Aula03a

Aula 3 – Comportamento Dinâmico de Sistemas

Modelagem

Exemplo 1: Sensores

Exemplo 2: Atuadores

Exemplo 3: Processos

Modelagem

O controle adequado de um sistema, que permite que a variável de interesse (normalmente a variável de saída) atenda critérios de desempenho estabelecidos a priori pelos projetistas, somente é possível após o conhecimento do comportamento dinâmico de cada uma das partes que o compõe.

A tarefa de modelagem, muitas vezes fundamental antes da etapa do projeto de controladores, consiste em descrever com base em leis físicas um conjunto de equações matemáticas capaz de representar com fidelidade cada uma das partes do sistema. A combinação adequada destas equações possibilita ao engenheiro de controle o perfeito entendimento do sistema funcionando de forma integrada. Descreve-se na seqüência, três exemplos distintos relacionados com a modelagem de elementos que compõe sistemas de controle de diferentes naturezas .

Exemplo 1: Sensores

Neste exemplo, apresenta-se a modelagem de um sensor de temperatura do tipo PT100. Trata-se de um resistor que varia sua resistência de acordo com a temperatura a qual esta sujeito. Pela sua linearidade e baixo custo, este dispositivo é largamente empregado com elemento sensor em diversos tipos sistema de controle de temperatura. Na tabela abaixo pode-se observar a variação de resistência de um termoresistor do tipo PT100 em função da temperatura.

Resistência (Ω) Temperatura (oC) 100.0 0 100.1 1 100.2 2 100.3 3 100.4 4 100.5 5 100.6 6 100.7 7 100.8 8 100.9 9 101.0 10 : : : : 109.9 99 110.0 100

Observando a Tabela 1, constata-se que o PT100 apresenta uma variação de 0.1Ω/o_{C, na faixa de}

temperatura admitida. Desta forma, com base nos dados apresentados, pode-se dizer que a equação que descreve o comportamento da resistência deste elemento é a seguinte:

0 1T R

K

R(T)= + (3.1) sendo (3.1) a equação de uma reta com coeficiente angular K1 (Ω/oC) e R0 (Ω) a resistência do PT100 a

zero grau Celsius. Em nível de diagrama de blocos, este elemento pode ser representado na forma apresentada na Figura 3.1.

Fig. 3.1: Bloco representativo do termoresistor do tipo PT100.

O bloco apresentado acima descreve o comportamento do elemento primário que irá compor o dispositivo de medida de temperatura. Normalmente, os sensores de um sistema de controle automático fornecem em suas saídas valores de corrente ou tensão. Para o dispositivo anterior, é comum utilizar-se um circuito de instrumentação para converter valores de resistência em valores tensão. O circuito apresentado na figura abaixo pode ser empregado nesta tarefa.

Fig. 3.2: Circuito de instrumentação do sensor de temperatura com PT100.

Para o circuito apresentado na Figura 3.2 entenda e explique o princípio básico de funcionamento do mesmo.

Temperatura Resistência 0.1T+100

O circuito da Figura 3.2 pode ser representado, em nível de diagrama de blocos, na forma apresentada abaixo:

Fig. 3.3: Diagrama de blocos do sensor de temperatura tipo PT100.

Após esta etapa de tratamento de sinal, obtém-se um sinal de tensão que varia proporcionalmente com a temperatura que o termoresistor é submetido, i.e.

Tensão (V) Temperatura (oC) 0.0 0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.4 4 0.5 5 0.6 6 0.7 7 0.8 8 0.9 9 1.0 10 : : : : 9.9 99 10.0 100

Tabela 2: Medidas características do sensor de temperatura.

Conforme pode-se observar, os dados apresentados na Tabela 2 apresentam uma relação linear entre as variáveis tensão e temperatura, descrita pela equação (3.2)

T K

V(T)= 2 (3.2)

que é a equação de uma reta com coeficiente angular K2 (V/oC).

Represente o diagrama de blocos que descreve o comportamento do sensor de temperatura conforme a equação (3.2).

