Transporte de partículas em sistemas mesoscópicos

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Transporte de partí ulas em sistemas

mesos ópi os

✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿

Petru io

✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿

Barrozo

✿✿✿✿✿✿

da

✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿

Silva

Orientador: José Soaresde AndradeJúnior

Co-orientador: André Auto Moreira

Transporte de partí ulas em sistemas

mesos ópi os

Tese submetida à Coordenação do Curso de

Pós-Graduação em Físi a, da Universidade

FederaldoCeará, omorequisitopar ialpara

aobtenção do grau de Doutor emFísi a

Orientador:

José Soares Andrade Júnior

Co-orientador:

André Auto Moreira

universidade federal do eara - Departamento de Físi a

Fortaleza

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação

Universidade Federal do Ceará

Biblioteca Universitária

Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

S582t

Silva, Petrucio Barrozo da.

Transporte de partículas em sistemas mesoscópicos / Petrucio Barrozo da Silva. – 2009.

140 f. : il. color.

Tese (doutorado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Programa de Pós-Graduação em

Física , Fortaleza, 2009.

Orientação: Prof. Dr. José Soares Andrade Júnior.

Coorientação: Prof. Dr. André Auto Moreira.

1. Sistemas dinâmicos. 2. Vórtices. 3. Colóides. 4. Pedestres. 5. Dinâmica molecular. I. Título.

CDD 530

Transporte de partí ulas em sistemas

mesos ópi os

Tese submetida à Coordenação do Curso de

Pós-Graduação em Físi a, da Universidade

FederaldoCeará, omorequisitopar ialpara

aobtenção do grau de Doutor em Físi a

Aprovada em25 de março de 2009

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. José Soares de Andrade Júnior (Orientador)

Universidade Federaldo Ceará

Prof. Dr. André Auto Moreira

Universidade Federaldo Ceará

Prof. Dr. José Albino Oliveira de Aguiar

Universidade Federal de Pernambu o

Prof. Dr. Gilde Aquino Farias

Universidade Federaldo Ceará

Prof. Dr. Roberto Fernandes SilvaAndrade

Ao meu orientador Prof. José Soares, pela orientação e dedi ação fundamentais

para arealização deste trabalho.

Ao Prof. André Moreirapela o-orientação.

Ao Prof. Hans Herrmannpelosuporte durante aminha estadiano ETH Züri h.

Ao Prof. J. Albino Aguiar pela amizade, ompreensãoe ensinamentos.

AosamigoseprofessoresCle ioClemente, ErivaldoMontarroyoseLeonardoCabral.

Ao Prof. As ânio etodos osProf. do Departamento de Físi a daUFC que

olabo-raramdireta ouindiretamentepara o desenvolvimento deste trabalho.

Aos amigosdo grupo de uido dinâmi adaUFC.

Aos amigos do ETH Züri h, pelo apoio e suporte dado durante minha estadia na

Suíça.

Ao Prof. Jasom Gallas, Prof. Eudenilson e ao Prof. Roberto Andrade pela

om-panhiadurante asrefeições noETH Züri h.

Atodos osintegrantes do Departamento de Físi a daUFC.

À minha esposa, Adna, pela ompanhia e ompreensão fundamental para o

desen-volvimentodeste trabalho.

Aos meus pais Elzanirae Valter.

Neste trabalho, estudamos as propriedades do transporte de partí ulas em sistemas

mesos ópi os. Na primeira parte, usamos o modelo proposto anteriormente por Zapperi

et al. (Phys. Rev. Lett. 86, 3622 (2001)) para des rever o transporte de partí ulas

superamorte idaseinteragentes noestadoesta ionário,napresençade umobstá ulopara

o uxo, e onnadas em um anal om largura da ordem do omprimento ara terísti o

do sistema. Com este modelo, obtivemos uma equação diferen ial de primeira ordem

não-linear, uja solução em 1D é apaz de des rever a densidade ao longo de um anal

2D para diferentes sistemas de partí ulas (e.g., vórti es em super ondutores, olóides e

pedestres, todos simuladospordinâmi amole ular)ediferentes tiposde obstá ulos (e.g.,

uma barreira de energia, um anal om uma onstrição e uma rede de pinos no entro

do anal). Observamos que este modelo pode ser usado para des rever o es oamento de

qualquersistemadepartí ulassuperamorte ido,desdequeasinteraçõesentreelaspossam

al ançardistân ias maioresque os primeirosvizinhos.

Na segunda parte deste trabalho, estudamos o es oamento de partí ulas interagentes

(nãone essariamente superamorte idas) onnadaspor paredes assimétri as. Aqui o

ob-jetivo é des rever a dinâmi a de pedestres e a dinâmi a de vórti es emsuper ondutores.

Em ambos os sistemas, as paredes assimétri as são responsáveis pela introdução de um

sentido preferen ial para o uxo. No aso da dinâmi a de pedestres, estudamos as

pro-priedades do sistema quando os pedestres andam em sentidos opostos. Veri amos que

este onnamento induz uma ordem responsável pelamaximizaçãodo es oamento. Esta

ordem pode ser destruída quando variamos a densidade, a velo idade, a razão entre a

largura do anal e a sua rugosidade, o ruído externo e a assimetria do anal.

Veri- amostambémqueastransiçõesde ordem-desordemneste sistemasão a ompanhadasde

metaestabilidades e i los de histerese. No aso de vórti es em super ondutores,

veri- amos que, para pequenos ampos de omensurabilidade entre o número de  atra as e

Inthisworkweinvestigatethetransportpropertiesofparti lesinmesos opi systems.

Intherstpart,weusethemodeloriginallyproposedbyZapperietal. (Phys. Rev. Lett.

86, 3622 (2001)) to des ribe the steady-state transport of overdamped parti les in the

presen e of an obsta leand onned to a hannel with width of the order of the

hara -teristi size ofthe system. Withthismodel,we obtainanon-linearrst-order dierential

equation,whosesolution in1D is apabletodes ribe the behaviorof the parti ledensity

alonga 2D hannel for dierent parti lesystems (e.g., super ondu ting vorti es, olloids

andpedestrians, allsimulatedwith mole ulardynami s)and obsta letypes (e.g,one

en-ergy barrier, a hannel onstri tion and a network of pinning enters). We observe that

su h a model an be used to represent the ow of any system of overdamped parti les,

aslong as the intera tions between them an rea ha distan e greater than onlythe rst

neighbors.

In the se ond part of this work, we investigate the ow of intera ting parti les (not

ne essarilyoverdamped) onned toa hannel of asymmetri al walls. Here the main

ob-je tiveistodes ribethrough mole ulardynami ste hniquesboththe owofpedestrians

as wellas the transport of super ondu ting vorti es through irregular hannels. In both

ases, weobserve that the asymmetry of the onning walls an indu ea preferential

di-re tiontothe ow. Inthe ase ofpedestrians,our resultsindi atethat, whentwogroups

of people move in opposite dire tions in a rat heted type of orridor,this indu ed order

isalsoresponsiblefor owmaximization. Thisorder anbedestroyed, however, when we

hange the total number of parti les in the system, their target speed, the amplitude of

theexternal addednoise orthe degree ofthe asymmetry of the hannel. Wealsoobserve

thattheorder-disordertransitionsinthissystemareusuallyfollowedbymetastabilityand

hysteresis y les. In the ase of super ondu ting vorti es, multipledepinning transitions

are observed when there is a small omensurability eld between the number of rat hets

Lista de Figuras

INTRODUÇO p.24

1 CONCEITOS GERAIS p.27

1.1 Sistemas mesos ópi os . . . p.27

1.2 Vórti es emsuper ondutores . . . p.29

1.2.1 Propriedades da redede vórti es . . . p.30

1.3 Colóides . . . p.34

1.4 Pedestres . . . p.40

1.5 Efeito atra aRat het ee t . . . p.48

2 TRANSPORTEDE PARTÍCULASEM MEIOS SUPERAMOR

TE-CIDOS p.55

2.1 Transporte de vórti es emsuper ondutores . . . p.56

2.1.1 Modelo. . . p.56

2.1.2 Propriedades ma ros ópi asdo sistema . . . p.57

2.1.3 Equação ma ros ópi a para otransporte . . . p.58

2.1.4 Propriedades estáti as(sistema fe hado) . . . p.62

2.1.5 Propriedades dinâmi as . . . p.66

2.1.5.1 Barreira de energia . . . p.66

2.1.5.2 Transporte de vórti es através de um anal om uma

2.1.5.4 Rede de pinos om poten ialinnito . . . p.72

2.1.5.5 Rede de pinos om poten ialnito . . . p.75

2.2 Colóides . . . p.78

2.2.1 Modelo. . . p.78

2.2.2 Sistema fe hado . . . p.79

2.2.3 Barreira de energia . . . p.82

2.2.4 Constrição . . . p.83

2.3 Movimento de pedestres napresença de obstá ulos . . . p.86

2.3.1 Modelo. . . p.86

2.3.2 Sistema fe hado . . . p.87

2.3.3 Constrição . . . p.89

3 TRANSPORTE DE PARTÍCULAS CONFINADAS POR P

ARE-DES ASSIMÉTRICAS p.91 3.1 Movimento de pedestres . . . p.91 3.2 Transporte de vórti es . . . p.98 3.2.1 Modelo. . . p.98 3.2.2 Paredes assimétri as . . . p.100 3.2.3 Substrato assimétri o . . . p.103 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS p.104

