O PROBLEMA DA MEDIDA EM MECÂNICA QUÂNTICA: UMA AVALIAÇÃO DAS PROVAS DE INSOLUBILIDADE EXISTENTES *

rl

PROBLEMA

DA MEDIDA EM

MECANICA QUÂNTICA:

if,t

tX+B3,1ç^o

DAs PRovAs

DE INSoLUBTLTDADE

HARVEY ROBERT BROWN

LJníversidsde Eslodual de Campinas

l.

Introdução

ll.

Dois problemas de meclida em mecânìca quântica

lll.

Estados

e

atribuições de valores

lY

.

Inlerações gerais de medida

Y.

A

prova pelo evolução do eslsdo

Vl.

A

provø pela substituiçõo do estado

Yll.

Conclusões

1

TNTRODUçÃO

Temos essencialmente dois objetivos no presente artigo. Primeiramente

procura-remos explicitar a natureza mesma do problema da medida em Mecânica Quân' tica não-relativista

e

suas conexões com

a

questão da interpretação flsica do

formalismo quântico. Dizer que sérias dificuldades aParecem quando se tenta descrever o processo de medida unicamente em termos da teoria quântica tornou-se, há mnito, lugar-comum para os que lhe estudam os fundamentos. Embora

mos

ali

suas posições dentro das várias interpretações da Mepânica Quântica

(MO). _Na seção

lll

são exploradas em maior detalhe certas questões de

inter-*

pu.t. deste artigo está baseada e¡n ttabalho apresentado pelo autor para a obten@o do grau

dc PhD (londrès, 1978), cmbora tenha passado por substanciais modificações. A versÍio aqui

publicada

autor'

devidos

a

extle-mamcnte

arttgo

será

publi

roof of

the quantum measurement problcm".

r

Pa¡a bibliografias sclecionadas, ver Margenau 1963, Reece 1973, e as refsrências especializada-s cm Nilson 1976. Pa¡a uma resenha de muitos estudos na área, ver Jammcr 1974, capltulo II' Codernos de llistóriø e Fibsofia da Clência 9 (1986), Pp. 5-33.

6

fIarueY Robert Browtt

pletação ligaclas ao Problema da Conrpleteza, particularme¡ìte a do sigrrificado físico clo opct'ador estatístico (otr de dcrrsidade). Por se [azer neccssária ao

sr¡bse-qüerrte dcse nvolvinre nto cle algulnentos nrais formais, unra cliscussãcl do princípio de evolução dac¡uelc opclador'

é

ainda enrpreenditla.

Nosso segundo propósito é analisal a questão:

o

que se deve considerar como

scudo unla prova geral rla "ilrsolr,rbilidade" do Problenta da Conrplefeza?

Neces-sitarenros, para tanto, discutir previamente esta outra questão; Quais os tipos

de irltclação etltre

o

sistenra-objeto e

o

instrunrento de ntedida que devern ser

ticlas cotuo proccssos dc mcdida cle algurn atributo clo objeto?

O

restante dcr

artigo (seções

_IV

a

Vl)

é dedic¿rdo ao exame dessas qucstões controversas. Nossa

tese central é a de que há na litelatura clois tipos distilltos de provas de

"inso-lubilidade", que são de regra conlunclidos pclos conrentadores. Algumentalemos

tambénr qlte, eutbot'a quando cstlitarnente considcrado. o [cl'nìo "i¡rsolubilidacle" veicule, eln anrbos os casos, uma idéia excessivallrente fortc, uma daquelas provas

(a que denonriualeuros Prova pcla Evolução do Estado)

é

supcrior

à

otrtra (a

que denominarernos Prova pela Substituição tlo Estado),

A

printeira

foi

fonnu-lada originalmente por von Ncunrann,

e

posteliornrcnte generalizada

por

Fine, ao passo que a segunda é devida a Wigner, sendo depois generalizada por vários

autores. Uma série tle mal-entendidos atinentes ao primeilo tipo de prova são

exalninados. Aprescntanros destalte unra análisc cr'ítica

dc

nluitas plovas de "insolubilidade" cxistentes,

e

dclas danros ainda

o

qLle csperanìos ser unìa classi l icaçãr-l razt.¡ável.

2

DOIS PROBLEMAS DE MEDIDA EM MECÂNICA _QU,{NTICA

A. l'onte das dificuldades com

a

teoria formal da medida enr

MQ é

a

conjun-ção destas duas assunçoes:

(a):

Para quc unìa interaçãcl entre objeto c instrunlento conte como um pro-cesso dc rnedida deve haver corrclação eutle

o

estaclo _/ilrcrl (pós-interação) do

instrumento (ou

do

complexo objeto-instrunrento)

e

o

estado

itticiul

(pré-inte-laçiro) do objeto; e

(b):

O opcratlor de evolução c¡tte descreve a itrteração, dc[inidr¡ sobre o espaço

cie Hilbert relevante, ci urua tlanslorntaçã.l unifária.2

Consi<lerenlos agora unr esrlueurl de nreilicla eln MQ idcalizatlo, rnLrilo siruples,

(Cjencralizaremos depois pal'ír esquenr¡.¡s ¡nais realísticos.) l-irlritcrut¡-nos ao caso Êistit assunçin nenì senÌpre é aceita erÌì sr¡a plena generalidade. Ver, por exenrplo,

Belinfunte 1975, l9tì0; e Shelry e Sudarshan 1978. Niro acredilanros, lotlavia, que

sejaur convinr:entes os argrrrnentos contrários à evolr.rção uni(ária aplesentatlos nesses

trabalhos. Fazemos

notîr

que enr unl inleressante artigo publiciìdo recentemente

(Kaschlrrhn l98l), postula-.re evolução não-unitária cotno unìa regra geral para siste-mas quânlicos ent interação, e examinam-se as conseqüências tlisto para várias

situa-çócs físicus. Porérn, não fica claro que _tal postulado possa ser válido ent todos os casos tlaclrrell inlerlção,

-enl que todos os observáveis relevantes dos sistemas tratados têm espectros

pura-mente discretos,

e

sem clegenerescência. Sendo

a

correlação mencionada

a

do

tipo mais simples, este será um exemplo de esquema de medida freqüentemente usado nas discussões elementares do problema da medida. Seja então um

sistema-objeto

(/)

e um

apare

medida

(I/),

com espaços de Hilbert

asiociados H¡ e

Htt,

stema

lI

é apropriado para medir o

observável

Q

de

/,n

ral

Q

=

tr

À, Pno

(tt

₌

1,2,., _'),1

<le medida corresponde à interação de

I

com /1 durante

o

intervalo de_ tempo 1,

interação esta governada pelo hamiltoniano

H,

definido sobre H¡

E

H¡r:

H=HtØl+l@Hu*Htrr

onde H¡ e Hr¡ são os hamiltonianos livres dos si5temas

I

e

ll,

respectivamente,

e

Htrr

é o

hamiltoniano de interação. (Denotamos

por

I

os operadores de

identidacle em ambos

Hr e

Hr¡).

Durante

a

interação, podemos considerar a

contribuição dc H

txr

para

LI

muito maior que as dos outros dois termos. O operador de evolução sobre Hr

E

H¡

que descreve a interação é, então,

(Ð

U:exp

O hoblema da Mqlida em Ifæânica

_Quintica

j

-iH¡yr t

_

exp

ñ

Em

f :

0, seja Éu e H¡r

o

estado (puro) inicial do aparelho, correspondendo

à posição "neutrã" ¡l, do ponteiro. Para todos os estados iniciais de

/

que sejam

autoesiaclos (dr,

i : 1,2, ...),

postula-sc

a

seguinte interação, entre

I =

0

el=r:

u

l+,

E

f"/

-

ór

EÉi

(1)

Neste artigo denotaremos pelo mcsnro símbolo

o

observÁvel de um oistema

e

seu

läìi..pãïå?",. -ópäu¿o,. airtoadjunto sobre

o

espaço dc Hilbert que rcpr6enta o

3

sistema.

8

Harvey Robert Browt

Devido

a

esta correlação simples entre

Q

e

A,

etipressa

no

estado final

dr

E

fr

de

I *

11, a mensuração de

Q

sobre

/

é, como às vezes se diz,

subs-tituída nela de

A

sobre

//,'r

Em

I

:

r+,

os sistcmas

/

e

//

podem, enr princípio, ser "desembaraçaclos" (disenlangled), no sentido de que

o

estado

final é

fato-rizâvel.

