unidade-4

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UNID

ADE IV

I

NTRODUÇÃO ÀS

GEOMETRIAS NÃO

EUCLIDIANAS

O

BJETIVOS DE APRENDIZAGEM

Ao final desta unidade você terá subsídios para:

Diferenciar a geometria euclidiana das geometrias nãoeuclidianas. ■

Identificar algumas das características das geometrias nãoeuclidianas. ■

Relacionar os conhecimentos anteriores de geometria euclidiana com ■

as definições e propriedades das novas geometrias apresentadas.

R

OTEIRO DE ESTUDOS

Seção 1 – Geometria Euclidiana X Geometria Não Euclidiana ■

Seção 2 – Geometria Fractal ■

Seção 3 – Geometria Esférica ■

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Universidade Aberta do Brasil

108 PARA INÍCIO DE CONVERSA

As Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná desdobram o conteúdo estruturante Geometrias em geometria plana, geometria espacial, geometria analítica e noções básicas de geometrias não euclidianas.

No ensino fundamental, com este último tópico, espera-se que o aluno compreenda alguns conceitos básicos de geometria projetiva (pontos de fuga e linhas do horizonte); de geometria topológica (conceitos de interior, exterior, fronteira, vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados) e de geometria dos fractais.

No ensino médio, as Diretrizes Curriculares revêem um aprofundamento do tema geometrias não euclidianas, com o estudo da geometria dos fractais, geometria hiperbólica e elíptica, dado que o conhecimento destes tópicos é fundamental para que o aluno do ensino médio amplie seu conhecimento e pensamento geométrico.

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Geometria III

109 SEÇÃO 1

GEOMETRIA EUCLIDIANA x GEOMETRIA NÃO

EUCLIDIANA

Ao iniciar a disciplina de Geometria I, no primeiro semestre do curso de Matemática, você verificou que a geometria chamada euclidiana foi organizada na forma lógico-dedutiva por Euclides (III século a.C.). Euclides reuniu todos os conhecimentos matemáticos até aquela época e os organizou em treze livros denominados “Os Elementos”. Até os dias de hoje, muitos dos conteúdos trabalhados em geometria na escola básica são baseados nesses ensinamentos. Ao coletar os conhecimentos matemáticos existentes até a sua época, para organizá-los, Euclides verificou a existência de vários fatos geométricos como ânguorganizá-los, triângulos, pirâmides, etc., que precisam ser definidos. Mas verificou também a existência de outros, aqueles que dão origem aos demais - como ponto, reta e plano - que são admitidos, isto é, são aceitos sem definição e por isso são chamados de entes geométricos primitivos. Euclides verificou também a necessidade de conectá-los, isto é, ligá-los. Por isso, estabeleceu dez axiomas ou postulados como ponto de partida de toda sua teoria matemática organizada. Axioma, do grego, significa verdade admitida, aceita sem refutação; e postulado, do latim, significa pedir, isto é, peço que aceite sem questionar. Os axiomas ou postulados que basearam toda a teoria de Euclides foram os seguintes:

A1. Coisas iguais a uma mesma coisa são iguais entre si. A2. Adicionando iguais a iguais, obtêm-se resultados iguais. A3. Subtraindo iguais de iguais, obtêm-se resultados iguais. A4. Coisas que se podem superpor uma à outra são iguais entre si. A5. O todo é maior que a parte.

P1. De qualquer ponto pode-se conduzir uma reta a qualquer ponto dado. P2. Toda reta limitada pode ser prolongada indefinidamente em linha reta. P3. Com qualquer centro e qualquer raio pode-se descrever um círculo. P4. Todos os ângulos retos são iguais.

P5. Se uma reta, cortando duas outras, forma ângulos interiores de um mesmo

lado menores que dois ângulos retos, então as duas retas, se prolongadas indefinidamente, encontrar-se-ão na parte em que os ângulos são menores que dois retos.