Apêndi e A -- Um Breve Históri o da super ondutividade p.106

Apêndi e B -- Teorias para o estado super ondutor p.112

B.1 Teorias fenomenológi as . . . p.112

B.2 Teoria de vórti es em super ondutores . . . p.120

B.2.1 Super ondutores dotipo II . . . p.120

B.2.2 Energia numa interfa e normal-super ondutor . . . p.120

B.2.3 A quantização douxo magnéti o . . . p.121

B.2.4 Campos ríti os

H

c1

e

H

c2

. . . p.123 B.2.5 Campomagnéti o de um vórti e isolado . . . p.124

B.2.6 Energia de um vórti e isolado . . . p.126

B.2.7 Energia de interaçãovórti e-vórti e . . . p.127

B.2.8 Equação de movimentodos vórti es . . . p.127

Apêndi e C -- Prin ipais propriedades mesos ópi as no transporte de

elétrons p.129

C.0.8.1 Lo alizaçãofra a . . . p.129

C.0.8.2 Efeito Ahanorov-Bohm . . . p.131

C.0.8.3 Flutuaçõesuniversais da ondutân ia . . . p.132

C.0.8.4 Quantizaçãoda ondutân ia . . . p.132

1 Diferentes regimes para o transporte de elétrons em estruturas

mesos- ópi as. Estes regimes de transporte são des ritos pelos omprimentos

ara terísti osdosistema. Osefeitosmesos ópi ospodemserveri ados

quandoumdos omprimentosdosistema(

L

)émenorqueo omprimento

de oerên iade faseeletrni o

L

Φ

. . . p.28 2 Visualização da rede de vórti es obtida por U. Essmann e H. Trauble

publi ado na Physi s Letters, 24A 526 (1967). Esta visualização foi

obtidapelaté ni adede oraçãomagnéti a, omprovandoqueosvórti es

formam umarede triangularnaausên ia de forças externasede defeitos

no material. . . p.30

3 Diagrama de fase obtido numeri amente por A. E. Koshelev and V. M.

Vinokur publi ado emPRL,733580 (1994). Neste trabalhofoiprevista

umatransiçãodefasedinâmi a,ondeuma ristalizaçãopodeserobtida

para valores da orrenteexterna maior que zero. . . p.31

4 (a) Diagrama de fase experimental obtido por S. Bhatta harya e M. J.

Higgins publi ado em PRL, 70 2617 (1993),mostrando as fases darede

de vórti es. Comopodemosverhátrêsfasesdistintasparaaredede

vór-ti e: vórti es pinados (fase estáti a), es oamento plásti o e es oamento

elásti o. (b) Diagramade faseexperimentalobtidoporM.C.Hellerqvist

et al.,publi ado em PRL,76 4022 (1996). Este diagrama de fase

possi-bilitou uma omparaçãodireta omos resultados numéri osobtidos por

Posição média da frente de penetração em função do tempo. O inset

deste grá o mostra o olapso das urvas obtidas para diferentes

valo-res daforça externa. (b) Perl de densidade emfunção daposição para

diferentes forças externas. No inset é mostrado o olapso destas

ur-vas. Osgrá osmostradosem(a)e(b) foramobtidosporsimulaçõesde

dinâmi amole ular . . . p.33

6 Grá osobtidos porZapperiet al. publi adosemPRL 86,3622 (2001).

O inset desta gura mostraa densidade obtidapor integração numéri a

da equação ontínua. Ográ o prin ipalmostra a ontagem donúmero

de aixas o upadas emfunção dotamanhoda aixa. Adimensão fra tal

medida para este sistema foi

D

f

= 4/3

(linha sólida). A mudança de omportamento para dimensão fra tal

D

f

= 1

é obtida para grandes

es alas de omprimento. . . p.34

7 Conguração nal para umamisturabinária de partí ulassuspensas em

um sistema bi-dimensional movimentando em sentidos opostos, gura

obtida porJ. Dzubiella et al. (15). (a)Sistema no estado desordenado,

onguração obtidapara um ampo externo nulo. (b) Sistemaainda no

estadodesordenado,masagora omum ampoexternoapli adopróximo

do ampo ríti o

f

1

≃ f

c

. ( ) O sistema no estado ordenado, formando leiras. Esta onguração foi obtida para um ampo externo

f

2

> f

1

. Nesta situação,oparâmetro de ordem obtido é(

φ ≃ 0.99

). Como pode-mos ver o sistema apresenta uma transição de ordem-desordem

depen-dendo do ampo força externa. Esta transição de fase é onhe ida

omo transição de ordenamento dinâmi o. Maiores detalhes sobre esses

σ

κ

. Estes resultados foram obtidos através de simulações de dinâmi a

Browniana por J. Dzubiella et al. (15). O parâmetro de ordem mede

o grau de organização do sistema. a) Parâmetro de ordem obtido para

as partí ulas ini ialmente distribuídas aleatoriamentee om a força

ex-terna sendo aumentada. (b) Parâmetro de ordem para as partí ulas

ini ialmente organizadas em duas leiras e om a força externa sendo

diminuídagradualmente. Estes resultados mostrama existên iade uma

metaestabilidade, veri ada através de i losde histerese, indi ando que

esta transição é uma transição de fase de primeira ordem. Maiores

de-talhes sobre estes resultados podem ser en ontrados em (15). . . p.36

9 Diagrama de fase de não-equilíbrio obtido por M. Rex et al. (67) para

umamisturabináriade olóides arregados,movimentando-seemsentido

ontrário devido à ação de um ampo elétri o externo. Os resultados

foram obtidos por simulaçõesde dinâmi aBrowniana.

κ

é o al an e do poten ial e

φ

é a fração volumétri a das partí ulas. Maiores detalhes

deste grá o podem ser obtidosem (67). . . p.37

10 Grá oobtido porM. Köpplet al. (45)mostrando operl de densidade

aolongodeum analestreitoquandoaspartí ulasestãoes oandodevido

a um gradiente de on entração. . . p.38

11 Perlde densidade obtidoporG.Pia entet al. (61) paraum sistemade

partí ulasinteragindo omopoten ialde Yukawaparadiferentesvalores

da forçaexterna. . . p.38

12 Grá os obtidos por C. Marquet et al. (53) mostrando a reti ação de

partí ulasmi rométri ases oandoatravésde um analassimétri o omo

mostradoem(a),aspartí ulassãosubmetidasaum ampoelétri oa de

baixafreqüên iae ommédiazero. (a)Designdo analassimétri ousado

para reti aro movimento de partí ulas onnadas em um anal usado

por C. Marquet et al. (53). (b) Resultados en ontrados por C. Marquet

et al. (53), mostrando a dependên ia da velo idade de transporte om

freqüên ia daforça alternadaa apli adae om a intensidade do ampo

As simulaçõesforamfeitasparaum sistema om

20

partí ulas movendo-se daesquerda para direita(bolaspretas) interagindo om

20

partí ulas movendo-se da direita para esquerda (bolas bran as) om ondições de

ontorno periódi as nadireção

x

e onnadas nadireção

y

para diferen-tes valores do ruído externo. (a) Para pequenos ruídos

θ = 1

formação de leiras om movimento uniforme pode ser obtido. (b) Estado

in-termediário entre a ristalização obstrução do anal e a formação de

leiras om transporte uniforme. ( ) Estado ristalizado obtido para

grandes intensidades doruído (

θ = 1000

). . . p.42 14 Grá o obtidoporD. Helbing et al. publi ado naPRL84, 1240 (2000),

mostrando a transição de ordenamento dinâmi o, hamada freezing by

heating,paradiferentesvaloresdotamanhodosistemamantendoarazão

L

x

/L

y

= 4 : 1

onstante. No inset é mostrada a média da energia

poten ial, inéti ae total. . . p.43

15 Grá o obtido por D. Helbing et al. publi ado na Nature 407, 487

(2000). Este resultado mostra o tempo que 200 pedestres gastam para

sair de uma sala sob ondições normais (sem pâni o). O tempo que os

pedestres levamparasairdasala, diminui omoaumentodavelo idade

desejada

v

0

. No entanto, quando avelo idade res e a ima de um valor ríti o

v

0

≥ 1.5ms

−1

otempodesaídavoltaa res ernovamenteatéque,

em velo idades mais elevadas a ima de

5.0ms

−1

, o número de pessoas

feridas omeça a res er de formaaproximadamente linear. . . p.44

16 Grá oobtidoporD.Helbingetal. (Nature407,487(2000)). Simulação

parapedestresmovimentando-seemumarotadefuga omuma avidade.