Observe agol'a que se

o

estado

inicial

(/ :

0)

de

I é

C

:

I4¡+/,

com

I

lar

l'

:

l,

então, pela lincaridade de U, temos

Uló@f"): IatfuØü

(2)

Aqui o estado final de

I + Il

não é fatorizável, nem é, obviamente, um

auto-estadodeleA.

ds

uçãoléo

fvel,acausal

de

ile

o

_Proces

e Evolução

?-,

e

determini

de

medidq,

qu

dinger dePe

Está claro que

o

problema fundamental

é

c<¡nciliar

a

Evolução

I

para as

interações cJe medida com a lei de evolução quântica padrão dos estados

(Evo-lução

2).

Este problema surge da importante assunção (quc será mantida em

¡odo o artigo) de que a interação entre os sistemas

I

e

II

é urna simples interação

mecâ¡ica entre dois sistelnas quânticos, de modo que

I

evolução

do

sistema

conjunt<i

I + !l

durante

o

intervalo

r

de interação corresponda

à

Evolugão 2,

como é

o

caso nas Equações

(l)

e (2).

Antes de exalninar a questao da possibilidade de conciliação desses dois tiptts

de evoltrção, é natural que indagucmos plimeilaulcrìlc qu¿ulto à necessidade da

evolução

I

para o sistema-objeto. Há, em nossa opinião, duas justificativas

prin-ci¡lais e benr distintas na literalttra, que,

a

seu tt¡rno, ciiìo origem

a

<lois

pro-blemas de nredi<Ja bem diferentes.

Cube-nos nota aqui que

a

interação dc nlerlida reprcsenlada por

U

que obedece a Equação (l

)

é sabidamente inrpossível, pclo mcnos nos casos tle sisteorirs de spin l/2.

(Darenros mais tletalhcs na seçÁo lV')

von Neunrann 1955, p, 351.

O prublemado _'Yledidu em Mecâtticq

_euôntica

g

N

O problenn da reprodutibilidacle

Suponha que, imetlialanrcnle após uma nledicla ter-se realizado no sistema

l,

uma segunda medida de

O

se efetue no mesmo sistema (utilizando ou não o

mesmo

tipo de

instrumento

Il).

Sustenta-se freqüentemente que

o

resultado

desta segunda medida obrigatoliamente coincidirá com

o

da primeira

(pt)'

E

mais: quc unra condição necessária para

tal

rcplotlutibilidade é que

o

colapso,

ou reclução, da função de onda expressa na Evolução

I

ocorra como resultado

da primeira mensuração.8

perturba suficientemente

o

seu estado ao ponto de obstar

a

reprodutibilidade. Sendo assinr, esquemas

de

medida que assumem rcprodutibliidade não

cons-tituem scnâo uma pequcna subclasse da classe dos esquenras de medida

aceitá-veis.r' Ocasionalmente, porém, têm aparecido dúvidas quanto

à

necessidade do

postulado dc redução de von Neumann para a reprodutibilidade mesmo no caso

da leferida subclasse.

Oliginalmente, von Neumann defendeu seu poslulado baseando-se em uma

análisc das correlações experimentalmente verificadas entre resultados de certas

medidas não-simultâneas sobre o par elétron-fóton (quando separados) no

expe-rimento de Compton-Simon.ro Tais correlações podem ser, no caso, mostradas

equivalentes à exigência de reprodutibilidade, (Estas correlações são, na verdade,

um caso especial daquelas que mais tarde viriam a ser conhecidas como corre-laçõcs de Einstein-Podolsky-Rosen.) Mais recentemente, van Fraassen 11 levantou objcções ao argumento de von Neumann, fazendo notar que as referidas corre-lações são deriváveis da MQ padrão, independentemente do postulado de

redu-ção, Apcsar disso,

o

ar'gumcnto de von Neumann estabelece, em nossa opinião,

qus sc

for

atribuído um estado puro ao sistema-objeto imediatamente após a

primcira rnedida (i.e., um estado final conjunto "desembaraçado", enr violação

à

Equação (2)

),

então, ao menos em alguns casos, aquele estado terá de ser

o estaclo dado pelo postulado de redução. Nossa interpretação de von Neumann reprcsenta, porém, um argumento mais fraco do que aquela que van Fraasscn atiibui a ele, e não explica como, antes de mais nada, o sistcma-objeto "adquire" um estado puro, Seja como

for,

voltando ao argumento de van Fraassen, não

Ver, por exemp.lo, von Neumann 1955, p. 335; Dirac

pp. 123 e seguinles; Bohm c Bub 1966.

Isto será discutido mais dctalhadanrente na scção IV.

von Neumann 1955, pp. 212-222. van Fraassen 197ó. I t! l0 il 195E,

p,

16; Kcmblc 1917,

10

Harvey Robert Brown

fica

intciranrente claro

q.e a

maneira _{.pela quaf as correraçoes relevantes são}

obtidas sem auxílio do postulado _{de redição ért¿}

_{liur.ìr-uã,irucao}

_{de violar}

cr

cálculo de pr.obabilidades.

.

Enl sulna, a queslão da necessidade _{do postulado cle von Neumanrì no}

casc) de.medídas reprodutíveis não é inteiramente trivial, Como esianros no presente aItigo nrais intercssati<¡s. no segundo problema de nredida (ver _abaixoj,

.leixn-remos o tratarnento detalhado desta ques

urna característica deste problema que

É que, se a reprodutibilidade não pirde

utilização tão-somente da evolução un

com uma _{dificuldade lornrul} presente e da MQ. Neste sentido é que dizemos

"invariante cont a interpretação".

B)

O problema da conrpleteza

Poder-se-á _{dizer que um sistema quântico típico possui}

propriedades _{intrín_}

secas, objetivas (mesrno _{que cresconhècidas),}

_r.j"

_quät

_to.

_á-.itu¿o

em que se encontre e o contexto experinrental?

A

resposta _{ävidentemente Jepende}

da'inter-pretação da

MQ

que se adote.

retação " realisla

",

_ou

"objeliva',, há

s observáveis de unr sistenla quântico

os inslanles e ern tod<¡s os eitaclos.t2 ente ao progratna de Variáveis Ocultas

ição Completa de Valores.

s quais não darernos aqui

A

seu respeito menciona_

de Kochen e Specker rð e

sentes contra teorias realistas locais.rT

se haver p<ldido aincJa enccrrtr.ar unr

ente a referida tcse com os fenômenos

como

no

caso dos experimenlos clas

t2 t3 lt 15 Iil t7

i¡;f':"tJ':ìïi'":.liin-,¿"tu"î"î,,î,?ì,,iì,î'Tirfli",

un¡a rreresa basranre crara rresse

U,a

excerente resenha ao prog*n-'u'ä"r-vl¡i""r, _ocurtas

enconrra_se cnr tserinfante Gleason 1957.

Kr.¡chen e Specker l9ó7.

tscll 1966.

,Y.::;#'u".i;ä1,.;r,L,ï*r.c.

shimony te78; Brown

le8l,

_{te83. u,,,a exccte,ìre}

Y

O Ptoblema da Medida em Mecânica _Quânticø I I

duas fendas e do interferômetro,) 18 Podemos creditar a Fine,te por exemplo, o

mérito de ter mostrado, em um esforço de vários anos com vistas

à

superação

daquelas dificuldades com

a

interpretação realista, precisamente quão tortuoso

é .tal empleendimento.

Na posição oposta com relação à questão acima, sustenta-se que em geral um

observável de um sistema quântico não possui um valor bem definido, exceto

talvez nos casos em que o estado do sistema é um autoestado do Operador

asso-ciado àquele observável (ou, mais geralmente, quando o ensemble de tais

siste-mus

"oriesponde a uma m¡stura de autoestados daquele operador). Discutiremos

esta posiçãô em mais cletalhe na seção

lll;

por ora basta dizerque levaria seus

propõnentes

na

direção

da

interpretação mais ortodoxa

de

Copenhague, ou,

pelo menos, de certas variantes dela'

Nesta últinla visão das çoisas, não se pode, pois, asscverar em definitivO quc

o

observável

f

I

,4

(e portanto

o

próprio

A)

Possui, erìl

/

=,

r

e

dentto do

esquema simples de medída acinra considerado, um valol' benr definido quando

oéstado¿ei

+ lI

ê\atþt8.

