ANAIS DA
Volume 1 -2015
ISSN 2447-6609
2
Anais da I Semana de Álgebra do
CEST/UEA 2015
Volume 1
MANAUS UEA EDIÇÕES
3
Ficha Catalográfica
I Semana de Álgebra do CEST/UEA (v.1 : 2015 : Tefé-AM).
Anais da I Semana de Álgebra do CEST/UEA, 26 a 31 de outubro de 2015.
Organização: Fernando Soares Coutinho. Realização: Colegiado de Matemática, Centro
de Estudos Superiores de Tefé, Universidade Estadual de Tefé. Volume 1, 2015 -
Manaus : UEA Edições, 2015.
CD-ROM.
ISSN: 2447-6609
1. Álgebra. 2. Estágio Supervisionado. 3. Iniciação científica. 4. PIBID. I. COUTINHO,
Fernando Soares.
Veja aqui exemplo de como fazer a sua referência bibliográfica:
SOBRENOME, X. Y. ; SOBRENOME, W. Z. Título do trabalho neste espaço. In: I
Semana de Álgebra do CEST/UEA, 1., 2015, Tefé, AM. Anais da I Semana de
Álgebra do CEST/UEA, Manaus, AM: UEA edições, 2015.
4 COMISSÃO ORGANIZADORA DO EVENTO
Coordenação: Prof. Fernando Soares Coutinho –UEA
Prof. Claudio de Oliveira Santos – UEA
Axel de Lima Barbosa
Danrley Rufino Anaqueri
Elinaldo Pinheiro dos Santos
Erika Nunes Muniz
Janete Batista Guimarães
Mário Benício de Oliveira Neto
Nayandra Carvalho da Silva
Raimundo de Souza Pinheiro
Willie Nelson Nery Oliveira
COMISSÃO CIENTÍFICA DO EVENTO
Coordenação: Prof. Fernando Soares Coutinho –UEA
Prof. Carlos José Ferreira Soares – UEA
Prof. Celiomar Machado Gonçalves – SEDUC
Prof. Felipe Arante Matos – SEDUC
Prof. Josimauro Borges Carvalho – UEA
Prof. Luiz Augusto Reis Caxeixa – UEA
Os textos aqui reproduzidos são de exclusiva
responsabilidade de seus autores.
5
APRESENTAÇÃO
Os Anais da I Semana de Álgebra do CEST nasceram do desejo de acadêmicos e
docentes do CEST/UEA em partilhar algumas das várias atividades de
ensino-pesquisa-extensão do curso de Licenciatura em Matemática desenvolvidas em nosso centro. Teve
como objetivos: promover a troca de experiências entre os membros das escolas
públicas de Tefé e acadêmicos e docentes da UEA, visando o aperfeiçoamento da
qualidade do ensino na educação básica; realizar oficinas nas escolas públicas de Tefé
de forma que os alunos e professores utilizem as tecnologias como recurso para o
ensino aprendizagem de matemática; aumentar o interesse da comunidade acadêmica
por Álgebra Abstrata e homenagear os professores de matemática da rede estadual de
Tefé: Raimundo Nonato Guimarães da Silva e José Francisco Mendes de Souza.
Neste evento foram oferecidos minicursos, oficinas, palestras e apresentados
diversos trabalhos sobre Álgebra Abstrata: grupos, homomorfismos e automorfismos de
grupos, Álgebras de Lie, Algoritmo de Euclides, Equações Diofantinas Lineares,
Indução Matemática; relatos de experiência no PIBID e estágio supervisionado;
software Geogebra, materiais manipuláveis, entre outros de iniciação científica.
6
Sumário
1.
ESTUDO DA CONVERGÊNCIA DAS SOLUÇÕES ÓTIMAS DE
FUNÇÕES MATEMÁTICAS UTILIZANDO O MÉTODO SIMULATED
ANNEALING ... 8
2.COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS ... 14
3.APLICAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL NO ESTUDO DA
DINÂMICA POPULACIONAL DE TEFÉ ... 19
4.A CONTRIBUIÇÃO DE MILEVA MARIC NA ELABORAÇÃO DA TEORIA
DA RELATIVIDADE RESTRITA (TRR) ... 23
5.INTRODUÇÃO À TEORIA DAS PROBABILIDADES
– DOS JOGOS AO
LABORATÓRIO: UMA ABORDAGEM MULTIDISCIPLINAR ... 27
6.ALGORITMO DE EUCLIDES ... 30
7.A APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NAS SÉRIES FINAIS DO
ENSINO FUNDAMENTAL ... 34
8.RELATO DE EXPERIÊNCIA DE ESTÁGIO EM UMA TURMA DE
3º
ANO
DE
ENSINO
MÉDIO
NO
CENTRO
EDUCACIONAL
GOVERNADOR GILBERTO MESTRINHO ... 38
9.APRENDENDO SOBRE POLIEDROS ATRAVÉS DO JOGO “CARA A
CARA DE POLIEDROS” ... 41
10.EXPERIÊNCIAS NO ESTÁGIO SUPERVISIONADO ... 44
11.CONFORTO TÉRMICO NO FLUTUANTE AMANÃ ... 48
12.RELATO
DE
EXPERIÊNCIA
PIBID:
CALCULADORA
COMO
INSTRUMENTO DE ENSINO NA SALA DE AULA ... 54
13.MATEMÁTICA LÚDICA: JOGOS COM DOMINÓ (4 OPERAÇÕES)... 57
14.MATEMÁTICA E DESAFIO LÚDICO ... 59
15.CONSTRUÇÃO
DE
SÓLIDOS
GEOMÉTRICOS
NA
ESCOLA
WENCESLAU DE QUEIROZ COM ALUNOS DO 6° ANO “B” ... 64
16.INTRODUZINDO SOFTWARES NAS AULAS DE MATEMÁTICA ... 67
17.AS SEMELHANÇAS ENTRE UM ANEL F[X] DOS POLINÔMIOS COM
COEFICIENTES EM UM CORPO F E O ANEL Z DOS INTEIROS ... 71
18.INTRODUÇÃO À TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL ... 73
19.AUTOMORFISMOS DE GRUPOS ... 76
20.EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS: SUJEITOS DE DIREITOS E
TRABALHADORES ESCOLARIZADOS ... 84
7 21.
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
UTILIZANDO MATERIAIS CONCRETOS NO 1º ANO DO ENSINO
MÉDIO DA ESCOLA ESTADUAL DEPUTADO ARMANDO DE SOUZA
MENDES ... 125
22.ESTRATÉGIAS PARA O ENSINO DE ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO,
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS NO 6º ANO,
TURMAS A E C, DA ESCOLA MUNICIPAL WENCESLAU DE QUEIROZ
... 145
8
ESTUDO DA CONVERGÊNCIA DAS SOLUÇÕES ÓTIMAS DE FUNÇÕES
MATEMÁTICAS UTILIZANDO O MÉTODO SIMULATED ANNEALING
Danrley Rufino Anaqueri1; Robert Luiz Lara Ribeiro2 1
Estudante do Curso de Licenciatura em Matemática do CEST; e-mail: [email protected]
2 Professor do Colegiado de Matemática do CEST; e-mail: [email protected]
1. RESUMO
Ao analisar o comportamento de funções matemáticas, uma dessas analises é a busca dos pontos de máximos e mínimos locais e globais da função. Neste trabalho buscou-se os extremos de funções matemáticas de uma variável real utilizando o Método Simulated Annealing (SA), também realiza-se a análise da convergência das soluções ótimas encontradas pelo mesmo. Para isso implementa-se o código Simulated Annealing em linguagem FORTRAN. Onde realiza-se a análise do parâmetro temperatura (T) e de interações para o equilíbrio (n) diante da convergência das soluções. Diante disto obteve-se como não ser necessário um valor de T tão alto para que haja a convergência para o extremo global ou local da função se o valor de n for alto. Sendo assim, o método Simulated Annealing é muito eficaz na busca por extremos de funções matemáticas, pois tem a capacidade de analisar as soluções encontradas e realiza as buscas pelo ótimo em um pequeno intervalo de tempo.