(a) Posição dos pedestres obtida num orredor de

3m

de largura e

15m

de omprimento omo rota de fuga, om os pedestres saindo om uma

velo idadealvode

v

0

_{= 2ms}

−1

. A avidadetemaformade umtriângulo

isós eles om base de

6m

. (b) E iên ia para a saída omo função do ângulo

φ

para aestrutura mostrada em(a), alinha tra ejadarepresenta a e iên ia para uma avidade irregular. A e iên ia ai nos dois

a-sos, sendo um pou o mais pronun iada quando o orredor possui uma

hos. . . p.46

18 Grá oobtidoporW.G.Weng (82),(a)Velo idademédiaemfunçãodo

tempopara diferentes densidades nosistema om ondiçõesde ontorno

abertas. (b) Conguração nal para o sistema om

P

0

= 0.2

e um time

step de

800

para um sistema om ondição de ontorno aberta. . . p.47 19 Diagrama de fase obtido por T. Nagatani (Physi a A 300, 558 (2001)),

mostrando os diferentes regimes de es oamento dos pedestres em um

orredor om uma onstrição. . . p.48

20 Dispositivotipo atra aidealizadoporFeymannnatentativade violara

segundaleidatermodinâmi a. Estedispositivo onsistededuas aixasde

gás mantidas à temperatura

T

1

= T

2

= T

. Numa aixa temos uma roda om paletas e na outra temos um dispositivo tipo atra a, ligados por

um eixoquepossui umapolialigadaaum peso. Aquestão proposta por

Feymann era se este dispositivo poderia realizar um trabalho me âni o

apazdelevantaropesopresoàpolia. SegundoahipótesedeCarnotisto

seria impossível. Noentanto, àprimeira vistavemos queisto épossível,

mas seolharmosmais de perto podemosver uma série de ompli ações,

(para maioresdetalhes onsultar Le tureof Feymann Vol1, apítulo46.) p.49

21 Diagrama ilustrando ome anismo doefeito atra a reverso tirado de C.

C.S.Silvaetal. (Nature440,651(2006)). (a)Diagramada onguração

de equilíbriopara

n = 1 − 4

(

n

é onúmero de vórti e porpoten ialtipo atra a). Podemosveraalternân iaentreosmínimosde energiaquando

n

é par ou ímpar. (b) Esquema demonstrando o me anismo atra a

quandoarededevórti esésubmetidaaumaforçaa . Assetasvermelhas

indi am a direção da força, os quadros om or de fundo indi am onde

o orreo movimentoma ros ópi o das partí ulas vórti es. . . p.50

22 Diagrama de fase experimental obtido por C. C. S. Silva et al. (Nature

440, 651 (2006)) mostrando as fases dinâmi as da rede de vórti e, bem

omo as regiões onde o uxo da rede de vórti es é direto (verde) ou

reverso (vermelho). Podemos notar que o efeito atra a o orre próximo

(a) membranas de sili one apazes de atuar omo ltros para partí ulas

massivas om diferentes tamanhos. Opro esso de transporte nesses

sis-tema depende muito darazãoentre otamanhodaaberturaeotamanho

da partí ula. Ajustando o tamanho da abertura, este sistema pode ser

usadonaseparaçãodepartí ulasdediferentestamanhos. (b)Fotoobtida

por mi ros opia eletrni a de varredura dos poros assimétri os emuma

amostra de sili one.( ) Mi ros opia eletrni a de varredura obtida em

um poro daamostra em(b). . . p.52

24 FiguraobtidadeS.Matthiasetal. (Nature424,54(2003)),mostrandoa

dependên iada orrented obtidaporapli arumapressãoa nosistema

da Fig. 23. Este grá o mostra uma lara reversão do efeito atra a

nestes sistemas. . . p.52

25 FiguraobtidaporI.Derényi(Appl. Phys. A75,217(2002)),mostrando

(a)opoten ialqueum átomosenteaodifundir poruma superfí ie

irreg-ular omo mostrado em (b). . . p.53

26 Figura obtida originalmentepor P. J. Pablo (Surf. Interfa e Anal. 30,

278 (2000)) e adquirida de I. Denényi (Appl. Phys. A 75,217 (2002)),

mostrando a evolução da superfí ie de uma ta de ouro.(a) Uma

estru-tura laramente granular pode ser observada emgrãos om tamanhode

aproximadamente

25 nm

, (b) superfí iedata de ouroapós

40h

subme-tida auma densidade de orrente d om

1.6 × 10

11

_{A m}

−2

om

25 mA

, osgrãos tiveramum res imentode aproximadamente

100 nm

, ( ) a su-perfí ie da ta de ouro após

24 h

de orrente a sob os mesmo valores de (b), neste aso pode se observar o res imento dos grãos, formando

F

x = 0

. Este resultado foi obtido por simulações de dinâmi amole ular

após o sistema atingir o estado de equilíbrio me âni o. Os resultados

mostrados nesta gura são para uma rede om

N = 576

vórti es em um anal om largura

L = 4.0 λ

, submetidos a uma força externa

F = 1.0f

0

ontra a parede em

x

0

. (b) Perl de densidade ao longo

do anal para diferentes valores da forçaexterna e diferentes número de

vórti es. Podemos notar que os pers de densidade olapsam em uma

mesma urva,mostrandoqueoparâmetro

a

éinvarianteparaumgrande

intervalode valores dadensidade e daforça externa. . . p.63

28 Parâmetro

a

emfunção dalargura do anal para diferentes valores da densidade e da força externa. A linha preta ontínua des reve o ajuste

das urvasobtidasatravésdesimulaçõesdedinâmi amole ularporuma

função ontínua. Os parâmetros do ajuste são

A = 2.74 B = 0.19

. A linha preta tra ejada representa o valor obtido por Zapperi et al. para

um sistema aberto. . . p.64

29 Conguração nal para uma rede om

N = 216

de vórti es, onnados emtodas asdireções, emum anal de largura

L = 4λ

sofrendoaação de umaforçaexterna

F = 1.0 f

0

. Podemosnotarqueexistemdoisdiferentes omportamentosparaa onguraçãodosvórti esnestesistema: umpara

o interior da amostra, onde o me anismo de redução de amadas pode

ser veri ado, e outro para as borda domaterial, onde háum gradiente

da on entraçãode vórti es na direção

x

. . . p.65 30 (a) Modelo usado para estudar o omportamento dinâmi o da rede de

vórti es es oando porum anal om uma barreira de energia omo

obs-tá ulo para o uxo. A força devido ao obstá ulo

F

S

só atua sobre os

vórti es numa pequena faixa de omprimentolo alizadaem

x

1

e

x

2

. (b)

Densidade aolongo do anal é mostrada em ódigo de ores. . . p.66

31 Comparação dos resultados obtidos por dinâmi a mole ular, para um

anal om uma barreira de energia omoobstá ulo para ouxo, om os

resultadosobtidosporintegraçãonuméri adaEq.(2.31). Paradiferentes

analíti a donosso modelo dada pelaEq. (2.32) (vermelha). . . p.68

33 Modelodo anal om uma onstrição,usada omo obstá ulopara ouxo. p.69

34 (a) Ajuste das urvas obtidas por dinâmi a mole ular om a solução

analíti a de nosso modelo, em um anal om uma onstrição para duas

forças diferente. Os ír ulos representam os resultados obtidos por

si-mulações de dinâmi a mole ular e as linhas tra ejadas representam os

ajustes analíti osfeitos om a Eq. (2.32). Osresultados aquimostrados

são para um anal om

N = 1333

e om seção transversal

y

1

= 8.0

e

y

2

= 5.5

. (b) Curvas obtidas para a seção transversal efetiva do anal

para duas forçasdiferentes e om operl de densidade mostradonaFig.

34(a). A seção transversal efetiva en ontrada foi

y

1

= 9.76

e

y

2

= 7.41

para

F = 1.0

e

y

1

= 9.82

e

y

2

= 7.40

para

F = 0.10

. Os valores

en on-trados são maiores quea seção transversal do anal

y

1

= 8.0

e

y

2

= 5.5

. p.70 35 Modelodeum anal omumarededepinos omoobstá uloparaouxo.