Verifique que os quatro primeiros postulados são independentes e autoevidentes, isto é, não é necessário muito esforço para aceitá-los sem demonstração. Apenas

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o quinto se apresenta mais elaborado, não é tão simples de verificar recorrendo a experiências do nosso mundo físico. Tal fato conduziu alguns matemáticos a levantarem a hipótese de que se tratava de um teorema, algo que pode ser demonstrado a partir dos quatro primeiros postulados. Na tentativa de derrubar o quinto postulado, muitos matemáticos dedicaram suas vidas a isso, mas não tiveram sucesso. Alguns tentaram reescrever o quinto postulado (conhecido como axioma de Playfair) de

forma equivalente: “P

or um ponto fora de uma reta há pelo menos uma reta

paralela a ela”.

E, para demonstrá-lo, apelaram para o método indireto, ou seja, negando a validade da afirmativa e procurando uma contradição, o que não se verificou. Três matemáticos – Karl Friedrich Gauss (1777-1855, alemão, o príncipe dos matemáticos), Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856, russo) e János Bolyai (1802-1860, húngaro) – convenceram-se, praticamente ao mesmo tempo, de que se poderia ter uma geometria diferente da geometria euclidiana, de cuja singularidade e verdade nunca haviam duvidado em toda sua longa história. Uma geometria em que todas as consequências, ao negar o axioma das paralelas, tornaram válidos novos teoremas geométricos.

Gauss manteve em segredo suas descobertas, dado que a filosofia de Immanuel Kant dominava a Alemanha da época, cujos dogmas ressaltavam que as ideias da geometria euclidiana eram as únicas possíveis. Mas, para não enfrentar os filósofos da época, Gauss preferiu se calar.

Farkas Bolyai (1775- 1856), um velho amigo e colega de escola de Gauss, que tinha trabalhado em vão para demonstrar o axioma das paralelas, advertiu seu filho János Bolyai a não fazer o mesmo. Contudo, em 1823, o filho escreveu a ele que tinha criado um mundo novo e estranho do nada. Essas descobertas foram publicadas em 1832, em um apêndice do livro escrito por Farkas Bolyai, que enviou a Gauss uma cópia desse apêndice, para que ele se posicionasse a respeito. Gauss afirmou que não poderia elogiar o trabalho do filho de seu velho amigo, pois já tinha feito as mesmas descobertas, muitos anos antes. János Bolyai nunca mais escreveu sobre o assunto então enfocado.

Nikolai Ivanovich Lobachevsky frequentou a Universidade de Kazan e tornou-se professor, sendo reitor por muitos anos. Especula-se que de 1815 a 1817 Lobachevsky tentou provar o axioma das paralelas, mas entre 1823 e 1825 convenceu-se de que isso não era possível.

As descobertas dos três matemáticos não foram compreendidas até que, em 1868, Eugenio Beltrami (1835- 1900, italiano) mostrou que num espaço geométrico euclidiano poderia ser construído um modelo do plano geométrico de Gauss, Bolyai

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Geometria III

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e Lobachevsky. Isso significa que é possível admitir uma superfície euclidiana cuja geometria “interna” não é euclidiana. Por exemplo, numa superfície euclidiana (por exemplo, a esfera) podem-se encontrar as curvas (círculos máximos da esfera) que, tomadas como as retas desse plano geométrico, satisfazem todos os axiomas de Euclides, exceto o axioma das paralelas, e em vez deste vale a sua negação. Assim, quando aceitamos que não existe contradição na geometria euclidiana, estamos admitindo que também não há contradição na geometria não euclidiana, dado que o modelo de tal geometria está inserido no espaço euclidiano. Dessa forma, admitir a existência das geometrias não euclidianas não exclui a existência da geometria euclidiana, pois o esforço de Beltrami conduziu definitivamente à conclusão de que se a geometria de Euclides é verdadeira, as não euclidianas também são.

Pode-se, então, resumir essas ideias da seguinte forma: os quatro primeiros postulados de Euclides valem para todas as geometrias e por isso o conjunto deles forma o que se denomina geometria absoluta. A diferenciação entre as geometrias é feita ao se acrescentar o quinto postulado, conforme seja a curvatura: nula, negativa ou positiva.