PALAVRAS-CHAVE: Extremos. Meta-Heurística. Fortran.
2. INTRODUÇÃO
Funções matemáticas descrevem alterações que ocorrem com uma grandeza que é dependente da variação de uma ou mais grandezas independentes. Assim ao estudar o comportamento de funções matemáticas, um dos assuntos importantes é a busca pelos extremos das funções (STEWART, 2006 e BROLEZZI, 2001). Estes tem grande importância na resolução de problemas de otimização, tais como problemas relacionados ao tempo, ao custo, lucro e outros (ANTON, 2000).
Pode-se encontrar tais extremos de funções através do método analítico ou de métodos numéricos. No entanto, a busca pelos extremos de muitas funções são difíceis de serem calculados pelo método analítico, como por exemplo, as funções polinomiais de elevado grau (ANTON, 2000 e STEWART, 2006).
Desta forma, o uso de métodos numéricos se torna importante para a busca dos extremos das funções, uma vez que os mesmos podem calcular rapidamente o valor dos extremos com margem de erro muito pequena.
Dentre os métodos numéricos existentes os principais são os métodos lineares, métodos heurísticos e métodos meta-heurísticos. Os métodos computacionais lineares têm como objetivo a busca da solução ótima de problemas de otimização nos quais a função objetivo e todas as restrições são representadas por funções lineares. Os métodos heurísticos são técnicas determinada por um conjunto de regras que tem como finalidade encontrar boas soluções para os valores ótimos do problema em questão. As meta-heurísticas são heurísticas que fazem um refinamento na busca pelas soluções ótimas, ou seja, analisam as soluções encontradas com o objetivo de evitar a convergência para um ótimo local. (COSTA, 2011; CARBONO, 2005 e ARAUJO, 2001).
Diante desta problemática, este trabalho trata da busca dos extremos de funções matemáticas de uma variável real utilizando o Método Simulated Annealing,
9 também realiza-se a análise da convergência das soluções ótimas encontradas pelo mesmo.
2. MATERIAL E METÓDOS
2.1. MÉTODO SIMULATED ANNEALING
O método meta-heurístico Simulated Annealing é baseado na teoria termodinâmica, o qual simula o processo de recozimento de um sólido até que este alcance seu estado mínimo de energia (ARAUJO, 2001).
Implementa-se computacionalmente o método SA em Linguagem Fortran para realizar a buscar de extremos de funções matemáticas de uma variável real.
O algoritmo que representa o método do SA é dado por:
Início X ← Xₒ; T ← Tₒ;
enquanto temperatura elevada faça para interações pra equilíbrio faça
gerar uma solução X’ de F(X);
avaliar a variação de energia - ∆E = f(X’) – f(X); se ∆E < 0 then
X ← X’; senão
gerar u (random[0,1]); se u < exp(-∆E/Kʙ . T) then
X ← X’; fim se fim se fim para reduzir a temperatura T; fim enquanto fim
Primeiramente devemos atribuir a X uma solução inicial X0, logo após atribuir a T uma temperatura inicial T0. O processo de busca ocorre enquanto a temperatura for relativamente alta.
O parâmetro n serve para determinar a quantidade de vezes na qual o método SA vai gerar uma nova solução X’ determinada aletoriamente por uma sequência de números randômicos para uma mesma temperatura.
Após ser gerada a solução X’ o programa fará um calculo de aceite dessa solução. Assim, a temperatura T0 é reduzida lentamente e logo após os procedimentos serão repetidos até que todas as condições de parada forem satisfeitas e o programa é finalizado.
2.2. FUNÇÕES MATEMÁTICAS
As funções matemáticas que serão usadas para aplicar o método SA são duas funções polinomiais (uma de grau seis, dada pela Eq. (1) e outra de grau vinte, dada pela Eq. (2)). 6600 4175 2689 142 122 ) (x x6x5 x4 x3 x2 x f (1)
A Eq. (1) possui 5 extremos, sendo 2 mínimos locais, dois máximos locais e um mínimo global, como mostra a Figura 1.a.
10 (2)
A função apresentada pela Eq. (2) possui 19 extremos, sendo 9 máximos locais, 9 mínimos locais e um máximo global, conforme a Figura 1.b.
a) b)
Figura 1 - a) Gráfico da função polinomial de sexto grau e seu mínimo global. b) Gráfico da função polinomial de grau 20 e máximo global.
Nas três funções em estudo se assume como ponto de partida das buscas pela solução ótima (XOT) utilizando o S.A um valor para X0 longe de qualquer um dos extremos das três funções, desta forma assume-se X0 = -1.000.000.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
As figuras a seguir mostram a convergência de X0 para o XOT em função da temperatura com quatro valores de n diferentes. A Figura 2 e Figura 3 mostram respectivamente essa convergência na Eq. (1) e na Eq. (2).
a) 17 17 2 16 3 14 4 13 5 12 6 11 7 8 8 7 9 5 10 4 11 12 13 14 15 16 17 3 18 19 20 10 6122144 2812869752 10 456489 6642374189 10 819516 2836917331 10 4266912 2323266991 10 4852423 1332656946 10 966795 3371798301 10 975364 2149736651 10 3576115 2710479821 10 4572918 1789144997 10 1358994 1351902852 10 905844 8740935189 12837310 4363834300 1913232 2641031499 8112 9104222171 260 4990545847 2 1174322997 573779606 10 847 36688 26 ) ( x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f
11 b)
c)
d)
Figura 2 - Gráficos mostrando as convergências do X0 para o XOT com diferentes n para a Eq.
(1) a) n = 1. b) n = 15. c) n = 40. d) n = 100.
Com a Figura 2.a podemos observar que há bastante variação entre as soluções encontradas pelo método S.A durante a análise da convergência de X0 para o XOT que ocorre a partir de T =5608 para n =1, já com a Figura 2.b observa-se que T diminui para 3020 e ocorre pouca variação para n =15, já para n = 40 observamos com a Figura 2.c que a convergência ocorre com T = 465 e a variação também diminui, com n = 100 observamos através da Figura 2.d que quase não há variação e a convergência ocorre com T = 450.
Com a Figura 3.apodemos observar que a convergência ocorre a partir de T = 96500 para n =1, já com a Figura 3.b observa-se que T diminui para 3060 e ocorre pouca variação para n = 15, já para n = 40 observamos com a Figura 3.c que a convergência ocorre com T = 1150 e a variação também diminui, com n = 100 observamos através da Figura 3.d que quase não há variação e a convergência ocorre com T = 470.
12 a)
b)
c)
d)
Figura3 - Gráfico mostrando a convergência do X0 para o XOT com diferentes n para a Eq. (2) a)
n = 1. b) n = 15. c) n = 40. d) n = 100.
Podemos observar através das figuras acima que quando aumentamos o valor de n o método Simulated Annealing encontra o XOT com uma temperatura cada vez mais baixa.
CONCLUSÃO
Concluo que o método Simulated Annealing é muito eficaz na busca pelo extremo global de funções matemáticas, pois apresentou bons resultados, não só em relação à capacidade que possui de analisar as soluções encontradas, mas também ao pequeno intervalo de tempo em realiza às buscas pelas soluções ótimas das
13 funções e devido ao fato de não ser necessário um valor de T tão alto para que haja a convergência para o extremo global se o valor de n for alto.
REFERÊNCIAS
ANTON, Howard. Cálculo, Um Novo Horizonte. 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. ARAUJO, Haroldo. Algoritmo Simulated Annealing: Uma Nova Abordagem. Florianópolis: UFSC, 2001. Dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação, Universidade Federal de Santa Catarina, 2001.
BROLEZZI, Antônio. Matemática, Funções e Gráficos. São Paulo: Dreampix Comunicação, S.d.
CARBONO, Alonso. Otimização da Disposição de Linhas de Ancoragem Utilizando Algoritmos Genéticos. Rio de Janeiro : PUC-Rio, 2005. Dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 2005.
