CAMPINAS
Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica
LEANDRO AFONSO DA SILVA
O Problema Centro-Foco Para Campos Vetoriais
Analíticos e Analíticos por Partes
Campinas
2019
O Problema Centro-Foco Para Campos Vetoriais Analíticos e
Analíticos por Partes
Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Matemática.
Orientador: Douglas Duarte Novaes
Este exemplar corresponde à versão final
da Dissertação defendida pelo aluno
Le-andro Afonso da Silva e orientada pelo
Prof. Dr. Douglas Duarte Novaes.
Campinas
2019
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Silva, Leandro Afonso da,
Si38p SilO problema centro-foco para campos vetoriais analíticos e analíticos por partes / Leandro Afonso da Silva. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.
SilOrientador: Douglas Duarte Novaes.
SilDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Sil1. Problema centro-foco (Matemática). 2. Decomposição (Matemática). 3. Filippov, Sistemas de. 4. Singularidades (Matemática). I. Novaes, Douglas Duarte, 1988-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: The center-focus problem for analytic and piecewise analytic vector fields
Palavras-chave em inglês:
Center-focus problem (Mathematics) Decomposition (Mathematics) Filippov systems
Singularities (Mathematics)
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:
Douglas Duarte Novaes [Orientador] Gabriel Ponce
Regilene Delazari dos Santos Oliveira Data de defesa: 12-03-2019
Programa de Pós-Graduação: Matemática
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0001-8704-1152
- Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/1600979159616169
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof(a). Dr(a). DOUGLAS DUARTE NOVAES
Prof(a). Dr(a). GABRIEL PONCE
Prof(a). Dr(a). REGILENE DELAZARI DOS SANTOS OLIVEIRA
A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Agradeço primeiramente a Deus que permitiu que tudo isso acontecesse. Que me abençoou ao longo da minha vida, e não somente nestes anos como universitário, que em todos os momentos me guiou e me deu força para continuar.
O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001 e à CAPES pelo financiamento deste projeto.
Agradeço principalmente ao Prof. Dr. Douglas Duarte Novaes, pela orientação, apoio, pelo paciente trabalho de correção e estudos semanais e dedicação durante o tempo de elaboração desse trabalho. Ao IMECC-UNICAMP pela oportunidade de estudar nessa renomada instituição.
À minha mãe, Lucimar Afonso da Silva, heroína, que sempre foi um modelo de força e persistência e mesmo distante sempre me apoiou.
A todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação, em especial ao meus amigos do mestrado que me ajudaram a continuar. Obrigado!
O problema do centro-foco é um problema clássico da teoria qualitativa de sistemas dinâmicos e consiste em distinguir se uma singularidade de um sistema planar é um centro ou um foco. Este problema vem sendo estudado por mais de cem anos e ainda se encontra em aberto mesmo para o caso de campos suaves polinomiais. Um entendimento completo está longe de ser alcançado. O desenvolvimento de ferramentas computacionais algébricas tem contribuído imensamente para uma melhor compreensão do problema. Nesta dissertação estudamos o problema para o caso de campos suaves onde a origem é uma singularidade monodrômica. Além disso, exploramos o problema para o caso descontínuo.
Para o caso contínuo o método introduzido por Poincaré e Lyapunov reduz o problema em encontrar uma integral primeira para o sistema, o qual, por sua vez, é equivalente ao problema de encontrar uma variedade algébrica de um ideal gerado por uma família de polinômios.
Para sistemas descontínuos (suaves por partes) Gassul-Torregrossa introduziram uma abordagem alternativa a fim de facilitar o cálculo dos coeficientes de Lyapunov assumindo que origem é uma singularidade monodrômica. Finalmente, exploramos o problema do centro-foco assumindo que a origem é uma singularidade do tipo dobra-dobra. Em particular, introduzimos um método para calcular os coeficientes de Lyapunov para este caso.
Palavras-chave: Problema centro-foco; Decomposição de variedades; Filippov, Sistemas de;
The center-focus problem is a classical problem in the qualitative theory of dynamic systems and it consists in characterizing whether a singularity of a planar system is a center or a focus. This problem have been studied for more than hundred years and still is open even for polynomial systems. A whole understanding of the problem is far to be reached. The development of algebric softwares have been helping for a wider understanding of the problem. In this dissertation we have studied the problem in the continuous case assuming that the origin is a monodromic singularity. In addition we explored the problem for the discontinuous case.
For the continuous case an aproach introduced by Poincaré and Lyapunov reduces the center-focus problem in finding a first integral for the system, which is equivalent to find an algebric variety for the ideal generated by a family of polynomials.
For the discontinuous systems, Gassul-Torregrossa introduced an alternative aproach to simplify the computation of the Lyapunov constants assuming that the origin is a monodromic singularity. Finally, we also explore center-focus problem assuming that the origin is a fold-fold singularity. In particular, we introduce a method for computing the Lyapunov constants for this case.
INTRODUÇÃO . . . 10
1 VARIEDADES ALGÉBRICAS E CAMPOS VETORIAIS . . . 12
1.1 Pontos singulares e retratos de fase de EDOs . . . 12
1.2 Ideais polinomiais e variedades afim . . . 16
1.2.1 Operações em ideais e variedades . . . 26
1.2.2 Decomposição de variedades usando aritmética modular. . . 30
2 PROBLEMA DO CENTRO-FOCO E INTEGRABILIDADE . . . 32
2.1 O mapa de primeiro retorno de Poincaré e o problema do centro . . . 32
2.2 Complexificação do sistema . . . 38
2.3 Mecanismos para estudar a integrabilidade de sistemas diferenciais . . . 40
2.3.1 Sistemas reversíveis . . . 41
2.3.2 Sistemas Hamiltonianos e integrabilidade de Darboux . . . 43
2.4 Integrabilidade para algumas famílias de sistemas . . . 45
3 O PROBLEMA DO CENTRO-FOCO PARA SISTEMAS DESCONTÍNUOS 53 3.1 Sistemas de Filippov . . . 53
3.1.1 Singularidade do tipo dobra-dobra . . . 58
3.2 Problema do centro-foco onde o campo se anula na origem . . . 60
3.3 Problema do centro-foco para singularidade dobra-dobra . . . 67
3.4 Construção dos coeficientes. . . 69
Introdução
Nesta dissertação investigaremos de forma qualitativa o problema do centro-foco, estudando o comportamento das órbitas em torno de uma singularidade monodrômica de um sistema planar, a fim de classificar tal singularidade em centro ou foco. Uma singularidade é classificada como centro quando em uma vizinhança da singularidade todas as órbitas são fechadas, e classificada como foco quando as órbitas espiralam em torno da singularidade. Estudaremos também a estabilidade da singularidade do tipo foco.
O problema centro-foco é um problema clássico da Teoria Qualitativa dos Sistemas Dinâmicos e remonta aos estudos de Poincaré e Lyapunov. Apesar de ser amplamente estudado desde o século XIX, o problema centro-foco permanece em aberto.
Com intento de investigar esse problema, introduziremos no primeiro capítulo algumas noções básicas da Teoria Qualitativa de EDO’s [12, 29], conceitos básicos da teoria de ideais polinomiais e conceitos de base de Gröbner e decomposição de variedades afim, conceitos esses que são ferramentas fundamentais no desenvolvimento da teoria de classificação de singularidades do tipo monodrômica. Apresentaremos também algumas técnicas e algoritmos computacionais que são ferramentas usadas na investigação proposta nesta dissertação e que podem ser encontradas em [9, 25].