Figura

Em 1871, Félix Klein nomeou as três geometrias utilizando os termos geometria parabólica, geometria hiperbólica e geometria elíptica, cujos nomes remetem às

cônicas: parábola, hipérbole e elipse. Lembramosque a palavra “hipérbole” significa

“excesso”, a palavra “elipse” significa “deficiência” e a palavra “parábola” significa “sendo paralelo a”. Pode-se, então, pensar na geometria hiperbólica como tendo um “excesso” de paralelas (mais de uma). Da mesma forma, na geometria elíptica existe uma “deficiência” de paralelas (nenhuma), comparada com a geometria euclidiana.

Muitos problemas do cotidiano não podem ser resolvidos empregando-se os conceitos da geometria euclidiana, porém geometrias não euclidianas podem resolvê-los. Um exemplo disso é uma geometria que modela as irregularidades existentes na natureza, chamada Geometria Fractal. As figuras produzidas nessa geometria eram vistas, inicialmente, como “curvas monstros” ou “demônios” e consideradas supostamente sem grande valor científico. O termo fractal foi utilizado pela primeira vez pelo matemático francês Benoit Mandelbrolt e origina-se do latim fractus, que significa: quebrar, fragmentar de forma irregular, fragmentar.

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112 SEÇÃO 2

GEOMETRIA FRACTAL

A geometria dos fractais tem sido utilizada em diversas áreas da ciência, arte e tecnologia. Mesmo que intuitivamente, ela aparece em diversos campos do conhecimento dada a sua beleza, versatilidade e potencialidade em representar objetos da natureza. Muitos artistas buscaram inspiração para as suas obras em estruturas e propriedades apresentadas pelos fractais.

As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.

O termo fractal se deve a Benoit Mandelbrot, que em 1975 o utilizou para denominar uma classe especial de curvas definidas recursivamente que produziam imagens reais e surreais. A partir disso a Geometria Fractal foi utilizada para produzir imagens e texturas ímpares, além de auxiliar pesquisadores a entender e analisar problemas, na maioria das vezes, muito complexos do mundo real. As técnicas fractais são amplamente utilizadas na busca por soluções em vários gargalos da pesquisa como: “Radiação Cósmica de Fundo e a Estrutura Fractal do Universo”, “Modelização Fractal de sinais e imagens”, “Fractais e a teoria do Caos”, “Compressão de imagens usando algorítmos Fractais”, “Análise da aplicação de Fractais à obtenção de texturas em computação gráfica”, “Utilização de Fractal para criação de música quântica”. Esses e muitos outros títulos de trabalhos encontrados na internet ilustram o poder das propriedades dessa geometria.

A Teoria do Caos surgiu com o objetivo de compreender e dar resposta às flutuações erráticas e irregulares que se encontram na Natureza. Atualmente muito se tem estudado a respeito de fenômenos imprevisíveis, e já é possível prever alguns resultados. Em 1997, dois americanos conseguiram encontrar uma fórmula para prever aplicações financeiras e com isso ganharam o Prêmio Nobel da Economia. A teoria do caos possui aplicações praticamente em todas as áreas.

Uma lei básica da Teoria do Caos afirma que a evolução de um sistema dinâmico depende fundamentalmente das suas condições iniciais. O comportamento do sistema é sensível às condições “de início”. Se analisarmos o mesmo sistema, sujeito a outras condições iniciais, logicamente ele assumirá outros caminhos e mostrar-se-á totalmente diferente do anterior.

Um exemplo muito conhecido é o “Efeito Borboleta”, que diz essencialmente: “uma borboleta bate asas na China e causa um furacão na América”. Por mais absurdo

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Geometria III

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que pareça, é a realidade; os fenômenos climáticos são de comportamento caótico e de difícil previsibilidade. Mas, entendendo o comportamento caótico, muitas vezes é possível antever como o sistema se comportará como um todo ao longo do tempo.

Os fractais podem ser definidos como objetos gerados pela repetição de um mesmo processo recursivo, apresentando autossemelhança e complexidade infinita. A autossemelhança é a propriedade apresentada pela estrutura fractal de maneira que um pequeno pedaço é uma cópia reduzida do todo. Isto é, o conjunto total é constituído de pequenas réplicas desse mesmo conjunto. Visto em diferentes escalas, a imagem de um fractal parece similar. E a complexidade infinita é uma propriedade dos fractais que significa que nunca conseguiremos representá-los completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.