COSTA, Carine. Condução de Experimentos Computacionais com Métodos Heurísticos. Goiânia: UFG, 2011. Dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação, Universidade Federal de Goiás, 2011.
14
COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS
Ezequiel Bruno Pinheiro Martins (CEST- UEA) [email protected] Robert Luis Lara Ribeiro (CEST- UEA) [email protected];
RESUMO
O estudo das funções polinomiais surgiu da necessidade dos alunos conhecerem as variações das equações do 1º ao 3º. Este trabalho tem por objetivo reconhecer o grau de um polinômio f (x), a partir da observação de seu gráfico. Para alcançar tal objetivo usaremos como metodologia: a confecção de gráficos. Para isto, utilizamos o software MATILAB. Estudar a maneira com que as funções variam, permitiria a preparação do terreno para futuros estudantes de Cálculo. Inicialmente fazemos uma abordagem dos aspectos históricos relacionados às funções polinomiais citando alguns dos matemáticos que colaboraram para obtenção desses métodos resolutivos.
Palavras chaves: Equações; Gráfico; Variações INTRODUÇÃO
Grande parte das dificuldades encontradas pelos estudantes do ensino superior na disciplina de Cálculo é consequência da falta de preparação, na educação básica, para o estudo desta matéria (Rezende, 2003). O conceito de função teve sua origem na tentativa de filósofos e cientistas em explicar, descrever e prever os fenômenos naturais. A realidade que aqueles cientistas buscaram compreender apresenta, de acordo com Caraça (1989), duas características essenciais: fluência e interdependência. Temos então um instrumento matemático (funções) inventado para uma melhor compreensão.
Dentre todas as funções matemáticas destacam-se as funções polinomiais que vem sendo estudada desde o século XVI, onde apareceu pela primeira em uma representação gráfica no trabalho de Galileu Galilei (1564 - 1642) (Boyer, 1991)
Assim essa teoria foi divulgada e aprimorada até chegar à ideia de função polinomial da qual conhecemos hoje. Atualmente, esse tipo de função está servindo de modelos em muitas áreas científicas como físicas, químicas, economia, etc. Como por exemplo: a função que determina o valor do saldo bancário (USS, Administração) e a função do movimento uniforme (Sampaio, José Luiz, 2005). Através disso este trabalho apresenta uma análise de como se comporta as funções polinomiais do 1º até o 3º grau.
METODOLOGIA
Segundo Santos Garcia (2003) é denominada função polinomial de grau , com relação a a expressão da equação
(1)
onde n é um número inteiro não negativo, bem como os coeficientes reais , com . Desta, é feita uma analise nas funções polinomiais para que geram as seguintes funções polinomiais. Em que ; ; ; e .
15
(2)
(3)
(4)
A Eq. (2) representa a função polinomial de primeiro grau que tem como característica ser uma reta. A Eq. (3) representa a função polinomial de segundo grau que tem como característica ser uma parábola. A Eq. (4) representa a função polinomial de terceiro grau.
Serão elaborados gráficos com o comportamento das funções referente as EQ. (2), Eq. (3) e Eq. (4) variando cada um dos seus coeficientes. A variação dos coeficientes será da seguinte forma: estarão no intervalo de -90 até 90. À medida que variamos um coeficiente os outros permanecem com o valor igual a 1 pois é o número neutro da multiplicação.
Para representar graficamente o comportamento das funções polinomiais utilizou-se do software MATLAB, onde foram feitas no mesmo plano cartesiano os gráficos com as variações dos coeficientes.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os gráficos da Figura 1 e Figura 2 apresentam as variações dos coeficientes da função de primeiro grau, dado pela Eq. (2).
Figura 1 – Gráfico da função polinomial de primeiro grau variando o coeficiente a. Na Figura 1 o valor do coeficiente é o valor da ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo y. Se a reta cruza a origem do plano cartesiano, se a > 0 a reta é deslocada para valores positivos no eixo y e caso a < 0 será deslocada para valores negativos no eixo y.
16 Para a Figura 2 se , é crescente e , é decrescente e se , é uma constante paralela ao eixo
Os gráficos da Figura 3, Figura 4 e Figura 5 apresentam as variações dos coeficientes da função de segundo grau, dado pela Eq. (3).
Figura 3 – Gráfico da função polinomial de segundo grau variando o coeficiente a. Na Figura 3 o valor do coeficiente é o valor da ordenada do ponto de intersecção da parábola com o eixo . Se a parábola passa pela origem do plano cartesiano, se a parábola é deslocada para valores positivos no eixo e caso será deslocada para valores negativos no eixo .
Figura 4 – Gráfico da função polinomial de segundo grau variando o coeficiente b. Na Figura 4 quando o valor de a função tem vértice na origem, quando b > 0 tende por valores positivos move-se pra direita e quando tende por valores negativos move-se para esquerda.
17 Na Figura 5 quando , concavidade para cima; , concavidade para baixo; à medida que c se aproxima de zero, mas aberta é a concavidade.
Os gráficos da Figura 6, Figura 7, Figura 8 e Figura 9 apresentam as variações dos coeficientes da função de segundo grau, dado pela Eq. (4).
Figura 6 – Gráfico da função polinomial de segundo grau variando o coeficiente a. Na Figura 6 o valor do coeficiente é o valor da ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo . Se a função passa pela origem do plano cartesiano, se a função é deslocada para valores positivos no eixo e caso será deslocada para valores negativos no eixo .
Figura 7 – Gráfico da função polinomial de segundo grau variando o coeficiente b. Na Figura 7 quando b>0 o grafico da função do 3º passa pelos quadrantes 1 e 3; quando b<0 o grafico da função do 3º passa pelos quadrantes 2 e 4.
Figura 8 – Gráfico da função polinomial de segundo grau variando o coeficiente c. Na Figura 8 quando c>0 tende a forma uma parábola com concavidade para cima; quando c<0 tende a forma uma parábola com concavidade para baixo e c=0 tende a forma uma reta.
18 Figura 9 – Gráfico da função polinomial de segundo grau variando o coeficiente d.
Na Figura 9 quando d>0 a função é crescente; d<0 a função é decrescente e quando d se aproxima de zero tende a forma uma reta.
CONCLUSÃO
Analisando o comportamento do coeficiente a das funções polinomiais de 1º até 3º grau podemos observar que tem a mesma variação o valor do coeficiente é o valor da ordenada do ponto de intersecção com o eixo .
Esperamos que este trabalho possa desperta o interesse ao estudo das equações polinomiais do 1º ao 3º grau, possibilitando aos estudantes de matemática uma melhor assimilação das funções.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOYER, C. B. História da Matemática. Editora da Universidade de São Paulo, São Paulo, 1974.
IEZZI, G.; MARAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar 1. Atual Editora, São Paulo, 1977.
IEZZI, G. e MURAKAMI, C. Fundamentos da Matemática Elementar, Conjuntos e Funções. São Paulo: Atual, 1993.
CARAÇA, B. de J. Conceitos Fundamentais da Matemática. 9a edição. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora, 1989.
REZENDE, W. M. O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade de São Paulo, São Paulo, 2003a. Sampaio, José Luiz, Física(Ensino médio) Atual Editora, São Paulo, 2005.