De forma geral, no problema centro-foco, nós consideramos campos vetoriais F : U R2 Ñ R2, analíticos numa vizinhança U da origem, uma vez que toda singularidade pode ser transladada à origem. Para o caso explorado no segundo capítulo investigamos o problema em que o campo é contínuo no plano, onde impomos para o campo F que Fp0q 0 e que dFppq tenha autovalores puramente imaginários iβ. Nesse caso, o método introduzido por Poincaré e Lyapunov reduz o problema centro-foco a um problema em encontrar uma integral primeira para o campo F . No entanto, resolver esse segundo problema consiste em resolver um sistema de infinitas equações polinomiais, o qual, por sua vez, consiste em encontrar a variedade algébrica de um ideal gerado por uma família de polinômios. Recentemente o problema centro-foco foi estimulado por métodos algébricos computacionais (veja [25]), os quais permitem determinar, para classes de campos vetoriais, condições para distinguir se uma singularidade monodrômica é um foco ou um centro. A proposta deste projeto é investigar esses métodos algébricos utilizando-os na abordagem do problema centro-foco.
Por fim, no terceiro capítulo, estudaremos sistemas descontínuos em que a variedade de descontinuidade é uma reta Σ, sendo Σ tpx, yq P R2 : y 0u. Em um primeiro caso sendo um campo descontínuo onde o sistema é nulo na origem e o campo tenha autovalores puramente
imaginários e ainda um segundo caso onde a origem é uma singularidade do tipo dobra-dobra. Como parte fundamental para estudarmos sistemas descontínuos, introduzimos na primeira seção do terceiro capítulo as noções de órbita e singularidades para sistemas descontínuos via convenção de convenção de Filippov, considerando assim, sistemas de Filippov. Para o primeiro problema, estudamos ferramentas desenvolvidas por Gassul e Torregrosa [16] onde o cálculo computacional dos coeficientes de Lyapunov é simplificado. Para o segundo caso, as ferramentas desenvolvidas por Poincaré e Lyapunov não podem ser aplicadas diretamente. Assim, a principal contribuição deste trabalho foi considerar uma simplificação do campo numa vizinhança da origem e considerarmos uma seção transversal ao campo onde foi possível explicitar os coeficientes da expansão do mapa de meio retorno para o sistema, tendo assim os coeficientes de Lyapunov, obtendo portanto, condições para a origem ser um foco para o campo.
1 Variedades Algébricas e Campos Vetoriais
A fim de entendermos o problema proposto na dissertação introduziremos na primeira seção noções básicas da teoria qualitativa de EDO’s para o caso geral e aprofundaremos os resultados para sistemas planares (objeto do nosso estudo), desenvolvendo os resultados conhecidos para o caso linear e apresentando resultados para sistemas planares gerais. Os resultados apresentados podem ser encontrados em [12, 29]. Na segunda seção apresentamos conceitos básicos de variedades algébricas, ideais polinomiais, base de Gröbner e decomposição de variedades afim e também resultados computacionais que serão usados como parte fundamental no desenvolvimento do estudo do problema investigado nesta dissertação [9, 25].
Os resultados apresentados a seguir são resultados básicos para o estudo do problema proposto na dissertação e foram apresentados de forma similar em [14, 15].
1.1
Pontos singulares e retratos de fase de EDOs
Seja f : U Ñ Rn uma aplicação definida num aberto U R Rn. Considere o sistema de equações diferenciais ordinárias
9x fpt, xq (1.1)
onde x px1, x2, , xnq P Rn e 9x denota a derivada de x com respeito a variável t. A função
x : I R Ñ Rn é chamada solução do sistema (1.1) se pt, xptqq P U para todo t P I e
9xptq fpt, xptqq para todo t P I. Se I é o maior intervalo tal que xptq satisfaz (1.1) então xptq é chamada solução maximal.
A solução de (1.1) pode não existir ou se existir pode não ser única. A existência e unicidade de uma solução é determinada por certas condições impostas a função f , que descreveremos a seguir( ver [29]).
Proposição 1.1.1. Se f é uma aplicação contínua definida em um conjunto aberto U Rn 1, então para qualquer ponto pt0, x0q P U existe uma solução x : I Ñ Rn de (1.1) tal que t0 P I e
xpt0q x0.
Proposição 1.1.2. Se f e Bf{Bxi, 1 ¤ i ¤ n, são contínuas no conjunto aberto U Rn 1,
então dado qualquer ponto pt0, x0q P U existe uma única solução x : I Ñ Rn de 1.1 tal que
O foco do nosso estudo está em estudar sistemas autônomos, que são sistemas da forma
9x fpxq. (1.2)
Um ponto x0 tal que fpx0q 0 é chamado ponto singular de (1.2) (ponto fixo ou ponto
crítico). Mais ainda, se x0 é um ponto singular de (1.2) então a solução xptq de (1.2) é constante
para todo t. Um ponto não singular de (1.2) é chamado ponto regular. O comportamento das soluções nesse caso é representado por uma família de curvas, considerando a orientação de xptq dada por t crescente. Essas curvas são chamadas de órbitas ou trajetórias do sistema (1.2). A representação geométrica das trajetórias é chamado retrato de fase.
O próximo teorema descreve o comportamento das soluções em torno de um ponto regular. Uma prova pode ser encontrada em [12].
Teorema 1.1.3 (Teorema do fluxo tubular). Em uma vizinhança suficientemente pequena de
um ponto regular x0 do sistema (1.2) existe uma mudança de coordenadas diferenciável y ypxq
que transforma (1.2) em um sistema 9y ¯fpxq, onde ¯fpxq p0, 0, , 1q.
O Teorema do fluxo tubular nos dá informações do comportamento das órbitas em uma vizinhança de pontos regulares, o teorema nos diz que elas se comportam como as trajetórias do sistema constante ¯fpyq p0, 0, , 1q. A caracterização do comportamento das órbitas em torno de um ponto singular não é facilmente determinado e portanto deve ser estudado com mais cuidado.
O nosso estudo é construído na dinâmica planar e portanto estamos interessados em estudar a dinâmica de sistemas autônomos do tipo (1.2) e definidos para n 2, i.e., sendo f : R2 Ñ R2 e o sistema definido da forma
p 9x, 9yq fpx, yq pf1px, yq, f2px, yqq. (1.3)
Observamos que um ponto singular px0, y0q do sistema (1.3) pode sempre ser movido
para a origem pela transformação x1 x x0, y1 y y0. Portanto, sem perda de generalidade,
podemos assumir que o ponto singular do sistema (1.3) está na origem, uma vez que estamos interessados em entender a dinâmica em torno de um ponto singular e a singularidade na origem simplifica substancialmente nosso sistema.
A fim de entender o comportamento das trajetórias em torno da origem para sistemas do tipo (1.3) primeiro estudaremos o caso linear que é bem caracterizado e que serão usadas para a caracterização dos casos mais gerais.
Um sistema planar linear pode ser escrito como
9x Ax, (1.4)
onde A é uma matriz 2 2.
Seja B uma matriz na forma canônica de Jordan tal que B P1AP para alguma matriz P . A mudança linear de variáveis x P y, transforma o sistema (1.4) em 9y By. Portanto considerando o sistema
9y By (1.5)
os possíveis casos para B são:
CASO I: B λ1 0 0 λ2 com λ1 0 λ2.
Figura 1 – Ponto de sela
O retrato de fase do sistema (1.5) com B como dado acima é dado na Figura 1. Neste caso chamamos a origem de ponto de sela.
CASO II: B λ1 0 0 λ2 com λ1 ¤ λ2 0 ou B λ 1 0 λ com λ 0. (a) λ1 λ2 (b) λ1 λ2 (c) λ 0 Figura 2 – Nó estável
O retrato de fase do sistema para B como dado acima é dado na Figura2e chamamos o ponto da origem de nó estável. Para λ1 ¥ λ2 ¡ 0 ou λ ¡ 0 temos retratos de fase similares
CASO III: B λ1 0 0 λ2 com λ1 ¤ λ2 0 ou B α β β α com β 0. (a) α 0 (b) α 0
Figura 3 – Centro e foco
O retrato de fase para o sistema, com B como dado neste caso, é dado na Figura 3. No caso da Figura 3a temos um centro na origem e na Figura3b temos um foco estável. Para o caso em que α ¡ 0 temos um foco instável. Um ponto singular que é conhecido por ser um nó, um foco ou um centro é chamada de antissela.