Consideramos opoten ial de interaçãoentre ospinos e osvórti es omo

sendo: 1) um poten ial de atração innito, 2) um poten ial de atração

nito. . . p.72

36 Grá osobtidosparaumaredede vórti eses oando atravésdeum anal

om uma rede de pinos om poten ial de interação innito. As urvas

são obtidas para um anal om largura

L = 8.7λ

om

N = 300

vórti es emmovimento e

210

vórti es pinados. (a)Perl de densidade para uma rede de vórti es paradiferentes valoresda forçaexterna. (b) Fluxopara

uma rede de vórti es para diferentes valores da forçaexterna. ( )Ajuste

do perl de densidade obtido para uma rede de vórti es. Os ír ulos

pretos representam os valores obtidos por simulação de dinâmi a

mo-le ular para um anal de largura

L = 8.7λ

om uma força externa de

F = 1.0f

0

. Alinhavermelha ontínuaéoperl dedensidadeobtidopela

soluçãoanalíti adonosso modelo. Osparâmetrosusadosnoajuste

on- ordamaté a segunda asa de imal omos valoresobtidos pordinâmi a

innito para diferentes valores da força externa, a)

F = 0.05f

0

, b)

F =

0.10f

0

, )

F = 0.50f

0

, d)

F = 1.0f

0

, e)

F = 5.00f

0

ef)

F = 10.00f

0

. . . . p.74

38 (a) Fluxo da rede de vórti es através de um anal om uma rede de

pinos ompoten ialnitodistribuídosperiodi amenteno entrodo anal.

Podemosverqueouxoénuloquandoaforçaexternaésu ientemente

pequena

F = 0.05f

0

. Os resultados mostrados são para um anal om

N = 510

vórti es. O anal tem uma seção transversal de

y = 8.7λ

. (b)

Perlde densidadeobtidopara anal om umaredede pinos om

poten- ial nito distribuídos periodi amente no entro do anal. Os pers de

densidade aqui mostrados são equivalentes aos uxos mostrados naFig.

38( ). Podemos verque o perl de densidade é linear desde que

Φ → 0

. ( ) Perl de densidadepara anal omuma redede pinos, om poten ial

nito, distribuídos periodi amente no entro do anal. Podemos notar

que para forças externas su ientemente grandes

F > 10f

0

os obstá u-los não podem produzir nenhum gradiente de on entração ao longo do

anal, fazendo om que o perl de densidade seja onstante e dado pela

razão

J/F

. (d) Comparação entre os resultados obtidos por dinâmi a mole ular om a solução analíti a dada pela Eq. (2.32). Podemos ver

boa on ordân ia entre os resultados. Os parâmetros  orrente de

vór-ti e edensidade ini ial, usadospara fazera urva analíti a, on ordam

até segunda asa de imal om osvaloresobtidos pordinâmi amole ular. p.76

39 Perl de densidade em ódigo de ores para a rede de vórti es es oando

através de um anal om uma rede de pinos om poten ial de interação

nito para diferentes valores da força externa, a)

F = 0.05f

0

, b)

F =

dadistân ia

r

. Para vórti esemsuper ondutores aa forçade interação é dada pela função de Bessel modi ada de primeira ordem

F

vv

_{(r) ∝}

K

1

(r)

, para olóides a força é dada pelo poten ial de Yukawa

F

cc

_{(r) ∝}

(1 − κ) exp(−κr)/r

2

, onde

κ = 0.8

é o inverso do al an e do poten ial e para pedestres a força é dada por uma função exponen ial segundo o

modelo de D. Helbing (31, 32)

F

pp

_{(r) = A exp(d − r)}

, onde

A = 10

é

uma onstante e

d = 0.5

éo diâmetrodopedestre. . . p.78 41 (a) Perl de densidade obtido para um sistema oloidal onnado em

um anal em todas as direções. O perl de densidade mostrado aqui é

para um anal om

N = 630

e largura

L = 3.0

om uma força externa

F = 1.0

. (b) Pers de densidade para diferentes valores do número de

partí ulas e diferentes valores da forçaexterna. . . p.80

42 Parâmetro

a

emfunção da largura do anal para diferentes números de partí ulas e diferentes valores da força externa. A linha ontínua preta

representa o ajuste feitonas urvasobtidas por simulações de dinâmi a

mole ular, Osparâmetros obtidosno ajuste foram

A = 0.78

,

B = 1.86

e

C = 0.33

. A linha tra ejadarepresenta ovalordoparâmetro

a

para um

sistema aberto. . . p.81

43 Conguração nal para as partí ulassendo forçadas ontraa paredeem

x = 0

num anal fe hado em todas as direções. . . p.82

44 Perl de densidade para partí ulas suspensas, es oando em um anal

e na presença de uma barreira de energia om força

F

B

= 1.0

omo obstá ulo, para um sistema om

N = 600

partí ulas onnadas em um anal de largura

L = 5.0

sendo forçada poruma força

F = 4.0

. A linha ontínuarepresentaa urvadedensidadeobtidaporintegraçãonuméri a

da Eq.(2.31). Oparâmetro

a

usadonesta equação foiobtido através do

ajuste feitona Fig. 42. . . p.83

45 Perldedensidadeparapartí ulas suspensas es oandoemum anal om

uma onstrição. Os símbolos ( ír ulos pretos) foram obtidos por

simu-lações de dinâmi a mole ular, a linha ontínua vermelha representa o

perl de densidade obtido pela Eq. 2.32, e as linhas ontínuas em azul

ção. Assetasindi amosentidodouxo. Assimulaçõesforamfeitaspara

um sistema om

N = 1250

partí ulas onnadas emum anal om uma onstrição, ujasseçõesdapartelargaeestreitasão

y

1

= 10.0

e

y

2

= 2.5

,

respe tivamente. As partí ulas são forçadas poruma força

F = 1.0

. . . p.85 47 (a)Perl de densidade obtidopara pedestres emum anal onnado em

todas asdireções. Ossímbolos( ír ulos) representam osresultados

obti-dos porsimulaçõesdedinâmi amole ular, ealinhatra ejadarepresenta

o ajustelinear desta urva, usandoa Eq. (2.33). (b) Colapso das urvas

dedensidadeobtidasparadiferentesvaloresdonúmerodepartí ulaseda

força externa. mostrando que o valor do parâmetro

a

é invariante para

uma grande faixa de valores do número de partí ulas e daforça externa. p.88

48 Valor do parâmetro

a

em função da largura do anal

L

, obtido para pedestres onnados emum orredor estreito, om tendên ia a se

movi-mentarem em direção à parede em

x = 0

. As diferentes urvas foram obtidasparadiferentes valoresdarazão

N/A

edaforçaexterna. Alinha ontínuavermelharepresentao ajustefeitonas urvasobtidaspor

simu-lações de dinâmi a mole ular, Os parâmetros obtidos no ajuste foram

A = 6.08

,

B = 4.06

e

C = 0.20

. . . p.89

49 Perl de densidade para

N

pedestres es oando através de um anal de largura

L = 10m

e om uma onstrição de largura

h = 2.5m

. A urva ontínua des reve o ajuste da urva obtida por simulação de dinâmi a

mole ular om a Eq. 2.32. . . p.90

50 Geometriade um orredor responsávelporinduzirumadireção

preferen- ialparaoes oamento. Osparâmetrosusadosnestagurasão:

L = 10.0

,

b = −3.0

,

w = 4.0

,

v = 3.0

,

ρ = 0.6

,

ξ = 0.0

and

H = 1.0

. . . p.92 51 Parâmetro de ordem omo função do parâmetro

b

. Vemos que o

or-denamento preferen ial do sistema o orre apenas para altos valores de

|b|

. Os parâmetros usados nestas simulações foram:

w = 4.0

,

H = 1.0

,

L = 10.0

,

ρ = 0.6

,

ξ = 0.0

e

v = 3.0

. Osresultadosobtidosaquisãopara

52 Parâmetro de ordem emfunção dadensidade para

w = 4.0

,de

H = 1.0

,

L = 10.0

,

b = −4.0

,

ξ = 0.0

and

v = 3.0

. Os resultados obtidos aqui são

para 10 diferentes realizaçõesdo sistema. . . p.95

53 Parâmetro de ordem omo função do parâmetro

H/w

om

w = 4.0

,

L = 10.0

,

b = −4.0

,

ξ = 0.0

and

v = 3.0

. Os resultados obtidosaqui são

para 10 diferentes realizaçõesdo sistema. . . p.96

54 Parâmetrodeordem omofunçãodoruídoexterno

ξ

i

presentenosistema, para

w = 4.0

om

H = 1.0

,

L = 10.0

,

b = −4.0

e

v = 3.0

. Osresultados

obtidos aquisão para 10diferentes realizações dosistema. . . p.97

55 Dependên ia do parâmetro de ordem om a velo idade, para

w = 4.0

om

H = 1.0

,

L = 10.0

e

b = −4.0

. Osresultados obtidosaqui são para

10 diferentes realizaçõesdo sistema. . . p.98

56 Design do anal usado para onnar as partí ulas. Este anal é

respon-sável por introduzir um poten ial tipo atra a, dando um sentido

prefe-ren ial paraoes oamentoquando osistemaé submetidoa umaforçaa

om média zero.

