Transição polarônica de elétrons na superfície de hélio líquido

Texto

(1)\ TRANSIÇÃO. Marcos. l~LÉ'I'RONS. HÉLIO. DE. Henrique. \. DE. POLARÔNICA. NA SUPERFÍCJE. \. ! i. \LÍQUIDO. Degani. Dissertação. apresentada. tuto de Física. e. Química. Carlos,. da Universidade. Paulo, mestre. para obtenção do em Física B~sica.. Orientador: Prof.. Departamento. Dr. Oscar. de Física e Ciência são Carlos 198. BIBLIOTECA DO INSTliJTO. Hip6lito. dos Materiais. 3 (:'F.. FI~'::\f Fi) i '\. c)' ':!Ai(A. C'E. sl,o. CARLOS • USP. Insti-. ao. de de título. São São de.

(2) MEMBROS. DA. COMISSAO. JULGADORA. Marcos APRESENTADA UNIVERSIDADE. COMISSAO. AO DE. Henrique. INSTITUTO SAO. PAULO,. DA. DISSERTACAO. DE. Degani. DE FTsICA EM. DE MESTRADO. li. E nUrMICA DE. DE SAO. dezembro. CARLOS.. DA. DE 1983-'. JULGADORA:. Dr.. D. Lf~ Oscar. -IJ \. - Or;entador. Hip~lito. r.. IV·' / (,.' í-t/!?A/ -/7: ..'~ o r.. ,{I. y .' //~ )(fi". '{ ( ~/~~.,,-~~_, '_~_d __ ~ __ ~' .=.-.=.-_-. Cylon ~.~.Gonçalves. da Silva. ~.

(3) INDICE. CAPITULO. pAGINA. LISTA. i. DAS FIGURAS ••••••••••••••••••••••••••••. RESUMO •••••••••••••••••••••••••••. ABSTRACT •••••. i1. -••••••••••••. , ••• , , ••••••. , , , , •••••••••••. , , , ••. iv. AGRADEC IMENTOS •.•••.•....•.••••••.•••••••••••. I. INTRODUÇÃO •••••••••••.•..••••••••••••••••••.•. II. PROPRIEDADES. GERAIS. .. 1. DOS ELgTRONS. NA SUPERFI. -. CIE DE HgLIO LIQUIDO •.•..•.••••••••••••••••••. III. MECANISMOS LELO. IV. .A. VARIACIONAL •.•.•..••••••••••••••••••. 30. O ~TODO. VI. DEPRESSÕES. DO ~TODO. VARIACIONAL ••••••.•••••... COM MUITOS. EL~TRONS. 37. NA SUPERFIcIE. DE HgLIO Lí QUIDO ••..........•.••••••..•...•.. 69. CONCLUSOES ••••.•••..•.•....•.•.••••••••••.... 117. QUANTIZAÇÃO. DAS ONDAS DE CAPILARIDADE-GRAVI-. DADE •••••••••••••••.........••••••••••••••••. REFER2NCIAS. PARA19. APLICAÇÃO. APtNDICE. NO MOVIMENTO. 5. SUPERFíCIE •..•.•••.•.•••••••••••••••••. V. VII. DE ESPALHAMENTO. iii. •••••••...•••••.....•..............•..•••.•...•.. 121. 126.

(4) i LISTA DAS FIGURAS. pAGINA. FIGURA. 1. potencial. 2. derivada. 3. transiç8es. 4. esquema. do aparato. 5. esquema. para filmes. de interação. elétron-. átomo de hélio ••••. 12. da absorçao ••••••••..••••••••••••••••••••• dos primeiros. estados. excitados ••••••••. experimental ••••••••••••••••••• de hélio adsorvidos. mobilidade. 7 (a). barreira. (b). barrei~a. de hélio ••.•. 20. de potencial. para íons positivos •••••••••. 40. de potencial. para íons negativos •••••••••. 40. dos elétrons. 8. superfície. 9. relação. 10. 11. na superfície. aos íons ••••••••••••••. 41. de dispersão. para íons positivos ••••••••••. 44. relação. de dispersão. para íons negativos ••••••••••. 45. energia. do estado. i. deformada. interface. devido. fundamental. de um elétron. ligado. da""mistura 3He-4He ••.•••••••••••••••••. massa efetiva. de um elétron. ligado. ã. interface. 3He_ 4He •••••••••.•.•..••••••••••••••••••••. ene~gia. do estado. superfície. fundamental. de um elétron. 53. ligado. de filmes de hélio adsorvidos. em. neon sólido. 60. massa efetiva. de um elétron. filmes de "hélio adsorvidos 15 .. energia. à. do estado. superfície. ligado. à. massa. efetiva. fundamental. de um elétron. de filmes de hélio adsorvidos. de um elétron. filmes de hélio 17. r~ultados. vidas. superfície. adsorvidos. experimentais. em safira.-. de. em neon sólido ••.•••••••. r a ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••. 16. 51. da. mistura. à. 14. 13. 16. 6. 13. 12. em um sub~. tato. 12. 6. ligado em safi-. _ •••••• ligado. à. 62. superfície. de. em safira ••••••..•.•..••. para filmes de hélio. 64. 66. adsor. 68.

(5) FIGURA . esquema de uma depressao na super f4'J.Clede. 18. 4 He. l~ ... ~qui do •...........................•......... 19. 71. energia de .formação de uma depressão com muitos elétrons na interface da mistura 3He-4He•. 20. raio médio da depress~o na interface da mistu 3 raHe-·. 21. 4He•.••••••••.•....•.••••••.•••••••••• .. 79. massa efetiva da depressão na interface da. '.t. mI.S ura 22. 77. (aJ. 3H e- 4H e. fotografia de uma depressão na interface. 83. fotografia de várias depressões na interface da roi stura. 3. 4. ... He- He •••••...••.•.••••••••••••••. 23 (a,b,b)fotografias de depressões na superfIcie. Iqui do ••••.•••••••••••••.•..•..••.••••••.•••. 88. densidade média de carga para uma depressão na superficiede Cal neon (b). 26. filmes de hélio adsorvidosem. :. sólido ....•.......................... 9"4. s·af ir a .••..••............................. 95. energia de formação de uma depressão na super fIcie de filmes de hélio adsorvidos. em:. ~. (a) enon salido •••••••.•..•.••••••••••••••••• (b) 27. 92. perfil de uma depressão na superfície de 4He 1.. 25. 83. de. 4He lIquido •••.•••••••..•.....·..••••••••••••• 24. 81. da. 3He-4He ••.•...•....................... mistura. (b). .. i. 100. s a'f r a ••••.•...................•.•.•.•.... raio médio de uma depressão na superfície. .. 98. de. filmes de hélio adsarvidos em:. sólido. Ca). neon. (b). safira. 102 104.

(6) pAGINA. FIGURA 28. massa. efetiva. de filmes. de uma depressão. de hé1io adsorvidos. na superfleie em: 106. (a) neon s61ido ••••••••••..•..•..•.•••••••••. (b) 29. safira. densidade. . de carga de urna depressão. fíeie de 4He líquido. 30. energia. 31. na supeE 110. (d-+co)••••••••••••••••••. de -formação de urna depressão. perfície. de 4He liquido. fotografias. da formação. na su-. 112. (d-+co)•••••••••••••••. do cristal. de depres. ~ 'd ••••••••••• soes na super f~' ~Cle d e 4H e l~ lQU10 32. ~. espessura létrons. .. crltlca. 114. ~. em funçao do numero. em depressões. mes de hélio. -. 108. na superfície. de e-. de fil -. 116.

(7) ii RESUMO.

(8) Com o objetivo. de investigar. de elétrons. à. fundamental teragindo. com os modos. mos um formalismo qual é válido. superficiais. simples. baseado. Calculamos. de um elétron. dos em neon sólido, 4He• Um comportamento de o' elétron. tipo transição. Este resultado de medidaa. externo. da mobilidade. em uma depressão. de 4He liqUidO,. em filmes de 4He liquido. elétrico. crítico. sao. Para temos muitos. a partir. contendo. elétrons. criticas. pode existir.. com dados experimentais cordância.. ordem,. on -. localiza-. na superfície calculamos. é. adsorvidos. de. a ener média. elétrons. da mistura. loca-. 3He-~e. em neon sólido e em. de 3He_4He obtemos a localização. o campo. da depres. em neon sólido e em safira,. do filme entre as quais Os resultados. e teóricos. 3He-. experimental-. muitos. na interface. do qual ocorrerá. filmes de hélio adsorvidos. as espessuras. adsorv!. de misturas. confirmado. de elétrons. safira. No caso de 4He líquido e misturas. e -. e a massa. o raio médio e a densidade. ("dimple"). o. um certo valor crítico. em safira. Em seguida,. gia de .formação, a massa efetiva,. e finalmente. fundamental. livre para um estado. foi recentemente. adsorvidos. lizada nasuperfIcie. utiliz!. de acoplamento. de fase de primeira. excede. e in-. canônicas,. em safira e também na interface. observado.. de cargas. da constante. passa de um estado quase. filmes de hélio. líquida. (riplons),. em transformações. do estado. do estado. sobre a 'superfície de filmes de hélio. o campo elétrico. através. de hélio. de oscilação. a energia. do quando. mente. superfície. para todos os valores. Jétron-riplon. efetiva. ligados. as propriedades. recentes. obtidos. a depressão. -. obcom. sao comparados. e estão em excelente. con.