A matriz A é dita hiperbólica se a parte real dos autovalores de A são diferentes de zero. Portanto, analisando a classificação acima temos que se A é hiperbólica, então o ponto singular na origem do sistema (1.4) pode ser um nó, uma sela ou um foco.
Para obtermos informações de sistemas gerais, i. e., não necessariamente lineares, analisamos o comportamento local numa vizinhança dos pontos singulares. Considerando o sistema geral (1.3) epx0, y0q um ponto singular dizemos que o sistema 9z Df.z, sendo z px, yq
e onde Df é a matriz Df Bf1 Bxpx0, y0q Bf1 Bypx0, y0q Bf2 Bxpx0, y0q Bf 2 Bypx0, y0q ,
é a linearização do sistema (1.3) no pontopx0, y0q. Um ponto singular px0, y0q de (1.3) é chamado
não-degenerado se o determinante da matriz Df é diferente de zero. Se o determinante de Df é igual a zero o ponto singularpx0, y0q é chamado ponto degenerado.
Um ponto singular não-degeneradopx0, y0q de (1.3) é dito hiperbólico se a matriz Df
é hiperbólica. O teorema a seguir caracteriza o comportamento das órbitas em uma vizinhança de um ponto singular hiperbólico. Uma demonstração para o teorema pode ser encontrada em [23].
Teorema 1.1.4 (Teorema de Hartman-Grobman). Seja px0, y0q um ponto hiperbólico de (1.3).
Então, em uma vizinhança depx0, y0q as órbitas do sistema (1.2) são topologicamente equivalentes
Portanto o teorema nos diz que para pontos singulares hiperbólicos, o retrato de fase próximo de uma singularidade é conhecido, uma vez que as órbitas são equivalentes a sua linearização e no caso linear as órbitas podem assumir os retratos de fase já classificados anteriormente.
Para um ponto singular não-degenerado e não hiperbólico do sistema (1.2), isto é, onde os autovalores de Df são puramente imaginários, sabemos que o ponto singular pode ser um centro ou foco. O problema em distinguir se o ponto singular é um centro ou um foco é ainda um problema em aberto, sendo este o centro do nosso estudo, i. e., classificar singularidades não-degeneradas hiperbólicas entre centro e foco. A singularidade desse tipo é chamada singularidade monodrômica. Na próxima seção introduziremos as noções algébricas que nos ajudarão no estudo desse problema.
Observação 1.1.5. Para pontos singulares degenerados o comportamento das órbitas em torno
desses pontos pode ser mais difícil de ser determinada. Eles são classificados em três classes: Semi-hiperbólico, nilpotente e linearmente zero. Sendo
• Semi-hiperbólico: Quando traço da matriz Df é diferente de zero.
• Nilpotente: Quando o traço da matriz Df é zero, porém Df não é identicamente nula. • Linearmente zero: Quando Df é a matriz identicamente nula.
Apesar de existir uma teoria para tais singularidades, não apresentaremos aqui resultados destes casos, uma vez que isto diverge do principal objetivo deste trabalho.
1.2
Ideais polinomiais e variedades afim
Nessa seção relembramos alguns conceitos básicos de álgebra e apresentamos ferra-mentas computacionais que serão de uso fundamental no estudo da classificação de singularidades monodrômicas entre centro e foco. O estudo do problema proposto nesta dissertação para o caso contínuo é reduzido no estudo de ideais polinomiais e variedades algébricas e portanto o uso de tais conceitos é fundamental. Para os resultados e definições de álgebra e os algoritmos computacionais seguimos, principalmente, [9, 25], e também as teses [14, 15].
Um polinômio nas variáveis x1, x2, , xncom coeficientes no corpo k é uma expressão
dada por
f ¸
αPS
aαxα,
onde S é um subconjunto finito de Nn0, onde N0 N Y t0u, aα P k, α pα1, α2, , αnq e
xα denota o monômio xα1
O conjunto de todos os polinômios nas variáveis x1, x2, , xn com coeficientes no corpo k é
denotado por krx1, x2, , xns. Com as operações naturais de soma e multiplicação temos que
krx1, x2, , xns é um anel comutativo. O grau do monômio xαé o número|α| α1 α2 αn.
O grau do polinômio f , denotado por deg(f ), é o máximo de |α| de todos os monômios (com coeficientes aα diferentes de zero) de f .
Sendo k um corpo e n um número natural. O espaço kn tpa1, a2, , anq : a1, a2, , an P ku
é chamado de espaço afim de dimensão n.
Definição 1.2.1. Sejam f1, f2, , fspolinômios em krx1, x2, , xns. A variedade afim definida
pelos polinômios f1, f2, , fs é o conjunto
Vpf1, f2, , fsq tpa1, a2, , anq P kn: fjpa1, a2, , anq 0 para 1 ¤ j ¤ su.
Uma subvariedade de V é um subconjunto de V que seja uma variedade afim.
Da definição de Vpf1, f2, , fsq é fácil ver que a variedade afim é o conjunto das
soluções do sistema
f1 0, f2 0, , fs 0.
Podemos observar que esse conjunto depende do corpo k e também que podem existir conjuntos diferentes de polinômios que definem a mesma variedade algébrica. Por exemplo, considerando k R, temos que qualquer conjunto de polinômios irredutíveis em R tem como variedade algébrica o conjunto vazio. Por exemplo [25], temos também que dado qualquer a, b P k, a 0 temos que Vpf1, f2, , fnq Vpaf1 bf2, f2, , fnq. Portanto, a fim de
conectarmos a noção de variedade com uma coleção de polinômios apresentamos a noção de um ideal.
Definição 1.2.2. Um ideal polinomial de krx1, x2, , xns é um subconjunto I de krx1, x2, , xns
que satisfaz: (a) 0P I
(b) Se f, g P I, então f g P I.
(c) Se f P I e h P krx1, x2, , xns, então hf P I.
Sejam f1, f2, , fspolinômios de krx1, x2, , xns. Denotamos por hf1, f2, , fsi o
i. e., hf1, f2, , fsi # s ¸ j1 hjfj : h1, h2, , hsP krx1, x2, , xns +
É fácil ver que hf1, f2, , fsi é um ideal de krx1, x2, , xns. Chamamos hf1, f2, , fsi
de ideal gerado pelos polinômios f1, f2, , fs e tais polinômios são chamados geradores do
ideal. Dizemos que um ideal I é finitamente gerado se existem polinômios f1, f2, , fm P
krx1, x2, , xns tais que I hf1, f2, , fmi e o conjunto tf1, f2, , fmu é chamado uma base
de I. A demonstração do próximo teorema pode ser encontrado em [9].
Teorema 1.2.3 (Teorema da Base de Hilbert). Se k é um corpo, então todo ideal polinomial
de krx1, x2, , xns é finitamente gerado.
Corolário 1.2.4. Toda cadeia ascendente de ideais de krx1, x2, , xns I1 I2 I3
estabiliza para algum m. Isto é, existe um m¥ 1 tal que para todo j ¡ m, Ij Im. Anéis em
que toda cadeia ascendente de ideais estabiliza para algum m são chamados anéis Noetherianos. É fácil ver que se f1, f2, , fs e g1, g2, , gm são bases do ideal I krx1, x2, , xns, isto é,
I hf1, f2, , fsi hg1, g2, , gmi, então Vpf1, f2, , fsq Vpg1, g2, , gmq.