L

éo omprimentoda atra a,

L1

é o omprimentodo eixo difí ilda atra a,

L2

é o omprimentodoeixofá il da atra a,

H

é

a altura da atra ae

d

é oespaçamentoentre as atra as.. . . p.100 57 Velo idade média da rede de vórti es na direção

x

em função da força

externa apli ada para diferentes valores da omensurabilidade entre o

númerode atra aeonúmerodevórti es. Estesresultadosforamobtidos

para uma atra a de omprimento

L = 12

, om

L1 = 3

e

L2 = 9

, om

altura

H = 3.0

eespaçamento

d = 0.9

. . . p.101 58 Velo idade média das partí ulas em função da força externa apli ada,

paraaltos amposde omensurabilidade. Estegrá omostraque,quando

o ampode omensurabilidadeéaumentado,asmúltiplastransições

plás-ti asqueo orremembaixos amposde omensurabilidadedesapare em.

Estesresultadosforamobtidosparauma atra ade omprimento

L = 12

,

om

L1 = 3

e

L2 = 9

, om altura

H = 3.0

e espaçamento

d = 0.9

. . . . p.102 59 Velo idade média das partí ulas em função da força externa para

dife-rentes largura do anal. Os resultados aqui mostrados são para uma

des obeta da super ondutividade. Isto só foi possível porque em 1908

Onnes onseguiu liqüefazer o hélio pela primeira vez, possibilitando

al- ançar temperaturas extremamente baixas jamais al ançada

anterior-mente(51). Posteriormente, OnnesVeri ouqueestefenmenotambém

o orria om outros elementos quími osda tabelaperiódi a. . . p.106

61 Comportamento de um super ondutor e de um metal normal quando

submetidos asseqüên ias de medidas magnéti asZFC(zeroeld ooled)

eFC(eld ooled). Podemosverqueamagnetizaçãodeum material

su-per ondutorindependedahistóriamagnéti adosistema,istonãoo orrer

om um metalnormal. . . p.107

62 Este grá omostraosavanços naspesquisasembus ade materiais om

temperatura ríti a ada vez mais elevada. podemos ver o aumento

ex-plosivo natemperatura ríti ados materiaissuper ondutores após a

de-s oberta da super undutividade no sistema La-Ba-Cu-O, este trabalho

rendeu o prêmio nobel aos pesquisadores J. G. Bednorz e K. A. Muller

em1987 . . . p.110

63 Tabelamostrando osvaloresdatemperatura ríti a

T

c

,do omprimento de penetração

λ

, do omprimento de oerên ia

ξ

e do parâmetro de Ginzburg-Landau

κ

. Osvaloresde

λ

e

ξ

parao

MgB

2

não foram

en on-trados naliteratura. . . p.114

64 (a) Pers do ampo,

h

(azul), e do parâmetro de ordem super ondutor

|ψ|

2

(vermelho). (b)Linhasde ontornodasuper orrente(azul)emtorno

do nú leo do vórti e. Nesta gura temos

λ = 10ξ

. Figura obtida de L.

E. Cabral. . . p.118

65 Figura obtida de G. Bergmann publi ado em phys. rev. 107, 1 (1984).

Estegrá omostraumamedidademagneto-resistên iaemumlmeno

de Cu om espessura de

80

om resistên ia

R = 98Ω

eum auto grau de desordem, olivre aminhomédionestaamostraédaordemde

10

. Neste grá o podemos ver a supressão do efeito de lo alizaçãofra a quando a

amostraéexposta aum ampomagnéti ovemostambémqueesteefeito

CambridgeUniv. Press. 1995. Estesresultadosforamobtidospor

exper-imentos numéri os para ambas as ondutân ias, lássi a e quânti a. A

ondutân iaquânti aé al uladapor ombinarmatrizesdeespalhamento

parasu essivasseções, adauma ontendoumaimpureza,assumindo

o-erên ia ompleta. A ondutividade lássi aé al ulada ombinando

ma-trizesde probabilidadeeassumindoin oerên ia ompleta. Osresultados

são para um ondutor om 30modos e om 600 impurezas. . . p.132

67 Grá o obtido por B. J. van Wees (PRL,60 848 (1988) ). Este grá o

mostra um esboço do sistema usado para fazer as medidasbem omo o

grá o da resistên ia em função da tensão apli ada, esta urva é

a om-panhada de vários platores que são resultados da quantização da

on-dutân ia. . . p.133

68 Grá o obtido por B. J. van Wees (PRL,60 848 (1988) ). para a

INTRODUÇO

Oestudo das propriedadesde transporte emsistemasmesos ópi oséde fundamental

importân iapara o desenvolvimento de on eitos have naFísi a Bási a e para o

desen-volvimentode novas te nologias. Em geral,o me anismo de transporte destes sistemasé

muito omplexo,sua ompreensãopode ajudara des rever aspropriedadesdinâmi asde

sistemasfora doequilíbrio (11, 25,26,66,76, 80).

Em meados de 1980 foram ini iados os estudos das propriedades de transporte em

estruturas arti iaisde metais e materiaissemi ondutores fabri ados pelas té ni as hoje

usadas na nanofabri ação. Estes estudos revelaram que o transporte eletrni o nestes

materiais são a ompanhados de efeitos de lo alização fra a (7), efeitos de interferên ia

efeito Ahanarov-Bohm (81), utuações universais (49) e quantização da ondutân ia

(79). Hoje emdiaas propriedadesmesos ópi as tem sido observadas emoutros sistemas

om diferentes es alasde omprimentos, omo no transporte de olóides, materiais

gran-ulares,uidos e nomovimentode pedestres (10, 25, 32).

Re entemente foi veri ado que o transporte de partí ulas onnadas em um anal

mesos ópi o, movendo-se em sentidos opostos e interagindo entre si por um poten ial

repulsivo, exibe um novo estado de ristalização, obtido quando aumentamos o ruído

externo ao sistema (32). Tal efeito foi denominado Freezing by Heating, tendo sido

veri ado pelaprimeiravez porD. Helbinget al. (32) noestudodadinâmi ade sistemas

oloidaise nomovimentode pedestres.

Nesta tese, estudamos as propriedades do es oamento de partí ulas interagentes e

onnadasemsistemasmesos ópi os, om ênfase nades rição do omportamentode

vór-ti esemsuper ondutores, sistemas oloidais,ondas dedensidadede arga, anaisini os,

mi rouidos, sistemas granulares e o movimento de pedestres. Por possuir um

ompor-tamento fortemente oletivo estes sistemas apresentam muitas ara terísti as omplexas

queserão dis utidas a seguir.

Em geral, as partí ulas dos sistemas estudados interagem através de um poten ial

O modelo proposto anteriormente por Zapperi et al. (87) será utilizado para des rever

taissistemas. Como resultado, obtemosuma equaçãodiferen ial de primeiraordem

não-lineartambém onhe ida omo equação diferen ialde Abel de segundo tipo. Mostramos

que a solução desta equação diferen ial em uma dimensão (1D) é apaz de des rever o

omportamentodadensidadede partí ulasaolongode um analbi-dimensional(2D).Os

obstá ulosempregadosemnossosestudos foramuma barreirade energia,uma onstrição

eumarede de defeitosperiódi os (empregadaapenasnoestudo dotransportede vórti es

em super ontudores), ou seja, uma rede de pinos. Consideramos dois limites para a

interaçãoentre os vórti es eos pinos. No primeiroos pinos apresentam um poten ialde

atraçãoinnitodeformaqueosvórti espinadosnun aentramemmovimento. Neste aso,

onsideramos que os pinos se omportam omo uma rede de vórti es xos. No segundo

limite, onsideramosquea interaçãoentre osvórti es eospinos édada porum poten ial

nito, ou seja, os vórti es podem ser depinados, dependendo apenas da on entração de

vórti es e daforçaexterna.

Na segunda parte deste trabalho, estudamos o transporte de partí ulas onnadas

geometri amente por paredes assimétri as que introduzem um poten ial tipo  atra a

responsávelporinduziruma direçãopreferen ial aoes oamento. Estudamos ini ialmente

o movimento de pedestres em sentidos opostos em um anal estreito, onde medimos o

parâmetro de ordem emfunção dadensidade, velo idade, assimetria, ruído externo e da

razão entre a largura do anal e a profundidade da assimetria. Investigamos também

as propriedades de es oamento da rede de vórti e onnada por paredes assimétri as.

Neste aso todos os vórti es es oam no mesmo sentido. Cal ulamos a velo idade média

dosistemaemfunçãodaforçaexternaapli adanosdois sentidosde movimentos,ouseja,

nosentido doeixo fá ile doeixo difí ilda atra a.