(9) iii ABSTRACT.

(10) A simply unitary-transformations forma11sm is used. in. arder te investigate the ground-state properties of an electron bounded on a liquid-helium surface and interacting with. the. surface'Il).odes of oscillation(ripplons). We have calculated. the. ground-state energy andthe. on. effective mass of an electron. films of helium adsorved on solid and saphyre and electron. at. the interface of phase separated 3He-4He mixtures. A first-order phase-transition-like behavior from the quasi free to the self trapping. electron. state as the clamping. external. electrical. field exceeds a certain critical value is observed. After, we ha ve evaluated. the ground-state. and the density on the surface. of charge. energy,. in an individual. of heliurn liquid,. lid neon and saphyreand. effective. rnass, the radius. rnany electron. films of helium. at the interface. adsorved. dimple on so-. of phase-separated. 3He-4He mixtures. For thedimple terface. of phase. the critical occurs.. on the surface. separated. of heliurn and at the in -. 3He-4He mixtures. externa 1 electrical. field where. For the films of heliurn adsorved. phyre we have evaluated the dimple. we have evaluated the localization. on solid neon and sa. the range of criticals. thickness. where. existo. The resultsare are in excelent. compared. concordance.. to those recently. obtained. and.

(11) iv AGRADECIMENTOS.

(12) Ao Prof.Dr.Oscar te apoio e paciência. Pedro.. segura,. constan. deste trabalho.. Giomal,. Nelson. e Umbelino. pelas pro. discussões. Ao Prof.Dr.Sylvio. tuto de Física. e Química. Aos colegas Ciência. pela orientação. na realização. Aos colegas veitosas. Hipólito. dos Materiais. e funcionários. Ao CNPq e. do Departamento de Física. para o desenvolvimento. pelo excelente. à. no Insti. FAPESP. trabalho. pelo suporte. de Física. e Química. do seu centro de computação,. contribuiram Â Loreni. Rosa Jr. pela acolhida. de são Carlos.. do Instituto. 10, USP, em especial diretamente. Goulart. de são Car -. que direta. deste. ou in-. trabalho.. de datilografia. financeiro.. e.

(13) 1. CAPiTULO INTRODUÇÃO. I.

(14) 2. Nos últimos mas bidimensionais. anos as propriedades. tê~ sido intensamente. quanto. experimentalmente.. aquele. formado. de elétrons. do e que, tamb~m. pectro. fenbmenos. de estados. de Wigner,. depositados. localizados. tes sistemas. os elétrons. mobilidade,. de uma fOFça eletrostática. à. perpendicular. e movendo-se peraturas taçôes. térmicas. superficiais. com os riplons. do líquido.. que a sup~~fície o elétron. liquido. com os átomos. A pressão. se deforme. interagem. favorecendo devido. formando. citar e!. cristalização. superfície. -. Nes. sob a ação externo. estarão. quânticos. na direção. externo. exi-. liga -. discretos. paralela.. Para tem. sobre tudo com exci líquido. sendo entr!!,. do vapor de hélio. intenso,. o elétron. intera-. assim sua localização ao campo elétrico,. uma pequena. faz. depressão. •. na. na com qual. fica localizado.. - -1--. Neste cessivel. à. (riplons) do hélio. suas interações. líqui. e redes macroscópicas.. em estados. livremente. de um campo elétrico. ge fortemente superfícj. localização,. sendo, os elétrons. de 0,8K, os elétrons. tanto desprezível. de hilio. os quais podemos. ligados. à superfície. mais ou menos. abaixo. Na presença. Assim. está. de hélio. imagem e de um campo elétrico. superfície.. dos, perpendicularmente. teórica. estudos.. dentre. permanecem. tanto. na superfície. ondas de plasma bidimensional. ,. de siste -. mais investigados. na superficie. interessantes. ligados,. estudadas. os sistemas. será alvo de nossos. El~trons bem vários. Dentre. eletr8nicas. sistema,. experimentalmente,. ra este intervalo um gás puramente. o intervalo. tem sido entre. de densidades clássipo,. de densidades 104_109. o gás de elétrons. mesmo para temperaturas. eletrônicas. a -. elétrons/cm2• bidimensional. p! é. de alguns mili -. kelvins. Neste do estado. trabalho. fundamental. dos em filmes. de hélio. estaremos. interessados. e a massa efetiva adsorvidos. em obter. para os elétrons. em neon sólido,. a energia localiza. em safira. -. e tam -.

(15) 3. bi~ far~ elitrons desenvolvidos. de acoplamento. tram que a energia. caracteriza ron passa previsao través. em. com sucesso. para. para qualquer Nossos. da mobilidade. da mos-. uma discontinui externo,. o. que. -. do tipo transição. de fase onde o pala. para um estado confirmada. valor. resultados. apresenta. s~o. localizado.. Esta. experimentalmente,. dos elétrons. em filmes. a-. de hélioad. em safira.. trons nos estados destes. 11 descrevemos. superficiais. estados. ligados. potencial' que localiza dança deste espectro nos. O sistema substratos. devido. formado. também. létron-excitaçao. modelos. Discutimos. Finalmente. o es -. propostos. sobre a superfície, de campos. dos el~. para. bem como a mu. elétricos. líquido. o. exter -. adsorvidos. os resultados. em. experimen-. são apresentados. 111 discutimos. detalhadamente. por átomos. do hélio.. superficial. ma. Esta Hamiltoniana. nos vários. por filmes de hélio. dos elétrons. da superfície. propriedades. líquido.. presença. é discutido.. No capítulo de espalhamento. à. algumas. em hélio. o elétron. tais mais significativos. térmicas. baseado. ao campo elétrico. quase-livre. No capítulo. pectro. variacional,. fundamental. foi recentemente. de medidas. sorvidos. válido. com relação. de um regime. Os cilculos. elétron-excitação.. um comportamento. teórica. é. e. do estado. dade na sua derivada. 3He-4He•. o qual já foi utilizado. can8nicas. tipos de polarons. constante. da mistura. por meio de um formalismo. transformaçoes diferentes. na interface. Obtemos. de hélio. e pelas excitações. o potencial. e a Hamiltoniana. os mecanismos. de interação. que descreve. igual à Hamiltoniana. é formalmente. ~. o siste-. de Frôhlich. \. para o polaron. deste polaron descrito. A energia. do estado. são calculadas. no capitulo. através. IV. Este método. te de acoplamento. elétron-excitação. so em diferentes. tipos de polarons.. O capítulo dos carregadas. fundamental. V é dedicado. bem como a análise. e a massa. de um formalismo. efetiva. variacional. é válido. para qualquer. e tem sido. aplicado. ao estudo relativa. consta~. com suces-. de superfícies. à estabilidade. ,. de flui de. tal.

(16) 4. sistema.. Aqui aplicamos. capitulo. anterior. terface. da mistura. neon sólido estado. acordo. 3He_4He e para filmes de hélio. adsorvidos. e a massa. elétrons. cOmO foi observado netta e Ikezi14, adsorvidos. o método. e sugerimos. na 'in em. a ener9ia. resultados. estão. do em. e Hipólito. de trajetória. apenas. a teoria para o caso em que. em uma depressão. experimentalmente. por Wanner. de hélio. e em safira de formação,. eletrônica. Finalmente. no. intenso.. na superfície. dio e a densidade. obtemos. por Farias34. das integrais. localizados. a energia. Nossos. obtidos. VI estendemos. em neon sólido. 4He• Calculamos. efetiva.. com os resultados. No capítulo. te.. Para estes sistemas. de campo externo. se tem muitos. desenvolvido, localizado. et.al35 que empregaram no limite. variacional. para o caso de um único elétron. e em safira.. fundamental. excelente. o formalismo. e Leidererl3. e Gian. em filmes de hélio. e na intérface. da mistura. a massa efetiva,. 3He-. o raio mé -. na depressão.. no capítulo. alguns problemas,. líquido,. da superfície,. VII, sumarizamos. que deverão. nossas. ser abordados. conclusões. futuramen. -.

(17) 5. CAPíTULO 11 PROPRIEDADES GERAIS DOS EL~TRONS NA SUPERFíCIE DE H~LIO.