Como vimos qualquer coleção finita ou infinita de polinômios define uma variedade. Por outro lado, dada uma variedade V , existe naturalmente um ideal associado a V , chamado ideal da variedade e definido por
IpV q tf P krx1, x2, , xns : fpa1, a2, , anq 0 para todo pa1, a2, , anq P V u
Da definição de variedade afim vemos que encontrar a variedade afim Vpf1, f2, , fsq
kn é o mesmo que determinar o conjunto solução do sistema
fipa1, a2, , anq 0 para 1 ¤ i ¤ s. (1.6)
Dado que duas bases diferentes podem definir um mesmo ideal, temos que duas coleções diferentes de polinômios que determinam um mesmo ideal determina uma mesma variedade algébrica e portanto é intuitivo discutir a existência de uma base de um ideal polinomial que seja mais efetiva para o estudo de tais estruturas. A base que introduziremos nesta seção chamada de base de Gröbner cumpre esse papel. Ela será usada para analisar a estrutura de ideias polinomiais e suas variedades. A base de Gröbner foi introduzida por Bruno Buchberger (ver [4]) na segunda metade do último século .
Como uma base de Gröbner de I depende de uma ordem para os monômios de krx1, , xns, definimos primeiramente algumas relações de ordem importantes.
Definição 1.2.5. Seja α pα1, α2, , αnq e β pβ1, β2, , βnq elementos de Nn0. Definimos
as seguintes ordens dos elementos em Nn0.
• Ordem Lexicográfica: α ¡lex β se, e somente se, no vetor diferença α β P Zn a entrada
mais a direita diferente de zero é positiva.
• Ordem Lexicográfica do Grau: α¡deglex β se, e somente se,
|α| n ¸ j1 αj ¡ |β| n ¸ j1 βj, ou |α| ¡ |β| e α ¡lexβ.
• Ordem Lexicográfica Reversa: α¡rev β se, e somente se, o vetor diferença α β P Zn, a
entrada mais a esquerda diferente de zero é negativa.
• Ordem Lexicográfica do Grau Reversa: α ¡degrev β se, e somente se,
|α| n ¸ j1 αj ¡ |β| n ¸ j1 βj ou |α| |β| e α ¡rev β.
Por exemplo, se α p3, 2, 5, 2q e β p1, 6, 0, 5q, então α ¡ β em relação as quatro ordens. Cada ordem acima define naturalmente uma ordem de monômios em krx1, x2, , xns,
isto é, aαxα ¡ aβxβ se α ¡ β, isto presumindo x1 ¡ x2 ¡ ¡ xn. Para entendermos melhor as
ordens dadas acima, apresentamos o exemplo abaixo também apresentado por [15]. Considerando x3y, xy4 P krx, ys assumindo x ¡ y, temos:
• x3y¡lex xy4 (Poisp3, 1q ¡lex p1, 4q)
• x3y
deglexxy4 (Pois 3 1 1 4 e p3, 1q deglexp1, 4q)
• x3y¡
rev xy4 (Pois p3, 1q ¡rev p1, 4q)
• x3y
degrev xy4 (Pois p3, 1q degrev p1, 4q)
Fixando uma ordem¡ para os termos em krx1, x2, , xns, qualquer f P krx1, x2, , xns
pode ser escrito na forma padrão, com respeito a essa ordem, f a1xα1 a2xα2 asxαs
onde αi αj para i j e 1 ¤ i, j ¤ s e α1 ¡ α2 ¡ ¡ αs com respeito a relação de ordem
fixada. O termo principal LTpfq de f é o termo LT pfq a1xα1, o monômio principal LMpfq de
f é o monômio LMpfq xα1 e o coeficiente principal LCpfq de f é o coeficiente LCpfq a
1.
O monômio xα xα1
1 x
αn
n diz-se divisível pelo monômio x
β xβ1
1 xβnn, i. e.,
Portanto definida a divisão de um monômio em krx1, x2, , xns podemos
discu-tir a generalização da divisão de polinômios de uma única variável para um polinômio em krx1, x2, , xns.
Descreveremos o procedimento de divisão de um polinômio por um conjunto ordenado de polinômios, isto é, dividir f P krx1, x2, , xns por um conjunto ordenado F tf1, , fsu,
assim tendo
f a1f1 a2f2 asfs r (1.7)
onde os coeficientes a1, , ase r são polinômios de krx1, x2, , xns e r 0 ou degprq degpfq.
Se 1.7acontece e as propriedades acima mencionadas forem satisfeitas, dizemos que f é reduzido a r módulo F e escrevemos
f ÝÑ r.F
O processo para a divisão depende da ordem dos monômios em krx1, x2, , xns e
da ordem dos polinômios no conjunto F tf1, f2, , fsu. Então temos que fixar uma ordem
entre as apresentadas para o anel de polinômios e ordenarmos o conjunto F tf1, f2, , fsu de
polinômios para efetuarmos a divisão. Abaixo mostramos o algoritmo de divisão de polinômios com múltiplas variáveis e um exemplo de divisão.
Algoritmo de Divisão de Múltiplas Variáveis Input: f, f1, f2, , fm, hP krx1, x2, , xns e seja F tf1, , fmu.
Output: Os polinômios u1, , um, r P krx1, x2, , xns tais que f u1f1 umfm r,
onde r é reduzido com respeito a F e maxpLMpf1q, , LMpfmq, LMprqq LMpfq.
Procedimento:
Passo 1: ui : 0 para todo 1 ¤ i ¤ m, r : 0 e h : f.
Passo 2: ENQUANTO h 0 FAÇA
SE existe fj tal que LM(fj) divide LM(h)
uj : uj LTphq LTpfjq , h : h LTphq LTpfjq fj, SE NÃO r : r LTphq, h : h LTphq.
Exemplo 1.2.6. Consideramos f xy2 1 e o dividamos por f1 xy 1 e f2 y2 1 usando
a ordem lexicográfica com x¡ y.
u1 : x y u2 : 1 f1 :xy 1 a x2y xy2 y2 f2 :y2 1 x2y x xy2 x y2 xy2 y x y2 y y2 yÑ x y2 y y 1 1Ñ x y 0Ñ x y 1
Esperamos que essa divisão tenha boas propriedades como as da divisão de polinômios em krxs, sendo elas a unicidade do resto, por exemplo. Porém temos que essa divisão falha nessa propriedade. No exemplo anterior, por exemplo, se mudarmos a ordem da divisão, isto é, considerarmos f1 y2 1 e f2 xy 1 o resto será r 2x 1 e assim podemos ver que
o resto não é unicamente caracterizado. Os coeficientes ai e o resto r podem mudar apenas
rearranjando os fi. Eles também podem mudar se usarmos outra ordem para os monômios.
Como paralelo para a divisão de polinômios em uma variável esperamos também que r 0 se f P I, sendo I o ideal gerado pela coleção de polinômios. No caso de termos apenas uma variável a condição necessária e suficiente é que f P I hhi se e somente se f ÝÑ 0. Este éh um dos principais problemas da álgebra computacional e é chamado de problema da pertinência de um ideal.
Para polinômios com mais de uma variável a divisão de polinômios apresentada não nos garante essa equivalência. Nos perguntamos porém se temos algo similar no caso de um anel polinomial de mais de uma variável e geralmente falando a resposta é "não". Alguns exemplos nos mostram que f ÝÑ 0 é uma condição suficiente, mas não necessária para um polinômio fF estar em um ideal gerado por F , uma vez que vimos que o resto depende da escolha da ordem para os monômios e também da ordem dos polinômios em F que geram o ideal I.
Dado que o resto depende da escolha da ordem dos monômios no anel e também da ordem dos polinômios em F é natural nos perguntarmos se existem ordens tais que obtemos essa
equivalência. Ainda mais, podemos nos perguntar se existe outra coleção ordenada de polinômios que gera o mesmo ideal gerado por F tal que o resto r da divisão de f por esses geradores seja unicamente determinado e a condição que o resto é zero seja equivalente à termos f P I. Como vamos ver, a base de Gröbner tem essas propriedades, sendo assim a base de Gröbner resolve o problema da pertinência de um ideal.
