BC 1519
Circuitos Elétricos
e Fotônica
Circuitos em Corrente Alternada (CA)
Cálculos de tensão e corrente
em regime permanente senoidal
(RPS)
Conceitos de fasor e valor eficaz
Conceito de Impedância
Tensão senoidal
[V]
)
(
sen
)
(
t
V
t
v
=
mω
) (1/ frequência sucessivas repetições entre tempo de (intervalo período ) 2 / ( angular e velocidad zero; ao relação em máximo (valor pico de valor T f T f t Vm = = = = = π α ωGeração de tensão senoidal
)
(t
v
mV
espira Anéis deslizantes circuito externo escovas rotor externoA
B
=
φ
)
cos(
t
S
B
N
N
Nφ
ω
φ
=
=
t
ω
α
=
dt
d
t
v
m
e
f
.
.
.
=
(
)
=
−
φ
[
]
dt
t
S
B
N
d
t
v
(
)
=
−
cos(
ω
)
)
(
sen
)
(
t
N
B
S
t
v
=
ω
ω
[V]
)
(
sen
)
(
t
V
t
v
=
ω
B
ω
)
(t
v
Tensão senoidal e defasagem
)
(t
v
Se a forma de onda for deslocada para a esquerda ou para a direita, a expressão geral passa a ser:
[V]
)
(
sen
)
(
t
=
V
ω
t
±
θ
v
mθ Positivo = adiantada (deslocamento para a esquerda)
θ Negativo = atrasada (deslocamento para a direita)
Valor eficaz (ou valor rms*)
(*Obs.: Do inglês root mean square)
Definição: O valor eficaz (V
ef), ou valor rms (V
rms),
de uma tensão (ou corrente) variável no tempo é
igual ao valor constante de tensão (ou corrente)
que, aplicada num resistor, resulta na mesma
potência
dissipada
no
resistor
que
aquela
resultante da tensão variável, no mesmo intervalo
de tempo.
Valor eficaz - sinal senoidal
)
(
sen
)
(
sen
)
(
sen
)
(
)
(
)
(
2 2 máx máx máxt
R
V
t
R
V
t
V
t
i
t
v
t
p
=
=
ω
ω
=
ω
R
V
dt
t
R
V
dt
t
p
T
P
T T2
)
(
sen
)
(
1
máx2 2 máx2 média=
∫
=
∫
ω
=
eq.(I)
R
água x [°C]i
(t)
v
(t)
(vazão de entrada) (vazão de saída) +Valor eficaz
R
E
R
E
E
EI
P
2
média
=
=
=
eq.(II)
I
E
R
água x [°C] (vazão de entrada) (vazão de saída) +Valor eficaz – sinal senoidal
R
E
R
V
máx
2
2
2
=
V
máx=
E
2
≅
1
,
414
E
[V]
[V]
)
377
(
sen
56
,
155
)
60
2
(
sen
2
110
)
2
(
sen
2
)
(
sen
)
(
máxt
t
t
f
V
t
V
t
v
ef≅
×
=
=
=
=
π
π
ω
Ex: A tensão da rede 110 V
ef/ 60 Hz.
Igualando-se as equações (I) e (II):
Valor eficaz – sinal senoidal
[V]
)
377
(
sen
56
,
155
)
(
t
t
v
≅
110 V
ef/60 Hz
155,56
-155,56
110 V
ms
67
,
16
1
≅
=
→
f
T
T
ω
≅ 311 V
T
Valor eficaz – sinal senoidal AC + DC
2
2
ef
DC
ACef
V
=
V
+
V
As ondas senoidais podem ser 'misturadas' com sinais C.C. ou com
outros sinais senoidais e, com isso, produzir novas formas de ondas.
Valor eficaz de sinal qualquer
[
]
2 01
( )
T ef rmsV
V
v t
dt
T
=
=
∫
[
]
2 2 0( )
T efV
v t
T
dt
R
⋅
=
∫
R
Como se calcula a soma algébrica
de duas ou mais tensões (ou
Números Complexos
Z
a
b
Re
Im
θ
Z
θ
∠
= Z
Z
jb
a
Z
=
+
forma polar
forma retangular
(plano de Argand-Gauss)
Representado por um ponto (forma retangular) ou um raio vetor (polar) a partir da origem. Eixo horizontal é o real, enquanto o vertical é o imaginário.