Ér. Mas a ser assim, como é então que, quando

olhamos para

o

instrumento no final do processO de medida, vemos

o

ponteiro

numu poiição bem definida, enrbora em geral não prevista com antecedência? Freund'lich- expressou com acerlo este ponto quando, relativamenle às

observa-ções do ponteiro do instrumento, disse: " . .

.

hâ ocasiões em que nada existe

na Mecânica Quântica Para

o

que Possamos apontar

e

dizer: isto corresponde

às nossas sensações".2o

Seguindo Fine,2r denominaremos Problemas de Contplelez,a ao problema de

mediãa que vimos de expor. Frisamos que, diferentemente do que ocorre. com

o problema da ReprodutiËilidade, o de Completeza nÃo é invariante com a

inter-pretação, só surgindo quando se adota a Tese da Atribuição lncompleta

de-Valo-i.r.

Ér

ambos, porém, a Evolução

I

representa o elemento ad hoc q:te, dentro

da teoria simplei de medida, é necessário ao solucionamento do problema. Na

interpretação

ìm

discussão, a diferença importante (dentro _.do esquema simples

cle medidá) entre os estados finais

r

at _fu

Ø

€r _{e þ¡}

E

É* é que no prime¡ro o

observável "de leitura" do instrumento,

f

E

A , pode não possuir um Valor ¡eal, enquanto que no segundo possui. (lsto ficará claro na seção

lll.)

Para concluir, 'fazemos ainda a seguinte observação. Do que

foi

visto acima depreende-se que na análise das supostas provas de insolubilidade e das supostas

soluções (temos ambas) do "problema de medids" que constam na literatura,

é de-consiclerável importância ficar claro qual dos dois problemas acima está em

{iscussão. Algo que conte como uma solução para

o

Problema da

Reproduti-tàt

lil

20

Ver Belinfante 1978; Brown l9El. Fine 1971, 1974.

Freundlich 1972. O Problema da Complctcza é csscncialmente uma versão do

"para-doxo do gato", dc Schrädin3er (com _o instrumento

ll

no lugar do gato).

Finc 1973a. 2l

12

llarvey Robert Brown

bilidade, pcr exemplo, poderá ser irrelevante, ou ao menos de aplicação duvidosa,

ao Problema da Completeza. Voltaremos

a

isto mais tarde (seção

_Vll),

3

ESTADOS E ATRIBL]IçÕES Or VAIORES

Na

presente seção desejamos explicar mais claramente

a

Tese

da

Atlibuição lncompleta de valores, com relação

ao

Problema

da

completeza, clelineado acima.

Não constitui tarefa fácil especificar consistentemente condições razoáveis para

a atribuição de valores reais e bem definidos

a

um subconjunto não

trivial

de

observáveis de um sistema em MQ, e ainda mais quando operadores estatísticos

não idempotentes (representando estados mistos) são utilizados na representação

dos estados do sistema, ou melhor, de ettsembles deles,z2 Mais adiante, porém,

estaremos interessados em determinar sob que condições (se em alguma) é-nos

lícito

representar

o

ensemble

final

tle

sistemas

I + II,

dentro de esquemas

gerais de medida, por um operador estatístico do

tipo

W

:

_ì

.',^ P

_Ípql,

onde

ì

,,

-

l;

\p,ù

é o projetor sobre o subespaço gerado por p,, com pn

_,HtØHulr¡,

e onde Hutrlé

o

auto-subespaço de

Hl

gue corresponde ao autovalor p(n) de

A.

Tem-se freqüentemente corno certo que

tal

operador estatístico,

ou

algo

muito parecido que represente o estado final do ensemble é condição necessária

e suficiente para que

o

observável

lqA

de

/ * /l

possua um valor bem

defi-nido

pala cada elemento

do

ensemble. Esta assunção requer,

ao

nosso ver,

alguma discussão.

Para

um

sistema quântico arbitrário preparado num autoestado

de

algum observável,

o

critério de Einstein para

a

existência de

um

"elemento de

rea-lidade" 2u (que se baseia na possibilidade de predição

do

valor de um

obser-vável com probabilidade 1), atribui um elemento de realidade àquele observável.

Pode dizer-se que

o

observável "possui" então

o

(auto)valor correspondente ao

autoestado em questão. Poucos questionariam esta assertiva, pelo menos quando

a

atribtrição de realidade

a

algumas plopriedades de sistemas quânticos indi-viduais

for

tida como legftima.2{ Dentro

da

visão

da

Atribuição lncompleta

de Valores, pareceria natural estender este princípio

do

seguinte modo: um

22

_{Para uma discussão reccnlc tlo formalismo de}

operadores eslatísticos, vcr Belinfante 1980.

O Ptoislemø da A[edirla em Mecânica Quântica l3

observável

A

possui um valor real, bem definido, ûr s€, e somente se,

o

estado

do

sistema

é

o

autoestado de

A

que corresponde ao autovalor ar. Hooker 2õ

denomina esla regra de Teoria Padrão de Estados, e Fine 26 de Vínculo

Auto-vctor-Autovalor; (adotaremos esta última forma, abreviando-a por VAA).27

Einstein considerava seu critério para a existência de um elemento de

reali-dadc uma condição meramente suficiente, mas não necessária (afinaU Einstein inclinava-se para a Tese da Atribuiçao Completa de Valores);

tal

critério rião

está necessariamente vinculado ao estado do sistema. De fato,

é

precisanrente

lro tipo dc

sistenlas correl¿rcionados que Einstein analisou que aparece uma

dificuldade para

o

VAA.

Para nos servir de um exemplo

já

tornado padrão,

u¡ua molécula diatômica desintegra-se, emitindo dois sistemas dc

spin

ll2

de

modo quc

o

momento angular total inicial (zero) seja conservado.

A

probabi-lidade de

o

resultado da medida de

o,

₌

1 em um os subsistemas ser

I

(onde

o", é o operador de Pauli definido para a componente

x

do

spin) dependerá de ter sido ou não realizada uma medida similar com

o

outro elemento do par.

À

falta desta última, aquela probabilidade serâ

lf2;

caso contrário, será

I

ou 0

(dependendo _do resultado da medida distante). De acordo com Gardner,2s por

exemplo, a aplicação do

VAA

neste caso leva a um absurdo.

Não é. difícil ver aqui que a consistência do

VAA

só pode ser salvaguardada

pela pressuposição de que a função de onda do sistema conjunto colapsa instan-tantaneamente por efeito da primeira medida, realizada no subsistema distante, e

de

que há, obviarnente, comportamento não-local

por

parte

do

sistema não

submetido a medida. (Ele possuirá um valor real, bem definido, para ú! somente

após ter-se realizado a medida no sistema distante.) Este é um preço muito alto

a ser pago. Quanto à não localidade, talvez possa ser considerada uma

caracte-rística deplorável, porém não pode rnais ser tida como absurda. Nãolocalidade

em MQ (ao menos nas interpretações "realistas") tem-se tornado crescentemente

plausível nos últimos anos." Para nossos atuais propósitos, porém, muito mais

danoso é o fato de a consistência do

VAA

depender da validade do postulado

de redução de von Neumann para medidas. Pois

tal

fato implica que

o

VAA nàcr pode ser invocado na discussão do significado do estado final de

I i

II

no esquema de medida simples, conlo era nossa intenção original. lsto porque tal

estado é cxatanlente o estado não-reduzído, na teoria da medida; ou seja, para

que ele represente o estado final de

I

+ II

é necessário pressupor que nenhunr

colapso ou redução se realiza durante

o

processo de medida. Por conseguinte,

a

própria consistência do

VAA

fica ameaçada.

2tt

Hooker 1972.

26

-t-ine _1973b,

27 Ver também

o

Axioma XIX' de Krips

:It

Gardner 1971.

:¿lr _{Ver as referências da Nota 17.}

--l

14

HweY Robert Brcwtt

uição incompleta tle valores seja con' ndente do postulado de redução' então

que, em geral, fatores independentes

(ví2. medidas em sistemas que no pas-bém determinal' se

um

observável do

,

åîîl

oå,0ï,

ffi

' "':

i":ä

li,

_ij:"å'fi

:

teremos

_';;;î;-rã"

de

enlraquecer

o

vAA

para

o

stalus

de

uma condiç-ao suliciente,

^il"itiâr¡o,

p^."

qu" um'observável do

sistema possua um valor bem

definido.