Definição 1.2.7. A base de Gröbner (também chamada de base padrão) de um ideal I em
krx1, x2, , xns é um subconjunto finito G tg1, g2, , gmu de Izt0u tal que para todo f P I
diferente de zero existe gj P G tal que LT pgiq|LT pfq.
A proposição seguinte nos garante a unicidade do resto na divisão de polinômios em krx1, x2, , xns.
Proposição 1.2.8 ([4]). Seja G uma base de Gröbner para um ideal I diferente do vazio em krx1, x2, , xns e f P krx1, x2, , xns. Então o resto de f com respeito a G é único.
Se I krx1, x2, , xns é um ideal diferente do vazio, G tg1, g2, , g2u é um
conjunto finito de elementos diferentes de zero de I, então G é uma base de Gröbner para I se, e somente se, @f P krx1, x2, , xns temos f P I ðñ f
F
ÝÑ 0 (ver [25]). Sendo assim a base a de Gröbner nos fornece também uma condição necessária e suficiente para a pertinência de um polinômio f em um ideal I, resolvendo o problema da pertinência de um ideal, como afirmado.
Descrevemos agora o algoritmo para calcularmos uma base de Gröbner de um anel polinomial. Para isso primeiro apresentamos algumas breves noções e então apresentamos o algoritmo para o cálculo da base de Gröbner, que é dado por Buchberger [4].
Sejam f e g em krx1, x2, , xns com LT pfq axα e LTpgq bxβ. O mínimo
múltiplo comum de xα e xβ, denotado por LCMpxα, xβq, é o monômio xγ xγ1
1 x
γ2
2 x
γn
n onde
γj maxpαj, βjq, 1 ¤ j ¤ n e o S-polinômio de f e g é o polinômio
Spf, gq x
γ
LTpfqf
xγ
LTpgqg.
Exemplo 1.2.9. Seja f1 xy 1 e f2 y 1 e fixemos a ordem lexicográfica com x ¡ y.
Então LCMpxy, yq xy e o S-polinômio é definido por Spf1, f2q xy xypxy 1q xy y py 1q x 1. Algoritmo de Buchberger
Input: O conjunto de polinômios G : tf1, f2, , fsu P krx1, x2, , xns
Procedimento:
Passo 1: Para cada par gi, gj P G com i j, calcular o S-polinômio Spgi, gjq e dividi-lo pelo
conjunto G, obtendo o resto rij.
Passo 2: Verificar se rij é igual a zero. Se sim, então G é uma base de Gröbner, caso contrário
adicionamos todos os rij diferentes de zero em G e retornamos ao passo 1.
O cálculo de uma base de Gröbner de um ideal pode ser feito computacionalmente. Vários programas computacionais de álgebra (MATHEMATICA, MAPLE, REDUCE, SINGU-LAR, MACAULAY e outros) possuem pequenos algoritmos conhecidos para o cálculo da base de Gröbner. O algoritmo dado por Buchberguer não é muito eficiente, visto que o conjunto de polinômios dado como resultado tem mais polinômios do que o necessário. Para cálculos (principalmente computacionais) é interessante que esse conjunto gerador do ideal I seja mínimo.
Observação 1.2.10. A definição de base de um ideal não é exatamente como a noção de base
de um espaço vetorial e portanto um conjunto não necessariamente precisa ter o menor número de elementos possível para ser considerado base. A definição exige apenas gerar o ideal.
Definição 1.2.11. Uma base de Gröbner G tg1, , gmu é chamada mínima se para todo
i, j P t1, , mu, LCpgiq 1 e para j i, LMpgiq não divide LMpgjq.
Teorema 1.2.12 ([25]). Todo ideal polinomial diferente do vazio tem uma base de Gröbner mínima.
Proposição 1.2.13. Quaisquer duas bases de Gröbner mínimas G e G1 de um ideal I do anel krx1, , xns têm o mesmo conjunto de termos principais. Consequentemente elas têm o mesmo
número de elementos.
Temos que embora a base mínima dada pela demonstração do Teorema 1.2.12 [25] é bem menor que a base de Gröbner dada pelo algoritmo de Buchberguer ainda não temos a unicidade dessa base. A partir da definição a seguir conseguimos a unicidade.
Definição 1.2.14. Uma base de Gröbner G tg1, g2, , gmu é chamada reduzida se para todo
i com 1 ¤ i ¤ m, LCpgiq 1 e nenhum termo de gi é divisível por qualquer elemento LTpgjq
quando j i.
Ou seja, uma base de Gröbner é reduzida se cada um dos seus elementos g é mônico e é reduzido com respeito ao conjunto Gztgu. Podemos observar também da definição de base mínima e base reduzida que toda base reduzida é uma base mínima.
Teorema 1.2.15 ([25]). Fixando uma ordem para o conjunto de divisores temos que um ideal I tem uma única base de Gröbner reduzida com respeito a essa ordem.
A fim de reduzirmos portanto uma base de Gröbner a uma base reduzida primei-ramente introduzimos mais algumas definições. Também apresentaremos propriedades básicas de ideais polinomiais, sua conexão com variedades afim e a seguir apresentamos o conceito de decomposição de uma variedade afim e os principais resultados e algoritmos relacionados a isso.
Definição 1.2.16. Dado um ideal I hf1, f2, , fmi krx1, x2, , xns, com x1 ¡ x2 ¡
¡ xn e l P t0, 1, , n 1u fixado, o l-ésimo ideal reduzido de I é o ideal Il I X
krx 1, , xns.Qualquer ponto pal 1, , anq P V pIlq é chamado solução parcial do sistema
f1 0, , fm 0.
Teorema 1.2.17. (Teorema de Redução [9]) Seja I um ideal de krx1, x2, , xns com a ordem
lexicográfica fixada, x1, x2, , xn e seja G uma base de Gröbner de I. Então para todo l,
0¤ l ¤ n 1, o conjunto
Gl : G X krxl 1, , xns.
é uma base de Gröbner para o l-ésimo ideal reduzido de I.
Observe que o Teorema de Redução nos dá uma forma fácil de eliminarmos um grupo de variáveis de um sistema de equações polinomiais e portanto é muito útil na investigação de soluções de sistemas polinomiais. Pois o teorema nos fornece uma forma de encontrar todas as soluções de um sistema polinomial no caso em que o conjunto das soluções é finito, em outras palavras, podemos encontrar a variedade de um ideal polinomial no caso em que a variedade algébrica é de dimensão zero. O Exemplo 1.2.21 nos mostra isso.
Teorema 1.2.18 (Hilbert Nullstellensatz fraco [9]). Se I é um ideal em Crx1, x2, , xns tal
que VpIq H, então I Crx1, x2, , xns.
O Teorema dos zeros de Hilbert versão fraca ( ou Hilbert Nullstellensatz fraco) nos fornece uma forma de verificar se o sistema de equações polinomiais f1 0, f2 0, , fm 0
tem solução em C. Segue do teorema que para sabermos se o sistema tem solução é suficiente calcular a base reduzida de Gröbner de hf1, f2, , fmi com respeito a qualquer ordem. O sistema
tem solução sobre C se somente se a base reduzida de Gröbner do ideal I hf1, f2, , fmi com
respeito a qualquer ordem é diferente de t1u. Se estamos interessados nas soluções do sistema sobre um corpo k que não é algebricamente fechado, então a base de Gröbner também nos dá alguma informação se a base de Gröbner reduzida for igual a t1u. Pois se o sistema não tem nenhuma solução em Cn certamente não tem nenhuma solução em Rn.
A definição apresentada a seguir será de uso fundamental no processo de identificação de uma variedade VpIq de um ideal I.
Definição 1.2.19. Dado um ideal I P krx1, x2, , xns o radical de I, denotado por
? I, é o conjunto
?
I tf P krx1, x2, , xns : se existe p P N tal que fp P Iu.
Se dado um ideal I,?I I, então I é chamado ideal radical.