Ao compararmos uma foto de satélite mostrando o cruzamento de rios com o esquema de nosso sistema vascular, iremos observar que são figuras muito semelhantes. Essas figuras possuem uma complexidade infinita e autossimilaridade. Logo, são sistemas que podem ser representados utilizando-se estruturas fractais.

Uma das características fundamentais da geometria fractal é a dimensão. Para se ter uma ideia de dimensão, vamos considerar os seguintes objetos geométricos: um segmento de reta, um quadrado e um cubo. Queremos dividir cada uma dessas figuras em quatro objetos iguais ao original, de forma que cada parte da divisão represente um quarto do objeto inicial.

Para que o segmento inicial fique dividido de tal forma que cada parte seja um quarto do original, deve-se dividi-lo da seguinte maneira:

Assim, ficamos com quatro partes autossemelhantes ao segmento inicial, de forma que cada parte representa ¼ do original.

Para que o quadrado seja dividido de tal forma que cada parte represente um quarto da figura inicial, deve-se dividi-lo da seguinte maneira:

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Assim, ficamos com 16 partes autossemelhantes à figura inicial, e cada parte obtida pela divisão representa ¼ da figura original.

Para que o cubo seja dividido de tal forma que cada parte represente um quarto da figura inicial, deve-se dividi-lo da seguinte maneira:

Assim, ficamos com 64 partes autossemelhantes à figura inicial, e cada parte obtida pela divisão representa ¼ da figura original.

O fator de redução utilizado foi ¼, mas poderia ter sido qualquer outro. Escolhemos este ao acaso. Agora atente para a generalização da ideia que traduz a dimensão de um objeto. Chamando de N o número de partes e de r o coeficiente de redução, obtêm-se as seguintes igualdades em que a dimensão é o expoente que aparece no denominador da fração:

Para o segmento: N 1 (dimensão 1)₁ r

=

Para o quadrado: N 1 (dimensão 2)₂ r

=

Para o cubo: N 1 (dimensão 3)₃

r

= .

Assim, chamando de D a dimensão, r o coeficiente de redução e N o número de partes iguais obtidas, vem:

1 _{(dimensão d)} _N= 1 D D N r r   = ⇒ _{ }   Aplicando logaritmo em ambos os membros, temos:

1 1 log logN=log logN=D.log 1 log D N D r r r   _⇒  _⇒ ₌     _{ }        

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Geometria III

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que podem ser fractais ou não fractais, considerando N e r como já definimos anteriormente. É importante lembrar que a forma de determinar a dimensão só funciona quando consideramos objetos geométricos que possuem autossemelhança exata.

Observe os exemplos a seguir:

1. Conjunto de Cantor ou Poeira de Cantor

A cada iteração substituímos o segmento por

N = 2

segmentos de

tamanho

1 3 r =

do original. Assim:

1 1 ₃ log 2 1 3 0,63 log3 2 r D N  = _{= } = ≅   = _ 2. Curva de Koch

A cada iteração substituímos o segmento por N =4 segmentos de tamanho

1 3 r = do original. Assim: 1 1 ₃ log 4 1 3 1,26 log3 4 r D N  = _{= } = ≅   = _ 3. Triângulo de Sierpinski

A cada iteração substituímos cada triângulo por N =3 triângulos, cuja medida do lado é metade do lado do triângulo original 1 .

2

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1 1 ₂ log3 1 2 1,585 log 2 3 r D N  = _{= } = ≅   = _

Com essas considerações feitas sobre a geometria fractal verifica-se que existem diferenças essenciais entre a geometria fractal e a geometria euclidiana. É possível apontar algumas delas:

Comparativo entre as geometrias

Euclidiana Fractal

Surgiu há mais de 2000 anos. Estruturada com seus princípios, tem me-_{nos de 50 anos.} O efeito escala muitas vezes está

subja-cente. O efeito escala é visível.