19
APLICAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL NO ESTUDO DA
DINÂMICA POPULACIONAL DE TEFÉ
Nayandra Carvalho da Silva
1; Robert Luis Lara Ribeiro
21
Estudante do Curso de Licenciatura em Matemática do CEST;
e-mail: [email protected]
2
Professor do Colegiado de Matemática do CEST; e-mail:
[email protected]
RESUMO
Nesta pesquisa buscou-se investigar e refutar os dados sobre o crescimento populacional da região do médio Solimões do estado do Amazonas, onde esta localizada a cidade de Tefé, através de uma simulação numérica com o Modelo Matemático de Montroll. Com isso, utilizou-se como dados o crescimento da população tefeense nos últimos 19 anos. Tais dados foram analisados com computacionais. A aquisição dos dados foi feita através de dados divulgados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), tais são desde o ano de 1991 à 2010, quando foi realizado o último Censo demográfico. Assim, foi feita uma simulação com a geração de um código na linguagem de programação FORTRAN. O método utilizado para solucionar a EDO do modelo computacional é o Runge-Kutta de quarta ordem de passo fixo. Para ajustar os parâmetros foi utilizado o coeficiente de determinação de Nash-Sutcliffe (R2) que auxiliou na análise da eficiência do método, onde foi medida de acordo com o dado numérico gerado pela solução do modelo populacional. Diante disso, obteve-se como resultado que o valor do R² na simulação foi igual a 0,753651, sendo que esse valor não foi tão eficiente, pelo fato do modelo de Montroll não abranger a possibilidade de decrescimento da população, fato que ocorreu após o ano 2000. Portanto, foi possível concluir que um modelo Matemático para cidade de Tefé deve apresentar a possibilidade de ajuste para crescimento e decrescimento da população. Recomenda-se que com auxilio do modelo de Montroll (que é eficiente para populações de naturezas diversas) possa-se criar um modelo dentro dos dados da população da cidade.
Palavras-chave: Simulação Computacional, Modelo de Montroll, População. INTRODUÇÃO
Uma população é um grupo de plantas, animais ou outros microrganismos, que vivem juntos e se reproduzem. Assim como um individuo cresce ganhando peso, uma população cresce ganhando novos indivíduos. Populações aumentam quando novos indivíduos chegam e diminuem quando residentes partem 1.
Para responder sobre o futuro das populações e como a mesma se comporta durante um intervalo de tempo a dinâmica populacional surgiu como uma alternativa na busca de respostas para especulações sobre a população humana 2.
A cidade de Tefé é um dos municípios centrais do Amazonas, estando a margem direita da foz represada do rio Tefé. “A cidade, ao longo dos anos, vem (re) produzindo seu espaço, em função da urbanização acompanhando o crescimento urbano do Brasil” 3.
Nesse sentido, os modelos matemáticos são utilizados para entender o comportamento de um sistema e antecipar os eventos, quantificando os impactos e
20 um determinado distúrbio antes mesmo que este ocorra para que medidas sejam tomadas 4.
Dentro do contexto, através da analise simulação dos modelos matemáticos é possível avaliar, em quanto tempo determinada população corre o risco de extinguir, ou ainda, estima o nível máximo que pode atingir 5.
Com isso, a presente pesquisa buscou investigar e refutar os dados sobre o crescimento populacional da região do médio Solimões do estado do Amazonas, onde esta localizada a cidade de Tefé, através de uma simulação numérica com o Modelo Matemático de Montroll.
METODOLOGIA
Utiliza-se como dados reais do crescimento da população tefeense os resultados do Censo Demográfico apresentados no site do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), sendo que o primeiro ano com registro em 1991 e o último em 2010. Estes dados são apresentados na Tabela 1.
Para fazer uma previsão da população de Tefé para os próximos 20 anos, utiliza-se o modelo populacional de Montroll dado pela Eq. (1). Nesse modelo matemático existe a possibilidade de adaptação de problema de natureza diversa. Para que isso aconteça, modifica-se o valor do expoente β. No modelo α e β são constantes reais, sendo β o indicador da posição do ponto de inflexão da curva de crescimento.
(1)
Os dados computacionais são analisados com os dados reais do IBGE, a fim de validar o modelo matemático. Para realizar este análise utiliza-se o coeficiente de determinação de Nash-Sutcliffe (R2), dado pela Eq. (2), que faz uma análise da eficiência do modelo matemático populacional com os resultados do Censo Demográfico.
2 , 1 , 1 2 , 1 , 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 t Y t Y t Y t Y R Cal Obs Cal Obs (2)Caso o valor do R2 seja inferior a 0,95 será feito uma nova análise do modelo matemático, afim de verificar quais ajustes serão necessários.
Para simular computacionalmente o modelo matemático populacional programou-se um código em Fortran e para solucionar a EDO, dada pela Eq. (1), usa-se o método de Runge-Kutta de quarta ordem de passo fixo, usa-sendo que o método soluciona condições iniciais pré-estabelecidas para variáveis de integração.
Abaixo pode-se observar o código computacional:
Inicio do código
P0 ← população inicial
ti ← tempo inicial
tf ← tempo final
pas ← passo de iteração Enquanto t < tf faça
Chama uma subrotina que resolve EDOs
K
P
P
dt
dP
1
21 Resolve Modelo de Malthus
Resolve Modelo de Vershurt Resolve Modelo de Montroll Resolve Modelo de Gompertz
Fim da subrotina que resolve EDOs t = t + pas
Fim do enquanto
Chama a subrotina de ajuste de parâmetros
Chama a subrotina que verifica a eficiência de cada método
Fim do código
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os dados reais da população e da simulação numérica do modelo matemático populacional estão apresentados na Tabela 1.
Tabela 1- Dados reais e numéricos da cidade de Tefé
Ano População Real * Modelo de Montroll
1991 53970 53970
1996 62560 62540
2000 64457 64442
2007 62920 64963
2010 61453 64988
*Fonte da população real: IBGE 6
A Figura 1 apresenta o gráfico dos dados do censo demográfico e o resultado da simulação numérica utilizando o modelo de Montroll, onde é possível perceber que as soluções numéricas do modelo matemático ficaram próximas dos dados reais da população, nos anos 1991, 1996 e 2000; quando a população estava em crescimento. Analisando a eficiência os resultados numéricos com os resultados reais obteve-se um R² = 0,753651.
22 Diante disso, o valor do R2 foi inferior a 0,95, tal fato ocorreu a partir de 2007 quando a população começou a decrescer. Com a continuação do estudo, será feita uma nova análise do modelo matemático, a fim de verificar quais ajustes serão necessários fazer no modelo matemático. Um ajuste seria a inclusão dos fatores de natalidade e de mortalidade.
Com a comparação da solução do Modelo de Montroll com os dados da população real, percebeu-se que o modelo de Montroll é eficiente para dados de crescimento da população, pois quando houve o crescimento da população o modelo ajustou-se bem, obtendo um valor de R² = 0,99998, todavia a partir do decrescimento populacional o modelo matemático de Montroll não pode ser ajustado, pois a característica deste modelo é crescer e estabilizar em um ponto.
Para previsão do crescimento populacional para os próximos 20 anos é necessário o ajuste do modelo com a inclusão de dados de nascimento e óbito.
CONCLUSÃO
Nessa primeira simulação do modelo de Montroll, pode-se perceber que o mesmo é eficiente para populações cujo crescimento é esperado para anos futuros, uma vez que as estimativas são capazes de prever.
O modelo apresentou um valor de R² bom, contudo inferior a 0,95. Tal fato se deu pelo decrescimento da população nos últimos anos.
Portanto, um modelo Matemático para cidade de Tefé deve apresentar a possibilidade de ajuste para crescimento e decrescimento da população. Recomenda-se que com auxilio do modelo de Montroll (que é eficiente para populações de naturezas diversas) possa-se criar um modelo dentro dos dados da população da cidade.
REFERÊNCIAS
[1] GOTELLI, N. J. Ecologia. Editora Planta. 4.ed. tradução Gonçalo Ferraz e Heloísa Micheletti. Londrina, Paraná, 2009.
[2] GLOBO, Educação. Teorias sobre o crescimento populacional. Disponível em:< http://educacao.globo.com/artigo/teorias-sobre-o-crescimento-populacional.html>. Acesso em: 30/09/14
[3] Rodrigues, Eubia Andrea. Rede Urbana do Amazonas: Tefé como cidade média de responsabilidade territorial do médio Solimões. 2011. 132f. Dissertação (Mestrado em Geografia)-Universidade Federal do Amazonas, Manaus, 2011.
[4] FRAGOSO Jr., C. R.; MARQUES, D. M.; FERREIRA, T. F. Modelagem ecológica em ecossistemas aquáticos. São Paulo: Oficina de Textos, 2009.
[5] LEITE, Maria Beatriz Ferreira et al. Modelos matemáticos para o crescimento da população do estado de São Paulo e a exploração de diferentes taxas de crescimento.Rev. Ciência & Educação, v. 17, n. 4, p. 927-940, 2011.