Se I é um ideal, então ?I é também um ideal e determina a mesma variedade afim, isto é, Vp?Iq VpIq.
O próximo teorema afirma que se um polinômio f é nulo em todos os pontos de uma variedade VpIq Cn, então alguma potência de f deve pertencer a I, isto é, f pertence ao radical de I.
Teorema 1.2.20 (Hilbert Nullstellensatz forte [9]). Seja f, f1, , fsP Crx1, x2, , xns. Então
f P IpVpf1, f2, , fsqq se, e somente se, existe um inteiro m ¥ 1 tal que fm P hf1, f2, , fsi.
Em outras palavras, para qualquer radical I Crx1, x2, , xns,
?
I IpVpIqq.
Este teorema justifica o então chamado teste de pertinência radical. O teste diz que dado um polinômio f , e um ideal I hf1, f2, , fmiP krx1, x2, , xns, f P
?
I se, e somente se, a base reduzida de Gröbner do ideal h1 wf, f1, f2, , fmi (onde w é uma nova variável) é
igual a t1u. Geometricamente, isso significa que o polinômio é zero na variedade VpIq.
A teoria da base de Gröbner apresentada nos permite encontrar todas as soluções do sistema (1.6) no caso do sistema ter um número finito de soluções. Nesse caso uma base de Gröbner com respeito a ordem lexicográfica está sempre na forma "escalonada", como podemos ver no exemplo a seguir.
Exemplo 1.2.21. Considere os polinômios
f1 8x2y2 5xy3 3x3z x2yz,
f2 x5 2y3z2 13y2z3 5yz4,
f3 8x3 12y3 xz2 3,
f4 7x2y4 18xy3z2 y3z3.
(1.8)
Com respeito a ordem lexicográfica e com x¡ y ¡ z, a base reduzida de Gröbner para o ideal gerado por f1, f2, f3, f4 em Qrx, y, zs é g1 x, g2 y3
1
4, g3 z
2. Consequentemente, o
sistema f1 f2 f3 f4 0 é equivalente ao sistema
x 0, y3 1 4 0, z
2 0.
Para um sistema genérico uma base de Gröbner tem uma estrutura muito mais complexa que esse exemplo. Porém, se o sistema tem apenas um número finito de soluções (isto é, o ideal é de dimensão 0), então qualquer base reduzida de Gröbner tg1, g2, , gtu com
respeito a ordem lexicográfica deve conter um polinômio em uma variável, supomos g1px1q,
então existe um grupo de polinômios na base de Gröbner dependendo dessas variáveis e mais uma variável, supomos, g2px1, x2q, , gtpx1, x2q, etc. Consequentemente, primeiro resolvemos
(possivelmente apenas numericamente) a equação g1px1q 0 e então para cada solução x1 de
g1px1q 0 encontramos as soluções de g2px1, x2q gtpx1, x2q 0, que é um sistema de
polinômios em uma única variável x2. Continuando o processo dessa forma todas as soluções
do sistema f1 0, f2 0, , fm 0. Portanto no caso que o número de soluções seja finito
teoricamente o processo de Gröbner nos fornece a completa solução para o problema.
1.2.1
Operações em ideais e variedades
A situação na qual a variedade de um ideal polinomial consiste em um número finito de pontos raramente ocorre. No caso genérico a variedade consiste em um número infinito de pontos, portanto, geralmente para resolver um sistema polinomial pode significar encontrar uma decomposição da variedade de um ideal em componentes irredutíveis.
Exemplo 1.2.22 ([25]). Seja I Dx3y3, x2z2E. É claro que a variedade V VpIq é a união das variedades V1 e V2 sendo V1 o plano x 0 e V2 a linha tpx, y, zq : y 0 e z 0u (variedades
de dimensão zero). Geometricamente vemos que em termos de uniões finitas não é possível decompor mais as variedades V1 e V2. Portanto com essa restrição V é a união de duas variedades
irredutíveis V1 e V2.
A seguir discutimos operações necessárias em ideais para computar a decomposição de ideais. Considere os ideais I e J em krx1, x2, , xns.
• A interseção de I e J é o conjunto:
IX J tf P krx1, x2, , xns : f P I e f P Ju.
É fácil ver que a união das variedades VpIq e V pJq é igual a variedade da interseção dos ideias
VpIq Y VpJq VpI X Jq.
• A soma de I e J é o conjunto:
• O quociente de I com J é o conjunto:
I : J tf P krx1, x2, , xns : fg P I para todo g P Ju.
É fácil ver que os três conjuntos são ideais. Mais ainda, em [9] é provado que a interseção de variedades de dois ideais dados I hf1, , fmi e J hg1, , gsi é igual ao ideal
htf1, , tfm,p1 tqg1, , p1 tqgsiX krx1, , xns.
Na próxima proposição daremos um algoritmo para calcularmos uma base de Gröbner da interseção de dois ideais e a seguir um algoritmo para calcularmos uma base de I : J .
Proposição 1.2.23 ([9,25]). Seja I hf1, f2, , fui e J hg1, g2, , gvi ideais em krx1, x2, , xns.
Construímos um ideal G1 htf1pxq, , tfupxq, p1 tqg1, , p1 tqgvpxqi krt, x1, , xns
e calculamos uma base de Gröbner G do ideal G1 com respeito a ordem lexicográfica com t¡ x1 ¡ ¡ xn. Então GX krx1, x2, , xns é uma base de Gröbner para I X J.
Algoritmo para calcular uma base para I : J Input: Ideais I hf1, f2, , fui e J hg1, g2, , gvi em krx1, x2, , xns.
Output: Uma base tfs1, fs2, , fspu de I : J.
Procedimento:
Passo 1: Para j 1, , s : Calculamos I X hgji D
hj1, , hjmj
E
.
Passo 2: Para j 1, , s : Calculamos I : hgji D
hj1{gj, , hjmj{gj
E
.
Passo 3: K : I : hg1i.
Passo 4: Para j 2, , s : Calculamos K : K X pI : hgjiq D
fj1, , fjfj
E
.
A seguir apresentamos a definição do fecho de Zariski. Esse conceito é necessário para o próximo teorema que conecta as três operações definidas acima com variedades afim.
Definição 1.2.24. O fecho de Zariski de um conjunto S kn, denotado por S, é a menor variedade contendo S.
Teorema 1.2.25. ([9, 27]) Dado os ideais I e J em krx1, x2, , xns segue que:
1. VpI X Jq VpIq Y VpJq. 2. VpI Jq VpIq X VpJq 3. VpIqzVpJq VpI : Jq e,
4. Se k C e I é um ideal radical, então VpIqzVpJq VpI : Jq
Uma variedade afim V pode ter uma estrutura muito complexa, portanto é mais vantajoso escrevermos V de uma forma mais simples.
Definição 1.2.26. Uma variedade afim não vazia V kn é dita irredutível se V V1 Y V2,
com V1 e V2 variedades afim se, e somente se, V1 V ou V2 V .
Variedades afim irredutíveis são fechadas em relação a uma classe de ideais chamados ideais primos.
Definição 1.2.27. Seja I um ideal próprio em krx1, x2, , xns. Dizemos que I é um ideal
primo se f g P I implica que ou f P I ou g P I. E I é chamado um ideal primário se fg P I implica que ou f P I ou gp P I para algum p P N.
Ideais primos e primários têm as seguintes propriedades.
Proposição 1.2.28. 1. Todo ideal primo é um ideal radical.
2. Suponha que P1, , Ps são ideais primos em krx1, x2, , xns. Então o ideal I Xsj1Pj
é um ideal radical.
3. I é um ideal primário se, e somente se, ?I é primo. Nesse caso ?I é chamado de ideal primo associado de I.
Uma decomposição primária de um ideal I krx1, x2, , xns é uma representação
de I como uma interseção finita de ideais primários Qj, I Xsj1Qj. A decomposição é chamada
decomposição primária mínima se o ideal primo associadoaQj são todos distintos eXijQi Qj
para cada j. Uma decomposição primária mínima de um ideal polinomial sempre existe, mas não necessariamente é única.