Antes de discutirmos as implicações desta alteração vis-à-vis

o

Problema da

Cor4ptlt"ru, devemos estendei

a

discussão ao caso de misturas'

***

Os operadores estatfsticos foram int

mitir

a introdução de indeterminações

muito diferentes das indeterminações

estaclos puros quânticos por via da regra estati

.áiu"i"rirti.us

iormais dàs operadoreJ estatísticos que levaram alguns

comenta-il;; ;

duvidar da propriedide dessa distinção.

O

problema

é

o

seguinte: se

sabenros que, num ensämble

E

de

sistemal idênticos

S,

cada

qual

está em

ut"-¿*-.ti"ãå,

puro, quânticos þ,,þa,

_"',þn

com probabilidades Pt' Pt'

"'P"'

respectivamente

(Ipr:

l),

entâo as predições estatísticas sobre

E

podem-se

obter

,pelo

pro"!ãì*.nto

padtão através

do

operador estatístico

(mistura)

* :,\l'Plorl.

Quando' porém' está-se de posse somente do operador formal

W,

para E,

è

'

mente a resPeito de- qual

"onjunto

át

lsto Porque ₁

_li:t:-çi:'

ou

expansão,

de estados puros pondc'

rados geralm

Este resultaclo tem ocasionalmente sido interpretado como

a

proscreYer a

intrrpi.tuçao

clássica

(ou de

ignorância) das probabilidades associadas aos

su

von Neumann 1955.

8l

Essa não-unicidade, reconhecida por von Ncumann' Eurgc dos seguintcs nrodos' Sc

* =

_1.,

,rfr,

é a resolução espcctral de W, e se algum dos o, é degenerado,

então o conjunto ortonormal compteto'l _*,

_I

("

portanto o cðnjunto

l\*,1 [)

clara-mente não é único. Além disso, Schrödinger mostrou (Schrödinger 1936) iuc W pode em geral ser cxpresso na forma

* =lplPÍ.gì,

onde os

_l¡

não formam um conjunt'o

O h'oblema da l,[edida em Mecâtüca

_i)uântica

_l5

,,pesos" _{pi,32 Para os que adotanl tal posição, a distinção eutre} estados puros e mìsturas é vista co¡no tão-somente matemática (o operador estatístico represen-tan<Jo E é simplesmente idempotente ou não, respectiva¡nente), sendo portanto

inrprópriO O telnto "mistura". NO entantO, COmO VAtl FraaSSen notou,írs

a

inCa-pnðido,Je de, com base unicanrcnte no operador

W

ma,nei¡a pela

qual E se conrpoe tlc cstados puros não obsta a

qu

o

de S enl E

esteja, na realidacle, er.n algum estado puro

definido.

rra t'esolução

<Je

W

representa lleralletrte mais um elemento

de

natureza real

da mistura enr E.

É, de perguntar-se por que este assunto

é

relevante para nossos propósitos'

O

ponto é

_[ur

rc o

Vnn

é adotado, ainda que na forma enfraquecida

a

que

acima nos rèferinlos, e¡tão as diferentes misturas correspondendo

a

diferentes

resoluções de

lV

correspondem, na realidade

_,

a ens.embles lísicanrenle dislinlos,

-.rtno

que sejam indistiìrguíveis através de medidas.${ Um observável que PÚssu.a

um valoi beni definido pãru cada elemento do ensenrble misto que corresponde

a uma dada resoluçao de W não terá geralmente valor bem definido na mistura correspondendo

a

outra resoluçao.

f

claro que neste caso a- mistura "real" corresþonde a uma,

e

a somente uma, resolução possfvel de W'

Cabe-nos ainda fazer menção

a

outro aspecto imprortante do significado do

formalismo do operador estatístico relativamente ao

VAA

enfraquecidor _f'e!erg' se à evolução däs nlisturas. Suponha que temos novamellte um ensentble E de

sistemas

S

representado

por

W

=ìp40ì (\p=

l,Wt

+

lV'

e os Ór não são necessariamente ortogonais dois

a

dois). Assumimos que esta resolução de

lV

corresponde

à

misturá

"teal"

de estados Puros_em E..Pa.rece agora

absolu-tamente natural assumir que se cada elemento em E evolui livremente, durante

um intervalo de tempo especificado, de acordo coJn uql operador unitário U

(definido para aquelé inteivalo), então

a

mistu¡a

"real" final

em

E é a

que

,orr"rpond. à resóluçao

W'

-

|JWU-,

:,t

pt P¡uçr¡Referir-nos-emos

doravan-te a este princípio como

o

da Evolução Unitária Real para misturas.

Relaxar tat prinCíBio significaria dizer que enquanto

o

estado

final

de

E

t

ntado Pelo _{s outros que} oPer_não

J

comPletamente

p

defendida acim

t2

Vcr,

por

980. Em particular, é

admiùvcl

sua admissño dc que

unrR

"des

es

i'i,

lde informação

incomplet

íveis, qu-ântica¡] ¡crá

altaméntc

Furry, ob, cit.).

iJlJ _{van Fraasscn} 1972.

T

16

Hrrvey Robert Brown

com a evolução padrão de Schrödinger para estados puros. No entanto,

confor-me será visto nas seções

IV

e

vl,

semelhante possibilidade é por vezes aceita

na Iiteratura sobre

o

problema da medida.

*ìÈ*

Retornemos agora ao nosso esquema simples de medida (seção

_Il),

_e consi-cleremos de novo

o

estado

røif'r8Ér

de

/ * II

em

t =

t.

De acordo com a

versão _{original (forte) do}

_vAA,

_tal

_estado

_é

_{estritamente incompatível com a} existência _{de um valor.bem definido para}

_o

_{observável "posição do ponteiro",}

1ØA. _{Esta então constituiu a formurårão mais forte do Þroblema dá}

compte-leza no presente caso. _{Argumentamos anteriormente, todavia, que a versão fõrte}

do

vAA

não é completamente adequada para

a

aplicação

à

iituaçao em foco.

o

quadro se altera, embora talvez não drãsticanlente, óom a adoçáo da versão

fraca

do vAA;

com ela não será mais verdade que

I

atþrØÊr elimina

estri-tamente

o

aparecimento _{de uma} posição definida

do

ponteiro enr

/

: ,.

É,,

porém, um axionra da presente interpretação, _{de atribuição incompleta dc} valo-rcs, que nent lodos os observáveis de

I f

//

podem possuir valores tem definidos

em toclos os instantes. Desde que a condiçãó sulicienle para a existência de uma

posição bem definida

do

ponteiro em

f

₌

r

não

é

sátisfeita, ainda aqtri não

poderemos asseverar _{em clelinitivo que o}

_ponteiro está parado em alguma

po-sição. De novo ficamos com

a

ausência dè uma explicação inreiramùte saiis.

falória de como são possíveis nedidas deste tipo simples enl Me.

V9j?-T9r,-

por

_{fim, a}

_{questão levantada}

_no

_{início desta seção, referente à} possibilidade _{de se representar o estado final do ensemble de}

s-istemas

I +

II,

em esquemas mais gerais

de

medida, através

do

operador W

:

t

,o

plpll

,

A

enfraquecido, não poderemos

que resultados

de

medida no

ostas provas de impossibilidade

ão podem, estritanrente falando,

Problema de Completeza,

colì-forme normalmente se pensa, Não obstante,

a

questão de ser ou ìrão possível

aquela representação continua senclo interessantè. Pois se pudéssemos mostrar

que ela é possível, _{e que}

_a

_{mistura específica sobre os estådos p,,,}

_e

_não

uma

outra rìristura consistente com

o

operador

w,

representa

a

distribuição,,real', de estados puros no ensemble

finãl

de sistemas

-l

+ lt,

então seria razoável

suPor que bases de considerável solidez se houvessem encontrado para

a

tenta-liva

de solucionamento

_do

Problema de Completeza,

Nas seções

v

e

vl

analisaremos,

à luz

destas conclusões, as várias',provas de insolubilidade" existentes. Anles disso, porém, convém que revejamos

brevc-lnente, na próxima seção,

o

_{problema da formulação de esquemas nrais ger.ais}

O Prcblema dø Medida ent Mecâníca _Quôntica 17

4

INTERAçÕES Cnn¡rS DE MEDIDA

Na teoria simples de medida formulada na seção

II,

há várias restrições sobre

U,

o

operador de evolução

em HrEHr/

que rePresenta

a

interação, restrições estas que não necessariamente devem ser partilhadas por qualquer esquema de

medida. Especificamente, assumiu-se lá que

_IU,

_OAf

]

₌

0 (conservação de Q),

que é uma condição necessária para a reprodutibilidade. No entanto, pode

acon-tecer, como sugeriu Landau,rró que para outras medidas os estados

de

I

no

membro direito da Eq. (2) sejam elementos de Hr não-autoestados de Q, talvez

nem mesmo ortogonais dois a dois.