Esta tese está organizada daseguinteforma. No Capítulo1, apresentamos uma

des- rição geral dos sistemas mesos ópi os e des revemos os sistemas aqui estudados. No

Capítulo2,mostramososresultadosobtidosparaotransportede partí ulasemmeios

su-peramorte idos, es oando emum analmesos ópi o napresença de um obstá ulo para o

uxo. Osresultadosmostrados nesse Capítuloforamobtidos porsimulaçõesde dinâmi a

mole ular,integração numéri adaequaçãodiferen ialresponsávelpelades riçãodo

om-portamentodosistema, bem omo por ál ulosanalíti os. No Capítulo3,des revemos a

dinâmi ade partí ulas onnadasgeometri amenteporparedes assimétri as. Estes

estu-dos são feitos para des rever a dinâmi ade vórti es em super ondutores e o movimento

mole ular. Finalmenteapresentamos nossas on lusões nais e perspe tivas para futuros

1 CONCEITOS GERAIS

Neste Capítulofazemosumarevisãobibliográ ados problemasestudadosnestatese,

mostrando os prin ipais resultados já obtidos para sistemas mesos ópi os, vórti es em

super ondutores e movimentode pedestres.

1.1 Sistemas mesos ópi os

Osestudosdaspropriedadesdetransporteemsistemasmesos ópi os,ouseja,sistemas

onde pelo menos uma de suas dimensões é da mesma ordem de grandeza de algum de

seus omprimentos ara terísti os, têm reveladonovaspropriedadesfísi asextremamente

pe uliares. Tais estudos tiveram iní io por volta de 1980 e propor ionaram inúmeros

avanços te nológi os, omo a miniaturização de omponentes eletrni os, possibilitando

odesenvolvimentode omputadores e dispositivoseletrni os mais e ientes.

Os primeiros resultados obtidos para estes sistemas mostraram que o transporte

eletrni o é a ompanhado por efeitos de lo alização fra a (7), interferên ia (81)

tam-bém onhe ido omo efeito Ahanorov-Bohm, utuações universais (81) equantização da

ondutân ia(79).

No transporte de elétronsoprin ipal omprimento ara terísti o,é o omprimento

de oerên ia defase eletrni o

L

Φ

,dadopeladistân iaqueumelétronpodeper orrer sem perder sua fase memória,Este omprimento res e om a diminuição da

tempera-tura, hegando a dimensões da ordem de mí rons. Outros omprimentos ara terísti os

importantes nades rição de sistemas mesos ópi ossão:

•

o omprimentode lo alizaçãoeletrni a

ξ

: medeaextensãoespa ialdafunção de onda. Em ondutores, este omprimento é do tamanho da amostra, enquanto

•

olivre aminhomédioelásti o

L

e

: medeadistân iaqueoselétronspodemviajar sem sofrer olisões. Este omprimento depende fortemente do grau de impurezas

das amostras,de defeitos ristalinosedatemperatura. Variandode algunsmí rons

aalguns angströms.

•

o omprimento de onda de Fermi

λ

F

,está rela ionado om aenergia donível deFermidomaterialdadopor

λ

F

=

h

√

2mε

F

.Emgeraleste omprimentoédaordem

de angströms.

Estes omprimentos ara terísti ossãoresponsáveispordistinguirosdiferentesregimes

de transporte em sistemas mesos ópi os, usualmente identi ados omo: balísti o,

difu-sivo ou lo alizado. A Fig. 1 ilustra a relação entre os omprimentos ara terísti os e os

regimesde transporte.

difusivo localizado

balistico

l

F

l

e

x

L

_F

L

quântico

mesoscópico

clássico

Figura 1: Diferentes regimes para o transporte de elétrons em estruturas mesos ópi as.

Estes regimes de transporte são des ritos pelos omprimentos ara terísti os dosistema.

Osefeitos mesos ópi os podem ser veri ados quando um dos omprimentosdo sistema

(

L

) é menorque o omprimentode oerên iade faseeletrni o

L

Φ

.

Podemos ver na Fig. 1 que, em sistemas eletrni os, as propriedades mesos ópi as

podem ser medidas em uma faixa de omprimento intermediária entre o ma ros ópi o,

ondeotransporteéregidopelasleisdaFísi aClássi a,eonanos ópi o, omotransporte

regidopelas leisda Me âni aQuânti a. Sendo

L

o menor omprimento dosistema estu-dado,para

L >> L

Φ

as propriedadesde transporte são puramente difusivase podem ser des ritaspelaequaçãodeBoltzmann. Quando

L << L

Φ

aspropriedadesdos sistemassão quantizadas e des ritas pela equação de S hrödinger e pela equação de Liouville. Para

omprimentos

L ≤ L

Φ

, os sistemas en ontram-se no limite mesos ópi o, sendo des ritos pelas teorias daFísi a Clássi aadaptadas om ingredientes Quânti os.

O termo mesos ópi o não faz nenhuma referên ia ao tamanho do sistema, e sim à

razão entre suas dimensões e seus omprimentos ara terísti os, devendo portanto ser

usado para des rever um regime de transporte e não uma es ala de omprimento. As

propriedades de transporte emsistemas mesos ópi os são de grande importân ia para o

desenvolvimento de novos dispositivosnanoestruturados,

Re entemente, aspropriedadesdetransporteemsistemasmesos ópi ostêm sido

veri- adasemmaioreses alasde omprimento, omonotransportede partí ulasem olóides

enomovimentodepedestres. Dentre estas propriedadespodemos itaroefeitoFreezing

by Heating, que onsiste emuma ristalizaçãoinduzida por um ruído externo no

trans-porte de partí ulas onnadas movimentando-se em sentidos opostos (32). Vale itar

também a presença de um omprimento ara terísti o induzido pela não-lo alidade do

uxo, efeito este que pode ser observado em materiais vítreos (glassy materials), em

olóidese emsistemas granulares emgeral (25).

1.2 Vórti es em super ondutores

A dinâmi a de vórti es em super ondutores omeçou a ser estudada após A. A.

Abrikosov(Nobel2003)terveri adoqueasuper ondutividadepode oexistir omo

mag-netismo em alguns materiais (super ondutores do tipo-II). Em seu trabalho, Abrikosov

(1)mostrouqueo ampo magnéti o apli adopode penetrarnaamostrasuper ondutora,

na forma de linhas quantizadas de uxo magnéti o hamadas de vórti es. Os vórti es

apresentam um quantum de uxo magnéti o dado por

Φ

0

= h/2e

, onde

h

é a onstante de Plan k e

e

é a arga elementar do elétron. Eles possuem um nú leo om raio igual ao omprimentode oerên ia

ξ

,ondeo ampomagnéti oé máximo. O ampomagnéti o donú leodovórti e,porsuavez, de aiemum omprimento ara terísti o onhe ido om

 omprimento de penetração de London

λ

. No Apêndi e A apresentamos as prin ipais teoriasfenomenológi as usadaspara des rever oestado super ondutor.

Osvórti esemsuper ondutorespodemal ançardiferentes níveisdeinteraçãoquando

variamos o ampo magnéti o externo. Isto faz om que este sistema seja ideal para o

estudos das propriedades de sistemas oletivos. O estudo da dinâmi a de vórti es tem

mostradonos últimosanosaexistên iade muitas formas omplexasde movimento, omo

des ritonaSeção 1.2.1.

fortemente do tipo-II e permitem que a fase super ondutora e os vórti es oexistam em

uma ampla faixa de ampo magnéti o. Durante muito tempo estes estudos pro uraram

entender omo os vórti es poderiam ser aprisionados, pois quando submetidos a forças

externasosvórti espodementraremmovimento,fazendo omqueaenergiasejadissipada

nestesistema.

A ompreensão da dinâmi a de vórti es em super ondutores é fundamental para o

desenvolvimento de on eitos físi os em outras áreas do onhe imento, e.g., olóide e

ondadedensidade de arga,tendotambémimportân iaparaodesenvolvimentodenovos

dispositivos. Os vórti es em super ondutores se omportam omo uma rede ristalina

-rede de Bragg também onhe ida omo rede de vórti es - que apresenta ara terísti as

típi asde uma fasetermodinâmi a, omo fusãoe alorespe i o.

1.2.1 Propriedades da rede de vórti es

A primeirapropriedadeobservada nos vórti esemsuper ondutores foi aformaçãode

uma rede periódi a e triangular. Isto pode ser veri ado desde que o material

super- ondutor esteja livre de impurezas e/ou defeitos e os vórti es não estejam onnados em

estruturas mesos ópi as,esta rede é onhe ida omo rede de Abrikosov.

Figura2: Visualizaçãodaredede vórti esobtidaporU.EssmanneH.Traublepubli ado

naPhysi sLetters,24A526(1967). Estavisualizaçãofoiobtidapelaté ni adede oração

magnéti a, omprovandoqueosvórti esformamumaredetriangularnaausên iadeforças

externase de defeitos no material.

As propriedades estáti as e dinâmi as da rede de vórti es são alteradas quando o

sistema é onnado. O onnamento dos vórti es em regiões da ordem do omprimento

uxo magnéti o. Quando os vórti es são onnados em regiões da mesma ordem do

omprimentodepenetraçãodeLondon

λ

,aspropriedadesestáti assãoalteradasfazendo omquea onguraçãotriangularnão sejaamaisestávelparaaredede vórti es(88). As

propriedadesdinâmi as tambémsão alteradas omo veri ado em trabalhos anteriores e

nesta tese.