Exemplo 2: Atuadores

Dispositivos eletromecânicos são comumente empregados como atuadores em diversos tipos de sistemas de controle. Processos robotizados são exemplos clássicos de sistemas de controle que utilizam tais atuadores. Em braços robóticos, é comum que o movimento de cada uma de suas juntas seja efetuado por meio de servoatuadores eletromecânicos. Em fábricas com elevado nível de automatização o emprego

Temperatura R(T) Tensão(T) PT100 Circuito de

de veículos com capacidade de navegação autônoma vem se tornando cada vez mais comum. O movimento destes veículos só é possível porque existem motores elétricos acoplados em suas rodas. A Figura 3.3 mostra o robô de serviço em desenvolvimento no Laboratório de Automação e Controle da PUCRS.

Fig. 3.3: Robô de serviço em desenvolvimento no LACS.

No robô apresentado na figura acima, a movimentação das rodas dianteiras é realizada por dois motores de corrente contínua controlados pela armadura. O motor de corrente contínua tem uma estrutura de controle muito simples, uma vez que o fluxo magnético constante produzido no enrolamento de campo é ortogonal ao torque eletromagnético. Isto quer dizer que variações no torque eletromagnético do motor não afetam o fluxo constante em seu campo. A equação que descreve o comportamento do torque eletromagnético do motor é dada pela seguinte relação:

a f a e K I

T = λ (3.3) sendo Ka a constante de torque do motor, λf o fluxo magnético do campo e Ia a corrente que circula pelo

circuito de armadura do motor. O esquema elétrico utilizado na representação de um motor de corrente contínua controlado pela armadura é apresentado na Figura 3.4.

Neste exemplo observa-se uma relação entre dois sistemas físicos de diferentes naturezas. Um de natureza elétrica e outro de natureza mecânica, interagindo entre si através de relações eletromecânicas.

Fig. 3.5: Interação entre os modelos elétromagnético e mecânico.

Para a parte elétrica, conforme pode-se constatar pela Figura 3.4 tem-se o seguinte equacionamento: La Ra a t E V V V − = + (3.4) onde Vt é a tensão aplicada nos terminais de armadura do motor, Ea é a força contra eletromotriz, VRa queda

de tensão na resistência do enrolamento de armadura e VLa a queda de tensão associada a indutância da

armadura.

Reescreva a equação (3.4), relacionando as tensões na resistência e na indutância do enrolamento de armadura do motor DC com a corrente de armadura do mesmo. Neste caso, cite o conjunto de leis físicas utilizadas neste equacionamento.

Para parte mecânica, tem-se o seguinte equacionamento:

B J mecânico T T

T = + (3.5) que relaciona o torque mecânico aos torques associados ao momento de inércia do rotor, representado na equação (3.5) por TJ, e a parcela de torque dissipada pelo atrito existente entre as partes fixas e móveis do

rotor.

Reescreva a equação (3.5), relacionando as parcelas torque associadas ao momento de inércia do rotor “J” e ao atrito viscoso “B” presente entre as partes fixas e móveis do rotor com a velocidade mecânica do mesmo.

As relações entre os sistemas eletromagnético e mecânico ocorrem quando considera-se que o torque eletromagnético, apresentado na equação (3.3), é igual ao torque mecânico no eixo do rotor e a força contra eletromotriz causada pela interação entre os fluxos magnéticos da armadura e do campo do motor é diretamente proporcional a velocidade mecânica do rotor, i.e.

a T mecânico K I T = (3.6) ω ω K Ea = (3.7)      Lens de Lei etc.. Kirchhoff, Ohm, de Leis Magnético e Elétrico Sistema    Newtoniana Mecânica da Leis Mecânico Sistema

Desenhe o diagrama de blocos que represente as partes elétrica e mecânica do motor DC controlado pela armadura, descrevendo as variáveis de saída e entrada de cada um dos blocos. Nesta representação deve, necessariamente, estar representado os blocos que relacionam as partes elétricas e mecânicas destes sistemas.

Exemplo 3: Processos

O exemplo de modelagem de processos será dividido em dois casos distintos; o primeiro trata-se da modelagem de um processo linear constituído por dois tanques onde descreve-se matematicamente o comportamento dinâmico da coluna de líquido em cada um deles em relação ao fluxo de líquidos que entram e saem instantaneamente dos mesmos. A Figura 3.6 ilustra cada uma das partes do processo em questão.

Fig. 3.6: Representação dos dois tanques interligados.