De fato, Wigners'¡ demonstrou em 1952 que a teoria simples de medida não

pode funcionar para medidas de spin em sistemas de spin 1/2. Outros autores

generalizaram depois o resultado de Wigner para classes mais amplas de medidas Q-conservantes.å? Não examinaremos estes resultados aqui, pois estamos agorâ

interessados em esquemas gerais de medida que não necessariamente assumam

conservação de Q.

Além dos que relaxam

a

exigência de conservação de

Q,

há outros meios

diretos de generalizar

o

esquema simples de medida. Neste último (ver seção

ll),

acorrelação entre oestado inicial

de/

eo

estado final de

I + II

exPres-sg.-se em que autocstados distintos de

Q

dão origem

a

autoestados distintos de

/82{.

Empregando agora

o

formalismo de operadores estatísticos para estados

de ensembles, representemos

o

estado inicial (final) do ensemble de sistema

I

por

Wl(t),

etc, Podemos então considerar situações em que

autoestados.dis-tintos de

Q

dão origem

a

estados distintos de

I * ll

W¡+ ty',

i.e.,

estados

U(WiØW,/)U-1,

que sejam distinguíveis por meio de medidas de

l@4.

Pri-meiramente, autoestados distintos

de

Q

(Wl

:

PnQ,

n

=

1,2,3,

.../

podem

dar origem (para um estado

Wt/

fixo,

W,t':

PÍ¡,1,

_lcH¡t)

a estados

conjun-tos finais puros que não sejam autoestados

de

tØÀ,

Ou então, permitindo-se

incerteza quanto

ao

estado

inicial

do

aparelho, podemos colocar W ttt

₌

ìrnPlr,,l

de modo

queWt¡,/

seja uma mistura de estados puros

de

HrEH'

e que autoestados distintos de Q dêem misturas deste tipo dístintas.

O

que não podernos ter é um estado inicial puro Wr.çtrt

_-

P"aØPb¡

dando uma mistura

não

trivial

(

(Wt+t/)'#

_{Wt+,/), já}

que

a

interação de medida representada

por U leva estados puros a estados puros.

Consideremos rapidanrente

o

caso de

um lVr'

puro (idempotente) com um

Wtl

nao-idempotente. O operador

Wt+¡/

claramente será não-idempotenre; mas

qual a natureza da mistura no ensemble

final

de sistemas

I +

II? A

resposta

3r

Landau c Pcierls 1931. Excmplos de medidas quc _{não são Q-conrervantes for¡m} dados

em Bel[ c Nauenber¡ 19óó; Belinfantc 1973; o Emch 1922.

sll

wigner 1952.

¡17 _{Araki c Yanase l9ól; Stcín c Shimony l97l; Wigncr c Yanasc}

F

l8

llaryett Robert Browt

dependerá de adoiarmos ou não

o

Princípio de Evolução Unitária Real (seção

III).

Temos W,tt

₌

_lrnP[r,,],

e

suponhamos que esta resolução

correspon-da à mistura "reü|" de estados _fn no zns€nthle inicial de sistemas

IL

De acordo

com aquele Prinçípio, então, a mistura

"real"

no ensentble

_final

I * II

deve

corresponder à resolução

_ì

,""

_Plu(o6r,,)l

(assutnindo _Wtt

₌

_P¡6y

₆ c Hr), os

@x _{como acima, Vale mencionar que} esta assunção era completamente natural

para von Neumann, que

a

cxpressou assim: " . .

.

o

carâter de mistura de

//

partilhou-se, no transcurso da interação, com

I ¡

I¡".ta

Constitui fato curioso, e sobre o qual teremos ntais a dizer, adiante, que este

raciocínio é por vezes rejeitado, ou ao menos ignorado, em discussões do

pro-blema

da

medida. Shimony,ss

por

exemplo, investigou

a

seguinte medida U:

para um dado Wttt, U é, tal que para

Wtt:P^Q,U(WiØWtl)U-'

pode

expres-sar-se na forma X roPtþrJ, onde

_B,.HrONo,

e

os No são os autoespaços de

¡

Hr¡ col4 respeito a,Á, _{tais llu€} rrr¡

(n*m)1(

1. Assim, se o estado inicial do

crbjeto é um autoestado de

Q

com autovalor Àr, então

o

estado conjunto final

é

uma mistura de autoestados puros

de

1ØA, de modo que

o

autoèstado

cor-respondendo

ao

valor

p^

de

A

receba _{enofme peso estatístico. Destarfe, a}

posição

final

do _{ponteiro estará altamente correlacionada com}

_o

_{valor inicial} de Q.

slrimony co_ntinua, fornecend<.¡ unra complicada prova do fato de que hâ w

i

correspondendo

a

superposições de tais estados

ó,

tais

que U(WlØW,,,)U--, não se pode expressar em termos das misturas "biasetl" desejadas, No entanto, aparerltenìente decide ignorar o ponto de que, assumindo o Princípio da Evolução

Unitár'ia Real, uln

U

com aquclas caraclerísticas existirá para sonren(e

um

tal

W,'

:

P,,Q, e que a referida demonstração da impossibilidade de

U

requer

tão-somente se considere

Wl:

Pte (i

*m).

Para ver isso, suponha-se [/t

l,.aØWt/)U

-t

:nt,,,n

P[p,,] com

o,(n*nt)

{1

1, Êlnt¿io devcrlros

tcl

que os u,,, dsrivam

de

Wtl

i.e., obrigatoriamente

Wt,t:

-l ,u

/'[r,,]

,

para algum y, ,lHtr,

e I)(6^Øy,)

:

pu e Hf ó9 N,.

Mas corsidc'e-se agora

W,':

lr¡e

(ilm).

Por hipótese,

IJ(pfØWt/)U

t

:

1,,.i Pftl,I,

onde u,',

_{111 (n*i),}

_þu'.Hr8Nu.

_{lsto no entanto é impossível,} já qrre

e),t:

u),t'(l,Vrr'sendo a fonte da mistura em ambos os casos), e não

pode-rnos

ler

o¡,

(( I

para

nlj, nl

m,

onde

m* i

e

)n,,,

:

l.

tl

;J8

xg

von Neumann 1955, _{p.438. Ver} scção V, partc ii.c, abaixo. Shimony I974.

O Problema da Medida em Mecânica

_enîntica

_l9

***

Retorne¡nos ao assunto central. Provavelmsnte

_a

definição mais sal.isfatória

de mcdida consisLenle com todas essas consi<Jerações

é a

_þroposta

por

Fine,{o

num. el,egan{e e importantc artigo publicado _{em l969. Adoìarémos amplamerite} tal definição no restante do artigo.

l)enominaremos uma interação represerrtada _{pelo operador unitário}

_u

_sobre

H/EH/r

uma

medida-¡(Q,-A,

W;,,;

_ss,

_e

_somente

_sê,

_toda

_{vez que}

w tt e w

/'

_{forem Q-distinguíveis, então Ll(w ttØw}

_tl)(J-r

_{e u(w /'Ø1ry,,r¡g-r-saá}

/@,4-distinguíveis. (Por dois operadores estatísticos

_w

e

w'sendo

c-distinguû

veis, onde

c

:

_ì

cu Pnc é autoadjunto no espaço de Hilbert relevante, queremos

dizer que Tr(WP,()

_*

Tr(W'pn')

para algum n.) Claramenle, IJ depende não

somente de Q e de

A,

mas também _{do,stado inicial Wrl.}

Note que se

K

é

um fator

real

k

multiplicado pela identidade

.l

em Hr, então qualquer

u

unitário, para

qualquer

wt¡t,

é

trivialmente

uma

me-dida-<

K,

A, wttt>,

já

que nenhum par

wtt,w/'é

K-distingulvel,

lsto

difi-cilmente constitui uma falha na definição de Fine,{t porque

o

"observável" K

possui, em todos os instantes e estados, o valor k, conseqüentemente, não

espe-ramos nenhuma restrição sobre

u

para que este seja qualificado como uma medida-

<K,

A,wtl),

pois

a

medida

é trivial.

