Aplicação dos Números
Complexos na
Geometria Plana
Ana Isabel Cunha
Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no Secundário
Departamento de Matemática 2019/2020
Orientadora
Gabriela Chaves, Professora Auxiliar, Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
Todas as correções determinadas pelo júri, e só essas, foram efetuadas.
O Presidente do Júri,
Resumo
O presente relatório de estágio tem como intuito, numa primeira parte, dar a conhecer a minha evolução na prática letiva através de uma re exão acerca de alguns momentos vivenciados ao longo deste ano, que contribuíram para dar início à construção da minha identidade pro ssional. A segunda componente deste trabalho, de caráter didático, preconiza uma abordagem geométrica aos números complexos. Dando seguimento a esta construção, serão provados alguns teoremas de geometria plana fazendo uso da simplicidade de que se reveste a aritmética dos números complexos, o que confere o título a este trabalho.
Palavras-chave:
Ensino, Aprendizagem, Matemática, Números Complexos, Geometria.
Abstract
At rst, this internship report aims to show my evolution in teaching practice through a re ection on some moments experienced along this year, which contributed to start the construction of my professional identity. The second part of this work, a chapter with didactic considerations, includes a geometric approach to complex numbers. Proceeding from this construction, we will prove some geometry theorems, making use of the simplicity of the arithmetic of complex numbers, which gives the title to this work.
Keywords:
Conteúdo
Introdução 1
1 Análise crítica das atividades desenvolvidas no âmbito da PES 2 2 Uma introdução geométrica aos números complexos 8
2.1 Uma reinterpretação dos números reais . . . 8
2.2 A unidade imaginária . . . 11
2.3 O conjunto dos números complexos . . . 13
2.4 Números complexos na forma algébrica . . . 18
2.5 Números complexos na forma trigonométrica . . . 20
2.6 Potências e raízes de um número complexo . . . 27
2.7 Números complexos na geometria . . . 29
3 Alguns teoremas de geometria demonstrados usando números complexos 31 3.1 Preliminares . . . 31
3.2 Colinearidade e perpendicularidade . . . 35
3.3 Conciclicidade . . . 37
3.4 Triângulos semelhantes e triângulos equiláteros . . . 40
Introdução
O presente relatório de estágio encontra-se dividido em três secções.
Na primeira destas secções encontra-se a minha re exão sobre as atividades desenvolvidas no âmbito da PES e a sua repercussão na minha evolução na prática letiva.
A segunda secção constitui um texto de apoio sobre Números Complexos para alunos do 12º ano. Neste texto, é realizada uma abordagem aos números complexos de cariz geométrico desde início, contrastando com a introdução tradicional por via meramente algébrica, como a que se encontra atualmente no Programa de Matemática A do 12º ano. Recorde-se a longa história de aceitação dos números complexos, que foram digni cados apenas quando interpretados geometri-camente. Sendo os números reais representados por pontos numa reta reta real nesta secção, fortemente inspirada pelo vídeo [5], começamos por procurar compreender geometricamente o signi cado das operações de adição e multiplicação entre estes números, espelhados sob a forma de transformações na reta real. Seguindo esta linha de raciocínio, também os números complexos surgirão como transformações geométricas, mas agora no plano o plano complexo.
Tendo em conta a estreita relação entre transformações geométricas no plano e a aritmética dos números complexos, na terceira e última secção deste trabalho, dá-se a conhecer ao leitor a poderosa ferramenta que constituem estes números na resolução de alguns problemas de geo-metria plana. Esta secção foi motivada por três obras de referência sobre este assunto, [1], [4] e [11].
1 Análise crítica das atividades desenvolvidas no âmbito da PES
No ano letivo 2019/2020 realizei o meu estágio na Escola Secundária, com 3º ciclo, Filipa de Vilhena, sob a orientação da professora Cristina Cruchinho e com os meus colegas So a Ribeiro e Heitor Miranda. Muito além de uma experiência de ensino, este foi um ano de muita aprendizagem, sobre a qual vou re etir ao longo deste texto.
No início de setembro, a professora Cristina deu-nos a conhecer as turmas que teríamos 9ºB, 12ºA e 12ºB que eram suas pelo menos pelo terceiro ano consecutivo. Começamos desde logo a plani car o início do ano letivo, o que foi para mim muito estimulante, dado que ansiava esta experiência há muito tempo.
Numa primeira fase, a nossa atividade em sala de aula centrava-se na intervenção pelos lugares, que me permitiu uma primeira aproximação aos alunos, e na observação. Observava com a máxima atenção a segura gestão de sala de aula da professora Cristina, mas sobretudo observava os alunos e a forma como estes reagiam às suas intervenções, chamadas de atenção e propostas de trabalho.
Apesar de termos estudado muita teoria sobre o ensino nas unidades curriculares de psicologia e de didática e dos momentos enriquecedores de observação, apenas quando comecei a dar as minhas aulas, em outubro, é que me apercebi da real complexidade do processo de ensino-aprendizagem. Nas primeiras aulas, um dos maiores obstáculos que encontrei foi a gestão do tempo, na medida em que foi difícil encontrar um ponto de equilíbrio entre respeitar o ritmo dos alunos e cumprir os objetivos delineados para a aula. A gestão de sala de aula com cerca de 27 alunos é igualmente difícil, especialmente com os alunos mais novos, exigindo uma extrema capacidade de atenção e de perceção de tudo o que se passa em cada momento. Recordo-me da primeira aula que lecionei no 9º ano em que, a cinco minutos do nal, fui esclarecer uma dúvida a uma aluna sem me ter certi cado de dar indicações claras à turma do trabalho a desenvolver naquele momento, tendo esta negligência provocado alguma confusão na sala. Embora este erro me tenha deixado muito aborrecida comigo mesma, foi importante para que a partir daí tivesse sempre muita atenção na delegação das tarefas e na certi cação de que os alunos se empenham na sua realização. Compreendi também que a comunicação tem um papel fundamental e é bastante mais difícil do que se possa pensar à partida. Exige ter sensibilidade para colocar questões que orientem e desa em o raciocínio de cada aluno, para encorajar e gerir as participações dos alunos, processando-as e dando resposta em tempo real. Ao longo deste percurso, fui sempre exigente comigo mesma no sentido de melhorar em todos estes domínios, o que considero ter sucedido, servindo-me de várias estratégias para tal, entre elas a plani cação.
Tendo em conta os objetivos delineados para cada aula, sempre procurei apresentar os conteú-dos de uma forma estimulante, pois acredito que a assimilação das aprendizagens num primeiro confronto está fortemente correlacionada com o signi cado que lhes atribuem e as emoções que lhes despertam. A título de exemplo, no 12º ano, aquando do estudo das propriedades algébri-cas dos logaritmos, coloquei os alunos em contacto com as réguas logarítmialgébri-cas, desa ando-os a descobrir as propriedades que estavam na base do funcionamento da régua para multiplicar e dividir números facilmente. Além disso, procurava antever di culdades que podiam surgir e
propor soluções para as combater, seja através de um exemplo ou contraexemplo para certo argumento ou da colocação de determinado tipo de questões. Além disso, para muitas tarefas, investigava também eu várias resoluções que poderiam surgir, permitindo-me estar mais apta para perceber de forma e caz os diversos raciocínios, caso estes surgissem, e assim intervir no trabalho autónomo dos alunos de uma forma mais frutífera. Relativamente à comunicação em momentos de grande grupo, ao longo do estágio, escrevi orientações detalhadas para a discussão que tencionava promover em determinada aula que, apesar de não serem evidentemente seguidas à risca, em muito me ajudavam a articular o que queria dizer e que linguagem utilizar. De facto, um dos maiores desa os que aqui encontrei foi precisamente na diferença entre explicar a 2 ou 3 alunos, que se resumia à experiência que eu tinha enquanto explicadora, e procurar chegar e cazmente a 27 alunos.
Entre a plani cação e a concretização senti existir uma distância signi cativa. Quando se passa da teoria à prática, é necessário estar constantemente a observar e a avaliar em cada momento para perceber o que está ou não a funcionar. Essencialmente, sinto que o sucesso de uma aula e, portanto, da aprendizagem depende fortemente da sensatez e até coragem para alterar os planos sempre que tal seja mais prudente. Esta adaptação às necessidades dos alunos e a segurança para tomar estas decisões resultam da capacidade de ouvir e sentir os alunos, pois só estando inteirada do trabalho que cada um está a desenvolver na sala de aula é que se torna possível detetar as suas di culdades, ajudá-los a pensar e saber se estão a acompanhar a aula. Neste sentido, foram muitas as vezes que alterei a forma como ia abordar determinado assunto e, inclusive, o que ia fazer numa certa aula de acordo com o feedback que tinha dos alunos. Por exemplo, numa das aulas que lecionei sobre logaritmos, dois alunos, ainda que de formas diferentes, aperceberam-se que ao aplicar as regras operatórias transformavam por vezes equações noutras não equivalentes. Embora tivesse previsto abordar este assunto mais tarde, vi ali a oportunidade perfeita para discuti-lo, uma vez que surgiu da necessidade dos alunos. Ao nível do 9º ano, os planos de aula foram ainda mais adaptados, ora porque previa pouco tempo para certa tarefa, ora devido à maior espontaneidade dos alunos, que levava a que facilmente uma discussão se alongasse além do previsto e entrasse em campos que não tinha planeado.