(18) 6. Neste dos no sistema. capitulo. de elétrons. quido e os principais ~. A origem lio 1lqu~do. dos estados. efetuados. c±al para. resultados. de um elétron. da na figura. básicos. superficiais. envolvi-. sobre hélio. lí-. experimentais.. superficiais usando. dos elétrons. a forma de energia. com um átomo de hélio.. por Kestner. a interação. os conceitos. em estados. pode ser explicada. de interação cálculos. resum~remos. et al.l utilizando. de um elétron. sobre hépotencial. O resultado. dos. um pseudo-poten-. é mostra. com um átomo de hélio. 1•. I. .1 "56 42 I7I.3 >> 6li: o I. li I. +. ::i. o. -.1--. -.2 .2. -. Figura 1. Para pequenas vido ao princípio do elétron outro. extra. distâncias,. de exclusão. ser atrativa,. aos estados. maiores. pelos. atrativo. origina-se. elétrico. instantâneo. estados. que a função. atômicos. a interação. mas com uma intensidade. ção a responsável. uma forte repulsão. de Pauli exigir. seja ortogonal. lado, para distâncias. existirá. muito. o elétron. Por. passa. fraca. g esta intera. que discutiremos. da força entre. de onda. ligados.. dominante. de. a -. aqui. O potencial. e o momento. de dipolo. do átomo.. Se os átomos. de hélio. preenchem. a região. 2<0, tal que. a.

(19) 7. supert!cte efflz=O. seja plana, a repulsao devida ao princípio. exclusão. origina. depauli. mente um elétron~volt, ção dá origem z<O juntamente. uma barreira. enquanto. ao potencial. raro propostos elétrons minar. com o potencial. o espectro. escrever hélio. Vários. à. superfície. que prende. e, portanto,. perpendicular. no movimento. dos elétrons. e paralela o movimento. perpendicular. a função de onda eletrônica. deter-. à. sobre hélio. superfície. paralelo. são de-. ao líquido. onde os elétrons. V(z). Desta (admitindo. es-. forma, podemos. que a superfície do. como o produto:. lÃ. 2m n. os. de energia.. =1-.- e i ~ l\.r-+. onde. para. ,. a forma do potencial. a um poço de potencial. seja plana). -. modelosfo-. e por hora ignoraremos. tão confinados. de potencial. ligados.. supor que os movimentos. e nos concentramos. polariza. estados. perpendicular. liquido nas direções. ã. devido. um poço u-. de auto-estados. Podemos. A barreira. de aprox~mada. imagem para z>O, formam. para encontrar-se. na direção. sacop1ados. que a atração. imagem.. nidi11lensional no qual aparecem. de potencial. de. (2.1) 4>n(z). ré. um vetar no plano x-y da superfície do líquido, e A é a n n =estamos O (2.2) tE d2 -V (z(z) » isso 4> (z) área. Com admitindo que os elétrons estão a livres para satisfaz equação de 4>n dz2. +. o movimento. paralelo. e a função de onda. 4> (z). 1'12. A energia hélio,é,. potencial. corno já enfatizamos, (a) o potencial. ce, devido. à. polarização. V (z) de um elétron. constituída. imagem. clássico. eletrostática. fora do líquido de. por dois termos: atrativo. de longo alcan-. da superfície..

(20) 8. - - -- . ~o. (E+1l = -. onde. z z2. .. I. e. (2.3) z>Q. E-l. E é a constante. dielétrica. (b) uma barreira princIpio. de exclusão. não. é. distâncias. conhecido. giãoseriam. é. com detalhe. as energias. clássico.. de onda. Izl. de. um. o potencial. sobre sua forma nestare. para descrever. para o potencial. a equação. visto pelo elétron. mais o potencial. de Schrôdinger. ção com. R,=O,. "s" do átomo de hidrogênio.. será hidrogênico,. imagem. é idêntica. radial para x(r) = r Rn,o (r), onde R n,o é a n-ésima ou seja, ondas. e. foi feita independentemen-. na superfície. aproximação,. ligados. e Shikin4•. mais simples infinita. os estados. equação. de energias. ao. é maior que. à z=O,. próximo. dos átomos. Cole e Cohen3. Nesta. quando. devido. interesse.. tentativa. o de uma barreira. a função. apropriada. Entretanto. de ligação. O modelo. 1.057;. de curto alcance,. e informações. de considerável. te por Sommer2,. é. muito. at8micas.. A primeira obter. repulsiva. liquido,E=. de pauli, obrigando. Esta descrição algumas. do hélio. à. saIu -. O espectro. ou seja:. 2 r20. E n =-. Neste. ---;r'2 e n. Ryd ~ -. caso, o comprimento. 0,65 -yn. (2.4). meV. característico. ou raio de Bohr efetivo. ... sera: .a .. e. a. O elétron. =. o. 2. será localizado. mente ligados.. o. = 76A. Os valores. (2.5). longe da superfície. nestes. estados. de <z> para os três mais baixos. fraca. auto es-.

(21) 9. o tados são respectivamente 114, 456 e 1026 A. Isto justifica usar a aproximaçao em que a superfíc~eé. plana. Como E o ~ O,7meV a aproxi -. mação. é. de barreira. infinita. Os resultados. também. obtidos. dos são aproximadamente. justificável.. para a transição. 5% maiores. entre estes esta-. que os valores. preditos. pelamo. delo hidrogênico:. .. ,... Teórico. Experimental. 1+2. Il9,7GHz. 125,9±0. 1-+3. 141,8GHz. 148, 6±O, 3GHz. Trans~çao. Esta pequena faciais. discrepância. tais como: valor. portamento. finito. real da interação. é atribuída. da barreira. de polarização. ,2GHz. aos efeitos. de potencial para pequenas. inter-. e o com distân. cias. Outro modelo. consiste. em introduzir. cial finita V o , da ordem de um elétron-volt. a barreira. e o potencial. de potenimagem. clássico:. Neste. caso, a exigência. derivada. da continuidade. em z=O, introduz. singularidade. dificuldades. propos. do potencial. devido. - um mo dIe o no qua I' eV1tava-se entao imagem.. O potencial z>z. V(z). matemáticas. ã. do potencial.. M.Co 15 e gularidade. sérias. da função de onda e de sua. =. V. o. o z<o. é dado por:. o. o<z<z z. proposto. . a S1n-. o. (2.7).

(22) 10. onde a constante hélio,. z. o foi tomada como a distancia. 3,6 R. Para este modelo. devemos. resolver. interatômica. do. as seguintes. eqUq-. -. çoes: ~ ~ - y ~ 4+}J~=. =. .2. 2. z<O. OO. dz dz 2. (2.8a). 2 O<z<z. z>z. (2.8b). o. (2.8e). o. Vo-E ) e ~ 2 = ~2m (E + ri;- o ). com as relaçoes de continuionde y 2 = ~2m (. _ dade usuais e a condição de contornoo no infinito. A solução da última equação. é a função de Whittaker. um número quântico. relacionado. W~,l/2(2noz/~e2ao). onde. ã energia através da equação:. (2.9). Ryd. Embora neste modelo. a divergência. a altura. do potencial. da barreira. 1.3eV para que os resultados. "~" é. imagem. de potencial. coincidam. fôsse evitada. V o é estimada. em. com os experimentais,. com. o parâmetro medida. z o =3,6 A. Para que a altura. experimentalmente. sultados. diferem. o parâmetro. significativamente. Um outro. potencial. da barreira zo cresce. e os re. experimentais. para o elétron. cie de hêlio que tem sido usado na determinação nergia. rapidamente. dos resultados. aproximado. fôsse leV, como. •. na superfí-. do espectro. de e -. é: z>O. Z+13. (2.10 ). vez) =. vo. 2<0.

(23) 11 Fisicamente,. trata-se. tericial imagem. o potencial. tivesse. tro do liquido.. sua origem. Recentemente,. te este ll~delo e calcularam justando' o parâmetro. fora da superfície a uma pequena. Hipólito os nlveis. et.a16. dist~ncia. resolveram. de energia. ~ com os resultados. como se 0PQ S. den -. exatamen. dos elitrons. a -. O melhor'. experimentais,. o juste foi encontrado. quando. mental. dos estados. da existência. cial imagem. para elitrons. por sommer7• potencial, líquido. Sommer. da ordem. e Williams. estados. experimental.. superficiais. que utilizando. técnicas. ção de energia. entre o estado. dos excitados,. observando. los elétrons. sobre hélio. terno perpendicular. devido. 2 mostra. os sinais. às transições. estados. excitados. tre dois eletrodos do hélio. líquida.. no hélio. e schwarzlO. mostra. obtidos da exis. por Grimes. mediram. e. a separa-. e os dois primeiros. de radiação. sujeitos. por. de mobili-. A prova definitiva. fundamental. de. esta. de microondas. pe-. a um campo elétrico. ex-. à superfície.. A figura onde aparecem. a barreira. de medidas. espectroscópicas. líquido,. foi apontada. foi feita. foi apresentada. a absorção. pelo pote~. estes resultados. com os de Ostermeier. por meio de outra técnica. Brownll. et al.9, através. experi-. de elétrons. destes estados. sobre hélio. Entretanto. raro estar em desacordo. destes. de hélio. ele mediu. experiência. experimental. evidência. induzidos. de leV, para a penetração. A observação. e Tanner8. superficiais. fora de superficie. Em uma elegante. dades dos elétrons. tência. S=l.Ol A. A primeira. !!. o traço experimental. da derivada. do estado. em função planos. de absorção. fundamental. mais pronunciados. para os dois primeiros. do campo elétrico. localizados. tornado a 160GH z ,. externo. aplicado. acima da superfície. en-. e dentro.