Números Complexos
Z
a
b
Re
Im
θ
Z
2 2b
a
Z
=
+
=
a
b
arctg
θ
conversão retangular-polar
conversão polar-retangular
)
cos(
θ
Z
a
=
)
(
sen
θ
Z
b
=
(
1 2 1 2)
(
1 2 1 2)
2 1.
Z
a
.
a
b
.
b
j
b
.
a
a
.
b
Z
=
−
+
+
j y
x
z1 + z2 z2 z1Soma e Subtração
→
→
→
→
Forma Retangular ou Cartesiana
z
1= a
1+ j b
1z
2= a
2+ j b
2z
1±
±
±
± z
2= ( a
1± a
±
±
±
2) + j ( b
1±
± b
±
±
2)
Multiplicação e Divisão
→
→
→
→
Forma retangular ou Forma Polar
2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1
.
.
.
.
b
a
b
a
b
a
j
b
a
b
b
a
a
Z
Z
+
−
+
+
+
=
(
1 2)
2 1 2 1.
Z
⇔
Z
.
Z
∠
θ
+
θ
Z
(
1 2)
2 1 2 1θ
θ
−
∠
⇔
Z
Z
Z
Z
Conceito de Fasor
Fasor:
Contém informações sobre a amplitude e
defasagem de uma função co-senoidal –
)
(
sen
)
cos(
θ
θ
θj
e
± j=
±
Identidade de Euler:
relaciona a função exponencial com a função trigonométrica
Operador Parte Real, Re{ }
Operador Parte Imaginária, Im{ }
{
j}
cos( )
Re e
± θ=
θ
{
j}
sen
( )
Im e
± θ= ±
θ
Números Complexos
Uma função cossenoidal pode ser escrita na forma complexa utilizando fórmulas de Euler.
Números Complexos especiais
e
jφ
φ
φ
φ
= 1
e
±
± j π
±
±
π
π
π
= 1 ±
±
± π
±
π
π = – 1
π
e
±
± j π
±
±
π
π/2
π
= 1 ±
± π
±
±
π
π
π/2 = ±
±
±
± j 1
-1= e -j180 = e j180 1 = e j0 Im Re ejΦ sen(Φ) 1 cos(Φ) Φ j = e j90j
j
=
1
−
expressão
temporal
expressão
fasorial
.
Representação Fasorial
^ ^{
ˆ
}
( )
Re
.
j ti t
=
I e
ωImpedância (Z)
I
Z
V
ˆ =
.
ˆ
-Razão entre o fasor de tensão e o fasor de corrente de um elemento do circuito; - Unidade: ohm;
Impedância: Resistor
R
(ideal)
v
(t)
i
(t)
e
s
(t)
+( )
máxcos(
)
[V]
v t
=
V
ω
t
+
φ
V
ˆ
=
V
máx∠
φ
[V]
R
t
v
t
i
(
)
=
(
)
ˆ
ˆ
ˆ
máx RV
V
R
R
R
Z
φ
φ
∠
=
máx∠ =
=
V
=
V
I
( )
V
máxcos(
)
i t
t
R
ω
φ
=
+
[A]
v(t) i(t) -180o 0o 180o 360o 540o Vmáx -Vmáx Imáx -Imáx 0
Tensão vs. Corrente no Resistor
]
[
0 Ω
°
∠
= R
Z
R]
[
Ω
= R
Z
Rforma polar
forma retangular
ϕ
= 0°
Impedância: Indutor
L
(ideal)
v
(t)
i
(t)
e
s
(t)
+dt
t
di
L
t
v
(
)
=
(
)
( )
máxcos(
)
[V]
v t
=
V
ω
t
+
φ
ˆ
máxV
φ
=
∠
V
[V]
∫
=
v
t
dt
L
t
i
(
)
1
(
)
( )
V
cos(
)
i t
t
dt
L
ω
φ
=
máx∫
+
Impedância Indutiva, Z
L
( )
máxcos(
)
[V]
v t
=
V
ω
t
+
φ
[
]
( )
V
máxcos(
)
V
máx(
)
i t
t
dt
sen
t
L
ω
φ
ω
L
ω
φ
=
∫
+
=
+
( )
V
máxcos(
90 )
i t
t
L
ω
φ
ω
=
+ −
°
90ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
.