Ao longo da prática, empenhei-me em construir um espaço de con ança, onde todos pudessem participar e questionar, esclarecendo todas as suas dúvidas e apontando sugestões, sendo ou não as mais viáveis. Apesar das minhas inseguranças neste domínio no início do ano letivo, acredito que de um modo geral consegui criar e desenvolver este ambiente construtivo de ensino-aprendizagem, provavelmente facilitado pela relação de respeito e a cultura de sala de aula já criada pela professora Cristina nos anos anteriores. No entanto, perante alunos tão diferentes, entre si e de mim, seria uma autêntica ilusão se acreditasse ter chegado a todos. Apesar dos esforços no sentido de construir uma relação interpessoal de qualidade com todos os alunos, sinto que não consegui alcançar este objetivo com alguns, poucos felizmente. Apesar de me sentir insatisfeita quanto a este facto, tenho consciência de que não é possível nem plausível que consiga conectar-me com todos os alunos da mesma forma, pela diversidade que nos é inerente. A heterogeneidade de conhecimentos e de atitudes dos alunos levou-me cada vez mais a pensar sobre como é que os alunos aprendem, como é que apreendem e desenvolvem os conceitos
e como os articulam com os que já conhecem. Esta integração dos conceitos, muito própria de cada aluno, vi re etida numa diversidade enorme de estratégias e de processos de resolução, por vezes muito criativos. Recordo-me de uma aula, no capítulo da combinatória, na qual duas alunas para contar o número de números naturais múltiplos de 5 entre dois dados números mobilizaram os seus conhecimentos sobre progressões aritméticas. Tal levou-me a pensar que as alunas em questão apreenderam com signi cado as progressões aritméticas no 11º ano e, embora estivéssemos a lecionar combinatória, não tinham sentido a necessidade de recorrer ao que tinham aprendido de novo. Essa necessidade foi sentida pelas alunas somente numa alínea posterior, em que as condições impostas sobre os números levavam a que a contagem por essa via fosse bastante complicada senão impossível.
Esta diversidade de alunos que temos na sala de aula levou-me também a aperceber da importância de alternar entre diferentes modos de trabalho trabalho individual, em grupos, em grupo-turma e propor vários tipos de tarefas exercícios, problemas, tarefas de exploração com diferentes graus de di culdade, para atingir o maior número de alunos possível.
Com efeito, é preciso equacionar o desenvolvimento dos conhecimentos e das capacidades de todos, sem descurar dos mais fracos, mas também sem deixar de motivar os melhores, equilíbrio que por vezes é difícil atingir e me deixa hesitante em certos momentos. Um deles prendeu-se com a primeira aula de números complexos que lecionei na qual implementei, ainda que de uma forma bastante ligeira, a sua introdução numa abordagem semelhante à que tinha idealizado na parte didática do relatório de estágio. Aquela construção, notei ter sido entusiasmante apenas para cerca de um quinto dos alunos, estando os restantes apenas a assistir.
Claro que esta hesitação, embora permanente, se torna mais fácil de gerir quanto melhor conhecer os alunos. Através da observação do trabalho de aula, da comunicação direta com os alunos e da correção dos seus trabalhos escritos, fui-me apercebendo das suas di culdades e potencialidades, que me permitiram tomar decisões com mais con ança, nomeadamente sobre o que pode e deve ser aprofundado, quando formalizar determinado conceito, quando deixar um aluno lutar com uma certa di culdade. Algo de que tenho consciência é que não posso esperar que todos cheguem ao mesmo sítio e ao mesmo tempo. A aprendizagem resulta de um processo que exige tempo e espaço, mais para alguns alunos que para outros, não sendo razoável pensar que todos os alunos atinjam o mesmo nível de compreensão face aos vários conteúdos. Tendo isto em mente, por exemplo, aquando do feedback oral e escrito que dei aos alunos, destaquei certos pormenores no caso de alguns alunos e não de outros. No caso daqueles que sei terem bastantes di culdades, não me faz sentido apontar para todos os erros cometidos, mas focar num que seja estruturante daquela questão, para que o aluno possa corrigi-lo. Realizada essa aprendizagem e numa perspetiva de evolução, momentos futuros serão mais oportunos para chamar a atenção para as restantes incorreções.
Todavia nem toda a experiência deste ano letivo foi passada na escola, que todos tínhamos como tão certa e inquestionável. No dia 13 de março, as escolas de todo o país foram encerradas devido à situação de pandemia e a Escola Secundária Filipa de Vilhena não foi exceção. A preocupação com os alunos levou a que agilizássemos o início do ensino à distância, que veio a começar no dia 17. Todos nós fomos surpreendidos pela capacidade de adaptação e de resiliência
dos alunos face a esta nova realidade e até pela nossa própria versatilidade.
Por um lado, não era exequível nem desejável uma replicação do trabalho presencial num contexto de ensino à distância. Por outro lado, acreditamos que não podia ser um trabalho totalmente afastado do habitual, pois tal constituiria mais uma novidade para os alunos, o que foi por eles con rmado num questionário sobre o ensino à distância que lhes propusemos. Assim, promovendo a autonomia, continuamos a utilizar com frequência a metodologia de trabalho de grupo, havendo lugar também para momentos de discussão coletiva e síntese de ideias, ainda que mais curtos e incisivos, sob pena de perdermos a atenção dos alunos.
Ainda assim, foram imensas as situações adversas que necessitamos de gerir, quer ao nível de problemas técnicos relacionados com o microfone e a ligação fraca à internet quer ao nível do feedback dos alunos a di culdade em perceber se estão a acompanhar foi acrescida pelo facto de não os vermos, além dos longos momentos de silêncio que por vezes se instauram quando ques-tionados, em certas ocasiões causando mesmo alguma incerteza quanto à sua presença na aula. Estes obstáculos levaram a que o ritmo e a intensidade das aulas neste regime fossem diminuídos e, na minha opinião, nem sempre com benefícios. As exposições mais pausadas e marcadas pelo constante esforço para estimular a participação dos alunos acabaram, frequentemente, por não ter o efeito pretendido, tornando o momento mais cansativo e aborrecido para quem estava a acompanhar a aula.
Tendo isto em conta, assisti e participei no contacto permanente da professora Cristina com os alunos que sentíamos estar afastados das atividades. Sendo este registo muito pouco familiar e seguro para nós, a avaliação tinha então um papel de regulação ainda mais importante. Esta mudança radical na forma de ensinar mostrou a necessidade e a pertinência de avaliar e classi car indo muito além dos testes e questões-aula, embora esta não fosse uma novidade para nós nesta fase do ano letivo, visto que a monitorização do trabalho de aula e das atitudes eram linhas orientadoras na avaliação dos alunos desde o início do ano.
Com o intuito de monitorizar as aprendizagens, foram vários os momentos em que lançamos tarefas a ser entregues pela plataforma que utilizávamos, o Teams. Contudo, o feedback por esta via era muito mais difícil. Por exemplo, durante as minhas aulas de lugares geométricos lecionadas no 9º ano dei feedback numa tarefa e, após ter conversado sobre o assunto em sala de aula sem apresentar a solução do problema, dei oportunidade aos alunos para melhorarem o seu trabalho. Infelizmente, apenas parte conseguiu melhorar a sua resolução, percebendo e corrigindo os seus erros. Num tema como a geometria, o questionamento oral e a própria presença física fez muita falta, o que me levou a contactar alguns alunos em tempo extra-aula, com consequências positivas ao nível das suas aprendizagens neste tópico.
Durante o período de ensino à distância, sempre tivemos consciência de que não estávamos a conseguir chegar a todos os alunos pelos mais variados motivos e o nal do ano foi esclarecedor quanto a esta situação. No 12º ano, quando regressamos às aulas presenciais, a 18 de maio, um aluno confessou não ter aprendido nada à distância, apesar de ter estado presente. No que diz respeito ao 9º ano, no nal de maio já sentia um certo cansaço e saturação por parte dos alunos, o que acho natural tendo em conta as condições em que estão há tantos meses.
foram muito mais exigentes. No entanto, há sempre aspetos positivos a retirar deste contexto negativo. Considero que o ensino neste formato permitiu um acompanhamento mais individua-lizado e exível, tendo em conta que vários alunos me contactaram fora dos horários das aulas para esclarecer dúvidas e pelo feedback individual que dei em várias tarefas. A autonomia e a responsabilidade dos alunos adquiriram centralidade e o ensino com e através da tecnologia tornou-se mais real. A título de exemplo, na minha primeira aula de lugares geométricos os alunos resolveram uma tarefa em pequenos grupos, partilhando o ecrã e construindo em con-junto um cheiro GeoGebra. Nas aulas seguintes, alguns alunos recorreram a este programa para resolver alguns exercícios, reforçando a sua utilidade na construção e validação de certos raciocínios geométricos.