(24) 12. f. O. =. 2. 160.0. I 6. 4. I ,,') L. GHz. I 8. I 10. I 12. D.D.P.. meiros jada. é. estados. são os resultados. de Grimes. experimentais. de Hipólito. 10 de potencial. para o estado. do modelo. 20. 2. estão os resultados. excitados. a previsão. os resultados. 3. I 18. (Volts). Figura. Na figura. I 16. j. 14. para transições. fundamental.. A linha trace-. et al.31 e os símbolos. por eles obtidos.. et al.6 baseado. dado pela equação. dos pri. (+). A linha cheia são. na solução. exata. (2.10) no qual utilizou-se. do mode B. =. o. = 1.01 A. Em vista da concordância podemos cial. é. concluir aquele. que o melhor. com os resultados. modelo. dado pela equação. fenomenológico. (2.10).. 220. ...-. I(.!)NtoO. 1- 3. 1-2. ..•...••. CCl 180. '0. c. (<1.). ::::J. O-. L 'f<1.). 'O. 50. 100. 150. campo elétrico Figura. 3. (V/em). experimentai~ para o poten -.

(25) 13. Até qgora temos d~scutido dos superficiais utilização. em hélio. deste dielétrico. se usar hélio. liquido. sua constante. dielétrica. função. lIquido,. to, no vácuo,. à estrutura. slveis. crevê-los. melhor. mas nada dissemos. devido. e o vácuo. líquido. lizada abaixo. simples. de um capacitor da superfície. .. ~. +1. •. exper1men. HV : 4He. os estados. da superfície. de. entre. //. a. de decaimen não são sen-. o que permite-nos. elétrons. e não requer plano. superficiais. tecnologia. carregada. do liquido. tuada na fase gasosa é suficiente. parato. A vantagem. des. teoricamente.. é muito. placa metálica. da. tem uma extensão. o método prático para obter-se hélio. do porquê. à pequena diferença. (:100 .R). Assim. microscópica. dos esta -. (s-1",0.OQS7). Como resultado,. superficial. macroscópica. edetecção. e não um outro qualquer.. é sobretudo. de onda do elétron. a origem. em. especial.. positivamente. loca-. e uma fonte de elétrons. Na figura. 4. Uma. esquematizamos. sio a. t a 112 •. :I. filamento p pulsos eletrômetro gerador de. R carona :. r~. Bvw1. F voltagem. para discarga. F. Neste. ca~o, a concentração. perfície. é determinada. na fase gasosa,. de equilíbrio. pela condição. seja completamente. dos elétrons. que o campo elétrico. blindado. superficiais, ou seja, o campo elétrico. externo. ficial,. sera:. de equilíbrio. externo. ,. pelo campo dos elétxons. total ET na fase gasosa. nulo. Se E~ for o campo elétrico a condição. sobre a su -. e n s a concentração. é. super-.

(26) 14. E. s ou. = E~ ~ 4nn e = Q. (2.11). E~ = 41Tn e. Então,. pela variação. do campo elétrico. vel obter a densidade 109 e1étrons/cm2•. Para densidades. trons na superfície mensional,. de elétrons. de hélio. 2 1T1\. EF =. variando. liquido. 9. 2xlO cm. um gás clássico. acima de poucos. é. Wigner. pode ser detectada. a condensação. Precisamos,. dada por:. a densidade. por várias. em um sólido. de. verificar. o efeito. do campo elétrico. nos experimentos. do campo externo. distorce. com elétrons a forma do po -. tal que:. caso. eletr8nicos. __. é. no. +. necessário superficiais.. para este problema tar o problema superfície. rigem. •. milikelvins. (2.13). eEJ.z. z>o. calcularmos. o efeito. z. o modelo. bidi -. experimentalmente.. agora,. A presença. variar. dos elétrons. E4 que está sempre presente. vez). Neste. e1é. (2.12). como pode-se. de grandeza,. tencial. intervalo,. 105_. -2. ordens. superficiais.. formam. possí-. intervalo:. ,. s. Além do mais,. externo. neste. de Fermi em duas dimensões. .n. m. é facilmente. n s em um grande. mesmo para temperaturas. Uma vez que energia. externo. Infelizmente. através. uma solução. ainda não foi obtida.. de um campo elétrico de teoria. hidrogênico,. z=O. Outro procedimento. analítica. Uma aproximação. aplicado. de perturbação. onde a barreira. Stark para os estados. seria tr~. ã. perpendicularmente de primeira. de potencial. seria empregar. exata. ordem. para. é infinita. na o. o método. variacional.

(27) 15. para resolve;r:;'JI}os a equação. "2. de Schrõdinger:. "2. 'fl··d~. -.~.2m. (2.14). •... ~_. dz. z. Para a função de onda variacional. _ ·(4. b = -- senh 3>. 4a. (2.15). b é dado por:. - senh. ·[13. --. (2.16). 4 ] -1 9>.. com "a" sendo o raio de Bohr efetivo Na presença. à. reduz-se. e autovalores. e >.=&3eEJ./fl2.. de um campo elétrico. bastante. imagem pode ser desprezado. equação. escolhemos:. z e-z/b. variacional. V/em) o potencial. fundamental. 1/2. -b1) onde o parâmetro. do estado. e a equação. de Airy onde os resultados. de energia. são conhecidos. forte. (E >3000 de onda. para as autofunções. e dados por:. (2.17). e. onde A(z) xemplo. é. _. l:. a função. ~1~2,34).. localizado. (2.18). n=1,2,3 •.•. --2 1/3. n - ~n eE~. E. 2E.L ) (.ea. de Airy e ~n ~ denota. Neste. caso, o elétron. a uma distância. <z>~l,3. o seu n-ésirno zero. no estado. (eao /E~)1/3. fundamental. (por -e está. da superfície. ~. Um outro lizaçao. de elétrons. to sólido. sistema sobre. de constante. dos se modifica. de relevante. interesse,. tem sido a loca'. filmes de hélio adsorvidos. dielétrica. significantemente. €. s•. O espectro. em um substra. dos estados. pois o substrato. liga-. induz altera.

(28) 16. ções na, força ~J[lagem~O arranjo experimental matizado. na figura. potencial. 1 no 2 (-a) n 9.-1 z+9.d nl = 4(E+l) t=l s (O 2 E V(z). z. imagem neste. 5 caso. é. dado por. aproximada pectro metal. (2.19). em geral,. apresenta. pelo primeiro. dos estados. termo.. eletrônicos,. Gabovich para. s. (I::. s -d. convergência. e pode ser. et al.16 obtiveram. filmes de hélio. finos o potencial. o es -. adsorvidos. em. será:. (2. 20) z+d. li..·-tea condição. expandir. (E-I). = -----(e:+l)(cs +d. = z. Neste. uma rápida. (E +(0). No limite de filmes. V(z). (15). e e 1::(1:: -c)s (1::+1) (I:: +c). a. Esta série,. está esqu!. •. 5. Figura o. utilizado. o potencial. d»<z>n. é sempre. na seguinte. satisfeita,. então podemos. forma:. (2.21 ). V(z)'". z. o. substrato. atuará. como um campo externo. ~l a presença nergia. do termo negativo. potencial. dos elétrons.. -. d. nl de intensidade. contribuirá. EL= ~. para o aumento. ed. e. da e -.

(29) 17. Platzman. e lkezi17 mostraram. lio, a densidade. máxima. ticamentedev~do. ao campo elétrico. forças. de carga na superficie. de van der Waals. de hé. que no caso de filmes. efetivo. as quais tendem. será aumentada. dr'as ...•. e ao aparecimento. a estabilizar. das. o sistema. e.•. lét:ron-;filme.. A correç~o hidrogªnica. no espectro. em função. de energia. da espessura. obtido. na aproximação. do filme será:. (2.22). ~[l-~ d. correspondendo. 2. a primeira. ordem do efeito. Stark do campo elétrico. , Ql E. d. =. -::2' ed. Como vimos, considerados. como um sistema. um poço de potencial vimento. eletrônico. densidades, trons. os elétrons. na direção. ideal e neste. do líquido riplons. é imped!. termicamente. vapor excitados. so -. •. líquido-vapor.. dos líquidos. relacionadas. são ondas. com as os. superficiais. em geral e que quando. Estas quasi-partículas. de capi. quantizadas. são bosons. com. de equilíbrio:. _ l)~l e relação. Para baixas. eletrônico. de héliono. são quasi-partículas. o nome de riplons.. concentração. do mo. de espalhamento:. por riplons. da interface. de. como um gás de elé -. o movimento. (b) espalhamento. laridade-gravidade recebem. regime,. por átomos. Estes. superfície.. ser. dentro. as propriedades. pode ser tomado. (a)espalhamento. bre a superfície. j. à. paralela. de hélio podem. bidimensional. V(z). Agora estudaremos. do por dois mecanismos. cilaç8es. de elétrons. o gás de elétrons. livres. na superfície. de dispersão:. (2.23 ).