Na presença de uma orrente externa, os vórti es podem entrar em movimento

in-duzindo perdas de energia. Para que a orrente super ondutora ua sem que haja

dissi-pação de energia, faz-se ne essário aprisionar os vórti es. Isto pode ser feito usando as

própriasnão-homogeneidade e defeitos na estrutura ristalina do material ou através de

estruturas arti iais, onhe idas omorede de pinos.

Uma das primeiras teorias sobre o movimento da rede de vórti es foi elaborada por

Anderson e Kim (2). Esta teoria, onhe ida também omo teoria de ux reep, prevê a

existên iade pa otesde vórti esquesemovemindependentementeuns dos outrosdevido

à variação lo al da densidade de pinos. Larkin e Ov hinnikov (47) demonstraram que a

ordem ristalina de longo al an e darede de vórti es é destruída napresença de entros

deaprisionamento,não importandoquãofra oseles sejam. Esta teoriaé onhe ida omo

teoriado pinning oletivo.

Figura3: Diagramadefaseobtidonumeri amenteporA.E.Koshelevand V.M.Vinokur

publi ado em PRL, 73 3580 (1994). Neste trabalho foi prevista uma transição de fase

dinâmi a,ondeuma ristalizaçãopodeserobtidaparavaloresda orrenteexternamaior

quezero.

Vinokur em1994 (46) prevêo movimentode um ristalde vórti e moving rystal para

forças maiores que

f

t

. Para forças menores que

f

t

e maiores que a forçade depinning

f

c

(forças onde os vórti es omeçam a se movimentar) os vórti es se movimentam em um

regime plásti o.Abaixo de

f

c

, os vórti es estão pinados e apresentam uma onguração quase homogênea, mas sem ordem ristalina de longo al an e. Para temperaturas a ima

de

T

m

a redede vórti es se omporta omo umlíquido, sendo

T

m

a temperaturade fusão darede de vórti es.

As medidas de transporte em super ondutores na presença de um ampo magnéti o

deram iní io às investigações das fases dinâmi as da rede de vórti es. Bhatta harya e

Higgins (8) estudaram a dependên ia da orrente de transição om o ampo magnéti o

separando omovimentodos vórti es emdois regimes, omo mostrado naFig. 4(a).

(a) (b)

Figura4: (a)Diagrama de faseexperimentalobtidoporS.Bhatta haryae M.J. Higgins

publi adoem PRL,70 2617 (1993),mostrando asfases darede de vórti es. Como

pode-mos ver há três fases distintas para a rede de vórti e: vórti es pinados (fase estáti a),

es oamentoplásti oees oamento elásti o. (b)Diagramade faseexperimentalobtidopor

M.C. Hellerqvist et al., publi ado emPRL, 76 4022 (1996). Este diagrama de fase

pos-sibilitouuma omparaçãodireta om osresultados numéri osobtidosporA.E.Koshelev

and V. M.Vinokur.

Hellerqvist et al. (33) zeram outro trabalho experimental, medindo desta vez a

orrenteemfunçãodatemperaturaparaumaamostrabidimensionalde

Mo

77

Ge

23

. Estas medidas possibilitaram uma omparação direta om o trabalho de Koshelev e Vinokur

(46). Hellerqvistetal. (33)observaramumaumentoda orrelaçãodarededevórti espara

orrentes altas. Para baixas temperaturas, eles en ontraram que os vórti es ini iam seu

movimentomuito abruptamente quando a orrente elétri a é aumentada e o movimento

Giamar hie LeDoussal (21),usando té ni as de renormalização, mostraram que,ao

ontrário do previsto por Koshelev e Vinokur (46), alguns modos de desordem não são

afetadospelomovimento,mesmoemaltas velo idades. Sendoassim, arede devórti esse

omporta omo um vidro em movimento(moving glass) e não omo um ristal perfeito.

Omoving glass possui as seguintes propriedades: (i) de aimentoda ordem transla ional

delongoal an e, (ii)aspartí ulasuematravésde anaisestáti os,(iii)padrãode anais

altamente orrela ionado ao longo da direção transversa ao movimento, devido à

om-pressãoelásti a, e(iv) existên iade barreirasao movimento transverso.

Zapperi et al. (87) mostraram numeri amente que a frente de penetração do uxo

magnéti ovórti e eoperl dedensidade obede em aumaleidees ala. Neste trabalho,

uma equação de difusão não-linear é obtida através do oarse graining da equação de

Fokker-Plan kparaumsistemadepartí ulassuperamorte idasemummeiodesordenado.

Estes autoresobservaramque talequaçãoé apaz de des rever adinâmi ade penetração

devórti eemsuper ondutores. OsresultadosobtidosporZapperietal. (87)mostrandoo

olapsodas urvasparafrentedepenetraçãoeparaoperlde densidadesãoreproduzidos

naFig. 5.

0

1

2

3

4

5

Log

₁₀

t

1

2

3

Log

1

0

x

p

f

0

= 0.01

f

0

= 0.02

f

0

= 0.04

f

0

= 0.06

f

0

= 0.10

−3 −2 −1

0

1

2

Log

₁₀

f

0

3/2

t

0

1

Log

10

f

0

1/2

x

p

(a)

0

50

100

150

x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ρ

f

0

= 0.01

f

0

= 0.02

f

0

= 0.04

f

0

= 0.06

f

0

= 0.10

0

5

10 15 20

xf

₀

1/2

0

1

2

3

ρf

₀

−1/2

(b)

Figura 5: Grá os obtidos por Zapperi et al. publi ados em PRL 86, 3622 (2001).(a)

Posiçãomédiadafrentedepenetraçãoemfunçãodotempo. Oinset destegrá omostrao

olapsodas urvasobtidasparadiferentesvaloresdaforçaexterna. (b)Perldedensidade

emfunçãodaposiçãoparadiferentesforçasexternas. Noinset émostradoo olapsodestas

urvas. Os grá os mostrados em (a) e (b) foram obtidos por simulações de dinâmi a

mole ular

A integração numéri a da equação de difusão não-linear mostrou que a frente de

penetração do uxo magnéti o tem uma estrutura fra tal om dimensão que variaentre

(ver Fig, 6). A dimensão fra tal é obtida usando o método da ontagem de aixas. O

sistemaédivididoem aixas detamanho

b

e ontamosentãoonúmerode aixaso upadas

N(b)

,que de ai om

b

−D

f

,onde

D

f

éa dimensão fra tal.

Figura6: Grá osobtidosporZapperietal. publi adosemPRL86,3622(2001). Oinset

desta guramostra a densidade obtida porintegração numéri a daequação ontínua. O

grá oprin ipalmostraa ontagemdonúmerode aixaso upadasemfunçãodotamanho

da aixa. A dimensão fra tal medida para este sistema foi

D

f

= 4/3

(linha sólida). A mudançade omportamentopara dimensão fra tal

D

f

= 1

éobtida para grandeses alas de omprimento.

Quando arede devórti eséexposta aalgumtipode assimetriaespa ialoutemporal,

podemos observar uma direção preferen ial para o es oamento quando apli amos uma

força externa alernada a om média zero. Esta simetria é responsável por induzir um

efeitode reti ação onhe ido omo efeito atra a (48).

1.3 Colóides

exemplo,aquelesempregadosnopro essodemigraçãodepartí ulassobainuên iadeum

ampoelétri o(eletroforese)enopro esso deeletro-osmose(55). Dispositivosproduzidos

om estas té ni as são utilizadosemgrandees ala naseparação de proteínas e DNA.

A dinâmi ade olóides arregados napresença de um ampo elétri oexterno o orre

através de pro essos de não-equilíbrio. Estes sistemassão ideais para se estudaras

tran-siçõesde fase. Estudos re entes (15), baseados em simulações de dinâmi ade Langevin,

mostraram que estes sistemas apresentam uma transição ordem-desordem (formação de

leiralanes)quando as partí ulas são submetidas a altos valores de amposexternos e

densidades. Esta transição pare e ser de primeiraordem, apresentando uma

metaestabi-lidadequepode ser veri ada devido àpresença de i los de histerese neste sistema(15).