O estágio foi essencialmente um tempo de partilha de opiniões e re exões muito construtivas. Além da re exão pessoal que fui fazendo no decorrer do estágio, fundamental para aperfeiçoar a minha prática, foram constantes os momentos de discussão coletiva com o núcleo de estágio e com a professora Cristina. Extravasando o tempo destinado às reuniões da PES, eram imensos os momentos em que nos reuníamos para re etir sobre as aprendizagens que estavam ou não a ser realizadas, sobre quem estava e não estava a acompanhar, além de procurarmos estratégias para implementar nas aulas seguintes de acordo com essas observações.
Os próprios planos de aula de cada um eram preparados com antecedência para que pudésse-mos discuti-los e propor sugestões de melhoria a nível pedagógico e metodológico. Da professora Cristina senti sempre uma enorme liberdade para pôr em prática aquilo que planeava, deixando-me apenas algumas ressalvas, sempre muito úteis, devido à sua longa experiência. Também a professora Gabriela sempre se mostrou disponível para ler e comentar os nossos planos de aula, fazendo observações muito pertinentes sobre algo que já tínhamos pensado durante tanto tempo. A colaboração da So a e do Heitor foi também, para mim, muito importante pois, cada um com o seu estilo próprio, contribuíram com comentários e perspetivas que me permitiam melhorar determinados aspetos nas minhas aulas. Sinto que a nossa paixão pelo ensino da matemática nos uniu num ambiente extremamente colaborativo, que nos fez crescer juntos pessoal e pro s-sionalmente.
Em paralelo com a atividade letiva propriamente dita, envolvi-me nos restantes papéis de um professor, em particular na participação nos conselhos de turma e em algumas reuniões de grupo de recrutamento, que me mostraram a importância e a necessidade da tomada de decisões em equipa, embora tal seja um processo exigente no qual as lideranças assumem um papel crucial. Saliento também que tive algum contacto com os encarregados de educação e com a direção de turma. Em particular, na reunião de entrega das informações intercalares do 1º período do 12ºA conversei com os encarregados de educação presentes. Esta reunião repercutiu-se num maior empenho dos alunos desta turma, o que me faz crer que a comunicação entre todos os intervenientes na sua educação é fundamental, apesar de nem sempre fácil.
Ao longo do ano foi também muito importante para mim a integração na escola e na comu-nidade escolar, concretizada nos almoços na sala dos professores e na visita de estudo a Lisboa com o 12º ano, que permitiu o convívio e a partilha de opiniões com alguns professores de vá-rias áreas. Numa outra visita, organizada por API, acompanhei com a So a Ribeiro o 12ºA a
uma aula sobre Aplicações da Matemática Robótica promovida pelo ISEP, tendo os alunos programado e simulado um percurso de um robot, colocando em prática os seus conhecimentos sobre velocidade, distância e rotações, além da programação. Ainda assim, alguns projetos não foram concretizados devido ao encerramento das escolas a 13 de março, como é o caso de uma atividade sobre geometria esférica que tencionávamos realizar com alguns alunos do 9ºano.
Teria muito mais a dizer sobre esta experiência, que considero ter sido um privilégio e pela qual estou muito grata a todas as pessoas que nela participaram e que contribuíram para a sua riqueza, como a So a, o Heitor, a professora Cristina, a professora Gabriela e os próprios alunos. Em suma, este foi um ano de muitos desa os e de muito trabalho, mas também de conquistas. A minha evolução, conquistada numa serenidade e con ança muito maior que aquela que tinha no início do ano letivo, é o progresso do qual tenho mais orgulho. Apesar disso, sinto que esta evolução cou pela metade. A interrupção das aulas presenciais a 13 de março veio, de certa forma, quebrar esse progresso, embora a experiência de ensino à distância nos tenha capacitado de novas ferramentas e competências que acredito que serão muito úteis no futuro.
Esta experiência impulsionou o início da construção da minha identidade como professora, mas sinto que tenho ainda muito a aprender, a explorar e a experimentar. De facto, são ainda muitas as incertezas que tenho face às metodologias e estratégias mais adequadas, pelo que a minha atual identidade pro ssional é ainda muito volúvel.
O futuro parece-me incerto, sobretudo devido aos tempos que vivemos, mas acredito que com coragem e perseverança poderei fazer o que mais me preenche ensinar e aprender.
2 Uma introdução geométrica aos números complexos
A criação do conjunto dos números reais deu-se ao longo de séculos, atendendo às necessidades da sociedade. Os números naturais foram criados para contar, os números racionais positivos surgiram pela exigência das medições, tendo os números negativos surgido, mais tarde, para expressar dívidas ou prejuízos.
Ainda os números negativos, e muito menos os irracionais, não tinham adquirido dignidade numérica quando, em meados do século XVI, alguns matemáticos se defrontaram com a ne-cessidade de considerar raízes quadradas de números negativos. Surgiu assim a nene-cessidade de extender o conjunto dos números reais, criando um conjunto onde estes números coexistissem o conjunto dos números complexos.
Neste texto, iremos construir este conjunto, partindo de uma compreensão visual e geométrica dos números reais. Embora os números complexos tenham surgido de uma outra forma na história, seria igualmente natural a sua construção deste modo, como verás.
2.1 Uma reinterpretação dos números reais
Tarefa 0 - Desvendar os números reais Resolve as seguintes equações em R:
1. 5 + x = −2 2. x2− 4 = 0 3. x2+ 1 = 0
Comecemos por dar um signi cado geométrico às soluções das equações acima.
Consideremos uma reta real como a que se encontra abaixo. Como sabes, a reta real é uma representação dos números reais tal que a cada ponto da reta corresponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real é associado um e um só ponto da reta.
Soma de números reais
Tendo em conta a associação entre os números reais e os pontos na reta real, vamos interpretar os números reais de um modo geométrico.
Por exemplo, a adição com o número real 1 = 0+1 traduz-se na reta numérica pelo deslocamento de 1 unidade para a direita. Analogamente, a soma com o número real 3 pode ser identi cado com a translação de 3 unidades para a direita. E se o número for negativo? Naturalmente, representa um deslocamento para a esquerda. Por exemplo, a adição com o número −2 está associada a um deslocamento na reta real de 2 unidades para a esquerda.
Seguindo esta linha de raciocínio, do ponto de vista aditivo, cada número real pode ser associado à respetiva translação.
Mais concretamente, cada número real x será identi cado com a translação de |x| unidades (para a direita se x > 0 ou para a esquerda se x < 0), que representaremos por Tx.
De acordo com esta interpretação, que signi cado geométrico fará sentido dar à soma de números reais, por exemplo, 1 + 3?
Repara que o ponto de abcissa x da reta reta real é a imagem da origem, ponto de abcissa 0, por Tx. Assim, o ponto de abcissa 1 + 3 = 0 + 1 + 3 é a imagem da origem pela aplicação sucessiva
das translações T1 e T3. Por outras palavras, 1 + 3 passará a ser identi cado com T1◦ T3.
Direcionemos a nossa atenção para a primeira equação que resolveste: 5 + x = −2 .
Podemos interpretar o número real 5 = 0 + 5 como a translação de 5 unidades para a direita, T5,
e −2 como a translação de 2 unidades para a esquerda, T−2.
Portanto, o objetivo é encontrar uma translação Tx tal que T5◦ Tx = T−2. A translação que se
procura terá de corresponder ao deslocamento de 7 unidades para a esquerda, o que na nossa notação é T−7.
Mais geralmente, a soma de dois números reais x e y pode, desta forma, ser identi cada com a composta das translações Tx (deslocamento de |x| unidades para a direita se x > 0 ou para a
esquerda se x < 0) e Ty (deslocamento de |y| unidades para a direita se y > 0 ou para a esquerda
se y < 0) , ou seja,
x + y ↔ Tx◦ Ty
Multiplicação de números reais
Acabamos de identi car o número 5 com T5, motivados pelo facto de o ponto de abcissa 5 ser a
imagem do ponto de abcissa 0 pela translação de 5 unidades para a direita, o que é traduzido algebricamente por 0 + 5. Mas podemos exprimir o número 5 com recurso a outras operações conhecidas. Por exemplo, podemos a rmar também que 5 = 1 × 5. Perante esta a rmação, parece-nos inevitável questionar que transformação geométrica pode, de alguma forma, ilustrar este produto.
Repara que uma forma de nos deslocarmos na reta real de 1 para 5 é através da homotetia com centro na origem e razão 5, aplicada a 1. Assim, podemos identi car o número 5com esta transformação geométrica, que representaremos por H5.