(30) 18. onde g. é. 2. . ,o. WK. = gK + ~ p. a constante. densidade. (2.2 4). da gravidade,. ao. to será apresentada em baixas. quantitativa. no próximo. temperaturas. vido ã interaçao. destes. capítulo,. (T<O,70K). (E •..3000 V/em). elétron-riplon,. a superfície ~. exercidapelo. A depressao. forma um "dimple". tos recentes. de Wanner. com sucesso. i. Entre ciais em hélio, simplicidade parâmetros. a localização. externos. Para campos. é. ~. de-. da or-. intensos. ã. devido. da superf~cie. pressão. em torno de cadae. se localiza.. e Giannetta. de elétrons. princípios densidade. as características enfatizamos. de preparação do sistema. superficiais. Experimen - /. e Ikezil4. têm veri. seja na interface. dos sistemas. de. capítulo. do elétron. xas temperaturas,. do sistema,. Neste. sua. alguns. sentido,. elétrons. ideais para a investigação de um gás de elétrons de baixa. dimensão.. experimentais. superficiais. faremos. com a superfície. e outros. em hélio. de hélio. ou seja, na região onde. de baixa. linha tais. de Wigner. somente. fo. ?. detalhada. a Hamiltoniana. de. Não ,é surpre-,. nesta. uma análise. e deduziremos. é importante.. superfi. de variarmos. cristalização. com o uso de elétrons. de espalhamento. tron-riplon. básicas. bidimensionais,. No pr6ximo. a interação. e a possibilidade. da teoria. que as descobertas. ram obtidos. dos elétrons. uma vez, a pureza. são objetos. fundamentais e a física. mais. básicas. num longo intervalo.. em hélio. como: plasmons. canismos. e Leidererl3. que. predominante. deforma-se. no qual o elétron. adiantar. . de 3He- 4He ou de 4He l~ ~qu~do.. m sturas. endente. é elástico.. de hélio. de espalhaIne~. mas podemos. e que para campos. ~. eletron.. mecanismos. o espalhamento. dem de 400 v/cm este espalhamento. ficado. e p a. superficial. do liquido. Uma análise. létron. é a tensão. dos me. que descreve. líquido. para bai-. a interação. elé-.

(31) 19. CAPITULO MECANISMOS. DE ESPALHAMENTO. 111. NO MOVIMENTO. PARALELO. ! SUPERFIcIE.

(32) 20. Neste eletrônico mente,. capf tulo, estudaremos. na direção. para baixas. paralela. densidades,. rado como um gás de elétrons mento. é impedido. eletrônico. espalhamento. pelos. do ãs excitações. 18. de momentum. lisão). depende. pendente quase. to pelos. átomos. predominante. do elétron.. o movi-. de espalhamento:. estudaram. N. ... !. I tI. devi-. o espalhamento que a v~. de vapor. em baixas. aumenta. o espalhamen-. temperaturas. é. e. como pode ser visto nos resul-. (átoJTIos/CJ1l3) 1016 1018. o.e0.7,'"0.6 Ltl 6 li'. o. (inverso do tempo de co-. da temperatura,. para a mobilidade,. Figura. 20. Como a densidade. em altas temperaturas,. T(K'. regime,. dos átomos de vapor e é inde -. com o aumento. ,. anterior. do líquido.. ao espalhamento. no vapor é desprezível. tados experimentais. 0.5. e Saltoh. da densidade. exponencialmente. ideal e, neste. 19.. -. pode ser conside-. por átomos no vapor e encontraram. devido. da energia. livres. por dois mecanismos. , Crandall. sómente. Como citamos. o gás de elétrons. da superfície. na superfície. riação. superfície.. do movimento. de hélio no vapor e o espalhamento. térmicas. M.Cole de elétrons. átomos. à. as propriedades. mostrados. na figura. 6. •.

(33) 21. Na figura la. à. $uperfície. do vapor. do hélio. com 0$ riplons. tais. foram obtidos. obtida. e os átomos por Grimes. parale-. e da densidade. considerando-se. apenas. é. A linha tracejada onde considera-se. no vapor.. e Adams2l,. Os pontos. o. -. o resul o espa-. experimen-. t·) por Sommer. e. 22 e (o) por Rybalko. .. Nos calculos través. é. por Saitoh20. 8 Tanner. eletrbnica. da temperatura. novapor23•. efetuados. lhamento C+l. em função. com os átomos. tado dO$ cálculos. temos a mobilidade. A linha cheia. de hêlio.. espalhamento. anterior. da solução. ção distribuição. et aI ... . . h20 , o tempo de Salto. da equação de elétrons. de transporte f(K), quando. de. - e.. o bt' co l' lsao. de Boltzmann. 1do. a-. para a fu~. um campo elétrico. E". é. •... aplicado. onde ~é. ã. paralelamente. -~. eEII _a _ 1'1 aR. superfície,. f <1<). =. por simplicidade. na direção. ~. (3.1). Qbf<l<). x. o operador. colisão. ~. Admitiremos tenha. que a função distribuição. dos elétrons. f(R). a forma:. (3.2). com um termo. isotrópico. e outro. Para a colisão mos um pseudo-potencial. anisotrópico.. do elétron de contato. L. i,a. onde ~,1. e R a são vetores. ~. ó. com o gás de hélio,. considera. do tipo:. ~. (r,-R 1. a). posição. -. (3.3). do i-ésimo. elétron. e do a-ésimo. á. tomo de hélio.. o. operador. pode ser escrito. colisão. na forma. atuando. em h(Ek),. após alguma. álgebra,.

(34) 22. (3.4). onde:. (3.5) ~. ~.. M e a massa parâmetro. 4. do atomo de. ' de B01tzmann.. Com o. b dado por:. --. b - '4a 31.. onde:. ~. He e KB e a constante. senh. A2 ma 3 eE~/u "",i. 1.=. relacionado. C3. 6). 3 senh -19;-Ã] [1 - de choque e A e.. a seçao. com UG, através. ..... de um atomo. de hel~o. da relação:. (3.7). e nG é a densidade. do vapor. e-. onde Q. é. a energia. dado por:. Q/KBT. (3.8). de vaporização.. O operador ser escrito. saturado. colisão. aplicado. ao termo anisotrópico. pode. na forma:. (3.9). onde íG é o tempo de colisão. devido. ao espalhamento. do gás de hé -. lio e dado pela expressão:. =. (3.10).

(35) 23. que. é. independente. da energia. Por outro ciais também detalhadamente. do elétron.. lado, o espalhamento. apresenta. muitos. da interaçao. aspectos. Vários. para o espalhamento. elétron-riplon. ricos quanto figura. 6. autores. dos resultados. to por átomos do gás predomina mento. por riplons. apreciável ~itada. dominante. discrepância. aos riplons. dadosas. é. Em relação consiste. na descrição. e M onar k a 15 usaram. tanto. com os resultadosteó como podemos. experimentais. ver. na. que o espalhamen-. abaixo de O,6R. Contudo,. entre os valores. medidos. autores,. para temperaturas. aos cálculos correta. ao caso ante -. acima de cerca de O,8R e o espalha-. por diferentes. são necessárias. da inte!. o tempo de colisão. e contrariamente. experimentais,. superfi-. pois depende. e as vibrações. calcularam. controvérsia. com os resultados. • Sabemos. interessantes,. entre elétrons. face líquido-vapor.. rior, existe aqui bastante. pelas excitações. , uma aprox1maçao. da mobilidade. tal que medidas. uma li-. maiscui. mais baixas.. teóricos,. da interaçao. existe. o problema. fundamental. elétron-riplon.. Shikin. a d" 1a b~t' a 1ca, no sen t'd 1 o que. ) a.

(36) 24 de Shikin. e Monarkhal5• A seguir. riplon niana. calcularemos. e identificaremos de Fr8hlich,. a Hamiltoniana. típica. Para obtermos. fície de hélio. de Shikin. deformada. elétron. -. com a Hamilto. -. do polaron.. de interaçao. elétron-riplonse. e Monarkhal5•. de Schr8dinger. liquido. de interação. resultante. para o problema. o potencial. guiremos os procedimentos A equação. o potencial. para um elétron devido. à. sobre a super -. presença. do campo elétri. co EJ. é. (3.11). As condições. de contorno. impostas. à. função. de onda. w(~,z). são: -+. (r, z) I. W. =. e. O. (3.12). -+. z=u(r) onde u(r) representa plano. z=O devido. à. a deformação. pressão. da superfície. exercida. com relação. pelo elétron.. ao. u(~) satisfaz. a. condição:. (3.13). o do elétron. potencial. com os átomos. V(r,Z). onde:. V(r,z). n =. o. e:-I. = - n~ i. 4 (e:+I) = 1.057). Evidentemente, gem clássico:. e:. representa. a interação. de polarizaçãol. de hélio e é dado por:. f d2r' r:Ch é a constante. dz'. [ct:'. (3.14). -r) 2+ (z '-z). dielétrica. para u-+Q, reencontramos. 2] 2. do hélio o potencial. (e:. = ima -.