[6] IBGE, "Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística", 2015.
Figura 1- Simulação com a comparação dos dados reais da população com o modelo de Montroll
23
A CONTRIBUIÇÃO DE MILEVA MARIC NA ELABORAÇÃO DA TEORIA DA
RELATIVIDADE RESTRITA (TRR)
SILVA, N. C.; Muniz; E. N.; OLIVEIRA; W. N. N.; ANAQUERI, D. R.;
BARBOSA, A. L.; NETO, M. B. O.; PINHEIRO, R. S.
1, Rita de Cássia Fraga
Machado
21
Acadêmicos do Curso de Licenciatura em Matemática no Centro de Estudos
Superiores de Tefé
[email protected]
2Professora Adjunta da Universidade do Estado do Amazonas.
[email protected]
RESUMO
O presente trabalho de pesquisa elaborado na disciplina de Sociologia da Educação no ano de 2014 enfatizou o reconhecimento da coautoria de Mileva Maric na teoria da Relatividade Restrita e a sua marcante participação nas outras obras de seu até então esposo Albert Einstein. Tal fato se deu através de uma pesquisa de cunho bibliográfico e qualitativo. A pesquisa foi realizada também por meio da pesquisa bibliográfica pesquisamos um total de 20 obras e textos acadêmicos. Obtivemos como resultado o seguinte: a) Teoria da Relatividade Restrita é composta por cálculos muito elaborados, sistematizados e organizados por Mileva Maric b) Mileva foi responsável por dar forma Matemática aos cálculos e Einstein deixando claro nas cartas escritas à Mileva, mencionava “nosso trabalho” (SANTOS, 2014) que a Servia teve contribuição na mesma. A partir disso e do levantamento bibliográfico, pode-se concluir e fazer-se afirmação que Mileva Maric teve grande participação e elaboração nos trabalhos de Albert Einstein e a mesma pode ser considerada como uma das cientistas que fizeram história na Ciência da Matemática.
Palavras-chave: Mileva, Reconhecimento da Mulher na Ciência, Matemática.
INTRODUÇÃO
O ano de 2015 foi nomeado o ano internacional da Luz, tal fato comemora os 100 anos da criação da Teoria da Relatividade Restrita (TRR) e a publicação que rendeu a Albert Einstein o Nobel de Física pelo Efeito Fotoelétrico. Diante disso, faz-se uma pausa para falar de uma importante Matemática que teve contribuição na TRR.
Nesse contexto, ao longo da história da humanidade muitas mulheres destacaram-se pela sua contribuição na Ciência, ao passo que muitas foram ofuscadas pela sociedade patriarcal que não reconheci que a mulher poderia ser cientista. O texto que segue é mais uma dessas histórias. Dessa vez com um dos cientistas mais famosos do Século XX. A exemplo disso temos a autora aqui estudada.
[...] Sobre a quase ausência de mulheres na História da Ciência, não deixa de ser significativo que, ainda que na primeira década do século XX, a Ciência estava culturalmente definida como uma carreira imprópria para a mulher, da mesma maneira que, ainda na segunda metade do século XX, se dizia quais eram as profissões de homens e quais as de mulheres [...] (CHASSOT, 2004, p.13).
24 Quem escreveu a Teoria da Relatividade Restrita, ou melhor quem resolveu os cálculos mais difíceis da famosa teoria? Albert Einstein ou Mileva Maric?
Mileva Maric nasceu na cidade de Titel-Suíça em 19 de dezembro de 1875, e quando Jovem demonstrou habilidade para Matemática, Línguas, Pintura e Música (FÍSICA, 2014).
Em 1896 entrou na universidade de Zurique para estudar medicina, e na época era a quinta mulher a entrar para essa área, isso porque a maioria das mulheres na Europa Ocidental não podiam frequentar as escolas e muito menos uma Universidade. Um ano depois decidiu que queria estudar física e matemática, e se matriculou na Escola Politécnica de Zurique (ETH) e foi nesse lugar que conheceu Albert Einstein. (PBS ..., 2014).
Einstein nunca escondeu a paixão e admiração por Mileva. O romance entre os dois começou em 1896, renderam 54 cartas de amor, e o físico dizia para quem quisesse ouvir que o cérebro da sérvia o ajudava nos trabalhos. “Ela resolve todos
os meus problemas de matemática... Como sempre, eu Passei o dia todo trabalhando com ela” (NEURON ACTIVE, 2014) frase dita por Einstein deixando
evidente a contribuição de Mileva em seus trabalhos.
Diante de muitas especulações a respeito da ajuda de Mileva Maric na Teoria da Relatividade Especial e do fato de que por trás de todos os cálculos desenvolvidos por Einstein haveria a contribuição de sua esposa. Muitos foram os estudos supostos a respeito de que Mileva teria auxiliado Einstein sobre na Teoria que ficou como uma das mais conhecidas do século passado que revolucionou a historia da Física Moderna.
Nesse sentido, a presente estudo de caráter exploratório destaca o reconhecimento e a coautoria de Maric na teoria da Relatividade Restrita, e a sua marcante contribuição nas outras obras de seu até então esposo Albert Einstein. Metodologia
Nesta pesquisa utilizaram-se dados de uma pesquisa bibliográfica de cunho exploratório que totalizou a consulta em 20 obras, entre elas a biografia de Albert Einstein e de Mileva.
Nesse sentido, Lima (2007, p. 43) afirma que a:
[...] pesquisa bibliográfica como um procedimento metodológico importante na produção do conhecimento científico capaz de gerar, especialmente em temas pouco explorados, a postulação de hipóteses ou interpretações que servirão de ponto de partida para outras pesquisas [...].
Theodorson citado por Piovesan et al. (1995, p.319), fala da pesquisa exploratória:
[...] Um estudo preliminar do principal objetivo é tornar-se familiar com um fenômeno que é o de investigar, de modo que o maior estudo pode ser projetado com maior compreensão e precisão. O estudo exploratório (que pode usar qualquer um de uma variedade de técnicas, normalmente com uma pequena amostra) permite o investigador definir o seu problema de pesquisa e formular sua hipótese com mais precisão. Ele também permite escolher mais técnicas adequadas para a sua pesquisa e decidir sobre as questões que mais necessitam de ênfase e investigação detalhada, e pode alertá-lo a potenciais dificuldades, sensibilidades, e áreas de resistência[...].
Este estudo já foi apresentado através de um pôster no Seminário Nacional de Mulheres realizadas no mês de Outubro/2014 no CEST/UEA. Para sua elaboração fez-se reuniões, debates, e leituras para elaboração do texto com o consentimento da
25 equipe. O presente texto, agora ampliado está sendo proposto para a participação da I Semana de Álgebra do Centro de Estudos Superiores de Tefé.
DISCUSSÃO E RESULTADOS
Com as leituras das obras consultadas e contrariando muitos textos que mostram Mileva Maric como uma figura frágil e que fez pouco pela humanidade ou que não foi uma cientista famosa somente citada como a primeira mulher de Einstein, sendo reprovada nos exames para professora secundária, Mileva mostrou-se uma brilhante Matemática, enquanto Einstein ainda discutia com os Físicos a Geometria Euclidiana e a mecânica newtoniana, Mileva já estudava a geometria riemanniana, que reduz a euclidiana a um caso particular, já era uma realidade em textos, cursos e seminários, e a mecânica newtoniana acumulava inúmeras suspeitas (NASCIMENTO, 2015). Ao passo que a Teoria da Relatividade Restrita é composta por cálculos complicadíssimos e que necessitam de conhecimento de tais conceitos.