Nota: Apesar de estarmos interessados em aplicar a homotetia de centro na origem e razão 5 a um ponto da reta real, representaremos esta homotetia no plano para facilitar a sua visualização. Procederemos do mesmo modo daqui em diante.
De um modo geral, como x = 1 × x, o número real positivo x pode ser identi cado, seguindo esta linha de raciocínio, com a homotetia de centro na origem e razão x, uma vez que o ponto de abcissa x é a imagem do ponto de abcissa 1 por esta homotetia. E se x for negativo? Comecemos por ver a transformação geométrica que deverá estar associada a −1, do ponto de vista da multiplicação. Ora, −1 é a imagem de 1 por uma rotação de meia volta em torno da origem.
Representando por g uma rotação de um ângulo giro (uma volta completa), representaremos a rotação de meia volta em torno da origem por R1
2g.
Assim, estando a multiplicação por −1 associada à R1
2g, a multiplicação por um número real
negativo −b = b × (−1), b > 0 deverá ser entendida, do ponto de vista geométrico, como a aplicação de uma homotetia de razão b em torno da origem composta com uma rotação de meia volta igualmente com centro da origem: Hb◦ R1
2g.
A equação x2− 4 = 0 ou equivalentemente 1×x×x = 4 traduz-se por procurar uma
transforma-ção x que aplicada duas vezes sucessivas a 1 o envie em 4. Uma das soluções é, na interpretatransforma-ção que temos vindo a desenvolver, H2, associada ao número real 2. Outra solução é a composta
de H2 com R1
2g, por sua vez associada ao número real 2 × (−1) = −2. Ambas as soluções se
encontram ilustradas de seguida.
Deste modo, passaremos a identi car a multiplicação de dois números reais x e y com a composta das transformações associadas a x e a y do ponto de vista multiplicativo, isto é,
x × y ↔ H|x|◦ Rα◦ H|y|◦ Rβ
onde α, β ∈ 0,1 2g
dependendo do sinal de x e de y.
Relembra que, do ponto de vista da multiplicação, o número real x está associado à composta da homotetia de razão |x| com a rotação de ângulo nulo (R0) ou meia volta
R1
2g, conforme x
2.2 A unidade imaginária
Voltemos à equação 3 da tarefa inicial: x2+ 1 = 0.
Pretendemos encontrar x de forma que 1 × x × x = −1. Seguindo a linha de pensamento das secções anteriores, procuramos um número que se traduza numa transformação que aplicada duas vezes sucessivas ao ponto de abcissa 1 o envie no ponto de abcissa −1.
Claro que x não pode ser um número real, pelo que do ponto de vista multiplicativo, a trans-formação que procuramos não se trata de uma homotetia de razão positiva composta com uma rotação (de ângulo nulo ou meia volta). Se não nos restringirmos à reta real, será que encontra-mos uma transformação que, composta com ela mesma, envie o ponto de abcissa 1 no ponto de abcissa −1?
Consideremos então um plano e, nesse plano, uma reta cujos pontos se identi cam com os números reais reta real. Já vimos que uma transformação que envia 1 em −1 é a R1
2g . Tendo
em conta esta interpretação, uma transformação que cumpre os requisitos é a rotação de um quarto de volta (no sentido positivo) em torno da origem, que denotaremos por R1
4g+.
Tal como na interpretação que zemos dos números reais, a esta transformação deverá estar associado um ponto a imagem do ponto de abcissa 1 pela transformação. Portanto, a R1
4g+ e,
assim, a solução desta equação deverá estar associada ao ponto de coordenadas (0, 1).
Uma vez que o número representado por esta transformação não é um número real, vamos designá-lo por unidade imaginária e denotá-lo pela letra i. O número i fará parte do conjunto dos números complexos, que representaremos por C e que virá a ser de nido com rigor mais adiante.
Considerando a interpretação geométrica que zemos dos números reais e o aparecimento do número i enquanto a rotação de um quarto de volta (no sentido positivo) em torno da origem, e admitindo que existe, efetivamente, um conjunto bem de nido onde coexistem estes números, vamos explorar que outros números o deverão integrar e como se darão as operações entre eles. Algebricamente, sendo i solução da equação x2+ 1 = 0, temos que i2 = −1. Por outras palavras,
ié uma raiz quadrada de −1. Existirá mais alguma solução desta equação?
Repara que a rotação de um quarto de volta no sentido negativo em torno da origem, R1 4g
−,
também se apresenta como candidata legítima a solução da equação. De modo análogo, a imagem de 1 pela R1
4g− é o ponto de coordenadas (0, −1). E a que número fará sentido então associar
Tendo em conta que R1 4g −(1) = R1 2g ◦ R1 4g +(1)e estando R1 2g e R 1
4g+ associadas aos números −1 e i, R 1
4g− deverá
estar associada ao número −1 × i = −i.
Notas:
1. No texto, 1 refere-se ao ponto da reta real de abcissa 1, isto é, o ponto de coordenadas (1, 0). Expressar-nos-emos de modo análogo no caso dos restantes números reais.
2. As rotações e homotetias consideradas são sempre em torno da origem, pelo que passaremos a omitir o centro da rotação e homotetia.
A equação x2 = −1 tem duas soluções a rotação de um quarto de volta no sentido positivo,
R1/4 g+, e a rotação de um quarto de volta no sentido negativo, R1/4 g−.
No sentido contrário do percurso que zemos para os números reais, associamos agora a cada uma destas transformações um número e um ponto do plano:
A R1
4 g+ associamos o número i e o ponto de coordenadas (0, 1)
A R1 4 g
− associamos o número −i e o ponto de coordenadas (0, −1)
Exercícios:
1. De modo análogo ao que foi feito no texto, explora geometricamente a equação x2+ 9 = 0.
De acordo com a linha de raciocínio que temos vindo a desenvolver, que número/s deverá/ão estar associado/s à/s solução/ões desta equação?
2. Associamos a multiplicação pelo número complexo i com R1/4 g+. Seguindo a mesma linha
de raciocínio:
(a) Quais as transformações geométricas que deverão estar associadas à multiplicação por i2, i3, i4, i5, i6 e i7?
(b) Estabelece uma regra para obter o valor de qualquer potência de i. (c) Qual é a imagem de 1 por cada uma dessas transformações? 3. Calcula e interpreta geometricamente:
2.3 O conjunto dos números complexos
O conjunto dos números complexos surge como uma extensão dos números reais onde equações como x2 = −1passam a ter solução.
Recorda que, no início deste texto, interpretamos cada número real sob dois pontos de vista, aditivo e multiplicativo, traduzidos por uma translação e pela composta de uma homotetia com uma rotação (de ângulo nulo ou meia volta), respetivamente. Vimos ainda que a representação de tal número real na reta numérica é a imagem da origem pela translação referida e, em simultâneo, é a imagem de 1 pela composta da homotetia com a rotação.
À semelhança da interpretação que zemos dos números reais, vamos construir os números com-plexos através de translações e compostas de homotetias com rotações do plano. Tal como em R, também em C existirá uma correspondência entre cada translação do plano e uma certa homotetia composta com uma rotação. Ao ponto do plano associado às transformações referidas, e deste modo associado a um dado número complexo z, chamaremos a xo de z.
Claro que, sendo C uma extensão de R, teremos o cuidado de de nir as operações + e × no conjunto dos números complexos de forma que, quando se trata de números reais, essas operações se reduzam às operações habituais.
Propõe-se de seguida uma tarefa com o objetivo de explorar aquela que será a de nição de número complexo assim como as operações de adição e multiplicação em C.
Nota: Daqui em diante, vamos considerar um referencial ortonormado em que o eixo das abcissas é a reta real.
Tarefa 1 - Rumo aos complexos
Na gura, está representado, num referencial o.n. um quadrado [ABCD].
Sabe-se que BC = 3√2e que o ponto U tem coordenadas (1, 0).
1. Determina as coordenadas dos vértices do quadrado [ABCD].
2. Completa a tabela com transformações geométricas entre translações, rotações e homo-tetias de razão positiva que te pareçam adequadas e com os números complexos que representam.
Transf. geométrica 1 Transf. geométrica 2 Número complexo associado A = (O) A = (U ) zA=
B = (O) B = (U ) zB=
C = (O) C = (U ) zC =
3. Tal como podemos adicionar e multiplicar números reais, temos também interesse em per-ceber o que será a soma e produto de números complexos. Relembra como interpretamos, no início do capítulo, a adição e a multiplicação de números reais.
(a) O que poderão ser as somas zA+ zB, zA+ zC, zA+ zD, zB + zC, zB+ zD e
zC + zD? Que transformação geométrica deverá estar associada a cada uma dessas
somas?
(b) O que poderão ser os produtos zA× zB, zA× zC, zA× zD, zB × zC, zB× zD
e zC × zD? Que transformação geométrica deverá estar associada a cada um desses
produtos?