o.(
)
j LV
V
V
V
I
e
j
L
L
j L
Z
ω
ω
ω
−=
=
−
=
=
Reatância Indutiva X
L
L
(ideal)
v
(t)
i
(t)
e
s
(t)
+ maxˆ
ˆ
ˆ
ˆ
90
o L L LV
V
V
Z
j L
ω
jX
X
φ
=
V
=
=
=
∠ −
I
( )
máxcos(
)
[V]
v t
=
V
ω
t
+
φ
ˆ
máxV
φ
=
∠
V
[V]
LX
=
ω
L
X
L=reatância indutiva [Ω
Ω
Ω]
Ω
Tensão vs. Corrente no Indutor
v(t) i(t) -180o 0o 180o 360o 540o Vmáx -Vmáx Imáx -Imáx 0forma polar
forma retangular
]
[
90 Ω
°
∠
=
L LX
Z
]
[
Ω
=
L LjX
Z
ϕ
= -90°
LX
=
ω
L
Impedância: Capacitor
dt
t
dV
C
t
i
(
)
=
(
)
C
(ideal)
v
(t)
i
(t)
e
s
(t)
+( )
máxcos(
)
[V]
v t
=
V
ω
t
+
φ
ˆ
máxV
φ
=
∠
V
[V]
[
cos(
)
]
( )
d V
máxt
máx(
)
i t
C
CV
sen
t
dt
ω
φ
ω
ω
φ
+
=
= −
+
Impedância Capacitiva, Z
C
( )
máxcos(
)
[V]
v t
=
V
ω
t
+
φ
( )
(
)
cos(
90 )
1
o máx máxV
i t
CV
sen
t
t
C
ω
ω
φ
ω
φ
ω
= −
+
=
+ +
90
ˆ
ˆ
ˆ
.
oˆ
j
C
V
I
CV e
j CV
Z
ω
ω
=
=
=
Reatância Capacitiva, X
C
C
(ideal)
v
(t)
i
(t)
e
s
(t)
+( )
máxcos(
)
[V]
v t
=
V
ω
t
+
φ
V
ˆ
=
V
máx∠
φ
[V]
maxˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
90
1
o C C CV
V
V
Z
jX
X
j C
φ
ω
=
=
=
=
∠ +
−
V
I
1
CX
C
ω
=
X
C=reatância capacitiva [Ω
Ω
Ω]
Ω
Tensão vs. Corrente no Capacitor
v(t) i(t) -180o 0o 180o 360o 540o Vmáx -Vmáx Imáx -Imáx 0forma polar
forma retangular
]
[
Ω
−
=
C CjX
Z
]
[
90 Ω
°
−
∠
=
C CX
Z
ϕ
= 90°
1
CX
C
ω
=
) . cos( ) ( ) ( = = ⋅ ωt +θ R Vm R t v t i ) 2 . cos( ) (t = ω⋅C⋅Vm⋅ ωt +θ + π i ) 2 . cos( . 1 ) ( ω θ π ω ⋅ ⋅ + + − = Vm t L t i
• Em uma rede linear e a parâmetros constantes, com todas as
correntes e tensões senoidais e de mesma frequência (mantendo a mesma relação de fase), tem-se o regime permanente senoidal
RPS.
)
cos(
.
)
(
t
=
A
wt
+
θ
s
mExemplo 1
Dado o sinal s(t)= 5sen (4πt-60º), pede-se:
a) Coloque a expressão do sinal na forma padronizada em cosseno.
b) Determine a amplitude, fase, frequência, frequência angular e período. c) Determine o fasor associado a este sinal.
a) s(t)=5cos(4πt-150º);
b) ampl.=5; fase=-150º; f=2Hz; ω=4πrad/s; T=0,5s; c)
ˆ
5
150
oExemplo 2
Sejam as correntes dadas por: e Pede-se:
a) Determine os fasores e
b) Esboce o diagrama de fasores das duas correntes.
c) Qual é a defasagem entre i1 e i2 ? Qual corrente está adiantada? d) Quais os valores eficazes das correntes i1 e i2 ?