A famosa equação da TRR demonstra a importância da energia e da massa, relacionam e assim esta equação tornou-se uma das mais famosas da física moderna:
Onde: E= energia m=massa
c= velocidade da Luz no vácuo
A TRR é composta de cálculos muitos elaborados e Einstein deixou claro ao afirmar nas cartas à Mileva que esta foi o “nosso trabalho”. Percebeu-se nesse trabalho que Maric realizou boa parte dos cálculos matemáticos de Einstein, uma vez que a formação de Einstein foi em Física e de Mileva em Matemática. É inegável a genialidade de Einstein (uma mente jamais inquestionável), mas não pode-se negligenciar a existência de Mileva e a sua grande inteligência, tal fato foi comprovado no seu ingresso no mesmo Instituto que Einstein estudou e onde foi a primeira mulher a ingressar para estudar Matemática. Com isso, enfatiza-se que ela foi responsável por dá toda a forma matemática nos conceitos turbulentos que existia na cabeça de Albert Einstein que poucos são entendidos até os dias atuais.
Nesse sentido, Mileva Maric foi uma talentosa cientista, e igualmente produtiva como os cientistas da época, entretanto invisível no meio deles. Em reconhecimento Einstein doou todo o seu prêmio recebido com o Nobel para ela, e que muitos afirmação ser apenas uma clausula do contrato de divorcio dos dois. Tal fato demonstrou que Einstein reconhecia a contribuição de Mileva em sua obra e que a participação da mesma foi essencial, onde sua coautoria e contribuição foram reconhecidas na primeira publicação do trabalho. Contudo, após varias mudanças feitas por Einstein em suas publicações o nome de Mileva Maric foi retirado, tornando Einstein o único autor do trabalho (EDITORES BIOGRAPHY, 2014).
De tudo que foi exposto, ressalta-se a importância de Mileva Maric para a história das Mulheres na Ciência e a sua contribuição para Matemática e Física que perpetuam até os dias atuais, foi uma importante Matemática e o seu feito merece ser divulgado para conhecimento de toda sociedade cientifica e para os amantes de Física e Matemática.
26 Com a pesquisa percebeu-se que Mileva Mirac foi coautora da na Teoria da Relatividade Restrita, sendo uma das cientistas e mulher mesmo que invisibilizadas pela história (Machado, 2015), tendo grande colaboração na Ciência, contudo conclui-se que conclui-seu trabalho não foi “reconhecido” em conclui-seu tempo histórico, justamente pelo fato de ser mulher e de uma sociedade que não permitia a presença das mulheres na educação.
REFERÊNCIAS
CHASSOT, Attico. A Ciência é Masculina? É, sim senhora!...: Editora Unijuí. Jan./Dez. 2004, p.9-28.
EDITORES BIOGRAPHY. Mileva Maric Einstein-Biografia. Disponível em<www. Biography.com/peopl/mileva-einstein-maric-282676#divorceo> Acesso em: 28/09/14. FÍSICA. A primeira Esposa de Einstein. Disponível em <ww.fisica.net/einsteinjr/mileva.html. Acesso em:28/09/14.
LIMA, Telma Cristiane Sassso et al. Procedimentos metodológicos na construção do conhecimento científico: a pesquisa bibliográfica.Rev. Katál. Florianópolis, v. 10 n. esp. p. 37-45 2007.
MILEVA’s STORY- Vida de Casado (1903-1919), Disponível em:<http://www.pbs.org/opb/einsteinswife/milevastory>. Acesso: 28/09/14
NEURON ACTIVE. Elas fazem ciência: Mileva Maric e da teoria da relatividade. Disponível em: < http://activatuneurona.wordpress.com/tag/mileva-maric/>. Acesso em: 28 de setembro 2014.
PIOVESAN, Armando et al. Pesquisa exploratória: procedimento metodológico para o estudo de fatores humanos no campo da saúde pública. Rev. Saúde Pública.São Paulo,29 n. p.318-325.
SANTOS, C.A dos. Einstein e Mileva. Disponível em: http://www.if.ufrgs.br/einstein/mileva.html>. Acesso em: 28 de setembro 2014.
27
INTRODUÇÃO À TEORIA DAS PROBABILIDADES – DOS JOGOS AO
LABORATÓRIO: UMA ABORDAGEM MULTIDISCIPLINAR
Nayandra Carvalho da Silva
1, Danrley Rufino Anaqueri
2, Raimundo Medeiros
de Sousa
31,2
Estudantes do Curso de Licenciatura em Matemática do Centro de Estudos
Superiores de Tefé
[email protected]
3
Professor da Escola Estadual Dep. Armando de Souza Mendes
RESUMO
A pesquisa contribuiu compreensão dos discentes na introdução da Teoria das probabilidades, com a utilização de jogos de azar visando o conhecimento probabilístico, sendo possível quantificar e prever situações do dia a dia que podem ser aplicadas em diversas áreas do conhecimento. Por meio da revisão de literatura, um vídeo, uma aula sobre aplicação das probabilidades no cotidiano e uma oficina realizada na Universidade do Estado do Amazonas, no evento Workshop de Matemática, introduziu-se a Teoria das probabilidades para alunos da Escola Dep. Armando de Souza Mendes do Município de Tefé e acadêmicos do 4° período do curso de licenciatura em Matemática, através de jogos de azar. Com as atividades realizadas durante a oficina foi introduzido a Teoria das Probabilidades aliada aos jogos de azar, bem como, foi estabelecida uma relação entre o conhecimento probabilístico e a relação com o cotidiano dos alunos. Sendo que tal relação pode ser estabelecida entre a utilização de recursos didáticos que visem tornar as aulas de Matemática mais atraentes e produtivas. Diante disso, obteve-se assimilação do assunto, onde ressalta-se sua importância para vida escolar e acadêmica do estudante.
Palavras-chave: alunos. cotidiano. Matemática.
INTRODUÇÃO
Os estudos sobre probabilidade tiveram origem nos jogos de azar, sendo que mais tarde tiveram aplicações em outros campos, bem como, genética, medicina, economia, política entre outros âmbitos onde há necessidade de prever um evento de determinado fato (SILVA et al, 2005).
Segundo a literatura os estudos sobre probabilidade tiveram Blaise Pascal como pioneiro, tal fato aconteceu em uma viagem com um jogador de dados e o Matemático viu-se diante de um problema. Depois de estudá-lo, escreveu suas considerações a seu colega matemático francês Pierre de Fermat, com isso ambos elaboraram a partir do problema supracitado o que até hoje ficou conhecido como Teoria das probabilidades (SILVA et al, 2005).
Ao longo da história os jogos de azar tiveram contribuição para o surgimento do estudo dos possíveis eventos aleatórios onde os jogos de cartas, dados, roleta e baralho eram utilizados, sendo tais o principal motivo do estudo dos jogos de azar da probabilidade. Tal teoria permite cálculos de ocorrência de números de eventos aleatórios (SÓ MATEMÁTICA..., 2014).
Nesse sentido o ensino de probabilidade nas escolas vem sofrendo um déficit e torna-se necessário o uso de diversos recursos motivadores no ensino de Matemática, dentre os quais podem-se citar: jogos, material concreto, lúdico, a História da
28 Matemática, a Etnomatemática entre outros. Com isso torna-se desafiador tornar as aulas de matemáticas mais próximas dos demais componentes curriculares, onde as atividades ocorram de forma integrada e integrante, conduzindo os discentes a desenvolverem habilidades que garantam uma maior competência na realização de tarefas do cotidiano.
Se levarmos em consideração as mudanças que o mundo esta sofrendo, é indispensável o conhecimento probabilístico de ocorrência de acontecimentos para agilidade da tomada de decisões e fazer previsões. Com isso por meio da teoria das probabilidades é possível identificar os processos históricos da humanidade, percebendo os principais personagens da história da Matemática que contribuíram para a criação e desenvolvimento dessa Teoria, identificando seus elementos através de jogos de azar.
A partir disso a pesquisa contribuiu para o entendimento dos educandos em relação à Teoria das probabilidades, com a utilização de jogos de azar visando o conhecimento probabilístico por parte dos discentes, sendo possível quantificar e prever situações do dia a dia que podem ser aplicadas em diversas áreas do conhecimento.