Como te apercebeste na tarefa 1, o ponto B de coordenadas (0, 3) é, por um lado, a imagem de O pela translação segundo o vetor de coordenadas (0, 3) e, por outro lado, a imagem de U pela composta de uma homotetia de razão 3 com uma rotação de um quarto de volta no sentido positivo. Assim, estas duas transformações devem estar associadas ao número complexo zB, que pode ser escrito como 3 × i = 3i.
A visualização de cada número complexo sob estes dois pontos de vista motiva a de nição das operações de adição e multiplicação neste novo conjunto, como veremos de seguida.
Conjunto dos números complexos
Os números complexos são representados por dois tipos de transformações do plano, em corres-pondência biunívoca uma translação e a composta de uma homotetia de razão positiva com uma rotação, ambas com centro na origem.
O ponto P , que é a imagem de O(0) pela translação e, em simultâneo, é a imagem de U(1) pela composta da homotetia com a rotação referidas, é o a xo do número complexo zP.
Nota: Ao plano onde representamos os a xos dos números complexos chamamos plano com-plexo.
Veremos de seguida as operações de adição e multiplicação de números complexos, generalizando a interpretação geométrica que zemos dos números reais.
Adição de números complexos
Consideremos dois pontos do plano P e Q e sejam zP e zQ os
nú-meros complexos dos quais são a xos.
Como P é imagem de O pela translação segundo o vetor −OP−→ e Q é a imagem de O pela translação segundo o vetor−OQ, o número com-−→ plexo zP+ zQ será identi cado pela composta das duas translações
referidas.
Para simpli car a escrita, TP denotará a translação segundo o vetor
−−→
OP e TQ a translação
Assim, sendo P e Q os a xos dos números complexos zP e zQ, respetivamente, zP+zQcorresponde
a TP ◦ TQ.
Multiplicação de números complexos
Consideremos novamente P um ponto do plano e zP o número complexo do qual P é a xo.
Nos vários casos que se seguem, representaremos por P0 a imagem de P pela transformação
geométrica associada à multiplicação de zP por um dado número complexo.
1. Multiplicação por um número real positivo
Seja a um número real positivo e seja A o a xo de a. A multiplicação de zP por a corresponderá a aplicar ao ponto P uma homotetia de
razão a.
2. Multiplicação por um número real negativo
Seja b um número real negativo e seja B o a xo de b. A multiplicação de zP por b = (−b) × (−1) corresponderá a aplicar ao ponto P uma
homotetia de razão −b > 0 composta com uma rotação de meia volta.
3. Multiplicação por ki, k ∈ R+
Seja I o a xo do número complexo ki, k > 0. A multiplicação de zP por k × i corresponderá a aplicar a P a homotetia de razão k
composta com a rotação de um quarto de volta no sentido positivo.
4. Multiplicação por um número complexo qualquer
Veremos agora a multiplicação por zQ, sendo este um número complexo qualquer.
Ora, Q é o transformado do ponto U = (1, 0) pela homotetia de razão ||−OQ||−→ composta com a rotação segundo um ângulo generalizado de lado origem o semieixo real positivo e de lado extremidade a semirreta ˙OQ, que representaremos por ( ˙Ox, ˙OQ).
Portanto, multiplicar zP por zQ corresponderá a aplicar esta transformação ao ponto P .
Mas, por sua vez, P resulta da aplicação a U da homotetia de razão ||−OP ||−→ composta com a rotação em torno da origem segundo um ângulo ( ˙Ox, ˙OP ).
Assim, o produto zP × zQ é de nido pela composta da homotetia e rotação que diz respeito ao
ponto P com a homotetia e rotação que diz respeito ao ponto Q, que iremos representar por: HP ◦ RP ◦ HQ◦ RQ
Nota que a composta de duas translações é uma translação. Também a composta de uma homotetia composta com uma rotação com uma outra homotetia composta com uma outra rotação (sempre com centro na origem) é ainda uma homotetia composta com uma rotação (de centro na origem). Ou seja, a soma de dois números complexos é um número complexo e o produto de dois números complexos é um número complexo.
Nas guras abaixo exempli ca-se o produto zP × zQdos números complexos zP e zQ, associados
respetivamente aos pontos P (−0.5, 1) e Q(1, 0.6).
Para cada número complexo zP de a xo P chamaremos:
módulo de zP à razão da homotetia HP, isto é, à norma do vetor
−−→ OP
argumento de zP (não nulo) à medida da amplitude, em radianos, de qualquer ângulo
generalizado ( ˙Ox, ˙OP ).
Nota: O módulo de um número complexo z representa-se por |z| e arg(z) representa um seu argumento.
Observações:
1. Se P coincidir com O, não ca de nido nenhum ângulo ( ˙Ox, ˙OP ), pelo que não se de ne argumento do número complexo z = 0.
2. Se α é um argumento de z, α+2kπ é também um argumento de z, qualquer que seja k ∈ Z. Tendo sido de nidas as operações nos números complexos de forma a que, quando restritas aos números reais, se reduzissem às operações habituais, é também natural questionarmo-nos se as propriedades das operações de adição e multiplicação nos reais se veri cam nos complexos. Desde o ensino básico, sabes que 0 é o elemento neutro da adição em R, uma vez que qualquer que seja x um número real x + 0 = 0 + x = x. De modo análogo, 1 é o elemento neutro da multiplicação em R, pois x × 1 = 1 × x = x.
Procuramos agora, se existir, o elemento neutro para as duas operações que de nimos em C. Repara que o elemento neutro, visto como uma transformação do plano, envia cada ponto em si mesmo. Chamamos a uma tal transformação de identidade e representamo-la por id. Assim,
resta-nos perceber o que é a identidade do ponto de vista aditivo e multiplicativo, mantendo em mente que qualquer transformação composta com a identidade é essa mesma transformação. No caso da adição, a identidade é a translação segundo o vetor nulo, T0, uma vez que, para
qualquer translação Tx tem-se que Tx◦ T0 = Tx. Ou seja, o número complexo 0 é o elemento
neutro da adição.
No que diz respeito ao elemento neutro para a multiplicação, as únicas homotetia e rotação que, quando compostas, originam uma transformação que envia cada ponto do plano no próprio ponto são a homotetia de razão 1 e a rotação de ângulo nulo. Ou seja, o número complexo 1, representado por H1◦ R0, é o elemento neutro da multiplicação.
Repara que os elementos neutros para a adição e multiplicação em C são os mesmos que em R, como se pretendia.
Também propriedades como a comutatividade e a associatividade da adição e multiplicação de números complexos se veri cam, uma vez a composição de translações e a composição de homotetias com rotações, ambas com centro na origem, gozam das propriedades comutativa e associativa.
A tarefa seguinte pretende ilustrar estas duas propriedades em alguns casos particulares. Tarefa 2 - As propriedades mantêm-se?
Identi camos 9i com a transformação H9◦ R1
4 g+, por exemplo ao efetuar o produto de 3 por 3i.
Vamos veri car se obtemos o mesmo resultado quando efetuamos, por exemplo, i + 8i e 4.5 × 2i, para começarmos a explorar algumas propriedades destas operações.
Completa a tabela seguinte:
Números Transformação geométrica associada a Número complexo traduzido complexos esse número do ponto de vista da + ou × pela transformação geométrica
3 × 3i H3◦ H3◦ R1 4g + = H9◦ R1 4g + 9i i + 8i 8i + i 3i + 3i + 3i 3i × 3 4.5 × 2i
Observação: Como sabes, a composição de funções é as-sociativa. Uma vez que as transformações são funções, a composição de transformações é associativa.
No entanto, nota que nem todos os pares de transforma-ções do plano comutam, como é o caso de homotetias e rotações com centros distintos. Podes observar um exem-plo deste facto na gura ao lado.
A propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição é também válida em C e será ilustrada mais tarde.
Nas próximas subsecções, vamos encontrar algumas formas de escrever os números complexos, tendo por base a forma como os apresentamos através de uma correspondência biunívoca entre translações, compostas de homotetias com rotações e pontos do plano e tendo em conta as operações de adição e multiplicação que de nimos.
2.4 Números complexos na forma algébrica
Ao longo do texto, já contactaste com números da forma a e bi, a, b ∈ R. Estes números dizem-se escritos na forma algébrica. Porém, como podes constatar facilmente, ao conjunto dos números complexos não pertencem apenas esses dois tipos de números.
Tendo em conta a associação de cada número complexo com uma translação do plano, veremos de seguida aquilo a que chamaremos forma algébrica de um número complexo.
Tarefa 3 - Dos pontos aos números
Na gura está representado, num referencial o.n., o para-lelogramo [OABC]. Sabe-se que os pontos A e C têm co-ordenadas 5 2, 2 e −3 2, 1 , respetivamente. Sejam zA, zB
e zC os números complexos que têm os pontos A, B e C
como a xos, respetivamente.