Teorema 1.2.29. ([9]) Uma variedade afim não vazia V kn é irredutível se, e somente se,
IpV q é um ideal primo.
Cada variedade afim V kn pode ser escrita como uma união finita de variedades irredutíveis, V V1Y V2Y Y Vn. Essa decomposição é chamada decomposição minimal se
Vi Vj para i j.
Mais ainda, toda variedade V kn tem uma decomposição minimal V V1Y V2Y
Y Vn, e essa decomposição é única.
A decomposição minimal de uma variedade afim pode ser calculada usando diferentes algoritmos implementados em alguns softwares de álgebra, como SINGULAR, MAPLE, etc.
No exemplo seguinte usamos o protocolo minAssGTZ [19] (que foi baseado no algoritmo [17]) do SINGULAR [11], onde encontramos a decomposição de uma variedade afim de um ideal I.
Exemplo 1.2.30. O código para encontrarmos a decomposição de uma variedade de um ideal
I Dyz z3, xz z, xy zE, usando o software de álgebra SINGULAR é dado a seguir.
Input: > LIB"primdec.lib"; > ring r=0, (x,y,z), dp; > poly f1=y*z+zˆ2; > poly f2=x*z-z; > poly f3=x*y+z; > ideal i=f1,f2,f3; > minAssGTZ(i); Output: [1]: _[1]=xy+z _[2]=y [2]: _[1]=xy+z _[2]=x [3]: _[1]=xy+z _[2]=x-1
Consequentemente, a decomposição mínima da variedade VpIq é
VpIq Vphxy z, yiq Y Vphxy z, xiq Y Vphxy z, x 1iq.
Uma variedade V pode algumas vezes ser descrita usando equações paramétricas. Uma dificuldade que encontramos é que a parametrização pode não cobrir toda a variedade V . O então chamado implicitization problem exige que a menor variedade definida pelas equações contenham o conjunto parametrizado.
No próximo teorema vemos o que acontece quando temos uma parametrização por funções racionais. Uma prova pode ser encontrada em [9].
Teorema 1.2.31 (Rational Implicitization). Seja k um campo infinito e F : kmzW Ñ kn, onde W Vpg1g2 gnq, a função determinada pela parametrização racional
x1 f1pt1, , tmq g1pt1, , tmq , .. . xn fnpt1, , tmq gnpt1, , tmq , (1.9)
onde f1, g1, , fm, gmsão polinômios em krt1, , tns. Seja J o ideal J hg1x1 f1, , gnxn fn, 1 gyi
kry, t1, , tm, x1, , xns, onde g g1g2 gn e seja Jm 1 J X krx1, , xns o pm
1q-ésimo ideal redução. Então VpJm 1q é a menor variedade em kn contendo FpknzW q.
O Teorema 1.2.31 nos dá o seguinte algoritmo para parametrizações racionais: Se temos as equações (1.9) com os polinômios f1, g1, , fn, gn, insira uma nova variável y e o
ideal J hg1x1 f1, , gnxn fn, 1 gyi, onde g g1g2 gn. Calcule a base de Gröbner
com uma ordem lexicográfica com y ¡ tti : i 1, , mu ¡ txi : i 1, , nu e considere
apenas polinômios dependendo de xi. Então esses polinômios definem a menor variedade em kn
contendo o conjunto parametrizado.
1.2.2
Decomposição de variedades usando aritmética modular
Frequentemente a decomposição de uma variedade é muito difícil, consumindo muita memória do computador. Para simplificarmos o procedimento para encontrar uma decomposição irredutível de uma variedade, uma abordagem é usar cálculos modulares, isso é, calcular sobre uma corpo com característica p, Zp Z{ hpi, onde p é um número primo. Os cálculos modulares
ainda mantêm informações essenciais do sistema original. Então, geralmente é possível extrair informações para reconstruir a exata solução do sistema polinomial sobre o corpo dos números racionais. Isso pode ser feito usando o seguinte algoritmo de reconstrução racional de [30].
Algoritmo de Reconstrução Racional Input: O número primo pP Z e c P Zp.
Output: Os inteiros v2 e v3 tal que v3{v2 cpmodpq, consequentemente v3 v2c kp, para
algum kP Z. Procedimento Passo 1: Defina u pu1, u2, u3q : p1, 0, pq, v pv1, v2, v3q : p1, 0, cq. Passo 2: Enquanto c p 2, faça tq : tu3{v3u, r : u qv, u : v, v : ru.
Passo 3: Se |v2| ¥
c p
2, então error().
Passo 4: Retorna v3, v2. Sendot.u a função chão.
O algoritmo de reconstrução racional é usado no Algoritmo de Decomposição usando Aritmética Modular, sugerido por [26], para calcular a decomposição irredutível de uma variedade.
Algoritmo de Decomposição Aritmética Modular Input: O ideal I : hf1, , fmi.
Output: A decomposição de I : hf1, , fmi sobre o corpo dos números racionais.
Procedimento
Passo 1: Calcule o ideais minimais primos associados ˜Q1, , ˜Qs em Zp, onde p é um número
primo a sua escolha.
Passo 2: Construa os ideais ˜Q1, , ˜Qs para os ideais Qi, i 1, , s em Q usando o algoritmo
de reconstrução racional.
Passo 3: Para cada i, usando o teste de pertinência radical, verificar se os polinômios f1, , fm
estão nos radicais dos ideais Qi. Isto é, se a base reduzida de Gröbner do ideal h1 wfj, Qii,
para 1¤ j ¤ m, é igual a t1u. Se SIM, então vá para o Passo 4, caso contrário escolha outro primo p e volte ao Passo 1.
Passo 4: Calcule a interseção de Q Xsi1Qi Qrx1, x2, , xns.
Passo 5: Verifique se aQ?I, isto é:
(a) Para cada qi P Q, a base reduzida de Gröbner do ideal h1 wqi, Ii é igual a t1u.
(b) Para cada fj P I, a base reduzida de Gröbner do ideal h1 wfj, Qi é igual at1u. Se esse é
o caso, então VpIq Ysi1VpQiq. Se NÃO, então volte ao Passo 1 e escolha outro primo p.
Nas próximas seções aplicaremos esse algoritmo para resolvermos os problemas gerados no estudo do problema do centro-foco.
2 Problema do centro-foco e integrabilidade
Nesse capítulo descreveremos uma abordagem geral para estudar o problema do centro e de integrabilidade. Na primeira seção construímos o mapa de Poincaré e discutimos o problema do centro-foco a partir do famoso Teorema de Poincaré-Lyapunov a ser apresentado. Na segunda seção apresentamos o estudo no sistema complexificado. A seguir apresentamos mais mecanismos na classificação da singularidade para sistemas específicos, como sistemas reversíveis, de Darboux e Hamiltonianos e por fim na última seção apresentamos os resultados aplicados à uma família de sistemas polinomiais.
Muitas vezes o estudo se desenvolve em torno de problemas polinomiais e a classifica-ção de sistemas polinomiais tendo um centro nos leva para sistemas não integráveis por métodos conhecidos, e portanto requer o desenvolvimento de novos métodos para a integrabilidade. Con-sequentemente tais estudos estimulam o desenvolvimento de novos métodos e abordagens para o desenvolvimento de novos mecanismos de integrabilidade em sistemas diferenciais polinomiais.
Vale notar que o estudo do problema do centro também pode ser considerado importante no estudo de bifurcações de ciclos limite. Como sabemos, alguns casos de bifurcações de ciclos limites ocorrem a partir da perturbação de um sistema com um centro na origem.