Men-cionamos este ponto

por-que figura na análise de shimony da prova de insolubilidade do prôblema da

Completeza que discutiremos mais adiante.

Num artigo recente sobre medida quântica, Spohn.2 generalizou

a

discussão

para o caso contínuo (o tratanrento de Fine pressupõe espectros puramente

dis-cretos para

Q

e

A),

e aind¿ permite a existência de correlações iniciais entre

I

e

II.

uma crítica breve da análise de spohn pode ajudar

a

ressaltar alguns

dos méritos do trabalho de Fine.

Spohn especifica da seguinte forma

o

conjunto dos estados conjuntos iniciais

permitidos:

mt

₌

I

Wr ¡.trt : Tr

_fWt¡rrt

(IØp"^)l

_{= I}

_I

onde Pnl é

o

projetor sobre H rr cuja irnagenr é

o

autoespaço que corresponde

à posição inicial "neutra" do ponteiro, r¡o. Se o autovalor ¡ro é degenerado, então claramente nu podeú conter estados não-fatorizáveis. Além disso, Spohn impõe

{rt

Finc 1969.

rr

Fine (ob. cit.) não discutc medidac-<K, A,Wrl>,

20

Ilarvey Robøt Brcwn

uma restrição sobre

U

ao requerer que o conjunto dos estados conjuntos finais

obedece a

trY

₌

Q¡n¡(J-t

c, l

Wt+,,

:

Tr

_fWtan

(IØp"^))

_-

O

_f.

Isto significa qu9, em toda interação de medida,

rI

deve obrigatoriamente ser

arrancado do estado neutro to, De modo específico, eliminamlse, destarte, os

experimentos de resultado negativo, de Renninger,{3 que são espécies válidas

de medida, mas não exclufdas por Fine.

Uma transformação unitária

U

sobre

HrEHrr

é uma medids-

<Q,A,mr2

de

spohn se

wr¡ttt

e mr

E wr¡ttl

cmt (mt ê

fti¡

_{aorfio definidos acima), e se para}

todos os

Wtt-tt'e

Wt¡ttt'pertencentes

a

ffir

gue são Pefa)Ef-indistingufveis,

então

uwt¡ttt

u-'

e

uwtt¡rilJ-¡

são 1ØP^ø)-indistinguíveis, onde ps e

pr

são

as medidas espectrais associadas a

Q

e

A,

respectivamente.

A

dificuldade com essa definição

é

que, ao contrário

do

que ocorre com

a

medida-

<Q,A,Wtl)

_de

_{Fine, não exclui interações} (para

_e

_*kl)

tais corno a- m-edida patológica que

só dá um

único resultado,

ou

seja, onde o

resultado

fica

sempre restrito

a

uma única posição do ponteiro em

//,

inde-pendentemente _{do estado inicial tl¡r¡.}

Para encerrarmos esta segão,

é

necessário ainda reyer alguns resultados do

estudo clássico de Fine{{ sobre a medida.

Uma medida-1Q,

A,Wn

_>

corresponde

_à

interação sugerida

por

Landau

(ver acima) se, para um dado É" (autoestado inicial de

A),

leva

a

autoestados

disti¡rtos de Q@,4 em autoestados distintos

de

lØA,

de modo que U(óEÉ,/ e

U(+'Øt)

são IEÁ-distinguíveis se, e somente se,

{

e

{'

são Q-distingufveis. Uma tal medida-

êQ, A,

pl_ilJ

₇

_{existe para qualquer}

Éo se

e

e

A

têm o mesmo

sistema de multiplicidades. As medidas simples da seção

ll

constituem obvia-mente uma subclasse das medidas de Landau; obtemos medidas e-conservantes

para esta transformaçâo U se

_[U,

_{Oe IJ}

₌

0. De novo, se Q

e,4

têm o mesn]o

sistenra

de

multiplicidades, então existem Éu

e

u

tais que

u

é

uma

medi-da-

(Q,

A,

PL\,J>

"sin'tples".

s

APROVAPELAEVOLUçÃODO _ESTATIO

Estaremos empenhados n

lidade"

do

Problema da

direta do esquema simples

fituídos

por

misturas; os

i1

Renninger 1960; Kcmblc 1917,pp.330,33t.

O-Ptoblema da trtedida ern l[ecâtdca _Quôntica 27

degenerados, mas continuarão possuindo espectros puramente discretos;

e

U

será uma medida- <Q,

A,Wtl.7

no sentido usado acima.

i)

Seguindo nossa discussão no final da seção

lll,

estaremos interessados na segui nte

Pergunta

P:

Se

U

é uma medida-<Q,

A,Wttt>

definida no

intervalo

_[0,'],

levaria ela o estado

W,¡tt'no

estado espec.ífico

U(WiØW,,')U-'

₌

_ìrn

Plp,l,

para totlo

Wl

(onde _É,,e

H¡EH¡,(,,) e

H¡.(,)

é

o

auto-subespaço de

Hr

que

corresponde ao autovalor þ(n) de A)?

A

resposta ê não,e quem primeiro mostrou isto foi Fine.{r A ele, aliás, deve-se,

em llossa opinião, atribuir o mérito de ter dado ao problema formal da medida

o

tratamento mais satisfatório de que se tem notícia. Transcreveremos a seguir

a prova de Fine, que por ser um tanto compacta,

foi

por nós completada em

alguns pontos. Antes, porém, faremos

a

seguinte observação.

Os estados _{puros Bu não precisam ser fatorizáveis.}

De

fato, se

o

espectro

de,4

em

Hr¡ é

degenerado, poderia existir entre

1

e

lI

em

/

: r

o

tipo

de

correlação fraca presente nos estados iniciais conjuntos de mt de Spohn (ver seção

IV).

No entanto, uma medida de

/EA

dará com certeza

o

valor p(n)

(para o estado _Éu), o que é suficiente, pelo critério do VAA enfraquecido, para

que

/EA

possua

o

valor bem definido þ(n).

A

referida prova, porém, opera

mesmo que os _{Éu sejam fatorizáveis,}

de

modo que,

em

princípio,

o

VAA enfraquecido possa ser aplicado tanto a

A

quanto

a

IØA.

Para provat'

a

resposta negativa

à

pergunta

P,

basta mostrar que

há

pelo menos um Wrr tal que a hipótese

Hz"U(WIØWt,')U-t

₌

_Ì,,,

P[Þ,,1, para um

dado W,t' ", nâo possa ser verdadeira.

Assurnamos que autovetores

{¡

e

ór

de

O

Ø,,þr

rHt)

possuam autovalores

dislitttos, de nrodo que

P¡r,;

"

PÍe;1 sejam Q-distinguíveis. Suponha agora

Wtl

_{= 7p,Ph,,l,}

onde p"

₂

O,2,rPo

= l,

e

yu.Htt.

Este operadot represen-tar.¿i

a

¡ristula

"

feal"

_dos

_estados

dc

I

I

atrtcs

da

interaçâo. Seja ainda

l/l-P[6,1, i-

1,2.

WlØWtl

é

"realmente" uma mistura

dc

estados puros

_fi8y,

(i

₌

1,2)

Ir:

1,2,3,.../.

Cada componcnte desta ntis(ura

é

lcvado por

U

num estado

pulo

çrn

II,ú4H,¡.

Assuminlos

o

Princípio

da

Evolução Unitária Real para

nristulas (seçoes

ll

c lV).

Assim, se

for

verdadeira

a

Hipótese

H

para aqueles Wti e

Wtl,,:ntão

c¡ caráter cle mistura em

IJ(WttØW,,')[J-'

surge

de

Wtl

₌

L

a

22

Harvey Robert lJrowtt

ì

P,'

P[",,],

ou

melhol, de WrrG W

tt'

:

,) lr,

P6ì

EP[",,J

.

Podemos dcstarte esc,.'ever

iJ(W,'ØWt,')u-'

₌

Uç

p,Ptr,l

8pt":,1 )

_[J-.'r

_-

ä

_{oup¡p,n), onde}

13¡,

=

U(þtØy,) ,HtØH¡,1¡n1

(t)

para

j :

1,2;

ou seja, _þt, ê um autoestado dc

/@A

com autovalor p|(n).

Suponha agora V/r'

:

Plø1,

onde

{ :

cttót

I

dzþ¿,

"om

,l,l

orlt: I

e

u,

*

o

(i

:

1,2/. Desejamos saber sob que condições U(WrtØW,,,)IJ-, satisfaz

H.

como

acima, ternos

que se

H

for

verdadeira para este estado, então

U(WlØW,")U-'

:

tJ(2p*P[.ç)

_{SP[r,] )IJ-t}

_-

7,

p,p1u"l,

onde

þ,

:

U(þØy,) ,HtØH¡r¡n1 (*n)

A linearidade de u sobre Hr@Hrr permite escrever tJ(þØy^)

:

otu(ó,Øy,)

_*

"zU(þ¿Øy,/,

Mas

esta

equação só

é

consistente com

(*)

e (**),

acima, se pt(tt)

:

p'(n)

:

p"(n). lsto porque a combinação linear de dois autoestaclos de

um opet'adol só será um seu autoestado se aqueles dois autoestados pertencerem

à mcsma autobase.

Este resultaclo obviamente elimina

a

possibilidade

de

[/

ser

uma

medi-da-

<O,

A,\

p"P1t,l),

pois os estados iniciais

Wl

: P¡6,

P[ø,],

P[0,]

de

/

são O-distinguíveis, enquanto

os

respec¡ivos

tJ(Wttg)Wrl)IJ-1

não são

l@A-distinguíveis. Completa-se assim

a

prova.

***

ii)

Antes de considerar uma série de objeções levantadas contra essa prova,

será

útil

fazer algumas observações.

ii.a)

A

prova opera mostrando que, para certos

lllr',

o

estado final conjunto

U(Wtt@Wttl)U-

t

não pode ser a mistura desejada, ao î.azer o acompanhamento

da

evolução (governada

por

U)

dos estados puros iniciais

de

I

* ll,

e

não

introduzindo incerteza no estado inicial de

/I.

Por isso, chamamos tal prova de

Prova pela Evolução do Eslado. Salientamos

o

fato de que nela se assume o

princípio da Evolução Unitária Real para misturas.

ii.b)

Una

versão ligeiramente enfraquecida clessa prova cle insolubilidadc

loi

obtida por stein

e

shimony,{" que piovaram (conr _{pcqucnas altcraçocs clc}

notaç¿ìo)

o

segui[rte

t

46 _{Stein e Shimony}

O Prcblerru da Medi'.da em tr[ecânícø _{Quântica 23}

'feorema: _{Se Wr¡r, Q,}

_A

_{e U são tais que}

(l)

pala todo ó¡ (autoestado _{de Q correspondente ao autovalor} Àr)

U(l'¡çr1

ØWtl)U-' :

P[pr]

onde a imagcln O"

OtU,,

é II¡OH¡,¡, e /¡r é um autovalor de

A;

e

(2)

_ó

pertence a

H¡

de modo <1ue

U(P¡6

ØW,,')U-'tem

uln autoestado

_{

correspondendo

a

um aurovalor não-nulo

e

ry' e H¡@Hpk, para algum /t, então

U(P¡çl ØWr/)U-'

_{- PL\*J}

e

_f

é

um autoestado de

Q

cor-respondendo ao autovalor Àr..

Evidentemente,

sc

Wt'

:

P¡¿aaôi,

_]

_la,

_{l' :}

7,

ai+ 0

(todos

l)

então

U(W:¡ØWù)lJ-t

não pode ser da forma

I.,PLpnfpara

nenhum ru,

tal

que

lo" -

l'

Este resultado de insolubilidade de stein e shimony permite que

e

e

A

sejam

degenerados,

_e

não impõe limitações ao que possa suceder ao sistema

,f

em viltudc da medida. Por que então é menos geral que a prova de insolubilidade

dc

Fine?

É

que,

se

W t,t

:

_l.*

It1pnf,

Stein

e

Shimony assumem que

u(,þ¡Þ4v,) e

H¡EH¡.,

pura todo

n.

lsto significa que autoestados distintos de

O

dao origem, pela medida,

a

autoestados distintos

de

f

EA.

mesmo no caso

de

lvriser

uma rnistura.

A

relação

u(þrØ1il.

Hr@Hr,(u)

da prova de Fine

permite, ao contrário, que autoestados distintos de

Q

dêem origem

a

misturas

distintus de autoestados

de

[email protected],

o

que

é

permitido também em uma

medi-da- 1Q,

A,lUtt¡).

ii,c)

É

bcm sabldo que quase quarenta anos antes de Fine dar sua prova,

von Neunlarrn {7

já

havia mostrado que

o

problema da medida não podia ser

solucionado no caso de se introduzir W tti não-idempotenle, ou seja, introduzindo ignorância sobre

o

estado inicial cle

lL

Qual então

o

sentido em que dizemos

que a prova de Fine (ver comentário

ii.a

acima) é um aperfeiçoamento da de

von

Neurnann?

Co¡no

o

de Fine,

o

al'gumento de von Neumann assenta-se na observagâo de

que os pesos na mistura

final

do sistema conjunto são determinados, no cascì

de

Wttpuro,

pelo caríter de mistura em

Wtl

_=lp"PÍt,,1

,

na nraneira dada

pelo Plincípio da Evolução Unitária Real.

.li _von

24

ilarvey Robert Brown

O

argumcnio oligirral

vai

ao longo das scguintes linhas. Claranrente, se os

pr

erìr Vlttl

:

ì/r"P[?,,]

tiverem que corresponder às limitações em nosso conhccimento acerca

do

estaclo inicial puro de

/I,

não terão conexão com o cstado

lVti.

Suponha-se

agora

Wl:P¡61, órHti

como para todo

U,

U(WlØW

t,')U-'

_-

,,(,

p,

P¡çqt¡.,1)Ll-t

:

x o,

I\ur+&t,tl

supõe-se que

Uló$rn/

tem a

forrna{uE'¡,

(onde, como acima, os

{r

são os

autovetoles de Q, e os T,, formam uma base em H,r, e não são necessariamente

autoestados de

A).

Argumenta-se que se

U

corresponde a uma medida,

o

algo-ritmo

estatístico

da

MQ

requer que pn

:

_l(ó,óutl,,

Wrtt dependendo assim

de Wtt

_,

o

que

é

contrário

à

hipótese acima, e poderia ser escolhido, para um

dado Wtt¡, um Wtí

tal

que a mistura

final

desejada nem sempre se obtivesse.

Note que von Neumann assume que são os autoestados de

QØl

e

não os

de

1ØA

que devem ser obtidos na mistura pós-interação. Isto era de se esperar,

ìá que von Neumann tratava do Problema da Reprodutibilidade (associado aos

estados do sistema ,1, e não do Problema da Com¡rleteza (associado aos estados do sistema

I/).

Pode-se notar que

o

argumento de von Neumann não é válido

quan<Io a êufasc recai. como na prova de Fine, nos estados finais de

1ØA

para

meclidas- <Q, A, W,/>gerais.

Se, ao contr'¿irio do que laz von Neumann, que requer

U(þØy")

:

SuØr¡n,

para toclo n, exigirmos, como em

i|

acima,IJ(+Øl'ì

:

þ^,þur}ItØHuØ),

entãrr a relação p,,

:

_{l(+,ó,,/l'não} é em geral necessária para que U se

quali-fique como uma medida-<Q,

A,Wttl).

***

iii)

Considelemos agora várias objeções que se levantaram relativamente à

Prova pela Evolução

do

Estado, como dada

em

i),

acima.

Em cada caso,

procuraremos nlostrar que são inócuas.

iii.a)

Shimony J8 declarou que a prova é inconrpleta, dado que assunre

expli-citanre¡rl.e _{que existem estados ôt,}

_þt,

Hr correspondendo a autovalores distintos

de

Q.

Continua, então, dando uma prova do seguinte

O Probletra da l{edúIa em Mecônica _{eudntica 25}

Teoremar

Sc

U(I'¡u,-)

Ø'f¡g-':

ì,r,P[p,,,]

onde

I

-1,2;ß¡nt}J¡ØH¡ri¡n1

ccrnro acima);

ut

e uz são vetores de

Hr;

para algum fl¡a1¡¡

t'

r¡,p^ e,

1É,,1 não precisa coincidir com 1Érnl;

T

é

um operador estatístico

sobre

Hl

da classe do traço, entãcl se u

:

gt ut

|

_þ

u¿, gt,

_þ

*

0,

não existe um conjunto

I

P,,

l,

onde p, c H¡8H¡,1ø¡ nenl cocficientes

o,

tais que

UIP¡rlET¡g-'

:

_ì,"

Plp"l.

Ponclo T'==

Wt/,

Shimony afirma que deu uma prova completa de

insolu-bilidade, já que sendo ur e u¿ os estados iniciais de

I,

não se assunriu que fossem

autovetores

de

Q

correspondendo

a

autovalores diferentes, Comentando esta

prova de Shimony, r'¡otamos que um operador autoadjunto com somente unt

autovalor é da forma

K

₌

kl.ao Assim, Shimony efetivamente afirma ter

gene-ralizado

a

prova "incompleta" de Fine para

incluir a

medida-

<K,A,Wt/).

Mas mesmo que a prova de Fine fosse deficiente neste ponto, continuaria apli-cável a observáveis Q outros que os do tipo

K,

que não têm interesse. Note-se,

porém,

que

numa

medida-'<K,A,Wt,t\,

não

há

razões para

se

postular

o1¡f

o2¡ para algum

n

(como se faz no teorema de Shimony), de modo que

IJ(P¡u,)@r¡g-'

e

lJ(P7x,1Ør¡g-'

sejam f 9A-distinguíveis. Fazer .ùt,r

₌

ll¿t

(para todo

n)

para todo ur a u¿ de

IIt.é

lazer de

u

um acoplamento de

"resul-tado único", Mas, conforme foi notado na seção

lV,

mesmo esta interaçâo entrg

I

e

II

é trivialmente uma medida-'<K,

A,Wttt),

o que, repetindo, não constitui

um resultado particularmente preocupante, quando se leva em conta a natureza

dc

K.

iii.b)

Temos

feito

esforços

para

deixar

claro que

o

Problema

da

Com-pleteza é conseqüência direta, entre outras coisas, da seguinte assunção: existem

correlações entre as predições estatísticas dadas

por

Wr{

e

aquelas dadas por

u(WiØWt,')t-'.

Ê

isto que

faz

do

Problema

da

Completeza

um

problema

tle metlitlu. Não obstante, Spohn õo mantém, se é que

o

entendemos bem, que

a

Prova pela Evolução

do

Estado, acima, virtualmente nada tem

a

ver

conl medicla, ou pelo menos com sua definição de medicla (ver seção lV),

Numa curta

e

elegante prova

do

resultado de insolubilidade (que

é

menos

geral que a de Fine por restringir mais

o

estado |,/1¡r, porém mais geral por

aplicar-se

ao

caso contínuo) Spohn tenr

de

assumir, todavia,

que

existem

'10 Embora existam, operaclores com exatamenlc um autovalor que náo são da forma

kl

não são autoadjuntos.

26

lløvey Robert Btown

wlØwrl

e

(wlØwut)'

em

r¡¡

tais

queTrUJ(wlØWi)u-'

(tØA)l

₊

Trfu(wlØwtl)'u-' (lØA))

i.e., rais que dão origem

a

diferentes valores

esperados para lQÒA nos estados finais conjuntos. Esta

t!,

na verclade, urna

assunção concerncnte aos possíveis

U

que devem ser tidos como interações de

medida,

e

que dentro

do

contexto

de

uma medida-<e,

A,ntt2

de Spohn ê

de fato inteiramente gratuita, pela mesma razão por que

a

assunção

a¡ut'-e,,

(para todo n) de shimony é gratuita no contexto de uma medida-(K,

A,wtl).

Assim, spohn pressupõe _{implicitamente na derivação de seu resultado de}

inso-lubilidade que

u

é uma

medida-<Q,A,wtttlde

Fine,

o

que colide com sua

aparente posição dc que

a

Prova pela Evolução clo Estado nåda tern a ver com

rnectidas.

iii.c)

Finalnrcnte, há a acusação dc que a Prova pela Evolução do Estaclo se baseia nunra confusão acerca do significado das misturas. park õr argumentou

que mesmo _{que, contra-fatualmente, as misturas desejadas,}

_I

_oo

p¡p,,J

resul-tassenr da mcclicla-.

<e, A,1'y,/)para

_todo Vl/ri, _{poderiam rrJ{orrnolrnente}

re-cxpandidas

enì

somas (convenientemente ponderadas)

_de

projetores sobre

Hr@rlr¡

que não são auto-projetores

de tØA

(ver discussaó

na

seção

III).

"Ainda que

_[a

_{teoria (formal) quântica da medida] fosse bem sucedida, seria}

auto-contraditória. " õ2

Concordanlos

com Park

apenas

até

certo ponto.

Se

Wt+t/:

ìroplo"l

fosse possível, continuaria senclo preciso, para que se satisfizesse a condição da

suficiência para

a

obtenção de resultados de medida bem definidor,

,rt"r-r"

certo de que

é

esta,

e

não outra,

a

resolução ¡Je Wt+ty' que corresponde à

mistura real de estados _.puros no ensemble. (Este é, na verdade,

o

ponto que

servirá de base a uma objeção que levantamos com relação ao segundo tipo de

prova de insolubilidade,

a

ssr discutido na seção seguinte,) Isto-, porém, não

depõe contra

a

prova de Fine; pelo contrrírio,

a

prova dele demoñstra,

repe-!imo9'- que o. operador

u

não pode levar

a

mistura real de estados puros 'de

I

+

II

na mistura desejada para todo

lllrr.

segundo

o

princípio da bvolução

unitária Real, isto mostra que a rnencionada condição de sufiõiência nao pótle

ser preenchida. Este um importante resultado para medi<Jas-1e, A,Wttt >gerais, que não envolve contradições internas.

Purk 1973.

rbi¿-L

ól

O prcblema dø Medída em Lúecânica _{eutùztica 27}

6

APROVAPELA SUBSTTTUIçÃO DO ESTADO

Voltamos

de

ilidade,

que deve

s

õ3

d

eraçõe;

de

Wigner

-con

_s quais

o

estado

i

por

vetores

ortogonais yn €ID H¡¡

:Wttt

:

_ìro

P[""]

(rn/

O,

] ,' -

l).

Se Wt'

₌

Plìorrrt,

então o estado final conjunto é uma mistura dos estados puros ry',

:

ì,o, ór@fi,

õ{

cofn pesos on. Considere agora Uma mistura de estados dr de Hr@Hrr que são

autoestados de

OØA

(um caso especial da

IroPlp"l

d"

Fine). Esta misturu corresponde a um ensemble no qual cada elemento

(I

+Ii)

mostra uma posigão

ben definida do ponteiro em

1l;

suponha que a correlação simples de medida

entre ór e Ér esteja embutida dentro dos 0¡. Se esta última mistura

for

"equïva-lente"

à

já

referida mistura de estados _{úu, então parece não haver} objeções,

segundo Wigner,

à

assertiva de que

a

mensuração deixa

o

aparelho com uma

posição do ponteiro bem definida. Duas misturas se equívalem, no sentido de

Wigner, se clão os mesmos valores esperados para lodos os observáveis definidos sobre

o

sistema conjunto.

Uma condição necessária para tal equivalência é que os estados componentes

de uma das misturas sejam exprimíveis como combinações lineares dos estados

que compõem a outra, Wigner pôde mostrar que os estados _{úu não} são

expri-míveis como combinações lineares dos dy

a

não ser que somente um dos coefi-cientes ot em

_þ:

ì

o,{r

seja não-nulo. Assim, \iligner conclui; "medidas que deixem o sistema objeto-aparelho em um dos estados com posição bem definida

do ponteiro não podem ser descritos pelas leis lineares da Mecânica Quântica".õõ

D'Espagnat ón generalizou mais tarde

o

resultado de Wigner para as medidas

de Landau (ver seção

lV),

através de uma extensão do mesmo método, Earman

e

Shinrony õ1 provaram-no

para

observáveis

O

degcnerados.

Ainda

mais:

d'Espagnat demonstrou

a

insustentabilidade da proposta de que

"ao

invés de

requerer que após a medida o ponteiro ocupe 'com completa cerieza' uma dada

posição

(...)

ele ocupe'quase certamente'aquela posição

(...)

porém com

õ¡l 64

Wigner l9ó3.

Ern um tal csquema, se

Vl/,,t:ì tn

Plrr,) ê uma mistura não-trivial, então

_'{

terá

de ser degeneratlo. lsto explica o índice a dc degenerescência no estado _ftn' Wigner ob. cit.

d'Espagnat l9óó. Eirrnran e Shimony l9óE. áõ

ti fl