1. Determina as coordenadas do ponto B.
2. Sejam u e v dois vetores tais que Tu é uma translação horizontal do plano e Tv é uma
translação vertical do plano, de tal modo que o número complexo zB, do ponto de vista
aditivo, esteja associado a Tu◦ Tv.
(a) Indica as coordenadas dos vetores u e v.
(b) Quais são os números complexos associados a Tu e Tv? Conclui sobre qual deve ser o
número complexo associado a zB.
3. Repete o exercício anterior para os números complexos zAe zC, interpretando
geometrica-mente a soma dos dois números complexos zA e zC.
Mais geralmente, considere-se P um ponto do plano de coor-denadas (a, b). P é a imagem da origem (O) pela translação segundo o vetor de coordenadas (a, b). Ora, esta translação é a composta da translação segundo o vetor (a, 0) com a translação segundo o vetor (0, b). A T(a,0)associamos o número real a e a
T(0,b) associamos o número complexo bi.
Tendo sido de nida a soma de dois números complexos como a composta das translações que os representam, a translação segundo o vetor (a, b) deverá estar associada ao número complexo
a + bi. Por outras palavras, o ponto P (a, b) é o a xo do número complexo a + bi.
Seja P (a, b) um ponto do plano. O número complexo associado à translação segundo o vetor−OP−→ representa-se, na forma algébrica, por a + bi.
De nição: Dado um número complexo z = a + bi com a, b ∈ R: a a dá-se o nome de parte real de z e representa-se por Re(z)
a b dá-se o nome de parte imaginária de z e representa-se por Im(z)
Exemplo: Considerem-se P (2, 1) e Q(−3,√2), a xos dos números complexos zP = 2 + i e zQ =
−3 +√2i, respetivamente.
A parte real de zP é 2 e a parte imaginária é 1. No que diz respeito a zQ, pode escrever-se
Re(zQ) = −3 e Im(zQ) =
√ 2.
Nota: No plano complexo, ao eixo das abcissas (reta real) dá-se o nome de eixo real e ao eixo das ordenadas chamamos eixo imaginário.
Repara que, no plano complexo, os a xos dos números reais encontram-se no eixo das abcissas eixo real sendo representados por pontos da forma (a, 0), a ∈ R. Por outras palavras, os números reais são números complexos com parte imaginária igual a 0.
De modo análogo, aos números complexos que são representados por pontos que se encontram sobre o eixo das ordenadas eixo imaginário chamamos números imaginários puros. Estes números são representados por pontos da forma (0, b), b ∈ R \ {0}. Dito de outro modo, são os números complexos não reais cuja parte real é 0. Ou seja, são números do tipo bi, b ∈ R \ {0}. Soma de números complexos na forma algébrica
Sejam z e w dois números complexos na forma algébrica. Consideremos que z = a+bi e w = c+di para certos a, b, c, d ∈ R. Como se representará na forma algébrica o número complexo z + w? Usando as propriedades comutativa e associativa da adição tem-se
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Do ponto de vista geométrico, note-se que z está associado a T(a,b)
e w identi ca-se com T(c,d).
Logo, a z + w corresponderá a composta das translações T(a,b)◦ T(c,d) = T(a+c,0)◦ T(0,b+d)
Ou seja, (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
De nição: Dado um número complexo z designa-se por simétrico de z o número complexo que adicionado com z é 0 e representa-se por −z.
Suponhamos que z = a + bi com a, b ∈ R, isto é, z está associado a T(a,b). A translação que composta com esta é a translação segundo o vetor nulo (a que se associa o número 0) é a translação segundo o vetor (−a, −b). Por outras palavras, o simétrico de a + bi é −a − bi. Note-se também que o a xo de −z pode obter-se a partir do a xo de z por uma rotação de meia volta em torno da origem.
A expressão da multiplicação de números complexos ver-se-á com pormenor na próxima secção, onde vamos procurar escrever estes números de uma outra forma.
2.5 Números complexos na forma trigonométrica
Anteriormente vimos como escrever um número complexo na forma algébrica, tendo em consi-deração que cada ponto do plano é imagem da origem por uma translação. Veremos de seguida uma outra forma de escrever os números complexos forma trigonométrica vendo cada ponto do plano como a imagem de 1 pela composta de uma homotetia com uma rotação.
Tarefa 4 - Outra forma de escrever os números Na gura, está representado, num referencial o.n. um hexágono regular [ABCDEF ] com centro em O.
Sabe-se que U tem coordenadas (1, 0) e OA = 3.
1. Considerando P um vértice do hexágono, completa cada linha da tabela com a norma do vetor ||−OP ||−→ , a amplitude de um ângulo orientado ( ˙Ox, ˙OP ) e a transformação geométrica que envia U no ponto P entre homotetias de razão positiva, rotações e compostas das anteriores.
P ||−OP ||−→ ( ˙Ox, ˙OP ) Transformação geométrica tal que P é imagem de U A
B 3 π3 Composta da homotetia de razão 3 com a rotação de ângulo π3 C
D E F
2. Sejam zA e zB os números complexos dos quais os pontos A e B são a xos. Qual é a
transformação geométrica associada a zA× zB?
3. Sejam zB e zD os números complexos dos quais os pontos B e D são a xos. Qual é a
Como recordaste na tarefa, P é a imagem de U = (1, 0) pela com-posta da homotetia de razão ||−OP ||−→ com a rotação segundo um ân-gulo ( ˙Ox, ˙OP ).
Seja z o número complexo correspondente a P . Relembra que à norma do vetor−OP−→ chamamos módulo de z (e representamo-lo por |z|) e a medida da amplitude de um ângulo generalizado ( ˙Ox, ˙OP ), digamos α, em radianos, é um dos argumentos de z.
De nição: Seja z um número complexo não nulo de módulo |z| e argumento α. Nesse caso, escreve-se z = |z| cis(α) e diz-se que z está escrito na forma trigonométrica.
Exemplo: Na gura acima, P é imagem de U pela homotetia de razão 2 composta com a rotação de ângulo 7π
6 . Portanto, o número complexo do qual P é a xo, zP, pode escrever-se na forma
trigonométrica como 2 cis(7π 6 ).
Relembra que, sendo 7π
6 um argumento de zP, 7π
6 + 2kπ, k ∈ Z é também um argumento de zP.
Por exemplo, 2 cis(19π
6 )e 2 cis(− 5π
6 )são também modos de escrever zP na forma trigonométrica.
Nota: A habitual grelha quadriculada é útil na visualização geométrica de um número complexo na forma algébrica. Por sua vez, nota que uma grelha como a acima representada, chamada grelha polar, é bastante vantajosa para visualizar números complexos na forma trigonométrica. Tendo em conta que já sabes escrever os números complexos na forma algébrica e na forma trigonométrica, é essencial agora perceber a ligação entre estas duas formas de escrita do mesmo número. A tarefa seguinte propõe a passagem da escrita de um número complexo na forma algébrica para a sua escrita na forma trigonométrica.
Tarefa 5 - Da forma algébrica à forma trigonométrica
Considera os números complexos z1, z2 e z3 escritos na forma algébrica
z1 = 2 + 2i, z2= √ 3 − i e z3 = − 1 2 − √ 3 2 i
1. Representa, no plano complexo, os pontos P1, P2 e P3, a xos dos números complexos z1, z2
e z3, respetivamente.
2. Para cada um dos números complexos, determina o seu módulo e um seu argumento. 3. Escreve cada um dos números complexos na forma trigonométrica.
4. Seja z = a + bi, a, b ∈ R \ {0}. Sejam |z| o módulo de z e α um argumento de z. Completa: |z| = cos(α) = sin(α) = tan(α) =
5. Como se representam na forma trigonométrica os números reais e os números imaginários puros?
Multiplicação de números complexos na forma trigonométrica
Sejam z1 = |z1| cis(α1) e z2= |z2| cis(α2) números complexos e sejam P1 e P2 os seus a xos.
Quando de nimos as operações nos números complexos, a rmamos que a multiplicação de z1
por z2se traduz na composta das transformações associadas a cada um destes números do ponto
de vista multiplicativo: a homotetia de razão |z1|composta com a rotação em torno da origem
de um ângulo de amplitude α1, por sua vez composta com a homotetia de razão |z2|composta
com a rotação segundo um ângulo de amplitude α2. Portanto, o produto z1× z2 é identi cado
por HP1 ◦ RP1 ◦ HP2 ◦ RP2.
Como a composição destas transformações é comutativa e associativa, a transformação acima é, na verdade, igual a (HP1 ◦ HP2) ◦ (RP1 ◦ RP2). Além disso, a composta
das homotetias de razões |z1| e |z2| é uma homotetia de
razão |z1| · |z2|e a composta das rotações de amplitude α1
e α2é uma rotação de amplitude α1+α2. Isto traduz-se em
z1× z2 = |z1| · |z2| cis(α1+ α2)
Iremos de seguida ver como proceder à passagem para a forma algébrica de um número escrito na forma trigonométrica.