METODOLOGIA
Por meio da revisão de literatura, um vídeo, uma aula sobre aplicação das probabilidades no cotidiano e uma oficina realizada na Universidade do Estado do Amazonas, no evento Workshop de Matemática, introduziu-se a Teoria das probabilidades para alunos da Escola Dep. Armando de Souza Mendes do Município de Tefé e acadêmicos do 4° período do curso de licenciatura em Matemática, através de jogos de azar.
A oficina aconteceu durante uma tarde, e inicialmente foi passado um vídeo sobre probabilidade Condicional e Conjunta, após foi realizada uma atividade que foi chamada de Jogo das Moedas onde participaram alunos da escola, sendo que o objetivo da mesma era fazer com que os alunos observassem os possíveis eventos que ocorriam ao lançar-se uma ou duas moedas.
A segunda atividade foi chamada de jogo dos dados e o objetivo da mesma era fazer com que os alunos observassem os eventos que ocorriam ao se lançar um ou dois dados, sendo que os participantes marcaram os possíveis eventos em uma tabela que foi distribuída aos mesmos.
A terceira atividade foi chamada de jogo do baralho e o objetivo da mesma era fazer com que os alunos observassem os possíveis eventos que ocorrem ao retirar aleatoriamente uma carta do baralho, observando que cada baralho possui 52 cartas e 4 naipes diferentes.
A partir disso foi utilizado como recurso um vídeo sobre o problema de Monte Hall, sendo este o encerramento das atividades e termino da oficina, com o vídeo os discentes e acadêmicos puderam observar os possíveis eventos que ocorrem se optassem por trocar de porta ou permanecer com a primeira porta escolhida e verificando se tem mais chances de ganharem um bom prêmio se trocassem ou não de porta.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Com as atividades realizadas durante a oficina foi introduzido a Teoria das Probabilidades aliada aos jogos de azar, bem como, foi estabelecida uma relação entre o conhecimento probabilístico e a relação com o cotidiano dos alunos. Sendo
29 que tal relação pode ser estabelecida entre a utilização de recursos didáticos que visem tornar as aulas de Matemática mais atraentes e produtivas.
Com a oficina pode-se perceber que as reflexões diante do tema foram assimiladas pelos que participaram da mesma, onde os jogos de azar serviram para que os mesmos tivessem a noção de como na história da Matemática surgiu à teoria das probabilidades através dos jogos, onde tais tiveram grande importância resultando na sua criação.
Diante disso, Lopes (2008) afirma que devemos considerar que o mundo sofre rápidas mudanças, e é imprescindível que o conhecimento probabilístico para que possamos agilizar e fazer previsões para agilizarmos ocorrência de acontecimentos.
O ensino da probabilidade ainda é utilizado por muitos educadores tradicionais como um ensino remoto, contudo a probabilidade vista de outro ângulo torna-se de grande importância para a sociedade dando suporte para eventuais situações que visam prever acontecimentos que podem interferir no cotidiano da mesma.
Dessa forma, Lopes (2008) defende que os conceitos probabilísticos e estatísticos podem e devem ser trabalhados desde o ensino fundamental, para que o discente tenha um entendimento mais amplo de problemas do dia a dia.
A partir disso, enfatiza-se o fato de que poucos são os recursos utilizados para tornar as aulas de matemáticas mais próximas da realidade deixando uma lacuna entre o conhecimento tradicional e o científico, deixando os discentes com déficit baixo e com que se tenha uma educação de má qualidade.
Com isso, e a partir da oficina os discentes e acadêmicos puderam ter a noção de probabilidade e como a mesma ser utilizado no dia a dia e surgiu com os jogos de azar, sendo que tais podem servir de recurso didático para tornar as aulas de matemática mais próxima da realidade.Nesse sentido, o aprendizado também se adquiriu ensinando a ensinar com prazer se torna uma arte.
Por fim, ao compreender os processos de construção das Teorias das Probabilidades, e desenvolverem as habilidades referentes seus cálculos, os estudantes quantificam e fazem previsões em situações aplicadas a diferentes áreas do conhecimento e à vida cotidiana que envolva o pensamento probabilístico.
CONCLUSÃO
O tema probabilidade ainda é tratado por muitos docentes como um assunto distante da sala de aula e pouco ouvi-se falar e existe uma dificuldade no ensino da mesma. Com a realização da oficina introduziu-se o assunto de maneira divertida através de jogos de azar.
Diante disso, pode-se obter assimilação do tema e motivação para a continuação do assunto por parte dos alunos.
Com isso, recomenda-se que mais pesquisas sejam realizadas, com novos jogos e maior enfoque no tema, uma vez que a Teoria das Probabilidades aproxima a matemática do cotidiano e percebe-se que os eventos do dia a dia, bem como, os naturais abrangem o tema.
REFERÊNCIAS
LOPES, Celi Espasandin. O Ensino da Estatística e da Probabilidade na Educação Básica e a Formação de Professores. Cad.Cedes.Campinas, n.74, p. 57-73, jan./abr. 2008.
SILVA, Claudio Xavier da Silva. FILHO, Benigno Barreto. Matemática aula por aula/ - 2.ed. renov. -São Paulo: FTD, 2005. (Coleção matemática aula por aula) p. 276-277.
SÓ MATEMÁTICA. Probabilidade. Disponível em:
30
ALGORITMO DE EUCLIDES
Carlos José Ferreira Soares
11 Professor do Colegiado de Matemática do Centro de Estudos Superiores de Tefé – CEST;
e-mail: [email protected]
RESUMO
O Algoritmo da Divisão é uma ferramenta matemática proposta por Euclides para auxiliar na resolução de problemas a partir da divisibilidade de números inteiros. Desta forma, este trabalho é fundamental para demonstrar a finalidade deste tema da divisibilidade no conjunto dos números inteiros, visto que visa resolver questões envolvendo números inteiros através do Algoritmo da Divisão de modo que proporcione estímulo para aprender o caminho da construção do conhecimento no mundo mágico da Teoria dos Números. É um conteúdo que deve ser ministrado mediante a exploração de diversas metodologias de ensino tais como aula expositiva explicativa, utilização de recursos tecnológico e aplicação de atividade lúdicas para dinamizar as aulas estimular eficazmente os educandos. O Algoritmo de Euclides é eficaz para determinar com coerência o máximo divisor comum (MDC) de dois números inteiros.
Palavras-chave: Números Inteiros; Divisibilidade; Algoritmo da Divisão;
INTRODUÇÃO
O desenvolvimento do processo ensino aprendizagem atualmente requer dos professores disciplina, dedicação e o hábito constante de pesquisa e planejamento pedagógico. O professor de matemática deve estar sempre em busca de dinamizar o ensino na sala de aula para quebrar o paradigma de que esta disciplina é o “bicho papão” das áreas do conhecimento e que apenas alguns tem o privilégio de compreendê-la. Desta forma, a divisibilidade no conjunto dos números inteiros precisa ser explorada de diversas maneira para oferecer aos alunos recursos adequados de entendimento eficaz, proporcionando motivação e satisfação plena com a assimilação coerente.
Ao planejar uma aula a partir de um conteúdo matemático, qualquer professor tem o objetivo pleno voltado à compreensão e aplicação do que foi aprendido pelo aluno, no seu cotidiano, mediante a resolução de problemas no processo permanente de interação social. Desta forma, a divisão no conjunto dos números inteiros deve ser explorada através de diversas ferramentas de resolução integrada sistematicamente com o desenvolvimento cognitivo do aluno e seu contexto social.
A divisão é o ato de repartir em várias partes iguais e matematicamente este processo pode ser efetuado de diversas maneiras. A divisibilidade são regras matemáticas para verificar se um determinado algarismo é divisível por outro, facilitando o processo de resolução de vários problemas envolvendo a divisão de
31 números inteiros (números positivos e negativos), isto é, o conjunto dos números inteiros são todos os algarismos do conjunto dos números naturais mais todos os opostos.
Desta forma, o objeto de estudo deste trabalho é demonstração da solução de problemas envolvendo a divisibilidade no conjunto dos números inteiros através de uma ferramenta desenvolvida por Euclides de Alexandria (360 a.C – 295 a.C) chamada de Algoritmo de Euclides ou Algoritmo da Divisão. Além disso, este recurso metodológico é eficaz para encontrar o Máximo Divisor Comum (MDC) entre dois números inteiros.