2.1
O mapa de primeiro retorno de Poincaré e o problema do centro
Consideremos um sistema planar de equações diferencias 9u fpuq, onde f : U R2 Ñ R2 é analítica numa vizinhança de 0, com fp0q 0 e onde os autovalores da parte linear de f em 0 são α iβ com β 0. Considerando o sistema linearizado, vimos na seção 1.1
que quando α 0 a origem do sistema é um foco, além disso do Teorema 1.1.4 temos que o comportamento das trajetórias em torno da origem são topologicamente equivalentes ao sistema linear associado e, portanto, as trajetórias espiralam em torno da origem, sendo a origem um foco. Para o sistema linear, quando α 0, todas as trajetórias em torno da origem são curvas fechadas e portanto temos um centro. Porém neste último caso o comportamento das trajetórias da linearização do sistema não determina o comportamento do sistema não linear. O próximo exemplo ilustra essa situação.
A origem do sistema
9u v upu2 v2q,
9v u vpu2
v2q,
(2.1) é um centro para o sistema linear associado. Em coordenadas polares temos que o sistema é da
forma 9r r3, 9φ 1, e portanto temos que cada trajetória do sistema espirala em torno da origem, ou seja, a origem é um foco estável. Não é possível garantir que qualquer pertubação de um centro é um foco, uma vez que existem exemplos onde a adição de termos de maiores ordens que não destrói o centro. Portanto necessitamos de um estudo especial para esse caso.
Tal problema (de distinguir a origem em um centro ou um foco) é conhecido como problema do centro de Poincaré ou problema do foco-centro ou apenas problema do centro.
Embora o problema do centro tenha sido estudado durante mais de cem anos por vários autores, ele está ainda em aberto mesmo para sistemas cúbicos não lineares, isto é, sistemas da forma
9u v f1pu, vq, 9v u f2pu, vq,
onde f1 e f2 são polinômios de grau três. Para sistemas planares quadráticos, isto é, com f1 e f2
polinômios de grau dois, temos condições necessárias e suficientes dadas em [13]. Para algumas famílias cúbicas algumas conclusões foram obtidas em [22] e para grau cinco em [6].
Uma das ferramentas inicias no estudo do problema do centro é o mapa do primeiro retorno de Poincaré ou simplesmente mapa do primeiro retorno. No que segue explicaremos tal ferramenta em detalhes.
Considerando um sistema como descrito no início da seção 2.1, podemos fazer uma mudança de coordenadas e escrevermos o sistema como
9u du dt αu βv 8 ¸ i j2 αijuivj αu βv Pˆpu, vq, 9v dv dt βu αv 8 ¸ i j2 βijuivj βu αv Qˆpu, vq (2.2)
Passando o sistema (2.2) para coordenadas polares com u r cos φ e v rsenφ, obtemos: 9r αr Pˆpr cos φ, rsenφq cos φ Qˆpr cos φ, rsenφqsenφ
9φ β r1r ˆPpr cos φ, rsenφqsenφ ˆQpr cos φ, rsenφq cos φs. (2.3)
Dividindo a primeira equação em (2.3) pela segunda, obtemos:
dr
dφ
αr r2Fpr, senφ, cos φq
β rGpr, senφ, cos φq Rpr, φq. (2.4)
A função Rpr, φq tem período 2π em relação a φ e é analítica para todo φ e para |r| r, para algum r suficientemente pequeno. O fato da origem ser uma singularidade para
(2.2) corresponde ao fato que Rp0, φq 0 então r 0 é uma solução de (2.4). Expandindo Rpr, φq em série de potências em r, então obtemos
dr dφ Rpr, φq rR1pφq r 2R 2pφq α βr (2.5)
onde Rkpφq são funções de período 2π em φ. A série é convergente para todo φ e para um r
suficientemente pequeno.
Denote por r fpφ, φ0, r0q a solução de (2.5) com condições iniciais r r0 e φ φ0.
A função fpφ, φ0, r0q é analítica nas três variáveis φ, φ0 e r0, e tem a propriedade que
fpφ, φ0, 0q 0, (2.6)
pois r 0 é solução de (2.5). Da equação (2.6) usando a dependência contínua das soluções nos parâmetros concluímos que toda trajetória do sistema (2.3) em uma vizinhança pequena da origem corta todo raio φ c, 0 ¤ c ¤ 2φ. Isso implica que, a fim de investigarmos as trajetórias em uma vizinhança da origem, é suficiente considerarmos todas as trajetórias passando por um segmento Σ tpu, vq : v 0, 0 ¤ u ¤ ru para um r suficientemente pequeno, i. e., todas as soluções r fpφ, 0, r0q. A função r fpφ, φ0, r0q pode ser expandida em série de potência em
r0,
r fpφ, φ0, r0q w1pφqr0 w2pφqr02 ,
a qual é convergente para todo 0 ¤ φ ¤ 2π e para |r0| r. A função é solução de (2.5), de
onde segue que w11r0 w12r
2
0 R1pφqpw1pφqr0 w2pφqr20 q R2pφqpw1pφqr0 w2pφqr20 q
2 ,
onde as derivadas são feitas com respeito à variável φ. Comparando os coeficientes das equações nas potências em r0 obtemos a seguinte fórmula de recorrência para as equações diferenciais
w11 R1pφqw1, w12 R1pφqw2 R2pφqw12, w13 R1pφqw3 2R2pφqw1w2 R3pφqw13, .. . (2.7)
Dado da condição inicial que r fp0, 0, r0q r0, obtemos
w1p0q 1, wjp0q 0 para j ¡ 1.
Usando essas condições podemos encontrar as funções wjpφq integrando as equações em (2.7).
Em particular,
w1pφq e
α
β φ. (2.8)
Para φ 2π na solução r fpφ, 0, r0q obtemos o valor r fp2π, 0, r0q, correspondendo ao
ponto de Σ onde a trajetória r fpφ, 0, r0q intersecta Σ novamente.
(a) A função
Rpr0q fp2π, 0, r0q ˜η1r0 η2r02 η3r03
(definido para|r0| r), onde ˜η1 w1p2πq e ηj wjp2πq para j ¥ 2, é chamado o mapa
de primeiro retorno de Poincaré (ou simplesmente mapa de retorno). (b) A função
Ppr0q Rpr0q r0 η1r0 η2r20 η3r30 (2.9)
é chamada função diferença.
(c) O coeficiente ηj, j P N é chamado j-ésimo coeficiente de Lyapunov.
O próximo teorema afirma que os coeficientes de Lyapunov determinam completa-mente o comportamento das trajetórias do sistema (2.2) próximo da origem. Uma prova pode ser encontrada em [25].
Teorema 2.1.2. O sistema (2.2) tem um centro na origem se, e somente se, todos os coeficientes de Lyapunov são iguais a zero. Mais ainda, se η1 0, ou para algum k P N
η1 η2 η2k 0, η2k 1 0, (2.10)
então todas as trajetórias em uma vizinhança da origem são espirais e portanto a origem é um foco, sendo estável quando η1 0 em (2.1.2) temos η2k 1 0 e é instável quando η1 ¡ 0 em
(2.1.2) temos η2k 1¡ 0.
De (2.8) e do Teorema 2.1.2 vemos que se α 0, então a origem de (2.2) é um foco estável e se α¡ 0 então a origem é um foco instável.
Uma outra abordagem pode ser usada para caracterizar quando um sistema da forma (2.2) possui um centro na origem. Essa abordagem é baseada no conhecido Teorema de Poincaré-Lyapunov. Para introduzirmos o teorema, primeiro relembremos alguns conceitos.
Denotamos por X o campo vetorial associado ao sistema (2.2) X 9u B
Bu 9v
B Bv.
Uma integral primeira local para o sistema (2.2) é uma função diferenciável não constante Φ : Ω R2 Ñ R, de uma vizinhança Ω da origem, que é constante nas trajetórias de (2.2), equivalentemente,
XΦ 9uBΦ
Bu 9v
BΦ Bv 0.
Uma integral primeira formal para o sistema (2.2) é uma série de potências formal nas variáveis u e v satisfazendo XΦ 0.