Tarefa 6 - Da forma trigonométrica à forma algébrica Sejam z1, z2 e z3 os números complexos
z1= cis π 3 , z2 = 3 cis 5π 6 e z3 = 2 cis −π 4
1. Representa geometricamente P1, P2 e P3, a xos dos números complexos z1, z2 e z3.
2. Determina as coordenadas dos pontos P1, P2 e P3.
3. Completa:
z1 = + i = 1( + i)
z2 = + i = 3( + i)
z3 = + i = 2( + i)
Como vimos na tarefa anterior,
cis(α) = cos(α) + i sin(α)
z com módulo |z| e argumento α
|z| · cis(α) = |z| [cos(α) + i · sin(α)] = |z| cos(α) + i · |z| sin(α)
Vejamos com mais pormenor a multiplicação de z1= |z1|cis(α1) por z2= |z2|cis(α2):
z1× z2 = |z1| · |z2| cis(α1+ α2) = |z1| · |z2| [cos(α1+ α2) + i sin(α1+ α2)]
= |z1| · |z2| [(cos(α1) cos(α2) − sin(α1) sin(α2)) + i(sin(α1) cos(α2) + cos(α1) sin(α2))]
= [|z1| · |z2| cos(α1) cos(α2) − |z1| · |z2| sin(α1) sin(α2)] +
+ i [|z1| · |z2| cos(α1) sin(α2) + |z1| · |z2| sin(α1) cos(α2)]
Suponhamos que z1 = a + bi e z2 = c + di, escritos na
forma algébrica. Sabemos que a = |z1| cos(α1), b =
|z1| sin(α1), c = |z2| cos(α2) e d = |z2| sin(α2),
pelo que a igualdade acima reescreve-se como z1× z2= (a + bi) × (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Repara que este é o resultado que obtemos quando usamos a propriedade distributiva para multiplicar a + bi por c + di e tendo em conta que i2= −1:
(a + bi) × (c + di) = ac + i · ad + i · bc + i2· bd = ac + i(ad + bc) − bd = (ac − bd) + (ad + bc)i
Na gura seguinte pretende-se ilustrar geometricamente a multiplicação de dois números com-plexos, na forma trigonométrica e na forma algébrica, vendo a consistência das nossas de nições. Além disso, é ilustrada a distributividade da multiplicação relativamente à adição num caso particular.
De nição: Seja z = |z| cis(α). Designa-se por conjugado de z o número complexo |z| cis(−α) e representa-se por z. Nota que os a xos de dois números complexos conjugados são simétricos em relação ao eixo real.
Exercício: Seja w o número complexo escrito na forma algébrica como 1 + i. 1. Escreve w e w na forma trigonométrica.
2. Determina w na forma algébrica.
3. Qual é o conjugado de z = a + bi para quaisquer a, b ∈ R?
4. Considera z = a + bi, com a, b ∈ R. Determina zz. O que concluis?
Vamos de seguida explorar como poderá ser expresso o inverso de um número complexo não nulo tendo em conta as operações que de nimos em C.
Tarefa 7 - Inverso de um número complexo Considera H e R as seguintes transformações no plano:
H :homotetia de razão 3, com centro na origem R :rotação em torno da origem com amplitudeπ6
Recorda que a identidade no plano (id) é a aplicação que a cada ponto P do plano faz corres-ponder o próprio ponto P .
1. Encontra transformações H0 e R0 tais que H ◦ H0 = id e R ◦ R0 = id.
2. Considera os números complexos z e z0 associados às transformações H ◦ R e H0 ◦ R0,
respetivamente.
(a) Determina a transformação R ◦ H ◦ R0◦ H0.
(b) Escreve z e z0 na forma trigonométrica.
(c) Determina z × z0.
De facto, o conceito de inverso de um número, para uma certa operação, não é uma ideia nova. Desde o ensino básico, tens vindo a trabalhar com o inverso de um número real para a adição e para a multiplicação.
No caso da adição nos números reais (e complexos), dado um número x sabes que −x é o número que adicionado a x faz obter o resultado 0 elemento neutro da adição. A soma x + (−x) traduz-se, geometricamente, por Tx◦ T−x que sabemos ser a translação segundo o vetor nulo,
que é a identidade no plano. Como deves reparar, o inverso para a operação de adição inverso aditivo é o que geralmente chamamos simétrico.
No caso da multiplicação de números reais, de nimos inverso de um número x (não nulo) como o número que multiplicado por x dá 1 - elemento neutro da multiplicação. Por exemplo, o inverso multiplicativo de 3 é 1
3 pois 3 × 1
3 = 1. Geometricamente, este produto traduz-se por
H3◦ H1
3 = H1, que é a transformação identidade.
Analogamente, dado um número complexo z (não nulo), o seu inverso, z0, será tal que a
multi-plicação de z por z0 seja representada pela identidade, que se identi ca com H 1◦ R0.
Seja z = |z| cis(α), com |z| > 0 e α ∈ R. Do ponto de vista multiplicativo, o número complexo z está associado a H|z|◦ Rα.
O número complexo z0deverá então estar associado a uma
homotetia de razão 1
|z| composta com uma rotação de
am-plitude −α (a menos de um múltiplo de 2π), pois esta é a única forma de obter a identidade com as transformações permitidas para a multiplicação (homotetias e rotações com centro na origem).
H|z|◦ Rα◦ H 1
|z|◦ R−α = H1◦ R0= id
Assim, podemos a rmar que o inverso de z, z0, é único, z × z0 = 1 e z0 = 1
|z|cis(−α)
De nição: Seja z um número complexo não nulo. Designa-se por inverso de z (e representa-se por 1
z) o único número complexo z
0 tal que z × z0 = 1.
Vejamos agora como determinar, na forma algébrica, o inverso de um número complexo z. Vamos admitir que z se escreve na forma algébrica e na forma trigonométrica como a + bi e |z| cis(α), respetivamente.
Como |z| =√a2+ b2, a = |z| cos(α) e b = |z| sin(α)
1 z = 1 |z|cis(−α) = 1 |z|[cos(−α) + i sin(−α)] = 1 |z|[cos(α) − i sin(α)] = 1 |z| a |z|− i b |z| = 1 |z|2 [a − bi] = 1 |z|2z = 1 zzz
Na prática, repara que, para obtermos o inverso de z na forma algébrica, multiplicamos e divi-dimos pelo seu conjugado, z.
Exemplos: Seja z = 2 cis 5π 6 . O inverso de z é 1 z = 1 2 cis − 5π 6 . Seja w = 3 + i. O inverso de w é 1 w = 1 3 + i = 3 − i (3 + i)(3 − i) = 3 − i 32+ 12 = 3 − i 10 = 3 10 − 1 10i
Divisão de números complexos
Tal como sabemos adicionar, subtrair (adicionar o simétrico) e multiplicar números complexos, vamos agora ver como dividir dois números complexos, de forma consistente com o que já foi visto.
De nição: Dados dois números complexos z1 e z2, z2 não nulo, designa-se por quociente de z1
por z2 qualquer número complexo que multiplicado por z2 é igual a z1.
Chamemos q a um desses números. Por de nição, z2 × q = z1. Ora, como z2 admite inverso
tem-se z2× q = z1⇔ 1 z2 (z2× q) = 1 z2 × z1 ⇔ 1 z2 × z2 q = z1× 1 z2 ⇔ 1 × q = z1× 1 z2 ⇔ q = z1× 1 z2
Por outras palavras, o quociente de z1 por z2, zz12, existe e é único, sendo igual a z1×z12.
Assim, sendo z1 = |z1| cis(α1) e z2 = |z2| cis(α2) (|z2| > 0)
temos z1 z2 = z1 1 z2 = |z1| cis(α1) 1 |z2| cis(−α2) = |z1| |z2| cis(α1− α2)
Exemplo: Consideremos z1 = 4 cis π6
e z2 = 3 cis 5π6 . Então z1 z2 = 4 3 cis π 6 − 5π 6 = 3 4 cis −2π 3
Exercício: Calcula, na forma algébrica, 3−2i 1+i.
Igualdade de números complexos na forma trigonométrica
Cada número complexo z pode ser escrito de uma única forma na forma algébrica. Sendo (a, b) as coordenadas do a xo de z, z = a + bi. Portanto, a + bi = c + di ⇔ a = c ∧ b = d.
No entanto, na forma trigonométrica, um mesmo número complexo pode ser escrito de uma in nidade de maneiras diferentes. Vimos que se α é um argumento de z então α + 2kπ sendo k um número inteiro é também um argumento de z. Reciprocamente, quaisquer dois argumentos de um mesmo número complexo diferem de um múltiplo inteiro de 2π. Assim,
|z1| cis(α1) = |z2| cis(α2) ⇔ |z1| = |z2| ∃k ∈ Z : α1 = α2+ 2kπ
2.6 Potências e raízes de um número complexo
Na secção anterior vimos que a multiplicação de dois números complexos se faz de forma bastante rápida e intuitiva quando estes números estão escritos na forma trigonométrica. De seguida, ve-remos como usar esta vantagem para calcular potências de expoente natural de qualquer número complexo.