Representa bem os objetos criados pelo

homem. Representa bem os objetos criados pela natureza. Trabalha com linha, ângulos retos e

cír-culos perfeitos. Trabalha com assimetrias, irregularida-des e imperfeições. Serve-se de fórmulas e equações para

se expressar onde o computador não era necessário até bem pouco tempo.

Serve-se de algoritmos e processos inte-rativos onde o computador é indispensá-vel.

Seus objetos geométricos têm dimensão

inteira. Seus objetos geométricos podem ter di-mensão fracionária. De acordo com Nunes (2006), a geometria fractal, quando explorada em sala de aula, desenvolve competências e atitudes desejáveis como: gosto pelo aprender, pela pesquisa, pela investigação, conduzindo os alunos a utilizar a matemática como interpretação do real, reconhecendo formas e processos que envolvem conhecimentos matemáticos. As atitudes e competências desenvolvidas com o tema podem ser potencializadas pelo dinamismo do professor e dos alunos ao desenvolverem as atividades.

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Geometria III

117 SEÇÃO 3

GEOMETRIA ESFéRICA

Vimos, anteriormente, que com a negação do quinto postulado de Euclides ou postulado das paralelas surgem duas novas geometrias: hiperbólica e eliptica. Para a geometria hiperbólica, substituímos o quinto postulado de Euclides e aceitamos como substituta a afirmação de que por um ponto fora de uma reta é possível traçar mais de uma reta paralela à reta dada. Mas, para se conceber a geometria elíptica, também conhecida como riemanniana, na qual a reta não é infinita, substitui-se o postulado das paralelas pelo de Riemann, que diz que quaisquer duas retas em um plano têm pelo menos um ponto de encontro. Vamos considerar aqui um caso particular deste tipo de geometria (de fácil visualização), que é a Geometria Esférica. Tal geometria foi considerada pela primeira vez na aula inaugural pronunciada em 1851 por Riemann, para sua admissão como professor-adjunto na Universidade de Göttingen.

Sabe-se que um modelo ideal de visualização da Geometria Esférica é a superfície esférica; tem-se nessa geometria que o conceito de ponto é idêntico ao do ponto na geometria euclidiana. As retas sobre a superfície esférica são círculos máximos, conhecidas como geodésicas. Com isso, abandona-se a noção de que a reta é infinita como na Geometria Euclidiana, mas, sim, ilimitada.

O ângulo é definido pela intersecção de dois círculos máximos, sendo possível obter sua medida por meio do ângulo formado pelas tangentes no ponto de intersecção. A distância entre dois pontos é considerada como o comprimento do arco menor do círculo máximo que contém esses pontos. Um triângulo esférico cujos vértices são três pontos distintos sobre a esfera, não pertencentes ao mesmo círculo máximo, é obtido unindo esses pontos dois a dois com segmentos de círculos máximos.

Vamos abordar alguns fatos da geometria sobre a esfera, os quais podem ser melhor compreendidos se você providenciar o seguinte material: uma bola de isopor com mais ou menos 10cm de diâmetro, um retrós de lastex (um fio elástico usado em máquina de costura para franzir tecidos), tesoura e alfinetes de cabeça colorida.

Considere no espaço tridimensional uma reta e uma esfera: que posições relativas a reta e a esfera podem assumir? Bem, primeiro, a reta e a esfera podem ser distintas e nunca se encontrarem. Esse caso não é interessante. Segundo, a reta pode tangenciar a esfera em apenas um ponto e a esfera é chamada de tangente. E uma terceira possibilidade é que a reta intercepte a esfera em precisamente dois de seus pontos. Neste caso particular a reta não está contida totalmente na esfera. Se a reta atravessar o centro da esfera, temos um caso bem interessante, pois os pontos

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de intersecção da reta com a esfera são diametralmente opostos e são chamados de pontos antipodais. Um exemplo clássico de pontos antipodais na superfície terrestre são o Polo Norte e o Polo Sul.