Portanto, este trabalho de cunho científico tem como objetivo demonstrar a divisibilidade no conjunto dos números inteiros, utilizando o Algoritmo da Divisão para resolver problemas de forma dinâmica e eficaz, contribuindo significativamente a compreensão e fundamentação deste tema matemático.
ALGORITMO DE EUCLIDES
A divisibilidade é um processo matemático de verificar se um algarismo é divido por outro e também encontrar a quantidade de divisores de um número. Desta forma, Bosquilha (2003, p.41) afirma que “...para determinarmos o conjunto dos divisores de um número qualquer, devemos efetuar a divisão dele por todos os números de 1 até ele e reunir aqueles cuja divisão for exata”.
Para tratarmos a divisibilidade no conjunto dos números inteiros, é importante fazermos uma reflexão acerca das propriedades dos números inteiros. Os números naturais denominados de N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} é indiscutivelmente o berço de diversos problemas dos povos da antiguidade. Se tratando da divisão neste âmbito considera-se que:
Dados dos números naturais denominados de a e b (sendo b zero), a divisão entre eles resulta em q e nem sempre q é um número natural. Desta forma, q é um número natural, se e somente se, o resto da divisão entre a e b for igual a zero.
Os números inteiros foram desenvolvidos a partir do conjunto dos números naturais, onde sua definição e formação são fundamentadas nos números positivos e negativos relacionados abaixo:
Z = {...,-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ...}
O conjunto dos números inteiros caracterizado por Z contém os elementos de
N, o zero e todos os inteiros negativos.
Definimos a divisão de números inteiros destacando que dados a e b
Z, dizemos que a é dividido por b e escrevemosb
a
, quando existir q
Z, tal que a = b.q. Ao número q daremos o nome de quociente de a e b.Exemplo: dividir os números inteiros 32 e 8, onde o primeiro é o dividendo e o segundo o divisor. 32 -32 8 4 (00) a = 32 b = 8 q = 4
Pela definição temos que a = b.q
32
8
.
4
. Esta divisão é chamada de exata porque o resto que representaremos por r é igual a zero.32 O quociente da divisão de dois números inteiros, dividendo e divisor, nem sempre é um número inteiro. Desta forma, se a é o dividendo, b é o divisor e q é o quociente, a divisão não é exata, pois o resto r0.
Exemplo: 30 -28 4 7 (02)
Como r0 o resultado desta divisão não é um número inteiro, já que
7
,
5
4
30
Então, como consequência da definição temosa
b
.
q
r
.Algoritmo é um processo de cálculo pautados em regras sistemáticas. Euclides de Alexandria foi um grande matemático grego que contribui significativa ao desenvolvimento do conhecimento matemático, produziu imensamente no campo da Geometria a partir da sistematização de todo conhecimento acumulado até o momento e produção de novos teoremas que foi registrado na sua obra prima chamada de “Os Elementos”. No entanto, destacaremos neste trabalho com ênfase não sua contribuição geométrica, mas a divisibilidade no conjunto dos números inteiros denominado de Algoritmo de Euclides que é uma ferramenta muito eficaz para calcular o máximo divisor comum entre dois números.
Definição: o MDC de entre a e b é o número d quando: d é divisor de a e de b. Como consequência temos que MDC (a, b) = d. Se o Máximo Divisor Comum entre a e b é igual a 1, definimos que eles são primos entre si.
Exemplos:
1. Determinar o máximo divisor comum de 2468 e 108, mdc (2468, 108).
Dividendo Divisor Resto Quociente
2468 108 92 22 108 92 16 1 92 16 12 5 16 12 4 1 12 4 0 3
O máximo divisor comum de 2468 e 108 é 4, isto é, mdc entre dois números conforme a resolução efetuada no quadro acima é o último resto diferente de zero. 2. Determinar o máximo divisor comum de 150 e 135, mdc (150, 135).
Dividendo Divisor Resto Quociente
150 135 15 1
135 15 0 9
O mdc (150, 135) = 15
33
Dividendo Divisor Resto Quociente
127 83 44 1 83 44 39 1 44 39 5 1 39 5 4 7 5 4 1 1 4 1 0 4
O máximo divisor comum entre 127 e 83 é igual a 1 porque eles são números primos entre si.
CONCLUSÃO
O presente trabalho de cunho científico é uma exposição objetiva pautada em conceitos, demonstrações e exemplificações de fácil compreensão sobre o desenvolvimento do cálculo do máximo divisor comum de dois números inteiros.
O ensino de matemática é um processo em constante aperfeiçoamento em prol da minimização das dificuldades de aprendizagem que os alunos da educação básica apresentam nesta disciplina. A pesquisa sistemática é o berço eficaz ao desenvolvimento de ferramentas pedagógicas de resolução de problemas matemáticos como o Algoritmo de Euclides.
Portanto, este trabalho é uma reflexão ao processo algébrico da divisibilidade no conjunto dos números inteiros através do Algoritmo de Euclides como uma ferramenta matemática prática, que é um auxílio para professores e alunos na resolução de problemas.
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HEFEZ, Abramo. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005
34
A APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NAS SÉRIES FINAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Carlos José Ferreira Soares
11 Professor do Colegiado de Matemática do Centro de Estudos Superiores de Tefé – CEST;
e-mail: [email protected]
RESUMO
A aprendizagem de matemática no ensino fundamental do 6º ao 9º vem sendo pesquisada com um olhar mais minucioso acerca dos fatores positivos e negativos desta dimensão da educação. Esta pesquisa está pautada nos objetivos: analisar minuciosamente o desenvolvimento do ensino de matemática no ensino fundamental; identificar as principais dificuldades de aprendizagem dos alunos do 6º ao 9º ano referente ao ensino de matemática; destacar as principais metodologias de ensino utilizadas pelos professores que atuam nesta área da educação básica. Este trabalho foi produzido a partir do método de abordagem dedutivo com caráter qualitativo e o método de procedimento de análise histórica. A pesquisa revela as técnicas de ensino utilizadas pelos professores que atuam na escola pesquisa, destacando o desenvolvimento do processo ensino aprendizagem. Deste modo é um trabalho fundamental para aprofundamento do tema na dimensão matemática.
Palavras-chaves: aprendizagem; ensino; aprendizagem de matemática.
INTRODUÇÃO
A aprendizagem de matemática é um tema bastante relevante devido sua importância ao pleno desenvolvimento de um ensino matemático com qualidade, que ofereça ao educando conhecimentos científicos eficazes à solução coerente de problemas matemáticos solicitados no cotidiano.
Segundo D’Ambrósio (1986) a matemática é um conhecimento que tem sua origem e desenvolvimento na Europa, principalmente com contribuições das civilizações indiana e islâmica, que chegou à forma atual, por volta dos Séculos XVI e XVII, e foi levada e imposta ao mundo desde o período colonial. Esta Matemática é o discurso dominante e sua universalização é um exemplo do processo de globalização que ocorre também nas outras atividades e áreas de conhecimento.
Uma pesquisa com caráter científico neste âmbito de aprendizagem matemática é de suma importância ao conhecimento real do desenrolar do ensino da matemática no ensino fundamental do 6º ao 9º. Neste sentido, este trabalho aborda como o ensino é transmitido, destacando as técnicas de ensino aplicadas, os resultados obtidos e principalmente servirá como fonte de pesquisa para educadores que atuam na área.
Para Gonçalves o desenvolvimento eficaz do processo ensino aprendizagem de matemática “...o importante é que os futuros professores de matemática possibilitem aos seus alunos oportunidades de aprender e de pensar criativamente, de posicionar-se criticamente aos problemas do dia-dia, buscando e discutindo soluções, tomando decisões e construindo a sua cidadania (GONÇALVES, 2000, P. 43).
Objetivo geral deste trabalho é analisar minuciosamente o desenvolvimento da aprendizagem de matemática no ensino fundamental. E os objetivos específicos são:
