver propriedades com o que nomeamos de ‘sequencia estendidade de Fibonacci’. A partir dela, desenvolvemos também algumas propriedades para a ‘sequencia estendida de Lucas’. Seguindo o raciocínio encontrado nos livros consultados, adaptamos os resultados obtidos para a primeira sequencia na segunda.
Na figura 6 exibimos nossa última relação descrita de modo significativo por meio de uma interpretação geométrica. Respeitando os limites de síntese deste artigo, salientamos de modo resumido o caso das relações com a noção de convergência de sequencias. Descobrimos que o quociente n 1
n
f
f
+ converge (BENJAMIN & QUINN, 2005, p. 157). O mesmo resultado pode
ser compreendido de modo intuitivo e informal num curso de Historia da Matemática, quando recorremos à tecnologia. De modo surpreendente, não identificamos na literatura pesquisada, o comportamento de n 1
n
L
L
+ descrita do lado direito da figura 6.
Por fim, tivemos como objetivo neste trabalho, além do fato de discutir algumas “historinhas curiosas” envolvendo a Matemática num decurso histórico, abordar um tema que possibilita uma visão conceitual e contextualizada para o futuro professor. Ademais, com a aplicação da Sequencia Fedathi, o docente poderá perspectivar “como” e “quando” abordar os conteúdos discutidos, com destaque para os problemas parcialmente resolvidos e o apoio tecnológico.
Referências
BIANCHI, M. I. Z. Uma reflexão sobre a História da Matemática e sua presença nos livros
didáticos (dissertação), Rio Claro: Universidade Estadual Paulista, 2006.
BENJAMIN, Arthur. T. & QUINN, Jennifer, J. Proofs that really count: the art of combinatory
proof. Washington: The Dolciani Mathematical Expositions, 2005.
BORGES, Hermínio. et al, A Seqüência Fedathi como proposta metodológica no ensino-aprendizagem de Matemática e sua aplicação no ensino de retas paralelas, In: Anais do XV
EPENN - Encontro De Pesquisa Educacional Do Nordeste, São Luís, pp. 590-609, 2001.
BURTON, David. Elementar Number Theory. London: Allyn and Bacon Inc. 1980.
DUNLAP, Richard. The golden ratio of Fibonacci numbers. London: World Scientific, 2003. EVES, Howard. Great Moments in Mathematics: before 1650. New York: Mathematical Association of America, 1983.
GRUGNETTI, Lucia. & ROGERS, Leo. Philosophical, multicultural and Interdisciplinary issues. In: Fauvel, John. & Maanen Van, Jan. History in Mathematics Education, ICMI Study, Netherlands: Klumer Academic Publishers, pp. 38-61, 2000.
HAMMACK, Richard. Book of Proof. Virginia: Virginia Commonwealth University, 2009. HONSBERGER, Ross. Mathematical Gems III. In: The Dolciane Mathematical Exposition, New York: The Mathematical Association of America, 1985.
LIMA, Elon. Matemática e Ensino. v. 1, Rio de Janeiro: IMPA. 2001(a).
LIMA, Elon. Exame de Textos: Análise de livros de Matemática para o ensino médio, Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2001(b).
LÍVIO. Mário. The golden Ratio: the history of phi the world´s most astonishing number. New York: Broadway Books, 2002.
OTTE, Michael. O formal, o social e o subjetivo: uma introdução à Filosofia e a Didática
da Matemática. São Paulo: UNESP Editora, 1991.
KOSHY, Thomas. Elementar Number Theory with application. Boston: Elsevier. 2007. VOROBE´V, N. N. Fibonacci Numbers. New York: Pergamon Press, 1961.
POSAMENTIER, Alfred. S. & LEHMANN, Ingmar. The fabulous fibonacci numbers. New York Prometeus Book. 2007.
STAMATO, Jucélia, M. A. A disciplina de História da Matemática e a formação do
professor de Matemática: dados e circunstâncias de sua implantação na Universidade Estadual Paulista. (dissertação), Rio Claro: Universidade Estadual Paulista, 2003.
WELLS, David. Prime Numbers: the most mysterious figures in math. New Jersey: John Wiley and Son´s, 2005.