e) Utilize a 1ª. Lei de Kirchhoff fasorial e determine a expressão da corrente i3(t) da figura. 1
4 sin(377
25 ) [A,s]
oi
= −
t
+
i
2=
5 cos(377
t
−
40 ) [A,s]
o 1ˆ
I
I
ˆ
2 i1 (t) i2 (t) i3 (t) Resp.:155º; i1 adiantada; I1ef= 2,83A; I2ef= 3,54A
0 1 ˆ 4 115 I = ∠ A Iˆ2 = ∠ −5 400 A 1 ˆ I 2 ˆ I
Exemplo 3
Resolva as seguintes operações com números complexos: a) b) c)
]
60
5
j4)
1
j2)(
[(5
+
−
+
−
∠
o o o10 j5 3 40
10 30
3 j4
+
+ ∠
+
∠
− +
5 90 +
∠
oe
jπ Resp.: a) 20,7∠ 138,6º; b) 8,6 ∠ 14,9º; c) 5,1∠ 101,3o]
60
5
j4)
1
j2)(
[(5
+
−
+
−
∠
o 2 2b
a
Z
=
+
=
a
b
arctg
θ
conversão retangular-polar
conversão polar-retangular
)
cos(
θ
Z
a
=
)
(
sen
θ
Z
b
=
2ºQj4,3]
5
,
2
76
,1
4
.
21,8
,4
5
[
∠
°
∠
−
°
−
−
j4,3]
5
,
2
180
76
,1
4
.
21,8
,4
5
[
∠
°
∠
−
°
+
°
−
−
j4,3]
5
,
2
104
,1
4
.
21,8
,4
5
[
∠
°
∠
°
−
−
j4,3]
5
,
2
,8
25
1
2,1
2
[
∠
°
−
−
j4,3]
5
,
2
17,9
13
[
−
+
j
−
−
]
6
,
3
1
15,5
[
−
+
j
°
∠ 8,7
1
3
0,6
2
o o
10 j5 3 40
10 30
3 j4
+
+ ∠
+
∠
− +
5
7
,
8
,9
26
1
5
9
,
1
3
,
2
j5
10
j
j
+
+
°
∠
+
+
+
5
7
,
8
,9
26
1
5
j6,9
12,3
j
+
+
°
∠
+
5
7
,
8
,9
26
1
5
,3
29
1
,
14
j
+
+
°
∠
°
∠
5
7
,
8
,6
97
82
,
2
∠
−
°
+
+
j
5
7
,
8
8
,
2
37
,
0
−
j
+
+
j
−
2
,
2
3
,
8
+
j
°
∠
14
,
9
6
,
8
5 90 +
∠
oe
jπ1
5
5
90−
+
°j
e
e
j jπ°
∠
101
,
3
1
,
5
Exemplo 4
Uma tensão v(t) = 6cos(100t – 30o) [V,s] é aplicada a um capacitor de 50 µF.
Calcule a corrente i(t) através do capacitor.
v(t) = 6cos(100t – 30o) [V,s]
⇒
6
∠
−
30
°
6 9010
.
50
.
100
.
1
30
6
1
30
6
ˆ
ˆ
− °°
−
∠
=
°
−
∠
=
=
j Ce
C
j
Z
V
I
ω
]
,
[
.
10
.
30
.
.
200
6
.
200
.
6
30 90 3 60 90 30s
A
e
e
e
e
e
j j j j j ° − ° ° − ° − ° −=
=
=
0
( )
30 cos(100
60 )
i t
=
t
+
[A, s]
Exemplo 5
Utilize fasores para determinar a tensão v(t) e a corrente i(t) no circuito abaixo.
)
10
cos(
5
t
v
s=
Resp.: [V,s] 0 ( ) 1,12 cos(10 26, 6 ) i t = t − 0 ( ) 2, 24 cos(10 63, 4 ) v t = t +°
∠
°
∠
=
+
°
∠
=
+
°
∠
=
+
°
∠
=
=
6
,
26
47
,
4
0
5
2
4
0
5
4
0
5
0
5
ˆ
ˆ
j
L
j
Z
Z
Z
V
I
L R sω
(
10
26
,
6
)
[
,
]
cos
12
,
1
)
(
6
,
26
12
,
1
∠
−
°
A
∴
i
t
=
t
−
°
A
s
=
° − °=
°
−
∠
=
=
=
ˆ
.
ˆ
2
.
1
,
12
26
,
6
2
.
1
,
12
.
90.
26,6ˆ
j j L LZ
I
j
e
e
V
V
(
t
)
[
V
s
]
t
v
V
e
j(
)
2
,
24
cos
10
63
,
43
,
.
24
,
2
63,43∴
=
+
°
=
°Exemplo 6
Calcule as correntes no circuito em RPS abaixo e
esboce o
diagrama fasorial das correntes.
R
I&
I&
LI&
3,33 Ω
j
2,5 Ω
+V
1
,
53
20
∠
°
=
E&
Resp.:IˆR = ∠6 53,10 A ˆ 8 36, 90 L I = ∠ − A° °
°
∠
=
°
∠
°
∠
=
+
°
∠
=
+
=
=
15 , 37 90.
16
,
4
.
33
,
8
1
,
53
20
15
,
37
16
,
4
33
,
8
1
,
53
20
5
,
2
33
,
3
5
,
2
.
33
,
3
1
,
53
20
.
ˆ
ˆ
ˆ
j j L R L Re
e
j
j
j
Z
Z
Z
Z
E
Z
E
I
A
I
=
∠
°
⇒
°
∠
°
∠
=
ˆ
10
0
,
25
85
,
52
2
1
,
53
20
A
Z
E
I
R R=
∠
°
°
∠
=
=
6
53
,
1
33
,
3
1
,
53
20
ˆ
ˆ
A
I
e
e
j
Z
E
I
j L j L L=
⇒
=
∠
−
°
°
∠
=
=
° °9
,
36
8
ˆ
.
5
,
2
.
20
5
,
2
1
,
53
20
ˆ
ˆ
90 1 , 53Exemplo 7
Calcule as correntes nos ramos e a corrente total no circuito em
RPS abaixo, sendo:
( )
169, 71sen(377 ) [V,s]
v t
=
t
)
(
1t
i
)
(
3t
i
)
(t
i
)
(
2t
i
10 Ω
8 Ω
3 Ω
+)
(t
v
294,72 µF
7,95 mH
10,61 mH
(
377
90
)
[
,
]
cos
97
,
16
)
(
90
97
,
16
10
90
71
,
169
ˆ
ˆ
1 10 1A
i
t
t
A
s
Z
V
I
R°
−
=
∴
°
−
∠
=
°
−
∠
=
=
Ω°
∠
°
−
∠
=
+
°
−
∠
=
+
°
−
∠
=
+
=
− Ω5
53
,
13
90
71
,
169
4
3
90
71
,
169
10
.
61
,
10
.
377
.
3
90
71
,
169
ˆ
ˆ
3 61 , 10 3 2j
j
Z
Z
V
I
mH L R(
377
143
)
[
,
]
cos
94
,
33
)
(
13
,
143
94
,
33
∠
−
°
A
∴
i
2t
=
t
−
°
A
s
=
9 3 8 90 71 , 169 10 . 72 , 294 . 377 1 10 . 95 , 7 . 377 . 8 90 71 , 169 ˆ ˆ 6 3 95 , 7 8 3 j j j j Z Z Z V I C mH L R + − ° − ∠ = + + ° − ∠ = + + = − − Ω A j ∠− ° = ∠− ° ° − ∠ = − ° − ∠ = 16,97 53,1 9 , 36 10 90 71 , 169 6 8 90 71 , 169(
377
53
,
1
)
[
,
]
cos
97
,
16
)
(
3t
t
A
s
i
=
−
°
∴
3 2 1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
I
I
I
I
=
+
+
°
−
∠
+
°
−
∠
+
°
−
∠
=
16
,
97
90
33
,
94
143
,
13
16
,
97
53
,
1
ˆI
57
,
13
19
,
10
28
,
20
21
,
27
97
,
16
0
ˆ
j
j
j
I
=
−
−
−
+
−
82
,
50
02
,
17
ˆ
j
I
=
−
−
30 Q°
∠
=
°
+
°
∠
=
∴
°
∠
=
53
,
65
71
,
29
ˆ
53
,
65
71
,
29
180
53
,
65
251
,
29
ˆ
I
I
(
377
251
,
29
)
[
,
]
cos
65
,
53
)
(
t
t
A
s
i
=
+
°
∴
Exemplo 7 (continuação) 0 90 180 270 360 450 540 630 720 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60
ω
t
[graus]i
(t)
[A]i
1(t)
i
2(t)
i
3(t)
Exemplo 7 (continuação) 0 90 180 270 360 450 540 630 720 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
v
(t)
[V]i
(t)
[A]Exemplo 8