Na sequência, considere um plano e uma esfera como representados na figura abaixo. Novamente, algumas coisas podem acontecer. Se for o caso em que o plano e a esfera não se tocam, isso não nos interessa. Se eles se tocam mutuamente, então há duas possibilidades. Primeiro, eles podem ter um ponto comum. Neste caso, o plano é tangente à esfera no ponto de interseção. Caso contrário, o plano e a esfera têm um círculo em comum. É fácil ver que o círculo de interseção será o maior, quando o plano passar pelo centro da esfera, como se pode ver na figura. Tal círculo é chamado de círculo máximo. Um exemplo geográfico de um círculo máximo é o Equador. Os meridianos de longitude formam exatamente a metade de um grande círculo. Os paralelos de latitude são círculos menores, exceto o do Equador.

Círculos máximos tornam-se muito importantes quando compreendemos que a mais curta distância entre dois pontos na esfera está ao longo do segmento do círculo máximo que os une. Em qualquer superfície as curvas que minimizam a distância entre pontos são chamadas geodésicas. Assim, retas são geodésicas no plano e círculos máximos desempenham esta função na esfera.

Você pode obter um círculo máximo na superfície da bola de isopor segurando um pedaço de fio elástico apertado a ela, fazendo-a passar por dois pontos marcados sobre ela com os alfinetes coloridos. A tensão no fio tem o efeito minimizante no comprimento do fio, aproximando-se de uma geodésica.

Agora vamos tentar comparar a geometria na esfera com a geometria euclidiana plana. Na geometria plana os conceitos básicos são pontos e retas. Na esfera temos pontos, é claro, mas retas não como tais. Entretanto, desde que círculos máximos são geodésicos na esfera, como as retas são no plano, precisamos considerar círculos

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Geometria III

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máximos substituindo as retas. Então você pode comparar as duas geometrias.

Verifique se o axioma “Por dois pontos distintos passa uma única reta” é válido para a geometria esférica. Se for válido, reescreva-o, adaptando-o para a geometria esférica.

Resolução: suponha que você tem dois pontos distintos A e B na esfera.

Juntamente com C, o centro da esfera, você tem três pontos no espaço, e são duas as possibilidades. A primeira supondo A e B pontos não antipodais. Se A, B e C não estão alinhados no espaço, então determinam um único plano. Esse plano passa através de C, centro da esfera, e consequentemente a interseção do plano com a esfera é o círculo máximo que contém A e B. Assim, A e B determinam um único círculo máximo. Se A e B são pontos antipodais, então A, B e C jazem numa mesma reta no espaço. Todo plano que contém essa linha determina um círculo máximo que contém A e B. Assim, existe uma infinidade de círculos máximos contendo A e B, se eles são antipodais.

Conclusão: se A e B não são dois pontos antipodais, então eles determinam um

único círculo máximo que os contém. Se A e B são antipodais, então eles determinam uma infinidade de círculos máximos que os contém.

Agora vamos analisar a questão da distância na superfície esférica. Se A e B são dois pontos na esfera, então a distância entre eles é a distância ao longo do círculo máximo que os une. Como esse círculo determina um plano com o centro da esfera, é possível utilizar a figura seguinte para representar a situação.

Se o ângulo ACB é θ, então se θ é medido em radianos, a distância entre A

e B é o comprimento do arco AB dado por:

A B

C R

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d A B( , ) = θR onde R é o raio da esfera.

Uma isometria na esfera é uma região sobre ela que preserva a distância entre pontos. É simples admitir que uma rotação na esfera em torno de um seu diâmetro é uma isometria. É uma simples rotação da figura tal como está, mas em um plano diferente. Outro exemplo de isometria é a região antipodal, formada pelos pontos diametralmente opostos de uma região, no outro lado da esfera. Em outras palavras, é o conjunto de todos os pontos da região formada pelos pontos diametralmente opostos de uma região, no outro lado da esfera.

O triângulo esférico A’B’C’ é uma isometria do triângulo esférico ABC

.

A B C

A’ B’ C’

No plano, o polígono mais simples que se pode formar é o triângulo, e não existem polígonos com apenas dois lados. Já na esfera isto não é verdade, pois quaisquer dois círculos máximos interceptam-se em dois pontos antipodais e dividem a esfera em quatro regiões, cada qual possuindo dois lados que são segmentos do círculo máximo. Cada uma dessas regiões é denominada lúnula ou biângulo. O nome lúnula vem do latim luna, que significa lua. Pense naquela porção da lua, vista da Terra, quando iluminada pelo sol. A intersecção de dois hemisférios é uma lúnula.

A B



Duas questões são importantes a respeito desse polígono da esfera: Os vértices de uma lúnula são pontos antipodais (

• A e B).

Os ângulos de uma lúnula são iguais

• θ.

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Geometria III

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a duas curvas que se interceptam, estão contidas no plano tangente à curva no ponto de intersecção. Pode-se definir o ângulo entre duas curvas como o ângulo entre as retas tangentes a elas. No caso da lúnula, o ângulo entre os círculos máximos, em qualquer dos vértices, é simplesmente o ângulo entre os planos que definem os círculos máximos, e assim não importa em qual vértice é feita a medição.

Importantes ideias geométricas, como círculos máximos, ângulos, perpendicularismo, distância entre dois pontos, triângulo esférico, etc., são contextualizadas quando atreladas a conceitos geográficos como paralelos, meridianos, latitudes, longitudes e fusos horários. Além disso, as relações entre latitude e ângulo de elevação do Sol, longitude e fusos horários, rendem problemas geométricos e matemáticos bem interessantes. A compreensão das coordenadas geográficas e a intersecção de dois ou mais círculos máximos constituem fundamentação básica para o entendimento do sistema de navegação por satélite, o GPS (Sistema Global de Posicionamento), que permite a localização de qualquer ponto sobre a superfície terrestre, fornecendo com exatidão a latitude, longitude e altitude. A introdução dos conceitos básicos da geometria esférica permite associar o estudo da esfera e seus elementos com o globo terrestre, conduzindo os alunos a um melhor entendimento do mundo em que vive.

http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/ http://www.insite.com.br/fractarte/artigos/superinteressante.php http://www.prof2000.pt/users/marilia-br/ex7/ex7.htm

Vídeo:

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1. Tanto as retas no plano como as circunferências máximas na superfície esférica são geodésicas dessas superfícies. Uma geodésica numa superfície caracteriza-se pela seguinte propriedade: “Tomados dois pontos sobre a geodésica, de todos os caminhos ligando dois pontos da curva, o mais curto é a própria curva”. Assim sendo, responda as perguntas:

a) Dados dois pontos, quantas geodésicas existem unindo os dois pontos? b) Como serão as geodésicas sobre um cilindro?

c) Quando a geodésica de um cilindro é um segmento de reta? d) Como serão as geodésicas sobre um cone?

e) Quando a geodésica de um cone é um segmento de reta?

2. Chame equador a qualquer circunferência máxima traçada numa esfera. Para cada equador existem dois polos. a) Como se pode construir o equador a partir de um dos polos? b) E como se pode construir os polos a partir do equador?

3. Quantos triângulos são definidos por três pontos? Investigue propriedades dos ângulos internos e externos dos triângulos.

4. Investigue a possibilidade de construir quadriláteros análogos a paralelogramos e retângulos na geometria esférica.

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Geometria III

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Respostas 1.

a) Só uma.

b) Sendo o cilindro uma superfície desenvolvível, ela pode ser planificada. Para determinar a menor distância entre dois pontos da sua superfície basta traçar o segmento que os une na superfície planificada. Quando o cilindro retorna a configuração normal (sem planificar), a geodésica traçada é um segmento de helice.

c) Quando os dois pontos estiverem situados no mesmo plano perpendicular ao eixo do cilindro.

d) Assim como o cilindro, o cone é uma superfície desenvolvível, e pode ser planificada. Para determinar a menor distância entre dois pontos da sua superfície basta traçar o segmento que os une na superfície planificada. Quando o cone retorna a sua configuração normal a geodésica é um segmento de espiral.

e) Geodésica do cone será um segmento de reta quando os pontos pertencerem a uma mesma geratriz do cone.

2. a) Trace uma reta que passa pelos pólos. Considere o plano ortogonal a essa reta que passa pelo centro da esfera. A intersecção do plano com a superfície da esfera é o equador referente aos pólos dados.

b) Passe um plano pela circunferência máxima que contem o equador.. Trace uma perpendicular a esse plano passando pelo centro da esfera. Onde essa reta interceptar a esfera teremos os pólos relativos ao equador dado.

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triângulos

4. Paralelogramo é o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Como na superfície esférica não se consegue traçar paralelas a um segmento de reta, eles não existem.

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Geometria III

125 PALAVRAS FINAIS

Encerramos mais um livro de geometria; ao todo tivemos três estudos envolvendo conceitos geométricos. Iniciamos pela geometria plana, com os axiomas e postulados de Euclides e a compilação da geometria nos Elementos. Por muito tempo os Elementos foram a obra de referência para o estudo de geometria.

No segundo livro continuamos o estudo da geometria plana com as transformações geométricas, polígonos, circunferências, ares e curvas.

Neste livro concluímos o estudo com a geometria do espaço (também contemplada nos Elementos) e uma introdução às geometrias não euclidianas. É importante notarmos que no primeiro livro usamos os axiomas e postulados (de forma semelhante ao que Euclides escreveu). Para introduzir a geometria do espaço, também fizemos uso dos axiomas e introduzimos mais alguns. É natural o uso dos axiomas, pois a geometria plana e a do espaço foram estudadas por Euclides com esses axiomas.

O fato novo é que o surgimento da geometria não euclidiana se dá amparada nos mesmos axiomas, apenas substituindo um deles, o quinto axioma (conhecido como axioma das paralelas).

Com isso queremos que você observe que o estudo da geometria é feito de maneira cumulativa, aproveitando o que já foi estudado e não partindo de algo absolutamente novo. Reafirma-se assim a utilização do processo lógico-dedutivo para formalizar o conhecimento geométrico. Outro destaque reside no fato de que o desenvolvimento de alguns tópicos da geometria acontece, mas de forma nebulosa. Somente com o amadurecimento de outros conceitos é que o desenvolvimento desses tópicos é aprimorado.

Esperamos que o conhecimento adquirido ao longo do trabalho com a disciplina o tenha levado a perceber a importante ferramenta que ela representa no ensino de matemática. E que, como futuro professor de matemática, você tenha bastante clareza quanto às grandes finalidades para o ensino da geometria e sua presença marcante no currículo em todos os níveis de ensino.

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126 REFERêNCIAS

BARBOSA, J. C. Marques.

1. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro:

SBM, 1985.

COURANT, Richard & ROBBINS, Herbert.

2. O que é a matemática. Rio de

Janeiro: Ciência Moderna, 2000.

DANTAS, Martha Maria de Souza et all.

3. As transformações geométricas e o

ensino da geometria. Salvador: EDUFBA, 1996.

DOLCE, O. & POMPEO, J. N.

4. Fundamentos de Matemática Elementar.

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Geometria III

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.

(22)

128 NOTA SObRE OS AUTORES

GINA MARIA BACHMANN – Graduada em Licenciatura em Matemática

pela Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG) – PR, em 1976. Mestre em Ciências – Programação Matemática pela Universidade Federal do Paraná, em 2002. Professora na UEPG desde 1989, ministrando as disciplinas Geometria Plana, Geometria Espacial, Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, Cálculo Diferencial e Integral e Estatística para os cursos de Matemática, Engenharia de Alimentos, Engenharia Civil, Física e Bacharelado em Informática. Exerce a Coordenação do Campus Avançado da UEPG em Telêmaco Borba. Atua como supervisora no projeto denominado Núcleo Integrado de Educação Matemática (NIEM), desde 1993, em atividades de extensão na área de Matemática e Geometria.

PAULO SÉRGIO SCHELESKY – Graduado em Licenciatura em

Matemática, pela Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG) – PR, em 2005. Especialista em Ensino da Matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Paraná, em 2007. Tem experiência em projetos de extensão voltados à formação continuada de professores da Educação Básica e a acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática, com temas como Transformações Geométricas e Geometria Dinâmica. Atuou no Estágio de Atualização e Aprendizagem Didática na disciplina de Instrumentação para o Ensino de Matemática II, em 2007, na UEPG. Atualmente participa da equipe multidisciplinar de Ensino a Distância da Universidade Estadual de Ponta Grossa.