(37) 25. n VCzl =. o (3.15). z. Uma discussão. detalhada. Fazendo. uma mudança. realizada. de variáveis,. +. de SchrOdinger. por M.W.Colel8.. tais que. +. r. e. ~=z-u (rl. a equaçao. é. de V(~,zl. pode ser escrita. =. +. r. ,. (3.16). na forma:. (3.17). onde:. o. operador 'Ho é o Hamiltoniano. perfície. do líquido.. formação. do Laplaciano. mentos. de matriz. de onda paralelo. O primeiro. termo de Hl, aparece. e apresenta. entre dois estados. à. interface,. dos elétrons. a seguinte. ou seja, estados. são todos zeros. A parte residual,. intervalo. de integração. AV na forma:. muito pequeno,. devido. propriedade:. que diferem. quântico,. acima da su-. apenas. os ele -. pelo vetar. com mesmo. equação. atrans-. número. (3.19), temum. o que permite-nos. reescrever.

(38) 26. t3. 20). Utilizando. o conceito. de riplons,. podemos. expandir. um p~. ( *). que no deslocamento. arbitrário. u(~) da superfície. mos dos operadores. de criação. e destruição. de hélio em ter a~ e ak res. de riplons,. pectivamente.Então:. (3.21). com: ; A é a área da superfície.. _ (1'lk 2ApWk )1/2. Substituindo. a equaçao. (3.21) na equação. (3.20) teremos: -+ -+. e ik.r. onde: Kl (.x)é a função de Bessel modificada Agora. reescrevemoSHl. de segunda. com a nova expressão. (3.22). espécie.. de 6V:. (3.23). ...2.- ~ t,; Kl (kE;)+eE [nt,;2 n k ] No caso de filmes de hélio trato de constante com o substrato, rá alterado. dielétrica. E. e o potencial. s,. líquido. haverá. adsorvidos. a interação. em um subs. do elétron. imagem que antes era V(z)=-. n. -2 z. se-. para15,. n V(z,d). o. = z. .com. (*) 'II:!r apêndice. 00. - n. 1. L. ~=l. (-a). ~-l. z+~d. (3.24).

(39) 27. n. 1. _. e. 2. -". E tE "". s. 2. (€+l). onde d e a espessura. (E-I). .,...E:}. a =. C€+€. s). do filme,. do helio e do substrato. E. e. E. s. as constantes. dielétricas. respectivamente.. Uma vez que a serie da equação pida convergência,. te: -e:}. , s' >-----~--,---.. aproximaremos. (3.24) apresenta. o potencial. imagem. uma rá-. da seguinte. forma,. n. V{z,d}~. -. o. (3.25). z. Fazendo. z+d. a mesma mudança. de variáveis,. equação. (3.16), em. ordem em u(r}, teremos. que a con-. -+. (3.25) e expandindo tribuição. até primeira. do substrato. na interação. Ql. elétron-riplon. será dada por. (3.26 ). u(-+. (~+d) 2. r} 1~. Para este caso, Hl eq. (3.18),terá. a seguinte. forma:. [\1,. + ~2 ?o _. (3.27). com Q~ = (. 1i.ktan~ 2ApWk: (kQ.l)1/2. onde W~ é a nova relação. de dispersão. dos riplons. devido. à presen-. ça do substrato,. (3.28).

(40) 28. Aquin. é. a constante. trativas. que atuam nos átomos. o hélio. de van der Waals,. potencial. de espessura. é. pelas. forças. a-. de hélío no lado do substrato.. de interação. d. responsável. elétron-ríplon. para fílmes. de. então dado por,. (3.29). Em geral,. utilizamos. grandes. comprimentos. podemos. aproximar Kl (k~)~ ~. . No limite. de onda, onde os experimentos. de. têm sido feito,. , tal que o termo de polarização. k~. saparece. filmes onde d»<~>. de-. e obtemos,. (3.30 ). g evidente riplon. pode existir. campo el~trico trato estiverem. que neste caso limite, somente. se os fatores. perpendicular. à superfície. externos,. el~tron. - /. ou seja, o. e/eu o potencial. do subs. presentes.. Finalmente com os riplons. a interação. a Hamiltoniana. para um el~tron. interagindo. será,então. (3.31). onde o primeiro a energia. termo ~. dos riplons. a. energia. e o terceiro. cinética. do elétron,. o segundo. termo nos dá a interação. el~-. tron-riplon. Farias34 na utilizando-se to os cálculos. e Hipólito. o formalismo. et al.35 resolveram de integral. foram concluidos. somente. esta Harniltonia. de trajetória,. no regime. entretan. de campo elétri.

(41) 29. co externo Jackson. intenso. correspondendo. e platzman37. temapaz~Lcular,. utilizaraIlleste mesmo. onde a espessura. IOO~ e não há restrições próximo. capítulo,. que utilizaremos. na resolução. do polaron.. formalismo. do filme de h~lio. no valor do campo elétrico. entretanto,. seado em transformações no problema. ao regime de acoplamento. discutiremos. o método. da Hamil toniana. canônicas. forte. .. para um sis.-. líquido. ~. de. externo.. No. variacional. C3. 31),. e tem sido empregado. o qual. ê ba-. com sucesso.

(42) 30. CAPiTULO. O ~TODO. IV. VARIACIONAL.

(43) 31. Neste r~actonal valores. capítulo. apresentaremos. que será utilizado.. da constante. so no estudo. o. movimento. mas~a M paralelamente. é. superfictais,. Este método. de acoplamento. de diferentes. va-. é válido para todos. os. com suces. tipos de polarons.. superfície. descrito. do método. e tem sido empregado. de Urna partícula. à. o formalismo. carregada. e interagindo. pela Hamiltoniana. com uma carga Q e com as excitações. de Frôlich. (4.1) +. +. •••..•.. onde p e r sao o momentum os operadores. de criação. o coeficiente. servado. do potencial. de interação. e wk é a rela. das excitaç8es.. A Hamiltoniana o momentum. partícula. + ... ak e ak sao. e destruição. de Fourier. çio 'de dispersão. portanto. da part1cula,. respectivamente das excita + com um vetor de onda k paralelo ã superfície, Vk. ç8es superficiais. é. e a coordenada. como. (4.1) é translacionalmenteinvariante,. total do sistema,. momento. das excitações. é,. isto. a sorna do momentum da. superficiais. deve ser con -. • Ou seja:. (4.2). +. + ~. onqe; Pt = P +~~k. k. + +. akak .. Para o estado. fundamental. a tunção de onda variacional ~. funçao. partícula. carregada-excitação,. I~> será postulada. ser o produto. ~. de onda da part1cula. Consequeritemente operadormomentum. este estado. com um estado superficial. coerente. de. exc1taçao.. da. .. não será um auto-estado do. total Pt e não preservará. a invariança. da Hamil-.

(44) 32. toniana. (4.11. Por esta razão a minimização. da energia. + zada vinculando-se. o operadormomentum. dos multiplicadores. de Lagrange.. será reali-. ~. ~. total Pt atraves. Introduz-se. do metodo. o multiplicador. de La. + ll, para manter-se. .grange. constante.. Faremos. o valor. esperado. ent;o a variaç~o. do momentum. da seguinte. total. uma. forma. (4.3). onde ~ serâ identificado ou $.eja do $istema. do "polaron. superficial". partÍcula-exci taçao superfici.al.. A técnica pre9ar. com a velocidade. introduzida. as transformaçbes. por Huybrechts27,. de Lee-Low-Pines28. consiste. modificadas. à. em em Hamilto-. 1', onde. n;t,ana. (4.4). A primeira. transformação. unitária. é. definida. por. (4.5). onde a é um parametro ç~o do estado expressão. variacional. fundamental. reproduz. a ser determinado. os resultados. aprox;tmação para acoplamentos. interessante. de Lee-Low-Pines. fracos no caso em que a=l. Por outro. cen t emente. !:. do sistema.. pela rninimiza notar que esta. para acoplamentos. lado, no limite a~O obtemos. fortes,. o qual tem sido discutido. . ~l't 1 o et.a 1 .29 por H~po Definimos,. então,~'. tal que. (4.6). Ou, explicitamente. a re-.