Nas Fig. 7 e Fig. 8 mostramos os resultados obtidos por Dzubiella et al. (15) através

desimulaçõesde dinâmi aBrowniana,para umamistura oloidalsubmetida aumaforça

externa. Na Fig. 7 mostramos a onguração nal das partí ulas para diferentes forças

Figura 7: Conguração nal para uma mistura binária de partí ulas suspensas em um

sistemabi-dimensionalmovimentandoemsentidos opostos,guraobtidaporJ.Dzubiella

et al. (15). (a) Sistema no estado desordenado, onguração obtida para um ampo

externonulo. (b)Sistemaaindanoestadodesordenado, masagora omum ampoexterno

apli adopróximodo ampo ríti o

f

1

≃ f

c

. ( ) O sistemano estadoordenado, formando leiras. Esta onguração foi obtida para um ampo externo

f

2

> f

1

. Nesta situação, o parâmetro de ordem obtido é (

φ ≃ 0.99

). Como podemos ver o sistema apresenta uma transição de ordem-desordem dependendo do ampo força externa. Esta transição de

fase é onhe ida omo transição de ordenamento dinâmi o. Maiores detalhes sobre esses

resultados podem ser en ontrados em(15).

externas e na Fig. 8 mostramos a variação do parâmetro de ordem em função da força

externapara diferentes valores de

κσ

, onde

σ

éo diâmetrodas partí ulas e

κ

é o inverso do al an e do poten ial de interação entre as partí ulas. Em 8(a) as medidas são feitas

aumentando-seaforçaexterna, omaspartí ulasini ialmentedistribuídasaleatoriamente

elar muitos aspe tos importantes, válidos na des rição do movimento de pedestres (41),

de partí ulas granulares(12, 16) eda interfa e entre uidos (84).

Figura 8: Parâmetro de ordem em função do ampo externo, para diferentes valores do

diâmetrodas partí ulas

σ

edo inverso doal an edopoten ial

κ

. Estes resultados foram obtidos através de simulações de dinâmi a Browniana por J. Dzubiella et al. (15). O

parâmetro de ordem mede o grau de organização do sistema. a) Parâmetro de ordem

obtido para as partí ulas ini ialmentedistribuídas aleatoriamentee om a força externa

sendo aumentada. (b) Parâmetro de ordem para as partí ulas ini ialmente organizadas

em duas leiras e om a força externa sendo diminuída gradualmente. Estes resultados

mostrama existên ia de uma metaestabilidade, veri ada através de i los de histerese,

indi andoqueestatransição éumatransiçãode fasedeprimeiraordem. Maioresdetalhes

sobre estes resultados podem ser en ontrados em(15).

A formação de leiras na dinâmi a de misturas binárias de partí ulas arregadas

em olóides, que se movimentam em direções opostas devido à apli ação de um ampo

elétri o,foi onrmadaexperimentalmentepormeio de visualizaçãoda dinâmi aatravés

de mi ros ópios onfo ais (50). Na ausên ia de ampos elétri os externos, as partí ulas

emsuspensãoformamum ristalbinário(36). Quandoo ampoelétri oex edeum ampo

ríti o,aestrutura ristalinaédestruídaeaspartí ulasformamleirasparalelasao ampo

apli ado. Para ampos ainda maiores, as leiras são destruídas e as partí ulas entram

em um estado de transporte desordenado, que pode levar a uma obstrução do anal,

impedindootransporte.

NaFig. 9,mostramosodiagramadefasedenão-equilíbrio,ondepodemos lassi aros

diferentes estadosesta ionáriosdadinâmi adesistemas oloidaisemfunçãodadensidade

e do al an e do poten ial de interação (67). A transição observada para altos ampos

Figura 9: Diagrama de fase de não-equilíbrio obtido por M. Rex et al. (67) para uma

mistura binária de olóides arregados, movimentando-se em sentido ontrário devido

à ação de um ampo elétri o externo. Os resultados foram obtidos por simulações de

dinâmi aBrowniana.

κ

éoal an edopoten iale

φ

éafração volumétri adas partí ulas. Maioresdetalhes deste grá opodem ser obtidos em(67).

Estudosdotransporte de olóidessuperparamagnéti osatravésde anaisestreitos

re-velam que o gradientede on entração está rela ionado om o me anismode redução de

amadasno anal (layer redu tion) (45). Quando a força externa domina o es oamento,

o me anismo de redução de amadas não pode ser en ontrado. No entanto, quando o

transporte o orrer devido a um gradiente de on entração, podemos veri ar um

me a-nismo de redução de amadas eas partí ulas se organizando emuma rede hexagonal. O

ordenamentohexagonalé atribuídoàinteração das partí ulas omváriosvizinhos aoseu

redor, sendo que o al an e da interação entre as partí ulas é determinado pelo ampo

magnéti o externo. Este sistema é ideal para estudarmos o omportamento de sistemas

oletivos,poisvariandoo ampomagnéti oexternomudamosoal an edainteraçãoentre

as partí ulas e, onsequentemente, as propriedades estáti as e dinâmi as deste sistema.

Estes estudos são de fundamental importân ia para a ompreensão do me anismo de

transporte emsistemas biológi os, omo em anais ini os(68).

Na Fig.10 mostramos o perl de densidade e os parâmetros da rede na direção

x

e na direção

y

, obtidos por Köppl et al. (45), para sistemas oloidais de partí ulas su-perparamagnéti as forçadas a es oar através de um anal estreito. Podemos ver que o

aolongo dadireção

x

.

Figura 10: Grá o obtido por M. Köppl et al. (45) mostrando o perl de densidade ao

longode um anal estreitoquandoaspartí ulas estãoes oando devido aumgradientede

on entração.

O me anismode layer redu tion foiobservado ini ialmenteporGlassonet al. (23).

A mudança do número de amadas nas proximidades de uma onstrição foi prevista

por simulações da dinâmi ade Langevin para partí ulas interagindo om o poten ial de

Yukawa(61), omo mostra aFig. 11.

Figura 11: Perl de densidade obtido por G. Pia ent et al. (61) para um sistema de

partí ulasinteragindo omopoten ialdeYukawaparadiferentesvaloresdaforçaexterna.

Osestudos daspropriedades de transporte em olóidesemuma estrutura assimétri a

indi amumme anismodereti açãodomovimentodaspartí ulas(efeito atra a)quando

o movimento dela é induzido por uma força a (53). O me anismo de transporte neste

sistemaéfortementedependente daaberturado anal e dotamanhodas partí ulas (44).

Foiveri ado que a velo idade das partí ulas res e linearmente om a freqüên ia e om

(a)

(b)

Figura12: Grá osobtidosporC.Marquetet al. (53)mostrandoareti açãode

partí u-las mi rométri as es oando através de um anal assimétri o omo mostrado em (a), as

partí ulassão submetidasa um ampo elétri oa de baixafreqüên ia e om média zero.

(a)Designdo analassimétri ousadoparareti aromovimentode partí ulas onnadas

emum anal usado por C. Marquet et al. (53). (b) Resultados en ontrados por C.

Mar-quetet al. (53), mostrandoadependên ia davelo idadede transporte omfreqüên iada

1.4 Pedestres

Nos últimos anos, a dinâmi a de pedestres tem despertado grande interesse na

o-munidade ientí a. O aumento dapopulaçãonos grandes entros urbanos faz om que

in identes, omo in êndios, possam se transformar emdesastres se o lo al não puder ser

eva uado em tempo hábil. Na tentativa de evitar estes desastres, muitos estudos têm

sidofeitosparaviabilizarformas deeva uarregiõesdensasefe hadas emum intervalode

tempomínimo. Estesestudossãorealizadospormeiosdesimulaçõesnuméri as,

analiti a-menteeempiri amenteouexperimentalmentepormeio de análisede vídeos. Osmodelos

usadospara estudar adinâmi a de pedestres podem ser divididosem duas lasses:

mod-elos ontínuos e modelos dis retos. O modelo ontínuo é baseado no modelo de força

so ial proposto por Helbing (32). O modelo dis reto é baseado na dinâmi a onhe ida

omoautmato elularesuasvariações: oor eldmodel elatti e gas model (82,86). Em

geral,adinâmi ade pedestres émuito omplexaedifí ilde sermodeladanumeri amente,

poisospedestres estãosujeitosaumgrandenúmerodeinterações. Modelarestessistemas

representa um grande desaopara os pesquisadores desta área.

A modelagemdadinâmi a de pedestres é um dos mais ex itantes ampos da iên ia

e da engenharia. Compreender omo os pedestres se movimentam é de fundamental

importân iaparapodermos nos ante ipar evitandodesastres, e para melhoraro uxo de

pessoas em lo ais públi os omo em estações de trens, auditórios, teatros, inemas, et

(35). Foiobservadoquetaissistemasapresentamumatransiçãode faseinduzidaporuma

quebraespontânea dasimetria(85). Os efeitos oletivos nesses sistemassão responsáveis

pelas seguintes fases (57, 82):

•

ordenada - movimentonaforma de amadasbem denidas lanes

•

desordenado -movimento turbulento, altamenteresistivo jamming

•

obstruída- as partí ulas estão paradas logging

Aspropriedadesdadinâmi adepedestres,in luindoosfenmenosdeauto-organização,

têmsido observadasereproduzidasporváriosmétodosfísi os. Éimportanteressaltarque

aeva uação de pedestresénarealidademuitomais omplexaqueosmodelosusadospara

des reveresta dinâmi a. As ir unstân ias de perigo epâni o sãomuitodifí eisde serem

reproduzidas numeri amente, sendo quase impossíveis de serem veri adas na vida real.