Neste caso será admitido como linear a relação entre as vazões Q1(t) e Q2(t) e as respectivas

alturas das colunas de líquido existente em cada um dos tanques, sendo válidas as seguintes relações:

1 2 1 1 R (t) H (t) H (t) Q = − (3.8) 2 2 2 R (t) H (t) Q = (3.9) sendo R1 e R2 constantes que representam a resistência aos fluxos Q1(t) e Q2(t), dependentes da posição de

ajuste das válvulas C1 e C2. Admitindo Qi(t) como sendo a vazão de líquido que alimenta o primeiro tanque

configurando-se em uma entrada externa, segue a seguinte relação: (t) Q (t) Q dt (t) H dA dt (t) dV 1 i 1 1 1 _{= = −} (3.10) Q (t) Q (t) dt (t) H dA dt (t) dV 2 1 2 2 2 _{= = −} (3.11) ou ainda, relacionando as variáveis Q1(t) e Q2(t) com as alturas de líquido em cada um dos tanques,

rescreve-se (3.10) e (3.11) na seguinte forma:

      − = 1 2 1 i 1 1 R (t) H -(t) H (t) Q dt (t) dH A (3.12)

2 2 1 2 1 2 2 R (t) H R (t) H -(t) H dt (t) dH A _−      = (3.13) onde A1 e A2 representam as áreas das superfícies de cada um dos tanques, consideradas uniformes.

Observe que as equações (3.12) e (3.13) são equações diferenciais lineares de primeira ordem invariantes no tempo.

Porque as equações apresentadas em (3.12) e (3.13) são chamadas de equações diferenciais lineares de primeira ordem invariantes no tempo? Em que caso estas equações seriam consideradas variantes no tempo? De exemplos de processos cujo comportamento é descrito por equações diferenciais invariantes e variantes no tempo.

Fig. 3.7: Diagrama de simulação para o processo anterior.

Em nível de simulação, o processo equacionado anteriormente pode ser realizado conforme o diagrama esquemático apresentado na Figura 3.7. Este diagrama de simulação, desenvolvido em Simulink1, resulta da simples interpretação das equações (3.12) e (3.13). .

Equações diferenciais lineares invariantes no tempo são facilmente resolvidas empregando transformadas de Laplace. A teoria desenvolvida por Laplace permite empregar métodos para soluções de equações algébricas para resolver equações diferenciais lineares invariantes no tempo. A definição de transformada de Laplace é dada na equação a seguir

{ }

∫

e sua utilização na solução de equações diferenciais lineares invariantes no tempo segue os passos esquematizados no diagrama de blocos apresentado abaixo:

Fig. 3.8: Esquema para solução de equações diferenciais empregando transformadas de Laplace.

1

O Simulink é um programa de simulação de sistemas dinâmicos que trabalha em conjunto com o programa MatLab. Equações Diferenciais Lineares Invariantes no Tempo Transformada de Laplace Condições Iniciais Transformada Inversa de Laplace Solução Temporal

Outra vantagem associada ao emprego da transformada de Laplace é a possibilidade de usar técnicas gráficas para esboçar o comportamento previsto do processo sem a necessidade da solução analítica de equações diferenciais lineares invariantes no tempo que o descrevem.

Com base no esquema proposto na Figura 3.8, uma vez descrito o comportamento do processo que se deseja modelar por um conjunto de equações diferenciais lineares invariantes no tempo, no caso do exemplo anterior as equações (3.12) e (3.13), o próximo passo seria a obtenção da transformada de Laplace de cada uma destas equações. Tal tarefa é realizada com base no teorema apresentado a seguir:

Teorema 3.1: Derivação Real

A transformada de Laplace da derivada de uma função f(t) é dada por

) 0 ( ) ( ) (t sF s f f dt d L = −     (3.15)

onde f(0) é o valor inicial de f(t) calculado em t=0. A prova deste teorema é feita diretamente com base na definição de transformada de Laplace apresentada em (3.14).

Prove que a igualdade estabelecida na equação (3.15) se verifica. Dica: Derive por partes a equação (3.14).