Tarefa 8 - Potências de números complexos Considera z = 1.1 cis π 6 e w = 0.9 cis π 4 .
1. Calcula, na forma trigonométrica, z2, z3, ..., z7 e representa no plano complexo os a xos
destes números.
2. Repete a alínea anterior para o número complexo w.
3. Elabora uma conjetura acerca da n-ésima potência do número complexo z.
Da multiplicação de números complexos na forma trigonométrica sabemos que o módulo do produto de dois números complexos é o produto dos módulos e o argumento do produto de dois números complexos é a soma dos argumentos. Pelo método de indução pode provar-se que, efetuando o produto z × z × ... × z
| {z }
n fatores
= zn tem-se o seguinte resultado:
Fórmula de De Moivre: Seja z = |z| cis(α) um número complexo e n ∈ N, zn= |z|n cis(nα)
A gura seguinte ilustra a potenciação de um número complexo de módulo inferior a 1 e de um número complexo de módulo superior a 1. Repara que unindo com segmentos as sucessivas potências de um mesmo número complexo, estas parecem dispor-se sobre espirais.
Raízes de um número complexo
Recorda que o nosso estudo dos números complexos teve início na tentativa de resolver a equação z2 = −1. Vimos que esta equação tem duas soluções no conjunto dos números complexos: i e −i. Estes números são chamados raízes quadradas de −1.
Vamos, de seguida, resolver em C a equação z4+ 3 = 0, isto é, procurar a(s), caso existam,
Pretendemos encontrar z tal que z4 = −3. Escrevendo os números z e −3 na forma trigonométrica
temos z = |z| cis(α) e −3 = 3 cis(π), pelo que a equação se reescreve como: z4= −3 ⇔ (|z| cis(α))4 = 3 cis(π) ⇔ |z|4 cis(4α) = 3 cis(π)
⇔ |z|4 = 3 ∧ 4α = π + 2kπ, k ∈ Z ⇔ |z| =√43 ∧ α = π 4 +
kπ 2 , k ∈ Z Vejamos quais são as soluções da equação, atribuindo a k valores inteiros:
Para k = 0, vem z0 = 4 √ 3 cis(π4). Para k = 1, vem z1 = 4 √ 3 cis(3π4 ). Para k = 2, vem z2 = 4 √ 3 cis(5π4 ). Para k = 3, vem z3 = 4 √ 3 cis(7π4 ). Para k = 4, vem z4 = 4 √ 3 cis(9π4 ) = z0. Para k = 5, vem z5 = 4 √ 3 cis(11π4 ) = z1. e assim sucessivamente.
Repara que se k ≥ 4, as soluções zk repetem-se, como é evidenciado pela sua representação
geométrica que se encontra na gura abaixo. Logo, o número −3 tem quatro raízes índice 4:
4 √ 3 cis π 4 , 4 √ 3 cis 3π 4 , 4 √ 3 cis 5π 4 e 4 √ 3 cis 7π 4
Representando geometricamente as quatro raízes índice 4 de −3 percebemos que estas são os vértices de um quadrado, situados sobre a circunferência de centro na origem e raio √4
3, e em que um dos vértices é o número complexo z0 = 4
√
3 cis(π4).
O que vimos para a equação z4 = −3pode ser agora generalizado.
Considerando w = |w| cis(θ) e n um número natural n ≥ 2 vamos resolver a equação zn = w.
Ou seja, procuramos as raízes índice n de w. Escrevendo z, números complexos que procuramos, também na forma trigonométrica, digamos z = |z| cis(α) vem
zn= w ⇔ (|z| cis(α))n= |w| cis(θ) ⇔ |z|n cis(nα) = |w| cis(θ)
⇔ |z|n= |w| ∧ nα = θ + 2kπ, k ∈ Z ⇔ |z| = p|w| ∧ α =n θ
n+ k 2π
n , k ∈ Z Nota que, à semelhança do que constatamos acima, as soluções repetem-se para k ≥ n.
Dado um número complexo w = |w| cis(θ) não nulo e um número natural n ≥ 2, w tem n raízes índice n que são dadas por:
zk= p|w| cisn θ n+ k 2π n , k ∈ {0, 1, ..., n − 1}
No plano complexo, as n raízes são os vértices de um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência centrada na origem e de raio p|w|n .
Repara que o número complexo 0 tem uma única raiz índice n, para qualquer n natural, que é o próprio 0.
Observação: Repara que os cálculos que zemos, com os números complexos escritos na forma trigonométrica, expressam a procura de uma homotetia H|z| e de uma rotação Rα de tal modo
que H|z|◦ ... ◦ H|z| | {z } n−vezes = H|w| e Rα◦ ... ◦ Rα | {z } n−vezes = Rθ.
Exercício: Na gura, está representado, num referencial o.n. um polígono regular [ABCDEF GH] com centro em O. Sabe-se que G tem coordenadas (0, −2).
Determina as coordenadas dos pontos A e D.
Sugestão: Começa por escrever na forma trigonométrica os números complexos dos quais A e D são a xos.
2.7 Números complexos na geometria
Como viste, os números complexos estão intimamente ligados com a geometria e, particularmente, com algumas transformações geométricas do plano. Em virtude da simplicidade do cálculo algébrico em C, muitos problemas de natureza geométrica podem ser resolvidos mais facilmente recorrendo aos números complexos. Veremos de seguida um exemplo.
O tesouro enterrado
Um velho pergaminho, que descrevia o local onde piratas enterraram um tesouro numa ilha deserta, dava as seguintes instruções:
Na ilha só há duas árvores, A e B, e os restos de uma forca.
Comece na forca e conte os passos necessários para ir, em linha reta, até à árvore A. Quando chegar à árvore, rode 90◦ para a direita e avance o mesmo número de passos. No ponto em que
parou, coloque um marco no chão.
Volte para a forca e vá em linha reta, contando os seus passos, até à árvore B. Quando chegar à arvore, rode 90◦ para a esquerda e avance o mesmo número de passos, colocando outro marco
no chão, no ponto em que acabar.
Cave no ponto que ca a meio do caminho entre os dois marcos e encontrá o tesouro.
Um jovem aventureiro que encontrou o pergaminho com estas instruções, fretou um navio e viajou para a ilha. Não teve di culdades em encontrar as duas árvores mas, para seu grande desgosto, a forca tinha desaparecido e o tempo tinha apagado todos os vestígios que pudessem indicar o lugar onde cava.
em Trigonometria e Números Complexos, Ministério da Educação, 2000 Fazendo a construção geométrica descrita no
pergaminho num programa de geometria dinâ-mica como o GeoGebra, veri camos com sur-presa que ao mudar o local onde se encontra a forca, os marcos mudam de posição mas o te-souro não.
A demonstração geométrica de tal facto não parece muito simples, mas se trabalharmos com coordenadas de pontos e vetores sob a forma de números complexos e transformações geométricas sob a forma de operações entre estes números, torna-se fácil mostrar a invariância do ponto Tesouro quando fazemos variar o ponto Forca.
Designando por A, B, F, MA, MB e T os números complexos correspondentes aos pontos que
representam as árvores A e B, a forca, os marcos A e B e o tesouro, a construção geométrica descrita traduz-se da seguinte forma:
MA = A + i(F − A) (chega-se ao marco MA partindo do ponto A e descrevendo o vetor
que se obtém rodando de 90◦ o vetor−→AF)
MB = B − i(F − B) (chega-se ao marco MB partindo do ponto B e descrevendo o vetor
que se obtém rodando de −90◦ o vetor−BF−→)
T = MA+MB
2 (o tesouro é o ponto médio do segmento de nido pelos dois marcos)
Resulta então que
T = A + i(F − A) + B − i(F − B) 2 = A + iF − iA + B − iF + iB 2 = A + B 2 + i B − A 2 Portanto, ca demonstrado que o número complexo T não depende do complexo F mas apenas dos complexos A e B. Ou seja, o ponto onde está enterrado o tesouro não depende da posição da forca mas apenas do local onde as árvores se encontram. Além disso, repara que a expressão encontrada permite-nos saber exatamente a posição do tesouro.
Exercício:
Na gura ao lado, está representada, num referencial or-tonormado, uma semicircunferência com centro na ori-gem e raio 1.
Sabe-se que os pontos A e B são tais que U ˆOA = A ˆOB
Mostra que AU × AV = BU.
Sugestão: Começa por notar que a distância entre dois pontos Z e W do plano é igual a |z − w|, onde z e w são os números complexos dos quais Z e W são a xos.