(45) 33. (4.7). A função é escolhida. onde. de onda yariacional. fundamental. I~> ,. como sendo. le> é a função. de onda do estado. de onda da partícula. fundamental. '<0IÔ>=1;52é um operador formação. do estado. dos riplons. unitário,. de Lee-Low-Pines. carregada,. também. definido. 10> é a função. obtida. por akIO>=. O. e. chamado. de segunda. trans -. por. (4.9). ondefk. e fk* s ão. -. funçoes. do-se que a energia. variacionais. do sistema. A transformação camento. a serem determinadas. requere~. seja minimizada.. unit.ária '52 atua corno um operador. sobre os operadores. a~ e ak, ou seja:. .. deslo-. (4.10). k+ k* 5-1 + 2 ak52 = a-+ + f -1. Este cálculo. variacional. tado 5210> e está intimamente por Tomonaga 30 no tratamento o qual mais tarde dtá~~o.. foi chamado. A aproximação. é baseado. relacionado. à aproximação. •.•. entre mesons. do acoplamento de aproximação. de Tomonaga. consiste. no uso do vetor de esintroduzida e nuc 1eons,. de acoplamento. numa técnica. interme. variacional.

(46) 34 baseada. na hipótese. que os mésons. núcleon. (partícula-carregada). tão não há correlação,. (riplons) no campo em torno. sao emitidos. isto é interação,. independentemente,. do en -. entre mésons. (riplons)di. fundamental. da partícula. ferentes. Para a função de onda do estado escolhemos'. (4.11). onde Po e. À. são dois parâmetros. dos rninirnizando a energia Definindo. ). as equações. serao obti-. do sistema.. a função F{a'Àífk'Po'~). F (a, À , fk ' P o' ;. e utilizando. variacionais, ..os quais. = <e 1(0 I. por. . (4.12). s; 1 1W' s2 I o> I e> ,. (4.7), (4.9) e (4.ll), ternos. F(a'À,fk'PO~). (4. 13). A função variacional minimizando. a equação. fk e o parâmetro. (4.13) com respeito. Po são determinados. a fk e Po respectivamente,. ou seja I. oj. e para. j. ôP ôF (4.14 =x,y ) ~=O Os valores. ótimos. de fk e Po obtidos. sao.

(47) 35. f-+. .k. Vkexp[.~. (l-a'l~ = .•.... 411À . .. - hWk + a- ~. k 2J. (4.15). - ~~.k. 2M. e (4.16). Substituindo I pandindo. a. as equaçóes. ••• F at é termos funçao. F ta , À. ,. (4.15),. (4.16) em. (4.13) e ex -. .• da ordem de ~ 2 , obtem-se. t ) =!!À2. 2r-n 2fl k2J exp [- (l-a). a 2 f12k2 ------2M. --2 M. r1. 2MÀ. -+.. (4.17) 2M. hWk K. onde os dois primeiros. + a2 ~. )3. 2 2. (. termos. do lado direito. representam. a energia. do estado. (l-a). 2. 11k2. 2t·U. W. (4.18). 2M M 2MÀ efetiva k 2 é a massa e o coeficiente do(4.19) termo ~ jVítl2 k2 expr(1-aI2l'1 k2]. 2M . fiwk + a --. 2. da partícula,. 2: A equaçao çao aos parâmetros utilizados do estado. (4.18) deverá variacionais. no cálculo fundamental. agora,. a e. À. ser minimizada. e estes mesmos. da massa efetiva.. com rela -. valores. Como a equação. não é linear nos parâmetros. a e. serão. da energia À. em geral. é.

(48) 36. necessãr~o. utilizarmos. aproximações. numéricas. para resolver. o sis-. tema de equações .. aE. ·0. rr-. =. o. No capitulo. e. aEo. ~. O. (4.20). aa. seguinte,. aplicaremos. este método,. para ob -. termos a energia do estado fundamental e a massa efetiva para seguinte;;,dois sistemas; adsorvidos. elétrons. na superflcie. eIIlneon sólido e em safira. na interface. de misturas. separadas. de filmes de hélio. e finalmente,. de 3He - 4He•. os. para elétrons.

(49) 37. CAPITULO APLICAÇÃO. DO MtTODO. V VARIACIONAL.

(50) 38. Neste riormente. capítulo. para obtermos. fetiva de elétrons quido. adsorvidos. ca11z~dos. aplicamos a energia. localizados. do estado. de mistura. neon sólido. tem sido realizadas. recentemente. ante-. e a massae. 11-. de filmes dehélio. e também. separada. e safira. desenvolvido. fundamental. na superfície. em neon sólido e safira. na interface. dos substratos. o formalismo. para elétrons. de 3He~4He.. foi devida. por Kajita32. 10-. A escolha. às experiências e Andrei33,. que. respecti. vamente. Recentemente raro o formalismo man36. Farias34,. de integrais. para o problema. do fundamental. depois. Hipólito. de trajetória. do polaron,. introduzido. nos cálculos. e da "massa efetiva. et.al35. do complexo. utiliza. por Feyn -. da energia formado. -. do esta-. pelo elétron .~. e os riplonso. qual chamaremos. acima,. foram desenvolvidos. fortes. (campos elétricos. por Jackson contraram. e Platzman37. estritamente fortes).. Um cálculo. Saitoh38. na presença. mente dito aos sistemas,. perfície vido. à. de um líquido. gravidade. la estabilidade. superfície, estabilizaçao. e à tensão. lOO~. Eles en-. Ambas. forte. propria-. com algum detalhe com elétrons.. sujeita. •. as propried~. variacional. carregada. superficial.. a. A su-. a duas forças,. de-. são respons·áveis p~. do liquido.. um campo elétrico. uma força adicional devido. o método. quando. foi realizado. de fase para o polaron. tem investigado. está normalmente. da superfície. Quando. similar. será útil discutirmos. de uma interface. citados. de acoplamentos. de um campo magnético. Antes porém de aplicarmos. estabilidade. na região. tipo transição. este mesmo método. des deste polaron. Os cálculos. para um filme de espessura. um comportamento. Utilizando. aqui de polaron.. à gravidade. é. aplicado. aparecerá. perpendicularmente. reduzindo. e à tensão. os efeitos. superficial.. à de. Evidente-.

(51) 39. mente o espectro terado mada. das excitações. e para campos. instabilidade. é. suficientemente. fortes. eletrohidrodinâmica,. A condiç~o de dois fluídos. superficiais. para termos. governada. é. sera marcadamente. al-. uma instabilidade,. cha. esperada.. igualdade. de pressão. na interface. pela equação39. (5.1). onde estamos. considerando. são as densidades. da fase abaixo. ~ é o potencial. mente,. a tensão. a interface. superficial. é. x-y, p_ e p~. no plano. e acima da interface. velocidade,. e ~. situada. g é a aceleração. a elongação. da interface. respectiva. da gravidade,o da posição. equillbrio. Fazendo:. s=ç. ei(Kx-wt). o teremos. a relação. , e utilizando:. -. v =. de. l! II , ob. =. at z az para ondas interfaciais, que é dada. de dispersão. por:. (5.2). (p. Aqui utilizamos mentalmente):. a distância. te que contém. os fluídos. çio tanh(Kd±)~1 cima. (que em geral é satisfeita. uma simplificação. é. da interface é grande. verificada,. à. exper!. base e ao teto do recipie~. o suficiente. onde d+(d_). é. tal que a aproxima. a espessura. -. do fluido ~. (abaixo) da interface. Para valores. tamento. pequenos. das ondas de gravidade. de K o comportamento tido. A transição comprimento. de K a equação onde W~Kl/2. (5.2) terá o compor-. e para grandes. das ondas de capilaridade. onde. w. cx:. entre estes dois tipos de onda ocorre. de capilaridade. valores. K3/2,. será ob. em torno do'. a:. (5.3).

(52) 40 Incidentalmente. a velocidade. mln;iJrJo ell}K=l/a. este particular. No ca~o da ínterface vetor de onda serio. Leiderer. cid041. de misturas. de 4He coexiste. 3He_4He. da qual í.ons podem barreira. é. efetiva. íons positivos. depende. não penetram. penetram. do. trico apropriado. pode-se. Para temperaturas timada. ser. temperatura barreira. /:,W •... na qual. esta /. seja. e negativos. à. tal que. ÔW. .. de. 3. •. interface. tem sidoe~. do ponto tricrttico, -. não. de um campo ele-. de potencial. e a concentraçao. ,. ..•. os íons próximos. aproxima-se. a barreira. -. com a apl1caçao. .•. He e de. fica comparável. O. ,6. onde a 75. ,. a KBT. as barreiras. respectivamente. de potencial. •. ••o n s ne g a t i vos 1. lViIKI 3. -. 4 He. Figura 7a. a e. pela sim~lesexcitaçãotérmica.. Nas figuras 7a e 7b mostramos ra íons positivos. através. dos íonsJou. .. localizar. rapidamente. os íons podem passar. a interfa. de potencial. A direção. da ordem O,3K a barreira. ••. de 3He~ ~. conhe. do 4He para o 3He e íons negativos. He. Entao. Tt e de O,867K. decresce. ligados.. -. 220K. Quando. (5.2) descreve. tricritico,. do sinal das cargas. 4. He para o. do ponto. uma barreira. formar estados. as ondas can. de 3He- 4He onde uma .fase rica S!!. abaixo. apresenta. 3. que a equação. com uma fase rica normal. que para temperaturas. ce de mistura. estar carregada,. tem um. importantes.. et a1.40mostraram. IIlultobem a inter~ace perflulda. de fase das ondas interfaciais. - fase. rica-3-t3 He - fase. Figura 7b. rica. pa.