A generalização de (3.15) para o caso de derivada de ordem n de f(t), é obtida de modo similar e é dada pela seguinte equação:

1 2 2 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( − − − − _{− − − −} − =         n n n n n n f f s f s f s s F s t f dt d L   (3.16) onde 1 2 ) 0 ( , ) 0 ( , ), 0 ( ), 0 ( − − n n f f f

f   são as derivadas temporais sucessivas de f(t) avaliadas em t=0.

Prove que a igualdade estabelecida na equação (3.16) se verifica. Dica: Considere f(t) g(t)

dt d

= repetindo o procedimento empregado na prova de (3.15), porém considerando agora     ) (t g dt d L .

Para o processo descrito pelas equações (3.12) e (3.13), admita como sendo nulas todas as condições iniciais e obtenha as seguintes relações:

• H2(s)/H1(s);

• H2(s)/Qi(s);

Observe que para resolver o problema proposto acima todas as derivadas temporais apresentadas nas equações (3.12) e (3.13) devem ser substituídas pelo operador s, estabelecendo-se a equivalência (3.17) entre os domínios tempo e freqüência.

dt d

s≡ (3.17)

Da mesma forma que se estabelece equivalência entre domínios para operação de derivação, existe também uma equivalência entre os domínios tempo e freqüência para operação de integração, conforme (3.18).

∫

Observe o diagrama de simulação apresentado na Figura 3.7. Com base no exposto até este ponto, entenda e explique cada uma das partes do referido diagrama, observando se o mesmo reflete a dinâmica do processo descrito em (3.12) e (3.13).

No problema em que foi proposto a determinação das relações H2(s)/H1(s), H2(s)/Qi(s) e

H1(s)/Qi(s), observe que todas estas relações resultam em cocientes de polinômios em s, que é uma variável

complexa constituída por uma parte real e por uma parte imaginária, i.e.,

ω

σ j

s= + (3.19) Desta forma, cada uma das relações descritas anteriormente possuem uma parte real e outra parte imaginária, ou seja: y 1 x 1 1 1 2(s)/H (s): G (s) G jG H = = + (3.20) y 2 x 2 2 i 2(s)/Q (s): G (s) G jG H = = + (3.21) y 3 x 3 3 i 1(s)/Q (s): G (s) G jG H = = + (3.22) onde Gix , i=1,2,3 representa a parte real e jGiy , i=1,2,3 representa as partes imaginárias de cada uma destas

funções. Cada uma destas funções também pode ser representada em coordenadas polares sendo caracterizadas por um módulo dado por

2 iy 2 ix G

G + (3.23) e um argumento angular dado por

) G / G ( tan−1 _{iy ix} (3.24)

Diz-se que uma função complexa genérica G(s) é analítica em uma região do plano s se G(s) e as suas derivadas sucessivas existem para todo ponto pertencente a esta região. Pontos do plano s nos quais G(s) é analítica são chamados de pontos ordinários, enquanto os pontos do plano s em que a função G(s) não é analítica são chamados de pontos singulares. Pontos singulares nos quais G(s) tendem ao infinito são ditos pólos de G(s). Pontos nos quais G(s) apresenta valor nulo são chamados de zeros de G(s). Para exemplificar, considere a seguinte função complexa G(s):

(

)(

)

( )(

)(

)

Para a função complexa apresentada em (3.25) determine quantos e quais são os zeros e os pólos, seguindo a definição apresentada anteriormente.

Funções de variável complexa do tipo apresentado em (3.20), (3.21), (3.22) e (3.25) são freqüentemente empregadas para descrever a relação existente entre variáveis de entrada e saída de blocos que compõe sistema de controle cujo comportamento dinâmico é representado por equações diferenciais lineares e invariantes no tempo. Tais funções são denominadas funções de transferência.

Procure na bibliografia indicada a definição de função de transferência. Para o exemplo apresentado na Figura 3.4, do motor de corrente contínua controlado por armadura, determine as funções de transferência do bloco relativo a parte elétrica Ia(s)/E(s), da parte mecânica Ω(s)/Τ(s),

e a função de transferência completa Ω(s)/Va(s) e Τ(s)/Va(s).

Procure na bibliografia indicada um outro tipo de sistema de controle. Desenhe o diagrama de blocos completo a partir do conjunto de equações diferenciais que definem o sistema.. Determine a função de transferencia entre o sinal de entrada e o sinal de saída do sistema.