(53) 41 Nestas. figuras. et.al.4l,. as linhas pontilhadas. a linha tracejada. &. perpendicular. interface. são os cálculos. representa. um campo elétrico. (neste caso E=50V/cm). a soma das duas contribuições. iniciais.. Estaremos. & baixas. restritos. em que os tons permanecem (t.W/KBT)),. ligados. levante. que aqui serio estudados.. ência de um campo elétrico na interface.. Para uma distribuição. forme esta pressio cal da interface. será também. resultará. Ies", deixando. as "cristas". .,.. 10ns tendem,. -. entao,. exercem. de cargas. Qualquer. senoidal. (Veja esquematicamente. abaixo. -. j. carregada. na equação. um termo adicional. pela dtscontinuidade. na componente. "v~ Os. da 1nterface. na Figura 8. ).. j de movimento. aparecerá. nos. da média.. Figura Consequentemente. 10. .. deformaçao. este comportamento. j. deslocamento. por exemplo,. .. qualquer. uni -. dos íons, os quais. com uma densidade. a aumentar. uma pressão. completamente. num rearranjamento. para uma perturbação. uma camada. os íons, sob a influ-. homogêneo,. uniforme.. se acumularão,. « exp. (T. O sinal dos íons será irre-. está carregada,. externo. longo. formando. em equilíbrio.. a interface. onde o tempo. é suficientemente. de cargas bidimensional. Quando. externo. e a linha s6lidaé. temperaturas,. de tal forma que eles se rearranjam. para os efeitos. de Leiderer. devido. à. perpendicular. 8. da interface. pressão. provocada. do campo elétri-. co + 2. JE(X) I-=:jE(x)-l. 2. 8n. (5.4). onde os sinais pectivamente.. (+) e (-) se referem. a fase superior. e inferior. res.

(54) 42 pupondo. de de saturação. ri. que a interface. s. ,. esteja. carre9ada. com a densida-. o campo médio na fase superior ou inferior(de. pendendo do tipo de íon usado) será completamente blindado e outro. lado da interface. I. onde e. é. E. será. (5.5). = 41Tn e. o.a.. s. a carga elementar. Para determinarmos. na interface plons,. devido. consideraremos. dainterface. à. a modulação. redistribuição o potencial. eletrostática. dos íons na presença. eletrostático. 1 ei(Kx-wt). com ~o=-4nn sez,ou seja, o potencial ~l uma pequena. interface. da pressão. dos ri-. nas vizinhanças. como sehdo42. ~(z=~) = ~o + ~. A partir. no. correção. da equação. que satisfaz. de continuidade. (5.6). e -Kz. da interface a equação. de Laplace,. paralelo. 'an = -div(nliElI ) at dX r z=~ = -div[nii(~cP.. (5.8) 2. na. ,. (5.7) )]. que. dZ z=~ n = _1_ -ª-P.I (41Tn ) ej.lRs 41Te ~l = s 4nn j.lK-iw o. Eu. e. ~~l=O.. para as cargas movendo-se. sob a ação de um campo elétrico. e lembrando. não perturbada. (5.9).

(55) 43. Então,. a pressão. devido. ao campo elétrico. será dada por. p(x). e1 (KX-wt)]. Inserindo persão. este termo na equação. para ainterface. (5.4), obteremos. completamente. a relação. (5.10 ). de dis. carregada. (5.11). Desta equação. observamos,. frequência. dos riplons. dois casos. limites (a) w«4nn Neste. que em geral,. os ions além de diminuir. eles também os amortecem.. que ocorrem. se~K,. na equação. Podemos. a. /. analisar. (5.11):. vf= ~ «EL~' K (5.11) reduzirá ã seguinte. ou equivalentemente. limite a equação. forma. (5.12). o que concorda nikova. excelentemente. 43.. e M1ma et.al. (b) w»4nn Neste. seguir. de Gor'kov. e Cher-. se~K. limite o último. as ondas. termo da equação. interfaciais.. A instabilidade da equação. (5.11) será nulo,. dos ions será tão pequena. será igual .ao de uma interface. imediatamente. resultados. 44. urn~ vez que a mobilidade derão. cornos. que eles não PQ. Então o espectro. de excitação. não carregada.. da interface. mencionada. no inicio. segue. (5.11), uma vez que para uma densidade. crI. tica. (5.13).

(56) 44 A frequência. dos rip10ns. anula-se,. w. (Kc)+ O,. correspondendoa. um. caII)pocritico. Ec = [6. o vetar .. de onda K. 41T. 2 (p _ - p +) 90] 1/4. c. desta. (5.14). instabilidade. ~. (5.15). que. é. igual ao inverso. do comprimento. de capi1aridade. definido. em. (5.3) • Wanner rimentais quanto. e Leidererl3. para a relação. de dispersão. para íons negativos.. mostrados. nas figuras. 9. obtiveram. excelentes. resultados. exp~. tanto para íons positivos. Os resultados. por eles obtidos. estão. e 10. íons positivos f,. 665 K. 300". .~ 200 '". 3 ;00. --o. na interface regada crítico. 9. da mistura. E c =875V/cm. 3He-4He,. é. para a interface. K ~82cm-l.. c. caE. O campo. n s =4.8xI08cm-2•. c. linha cheia ~ obtida. de dispersão. de 0.665K.. a uma densidade .. são calculadas. 9. completamente. sao para um campo tal que E/E =0.71,. (A). 0.995. As linhas tracejadas. da crítico. da relação. com a interface. e corresponde. -. Figura. 150. para uma temperatura. -. Os símbolos. 100 q [cr,i"}. estão os resultados. de íons positivos. é. . 200. 50. Na figura. ~. E E. (.) para -- =. pela equação. não carregada.. (5.l2).c A. O vetar deon.

(57) 45. 300. ~ .~ 20U. ~ 11I. 3. 100. Figura o. 5'0. tOo. A figura 10 mostra na interface regada. da mistura. crítico símbolos. é E c =1130V/cm. Cll,," ]. os resultados. 3He-4He,. com íons negativos. coma. da relação. interface. para urna temperatura. e o vetor de onda crítico. (.) s~o para um campo elétrico. ra E/E c =0.99. As linhas tracejadas 12) e a linha cheia representa. 10. ,1SCI. completamente. de 0.567K.. pois ele depende. ce, mais propriamente. da tensão. O campo. tal que E/E c =0.88,. a dispersão. car. é K c ~63cm-l.. são calculadas. co com a temperatura,. de dispersão. Os (.) pa-. pela equação. para a interface. das propriedades. interfacial. a qual varia. (5. nao. da interfa fortemen-/. te com a temperatura. Se a aproximação 1 não. é. aplicável,. deveremos. Para um filme de hélio governam. feita na equação. o movimento. (5.2), de que tanhKd~. levar em conta o efeito. superfluído,. do fluído. as equações. do substrato.. linearizadas. que. sao. pg]. Z. (5.16). A condição. de incompressibilidade. é. dada por.

(58) de. 46. 'I. v -+. ...•.. (5.17). = O. .. ".. ..,. -. .... onde v e a velocJ.dade do fluJ.do, p e a pressao, ficial,. d. é. a espessura. .caracterizando superfIcie n. é. da posição. Agora. t;,. o. =. a relaçao. o potencial. é. o desvio da. eletrostáticq. do hélio e e é a carga e. o caso de perturbações. a condição. de contorno. da forma. em z=-d, de que. a. seja nula, ou seja. (5.19 ). O. .. ,-. de d1spersao. 2_(3n. é. 1;. (5.18). 2 P = 2 wo tanh(Kd) Wo -:4 pd + g K + ~ PK - 4ne n. onde F(K}. e o helio,. z=-d. ~,~. W. <pé. supe!,. de van de·r Waals. ei (Kx-wt). z da velocidade. v.z -+ "I. Entao,. a constante. p é a densidade. analisaremos. se faz necessário,. componente. é. de equilíbrio,. de carga,. Novamente. 1;=. Tl. a força entre o substrato. a densidade. lementar.. do filme,. -. .. a e a tensao. ). .... sera. (5.20 ) K F(K). 3. 222. a função que considera. o ef~ito. (5.21). das cargas. imagens. no. substrato.. F(K) =. 1+ES-(1-Eg)e-2Kd l+E +(l-E. s. onde E. s é. a constante Evidentemente. da.. (5.22). )e-2Kd. s.. dielétrica. do substrato.. no limite d~oo , a equação. (5.12) ~ reobti-.